2006年中考数学第一轮复习专题训练八二次函数及其应用含答案原创-新课标
历年初三数学中考复习二次函数练习及答案
第四节二次函数【回顾与思考】【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1（1）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M（b，ca）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(1) (2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．会用待定系数法求二次函数解析式例2如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2．（1）写出y与x的关系式；（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例3 已知抛物线y=12x2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．【考点精练】基础训练1．二次函数y=x2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A．y=x2+3 B．y=x2-3 C．y=（x+3）2 D．y=（x-3）22．二次函数y=-（x-1）2+3图像的顶点坐标是（）A．（-1，3） B．（1，3） C．（-1，-3） D．（1，-3）3．二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点的横坐标是（）A．2和-3 B．-2和3 C．2和3 D．-2和-34．二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a>0；②c>0；•③b2-4ac>0，其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y•的对应值，判断方程a x2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x 6.17 6.18 6.19 6.20y=a x2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04A．C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.206．二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0时y=-4则（）A．y最大=-4 B．y最小=-4 C．y最大=-3 D．y最小=37．抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是x=______．8．将抛物线y=x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，•则此时抛物线的解析式是________．9．已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式________．10．函数y=x2+bx-c的图象经过点（1，2），则b-c的值为______．能力提升11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC•的三个顶点A，B，C，则ac的值是________．12．观察下面的表格：x 0 1 2a x2 2ax2+bx+c 4 6（1）求a，b，c的值，并在表格内的空格中填上正确的数；（2）求二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标与对称轴．13．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，•其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y=a x2+bx+c当x<0时的图象；（3）利用抛物线y=a x2+bx+c，写出x为何值时，y>0．14．如图，P为抛物线y=34x2-32x+14上对称轴右侧的一点，且点P在x轴上方，过点P作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面15．枇杷是莆田名果之一．某果园有100棵枇杷树，每棵平均产量为40千克．现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，•那么树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少．根据实践经验，每多种一棵树，•投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克．问：增种多少棵枇杷树，•投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？[注：抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是（-2ba，244ac b a ）]应用与探究16．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a （x-1）2+k •的图像与x 轴相交于点A 、B ，顶点为C ，点D 在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD•是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．例题经典 例1：（1）D （2）B 例2：（1）y=2x 2，（2）8；24.5；（3）5秒．例3：（1）顶点（-1，-3），对称轴x=-1，（2）26 考点精练1．D 2．B 3．A 4．C 5．C 6．C 7．x=-1 8．y=（x+4）2-2（y=x 2+8x+14） 9．答案不唯一，符合要求即可．如：y=x 2-2 10．1 11．-2 12．（1）a=2，b=-3，c=4，0，8，3 （2）顶点（34，238）对称轴是直线x=34 13．（1）y=-12x 2+32x+2，顶点坐标（32，258） （2）略，（3）当-1<x<4时，y>0． 14．∵PA ⊥x 轴，AP=1，∴点P 的纵坐标为1．当y=1时，34x 2-32x+14=1，即x 2-2x-1=0，•解得x 1=1+2，x 2=1-2，∵抛物线的对称轴为x=1，点P 在对称轴的右侧，∴x=1+2，∴矩形PAOB 的面积为（1+2）个平方单位． 15．设增种x 棵时，果园的总产量为y 千克，根据题意得：y=（100+x ）（40-0.25x ）=4000-25x+40x-0.25x 2=-0.25x 2+15x+4000， ∵a=-0.25<0，∴当x=-2b a =-1520.25-⨯=30时，y 最大，•y 最大值=244ac b a-=24(0.25)4000154(0.25)⨯-⨯-⨯-=4225．答：当增种30棵枇杷树时，投产后果园总产量最多，达4225千克．16．解：本题共四种情况，设二次函数的图像的对称轴与x 轴相交于点E ， （1）•如图①，当∠CAD=60°时，因为ABCD 为菱形，一边长为2，所以DE=1，3B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（1，-1）， 解得k=-1，a=13，所以y=13（x-1）2-1． （2）如图②，当∠ACB=•60°时，由菱形性质知点A 的坐标为（0，0），点C 的坐标为（13），解得3，33（x-1）23 同理可得：y=-13（x-1）2+1=，3x-1）23， 所以符合条件的二次函数的表达式有：。
中考数学第一轮复习专题训练八二次函数及其应用含答案
2014年中考数学第一轮复习专题训练（二次函数及其应用）一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）１、抛物线 y ＝－x 2＋1 的开口向＿＿＿＿。
２、抛物线 y ＝2x 2的对称轴是＿＿＿＿。
３、函数 y ＝2 (x －1)2图象的顶点坐标为＿＿＿＿。
４、将抛物线 y ＝2x 2向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿。
５、函数 y ＝x 2＋bx ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝＿＿＿＿。
６、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值。
７、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随x 的增大而增大。
８、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿。
９、若点 A ( 2, m) 在函数 y ＝x 2－1 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿。
10、抛物线 y ＝2x 2＋3x －4 与 y 轴的交点坐标是＿＿。
11、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
12、已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示：则这个二次函数的解析式是 y ＝＿＿＿。
二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、在圆的面积公式 S ＝πr 2中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系２、已知函数 y ＝(m ＋2) 22m x 是二次函数，则 m 等于（ ）A 、±2 B 、2 C 、－2 D 、±2 ３、已知 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则 a 、b 、c 满足（ ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＜0 B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0 C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0 D 、a ＜0，b ＜0，c ＞0 ４、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ） AB CD５、抛物线 y ＝－x 2不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点６、抛物线 y ＝x 2－4x ＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ）A 、0B 、4C 、－4D 、2三、解答题：（每题 9 分，共 45 分）１、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2，① 求 y 与 x 之间的函数关系式。
中考数学一轮复习《二次函数》综合复习练习题(含答案)
中考数学一轮复习《二次函数》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．二次函数223y x x =-+的一次项系数是（ ） A ．1B ．2C ．2-D ．32．抛物线22(9)3y x =+-的顶点坐标是（ ） A ．(9,3)-B ．(9,3)--C ．(9,3)D ．(9,3)-3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m 时，水面宽度为4m ．那么水位下降1m 时，水面的宽度为（ ）A 6mB ．26mC ．)64mD ．()264m4．二次函数()225y x =+-的图象的顶点坐标是（ ） A ．2,5B ．()2,5C ．()2,5--D ．()2,5-5．在平面直角坐标系xOy 中，点123(1)(2)(4)y y y -，，，，，在抛物线22y ax ax c =-+上，当0a >时，下列说法一定正确的是( ) A ．若120y y <，则30y > B ．若230y y >，则10y < C ．若130y y <，则20y >D ．若1230y y y =，则20y =6．抛物线221y x x =-+的顶点坐标是（ ） A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(1，2)D ．(－1，2)7．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A ．()2323y x =++B ．()2323y x =-+C ．()2332y x =++D ．()2332y x =-+8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A 的坐标为16(0)9，，则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m9．关于抛物线2(1)y x =-，下列说法错误的是( ) A ．开口向上B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．对称轴是直线1x =D ．顶点()1,010．一次函数y x a =+与二次函数2y ax a =-在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD 为14的奖杯，杯体轴截面ABC 是抛物线2459y x =+的一部分，则杯口的口径AC 为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．下表中列出的是一个二次函致的自变量x 与函数y 的几组对应值：下列各选项中，正确的是（ ） x … 2- 0 1 3 …y … 6- 4 6 4 …A ．函数的图象开口向上B ．函数的图象与x 轴无交点C ．函数的最大值大于6D ．当12x -≤≤时，对应函数y 的取值范围是36y ≤≤二、填空题13．已知函数221y mx mx =++在32x -上有最大值4，则常数m 的值为 __.14．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当0y ＞时，自变量x 的取值范围是 _____．15．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为____米时，花圃的面积有最大值，最大值是____．16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m 时，水面宽4m ，如果水面上升1.5m ，则水面宽度为________．17．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是___________米．18．在平面直角坐标系中，抛物线2yx 的图象如图所示，已知A 点坐标()1,1，过点A 作1AA x ∥轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∥交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∥轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∥交抛物线于点4A ，…，依次进行下去，则点2022A 的坐标为______．19．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，如果水面下降0.5m ，那么水面宽度增加________m ．20．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB 间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF 的长为0.28米，则拱高OC 为_____米三、解答题21．已知关于x 的方程2(23)0mx m x m +-+=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．22．已知关于x 的一元二次方程x 2+x −m =0．(1)设方程的两根分别是x 1，x 2，若满足x 1+x 2=x 1•x 2，求m 的值． (2)二次函数y =x 2+x −m 的部分图象如图所示，求m 的值．23．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。
