分解因式(1)
第二章 2.1.3 因式分解 (1)新
3ab(a + b) − a − b
7c(x − y) − x + y
3
提取公因式法： 提取公因式法： 找准公因式，一次要提尽； 找准公因式，一次要提尽； 全家都搬走，留 1 把门守； 全家都搬走， 把门守； 提负要变号，变形看奇偶。 提负要变号，变形看奇偶。
例2
请把下列各式因式分解
(1)16a 2 − 1
2
(2) 3a + 6a = 3a (a + 2) (3) x 2 − 4 + 3x = ( x + 2)( x − 2) + 3 x (4) x 2 − 4 + 3x = ( x + 4)( x − 1) (5) x − 4 = ( x + 2)( x − 2)
2
(6) x − 4 = ( x + 2)( x − 2) 1 1 2 2 (7 ) x + 2 + 2 = ( x + ) x x
合作学习
把下列各式因式分解
(1)a 4 − 81
(2)4 x y − 9 xy
3 2 3
(3)3ax + 6axy + 3ay
2
注意: 注意:
（1）因式分解要彻底，直到不能分解为止。 因式分解要彻底，直到不能分解为止。 彻底 （2）通常先考虑提取公因式法，然后再考虑公式法。 通常先考虑提取公因式法，然后再考虑公式法。 提取公因式法
2ab
(3a − 2a2b2 −1 )
提取公因式法： 提取公因式法： 找准公因式，一次要提尽； 找准公因式，一次要提尽； 全家都搬走， 把门守。 全家都搬走，留 1 把门守。
例1
将下列各式分解因式： 将下列各式分解因式：
231.因式分解公式法(一)学案(试题+参考答案)
公式法（一）【目标导航】能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解．【复习导入】把下列各式分解因式：1．－4m3＋16m2－26m；2．(x－3)2＋(3x－9)；3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1；4（2011福建福州）分解因式：225x-=. 5．y2－25【合作探究】1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点：2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式：【合作探究】练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？(1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2；(4)－x2－y2；(5) 14a2b2－1；(6) x4－y4.例1 把下列多项式分解因式(1) 4x2－9；(2) (x＋p)2－(x＋q)2；(3) 16－125m2；(4)－(x＋2)2＋16(x－1)2．例2 把下列多项式分解因式(1) x4－y4；(2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－9x= ．(3)－14xy3＋0.09xy；(4)a2－b2＋a－b；(5)(p－4)(p＋1)＋3p.练习：把下列多项式分解因式(1) a2－125b2；(2) 9a2－4b2；(3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因式所得的结果是（）(A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4）(C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2）(4)－a4＋16；(5) m4(m－2)＋4(2－m)例3 在实数范围内分解因式(1) x2－2；(2) 5x2－3.例4(1) 计算：9972－9(2)设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．(3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31，你能求出x、y的值吗？【课堂操练】1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b).2．分解因式:4x2－9y2= ；3x2－27y2= ；a2b－b3= ；2x4－2y4= .3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（）A. x2＋y2B. x2＋y4C. x2－y4D. x2－2x4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，这个多项式是（）A. 4a2－b2B.4a2＋b2C. －4a2－b2D. －4a2＋b25．分解因式：(1)9a2－14b2；(2)2x3－8x；(3)(m＋a)2－(n－b)2.【课后巩固】1.把下列各式分解因式：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2(2) p4－16(3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2(4)22 ()() 44a b a b +--(5) 36a4x10－49b6y8(6) b2－(a－b＋c)2(7) (3x＋y－1)2－(3x－y＋1)2(8) 4(x＋y＋z)2－(x－y－z)2(9) (21135)2－(8635)2(10) 9×1.22－16×1.42(11) －12a2m＋1b m＋2＋20a m＋1b2m＋4(12) (x－2y)(2x＋3y)－2(2y－x)(5x－y)(13) －4a2＋(2x－3y)2(14) 2(x＋1)(x＋2)－x(x＋6)－8(15) （2011山东临沂）分解因式：9a－ab2＝．(16) (a－b)2－(b－a)4(17) (2x－1)3－8x＋4(18) 4x2－9y2－(2x＋3y)(19) －(x2－y2)(x＋y)－(y－x)3(20) （2011广西梧州）因式分解x2y－4y的正确结果是（）A．y（x＋2）（x－2）B．y（x＋4）（x－4）C．y（x2－4）D．y（x－2）2(21) a4－81b4(22) a3(a－b)2－a(a＋b)2(23) (x2－y2)＋(x－y)(24) (a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a)(25) a n＋1－a n－1b4（26）（2011山东枣庄）若622=-nm，且2m n-=，则=+nm．2.求证：两个连续奇数的平方差是8的倍数．3.设n是任一正整数，代入代数式n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果只可能是（）A.388947B.388944C.388953D.3889494.已知：m2=n＋2，n2=m＋2(m≠n)求：m3－2mn＋n3的值．公式法（一）参考答案【复习导入】把下列各式分解因式：1．解：原式=－2m(m²－8m+13)2．解：原式=(x－3)2＋3(x－3)=（x－3）(x－6)3．解：原式=－mn(x－y)n(m－nx＋ny)4.答案:(x＋5)(x－5) .5．解：原式==(y+5)(y－5)【合作探究】1式子是两项，能写成两个式子的平方差的形式，即两项的符号一定是相反的。
第10讲：因式分解(一)
第十讲因式分解（一）一．定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种代数式变形就叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
二．意义因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
三．要点因式分解要注意一下五点：（1）因式分解的对象是多项式；（2）其结果必须是整式的乘积；（3）不能混淆因式分解和整式乘法；（4）要分解到不能分解为止；（5）因式分解结果的唯一性。
四．因式分解的数域范围因式分解的范围通常都是在有理数域上进行的，即分解的结果里面只能含有有理数。
五．书写惯例（1）因式分解的结果中有如果有一个单项式，通常要放在最前面，如：()232-+=-是不符合惯例的；a a a a a442（2）整式的乘积中如有相同的因式，要写成幂的形式，如：()()32a a a a a a-+=--是不符合惯例的；4422（3）首项的系数是负数时，要提出负号置于最前面，如：()()2111-+=---是不符合惯例的。
x x x六．基本方法1．提公因式法首先，什么叫做公因式呢？各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
这个公因式可以是单项式，也可以是多项式。
定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将一个多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；（3）取相同的多项式，多项式的次数取最低的；（4）正确找出多项式提出最大公因式后剩余的项；注意：（1）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
2.2分解因式(1)
类型三：用平方差公式分解因式
例3．对下列多项式进行因式分解：
（1）x2－16 （2）1－25b2 4 2 m 0.01n 2 （4） 9
（3）x2y2－z2
举一反三
（4） x4－y4
【变式】把下列各式分解因式：
（1）－49＋x2 （2）4(x＋m)2 －(x－m)2 （3） x3－x
类型四：用完全平方公式分解因式
类型三、配方法分解因式
例4．分解因式 4a 2 9b 2 12a 6b 8
举一反三
【变式1】分解因式 m 4 m 2 n 2 n 4
举一反三
【变式2】分解因式 t 2 2(m n)t mn(m 2)(n 2)
类型四、添、拆项法分解因式
例5．分解因式：x4＋4
判断出分解因式的形式很重要，然后才能设出相应整式的字母系数， 最后要对照原式才能求出字母系数，从而把多项式因式分解。
举一反三
☆☆【变式1】因式分解2x －13x ＋3
3 2
举一反三
☆【变式2】分解因式：x ＋3xy＋2y ＋4x＋5y＋3.
