高三数学一轮复习正弦定理和余弦定理
高中数学一轮复习 4.7 正弦定理和余弦定理
第七节 正弦定理和余弦定理1．正弦定理 2．余弦定理 3．三角形的面积公式第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( ) A ．7.5 B ．7 C ．6 D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________. [题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24 B ．－24 C.34 D ．－342.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C . (1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba＝2”，那么△ABC 的形状为________．[课时跟踪检测]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b＝( )A ．14B ．6 C.14 D. 65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c＝________.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小； (2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．第二课时 正弦定理和余弦定理(二)考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( ) A ．37 B.372 C ．9 D.92(2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝______. [变透练清]1.(变条件)本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 2.(变结论)本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca 的取值范围是________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．考点二 平面图形中的计算问题[典例] 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[题组训练]1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．2.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ；(2)求BE 的长．考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π4C.⎣⎡⎦⎤π6，π4D.⎣⎡⎦⎤π6，π3 (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A.32 B.22 C.12 D ．－12[题组训练]1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( ) A. 2 B.98 C ．1 D.782．在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________． 3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A3sin C .(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] 已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．[对点训练]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值． [课时跟踪检测]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.14C ．1D ．22．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3， S △ABC ＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．2或34．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．25．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( )A.33 B.32C. 3 D ．2 3 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 27．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________．9．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC 上，AD ＝1，且BD ＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.10．如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c (1＋cos B )＝b (2－cos C )． (1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求c os ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．。
2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理【课件】
cos B＝____2_a_c____； a2＋b2－c2
cos C＝_____2_a_b_____
④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A
解斜
①已知三边，求各角；
三角 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和它们的夹
形的 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 角，求第三边和其他两
第四章 三角函数与解三角形
第22讲 解三角形
激活思维
1．在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A的大小为
(
A)
A．120°
B．90°
【解析C】．由60余°弦定理知 cos A＝b2＋2cb2c－a2D＝．－4125，°所以 A＝120°.
2．在△ABC 中，设 b＝5，c＝5 3，A＝30°，则 a＝
问题
个角
2．三角形常用面积公式
(1) S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)； (2) S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.
3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝b sin A __一__解____
b sin A＜a＜b ___两__解___
6＋ 2
则由正弦定理sinb B＝sinc C，得 c＝bssininBC＝2ssiinn6705°°＝2×
4 3
＝
2＋
6 3.
2
6
3 A＝4，B＝π，b＝ 3，则 a＝5______，c＝____5________．
53
【解析】由 cos A＝45，可知 A 为锐角，所以 sin A＝ 1－cos2A＝35.由正弦定理，得 a＝
正弦定理与余弦定理课件-2024届高考数学一轮复习
由正弦定理，得
＝
，则 AC ＝
h ，所以 AB ·h ＝ AB ·AC ·sin A .
×
＝2 .设 AB 边上的高为
所以 h ＝ AC ·sin A ＝2
×
＝6.
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考向2 三角形的解的个数问题
例2 已知△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边长分别为 a ， b ， c .若 a ＝
sin A ＝
＝
.
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（2） 若 AB ＝5，求 AB 边上的高.
解：（2） 由（1）知， cos A ＝
＝ sin A cos C ＋ cos A sin C ＝
＝
，所以
sin B ＝ sin （ A ＋ C ）
×（
＋
）＝
.在△ ABC 中，
D. （1，2）
C
）
总结提炼
可以用数形结合的方法确定三角形的解的个数.
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考点二
判断三角形的形状
例3 （多选）在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边长分别为 a ， b ， c .
sin
sin
sin
若
＝
＝
（ m ∈N*），则当 m 取不同的值时，关于△ ABC 的
6
8
形状，下列说法正确的是（
（1） 在△ ABD 中，由余弦定理，得 cos ∠ ABD ＝
AB ∥ CD ，所以∠ BDC ＝∠ ABD . 所以 cos
余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
2
5
10
(2)[2021全国卷乙]记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为
3 ， B ＝60°， a 2＋ c 2＝3 ac ，则 b ＝
1
2
[解析] 由题意得 S △ ABC ＝ ac sin B ＝
2 2
3
ac ＝
4
.
3 ，则 ac ＝4，所以 a 2＋ c 2＝3 ac ＝
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜b sinA
解的个数
无解
a＝b sinA
⑪ 一解
b sin A＜a＜b
⑫
两解
a≥b
⑬ 一解
a＞b
a≤b
一解
无解
3. 三角形中常用的面积公式
△ ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c .则：
1
(1) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高)；
(2，8) .