中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题附答案
中考数学专题复习分类练习二次函数综合解答题附答案一、二次函数1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t=﹣32（t ﹣3）2+272，∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.2．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17 (0,4),3,2 B C⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上所以41719326cb c=⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24bc=⎧⎨=⎩，所以21246y x x=-++所以，当62bxa=-=时，10ty=≦答：21246y x x=-++，拱顶D到地面OA的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））当x=2或x=10时，2263y=>，所以可以通过（3）令8y=，即212486x x-++=，可得212240x x-+=，解得12623,623x x=+=-1243x x-=答：两排灯的水平距离最小是43考点：二次函数的实际应用．3．如图，在平面直角坐标系中，直线483y x=-+与x轴，y轴分别交于点A、B，抛物线24y ax ax c=-+经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0﹤t﹤5.（1）求抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似； （3）当△ADE 为等腰三角形时，求t 的值；（4）抛物线上是否存在一点F ，使得以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F 点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）抛物线的解析式为228833y x x =-++； （2）t 的值为3011或5013； （3）t 的值为103或6017或258； （4）符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(2F +，-8）. 【解析】（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE ∽△AOB 和△AED ∽△AOB 即可求出t 的值；（3）过E 作EH ⊥x 轴于点H ，过D 作DM ⊥AB 于点M 即可求出t 的值；（4）分当AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点F 的坐标.解：(1)A （6,0），B （0,8），依题意知36240{8a a c c -+==，解得2{38a c =-=， ∴228833y x x =-++. (2)∵ A （6,0），B （0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t ，AE=10-2t ， ①当△ADE ∽△AOB 时，AD AE AO AB =，∴102610t t -=，∴3011t =； ②当△AED ∽△AOB 时，AE AD AO AB =，∴102610t t -=，∴5013t =； 综上所述，t 的值为3011或5013. (3) ①当AD=AE 时，t=10-2t ，∴103t =； ②当AE=DE 时，过E 作EH ⊥x 轴于点H ，则AD=2AH ，由△AEH ∽△ABO 得，AH=()31025t -，∴()61025t t -=，∴6017t =； ③当AD=DE 时，过D 作DM ⊥AB 于点M ，则AE=2AM ，由△AMD ∽△AOB 得，AM=35t ，∴61025t t -=，∴258t =；综上所述，t 的值为103或6017或258. (4) ①当AD 为边时，则BF ∥x 轴，∴8F B y y ==，求得x=4，∴F （4，8）； ②当AD 为对角线时，则8F B y y =-=-，∴2288833x x -++=-，解得227x =±，∵x ﹥0，∴227x =+，∴()227,8+-.综上所述，符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）.“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．4．如图1，已知抛物线y ＝ax 2+bx+3(a≠0)与x 轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如图2，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P ，其坐标为P （﹣110）或P （﹣110P （﹣1，6）或P （﹣1，53）；（3）存在，Q （﹣1，2）；（4）638，315,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）已知抛物线过A 、B 两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M 点的坐标，由于C 是抛物线与y 轴的交点，因此C 的坐标为（0，3），根据M 、C 的坐标可求出CM 的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP ＝PM 时，P 位于CM 的垂直平分线上．求P 点坐标关键是求P 的纵坐标，过P 作PQ ⊥y 轴于Q ，如果设PM ＝CP ＝x ，那么直角三角形CPQ 中CP ＝x ，OM 的长，可根据M 的坐标得出，CQ ＝3﹣x ，因此可根据勾股定理求出x 的值，P 点的横坐标与M 的横坐标相同，纵坐标为x ，由此可得出P 的坐标．②当CM ＝MP 时，根据CM 的长即可求出P 的纵坐标，也就得出了P 的坐标（要注意分上下两点）．③当CM ＝C P 时，因为C 的坐标为（0，3），那么直线y ＝3必垂直平分PM ，因此P 的纵坐标是6，由此可得出P 的坐标； （3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；（4）由于四边形BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE 分割成规则的图形进行计算，过E 作EF ⊥x 轴于F ，S 四边形BOCE ＝S △BFE +S 梯形FOCE ．直角梯形FOCE 中，FO 为E 的横坐标的绝对值，EF 为E 的纵坐标，已知C 的纵坐标，就知道了OC 的长．在△BFE 中，BF ＝BO ﹣OF ，因此可用E 的横坐标表示出BF 的长．如果根据抛物线设出E 的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE 的面积与E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE 的最大值及对应的E 的横坐标的值．即可求出此时E 的坐标． 【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩．∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3； （2）如答图1，∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3， ∴其对称轴为x ＝22-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3， ∴C （0，3），M （﹣1，0）∴当CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得a ＝53，∴P点坐标为：P1（﹣1，53）；∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±10，∴P点坐标为：P2（﹣1，10）或P3（﹣1，﹣10）；∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：如答图2，点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q．设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得23 k tk t+=⎧⎨-+=⎩，解得11kt=-⎧⎨=⎩，所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．将x＝﹣1代入，得y＝2，即：Q（﹣1，2）；（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a∴S四边形BOCE＝12BF•EF+12（OC+EF）•OF＝12（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+12（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）＝﹣32a2﹣92a+92＝﹣32（a+32）2+638，∴当a＝﹣32时，S四边形BOCE最大，且最大值为638．此时，点E坐标为（﹣32，154）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．5．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）；（2）E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．【解析】试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；（3）利用△PBD的面积即可求得．试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C （8，0）两点，∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；当EC=DE时，，解得=，∴E（，）．综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，∵△PBD的面积===，∴当m=时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为（，）．考点：二次函数综合题．6．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y 轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）当2﹣1时，点P的坐标为（02）和（0，223）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=12BG•x N﹣12BG•x M=1得出x N﹣x M=1，联立直线和抛物线解析式求得228k k-±-，根据x N﹣x M=1列出关于k的方程，解之可得；（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．【详解】（1）由题意知()1211bc⎧-=⎪⨯-⎨⎪=⎩，解得：21bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；（2）如图1，设M点的横坐标为x M，N点的横坐标为x N，∵y=kx ﹣k+4=k （x ﹣1）+4，∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G 坐标为（1，4），∵y=﹣x 2+2x+1=﹣（x ﹣1）2+2，∴点B （1，2），则BG=2，∵S △BMN =1，即S △BNG ﹣S △BMG =12BG•（x N ﹣1）-12BG•（x M -1）=1， ∴x N ﹣x M =1，由2421y kx k y x x =-+⎧⎨=--+⎩得：x 2+（k ﹣2）x ﹣k+3=0， 解得：x=()()22243k k k -±---=228k k -±-， 则x N =228k k -+-、x M =228k k ---， 由x N ﹣x M =1得28k -=1，∴k=±3，∵k ＜0，∴k=﹣3；（3）如图2，设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x+1+m ，∴C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0），设P （0，t ），（a ）当△PCD ∽△FOP 时，PC FO CD OP =， ∴112m t t+-=， ∴t 2﹣（1+m ）t+2=0①； (b)当△PCD ∽△POF 时，PC PO CD OF =， ∴121m t t +-=， ∴t=13（m+1）②； （Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，△=（1+m ）2﹣8=0，解得：1（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根t 1=t 2，方程②有一个实数根t=3， ∴﹣1，此时点P 的坐标为（0）和（0，3）； （Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：19（m+1）2﹣13（m+1）+2=0， 解得：m=2（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根t 1=1、t 2=2，方程②有一个实数根t=1，∴m=2，此时点P 的坐标为（0，1）和（0，2）；综上，当﹣1时，点P 的坐标为（0）和（0）； 当m=2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN 的面积求得点N 与点M 的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．7．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .(1)求mn 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）265y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【解析】分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）．