2020年 高中数学 一轮复习 课时练53 几何概型(文科)(北师大版)
2020年高考数学一轮复习课时分层训练53古典概型文北师大版.doc
课时分层训练(五十三) 古典概型A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2018·太原模拟)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( ) A ．12B ．13C ．23D ．56C [设两本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为B ．则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.]2．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为( )【导学号：00090354】A ．12B ．13C ．34D ．25B [点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.]3．(2018·茂名模拟)在{1,3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是( ) A ．13B ．12C ．16D ．14D [所有的两位数为12,14,21,41,32,34,23,43,52,54,25,45，共12个， 能被4整除的数为12,32,52，共3个． 故所求概率P ＝312＝14.故选D ．]4．(2017·威海模拟)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A ．16B ．13C ．14D ．12A [由题意知，向量m 共有4×3＝12个，由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即a ＝b ，则满足m ⊥n 的m 有(3,3)，(5,5)共2个，故所求概率P ＝212＝16.] 5．(2018·大同模拟)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( ) A ．13B ．23C ．12D ．34C [记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为12.故选C ．]二、填空题6．在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n π3，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________．15 [基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为2，故所求概率为P ＝210＝15.] 7．(2016·四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．16[从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P ＝212＝16.]8．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．【导学号：00090355】13[记“两人都中奖”为事件A ， 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P (A )＝26＝13.] 三、解答题9．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．[解] (1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23>13，故这种说法不正确． 10．(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． [解] (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个. 3分所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，则所求事件的概率为P ＝315＝15. 6分(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个.9分包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个，则所求事件的概率为P ＝29.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·黄山模拟)从集合A ＝{2,4}中随机抽取一个数记为a ，从集合B ＝{1,3}中随机抽取一个数记为b ，则f (x )＝12ax 2＋bx ＋1在(－∞，－1]上是减函数的概率为( )【导学号：00090356】 A ．12B ．34C ．16D ．0B [(a ，b )的所有取值情况如下：(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，共4种， 记“f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数”为事件A ，由条件知f (x )的图像开口一定向上，a ＞0，对称轴为直线x ＝－b a ，且－b a≥－1， 则事件A 包含的情况如下：(2,1)，(4,1)，(4,3)，共3种，则P (A )＝34.]2．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4＜0成立的事件发生的概率为________．14[由题意知(a ，b )的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a －2b ＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果． 故所求事件的概率P ＝416＝14.]3．(2018·新合模拟)某汽车美容公司为吸引顾客，排出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的频率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率． [解] (1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为40100＝0.4.2分 (2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150＝50(元)， 3分 第2次消费时，公司获得的利润为200×0.95－150＝40(元)， 4分 所以，公司获得的平均利润为50＋402＝45(元).5分(3)因为20∶10∶5∶5＝4∶2∶1∶1，所以用分层抽样方法抽出的8人中，消费2次的有4人，分别设为A 1，A 2，A 3，A 4，消费3次的有2人，分别设为B 1，B 2，消费4次和5次及以上的各有1人，分别设为C ，D ，从中抽出2人，抽到A 1的有A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 1B 1，A 1B 2，A 1C ，A 1D ，共7种；7分去掉A 1后，抽到A 2的有A 2A 3，A 2A 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2C ，A 2D ，共6种； …去掉A 1，A 2，A 3，A 4，B 1，B 2后，抽到C 的有：CD ，共1种，总的抽取方法有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28种，9分其中恰有1人消费两次的抽取方法有4＋4＋4＋4＝16种，10分 所以，抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为1628＝47.12分。
2020版高考数学一轮复习课时规范练53统计图表数据的数字特征用样本估计总体理北师大版28
课时规范练53 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体基础巩固组1.(2018福建龙岩4月模拟,4)党的十八大以来,脱贫攻坚取得显著成绩.2013年至2016年4年间,累计脱贫5 564万人,2017年各地根据实际进行创新,精准、高效地完成了脱贫任务.某地区对当地3 000户家庭的2017年所有的年收入情况调查统计,年收入的频率分布直方图如图所示,数据(单位:千元)的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则年收入不超过6万的家庭大约为()A.900户B.600户C.300户D.150户2.(2018湖南长郡中学一模,7)某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如图.根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确的是()A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C.甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定3.(2018四川成都考前模拟,3)某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程,收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:公里)的数据,绘制了下面的折线图.根据折线图,下列结论正确的是()A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳4.(2018山东、湖北冲刺二,3)当5个正整数从小到大排列时,其中位数为4,若这5个数的唯一众数为6,则这5个数的均值不可能为()A.3.6B.3.8C.4D.4.25.(2018内蒙古呼和浩特一模,8)如图为某班35名学生的投篮成绩(每人投一次)的条形统计图,其中上面部分数据破损导致数据不完全.已知该班学生投篮成绩的中位数是5,则根据统计图,无法确定下列哪一选项中的数值()A.3球以下(含3球)的人数B.4球以下(含4球)的人数C.5球以下(含5球)的人数D.6球以下(含6球)的人数6.(2018四省名校大联三,6)某校李老师本学期任高一A班、B班两个班数学课教学,两个班都有50名学生,下图反映的是两个班在本学期5次数学检测中的班级平均分对比,根据图表信息,下列不正确的结论是()A.A班的数学成绩平均水平好于B班B.B班的数学成绩没有A班稳定C.下次B班的数学平均分高于A班D.在第一次考试中,A、B两个班总平均分为78分7.(2018四川达州四模,10)已知数据x1,x2,...,x10,2的平均值为2,方差为1,则数据x1,x2, (x10)对于原数据()A.一样稳定B.变得比较稳定C.变得比较不稳定D.稳定性不可以判断8.