2 2
作业
四中网校首页
“高清视频体验”——―初二数学重 难点拓展”《因式分解综合例题分 析》
m
P
j
n
q
k
综合练习 #328973
综合练习 #328973
练一练
重、难点归纳
重点：
1.熟练的运用十字相乘法、分组分解法、配方法进行多项式的 因式分解；
2.了解使用配方法、添项（拆项）法、待定系数法来分解因式； 3.会利用因式分解解决有关的综合题目
难点：
利用因式分解解决有关的综合题目
类型一：十字相乘法
初中一年级数学下册因式分解五十题
因式分解一．解答题（共50小题）1．分解因式：（1）a2b﹣b3；（2）﹣（x2+2）2+6（x2+2）﹣92．分解因式：（Ⅰ）3mx﹣6my；（Ⅱ）y3+6y2+9y．3．因式分解：（1）4x2﹣9（2）﹣3x2+6xy﹣3y24．分解因式：（1）5mx2﹣10mxy+5my2（2）4（a﹣b）2﹣（a+b）2．5．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．6．分解因式：（1）a3﹣2a2+a；（2）（3x+y）2﹣（x﹣3y）2．7．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．8．如图，在一个大圆盘中有4个相同的小圆盘，已知大、小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5π cm2．求大、小圆盘的半径．9．因式分解：ab2﹣4ab+4a．10．仔细阅读下面例题，解答问题；例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．11．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm，求△ABC的周长．12．因式分解（1）2x3y﹣8xy（2）﹣x3+2x2﹣x．13．因式分解：（1）a3﹣16a；（2）﹣x2+x﹣14．因式分解（1）x3﹣x；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．15．分解因式：（1）4xy2﹣4x2y﹣y3（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）（3）16（a﹣b）2﹣9（a+b）216．分解因式：（1）2x2﹣8y2（2）a3﹣8a2+16a17．分解因式：x3﹣x18．（1）计算：（2）因式分解：4ax2﹣4ax+a19．阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3=（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12=（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．20．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（填序号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．21．因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）22．分解因式：2x2+4x+2．23．分解因式：x2y2﹣x2+y2﹣1．24．若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0．探索△ABC 的形状，并说明理由．25．分解因式：ab﹣a3b．26．【阅读材料】对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．于是有：a2+2ab﹣8b2=a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2=（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2=（a+b）2﹣9b2=[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]=（a+4b）（a﹣2b）我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．【应用材料】（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用法实现分解因式．（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①m2+6m+8；②a4+a2b2+b427．因式分解：（1）x2﹣4（2）ax2﹣4axy+4ay2．28．因式分解：2a3﹣8a2+8a．29．分解因式：（1）x3﹣4xy2（2）（a+2）（a﹣2）+3a30．分解因式：（1）a3b﹣ab3（2）x2﹣x﹣631．将下列各式因式分解：（1）x2﹣9（2）﹣3ma2+12ma﹣9m（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．32．因式分解：x3﹣4x．33．因式分解：3x﹣12x3和﹣2m+4m2﹣2m3．34．因式分解：（1）3a（a﹣2b）+6b（2b﹣a）（2）（x2+4y2）2﹣16x2y235．分解因式：（1）（x﹣4）（x+1）+3x；（2）4ab2﹣4a2b﹣b336．分解因式：（1）a3b﹣ab（2）﹣3x2+6xy﹣3y237．分解因式：（1）2m2n﹣8mn2（2）9a2b﹣6ab2+b338．分解因式：（1）x3﹣x；（2）2ax2﹣12ax+18a．39．因式分解：（1）ax2+2a2x+a3（2）（x+9）（x﹣1）﹣8x40．将下列各式因式分解：（1）2a2﹣6a（2）9（a+b）2﹣6（a+b）+1．41．因式分解：（1）9﹣y2+x2﹣6x（2）（m2﹣2m）2﹣2（m2﹣2m）﹣3．42．因式分解：（1）x3﹣16x（2）2x2﹣12x+18．43．对下列多项式进行分解因式：（1）（x﹣y）2+16（y﹣x）．（2）1﹣a2﹣b2﹣2ab．44．已知x+y=6，xy=4，求下列各式的值：（1）x2y+xy2（2）x2+y245．因式分解：（1）x2+2xy2+2y4；（2）4b2c2﹣（b2+c2）2；（3）a（a2﹣1）﹣a2+1；（4）（a+1）（a﹣1）﹣8．46．分解因式：（1）2x2﹣4xy+2y2（2）m2（m﹣n）+（n﹣m）47．将下列多项式因式分解（1）8x2﹣4xy（2）3x4+6x3y+3x2y2（3）a2﹣ab+ac﹣bc48．因式分解（1）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）（2）x2﹣y2+4x﹣2y+349．将下列各式因式分解：（1）x2﹣9（2）﹣3ma2+12ma﹣9m（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．50．已知ab=5，a﹣2b=3，求代数式a3b﹣4a2b2+4ab3的值．因式分解参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．分解因式：（1）a2b﹣b3；（2）﹣（x2+2）2+6（x2+2）﹣9【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b）；（2）原式=﹣[（x2+2）2﹣6（x2+2）+9]=﹣（x2﹣1）2=﹣（x+1）2（x﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．分解因式：（Ⅰ）3mx﹣6my；（Ⅱ）y3+6y2+9y．【分析】（Ⅰ）提取公因式3m即可得；（Ⅱ）先提取公因式y，再利用完全平方公式分解可得．【解答】解：（Ⅰ）原式=3m（x﹣2y）；（Ⅱ）原式=y（y2+6y+9）=y（y+3）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．3．因式分解：（1）4x2﹣9（2）﹣3x2+6xy﹣3y2【分析】（1）利用完全平方公式分解可得；（2）先提取公因式﹣3，再利用完全平方公式分解可得．【解答】解：（1）原式=（2x）2﹣32=（2x+3）（2x﹣3）；（2）原式=﹣3（x2﹣2xy+y2）=﹣3（x﹣y）2．