∵y =﹣x 2+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：65b c =⎧⎨=-⎩，则二次函数解析式为y =﹣x 2+6x ﹣5； （2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM 2，PN 24﹣m ），∴S △MPN =12PM •PN =12×22m ×22（4﹣m ）=﹣14m 2﹣m =﹣14（m ﹣2）2+1，∴当m =2，即AP =2时，S △MPN 最大，此时OP =3，即P （3，0）；（3）存在，易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况讨论：①当△ABD∽△DAQ时，ABDA=BDAQ，即324=4AQ，解得：AQ=823，由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=1283，解得：x=73，此时Q（73，﹣83）；②当△ABD∽△DQA时，BDAQ=1，即AQ=10，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此时Q（2，﹣3）．综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（73，﹣83）．点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．8．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+52；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣12（x﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，92﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长； （3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92， ∴C （2，92），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ）， ∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t ，∴P （2+t ，92﹣t ）， 把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得﹣12（2+t ）2+2（2+t ）+52=92﹣t ， 整理得t 2﹣2t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴线段CD 的长为2；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52）， ∵抛物线平移，使其顶点C （2，92）移到原点O 的位置， ∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P 点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E ， ∴E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ）， 当m ＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M 点坐标为（0，72）； 当m ＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M 点坐标为（0，﹣72）； 综上所述，M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.9．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
中考数学总复习重点突破专题练习：二次函数的综合应用(有答案)
2021中考数学总复习重点突破专题练习二次函数的综合应用1. 如图，抛物线y=ax2+4x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=−x+5经过点B，C．点M是直线BC上方抛物线上一动点（点M不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，连接MC，MB．(1)求抛物线的解析式；(2)连接MO，交直线BC于点D，若△MCD≅△MBD，求m的值；(3)过点M的直线y=kx+b与抛物线交于另一点N，点N的横坐标为n(n≠m)．当m+n=3时，请直接写出b的取值范围．2. 已知抛物线y=ax2+c经过点A(0,2)和点B(−1,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)将(1)中的抛物线平移，使其顶点坐标为(2,18)，平移后的抛物线的对称轴与x轴交于点H，与x轴的两个交点分别为点C，D（点C在点D的左边），与y轴的交点为点E．试问，在平移后的抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点P，C，H为顶点的三角形与△EOD相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)将(1)中的抛物线上下平移，设平移后顶点的纵坐标为m，平移后的抛物线与x轴两个交点之间的距离为n．若1<m≤5，求出n的取值范围．3. 抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(1, 0)，B(−3, 0)两点，顶点纵坐标为−4．(1)求抛物线的解析式；(2)直线l:y=kx−k(0≤k≤3)与抛物线交于M(x M, y M)，N(x N, y N)，x M<x N，①求y M的范围；②点P(x P, y P)在抛物线上(x M<x P<x N)，点Q(x Q, y Q)在直线l上，x P=x Q，PQ的长度记为d．对于每一个k，d都有最大值，请求出d的最大值与k的函数关系式．4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0, 3)，与x轴交于A，B两点，点B坐标为(4, 0)，抛物线的对称轴方程为x=1．(1)求抛物线的解析式；(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．5. 【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，用以下方式定义两点间距离：d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|.【数学理解】(1)①已知点A(−2, 1)，则d(O,A)=________；②函数y =−2x +4(0≤x ≤2)的图象如图①所示，B 是图象上一点，d(O,B)=3，则点B 的坐标是________；(2)函数y =4x (x >0)的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C ，使d(O,C)=3； (3)函数y =x 2−5x +7(x ≥0)的图象如图③所示，D 是图象上一点，求d(O,D)的最小值及对应点D 的坐标；6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=12x 2+bx +c 经过点A (0,2)和B (1,32)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，求点C 的坐标；(3)在(2)的条件下，点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A ，D 之间的部分（含点A ，D ）为图象G ，若图象G 向下平移t (t >0)个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．7. 如图，抛物线y =−x 2+bx +c 经过点A ，B ，C ，已知点A(−1, 0)，点C(0, 3)．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△BDC 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)设E 是抛物线上的一点，在x 轴上是否存在点F ，使得A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．8. 二次函数y =−x 2+bx +c 与x 轴分别交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，直线BC 的解析式为y =−x +3，AD ⊥x 轴交直线BC 于点D ．(1)求二次函数的解析式；(2)M (m,0)为线段AB 上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与抛物线及直线BC 分别交于点E ，F ．直线AE 与直线BC 交于点G ，当EGAG =12时，求m 值．9. 已知y 关于x 的二次函数y =x 2−2bx +b 2+2b −3的图象与x 轴有两个公共点． (1)求b 的取值范围；(2)若b 取满足条件的最大整数值，当2≤x ≤m −1时，函数y 的取值范围是n ≤y ≤8，求m ，n 的值；(3)若在自变量x的值满足b−1≤x≤12b的情况下，对应函数y的最小值为−34，求此时二次函数的解析式．10. 已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由；(3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；(4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．11. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A(−4,0)，与x轴正半轴交于点B(1,0)，与y轴负半轴交于点C(0,−2)，且∠ACB=90∘．(1)求抛物线的函数关系式；(2)点D是OA上一点（不与点A，O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于点F，当DF=13EF时，求点E的坐标；(3)设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在(3)的条件下，点M是抛物线的对称轴上的一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M，N，使以A，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A(0,1)和C(√3,0)，点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接BD，作DE⊥DB，交射线OC于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEP．(1)填空：点B的坐标为________.(2)是否存在这样的点D，使得△DBC是等腰三角形？若存在请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；(3)①求证：DBDE=√3；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最小值？13. 如图，直线y=−43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A，C和点B(−1,0).(1)求该二次函数的关系式；(2)设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；(3)有两动点D，E同时从点O出发，其中点D以每秒32个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C 的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D，E两点相遇时，它们都停止运动．设D，E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S．①请问D，E两点在运动过程中，是否存在△DEA∽△OCA，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并求出S的最大值.14. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，直线y=−12x+2经过B，C两点．(1)求二次函数的解析式；(2)平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；(3)过(2)中的点Q作QE//y轴，交x轴于点E，如图2．若M是抛物线上一动点，N是x轴上一动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和点M的坐标；如果不存在，请说明理由．15. 如图1，已知抛物线顶点C(1,4)，且与y轴交于点D(0,3)．与x轴交于点A，B．(1)求该抛物线的解析式；(2)求△ABC的面积；(3)如图2，点P是该抛物线上位于第一象限的点，线段AP交BD于点M、交y轴于点N，△BMP 和△DMN的面积分别为S1，S2，求S1−S2的最大值．参考答案1.【答案】解：(1)∵ 直线y =−x +5与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ， ∵ B (5,0)，C (0,5)．∵ 抛物线y =ax 2+4x +c 经过点A ，B ，∵ {25a +20+c =0,c =5,解得{a =−1,c =5,∵ 抛物线解析式为y =−x 2+4x +5． (2)由(1)知：OB =OC =5， 若△MCD ≅△MBD ， 则BM =CM ， ∵ OM =OM ，∵ △MCO ≅△MBO ， ∵ ∠COM =∠BOM ．∵ 点M 的坐标为(m,−m 2+4m +5)， ∵ m =−m 2+4m +5， 解得：m 1=3+√292或m 2=3−√292（舍去），∵ m =3+√292．(3)−5<b <294．联立方程组{y =−x 2+4x +5,y =kx +b,得：x 2+(−4+k )x +b −5=0， 由m +n =3得k =1， 当直线y =x +b 过点B 时， b =−5；当直线y =x +b 与抛物线有唯一交点时，b =294， 则−5<b <294． 2.【答案】解：(1)∵ 抛物线y =ax 2+c 经过点A (0,2) 和点B (−1,0)， ∵ {c =2，a +c =0，解得： {a =−2，c =2，∵ 此抛物线的解析式为y =−2x 2+2. (2)∵ 此抛物线平移后顶点坐标为(2,18)，∵ 抛物线的解析式为y =−2(x −2)2+18，令y =0，即−2(x −2)2+18=0 ，解得 x 1=5,x 2=−1． ∵ 点C 在点D 的左边， ∵ C (−1,0),D (5,0)， 易求E (0,10),H (2,0) ，∵ EO =10,DO =5,CH =3，∵ ∠PHC =∠EOD =90∘，故有两种情况： ①△OED ∽△HCP ， ∵ OEOD =HCHP ， ∵ 105=3HP ， ∵ HP =32 ，∵ P (2,32)或P (2,−32)； ②△OED ∽△HPC ， ∵ OEOD =HP HC ， ∵ 105=HP 3，∵ HP =6，∵ P (2,6)或P (2,−6)．综上所述：符合题意的点P 的坐标为：P (2,32)或P (2,−32)或P (2,6)或P (2,−6)．(3)设平移后抛物线的解析式是y =−2x 2+m ， 该抛物线与x 轴的两交点横坐标为x 1,x 2,整理为： 2x 2−m =0 ，此时x 1+x 2=0，x 1⋅x 2=−12m ． 则|x 2−x 1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2m =n ， 当m =1时，n =√2. 当m =5时，n =√10.∵ n 的取值范围是： √2<n ≤√10. 3.