(2018江西景德镇盟校联考二,4)已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为,方差为s2,则()A.=4,s2=2B.=4,s2>2C.=4,s2<2D.>4,s2<29.(2018山东春季高考,24)在一批棉花中随机抽测了500根棉花纤维的长度(精确到1 mm)作为样本,并绘制了如图所示的频率分布直方图,由图可知,样本中棉花纤维的长度大于225 mm的频数是.10.(2018广东东莞考前冲刺,13)已知样本x1,x2,x3,…,x n的方差s2=2,则样本2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2x n+1的方差为.11.(2018河南天一大联考三,15)一组样本数据按从小到大的顺序排列为:-1,0,4,x,y,14,已知这组数据的平均数与中位数均为5,则其方差为.12.(2018东北师大附中五模,18)长春市统计局对某公司月收入在1 000~4 000元内的职工进行一次统计,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示职工月收入在区间[1 000,1 500)内,单位:元).(1)请估计该公司的职工月收入在[1 000,2 000)内的概率;(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数.综合提升组13.(2018宁夏银川一中三模,4)甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的m,n的比值=()A. B. C.2 D.314.(2018湖南衡阳二模,4)已知样本x1,x2,…,x n的平均数为x;样本y1,y2,…,y m的平均数为y(x≠y),若样本x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y m的平均数z=ax+(1-a)y,其中0<a<,则n,m(n,m∈N+)的大小关系为()A.n=mB.n≥mC.n<mD.n>m15.(2018安徽太和中学一模,16)已知样本数据a1,a2,a3,a4,a5的方差s2=-20),则样本数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1,2a5+1的平均数为.16.(2018新疆维吾尔自治区二模,19)某市有甲、乙两位航模运动员参加了国家队集训,现分别从他们在集训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:甲:8281797895889384乙:9295807583809085(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数;(2)现要从中派一人参加国际比赛,从平均成绩和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由.创新应用组17.(2018云南昆明二模,4)“搜索指数”是网民通过搜索引擎,以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大,表示网民对该关键词的搜索次数越多,对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中,某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图,下列结论正确的是()A.这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B.这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C.从网民对该关键词的搜索指数来看,去年10月份的方差小于11月份的方差D.从网民对该关键词的搜索指数来看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值18.(2018河北衡水模拟三,19)“日行一万步,健康你一生”的养生观念已经深入人心,由于研究性学习的需要,某大学生收集了手机“微信运动”团队中特定甲、乙两个班级n名成员一天行走的步数,然后采用分层抽样的方法按照[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)分层抽取了20名成员的步数,并绘制了如下尚不完整的茎叶图(单位:千步):已知甲、乙两班行走步数的平均值都是44千步.(1)求x,y的值;(2)①若n=100,求甲、乙两个班级100名成员中行走步数在[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)各层的人数;②若估计该团队中一天行走步数少于40千步的人数比处于[40,50)千步的人数少12人,求n的值.参考答案课时规范练53 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体1.A由频率分布直方图可得年收入不超过6万的家庭的概率为(0.005+0.01)×20=0.3,所以年收入不超过6万的家庭数大约为3 000×0.3=900(户),故选A.2.D由茎叶图知甲的极差为47-18=29,乙的极差是33-17=16,A正确;甲中位数是30,乙中位数是26, B正确;甲均值为29,乙均值为25,C正确;只有D不正确,甲的方差大于乙的方差,应该是乙成绩稳定,故选D.3.D由折线图知,月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数;月跑步平均里程不是逐月增加的;月跑步平均里程高峰期大致在9、10月份,故A,B,C错,故选D.4.A设五个数从小到大为a1,a2,a3,a4,a5,依题意得a3=4,a4=a5=6,a1,a2是1,2,3中两个不同的数,符合题意的五个数可能有三种情形:“1,2,4,6,6”,“1,3,4,6,6”,“2,3,4,6,6”,其平均数分别为3.8,4,4.2.均值不可能为3.6,故选A.5.C因为共有35人,而中位数应该是第18个数,所以第18个数是5,从题图中看出第四个柱状图的范围在6以上,所以投4个球的有7人.可得3球以下(含3球)的人数为10人,4球以下(含4球)的人数为10+7=17(人),6球以下(含6球)的人数为35-1=34(人).故只有5球以下(含5球)的人数无法确定,故选C.6.C A班的5次数学测试平均分分别为81,78,81,80,85,5次的平均分= (81+78+81+80+85)=81,B 班的5次数学测试平均分分别为75,80,76,85,80,5次的平均分为= (75+80+76+85+80)=79.2,A班的数学平均分好于B班,选项A正确;由于A班的成绩都在80分附近,而B班的平均分变化很大,所以A班成绩稳定些,选项B正确;下次考试A,B班的平均分不能预料,所以选项C错误;在第一次考试中,总平均分为==78分,选项D正确.故选C.7.C由题可得:=2,所以x1+x2+…+x10=20,所以平均值为2,由=1得=1.1>1,所以变得不稳定,故选C.8.C根据题意有==4,而s2=<2,故选C.9.235因为长度大于225 mm的频率为(0.004 4+0.005 0)×50=0.47,所以长度大于225 mm的频数是0.47×500=235.10.8由题意,样本数据x1,x2,x3,…,x n的方差s2=2,设样本2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2x n+1的方差为,则=22×s2=22×2=8.11. ∵-1,0,4,x,y,14的中位数为5,∴=5,∴x=6,∴这组数据的平均数是=5,即y=7,可得这组数据的方差是 (36+25+1+1+4+81)=,故答案为.12.解 (1)职工月收入在[1 000,2 000)内的概率为(0.000 2+0.000 4)×500=0.3.(2)根据条件可知,从左至右小矩形的面积分别是0.1、0.2,0.25,0.25,0.15,0.05,因此,中位数的估计值为2 000+=2 400;平均数的估计值为1 250×0.1+1 750×0.2+2 250×0.25+2 750×0.25+3 250×0.15+3 750×0.05=2 400.综上可知,中位数和平均数的估计值都是2 400.13.A由题意得,甲组数据为:24,29,30+m,42;乙组数据为:25,20+n,31,33,42,∴甲、乙两组数据的中位数分别为、31,且甲、乙两组数的平均数分别为==,==.由题意得解得∴==,故选A.14.C由题意得z=(nx+my)=x+1-y,∴a=.∵0<a<,∴0<<,∴n<m.故选C.15.5或-3设样本数据的平均数为a,则方差s2==(-2aa i+a2)=(-2aa i+5a2)=(-2a×5a+5a2)=(-5a2).结合s2=(++++-20)可得5a2=20,∴a=±2,即样本数据a1,a2,a3,a4,a5的平均数为2或-2,则样本数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1,2a5+1的平均数为2×2+1=5或2×(-2)+1=-3.16.解 (1)茎叶图如下:∴学生乙成绩的中位数为84.(2)派甲参加比较合适,理由如下:=(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85,=(70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85,=[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(95-85)2+(93-85)2]=35.5, =[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41,因为=,<,∴甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适.17.D根据走势图可知,这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不呈周期性变化,A错;这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度增减不确定,B错;从网民对该关键词的搜索指数来看,去年10月份的搜索指数的稳定性小于11月份的搜索指数的稳定性,所以去年10月份的方差大于11月份的方差,C错;从网民对该关键词的搜索指数来看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值,D正确.故选D.18.解 (1)因为甲班的平均值为44,所以=×(26+32+42+40+x+45+46+48+50+52+53)=44,解得x=6.同理,因为乙班平均值为44,所以=×(26+34+30+y+41+42+46+50+52+57+58)=44,解得y=4.(2)①因为抽样比为=,且抽取的20名成员中行走步数在[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)各层的人数依次为2,3,8,7,所以甲、乙两个班级100名成员中行走步数在[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)各层的人数依次为10,15,40,35.②该团队中一天行走步数少于40千步的频率为=,处于[40,50)千步的频率为=,则估计该团队中一天行走步数少于40千步的人数与处于[40,50)千步的人数的频率之差为-=.又因为该团队中一天行走步数少于40千步的人数比处于[40,50)千步的人数少12人,所以n×=12,解得n=80.。