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的基本步骤和完全平方公式、平方差公式及公因式的确定．4．分解因式：（1）5mx2﹣10mxy+5my2（2）4（a﹣b）2﹣（a+b）2．【分析】（1）首先提公因式5m，再利用完全平方公式进行分解即可；（2）直接利用平方差进行分解即可．【解答】解：（1）原式=5m（x2﹣2xy+y2）=5m（x﹣y）2．（2）原式=[2（a﹣b）]2﹣（a+b）2=[2（a﹣b）+（a+b）][2（a﹣b）﹣（a+b）]=（3a﹣b）（a﹣3b）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．5．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）（2分）则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）∴（6分）解得：a=4，k=20（8分）故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．6．分解因式：（1）a3﹣2a2+a；（2）（3x+y）2﹣（x﹣3y）2．【分析】（1）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解可得；（2）先利用平方差公式分解，整理后再分别提取公因式2即可得．【解答】解：（1）原式=a（a2﹣2a+1）=a（a﹣1）2；（2）原式=[（3x+y）+（x﹣3y）][（3x+y）﹣（x﹣3y）]=（4x﹣2y）（2x+4y）=4（2x﹣y）（x+2y）．【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．7．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．【解答】解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29，∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴（m+n）2=29+20=49，∵m+n＞0，∴m+n=7，∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．【点评】此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．8．如图，在一个大圆盘中有4个相同的小圆盘，已知大、小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5π cm2．求大、小圆盘的半径．【分析】设大、小圆盘的半径分别是R cm，r cm，根据面积可得πR2﹣4πr2=5π，然后化简可得R2﹣4r2=5，分解可得（R+2r）（R﹣2r）=5，根据R，r都是整数，可得，再求出整数解即可．【解答】解：设大、小圆盘的半径分别是R cm，r cm，由题意可得，πR2﹣4πr2=5π，所以R2﹣4r2=5，所以（R+2r）（R﹣2r）=5，因为R，r都是整数，所以，解得，答：大、小圆盘的半径分别是3 cm，1 cm．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，关键是正确确定方程组的整数解．9．因式分解：ab2﹣4ab+4a．【分析】首先提公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．【解答】解：原式=a（b2﹣4b+4）=a（b﹣2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．10．仔细阅读下面例题，解答问题；例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．【分析】首先设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m=（3x﹣1）（x+n），继而可得方程组，解此方程即可求得答案．【解答】解：设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m=（3x﹣1）（x+n），则3x2+5x﹣m=3x2+（3n﹣1）x﹣n，∴，解得：n=2，m=2，∴另一个因式为（x+2），m的值为2．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意理解题意，结合题意求解是关键．11．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm，求△ABC的周长．【分析】先对含a、b的方程配方，利用非负数的和为0，求出a、b，再求周长．【解答】解：∵a2+b2﹣4a﹣8b+20=0∴a2﹣4a+4+b2﹣8b+16=0∴（a﹣2）2+（b﹣4）2=0，又∵（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0∴a﹣2=0，b﹣4=0，∴a=2，b=4，∴△ABC的周长为a+b+c=2+4+3=9．答：△ABC的周长为9．【点评】本题考查了三角形周长的计算、完全平方式及非负数的和为0．解决本题的关键是把方程转化为含a、b的完全平方式．12．因式分解（1）2x3y﹣8xy（2）﹣x3+2x2﹣x．【分析】（1）先提取公因式2xy，再利用平方差公式分解可得；（2）先提取公因式﹣x，再利用完全平方公式分解可得．【解答】解：（1）原式=2xy（x2﹣4）=2xy（x+2）（x﹣2）；（2）原式=﹣2x（x2﹣2x+1）=﹣2x（x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．因式分解：（1）a3﹣16a；（2）﹣x2+x﹣【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）a3﹣16a=a（a2﹣16）=a（a+4）（a﹣4）；（2）﹣x2+x﹣=﹣（x2﹣x+）=﹣（x﹣）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14．因式分解（1）x3﹣x；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．【分析】（1）原式提取x，再利用平方差公式分解即可；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1）；（2）原式=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．分解因式：（1）4xy2﹣4x2y﹣y3（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）（3）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2【分析】（1）首先提取公因式﹣y，再利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接利用提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式即可；（3）直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）4xy2﹣4x2y﹣y3=﹣y（﹣4xy+4x2+y2）=﹣y（2x﹣y）2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）=（x﹣y）（9a2﹣4b2）=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；（3）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2=[4（a﹣b）+3（a+b）][4（a﹣b）﹣3（a+b）]=（7a﹣b）（a﹣7b）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．16．