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为y =a(x −x 1)(x −x 2) =a(x −1)(x +3)=a(x 2+2x −3)， 函数的对称轴为x =12(1−3)=−1，当x =−1时，y =a(x 2+2x −3)=−4a =−4， 解得a =1，故抛物线的表达式为y =x 2+2x −3. (2)①y =kx −k =k(x −1)，当x =1时，y =kx −k =0，故该函数过点(1, 0)，即点N(1,0)， 故点N ，A 重合，如图，联立{y =x 2+2x −3,y =kx −k,整理得：x 2+(2−k)x +k −3=0， 则x M +x N =k −2， 而x N =1， 故x M =k −3， 当x =k −3时，y =kx −k =k(x −1)=k(k −3−1)=k 2−4k =y M ， ∵ 0≤k ≤3，故−4≤k 2−4k ≤0，即y M 的范围为−4≤y M ≤0； ②由题意知，PQ // y 轴，设点P 的坐标为(x, x 2+2x −3)，则点Q(x,kx −k)，则PQ =kx −k −x 2−2x +3=−x 2+(k −2)x +(3−k)， ∵ −1<0， 故PQ 有最大值， 当x =−b2a =k−22时，PQ 的最大值为=−(k−22)2+(k−2)⋅k−22+(3−k)，即d max =14k 2−2k +4． 4.【答案】解：(1)∵ 点B 坐标为(4, 0)，抛物线的对称轴方程为x =1． ∵ A(−2, 0).把点A(−2, 0)，B(4, 0)，C(0, 3)，分别代入y =ax 2+bx +c(a ≠0)，得{4a −2b +c =0，16a +4b +c =0，c =3，解得 {a =−38，b =34，c =3，所以该抛物线的解析式为：y =−38x 2+34x +3； (2)设运动时间为t 秒，则AM =3t ，BN =t ． ∵ MB =6−3t ．由题意得，点C 的坐标为(0, 3)． 在Rt △BOC 中，BC =√32+42=5． 如图1，过点N 作NH ⊥AB 于点H ．∵ NH // CO ，∵ △BHN ∼△BOC ， ∵ HNOC =BN BC，即HN 3=t5，∵ HN =35t ．∵ S =12MB ⋅HN =12(6−3t)⋅35t=−9t 2+9t =−910(t −1)2+910，当△MBN 存在时，0<t <2， ∵ 当t =1时，S 最大=910． (3)如图2，在Rt △OBC 中，cos ∠B =OBBC =45． 设运动时间为t 秒，则AM =3t ，BN =t ． ∵ MB =6−3t ．当∠MNB =90∘时，cos ∠B =BNMB =45，即t6−3t =45，化简，得17t =24，解得t =2417； 当∠BMN =90∘时，cos ∠B =BM BN =6−3t t=45，化简，得19t =30，解得t =3019.综上所述：t =2417或t =3019时，△MBN 为直角三角形． 5.【答案】(1)解：①由题意得：d(O, A)=|0+2|+|0−1|=2+1=3.②设B(x, y)，由定义两点间的距离可得：|0−x|+|0−y|=3， ∵ 0≤x ≤2， ∵ x +y =3，∵ {x +y =3,y =−2x +4,解得：{x =1,y =2,∵ B(1, 2).故答案为：3；(1, 2).(2)证明：假设函数y =4x (x >0)的图象上存在点C(x, y)使d(O,C)=3，根据题意，得|x −0|+|4x −0|=3， ∵ x >0，∵ 4x >0，|x −0|+|4x −0|=x +4x ， ∵ x +4x =3，∵ x 2+4=3x ， ∵ x 2−3x +4=0，∵ Δ=b 2−4ac =−7<0，∵ 方程x 2−3x +4=0没有实数根，∵ 该函数的图象上不存在点C ，使d(O,C)=3． (3)解：设D(x, y)，根据题意得， d(O, D)=|x −0|+|x 2−5x +7−0| =|x|+|x 2−5x +7|，∵ x 2−5x +7=(x −52)2+34>0， 又x ≥0，∵ d(O, D)=|x|+|x 2−5x +7| =x +x 2−5x +7 =x 2−4x +7 =(x −2)2+3，∵ 当x =2时，d(O,D)有最小值3，此时点D 的坐标是(2,1)．6. 【答案】解：(1)把A(0,2)和B(1,32)代入y =12x 2+bx +c ， 得{c =2，12+b +c =32，解得{b =−1，c =2，∵ 抛物线的解析式为y =12x 2−x +2. (2)∵ y =12x 2−x +2=12(x −1)2+32，∵ 抛物线的对称轴为直线x =1，∵ 点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，点A(0,2)， ∵ 点C 的坐标为(2,2).(3)当x =4时，y =12x2−x +2=8−4+2=6，∵ D 点坐标为(4,6)． 如图，设直线BC 的解析式为y =mx +n ， 把B(1,32)，C(2,2)代入直线BC 的解析式， 得{m +n =32,2m +n =2,解得{m =12,n =1, ∵ 直线BC 的解析式为y =12x +1， 当x =0时，y =12x +1=1，∵ 图象G 向下平移1个单位时，点A 在直线BC 上， 图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上，∵ 当1<t ≤3时，图象G 向下平移t(t >0)个单位后与直线BC 只有一个公共点． 7.【答案】解：(1)∵ 点A(−1, 0)，点C(0, 3)在抛物线y =−x 2+bx +c 上，∵ {−1−b +c =0，c =3，解得b =2，c =3．即抛物线的表达式是y =−x 2+2x +3；(2)令−x 2+2x +3=0，解得x 1=−1，x 2=3， ∵ 点A(−1, 0)，∵ 点B 的坐标为(3, 0)．设过点B ，C 的直线的解析式为：y =kx +b ， {3k +b =0，b =3，解得k =−1，b =3，∵ 过点B ，C 的直线的解析式为：y =−x +3．设点P 的坐标为(a, −a +3)，则点D 的坐标为(a, −a 2+2a +3)， ∵ PD =(−a 2+2a +3)−(−a +3)=−a 2+3a ． ∵ S △BDC =S △PDC +S △PDB =12PD ⋅a +12PD ⋅(3−a) =12(−a 2+3a)⋅a +12(−a 2+3a)⋅(3−a) =−32(a −32)2+278． ∵ 当a =32时，△BDC 的面积最大， ∵ 点P 的坐标为(32,32)．(3)存在．①当AC 是平行四边形的边时，则点E 的纵坐标为3或−3， ∵ E 是抛物线上的一点，∵ 将y =3代入y =−x 2+2x +3，得x 1=0（舍去），x 2=2; 将y =−3代入y =−x 2+2x +3，得x 3=1+√7，x 4=1−√7． ∵ E 1(2, 3)，E 2(1+√7, −3)，E 3(1−√7, −3)， 则点F 1(1, 0)，F 2(2+√7, 0)，F 3(2−√7, 0)，②当AC 为平行四边形的对角线时，则点E 的纵坐标为3， ∵ E 是抛物线上的一点，∵ 将y =3代入y =−x 2+2x +3，得x 1=0（舍去），x 2=2； 即点E 4(2, 3)，则F 4(−3, 0)．由上可得，点F 的坐标是：F 1(1, 0)，F 2(2+√7, 0)，F 3(2−√7, 0)，F 4(−3, 0)． 8. 【答案】解：(1)∵ 直线BC 的解析式为y =−x +3，∵ 点B (3,0)，点C (0,3)．∵ B (3,0)和C (0,3)在抛物线y =−x 2+bx +c 上，∵ {−9+3b +c =0,c =3,解得：{b =2,c =3,∵ 二次函数的解析式为：y =−x 2+2x +3．(2)∵ 二次函数y =−x 2+2x +3与x 轴交于点A ，B ， ∵ 点A (−1,0)．∵ AD ⊥x 轴交直线BC 于点D ， ∵ 点D (−1,4)， ∵ AD =4．∵ EM ⊥x 轴，AD ⊥x 轴， ∵ △EFG ∽△ADG ， ∵ EFAD =EGAG =12．∵ EM ⊥x 轴交直线BC 于点F ，点M (m,0)，∵ 点E 的坐标为(m,−m 2+2m +3) ，点F 的坐标为(m,−m +3)． ①若点M 在原点右侧，则EF =(−m 2+2m +3)−(−m +3)=−m 2+3m ， 即−m 2+3m4=12，解得：m 1=1，m 2=2． ②若点M 在原点左侧，则EF =(−m +3)−(−m 2+2m +3)=m 2−3m ， 即m 2−3m4=12，解得：m 3=3−√172，m 4=3+√172（舍去）； 综上所述，m 的值为1，2，3−√172．9.【答案】解：(1)由题意知，Δ>0，即(−2b )2−4(b 2+2b −3)>0， ∵ −8b +12>0，解得：b <32．(2)由题意，b =1，代入y =x 2−2bx +b 2+2b −3，得：y =x 2−2x ， ∵ 对称轴为直线x =−−22×1=1.又∵ a =1>0，函数图象开口向上，∵ 当2≤x ≤m −1时，y 随x 的增大而增大， ∵ 当x =2时，y =n =22−2×2=0；当x =m −1时，y =(m −1)2−2(m −1)=8，化简，得：m 2−4m −5=0，解得：m 1=5，m 3=−1（不合题意，舍去）， ∵ m =5，n =0．(3)∵ y =x 2−2bx +b 2+2b −3=(x −b )2+2b −3， ∵ 对称轴为直线x =b ，开口向上， ①当b −1≤12b ≤b ，即0≤b <32时， 在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小， 即函数y 在x =12b 时取得最小值， 有(12b −b)2+2b −3=−34，解得b 1=−9（不合题意，舍去），b 2=1， ∵ 此时二次函数的解析式为y =x 2−2x . ②当b −1<b <12b ，即b <0时， 函数在x =b 时取得最小值， ∵ 2b −3=−34，解得：b =98（不合题意，舍去），综上所述，符合题意的二次函数的解析式为y =x 2−2x ． 10.【答案】解：(1)∵ B 的坐标为(1,0)，∵ OB =1． ∵ OC =3OB =3，点C 在x 轴下方， ∵ C(0,−3)．∵ 将B (1,0)，C(0,−3)代入抛物线的解析式，得{4a +c =0,c =−3,解得：a =34，c =−3，∵ 抛物线的解析式为y =34x 2+94x −3．(2)如图所示：连结AC 与抛物线的对称轴交于点Q ，此时△QBC 的周长最小．∵ x =−b2a =−942×34=−32，B(1,0)，∵ A (−4,0)．设直线AC 的解析式为：y =mx +n ， ∵A(−4,0)，C(0,−3)，∵ {−4m +n =0,n =−3,解得：{m =−34,n =−3,∵ 直线AC 的解析式为：y =−34x −3， ∵ 当x =−32，y =−34×(−32)−3=−158， ∵ 点Q 的坐标是(−32,−158).(3)如图所示：过点D 作DE//y 轴，交AC 于点E ．∵ A (−4,0)，B (1,0)，∵ AB =5， ∴S △ABC =12AB ⋅OC =12×5×3=152．由(2)知直线AC 的解析式为y =−34x −3． 设D (a,34a 2+94a −3)，则E (a,−34a −3)．∵ DE =−34a −3−(34a 2+94a −3)=−34(a +2)2+3， ∵ 当a =−2时，DE 有最大值，最大值为3， ∵ △ADC 的最大面积=12DE ⋅AO =12×3×4=6， ∵ 四边形ABCD 的面积的最大值为272．(4)存在．①如图，过点C 作CP 1//x 轴交抛物线于点P 1，过点P 1作P 1E 1//AC 交x 轴于点E 1，此时四边形ACP 1E 1为平行四边形．∵C(0,−3)，令34x 2+94x −3=−3，∵ x 1=0，x 2=−3，∵ P 1(−3,−3).②平移直线AC 交x 轴于点E 2，E 3，交x 轴上方的抛物线于点P 2，P 3，当AC =P 2E 2时，四边形ACE 2P 2为平行四边形，当AC =P 3E 3时，四边形ACE 3P 3为平行四边形． ∵C (0,−3)，∵ P 2，P 3的纵坐标均为3． 令y =3得：34x 2+94x −3=3， 解得x 1=−3−√412，x 2=−3+√412，∵ P 2(−3−√412,3)，P 3(−3+√412,3)．综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P 1(−3,−3)，P 2(−3−√412,3)，P 3(−3+√412,3)．11.【答案】解：(1)分别把A (−4,0)，B (1,0)，C (0,−2)代入y =ax 2+bx +c ，得 {16a −4b +c =0，a +b +c =0，c =−2，解得{a =12，b =32，c =−2，∵ y =12x 2+32x −2，∴抛物线的函数关系式为y =12x 2+32x −2． (2)设直线AC 的函数关系式为y =kx +b ， 将点A (−4,0)，C (0,−2)代入y =kx +b ，得 {−4k +b =0，b =−2，解得{k =−12，b =−2，∵ y =−12x −2． 设D (m,0)，∵ y E =12m 2+32m −2，y F =−12m −2，∵ DF =12m +2，EF =y F −y E =−12m 2−2m ， 由题意，得12m +2=13(−12m 2−2m)， 解得m =−3或−4（舍去），将m =−3，代入y E =12m 2+32m −2，得y E =−2， ∵ E (−3,−2)．(3)存在，理由如下：当以A ，E ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时，△AEM 是等腰三角形． 由题意，AD =1，DE =2，抛物线的对称轴为：x =−b 2a =−32， 在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE =√5. ①AM =AE =√5时，∵点A 到直线l 的距离是−32−(−4)=52>√5， ∵ 此时点M 不存在．②EM =AE =√5时，如图，过点E 作EH ⊥l 于点H ，∵ y H =y E =−2，EH =−32−(−3)=32， 在Rt △EHM 中，由勾股定理得MN = √(√5)2−(32)2=√112，∵ y M =−2+√112或−2−√112， ∴M 1(−32,−2+√112)，M 2(−32,−2−√112)； ③当MA =ME 时，MA 2=ME 2， 即MG 2+AG 2=MH 2+EH 2， 设M (−32,n)，n 2+(52)2=(m +2)2+(32)2，解得n =0，∵ M 3=(−32,0)， 综上，M 1(−32,−2+√112)，M 2(−32,−2−√112)，M 3(−32,0), 此时N 1(−52,√112)，N 2(−52,−√112)，N 3(−112,−2)． 12. 【答案】解：(1)∵ 四边形ABCO 是矩形，点A ，C 的坐标分别是A (0,1)和C(√3,0)， ∵ 点B 的坐标为(√3,1). 故答案为：(√3,1).(2)存在．理由如下：∵ OA=1,OC=√3，∵ tan∠ACO=AOOC=√33，∵ ∠ACO=30∘，∠ACB=60∘，有以下两种情况：①如图(1)中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，∠DEC>∠DEF=90∘，∵ 只有ED=EC，∵ ∠DCE=∠EDC=30∘，∵ ∠DBC=∠BCD=60∘，∵ △DBC是等边三角形，∵ DC=BC=1.在Rt△AOC中，∵ ∠ACO=30∘,OA=1，∵ AC=2AO=2，∵ AD=AC−CD=2−1=1，∵ 当AD=1时，△DEC是等腰三角形．②如图(2)中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，∠DCE=150∘，∵ 只有CD=CE,∵ ∠DBC=∠DEC=∠CDE=15∘，∵ ∠ABD=∠ADB=75∘，∵ AB=AD=√3，综上所述，满足条件的AD的值为1或√3.(3)①如图(1)，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵ A(0,1)和C(√3,0)，∵ 直线AC的解析式为y=−√33x+1，设D(a,−√33a+1)，∵ DN=−√33a+1,BM=√3−a，∵ ∠BDE=90∘，∵ ∠BDM+∠NDE=90∘，∠BDM+∠DBM=90∘，∵ ∠DBM=∠EDN，∵ ∠BMD=∠DNE=90∘，∵ △BMD∼△DNE，∵ DBDE=BMDN=√3−a1−√33a=√3．