2020年高考数学(文科)一轮复习 第九单元 听课手册 第54讲几何概型
听课手册第54讲几何概型1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称.2.几何概型的两个基本特点(1)无限性:在一次试验中可能出现的结果;(2)等可能性:每个试验结果的发生具有.3.几何概型的概率公式P(A)=构成事件的区域长度 面积或体积.试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积4.随机模拟方法(1)概念:使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件概率近似值的方法就是模拟方法.(2)随机模拟方法的基本步骤①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;③计算频率f n(A)=作为所求概率的近似值.题组一常识题1.[教材改编]在长为6 m的木棒AB上任取一点P,则点P到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是.2.[教材改编]如图9-54-1所示,有四个游戏盘,将它们水平放稳后,分别在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖.在B图中,中奖的概率为;要想得到最大中奖机会,应选择的游戏盘是.图9-54-1图9-54-23.[教材改编]为了测算如图9-54-2所示阴影部分的面积,作一个边长为6的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷800个点,已知恰有200个点落在阴影部分,据此,可估计阴影部分的面积是.4.[教材改编]设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率为.题组二常错题◆索引:易混淆几何概型与古典概型;几何概型的测度选择不正确.5.在区间[-2,4]上随机地取一个整数x,则x满足|x|≤2的概率为;在区间[-2,4]上随机地取一个实数x,则x满足|x|≤2的概率为.6.若正方形ABCD的边长为2,E为边上任意一点,则AE的长度大于的概率为.7.如图9-54-3所示,在Rt△ABC中,A=30°,过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M,则AM>AC的概率为;在线段AB上任取一点M,则AM>AC的概率为.图9-54-3[总结反思] 用随机模拟方法估算不规则图形A的面积的一般步骤:(1)利用几何概型得到点落在A内的概率P=,利用随机模拟方法得到点落在A内的频率f=;(2)由频率估计概率得到≈,进而估算出不规则图形A的面积S A.变式题[2018·大连二模]关于圆周率π 数学发展史上出现过许多很有创意的求法.我们可以通过设计下面的试验来估计π的值,试验步骤如下:①先请高二年级500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x,y)(0<x<1,0<y<1);②若卡片上的(x,y)能与1构成锐角三角形,则将此卡片上交;③统计上交的卡片数,记为m;④根据统计数m估计π的值.假如本次试验的统计结果是m=113,那么可以估计π的值约为 ()A.B.C.D.探究点二与长度、角度有关的几何概型例2 (1)[2018·山东实验中学月考]《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”图9-54-5问题:“今有池方一丈, 葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是:“有一水池一丈见方,池中心生有一棵类似芦苇的植物,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图9-54-5所示),问水有多深,该植物有多长?”其中一丈为十尺.若从该植物上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A. B.C.D.(2)[2018·大连一模]已知半径为R的圆上有一定点A,在圆上等可能地任意取一点与点A 连接,则所得弦长小于R的概率为.[总结反思] 求与长度、角度有关的几何概型的概率的方法:(1)确认是否符合几何概型的特点;(2)分别求出全部事件Ω和所求事件对应的区域长度、角度;(3)利用几何概型概率计算公式正确计算概率.变式题(1)在长为8 cm的线段AB上任取一点C,作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于15 cm2的概率为()A. B. C. D.(2)[2018·合肥一模]某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻,时长均为5分钟,则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台,能听到新闻的概率是()A. B.C.D.探究点三与面积有关的几何概型例3 (1)[2018·山东枣庄二模]七巧板图9-54-6是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图9-54-6是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A. B.C.D.(2)设点(a,b)为不等式组-表示的平面区域内的任意一点,则函数f(x)=ax2-2bx+3在区间上是增函数的概率为()A. B.C. D.[总结反思] 求与面积有关的几何概型的概率的常用处理方法:(1)判断是否为几何概型问题;(2)根据题意确定所求事件构成的区域图形,分别求出全部事件和所求事件对应的区域面积;(3)利用几何概型概率计算公式正确计算概率,需要注意计算的测度是否一致.图9-54-7变式题(1)[2018·湖南名校三联]已知以原点O为圆心,1为半径的圆以及函数y=x3的图像如图9-54-7所示,向圆内任意投掷一粒小米(视为质点),则该小米落入阴影部分的概率为()A.B.C.D.(2)某日,甲、乙两人随机选择早上6:00至7:00的某个时刻到达七星公园进行锻炼,则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为()A. B. C. D.探究点四与体积有关的几何概型例4 如图9-54-8,图9-54-8正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,则使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率为.[总结反思] 对于与体积有关的几何概型问题,求解的关键是计算问题的总体积(总空间)以及构成事件的区域的体积(事件空间),对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件去求解.变式题正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,AC1,BD1相交于O,在正方体内(含正方体表面)随机取一点M,则OM≤1的概率为()A. B. C. D.完成课时作业(五十四)。
名师对话高考总复习北师大版数学文科课时作业53(含答案详析)
课时作业 (五十三 )一、选择题1．从一堆苹果中任取10 只，称得它们的质量以下(单位：克)：125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在 [114.5,124.5)内的频次为() A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5分析：数据落在 [114.5,124.5)内的有： 120,122,116,120 共 4 个，故所求频次4为 10＝0.4.答案： C2．(2012 年安徽 )甲、乙两人在一次射击竞赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图以下图，则()A．甲的成绩的均匀数小于乙的成绩的均匀数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差分析：1x 甲＝ 5×(4＋ 5＋6＋7＋ 8)＝6，1x 乙＝5×(5×3＋6＋9)＝ 6，故甲的成绩的均匀数等于乙的成绩的均匀数．甲的成绩的方差为1225×(2×2＋1×2)＝2，乙的成绩的方差为1225×(1×3＋3×1)＝2.4，甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差．答案： C3 ．已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13,0.15 ， 0.14 ，0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是()A ．0.14,0.15B．0.15,0.14C．0.15,0.15D．0.15,0.145分析：把样本中的数据按从小到大摆列为：0．12,0.13,0.13,0.14,0.14,0.15,0.15,0.15,0.16，0.17，∴该样本的众数、中位数分别是0.15，0.14＋ 0.152＝0.145.答案： D4．甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩以下列图所示甲茎乙571688822367设 s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，x 1， x 2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的均匀数，则有()A. x1＝x 2，s1 2B. x1＝x 2，s1 2<s>s 12，s1 2D. x1＝ x 2， s1＝s2C. x > x>s11分析： x 1＝5(17＋15＋ 22＋28＋ 28)＝22， x2＝5(16＋18＋23＋26＋27)＝212122，s1＝5(25＋49＋0＋36＋36)＝29.2， s2＝5(36＋ 16＋1＋9＋25)＝17.4答案： B5．(2012 年江西 )样本 (x1，x2，， x n)的均匀数为 x ，样本 (y1，y2，， y m)的均匀数为 y ( x ≠ y )．若样本 (x1，x2，， x n， y1，y2，， y m的均匀数z ＝)1a x ＋ (1－a) y ，此中 0<a<2，则 n，m的大小关系为()A ．n<m B．n>mC．n＝m D．