分解因式：（1）2x2﹣8y2（2）a3﹣8a2+16a【分析】（1）原式提取公因式2，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=2（x2﹣4y2）=2（x+2y）（x﹣2y）；（2）原式=a（a2﹣8a+16）=a（a﹣4）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．分解因式：x3﹣x【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．18．（1）计算：（2）因式分解：4ax2﹣4ax+a【分析】（1）先计算立方根、算术平方根、绝对值，再计算乘法，最后计算加减可得．（2）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解可得．【解答】解：（1）原式==；（2）原式=a（4x2﹣4x+1）=a（2x﹣1）2．【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．19．阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3=（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12=（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得；（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．【解答】解：（1）x2﹣6x+8=（x﹣2）（x﹣4）；（2）①令A=x﹣y，则原式=A2+4A+3=（A+1）（A+3），所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3=（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②令B=m2+2m，则原式=B（B﹣2）﹣3=B2﹣2B﹣3=（B+1）（B﹣3），所以原式=（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）=（m+1）2（m﹣1）（m+3）．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．20．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的C（填序号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果（x﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）这个结果没有分解到最后，原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；故答案为：否，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1=（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1=（x2﹣2x+1）2=（x﹣1）4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．21．因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=﹣2a（a2﹣6a+9）=﹣2a（a﹣3）2；（2）原式=（x﹣y）（9a2﹣4b2）=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．分解因式：2x2+4x+2．【分析】提公因式后利用完全平方式公式分解因式即可；【解答】解：2x2+4x+2=2（x2+2x+1）=2（x+1）2【点评】本题考查因式分解，因式分解的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，解题的关键是根据题目特点，正确寻找方法．23．分解因式：x2y2﹣x2+y2﹣1．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=x2（y2﹣1）+y2﹣1=（y2﹣1）（x2+1）=（y+1）（y﹣1）（x2+1）．【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．24．若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0．探索△ABC 的形状，并说明理由．【分析】直接利用因式分解法将原式变形，进而得出a，b，c的关系，进而得出答案．【解答】解：△ABC是等边三角形，理由：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a=b=c，∴△ABC的形状是等边三角形．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．25．分解因式：ab﹣a3b．【分析】先提取公因式ab，再利用平方差公式分解可得．【解答】解：原式=ab（1﹣a2）=ab （1+a）（1﹣a）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．26．【阅读材料】对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．于是有：a2+2ab﹣8b2=a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2=（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2=（a+b）2﹣9b2=[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]=（a+4b）（a﹣2b）我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．【应用材料】（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式．（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①m2+6m+8；②a4+a2b2+b4【分析】（1）根据解题步骤及因式分解的步骤解答即可的；（2）①将原式变形为m2+6m+9﹣1=（m+3）2﹣12分解可得；②将原式变形为a4+2a2b2+b4﹣a2b2=（a2+b2）2﹣（ab）2再进一步分解可得．【解答】解：（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式．故答案为：公式；（2）①m2+6m+8=m2+6m+9﹣1=（m+3）2﹣12=（m+3+1）（m+3﹣1）=（m+4）（m+2）；②a4+a2b2+b4=a4+2a2b2+b4﹣a2b2=（a2+b2）2﹣（ab）2=（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式及因式分解的步骤．27．因式分解：（1）x2﹣4（2）ax2﹣4axy+4ay2．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=（x+2）（x﹣2）；（2）原式=a（x2﹣4xy+4y2）=a（x﹣2y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．28．因式分解：2a3﹣8a2+8a．【分析】运用提公因式法与公式法，把2a3﹣8a2+8a分解因式即可．【解答】解：2a3﹣8a2+8a=2a（a2﹣4a+4）=2a（a﹣2）2【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，要熟练掌握．29．分解因式：（1）x3﹣4xy2（2）（a+2）（a﹣2）+3a【分析】（1）提公因式后利用平方差公式分解因式即可；（2）展开后利用十字相乘法分解因式即可；【解答】解：（1）原式=x（x﹣2y）（x+2y）（2）原式=a2+3a﹣4=（a+4）（a﹣1）【点评】本题考查因式分解，因式分解的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，解题的关键是根据题目特点，正确寻找方法．