②如图(2)中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵ AD=x,∠DAH=∠ACO=30∘，∵ DH=12AD=12x,AH=√AD2−DH2=√32x，∵ BH=√3−√32x，在Rt△BDH中，BD=√BH2+DH2=√(12x)2+(√3−√32x)2，∵ DE=√33BD=√33⋅√(12x)2+(√3−√32x)2，∵ 矩形BDEF的面积为y=√33[√(12x)2+(√3−√32x)2]2=√33(x2−3x+3),∵ y=√33(x−32)2+√34，∵ √33>0，∵ x=32时，y有最小值√34．13.【答案】解：(1)令y=0，则x=3，A(3,0)，C(0,4).因为二次函数的图象过点C(0,4)，所以可设二次函数的关系式为y=ax2+bx+4，又因为该函数图象过点A(3,0)，B(−1,0)，所以0=9a+3b+4，0=a−b+4，解得a=−43，b=83，所以所求二次函数的关系式为y=−43x2+83x+4.(2)∵ y=−43x2+83x+4=−43(x−1)2+163，∵ 顶点M的坐标为(1, 163).过点M作MF⊥x轴于F，∵ S 四边形AOCM =S △AFM +S 梯形FOCM =12×(3−1)×163+12×(4+163)×1=10，∵ 四边形AOCM 的面积为10.(3)①∵ ∠COA =90∘，△DEA ∽△OCA ， ∵ ∠EDA =90∘，在Rt △COA 中，AC =2+OC 2=5， 由AD AO =ED CO=AEAC ，可得，3−32t 3=5−(4t−4)5，解得t =83.当两点相遇时，t =(3+4+5)÷(4+32)=2411<83， ∵ 不存在△DEA ∽△OCA .②(i)当0<t ≤1时，S =12×32t ⋅4t =3t 2； (ii)当1<t ≤2时，设点E 的坐标为（x 2，y 2)， ∵|y 2|4=5−(4t−4)5，∵ |y 2|=36−16t 5，S =12×32t ×36−16t 5=−125t 2+275t ；(iii)当2<t <2411时，设点E 的坐标为(x 3,y 3)， 类似(ii)可得|y 3|=36−16t 5，设点D 的坐标为(x 4,y 4)， ∵|y 4|4=32t−35， ∵ |y 4|=6t−125，∵ S =S △AOE −S △AOD =12×3×36−16t 5−12×3×6t −125 =−335t +725；③当0<t ≤1时，S =12×32t ⋅4t =3t 2，函数的最大值是3； 当1<t ≤2时，S =−125t 2+275t ，函数的最大值是 24380；当2<t <2411时，S =−335t +725，0<S <65∵ S max =24380.14. 【答案】解：(1)∵ 直线y =−12x +2经过B ，C 两点，∵ C (0,2)．∵ 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象经过A (1,0),B (4,0),C (0,2)，∵ {a +b +c =0，16a +4b +c =0，c =2，解得 {a =12，b =−52，c =2，∵ 二次函数的解析式为y =12x 2−52x +2． (2)∵ 直线BC 的解析式为y =−12x +2， ∵ 设平移后的解析式为y =−12x +2+m∵ 平移后直线BC 与抛物线有唯一公共点Q ，∵ 12x 2−52x +2=−12x +2+m ，即x 2−4x −2m =0， ∵ Δ=(−4)2−4×(−2m )=0， ∵ m =−2，∵ 平移后直线BC 的解析式为y =−12x ． 联立方程组，得 {y =−12x,y =12x 2−52x +2， 解得{x =2，y =−1，∵ Q (2,−1).(3)满足条件的点M 共有8个，其坐标分别为(3+√3,√3+12）或(3−√3,1−√32）或(2+√2, −√22）或(2−√2,√22)或(9+√332,5+√33)或(9−√332,5−√33)或(1+√172,3−√17)或(1−√172,3+√17) .设点M 的坐标为(m, 12m 2−52m +2)．∵ 以E ，M ，N 三点为顶点的直角三角形（其中M 为直角顶点）与△BOC 相似， ∵ 分以下两种情况讨论：①当△MEN ∽△OBC 时，得∠MEN =∠OBC 过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，∵ ∠EHM =90∘=∠BOC ， ∵ △EHM ∽△BOC ， ∵EH MH=OB OC ．MH =|12m 2−52m +2| ，EH =|m −2|，OB =4，OC =2． ∵ |m−2||12m 2−52m+2|=2，∵ m =3±√3或m =2±√2， 当m =3+√3时，12m 2−52m +2=√3+12，∵ M(3+√3,√3+12)； 当m =3−√3时， 12m 2−52m +2=1−√32，∵ M (3−√3,1−√32)；当m =2+√2时，12m 2−52m +2=−√22，∵ M (2+√2,−√22)； 当m =2−√2时，12m 2−52m +2=√22，∵ M (2−√2,√22)； ②当△MNE ∽△OBC 时，同①的方法，得|m−2||12m 2−52m+2|=12，∵ m =9±√332或m =1±√172． 当m =9+√332时， 12m 2−52m +2=5+√33，∵ M (9+√332,5+√33)； 当m =9−√332时， 12m 2−52m +2=5−√33，∵ M (9−√332,5−√33)； 当m =1+√172时， 12m 2−52m +2=3−√17，∵ M (1+√172,3−√17)； 当m =1−√172时， 12m 2−52m +2=3+√17，∵ M (1−√172,3+√17)；即满足条件的点M 共有8个，其坐标分别为(3+√3, √3+12）或(3−√3,1−√32）或(2+√2, −√22）或(2−√2,√22)或(9+√332,5+√33)或(9−√332,5−√33)或(1+√172,3−√17)或(1−√172,3+√17) .15.【答案】解：(1)由抛物线顶点C (1,4)，设抛物线的解析式为y =a(x −1)2+4， ∵ 抛物线与y 轴交于点D (0,3)， ∵ a +4=3， 解得a =−1，∵ 抛物线的解析式为y =−(x −1)2+4=−x 2+2x +3. (2)由(1)知，y =−x 2+2x +3， 令y =0，则−x 2+2x +3=0， 即(x +1)(x −3)=0， 解得x 1=−1，x 2=3， ∵ A(−1,0)，B(3,0)，∵ S △ABC =12×4×AB =12×4×4=8.(3)设点P 的坐标为(m,−m 2+2m +3)， 直线AP 的方程为y =kx +b ， 得k =3−a ，b =3−a ，所以直线方程为y =(3−m)x +3−m ， ∵ ON =3−m ， ∵ AB =4，∵ S △ABP =−2m 2+4m +6. ∵ ON =3−m ，AO =1， ∵ S △AON =3−m 2，∵ S 四边形OBMN =−2m 2+4m +6−3−m 2，∵ S △BOD =3×32=92，∵ S 1−S 2=[S △ABP −S △AON −S 四边形OBMN ] −[S △BOD −S 四边形OBMN ]=S △ABP −S △BOD −S △AON ，即S 1−S 2=−2m 2+4m +6−92−3−m 2=−2m 2+92m . ∵ −2<0，∵ S 1−S 2有最大值， 当m =98时，其最大值为8132，∵ S 1−S 2的最大值为8132.。
中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)
中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．某公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价每千克不高于60元且不低于30元，经市场调查发现，日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80，当x＝50时，y＝100.（1）求y与x的函数解析式；（2）若该公司销售该原料日获利为w（元），销售单价为x（元），那么当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利润是多少元？2．已知某品牌床单进价为每件60元，每月的销量w（件）与售价x（元）的相关信息如下表（符合一次函数关系）：售价（元/件）100110120130…月销售量（件）200180160140…（1）销售该品牌床单每件的利润是元（用含x的式子表示）．（2）用含x的代数式表示月销量w．（3）设销售该品牌床单的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？3．某商场销售甲、乙两种产品，其中甲商品进价为20元．在销售过程中发现，甲商品每天的销售利润w1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：w1＝－x2＋bx－1260，当x＝30时，w1＝330；乙商品每天的销售利润w2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系w2＝－z2＋102z＋c，当z＝50时，w2＝440．其中x、z均为整数，并且销售单价均高于进价．（1）求b，c的值；（2）若乙商品销售单价为甲商品销售单价的1.5倍，当两种商品每天获得的利润相同时，甲、乙两种商品销售单价分别为多少；（3）若乙商品销售单价为甲商品销售单价的2倍，当这两种商品每天销售利润的和最大时，请直接写出此时甲的销售单价．4．某网店经营一种热销商品，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件商品的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该商品每周的销售量(y件)与销售单价(x元)之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件．（1）请求出y与x的函数关系式；（2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元，①写出w与x的函数关系式；②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？5．某网店销售一种文具袋，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天的销量不低于240件，那么当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？6．某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．（1）根据图象求出y与x之间的函数关系式；（2）请写出w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？7．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现.在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元.日销售量将减少20千克.（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多.8．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件;如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件。
中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题 - ( - 含答案
中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题 - （ - 含答案? 1、二次函数的定义? 2、二次函数的图像及性质 ? 3、求解析式的三种方法? 4、a，b，c及相关符号的确定 ? 5、抛物线的平移? 6、二次函数与一元二次方程的关系 ? 7、二次函数的应用题 ? 8、二次函数的综合运用 1、二次函数的定义定义： y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数，a ≠ 0 ）定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式练习：1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5 x2，y=3 x2-2x3+5,其中是二次函数的有____个。
m2?m2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？2、二次函数的图像及性质y y 0 x 0 x 抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)?b4ac?b2????2a,4a????直线x??b2ay=ax2+bx+c(a<0)?b4ac?b2????2a,4a????直线x??b2a由a,b和c的符号确定a>0,开口向上在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.b4ac?b2当x??时,y最小值为2a4a由a,b和c的符号确定 a<0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.b4ac?b2当x??时,y最大值为2a4a13例2：已知二次函数 y?x2?x?22（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？3、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式. y=a(x-h)2+k(a≠0)3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。
中考数学一轮复习《二次函数的综合运用》练习题(含答案)