2 + 1 > 0，
1
[解析] ∵2 a ＋1， a ，2 a －1是三角形的三边，∴ > 0，
解得 a ＞ .显然2 a
2
2 − 1 > 0，
＋1是三角形的最大边，则要使2 a ＋1， a ，2 a －1构成三角形，需满足 a ＋2 a －1
＞2 a ＋1，解得 a ＞2.设最大边对应的角为θ(钝角)，则 cos θ＝
(
D )
A. 1
B. 2
C. 5
D. 3
[解析] 由余弦定理得 AC 2＝ AB 2＋ BC 2－2 AB ·BC ·cos B ，得 BC 2＋2 BC －15＝
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
第五章 第七节正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
D)
D. 41
− = − ,由余弦定理得,
− × × × − = ,所以
（2）在△ ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a = 6,b = 2c,cos A =
1
− .
4
①求c的值；
1
2
解 因为a2 = b2 + c 2 − 2bccos A,所以6 = b2 + c 2 + bc,而b = 2c,代入得
A+B
cos
2
=
A+B
2
C
2
= cos ；
C
sin .
2
π
3
2.等差关系:若三角形三内角A,B,C成等差数列,则B = ,A + C =
c成等差数列,则 2b = a + c ⇔ 2sin B = sin A + sin C .
3.在△ ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,
A > B ⇔ a > b ⇔ sin A > sin B ⇔ cos A < cos B .
⋅ − = ,所以 = 或 = ,所以 = 或 = 或
= − （舍去）,所以△ 为等腰三角形或直角三角形.
（2）（多选题）已知a,b,c分别是△ ABC三个内角A,B,C的对边,下列四个说法中,正确
的有( ACD )
=
故选B.
. ∵
∈ , ,∴ > ,∴ = ,即 =
,∴△
为直角三角形.
（2）在△ ABC中,已知a + b =
正弦定理与余弦定理(高三一轮复习)
150°不符合题意，舍去．可得B＝30°.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 12 —
5．(易错题)在△ABC中，若ab＝ccooss AB，则△ABC的形状为( D )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
解析 因为ab＝ccooss BA，所以由正弦定理可得ssiinn AB＝ccooss AB，即sin Acos A＝sin Bcos
— 10 —
3．(2023·江门检测)在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，则cos A＝( A )
12 A.2 B. 2
3 C. 2
D．－
2 2
解析 在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，由余弦定理得cos A＝ 422＋×342×－313＝16＋294－13＝12.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 16 —
针对训练 1．(2023·陕西渭南月考)在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC ＝( B ) A．2 2 B．3 C．6 D. 6 解析 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，故 49＝25＋BC2－2×5×BC× －12 ，即BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍 去)．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 9—
2．在△ABC中，若AB＝3，BC＝3 2，∠B＝45°，则△ABC的面积为( D )
A．2 2 B．4
7 C.2
9 D.2
解析 由题意，S△ABC＝12AB·BC·sin∠B＝12×3×3 2× 22＝92.
余弦定理正弦定理课件高三数学一轮复习
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c a2=_b_2_+_c_2_-2_b_c_c_o_s_A__; b2=_c_2_+_a_2_-2_c_a_c_o_s_B__; c2=_a_2_+_b_2_-_2_a_b_co_s__C_
cos A=; 变形 cos B=;
cos C=
3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下: A为锐角
(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当 b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.( × ) 提示: (4)当b2+c2-a2>0时,△ABC不一定为锐角三角形.
12
核心考点·分类突破
考点二利用正、余弦定理判断三角形形状 [ 例 1](1)(2023·绥 化 模 拟 ) 设 △ABC 的 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 若 acos A=bcos B=ccos C,则△ABC的形状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.三边比为1∶2∶3的三角形
图形
关系式 a=bsin A bsin A<a<b
解的个数 _一__解__
_两__解__
a≥b _一__解__
A为钝角或直角
a>b _一__解__
a≤b _无__解__
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × ) 提示:(1)已知三角时,不可求三边. (2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( √ ) (3)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.( × ) 提示: (3)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
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•∴sinA>0，sinB>0，
•∴sinAcosA＝sinBcosB.
整理课件
20
即 sin2A＝sin2B. 又 2A、2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B 或 2A＋2B＝π. 即 A＝B 或 A＋B＝π2. 因此△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
解析：根据正弦定理sianA＝sibnB得：sin2A＝sin630°⇒sinA
＝ 22，又a<b，∴A<B，A＝45°.
•答案：C
整理课件
8
2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、
b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于( )
1
3
A.4
B.4
2 C. 4
2 D. 3
整理课件
•a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]
•＝b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]
•∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.
•由正弦定理可得：
•sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA.
•即sinAsinB·(sinAcosA－sinBcosB)＝0.