30．分解因式：（1）a3b﹣ab3（2）x2﹣x﹣6【分析】（1）先提取公因式ab，再利用平方差公式分解可得；（2）利用十字相乘法分解可得．【解答】解：（1）原式=ab（a2﹣b2）=ab（a+b）（a﹣b）；（2）x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．31．将下列各式因式分解：（1）x2﹣9（2）﹣3ma2+12ma﹣9m（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式整理后，利用完全平方公式分解即可；（4）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）x2﹣9=（x+3）（x﹣3）；（2）﹣3ma2+12ma﹣9m=﹣3m（a2﹣4a+3）=﹣3m（a﹣1）（a﹣3）；（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）=4x2﹣12xy+9y2=（2x﹣3y）2；（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3=（a+2b）2+2（a+2b）+1=（a+2b+1）2．是解本题的关键．32．因式分解：x3﹣4x．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=x（x2﹣4）=x（x+2）（x﹣2）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．33．因式分解：3x﹣12x3和﹣2m+4m2﹣2m3．【分析】3x﹣12x3先提取公因式3x，再利用平方差公式分解可得；﹣2m+4m2﹣2m3先提取公因式﹣2m，再利用完全平方公式分解可得．【解答】解：3x﹣12x3=﹣3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）；﹣2m+4m2﹣2m3=﹣2m（m2﹣2m+1）=﹣2m（m﹣1）2．【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．34．因式分解：（1）3a（a﹣2b）+6b（2b﹣a）（2）（x2+4y2）2﹣16x2y2【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=3a（a﹣2b）﹣6b（a﹣2b）=3（a﹣2b）（a﹣2b）=3（a﹣2b）2；（2）原式=（x2+4y2）2﹣（4xy）2=（x2+4y2﹣4xy）（x2+4y2+4xy）=（x﹣2y）2（x+2y）2．是解本题的关键．35．分解因式：（1）（x﹣4）（x+1）+3x；（2）4ab2﹣4a2b﹣b3【分析】（1）先去括号、合并同类项，再利用平方差公式分解可得；（2）先提取公因式﹣b，再利用完全平方公式分解可得．【解答】解：（1）原式=x2﹣3x﹣4+3x=x2﹣4=（x+2）（x﹣2）；（2）原式=﹣b（4a2﹣4ab+b2）=﹣b（2a﹣b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．36．分解因式：（1）a3b﹣ab（2）﹣3x2+6xy﹣3y2【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）a3b﹣ab=ab（a2﹣1）=ab（a+1）（a﹣1）；（2）﹣3x2+6xy﹣3y2=﹣3（x2﹣2xy+y2）=﹣3（x﹣y）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．37．分解因式：（1）2m2n﹣8mn2（2）9a2b﹣6ab2+b3【分析】（1）提公因式即可；（2）提公因式后利用完全平方公式分解因式即可；【解答】解：（1）2m2n﹣8mn2=2mn（m﹣4n）（2）9a2b﹣6ab2+b3=b（b2﹣6ba+9a2）=b（b﹣3a）2【点评】本题考查因式分解，因式分解的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，解题的关键是根据题目特点，正确寻找方法．38．分解因式：（1）x3﹣x；（2）2ax2﹣12ax+18a．【分析】（1）原式提取x，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取2a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1）；（2）原式=2a（x2﹣6x+9）=2a（x﹣3）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．39．因式分解：（1）ax2+2a2x+a3（2）（x+9）（x﹣1）﹣8x【分析】（1）原式提取a，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式整理后，利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=a（x2+2ax+a2）=a（x+a）2；（2）原式=x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．40．将下列各式因式分解：（1）2a2﹣6a（2）9（a+b）2﹣6（a+b）+1．【分析】（1）提取公因式2a即可得；（2）利用完全平方公式分解即可得．【解答】解：（1）原式=2a（a﹣3）；（2）原式=[3（a+b）﹣1]2=（3a+3b﹣1）2．【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．41．因式分解：（1）9﹣y2+x2﹣6x（2）（m2﹣2m）2﹣2（m2﹣2m）﹣3．【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；（2）先根据十字相乘法进行分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：（1）原式=（x2﹣6x+9）﹣y2=（x﹣3）2﹣y2=（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）；（2）原式=（m2﹣2m﹣3）（m2﹣2m+1）=（m﹣3）（m+1）（m﹣1）2．【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法：十字相乘法和公式法是解题的关键．42．因式分解：（1）x3﹣16x（2）2x2﹣12x+18．【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x（x2﹣16）=x（x+4）（x﹣4）；（2）原式=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．43．对下列多项式进行分解因式：（1）（x﹣y）2+16（y﹣x）．（2）1﹣a2﹣b2﹣2ab．【分析】（1）首先把多项式变为（x﹣y）2﹣16（x﹣y），再提公因式x﹣y即可；（2）把后三项放在括号里，括号前面加“﹣”，利用完全平方公式进行分解，再利用平方差进行二次分解即可．【解答】解：（1）原式=（x﹣y）2﹣16（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣y﹣16）；（2）原式=1﹣（a2+b2+2ab）=1﹣（a+b）2=（1+a+b）（1﹣a﹣b）．【点评】此题主要考查了分解因式，关键是掌握分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．44．已知x+y=6，xy=4，求下列各式的值：（1）x2y+xy2（2）x2+y2【分析】（1）将x+y、xy的值代入原式=xy（x+y），计算可得；（2）将x+y、xy的值代入原式=（x+y）2﹣2xy，计算可得．【解答】解：（1）当x+y=6、xy=4时，原式=xy（x+y）=4×6=24；（2）当x+y=6、xy=4时，原式=（x+y）2﹣2xy=62﹣2×4=36﹣8=28．【点评】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握因式分解和完全平方公式及整体代入思想的运用．