不可以确立分析：由于样本 (x1，2，， n， 1，2，， m的均匀数z ＝n x ＋m y＝x x y y y )m＋n1a x ＋ (1－a) y ，即 n x ＋m y ＝ a(m＋n) x ＋ (1－a)(m＋n) y ，此中 0<a<2，因此n<m.答案： A6．(2013 年温州八校联考 )以下图是一容量为100 的样本的频次散布直方图，则由图形中的数据，可知此中位数为()A ．12.5B．13C．13.5D．14分析：中位数是把频次散布直方图分红两个面积相等部分的平行于纵轴的直线横坐标，第一个矩形的面积是0.2，第二个矩形的面积是0.5，第三个矩形的面积是 0.3，故将第二个矩形分红即可，∴中位数是13.答案： B二、填空题7．某校举行 2013 年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数的茎叶统计图以下图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的均匀数和方差分别为 ________，________.分析：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87，其平12122均数为 84＋5(0＋0＋0＋2＋3)＝ 85，方差为 s ＝5[3×(84－85) ＋(86－85)＋(8728－85) ] ＝5.8答案： 8558．(2012 年大同质检 )将容量为 n 的样本中的数据分红 6 组，绘制频次散布直方图．若第一组至第六组数据的频次之比为2∶3∶4∶6∶4∶ 1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于 ________．分析：设第一组至第六组的样本数据的频数分别为2x,3x,4x,6x,4x，x，则2x ＋ 3x＋4x＝ 27，解得x＝3，故n＝ 20，x＝60.答案： 609．(2012年北京西城模拟)某区高二年级的一次数学统考取，随机抽取200名同学的成绩，成绩所有在50 分至100 分之间，将成绩按以下方式分红 5 组：第一组，成绩大于等于50 分且小于 60 分；第二组，成绩大于等于60 分且小于70 分；第五组，成绩大于等于90 分且小于等于 100 分，据此绘制了如图所示的频次散布直方图．则这 200 名同学中成绩大于等于80 分且小于 90 分的学生有 ________名．分析：由题知，成绩大于等于80 分且小于90 分的学生所占的频次为1－(0.005×2＋0.025＋0.045)×10＝ 0.2，因此这 200 名同学中成绩大于等于80 分且小于 90 分的学生有 200×0.2＝40 名．答案： 40三、解答题10．某市统计局就某地居民的月收入检查了10 000 人，并依据所得数据画出样本的频次散布直方图以下图．(每个分组包含左端点，不包含右端点，如第一组表示 [1 000,1 500)．(1)求居民收入在 [3 000,3 500)的频次；(2)依据频次散布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了剖析居民的收入与年纪、职业等方面的关系，一定按月收入再从这10 000 人中按分层抽样方法抽出100 人作进一步剖析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽取多少人？解： (1)月收入在 [3 000,3 500)的频次为0．000 3×(3 500－ 3 000)＝ 0.15.(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝ 0.1，0．000 4×(2 000－ 1 500)＝ 0.2，0．000 5×(2 500－ 2 000)＝ 0.25，0．1＋ 0.2＋ 0.25＝0.55>0.5，因此，样本数据的中位数为2 000＋0.5－ 0.1＋ 0.2＝2 000＋400＝2 400(元)．0.000 5(3)居民月收入在 [2 500,3 000) 的频数为 0.25× 10 000＝2 500(人 )，从 10 000100人顶用分层抽样方法抽出100 人，则月收入在 [2 500,3 000)的这段应抽取10 000×2 500＝25(人)．11．甲、乙两台机床同时生产一种部件，在10 天中，两台机床每日出的次品数分别是：甲010*******乙2311021101分别计算两个样本的均匀数与方差，从计算结果看，哪台机床10 天生产中出次品的均匀数较小？出次品的颠簸较小？1解： x 甲＝10× (0×3＋1×2＋2×3＋3×1＋4×1)＝1.5，1x 乙＝10×(0× 2＋ 1×5＋2×2＋3×1)＝ 1.2，2122222 s甲＝10× [(0－ 1.5)＋ (1－ 1.5)＋ (0 － 1.5)＋＋ (2－ 1.5)＋ (4－ 1.5) ] ＝1.65，21×[(2－1.2)2＋－2＋－2－2＋－2＝乙＝(3 1.2)(1 1.2)＋＋(0 1.2)(1 1.2) ]0.76.s10从结果看乙台机床10 天生产出次品的均匀数较小，出次品的颠簸也较小．12．为了认识一个小水库中养殖的鱼的相关状况，从这个水库中多个不一样地点捕捞出100 条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频次散布直方图 (以下图 )．(1)在下边的表格中填写相应的频次；分组频次[1.00,1.05)[1.05,1.10)[1.10,1.15)[1.15,1.20)[1.20,1.25)[1.25,1.30)(2)预计数据落在 [1.15,1.30)中的概率为多少；(3)将上边捕捞的100 条鱼分别作一记号后再放回水库，几日后再从水库的多处不一样地点捕捞出 120 条鱼，此中带有记号的鱼有 6条，请依据这一状况来估计该水库中鱼的总条数．解： (1)依据频次散布直方图可知，频次＝组距 × (频次 /组距 )，故可得下表分组频次[1.00,1.05)0.05[1.05,1.10)0.20[1.10,1.15)0.28[1.15,1.20)0.30[1.20,1.25)0.15[1.25,1.30)0.02(2)0.30＋0.15＋ 0.02＝0.47，因此数据落在 [1.15，1.30)中的概率约为 0.47.(3)120× 100＝2 000，因此预计该水库中鱼的总条数为6 2 000.[热门展望 ]13．200 辆汽车经过某一雷达测速地域，时速频次散布直方图以下图，则时速超出 60 km/h 的汽车数目为( )A ．65 辆B ．76 辆C ．88 辆D ．95 辆分析：时速超出 60km/h 的汽车的频次为 (0.028＋0.010)×10＝0.38，故所求汽车数目为 200×0.38＝76(辆)．答案： B14．如图是某赛季 CBA 广东东莞银行队甲、乙两名篮球运动员每场竞赛得分的茎叶图，则甲、乙两人竞赛得分的中位数之和是________.甲乙21232323142234531146340409分析：中位数是将数据按由大到小或由小到大的次序摆列起来，最中间的一个数或中间两个数的均匀数．甲竞赛得分的中位数为34，乙竞赛得分的中位数为 24，故其和为 58.答案： 5815．某中学的高二 (1)班男同学有45 名，女同学有15 名，老师依据分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组．(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、议论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项试验，方法是先从小组内选出 1 名同学做试验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)试验结束后，第一次做试验的同学获得的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学获得的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的试验更稳定？并说明原因．n 41解： (1)P＝m＝60＝15，∴某同学被抽到的概率为1 15.设有x 名男同学，则45 x60＝4，∴x＝ 3.∴男、女同学的人数分别为 3,1.(2)把 3 名男同学和 1 名女同学记为 a1， a2，a3， b，则选用两名同学的基本事件有 (a1，a2)，(a1， a3 )， (a1，b)， (a2， a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b， a1 )， (b，a2)，(b，a3)共 12 种，此中有一名女同学的有 6 种，6 1∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P＝12＝2.68＋70＋71＋72＋74(3) x1＝＝71，569＋ 70＋70＋72＋ 74x2＝＝71，5s12＝68－71 2＋＋ 74－71 2＝4，5269－71 2＋＋ 74－71 2＝3.2. s2＝5第二位同学的试验更稳固．。
高考数学一轮复习 几种基本语句课时作业53 文 北师大版
高考数学一轮复习 几种基本语句课时作业53 文 北师大版一、选择题1．下边的程序语句输出的结果S 为( )A ．17B ．19C ．21D ．23解析：i 从1开始，依次取3,5,7,9，…，当i <8时，循环继续进行，故当i ＝9时，跳出循环，故输出S ＝2×7＋3＝17.答案：A2．读程序当输出的y 的范围大于1时，则输入的x 值的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：由程序可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 x >0x ≤0，∵y >1，∴①当x ≤0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1>1，即2－x >2， ∴－x >1，∴x <－1.②当x >0时，x >1，即x >1， 故输入的x 值的范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：C3．下边方框中为一个求20个数的平均数的程序，则在横线上应填的语句为( )A ．i>20B ．i<20C ．i>＝20D ．i<＝20解析：该算法程序中，使用了UNTIL 循环语句，按照该种循环特征，当某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL 句的后面，执行其他的语句．根据问题要求，应填i>20.答案：A4．下面程序运行的结果是( )A ．5050B ．5049C ．3D ．2解析：读程序框图如，该框图的功能是求S＝1＋2＋…＋100的值．由等差数列求和公式S＝1002(1＋100)＝5050.答案：A5．四位二进制数能表示的最大十进制数是( )A．4 B．15C．64 D．127解析：1111(2)＝1×23＋1×22＋1×21＋1×20＝8＋4＋2＋1＝15.答案：B6．当a＝3时，下面的程序段输出的结果是( )A．9 B．3C．10 D．6解析：根据条件3<10，故y＝2×3＝6.答案：D二、填空题7．[2011·福建卷]运行如图所示的程序，输出的结果是________．