中考数学一轮复习《二次函数的综合运用》练习题（含答案）课时1与线段、周长有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017滨州)如图，直线y＝kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.(1)求直线y＝kx＋b的函数解析式；(2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．第1题图2. (2017宁波)如图，抛物线y＝14x2＋14x＋c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点C(6，152)在抛物线上，直线AC与y轴交于点D.(1)求c的值及直线AC的函数表达式；(2)点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连接PQ与直线AC交于点M，连接MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长．(用含m的代数式表示)第2题图3. (2017东营)如图，直线y＝－33x＋3分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点．(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y 轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．第3题图4. (2017武汉)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m>2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G 作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．第4题图课时2 与面积有关的问题 (建议答题时间：40分钟)1. (2017深圳)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过点A (－1，0)，B (4，0)，交y 轴于点C .(1)求抛物线的解析式(用一般式表示)；(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D ，使S △ABD ＝32S △ABC ，若存在请直接给出点D 坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°得到BE ，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长．第1题图2. (2017盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B .(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点．①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；②过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．3. (2017海南)抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y＝35x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△CNQ 与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．第3题图4. (2017重庆南开一模) 已知抛物线y＝－13x2＋13x＋4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC、BC.(1)求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；(2)如图①，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y 轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NK⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1∶2时，求动点P的运动时间t的值；(3)如图②，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH(正方形顶点按顺时针顺序)，当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．第4题图课时3与三角形、四边形形状有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B(4，0)，与过A点的直线相交于另一点D(3，52)，过点D作DC⊥x轴，垂足为C.(1)求抛物线的表达式；(2)点P在线段OC上(不与点O、C重合)，过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；(3)若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．第1题图2. (2017广安)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴相交于点A(0，3)，与x 正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1.(1)求此抛物线的解析式及点B的坐标；(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A 点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形；②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t值；若不能，请说明理由．第2题图3. (2017潍坊)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)、B(－1，0)、D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点．设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；(2)当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使△P AE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．4. (2017重庆九龙坡区模拟)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝33x2－83x－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM＋1010MC的最小值；(3)如图②，点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为3，对称轴右侧的抛物线上有一动点E，过点E作EH∥CK，交对称轴于点H，延长HE至点F，使得EF＝533，在平面内找一点Q，使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q，若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由．第4题图课时4二次函数的实际应用(建议答题时间：20分钟)1. (2017临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：t 01234567…h 08141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝92；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 42. (2017金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O点正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.(1)当a＝－124时，①求h的值，②通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为12 5m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．第2题图3. (2017扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a值．(日获利＝日销售利润－日支出费用)答案课时1 与线段、周长有关的问题1. 解：(1)∵直线y ＝kx ＋b 经过点A (－4，0)，B (0，3)， ∴⎩⎨⎧0＝－4k ＋b3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34b ＝3， ∴直线的函数解析式为y ＝34x ＋3；(2)如解图，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ∥y 轴交直线AB 于点N .第1题解图∴∠PNM ＝∠ABO ， ∵∠AOB ＝∠NMP ＝90°， ∴△AOB ∽△PMN ， ∴AO PM ＝AB PN ， ∵OA ＝4，OB ＝3， ∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5， ∴PM ＝45PN ，∵点P 是抛物线上的点，PN ∥y 轴， ∴P (x ，－x 2＋2x ＋1)，N (x ，34x ＋3)，∴PN ＝34x ＋3－(－x 2＋2x ＋1)＝x 2－54x ＋2＝(x －58)2＋10364，PM ＝d ＝45(x －58)2＋10380，∴当x ＝58时，PM 取得最小值10380，此时P 点坐标为(58，11964)；(3)∵抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C，∴C(0，1)，对称轴为直线x＝－22×（－1）＝1，如解图，作点C关于对称轴的对称点G，则G点坐标为(2，1)，点G到直线AB的距离即为CE＋EF的最小值，最小值为d＝45×(2－58)2＋10380＝145.2. (1)解：把点C(6，152)代入抛物线解析式可得152＝9＋32＋c，解得c＝－3，∴y＝14x2＋14x－3，当y＝0时，14x2＋14x－3＝0，解得x1＝－4，x2＝3，∴A(－4，0)，设直线AC的函数表达式为：y＝kx＋b(k≠0)，把A(－4，0)，C(6，152)代入y＝kx＋b中得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k＋b152＝6k＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝34b＝3，∴直线AC的函数表达式为：y＝34x＋3；(2)①证明：由(1)易得OA＝4，OB＝3，OD＝3，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB＝OBOA＝34.在Rt△AOD中，tan∠OAD＝ODOA＝34.∴∠OAB＝∠OAD，∵在Rt△POQ中，M为PQ中点，∴OM＝MP，∴∠MOP＝∠MPO，∵∠MOP＝∠AON，∴∠APM＝∠AON，∴△APM∽△AON；②解：如解图，过点M作ME⊥x轴于点E. 又∵OM＝MP，∴OE ＝EP ， ∵点M 横坐标为m ， ∴AE ＝m ＋4，AP ＝2m ＋4， ∵tan ∠OAD ＝34，∴cos ∠EAM ＝cos ∠OAD ＝45， ∴AM ＝54AE ＝5（m ＋4）4，∵△APM ∽△AON ， ∴AM AN ＝AP AO ， ∴AN ＝AM ·AO AP ＝5m ＋202m ＋4.第2题解图3. 解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ， ∴令x ＝0得y ＝3，令y ＝0得x ＝3，∴点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)． ∴tan ∠CBO ＝OC BO ＝33， ∴∠CBO ＝30°， ∴∠BCO ＝60°， ∵AC ⊥BC ， ∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝CO ·tan ∠ACO ＝3×33＝1， ∴点A 的坐标为(－1，0)；(2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎨⎧a －b ＋3＝09a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－33b ＝233，∴抛物线的解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋3； (3)∵MD ∥y 轴，∴∠MDH ＝∠BCO ＝60°， ∵MH ⊥BC ，∴HD ＝12MD ，MH ＝32MD .∴△DMN 的周长为(1＋12＋32)MD .设点D 的坐标为(t ，－33t ＋3)，则点M 的坐标为(t ，－33t 2＋233t ＋3)， ∵点M 在直线BC 上方的抛物线上，∴MD ＝(－33t 2＋233t ＋3)－(－33t ＋3)＝－33t 2＋3t ＝－33(t －32)2＋334. ∵0＜t ＜3，∴当t ＝32时，MD 有最大值，且MD 的最大值为334， ∴△DMH 周长的最大值为(1＋12＋32)×334＝93＋98.4. (1)解：将点A (－1，1)，B (4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中，⎩⎨⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ； (2)证明：∵A (－1，1)，F (0，m ) ∴直线AF 的解析式为：y ＝(m －1)x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，得12x 2－(m －12)x －m ＝0.∵A 、G 为直线AF 与抛物线的交点，∴x A ＋x G ＝－－（m －12）12＝2m －1，∴x G ＝2m －1－(－1)＝2m ，∴H (2m ，0)，∴直线HF 的解析式为：y ＝－12x ＋m . 由抛物线解析式易得E (1，0)， 又A (－1，1)，∴直线AE 的解析式为：y ＝－12x ＋12， ∵直线HF 与直线AE 的斜率相等， ∴HF ∥AE ； (3)解：t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－892. 【解法提示】由题意知直线AB 解析式为y ＝x ＋2，∴C (－2，0)，D (0，2)，P (t －2，t )，Q (t ，0)．∴直线PQ 的解析式为y ＝－t 2x ＋t 22， 设M (x 0，y 0)，由QM ＝2PM 可得：|t －x 0|＝2|x 0－t ＋2|， 解得：x 0＝t －43或x 0＝t －4.(i )当x 0＝t －43时，代入直线PQ 解析式得y 0＝23t .∴M (t －43，23t )，代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －43)2－12(t －43)＝23t ，解得t 1＝15＋1136，t 2＝15－1136；(ii )当x 0＝t －4时，y 0＝2t . ∴M (t －4，2t )，代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －4)2－12(t －4)＝2t ， 解得：t 3＝13＋892，t 4＝13－892.综上所述，t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－892.课时2 与面积有关的问题1. 解：(1)将点A (－1，0)，B (4，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋2中，得 ⎩⎨⎧a －b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；(2)存在，点D 的坐标为D 1(1，3)，D 2(2，3)，D 3(5，－3)． 【解法提示】如解图①，过点D 作DM ⊥AB 于点M . 设D (m ，－12m 2＋32m ＋2)(m >0)，则DM ＝|－12m 2＋32m ＋2|. ∵A (－1，0)，B (4，0)， ∴AB ＝5.∵抛物线交y 轴于点C ，∴y ＝－12x 2＋32x ＋2中，令x ＝0，有y ＝2， ∴C (0，2)，∴OC ＝2. ∵OC ⊥AB ，∴S △ABC ＝12AB ·OC ＝5，第1题解图①又∵S △ABD ＝32S △ABC ，∴DM ＝|－12m 2＋32m ＋2|＝32OC ＝3，当－12m 2＋32m ＋2＝3时，解得m 1＝1，m 2＝2，此时D 1(1，3)，D 2(2，3)；当－12m 2＋32m ＋2＝－3时，解得m 3＝－2(舍去)，m 4＝5，此时D 3(5，－3)． 综上所述，点D 的坐标为D 1(1，3)，D 2(2，3)，D 3(5，－3)．(3)如解图②，过点C 作CF ⊥BC 交BE 于点F ，过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，过点E 作EG ⊥x 轴于点G .