45．因式分解：（1）x2+2xy2+2y4；（2）4b2c2﹣（b2+c2）2；（3）a（a2﹣1）﹣a2+1；（4）（a+1）（a﹣1）﹣8．【分析】（1）先提取公因式，再利用公式法求解可得；（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解；（3）先提取公因式a2﹣1，再分解可得；（4）先去括号、合并，再利用平方差公式分解可得．【解答】解：（1）原式=（x2+4xy2+y4）=（x+2y2）2；（2）原式=（2bc+b2+c2）（2bc﹣b2﹣c2）=﹣（b+c）2（b﹣c）2；（3）原式=a（a2﹣1）﹣（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1）﹣（a+1）（a﹣1）=（a+1）（a﹣1）2；（4）原式=a2﹣1﹣8=a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的能力．46．分解因式：（1）2x2﹣4xy+2y2（2）m2（m﹣n）+（n﹣m）【分析】（1）先提取公因式2，再利用完全平方公式分解可得；（2）先提取公因式m﹣n，再利用平方差公式分解可得．【解答】解：（1）原式=2（x2﹣2xy+y2）=2（x﹣y）2；（2）原式=（m﹣n）（m2﹣1）=（m﹣n）（m+1）（m﹣1）．【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤﹣﹣先提取公因式，再利用公式法分解．47．将下列多项式因式分解（1）8x2﹣4xy（2）3x4+6x3y+3x2y2（3）a2﹣ab+ac﹣bc【分析】（1）提取公因式4x即可得；（2）先提取公因式3x2，再利用公式法分解可得；（3）利用分组分解法，将a2﹣ab、ac﹣bc分别作为一组提取公因式后，再分解可得．【解答】解：（1）原式=4x（2x﹣y）；（2）原式=3x2（x2+2xy+y2）=3x2（x+y）2；（3）原式=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c）．【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法和分组分解法因式分解．48．因式分解（1）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）（2）x2﹣y2+4x﹣2y+3【分析】（1）首先提公因式a﹣1，再利用平方差进行分解即可；（2）首先把式子变为（x2+4x+4）﹣（y2+2y+1），然后再利用完全平方公式进行分解，再次利用平方差进行分解即可．【解答】解：（1）原式=x2（a﹣1）﹣y2（a﹣1），=（a﹣1）（x2﹣y2），=（a﹣1）（x+y）（x﹣y）；（2）原式=（x2+4x+4）﹣（y2+2y+1），=（x+2）2﹣（y+1）2，=（x+2+y+1）（x+2﹣y﹣1），=（x+y+3）（x﹣y+1）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式和提公因式法分解因式，关键是掌握完全平方公式和平方差公式．49．将下列各式因式分解：（1）x2﹣9。
初中数学 因式分解(一)
1．定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．2．因式分解结果的要求：因式分解结果的标准形式 常见典型错误或者不规范形式符合定义，结果一定是乘积的形式 ()()()x x x +1+2+3+7既约整式，不能含有中括号 []()()x x +12+3-1 最后的因式的不能再次分解 ()()x x 2-1-1单项式因式写在多项式因式的前面()()x x x -1+1 相同的因式写成幂的形式 ()()()x x x x -1+1-1 每个因式第一项系数一般不为负数 ()()x x x -+1+1 每个因式第一项系数一般不为分数x x x 12⎛⎫⎛⎫-+1+1 ⎪⎪33⎝⎭⎝⎭因式中不能含有分式 x x x 21⎛⎫+ ⎪⎝⎭因式中不能含有无理数()()()x x x +1+2-23．因式分解基本解法：“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．①提取公因式法几个整式都含有的因式称为它们的公因式． 例如：()ma mb mc m a b c 2+4+6=2+2+3把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式()()a b a b a b 22+-=- 完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+()a b a ab b 222-=-2+立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2 完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+()a b a a b ab b 33223-=-3+3-大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++---（1）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A ．()ab a b a b ab 223+=3+3B ．x x x x 222⎛⎫2+4=21+ ⎪⎝⎭C ．()()a b a b a b 22-4=+2-2D ．()x xy x x x y 23-6+3=3-2（2）如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说明理由．①()x y x y 224-3+7；②()m m 23-4；③()()a b a b -4+2-2；④()[()]y x 22+1-1-3；⑤x x x 1⎛⎫+ ⎪⎝⎭；⑥()x x x 1⎛⎫+1-2 ⎪2⎝⎭；⑦()()y x x 2-+3-+3；⑧()()()()x y x y x y x y 2244++++．（1）C ；（2）③正确，①②④⑤⑥⑦⑧错误．【教师备课提示】这道题主要讲解因式分解的概念：（1）因式分解是一种恒等变形．（2）因式分解的结果必须是乘积的形式，每一个因式必须是整式，且不可再分解．（1）多项式x y x y x y 3222236-3+12的公因式是___________．（2）多项式()()()x y z a b x y z a b x y z a b 23433232545-24-+20-+8-公因式是_________．（3）观察下列各式：①a b 2+和a b +；②()m a b 5-和a b -+；③()a b 3+和a b --；④x y 22-和x y 22+，其中有公因式的是___________．（1）x y 223；（2）()x y z a b 223-4-；（3）②③．【教师备课提示】这道题主要讲解怎么找公因式，数和式子单独来看，数找公因数，式子找公因式．模块二 提取公因式法模块一 因式分解的概念因式分解：（1）a x abx y acx 232212+6-15（2）()()()()a b x y b c a b x y b c 223322++-6++（3）()()()x y x y x y 322+-2++2+ （4）abx acx ax 43-3+-（5）()()()()x y x y y x x y 2-33-2+2-32+3（6）a b a b ab 3223273-6+4这6道小题反映了提取公因式法的6大原则：（1）一次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以提取． 原式()ax ax by c 2=34+2-5（2）视“多”为一：把多项式（如x y +，b c +等）分别整个看成是一个字母．原式2322()()(33)a b x y b c x y ab ab c =+++--（3）切勿漏“1”：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“1”，千万不要忽略掉．