a＝1b＝2a＝a＋bPRINT aEND解析：由已知，输入a＝1，b＝2，把a＋b的值赋给a，输出a＝3.答案：38．[2011·江苏卷] 根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m 的值为________．Read a ，bIf a >b Thenm ←aElse m ←bEnd If Print m解析： 因为a ＝2<b ＝3，所以m ＝3.答案：39．老师要求学生写一个“已知一n 项数列{a n }，满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2，(n ≥3，n ∈N )，计算a n .”的算法框图．下图是王华同学写出的框图，老师检查后发现有几处错误．其错误的序号是__________(写出所有错地方的序号)．答案：(4)(2)(7)(10)三、解答题10．设计算法求1＋13＋15＋…＋119的值，画出程序框图，并编写程序． 解：程序框图：程序：11．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋11x 2＋1 x <0，x ＝0，x >0.编写程序，输入自变量x 的值，输出其相应的函数值，并画出程序框图．解：程序框图如图所示：程序如下：12．用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加上欠款的利息，若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购买冰箱钱全部付清后，实际共付出款额多少元？画出程序框图，写出程序．解：购买时付款150元，余款1000元分20次付清，每次的付款数组成一个数列{a n}．a1＝50＋(1150－150)×1%＝60(元)，a2＝50＋(1150－150－50)×1%＝59.5(元)，…a n＝50＋[1150－150－(n－1)×50]×1%＝60－12(n －1)(n ＝1,2…，20)． ∴a 20＝60－12×19＝50.5. 总和S ＝150＋60＋59.5＋…＋50.5. 程序框图如图：程序：。
2020届高考文科数学一轮(新课标通用)训练检测：考点测试53 几何概型 Word版含解析
考点测试53 几何概型高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考纲研读1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率 2．了解几何概型的意义一、基础小题1．在区间(0，4)上任取一数x ，则14<2x －1<1的概率是( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．34 答案 C解析 由题设可得－2<x －1<0，即－1<x <1，所以d ＝1，D ＝4，则由几何概型的概率公式可知所求概率P ＝14．故选C ．2．取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为( )A ．2πB ．π－2πC ．2πD ．π4 答案 B解析 设圆的半径为r ，所以正方形的边长为2r ，正方形的面积为2r 2，圆的面积为πr 2，∴所求概率P ＝1－2r 2πr 2＝π－2π．3．要产生[－3，3]上的均匀随机数y ，现有[0，1]上的均匀随机数x ，则进行平移与伸缩变换为( )A ．－3xB ．3xC ．6x －3D ．－6x －3 答案 C解析 利用伸缩和平移变换进行判断得－3≤6x －3≤3，故y 取6x －3． 4．在圆心角∠AOB 为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为( )A ．13B ．23C ．14D ．34 答案 A解析 记M ＝“射线OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”．如图所示，作射线OD ，OE 使∠AOD ＝30°，∠AOE ＝60°．当OC 在∠DOE 内时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90．所以P (M )＝3090＝13．5．一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5 m ，4 m ，3 m ，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是( )A ．2πB ．π－2πC ．2πD ．π120 答案 D解析 屋子的体积为5×4×3＝60 m 3，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×4π3×13×3＝π2 m 3，故苍蝇被捕捉的概率是＝π260＝π120．6．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A ．12B ．32C ．13D ．14答案 C解析当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝2π32π＝13．故选C ．7．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，即可中奖，小明希望中奖，则他应当选择的游戏盘为( )答案 A解析 A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4(其中r 为圆的半径)，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π(其中r 为圆的半径)，故A 游戏盘的中奖概率最大．故选A ．8．向等腰直角三角形ABC (其中AC ＝BC )内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为( )A ．22B ．1－22C ．π8D ．π4答案 D解析 以A 为圆心，AC 为半径画弧与AB 交于点D ．依题意，满足条件的概率P ＝S 扇形ACD S △ABC ＝π8·AC212AC2＝π4．故选D ．9．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A ．13B ．23C ．14D ．34 答案 B解析 不妨设矩形的长为x cm ，则宽为(12－x ) cm ，由x (12－x )>20，解得2<x <10，所以该矩形的面积大于20 cm 2的概率为10－212＝23．故选B ．10．如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0．18解析 由题意知，S 阴S 正＝1801000＝0．18．∵S 正＝1，∴S 阴＝0．18．11．过等腰Rt △ABC 的直角顶点C 在∠ACB 内部随机作一条射线，设射线与AB 相交于点D ，则AD <AC 的概率是________．答案 0．75解析 在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接CE (如图)，则当射线CD 落在∠ACE 内部时，AD <AC ．易知∠ACE ＝67．5°，∴AD <AC 的概率P ＝67.5°90°＝0．75．12．利用随机模拟方法计算y ＝x 2与y ＝4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a 1＝RAND ，b 1＝RAND ，然后进行平移与伸缩变换a ＝a 1·4－2，b ＝b 1·4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a 1＝0．3，b 1＝0．8及a 1＝0．4，b 1＝0．3，那么本次模拟得出的面积约为________．答案 10．72解析 由a 1＝0．3，b 1＝0．8，得a ＝－0．8，b ＝3．2，(－0．8，3．2)落在y ＝x 2与y ＝4围成的区域内；由a 1＝0．4，b 1＝0．3，得a ＝－0．4，b ＝1．2，(－0．4，1．2)落在y ＝x 2与y ＝4围成的区域内，所以本次模拟得出的面积约为16×67100＝10．72．二、高考小题13．(2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3 答案 A解析 不妨取AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积为S △ABC ＝2；区域Ⅲ的面积为π－2；区域Ⅱ的面积为π－(π－2)＝2，所以根据几何概型的概率公式，易得p 1＝p 2．故选A ．14．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S正方形＝4．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8．故选B ． 15．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34 答案 B解析 解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12．故选B ．解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12．故选B ．16．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m n 答案 C解析 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝π412⇒π＝4mn ．故选C ．17．(2015·湖北高考)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1 C ．12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2 答案 D解析 如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1．事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12；事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D ．18．(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．答案 59解析 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2，3]．如图，区间[－4，5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59．三、模拟小题19．(2018·唐山模拟)右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为( )A ．8B ．9C ．10D ．12 答案 B解析 根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积S ＝4×4×225400＝9．