•∵A、B∈(0，π)，
sAinBC＝sBinCA.
于是 AB＝ssiinnCABC＝2BC＝2 5.
(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得
cosA＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝2
5
5 .
于是 sinA＝ 1－cos2A＝整理5课5件.
14
从而 sin2A＝2sinAcosA＝45， cos2A＝cos2A－sin2A＝35.
由正弦定理得 sinB＝bsianA，
因为 b2＝ac 且∠A＝60°，
所以bsicnB＝b2sianc60°＝s整in理6课0件°＝
3 2.
17
法二：在△ABC 中，由面积公式得
12bcsinA＝12acsinB， 因为 b2＝ac，∠A＝60°，
所以bsicnB＝sinA＝
3 2.
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18
整理课件
6
•2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA<a<b a≥b
解的 个数
一解
两解
一解
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a>b a≤b
一解
无解
7
1．已知△ABC中，a＝ 2 ，b＝ 3 ，B＝60°，那么角A
等于( )
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°
9
解析：∵a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac， ∴cosB＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋2ca2c－ac ＝a2＋44aa22－2a2＝34.
• 答案：B
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3．已知△ABC 中，b＝2，c＝ 3，三角形面积 S＝32，
则角 A 等于( )
A．30°
B．60°
C．30°或 150°
D．60°或 120°
• 在△ABC中，已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2 －b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．
•【思路导引】 利用正弦定理或余弦定理进 行边角互化，转化为关于边或角的关系，然后 再解决问题．在转化中，常向角的方向转化， 因为有众多的三角公式可以使用．
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19
•【解析】 法一：条件可化为：
解析：由 S＝12bcsinA 可得 sinA＝ 23， ∴A＝60°或 120°.
•答案：D
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•4．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数 列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的 长为________．
解析：如图所示，B＝60°，AB＝1，BD＝2. 由余弦定理知 AD＝ AB2＋BD2－2AB·BD·cos60° ＝ 12＋22－2×1×2cos60°＝ 3.
定理
正弦定理
余弦定理
sianA＝sibnB＝sincC＝2R
a2＝ b2＋c2－2bccosA
.
内容
b2＝ a2＋c2－2accosB
.
c2＝ a2＋b2－2abcosC
.
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4
定理
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2RsinA，b＝2RsinB ，
变形形式
c＝2RsinC .a
b
②sinA＝c 2R ，sinB＝2R ，
答案： 3
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12
(2009·天津高考)在△ABC 中，BC＝ 5，AC＝3，sinC ＝2sinA.
(1)求 AB 的值； (2)求 sin(2A－π4)的值．
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13
•【思路导引】 (1)由正弦定理可求AB；(2)由 余弦定理求cosA，进而求结论．
【解析】 (1)在△ABC 中，根据正弦定理，
•第六节 正弦定理和余弦定理
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1
•点 击 考 纲
•掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简 单的三角形度量问题.
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2
•关 注 热 点
•1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其 面积是高考考查的热点．
•2.常与三角恒等变换相结合，综合考查边角互 化，三角形形状的判断等.
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3
•1．正弦定理和余弦定理
sinC＝2R (其中R是△ABC
外接圆半径) ③a∶b∶c＝
cosA＝ cosB＝
b2＋c2－a2 2bc
a2＋c2－b2 2ac
； ；
sinA∶sinB∶sinC ④asinB ＝bsinA，bsinC＝csinB，
a2＋b2－c2 cosC＝ 2ab
；
asinC＝csinA
解决解斜
三角形的 问题
所以
sin(2A－π4)＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝
2 10 .
•【方法探究】 (1)正弦、余弦定理是处理三 角形有关问题的有力工具，有时还要结合三角 形的其他性质来处理，如大角对大边，三角形 内角和定理等．
•(2)正弦定理中的比值2R在解题中常用．
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15
1．在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对 边长，已知 a、b、c 成等比数列，且 a2－c2＝ac－bc.
①已知两角和任一边，求另 ①已知三边，求各角；
一角和其他两条边．
②已知两边和它们的夹
②已知两边和其中一边的对 角，求第三边和其他两
角，求另一边和其整他理课两件角. 个角.
5
•在△ABC中，sinA>sinB与A>B间有何关系？
提示：在△ABC 中，sinA>sinB 是 A>B 的充要条件．因 为 sinA>sinB⇔2aR>2bR⇔a>b⇔A>B.
(1)求∠A 的大小； (2)求bsicnB的值．
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16
解析：(1)因为 a、b、c 成等比数列，所以 b2＝ac，
又因为 a2－c2＝ac－bc，
所以 b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC 中，由余弦定理得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12，
所以∠A＝60°. (2)法一：在△ABC 中，