原式2(2)[(2)(2)1]x y x y x y =++-++22(2)(4421)x y x xy y x y =+++--+ （4）提负数：原式32(31)ax bx cx =--+（5）提相反数：原式(32)[(23)(23)]x y x y x y =---+6(32y x y =--）（6）化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把1-作为公因数提出，使第一项系数称为正整数．原式32231(122427)4a b a b ab =-+223(489)4ab a b ab =-+．因式分解（随堂练习）：（1）x y xyz xy 25-10+5（2）()()()a x a b a x x a -+--- （3）()()()x x a x x -2+1++1++1（4）()()()()x m x m y m m x m y -----（5）n n b b 3-12-131+26（n 是正整数）（6）()()()p x p x p x 32226-1-8-1-21-（1）=()xy x z 5-2+1原式；（2）=()()()a x a b x a x a -----原式()()x a a b =---1； （3）()()x x a =+1-2++1原式()()x x a =-+12--1；（4）()()m x m y 2=---原式；（5）()n n b b 2-11=9+16原式；（6）()[()]p x x p 2=2-13-1-4-1原式()()p x x p 2=2-13-4-4． 【教师备课提示】例3和例4主要考查提取公因式因式分解．因式分解：（1）()x 2-1-9 （2）()()m n m n 229--4+（3）()()a b a b 22-4-+16+ （4）()()a b a b 222222-3-5+5-3 （5）x xy y 229-24+16 （6）a a 28-4-4 （7）()c a b a b 222222---4（1）()()x x +2-4；（2）[()()][()()]m n m n m n m n =3-+2+3--2+原式()()m n m n m n m n =3-3+2+23-3-2-2 ()()m n m n =5--5；（3）原式()()a b a b 43++3=；（4）()()a b a b a b a b 22222222=5-3+3-55-3-3+5原式()()a b a b 2222=8-82+2 ()()()a b a b a b 22=16+-+；（5）()x y 2=3-4原式；（6）()a a 2=-4-2+1原式()a 2=-4-1；（7）原式()()()()c a b c a b c a b c a b +--+++--=．因式分解（随堂练习）：（1）()a b 216-3+2 （2）x y x y 62575-12（3）a b c 444-81+16 （4）()()a b a b 2222223---3（5）()()x y z x y z 22+-6++9 （6）()x y x y 22222+-4（7）m m 4216-72+81模块三 公式法（1）()()a b a b =4+3+24-3-2原式；（2）()x y x y 244=325-4原式()()x y x y x y 22222=35+25-2；（3）()()c a b c a b 222222=4-94+9原式()()()c ab c ab c a b 222=2+32-34+9； （4）()()a b a b a b a b 22222222=3-+-33--+3原式()()a b a b 2222=4-42+2()()()a b a b a b 22=8+-+；（5）原式()x y z 2+-3=； （6）原式()()x y x y 22=+-；（7）()()m m 2222=4-2⋅4⋅9+9原式()m 22=4-9()()m m 22=2-32+3． 【教师备课提示】例5和例6主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解．因式分解：（1）x 38+27 （2）y 3-+64（3）x x y 5239-72 （4）a b 66+ （5）a b 66-（1）()()x x x 2=2+34-6+9原式； （2）()()y y y 2=4-+4+16原式；（3）()x x y 233=9-8原式()()x x y x xy y 222=9-2+2+4； （4）()()a b 2323=+原式()()a b a a b b 224224=+-+； （5）()()a b 3232=-原式()()a b a b 3333=+-()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++另解：()()a b 2323=-原式()()a b a a b b 224224=-++()()()a b a b a a b b a b 422422=+-+2+- ()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++；【教师备课提示】这道题主要考查立方差和立方和公式． 因式分解：（1）a b c bc ca ab 2224+9+9-18-12+12（2）x x y xy y 32238-36+54-27（1）()a b c 2=2+3-3原式；（2）()x y 3=2-3原式．【教师备课提示】这道题主要考查三项完全平方和完全立方公式．下列因式分解正确的是（ ）A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2B ．()m m m m 323-12=3-4C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7D ．()()m m m 24-9=2+32-3D ．因式分解：（1）abc a b a b 2336-14+12 （2）a a a 324-6+15-12 （3）()x a x a x 22224+--（4）()()p q p 22-1-4-1（5）()()()(a b m p a b m p 5-22+3-2-72+3） （6）()()()x y x y x y 232++6+-4+（1）()ab a c ab 22=26+3-7原式； （2）()a a a 22-34+2-5=原式； （3）()()a x x 22=+4-1原式； （4）原式()()p p q =2-1-2-1； （5）=()()m p a b 2+33+5原式；（6）()[()()]x y x y x y 2=2+1+3+-2+原式()()x y x y x y xy 22=2+1+3+3-2-2-4．模块二 提取公因式法模块一 因式分解的概念已知b c a +-=-2，求()()a a b c b c a b c b c a 22221⎛⎫--+-++2+2-2 ⎪33333⎝⎭的值．()()a b c a b c 2=----3原式()a b c 22=--3．∵b c a +-=-2，∴a b c --=2，则原式8=3．因式分解：（1）()y z x 224-2-（2）(m x y mn 2232--3）（3）x y 88-（4）x x 516-（5）()()x x x x 22225+2-3--2-3 （6）()()x x x x 2222+4+8+4+16（7）n n n a a a +2-2+8+16（1）=()()y z x y z x 2+2-2-2+原式；（2）原式=()()m x y n x y n 32-+2--；（3）=()()x y x y 4444-+原式()()()x y x y x y 222244=-++()()()()x y x y x y x y 2244=+-++；（4）()()()x x x x x 422=16-1=4-14+1原式()()()x x x x 2=2-12+14+1； （5）()()x x x 22=6-64+4原式()()()x x x x =24+1-1⋅⋅+1()()x x x 2=24-1+1； （6）()x x 22=+4+4原式()x 4=+2；（7）()n a a a -242=+8+16原式()n a a -222=+4．因式分解：（1）a b c 3338-1（2）a b b 33932-4（3）x y y 631564+（1）()()abc a b c abc 222=2-14+2+1原式；（2）=原式()b a b 33648-()()b a b a ab b 32224=42-4+2+； （3）()y x y 3612=64+原式()()y x y x x y y 3244248=4+16-4+．模块三 公式法。