故选B ．20．(2018·郑州质检三)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为( )A ．932B ．516C ．38D ．716 答案 C解析 设正方形的边长为2，则由几何概型的概率公式，知所求概率为2×1×12＋1×1222＝38．故选C ．21．(2018·合肥质检三)如图所示的图形是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N ，落在圆内的豆子个数为M ，则估计圆周率π的值为( )A ．23MN B ．3M N C ．3M N D ．23M N答案 D解析 设圆的半径为r ，则根据几何概型的概率公式，可得MN ＝πr 26×34×23·r2，故π＝23MN ，选D ．22．(2018·福建质检)如图，已知曲线y ＝sin πx2＋3把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分．若在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．13C ．38D ．34 答案 A解析如图，点D ，E 在直线y ＝3上，F 为y ＝3与曲线y ＝sin πx2＋3(0＜x ＜4)的交点．将y ＝3代入y ＝sin πx 2＋3得sin πx2＝0．又因为0＜x ＜4，所以x ＝2．由正弦函数的性质可知y ＝sin πx2＋3的图象关于点F (2，3)对称，所以阴影部分的面积S ＝S四边形BCDE＝4×(4－3)＝4．又因为S正方形OABC＝4×4＝16，所以此点取自黑色部分的概率是416＝14．故选A ．23．(2018·长春质检二)若向区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤1，0≤y ≤1}内投点，则该点到原点的距离小于1的概率为________．答案 π4解析 如图，由题意知区域Ω的面积为1，在区域Ω内，到原点的距离小于1的区域为阴影部分，即四分之一个圆，其面积为π4，所以所求概率为π4．24．(2018·合肥质检二)小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00～6：00之间送货上门．已知小李下班到家的时间为下午5：30～6：00．快递员到小李家时，若小李未到家，就将商品存放快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于________．答案 34解析 设快递员到小李家的时间为5点x 分，小李到家的时间为5点y 分，则依题意，若需要去快递柜收取商品，需满足⎩⎨⎧0≤x ≤60，30≤y ≤60，y －x >0，则可行域所表示的区域为图中阴影部分．由于随机试验落在矩形方框内的任何位置的等可能性，进而依据几何概型的概率公式，可得小李需要去快递柜收取商品的概率为12×(30＋60)×3030×60＝34．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·湖北黄冈、黄石等八市联考)若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，求张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率．解 设第一天工作的时间为x 小时，第二天工作的时间为y 小时，则⎩⎨⎧ 6≤x ≤9，6≤y ≤9，因为连续两天平均工作时间不少于7小时，所以x ＋y 2≥7，即x ＋y ≥14，⎩⎨⎧6≤x ≤9，6≤y ≤9表示的区域面积为9，其中满足x ＋y ≥14的区域面积为9－12×2×2＝7，∴张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是79．2．(2018·安徽皖南地区调研)某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位：小时)，如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如下表：(1)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a 小时，求a 的值；(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．解 (1)a ＝1100×(2．5×12＋3×12＋3．5×17＋4×20＋4．5×15＋5×13＋5．5×8＋6×3)＝4．(2)设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，则⎩⎨⎧0<x <24，0<y <24，若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|y －x |<4，符合题意的区域为阴影部分(不包括x ，y 轴)，所以所求概率P ＝24×24－2×12×20×2024×24＝1136，则这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为1136． 3．(2018·山东临沂一模)设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1，2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝b x ．(1)若a ∈{1，4}，b ∈{－1，1，4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1，4]，b ∈[1，4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率． 解 (1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1，2])所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a >0，b >0时， ax ＋b x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，b a 上递减，在⎝⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞上递增；x －1x 和4x －1x 在(0，＋∞)上递增，∴对x ∈[1，2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ， 故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23．(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1，4]中任取的数，b 是从区间[1，4]中任取的数， ∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的矩形区域． 要使x ∈[1，2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立， 需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b2≤8， ∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分．∴P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3＝1924，故所求概率是1924．。
2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习试题：第八章+立体几何+课时规范练35+Word版含答案
2020版高考文科数学（北师大版）一轮复习试题课时规范练35空间几何体的三视图、直观图基础巩固组1.(2018四川成都期中,4)下列说法中正确的是()A.斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B.水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C.一个直四棱柱的主视图和左视图都是矩形,则该直四棱柱就是长方体D.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台2.(2018河北衡水中学二调,4)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图是()3.(2018黑龙江实验中学期末,6)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.2C.3D.24.(2018重庆一中月考,7)已知一个三棱柱高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图所示),则此三棱柱的体积为()A. B.6 C. D.35.(2018上海浦东新区三模,14)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点(如图)用过点B、E、D1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()6.(2018山东济南一模,8)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BD1的中点,则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是()A.①②B.①④C.②③D.②④7.(2018四川南充高中模拟,6)在正方体中,M,N,P分别为棱DD1、D1A1、A1B1的中点(如图),用过点M,N,P的平面截去该正方体的顶点C1所在的部分,则剩余几何体的主视图为()8.(2018北京通州三模,6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长度为()A.1B.C.D.29.一水平放置的平面四边形OABC,用斜二测画法画出它的直观图O'A'B'C'如图所示,此直观图恰好是一个边长为1的正方形,则原平面四边形OABC的面积为.10.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD的主视图与左视图的面积之比为.。
2020届一轮复习北师大版第3讲几何概型学案