第1题解图②∵CF ⊥BC ，∠CBF ＝45°，∴△BCF 是等腰直角三角形，且BC ＝CF ， ∴∠OCB ＋∠FCH ＝90°， 又∵FH ⊥y 轴，∴∠CFH ＋∠FCH ＝90°， ∴∠OCB ＝∠CFH ， 而BC ＝CF ，∴△BOC ≌△CHF (AAS )， 又∵B (4，0)，C (0，2)，∴CH ＝OB ＝4，FH ＝OC ＝2， ∴OH ＝6， ∴F (2，6)．设BE 的解析式为y ＝kx ＋c ，将B (4，0)，F (2，6)代入y ＝kx ＋c ，得 ⎩⎨⎧4k ＋c ＝02k ＋c ＝6，解得⎩⎨⎧k ＝－3c ＝12， ∴BE 的解析式为y ＝－3x ＋12.联立抛物线和直线BE 的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x 2＋32x ＋2y ＝－3x ＋12， 解得⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝0(舍去)，⎩⎨⎧x 2＝5y 2＝－3，∴E (5，－3)， ∵EG ⊥x 轴， ∴BG ＝1，EG ＝3，∴在Rt △BEG 中，BE ＝BG 2＋EG 2＝10. 2. 解：(1)据题意得，A (－4，0)，C (0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 过A 、C 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b ＋c 2＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－12x 2－32x ＋2； (2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0， ∴x 1＝－4，x 2＝1， ∴B (1，0)，如解图①，过D 作DM ⊥x 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ，第2题解图①∴DM ∥BN ， ∴△DME ∽△BNE ，∴S 1S 2＝DE BE ＝DM BN， 设D (a ，－12a 2－32a ＋2)，则M (a ，12a ＋2)，∴DM ＝－12a 2－32a ＋2－(12a ＋2)＝－12a 2－2a ，在y ＝12x ＋2中，令x ＝1，则y ＝52，∴BN ＝52， ∵B (1，0)， ∴N (1，52)，∴S 1S 2＝DM BN ＝－12a 2－2a52＝－15(a ＋2)2＋45，∴当a ＝－2时，S 1S 2取最大值为45；②如解图②，第2题解图②∵A (－4，0)，B (1，0)，C (0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 中点P ，并连接CP ， ∴P (－32，0)， ∴P A ＝PC ＝PB ＝52， ∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC )＝43； 情况1：过D 作x 轴的平行线，交y 轴于R ，交AF 延长线于G ，则∠DGC ＝∠BAC ， 若∠DCF ＝2∠BAC ，即∠DGC ＋∠CDG ＝2∠BAC ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12. 即RC DR ＝12，设D (d ，－12d 2－32d ＋2)，∴DR ＝d ，RC ＝－12d 2－32d ，∴－12d 2－32dd ＝12， ∴d 1＝0(舍)，d 1＝－2， ∴x D ＝－2；情况2：如解图③，过A 作AQ ∥DF ，交CD 延长线于点Q ，过Q 作QH ⊥x 轴于点H ，若∠FDC ＝2∠BAC ， 即∠AQC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠AQC ＝AC AQ ＝25AQ ＝43， ∴AQ ＝352，△QHA ∽△AOC ， ∴AH OC ＝AQ AC ＝HQ AO ＝34，第2题解图③∴AH ＝32，HQ ＝3， ∴Q (－112，3)，又C (0，2)，∴易求直线QC 的解析式为y ＝－211x ＋2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－211x ＋2y ＝－12x 2－32x ＋2，∴12x 2＋2922x ＝0， x 1＝0(舍去)，x 2＝－2911， ∴x D ＝－2911，综上所述，D 点的横坐标为－2或－2911.3. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A (1，0)和点B (5，0)．∴⎩⎨⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185，∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)∵点P 是抛物线上的动点，且位于x 轴下方， ∴可设点P (t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 相交于点M 、N ， ∴M (t ，0)，N (t ，35t ＋3)．①∵点C ，D 是直线与抛物线的交点，∴令35x 2－185x ＋3＝35x ＋3，解得x 1＝0，x 2＝7.当x ＝0时，y ＝35x ＋3＝3，当x ＝7时，y ＝35x ＋3＝365.∴点C (0，3)，D (7，365)．如解图，分别过点C 和点D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E ，F ，第3题解图则CE ＝t ，DF ＝7－t ，S ΔPCD ＝S ΔPCN ＋S ΔPDN ＝12PN ·CE ＋12PN ·DF ＝12PN (CE ＋DF )＝72PN ，当PN 最大时，△PCD 的面积最大．∵PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，∴当t ＝72时，PN 取最大值为14720，此时△PCD 的面积最大，最大值为12×7×14720＝102940； ②存在.∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°，∴当NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM 时，△CNQ 与△PBM 相似． ∵CQ ⊥PM ，垂足为点Q ， ∴Q (t ，3)．且C (0，3)，N (t ，35t ＋3)， ∴CQ ＝t ，NQ ＝(35t ＋3)－3＝35t .∴NQ CQ ＝35.∵P (t ，35t 2－185t ＋3)，M (t ，0)，B (5，0)．∴BM ＝5－t ，PM ＝－35t 2＋185t －3.情况1：当NQ CQ ＝PM BM 时，PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t )，解得t 1＝2，t 2＝5(舍去)，此时，P (2，－95)；情况2：当NQ CQ ＝BM PM 时，BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t 1＝349，t 2＝5(舍去)．此时，P (349，－5527)．综上所述，存在点P (2，－95)或者P (349，－5527)，使得△CNQ 与△PBM 相似． 4. 解：(1)令y ＝0，则－13x 2＋13x ＋4＝0，解得x ＝4或－3， ∴点A 坐标(－3，0)，点B 坐标(4，0)，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋b ，把B (4，0)，C (0，4)代入得⎩⎨⎧b ＝44k ＋b ＝0 ，解得⎩⎨⎧k ＝－1b ＝4，∴直线BC 解析式为y ＝－x ＋4；(2)如题图①，∵PN ∥OC ，NK ⊥BC ，∴∠MPB ＝∠MKN ＝90°， ∵∠PMB ＝∠NMK ， ∴△MNK ∽△MBP ，∵△MNK 与△MBP 的面积比为1：2，∴BM ＝2MN ， ∵OB ＝OC ， ∴∠PBM ＝45°， ∴BM ＝2PB ， ∴MN ＝PB ，设P (a ，0)，则MN ＝－13a 2＋13a ＋4＋a －4＝－13a 2＋43a ，BP ＝4－a ， ∴－13a 2＋43a ＝4－a ， 解得a ＝3或4(舍去)， ∴PB ＝1，t ＝15；(3)①如解图①中，过F 作FR ⊥x 轴于R ，交GH 于T ，当轴对称图形为筝形时，PF ＝PG ，GM ＝FM ， ∵BP ＝PG ＝AQ ，PQ ＝PF ， ∴AQ ＝PQ ＝5t ，过点Q 作QN ⊥AP ，则AN ＝NP ， 由△AQN ∽△ACO ，∴AQ AC ＝AN AO ，∵A (－3，0)，C (0，4)， ∴AC ＝5， ∴5t 5＝AN 3， ∴AN ＝3t ， ∴AP ＝2AN ＝6t ， ∵AP ＋BP ＝AB ， ∴6t ＋5t ＝7， ∴t ＝711， ∴PB ＝PF ＝3511，易证△ACO ∽△FPR ∽△FMT ， ∴FP FR ＝AC AO ，∴FR ＝2111，TF ＝3511－2111＝1411， ∴FM AC ＝TF AO， ∴FM ＝7033，∴S ＝2×12PF ·FM ＝2450363；②如解图②中，当轴对称图形是正方形时，3t ＋5t ＝7，∴t ＝78，∴S ＝494.第4题解图① 第4题解图② 课时3 与三角形、四边形形状有关的问题1. 解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过B (4，0)，D (3，52)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ＋152＝9a ＋3b ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34b ＝114，∴抛物线的表达式为y ＝－34x 2＋114x ＋1；(2)∵抛物线y ＝－34x 2＋114x ＋1与y 轴交于点A ， ∴点A 的坐标为A (0，1)，设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝d 52＝3k ＋d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12d ＝1，∴直线AD 的表达式为y ＝12x ＋1. ∵CD ⊥x 轴，点D 的坐标为D (3，52)， ∴点C 的坐标为C (3，0)， 设P (m ，0)，则0<m <3. ∵PN ⊥x 轴， ∴M (m ，12m ＋1)，∴PM ＝12m ＋1，CP ＝3－m ，∴S △PCM ＝12PM ·CP ＝12×(12m ＋1)×(3－m )＝－14(m －12)2＋2516， ∴当m ＝12时，△PCM 面积取得最大值为2516； (3)∵OP ＝t ，∴P (t ，0)，M (t ，12t ＋1)，N (t ，－34t 2＋114t ＋1)， ∴MN ＝|－34t 2＋114t ＋1－(12t ＋1)|＝|－34t 2＋94t |， ∵CD ∥MN ，∴要使得四边形MNDC 是平行四边形，只需MN ＝CD 即可． ∵CD ＝52，∴只需|－34t 2＋94t |＝52，化简得3t 2－9t ＋10＝0或3t 2－9t －10＝0.当3t 2－9t ＋10＝0时，Δ＝81－120<0，方程无解； 当3t 2－9t －10＝0时，Δ＝81＋120＝201>0， ∴t ＝9±2016， ∵t >0， ∴t ＝9＋2016，∴当t 为9＋2016时，四边形MNDC 是平行四边形． 2. 解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)， ∴c ＝3，∵对称轴是直线x ＝1， ∴－b2×（－1）＝1，解得b ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3； 令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1(不合题意，舍去)， ∴点B 的坐标为(3，0)；(2)①由题意得ON ＝3t ，OM ＝2t ，则点P (2t ，－4t 2＋4t ＋3)， ∵四边形OMPN 为矩形， ∴PM ＝ON ，即－4t 2＋4t ＋3＝3t ， 解得t 1＝1，t 2＝－34(不合题意，舍去)， ∴当t ＝1时，四边形OMPN 为矩形；②能，在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝3，∴∠B ＝45°， 若△BOQ 为等腰三角形，有三种情况： (ⅰ)若OQ ＝BQ ，如解图①所示： 则M 为OB 中点，OM ＝12OB ＝32， ∴t ＝32÷2＝34； (ⅱ)若OQ ＝OB ，∵OA ＝3，OB ＝3，∴点Q 与点A 重合，即t ＝0(不合题意，舍去)； (ⅲ)若OB ＝BQ ，如解图②所示： ∴BQ ＝3，∴BM ＝BQ ·cos 45°＝3×22＝322， ∴OM ＝OB －BM ＝3－322＝6－322， ∴t ＝6－322÷2＝6－324，综上所述，当t 为34秒或6－324秒时，△BOQ 为等腰三角形．第2题解图3. 解：(1)将点A 、B 、D 的坐标代入抛物线的解析式得：⎩⎨⎧c ＝3a －b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝2c ＝3， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)把y ＝0代入y ＝－x 2＋2x ＋3得：－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x ＝3或x ＝－1. ∴点E 的坐标为(3，0)．∵l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分， ∴直线l 经过平行四边形两对角线的交点， ∴直线l 经过点BD 的中点，即(12，32)．设EF 的解析式为y ＝kx ＋b ′，将(12，32)和(3，0)代入直线的解析式得⎩⎪⎨⎪⎧12k ＋b′＝323k ＋b′＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35b′＝95，∴直线EF 的解析式为y ＝－35x ＋95， 将直线EF 解析式与抛物线解析式联立可得， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－35x ＋95y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－25y ＝5125，∴F (－25，5125)，如解图①所示，连接PE ，过点P 作PG ⊥x 轴，交EF 于点G .第3题解图①设点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)，则点G 的坐标为(t ，－35t ＋95)， ∴PG ＝－t 2＋2t ＋3－(－35t ＋95) ＝－t 2＋135t ＋65.△PEF 的面积＝12PG ·|x E －x F |＝12×(3＋25)PG ＝12×175(－t 2＋135t ＋65)＝－1710t 2＋22150t ＋10250＝－1710·(t －1310)2＋289100×1710，∴当t ＝－b 2a ＝1310时，△PFE 的面积最大，最大面积为289100×1710， ∴最大值的立方根为3289100×1710＝1.7； (3)如解图②所示：当∠P AE ＝90°时，第3题解图②设直线AE 的解析式为y ＝k ′x ＋3，将点E 的坐标代入得：3k ′＋3＝0，解得k ′＝－1.∴直线AE 的解析式为y ＝－x ＋3. ∴直线AP 的解析式为y ＝x ＋3.将y ＝x ＋3与y ＝－x 2＋2x ＋3联立，解得x ＝0时，y ＝3；x ＝1时，y ＝4. ∴P (1，4)． ∴t ＝1.如解图③所示：当∠APE ＝90°时，第3题解图③设点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)．