第3讲几何概型[最新考纲]1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义.知识梳理几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．(3)公式：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).辨析感悟1．对几何概型的理解(1)(教材习题改编)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)2．几何概型的计算(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝1 9.(×)(5)(2018·福建卷改编)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为1 3.(√)[感悟·提升]1．一个区别“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．2．一点提醒 几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，如(3).学生用书第186页考点一 与长度、角度有关的几何概型【例1】 (1)(2018·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.(2)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作 射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为________． 解析 (1)由题意知m ＞0，当m ≤2时，满足|x |≤m 的概率为m －(－m )4－(－2)＝2m 6＝56，解得m ＝52(舍去)．当2＜m ≤4时，所求概率为m ＋26＝56，∴m ＝3. (2)∵∠B ＝60°，∠C ＝45°，∴∠BAC ＝75°， 在Rt △ADB 中，AD ＝3，∠B ＝60°， ∴BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式得P (N )＝30°75°＝25. 答案 (1)3 (2)25规律方法 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比． 【训练1】 (1)(2018·淄博二模)设P 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( )． A.15B.25C.35D.45(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________． 解析 (1)方程有实根，则Δ＝p 2－4≥0， 解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．所以所求概率为5－25－0＝35.(2)因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域h 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB∠DAB ＝30°90°＝13.答案 (1)C (2)13考点二 与面积有关的几何概型【例2】 (1)(2018·陕西卷)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )．A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2 D.π4(2)(2018·北京卷)设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )． A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π4解析 (1)依题意知，有信号的区域面积为π4×2＝π2，矩形面积为2，故无信号的概率P ＝2－π22＝1－π4.(2)如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4.故选D. 答案 (1)A (2)D规律方法 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P (A )＝构成事件A 的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.【训练2】 已知x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )．A.316B.38C.34D.32解析 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积为12×32×1＋12×32×1＝32，则所求概率为322×2＝38.答案 B考点三 与体积有关的几何概型【例3】 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．审题路线 画出正方体⇒找出以点O 为中心且到O 点的距离等于1的几何体(球)⇒利用球的体积公式及几何概型的概率公式求解．解析 点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. 答案 1－π12规律方法 很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．【训练3】 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内 随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________ 解析 当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.答案 121．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．学生用书第187页教你审题11——几何概型中有关平面几何的“临界点”的探求【典例】 (2018·湖南卷)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB ＝( )．A.12B.14C.32D.74[审题] 一审条件：在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ；二审过程：如何确定△APB 的最大边是AB ？找出BP ＝AB 与AP ＝AB 的“临界点”；三审结论：要求ADAB ，利用直角三角中的勾股定理找出AD 与AB 的关系式． 解析 矩形ABCD 如图所示，在点P 从D 点向C 点运动过程中，DP 在增大，AP 也在增大，而BP 在逐渐减小，当P 点到P 1位置时，BA ＝BP 1，当P 点到P 2位置时，AB ＝AP 2，故点P 在线段P 1P 2上时，△ABP 中边AB 最大，由已知事件发生的概率为12可得P1P2＝12CD.在Rt△BCP1中，BP21＝916CD2＋BC2＝916AB2＋AD2＝AB2.即AD2＝716AB2，所以AD AB＝74.答案D[反思感悟] (1)解决有关长度、角度、面积、体积的几何概型问题，关键是动点的轨迹的判断，在“动”中求“静”，也就是找出符合题设条件的“临界点”．(2)此类试题常与平面几何图形、不等式组表示的平面区域、直线与圆等知识综合考查，难度稍大．【自主体验】已知M：⎩⎨⎧0≤x≤2，0≤y≤2，定点A(3,1)，在M内任取一点P，使得P A≤2的概率等于________．解析如图所示，区域M是一个边长为2的正方形，其面积为S＝22＝4；满足P A≤2的点P在以点A(3,1)为圆心，2为半径的圆内．如图，作出圆A，则扇形ABC的圆心角∠BAC＝π2，故扇形ABC的面积S1＝14×π×(2)2＝π2，S△ABC＝S2＝12×AB×AC＝12×2×2＝1，所以阴影部分弓形的面积S3＝S1－S2＝π2－1.所以所求事件的概率为P＝S3S＝π2－14＝π－28.答案π－28能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1. 如图所示，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长超过2R 的概率为( )．A.15B.14C.13D.12解析 如图，在圆上过圆心O 作与OM 垂直的直径CD ，则MD ＝MC ＝2R ，当点N 不在半圆弧上时，MN ＞2R ，故所求的概率P (A )＝πR 2πR ＝12.答案 D2．(2018·湖北卷)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )．A.12－1πB.1π C ．1－2π D.2π解析 如图，设OA ＝2，S 扇形AOB ＝π，S △OCD ＝12×1×1＝12，S 扇形OCD ＝π4，∴在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12＝1，所有阴影面积为π－2.故所求概率P ＝π－1×2π＝1－2π.答案 C二、填空题3．(2018·烟台二模)已知正三棱锥S －ABC 的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC <12V S －ABC 的概率是________．解析 三棱锥P －ABC 与三棱锥S －ABC 的底面相同，V P －ABC <12V S －ABC 就是三棱锥P －ABC 的高小于三棱锥S －ABC 的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC 的面积为S ，三棱锥S －ABC 的高为h ，则所求概率为：P ＝13Sh －13×14S ×12h 13Sh ＝78.答案 78三、解答题4．设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A ，B 除外)，将线段AB 分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎨⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎨⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6，所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎨⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎨⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3，所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.。
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课时练53 几何概型1.(2019山东德州模拟,4)如图,在边长为2的正方形中,随机撒1 000粒豆子,若按π≈3计算,估计落到阴影部分的豆子数为( ) A.125 B.150 C.175D.2001,则圆的面积近似为3,又正方形面积为4,则阴影部分面积为12×(4-3)=12=0.5.设落到阴影部分的豆子数为n ,则n=12,n=125.故选A .2.《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A .2π15 B .3π20 C.1-2π15D.1-3π20,直角三角形的斜边长为√52+122=13, 设内切圆的半径为r ,则5-r+12-r=13,解得r=2,∴内切圆的面积为πr 2=4π,∴豆子落在其内切圆外部的概率是P=1-4π12×5×12=1-2π15,故选C .3.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=x+b.当实数b∈[0,6]时,圆C上恰有2个点到直线l的距离为1的概率为()A.√23B.√22C.12D.13C的圆心坐标为O(0,0),半径为2,直线l为:x-y+b=0.当√2=3,即b=3√2时,圆上恰有一个点到直线l距离为1,当√2=1,即b=√2时,圆上恰有3个点到直线l距离为1.∴当b∈(√2,3√2)时,圆上恰有2个点到直线l的距离为1,故概率为3√2-√26=√23.故选A.4.(2019山东菏泽一模拟,6)在区间[-π4,π4]上随机取一个数x,则sin 2x的值介于0到√32之间的概率为()A.13B.12C.23D.34[-π4,π4]内满足0≤sin 2x≤√32关系的x的范围为[0,π6],故概率为π6π2=13,故选A.5.(2019陕西咸阳三模,12)三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直,D为侧棱PA的中点,E,F分别为棱PB,PC 上一点,DE∥平面ABC,PF=2FC,若从三棱锥P-ABC内部随机选取一点,则此点取自三棱锥P-DEF内部的概率为()A.112B.18C.16D.13DE∥平面ABC,DE⊂平面PAB,平面PAB∩平面ABC=AB,所以DE∥AB,所以V P-DEFV P-ABC =12×12×23=16,即所求概率为16.故选C.6.(2019安徽黄山质检,6)谢尔宾斯基三角形(Sierpinski triangle)是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.在一个正三角形中,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色三角形代表挖去的部分,黑色三角形为剩下的部分,我们称此三角形为谢尔宾斯基三角形.若在图(3)内随机取一点,则此点取自谢尔宾斯基三角形的概率是( )A .13B .14C .916D .516:图(2)挖去的白色三角形的面积为图(1)整个黑色三角形面积的14,在图(2)中的每个小黑色三角形中再挖去的每一个白色三角形的面积仍为图(2)中每一个黑色三角形面积的14,即为图(1)大黑色三角形面积的116,∴图(3)中白色三角形的面积共占图(1)黑色三角形面积的316+14=716,∴谢尔宾斯基三角形的面积为1-716=916,故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为916,故选C .7.(2019安徽芜湖模拟,8)19世纪德国工程师勒洛发现了一种神奇“三角形”能够像圆一样当作轮子用,并将其命名为勒洛三角形,这种三角形是三个等半径的圆两两互相经过圆心,三个圆相交的部分就是勒洛三角形,如图所示,现从图中的勒洛三角形内部随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )A √34π-2√3B .2√3π3-3 C √32π-2√3D √32π-2√3解析设圆半径为R ,因为阴影部分面积为S 1=3π6R 2-√34R 2=2π-3√34R 2,勒洛三角形的面积为S=S 1+√34R 2=π-√32R 2,若从勒洛三角形内部随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为P=S1S =√32π-2√3.故选D .8.(2019四川成都二诊9,10)在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a ,b ,则使得函数f (x )=x 2+2ax-b 2+π有零点的概率为( )A .78B .34C .12D .14f (x )=x 2+2ax-b 2+π有零点,所以Δ=4a 2-4(-b 2+π)≥0,∴a 2+b2≥π,所以所求概率为2π×2π-π·(√π)2=3,故选B .9.(2019重庆一中模拟,4)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现.下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法.在△ABC 内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为 .S △ABC =12ah ,S 矩形=a2h ,∴S △ABC =S 矩形.所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一,所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一,故该点落在标记“盈”的区域的概率为14. 10.(2019江西吉安一中、九江一中、新余一中等八校联考,9)“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角α=π,现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在阴影部分的概率是 ( )A .58B .12C .34D .781,则由直角三角形中较小的锐角α=π12,得此直角三角形另外直角边长为2+√3,斜边长√6+√2,则小正方形的边长为1+√3,大正方形的边长为√6+√2,设“飞镖落在阴影部分”为事件A ,由几何概型中的面积型可得:P (A )=(1+√3)2+12×1×(2+√3)(6+2)2=58,故选A .11.2018年平昌冬季奥运会于2月9日~2月25日举行,为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P ,某学生设计了如下的计算机模拟,通过计算机模拟在长为8,宽为5的长方形内随机取了N 个点,经统计落入五环及其内部的点数为n 个,圆环半径为1,则比值P 的近似值为( ) A .32n5πN B .32nπN C .8n πND .5πn32NS 1,矩形的面积为S=8×5=40,在长方形内随机取了N 个点,经统计落入五环及其内部的点数为n 个,根据面积比的几何概型概率公式得S 1S =n N ,则S 1=n N S=40nN .单独五个环的面积为S 3=5π×12=5π,所以奥运会所占面积与单独五个环面积和的比例为P=40n N=8n,故选C . 12.(2019江西名校(临川一中、南昌二中)联考,8)如图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设DF=3AF=3,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形的概率是( ) A .3B .√21C .4D .2√13,DF=3AF=3,可得AF=BD=1,AD=4,且∠ADB=120°,所以在三角形ADB 中,cos ∠ADB=AD 2+B D 2-AB 22AD ·BD , 解得AB=√21,所以概率为P=√34DF 234AB=921=37,故选A .13.(2019广东一模,4)古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论,利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点,具体方法如下:①取线段AB=2,过点B 作AB 的垂线,并用圆规在垂线上截取BC=12AB ,连接AC ;②以C 为圆心,BC 为半径画弧,交AC 于点D ;③以A 为圆心,以AD 为半径画弧,交AB 于点E.则点E 即为线段AB 的黄金分割点.若在线段AB 上随机取一点F ,则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为( )(参考数据:√5≈2.236) A.0.236 B.0.382 C.0.472 D.0.618AC=√5≈2.236,由图可知BC=CD=1,AD=AE=√5-1≈1.236,BE ≈2-1.236=0.764, 则0.764≤AF ≤1.236,由几何概型可得,使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为1.236-0.7642=0.236,故选A .14.如图,在菱形ABCD 中,AB=2,∠ABC=60°,以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点,则该点取自黑色部分的概率是 .-√3πABCD 中,∵AB=2,∠ABC=60°,S 菱形ABCD =2×2×sin 60°=2√3,以A 和C 为圆心的扇形面积和为2×12×2π3×1=2π3, 以B 和D 为圆心的扇形面积和为2×12×π3×1=π3,∴菱形内空白部分的面积为π.则在菱形内随机取一点,该点取自黑色部分的概率是√3-2√3=6-√3π6. 故答案为1-√3π.15.已知向量a =(2,1),b =(x ,y ).(1)若x ∈{-1,0,1,2},y ∈{-1,0,1},求向量a ∥b 的概率; (2)若x ∈[-1,2],y ∈[-1,1],求向量a ,b 的夹角是钝角的概率.设“a ∥b ”为事件A ,由a ∥b ,得x=2y.所有基本事件为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共12个基本事件.其中A={(0,0),(2,1)},包含2个基本事件.则P (A )=212=16,即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ,b 的夹角是钝角”为事件B ,由a ,b 的夹角是钝角,可得a ·b <0,即2x+y<0,且x ≠2y. 基本事件为(x ,y ){-1≤x ≤2,-1≤y ≤1}所表示的区域,B=(x ,y ){-1≤x ≤2,-1≤y ≤1,2x +y <0,x ≠2y},如图,区域B 为图中阴影部分去掉直线x-2y=0上的点,所以,P (B )=12×(12+32)×2=1,即向量a ,b 的夹角是钝角的概率是13.16.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如表:(单位:人)(1)能否有99%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. 附表及公式:χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ).由表中数据得χ2=50×(22×12-8×8)230×20×30×20≈5.556<6.631,所以没有99%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x 、y 分钟,则基本事件满足的区域为{5≤x ≤7,6≤y ≤8,(如图所示),设事件A 为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为x>y ,∴由几何概型P (A )=12×1×1=1,即乙比甲先解答完的概率为1.。