设直线AP 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，PE 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2. 将点A 和点P 的坐标代入y ＝k 1x ＋b 1得⎩⎨⎧b 1＝3tk 1＋b 1＝－t 2＋2t ＋3，解得k 1＝－t ＋2.将点P 、E 代入y ＝k 2x ＋b 2得⎩⎨⎧3k 2＋b 2＝0tk 2＋b 2＝－t 2＋2t ＋3， 解得k 2＝－(t ＋1)． ∵P A 与PE 垂直，∴k 1·k 2＝－1，即－(t ＋1)×(－t ＋2)＝－1，整理得：t 2－t －1＝0，解得t ＝1＋52或t ＝1－52， ∵点P 在直线l 的上方， ∴t ＝1－52(舍去)．综上所述，当t ＝1或t ＝1＋52时，△P AE 为直角三角形．4. 解：(1)△ABC 是直角三角形. 理由如下：对于抛物线y ＝33x 2－83x －3，令y ＝0, 得33x 2－83x －3＝0，解得x ＝－33或3 3. 令x ＝0，y ＝－ 3.∴A (－33，0)，C (0，－3)，B (33，0)，∴OA ＝33，OC ＝3，OB ＝33， ∴AO OC ＝OC OB ＝13， ∵∠AOC ＝∠BOC ， ∴△AOC ∽△COB ， ∴∠ACO ＝∠OBC ， ∵∠OBC ＋∠OCB ＝90°， ∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°， ∴∠ACB ＝90°.即△ABC 为直角三角形；(也可以求出AC 、BC 、AB ，利用勾股定理逆定理证明)(2)如解图①中，设第四象限抛物线上一点N (m ，33m 2－83m －3)，点N 关于x轴的对称点P (m ，－33m 2＋83m ＋3)，过B 、C 分别作y 轴、x 轴的平行线交于点G ，连接PG .第4题解图①∵G (33，－3)，∴S ΔPBC ＝S ΔPCG ＋S ΔPBG －S ΔBCG ＝12×33×(－33m 2＋83m ＋23) ＋12×3×(33－m )－12×33×3＝－32(m －736)2＋1218.∵32<0，∴当m ＝736时，△PBC 的面积最大，此时P (736，1134)． 如解图②，作ME ⊥CG 于点E ，第4题解图②∵CG ∥OB ， ∴∠OBC ＝∠ECM ， ∵∠BOC ＝∠CEM ， ∴△CEM ∽△BOC ，∵OC ∶OB ∶BC ＝1∶3∶10， ∴EM ∶CE ∶CM ＝1∶3∶10， ∴EM ＝1010CM ，∴PM ＋1010CM ＝PM ＋ME ，∴根据垂线段最短可知，当PE ⊥CG 时，PM ＋ME 最短， ∴PM ＋1010MC 的最小值为1134＋3＝1534； (3)存在，理由如下：① 如解图③，当DH ＝HF ，HQ 平分∠DHF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在的直线是对称轴．作CG ⊥HK 于G ，PH ∥x 轴，EP ⊥PH 于点P .第4题解图③∵FH ∥CK ，K (433，－2539)， 易知CG ∶GK ∶CK ＝3∶4∶5，由△EPH ∽△KGC ，得PH ∶PE ∶EH ＝3∶4∶5，设 E (n ，33n 2－83n －3)，则HE ＝53(n －433)，PE ＝43(n －433)． ∵DH ＝HF ，∴3＋[－33n 2＋83n ＋3－43(n －433)]＝53(n －433)＋533， 解得n ＝－3＋4716或n ＝－3－4716(舍去)．②如解图④，当DH ＝HF ，HQ 平分∠DHF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在直线是对称轴．同上面的方法可得[33n 2－83n －3＋43(n －433)]－3＝53(n －433)＋533，解得n ＝332＋5916或n ＝332－5916(舍去)．第4题解图④③如解图⑤，当DH ＝DF ，DQ 平分∠HDF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在直线是对称轴.第4题解图⑤设DQ 交HF 于M ，由△DHM ∽△CKG ，可知HM ∶DH ＝4∶5，则12×[53(n －433)＋533]∶[33n 2－83n －3＋43(n －433)－3]＝4∶5，解得n ＝19316＋3345948或n ＝19316－3345948(舍去)． 综上所述，满足条件的点E 的横坐标为－3＋4716或332＋5916或19316＋3345948.课时4 二次函数的实际应用1. B 【解析】由足球距离地面的高度h 与足球被踢出后经过的时间t 之间关系可求得h 与t 的函数关系式为：h ＝－t 2＋9t ，当t ＝1.5时，可得h ＝11.25，所以④错误；当h ＝0时，可得－t 2＋9t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝9，所以足球被踢出9秒时落地，由h ＝－t 2＋9t 可得对称轴是t ＝92，故②③正确；当t ＝92时，h ＝－814＋812＝814＝20.25，所以①错误；正确结论的个数为2个，故选B .2. 解：(1)①把P (0，1)代入y ＝－124(x －4)2＋h 中得h ＝53； ②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53，得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625. ∵1.625＞1.55. ∴此球能过网；(2)把P (0，1)，Q (7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝19a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15h ＝215， ∴a ＝－15.3. 解：(1)p 与x 之间满足一次函数关系p ＝kx ＋b ，点(50，0)，(30，600)在图象上，∴⎩⎨⎧50k ＋b ＝030k ＋b ＝600， 解得⎩⎨⎧k ＝－30b ＝1500， ∴p 与x 之间的函数表达式为p ＝－30x ＋1500(30≤x ≤50)； (2)设日销售价格为x 元/千克，日销售利润为w 元，依题意得 w ＝(－30x ＋1500)(x －30)＝－30x 2＋2400x －45000(30≤x ≤50)， ∵a ＝－30<0，∴w 有最大值． 当x ＝－24002×（－30）＝40时，w 最大＝3000(元)；故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大． (3)∵w ＝p (x －30－a )＝－30x 2＋(2400＋30a )x －(1500a ＋45000)， 对称轴为x ＝－2400＋30a 2×（－30）＝40＋12a .①若a >10，当x ＝45时w 取最大值，即(45－30－a )×150＝2250－150a <2430(舍去)；②若a <10，当x ＝40＋12a 时w 取最大值，将x ＝40＋12a 代入，得w ＝30(14a 2－10a ＋100)，令w ＝2430，则30(14a 2－10a ＋100)＝2430，解得a 1＝2或a 2＝38(舍去)． 综上所述，a 的值为2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级数学8－1（共4页）
2006年中考数学第一轮复习专题训练
(八)
（二次函数及其应用）
一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）
１、抛物线 y ＝－x 2＋1 的开口向＿＿＿＿。
２、抛物线 y ＝2x 2 的对称轴是＿＿＿＿。
３、函数 y ＝2 (x －1)2 图象的顶点坐标为＿＿＿＿。
４、将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿。
５、函数 y ＝x 2
＋bx ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝＿＿＿＿。
６、二次函数 y ＝(x －1)2
＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值。
７、函数 y ＝1
2 (x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大。
８、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2
＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿。
９、若点 A ( 2, m) 在函数 y ＝x 2－1 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿。
10、抛物线 y ＝2x 2＋3x －4 与 y 轴的交点坐标是＿＿＿＿。
11、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
12、已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示：则这个
二次函数的解析式是 y ＝＿＿＿。
二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、在圆的面积公式 S ＝πr 2
中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二
次函数关系
２、已知函数 y ＝(m ＋2) x 是二次函数，则 m 等于（ ） A 、±2 B 、2 C 、－2 D 、±2
３、已知 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则 a 、b 、c 满足（ ）
A 、a ＜0，b ＜0，c ＜0
B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0
C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0
D 、a ＜0，b ＜0，c ＞0 ４、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t
满足 S ＝12gt 2
（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）
A B C D ５、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）
A 、开口向下
B 、对称轴是 y 轴
C 、与 y 轴不相交s
t O
s
t
O
s t
O
s t
O
m …………………………密……………………封……………………装……………………订………………学校：＿＿＿＿＿＿ 班级：＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 座号：＿＿＿＿
x y O 1
1
2 -1
x y O
九年级数学8－2（共4页）
D 、最高点是原点 ６、抛物线 y ＝x 2
－4x ＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ）
A 、0
B 、4
C 、－4
D 、2 三、解答题：（每题 9 分，共 45 分）
１、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将
长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式。
② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2。
２、已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。
３、已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。
４、用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
５、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年种蔬菜的销售
价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系。
观察图像，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？（至少写出四条）
4cm 3c
m xcm
xcm
x
九年级数学8－3（共4页）
四、（10分）校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与
水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 y ＝－112x 2＋23x ＋5
3
，求小明这次试掷的成绩及铅
球的出手时的高度。
五、（10分）某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收33万元，设生产线投产后，从第一年到第 x 年维修、保养费累计．．为 y （万元），且 y ＝ax 2
＋bx ，若第一年的维修、保养费为 2 万元，第二年的为 4 万元。
求：y 的解析式。
六、（12分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m ，跨度为 10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中。
①求这条抛物线所对应的函数关系式。
②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？
3.5
0.5 0 2 7
月份
千克销售价(元)
七、（13分）商场销售一批衬衫，每天可售出20 件，每件盈利40 元，为了扩大
销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件。
①设每件降价x 元，每天盈利y 元，列出y 与x 之间的函数关系式；
②若商场每天要盈利1200 元，每件应降价多少元？
③每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
答案：
（八）
一、1、下2、y 轴3、(1, 0)4、y＝2x2－25、46、17、＞18、(x －1)2＋2
9、(2, 3)10、(0, －4)11、y＝(x－2)2＋312、(x－1)2－1
二、1、D2、B3、D4、B5、C6、B
三、1、①y＝(4＋x) (3＋x)－12＝7x＋x2②8＝7x＋x2x1＝1，x2＝－8
2、解：y＝a (x＋2)2＋1－2＝a (1＋2)2＋1a＝－1
3
∴y＝－
1
3
(x＋2)2＋1
3、解：设y＝ax2＋bx＋c，则：1＝c
1＝4a＋2b＋c
4＝9a＋3b＋c
，解得
a＝1
b＝－2
c＝1
∴y＝x2－2x＋1
4、解：设宽为x、m，则长为(3－3
2
x) m S＝3x－3
2
x2＝－3
2
(x2－2x) ＝－3
2
(x
－1)2＋3
2
当x＝1时，透光面积最大为
3
2
m2。
5、①2月份每千克3.5元②7月份每千克0.5克③7月份的售价最低④2～7月
份售价下跌
四、解：成绩10米，出手高度5
3
米
九年级数学8－4（共4页）
五、①解：2＝a＋b
6＝4a＋2b 解得a＝1
b＝1
∴y＝x2＋x
六、解：①设y＝a (x－5)2＋40＝a (－5)2＋4a＝－4
25
∴y＝－
4
25
(x－5)2＋4
②当x＝6时，y＝－4
25
＋4＝3.4(m)
七、解：①y＝(40－x) (20＋2x)＝－2x2＋60x＋800②1200＝－2x2＋60x＋800
x1＝20，x2＝10∵要扩大销售∴x取20元
③y＝－2 (x2－30x)＋800＝－2 (x－15)2＋1250∴当每件降价15元时，盈利最大为1250元
九年级数学8－5（共4页）。