因式分解(一)
因式分解(一)撰稿：徐长明审稿：张扬责编：孙景艳一、目标认知学习目标：1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式；3．会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；4．经历综合利用提公因式法和公式法将多项式因式分解的过程，发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯。
知识结构重点难点：重点：因式分解的概念及各种方法的使用条件。
难点：因式分解方法的综合应用。
二、知识要点梳理知识点一：因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，如：，等。
要点诠释：（1）因式分解的实质就是把加减形式化成乘积形式；（2）因式分解的过程和整式乘法的过程正好相反，即因式分解和整式乘法是互逆的，可表示为：多项式几个因式的乘积；（3）分解要彻底：即要使分解后每个因式（在我们所学的范围内）都不能再进行因式分解（不含有因式了）．知识点二：公因式的概念1、公因式的定义：在多项式中各项都有的因式叫做这个多项式的公因式．如：多项式中每项都含有因式k，则k就是这个多项式的公因式．2、公因式的特点：a．公因式的系数是原多项式各项系数的最大公约数；b．公因式中的字母是各项中都含有字母；c．公因式字母的次数是相同字母的最低次．也即：知识点三：提公因式法分解因式把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即(ma＋mb＋mc)＝m(a＋b＋c)；（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式。
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号。
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误。
因式分解全部公式(一)
因式分解全部公式(一)因式分解全部公式一、一元二次方程的因式分解公式1. 公式一元二次方程的因式分解公式如下：ax^2 + bx + c = 02. 解释说明在解一元二次方程时，有时可以通过因式分解的方法来得到解的形式。
根据一元二次方程的因式分解公式，我们可以将方程化简为两个一次因式相乘的形式。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以使用因式分解的方法来求解。
通过观察可以发现，方程可简化为(x + 2)(x + 3) = 0。
由此可得出方程的解为x = -2或x = -3。
二、三角函数的因式分解公式1. 公式三角函数的因式分解公式如下：sin^2(x) + cos^2(x) = 12. 解释说明三角函数的因式分解公式是一个重要的恒等式。
根据该公式，三角函数的平方和等于1。
举例来说，对于一个正弦函数sin(x)，我们可以将其平方和sin^2(x)和余弦函数的平方和cos^2(x)相加，得到结果为1。
这表明在三角函数中，正弦和余弦函数是互补的，且两者的平方和始终为1。
三、多项式的因式分解公式1. 公式多项式的因式分解公式可以写为：a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + b^(n -1))2. 解释说明多项式的因式分解公式可以帮助我们将一个多项式分解成更简单的乘积形式。
举例来说，对于多项式x^2 - 4，根据因式分解公式，我们可以将其分解为(x - 2)(x + 2)。
通过这种方法，我们可以将复杂的多项式简化为多个一次因式的乘积。
四、总结这篇文章介绍了因式分解的一些常用公式，并通过例子解释了它们的应用。
通过因式分解，我们可以将复杂的表达式转化为更简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
掌握这些公式对于数学和物理等领域的学习和应用都具有重要意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运用新知
下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式？为什么？
（1）(a+3)(a-3)=a2-9
（2）m2-4=(m+2)(m-2)
（3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 （4）12ab=3a· 4b
运用新知
下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式？为什么？
（1）a(x+y)=ax+ay
（2）10x2-5x=5x(2x-1) （3）y2-4y+4=(y-2)2 （4）t2-16t+3t=(t+4)(t-4)+3t
运用新知 x2-y2 9-25x2 X2+2x+1 Xy-y2 x2+4x+4 x2-2x+1 4a2-1 x2-1 (x+1)2 y(x-y) (3-5x)(3+5x) (x+y)(x-y) (x-1)(x+1) (x+2)2 (x-1)2 (2a-1)(2a+1)
中考链接
-48 1、x2－8x+m=(x+4)(x-12)，则m=______ -2 2、若x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则m=______， -5 n=_____ -7 3、x2+mx-n=(x-2)(x-5)，则m=______， -10 n=_____
应用练习
1.19992+1999能被1999整除吗？ 能被2000整除吗？ 1 1 2. 16.9× 8 +15.1 × 8 能被4整除吗？ 3. 类比上述方法把a3-a化成几个 整式的乘积的形式。
探究提示
自学P43-45，完成下列问题： 1、说出小明解题方法中每一步变形的依据是什么？ 通过变形达到了什么目的？ 2、想一想，解决这类问题的关键是什么？ 3、完成做一做，前面5道题从左到右是什么运算？ 后面5道题从左到右的变形与前面的运算有何不同？ 4、什么叫分解因式？定义中要注意什么？ 它与整式乘法有何关解因式的定义 注意（1）分解因式的对象是多项式； （2）分解的结果要以积的形式表示。 2.分解因式与整式乘法的关系 注意 （1）利用整式乘法检验分解因式的正确性 （2）求出多项式中字母的值
作业：
1. 练习册《分解因式》
3-99能被100整除吗？ 问题：99
第二章 分解因式 第1节 分解因式
学习目标
1.掌握分解因式的定义； 2.理解分解因式与整式乘法的互逆关系； 3.能用整式乘法对多项式的分解因式作出 正确的判断。
探究提示
自学P43-45，完成下列问题： 1、说出小明解题方法中每一步变形的依据是什么？ 通过变形达到了什么目的？ 2、想一想，解决这类问题的关键是什么？ 3、完成做一做，前面5道题从左到右是什么运算？ 后面5道题从左到右的变形与前面的运算有何不同？ 4、什么叫分解因式？定义中要注意什么？ 它与整式乘法有何关系？
积 和差
和差 积
整式乘法 分解因式
4、什么叫分解因式？定义中要注意什么？ 它与整式乘法有何关系？
1.把一个多式项化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式分解因式。 注意（1）分解因式的对象是多项式； （2）分解的结果要以积的形式表示。 2.分解因式与整式乘法的关系 整式乘法 积的形式 和差形式 分解因式
自学探究时间为4分钟，4分钟后带着你的收获和预习中产生的疑问与小组 内的同伴进行交流.
1、说出小明解题方法中每一步变形的依据是什么？ 通过变形达到了什么目的？ 2、想一想，解决这类问题的关键是什么？
小明的做法： 993-99 同底数幂的乘法的逆用 =99×992-99×1 分配律的逆用 =99×(992-1) =99 ×(99+1)(99-1) 平方差公式的逆用 =98 ×99 ×100 变形前： 和差关系 变形后： 乘积关系
自学探究时间为4分钟，4分钟后带着你的收获和预习中产生的疑问与小组 内的同伴进行交流.
做一做
计算下列各式：
（1）3x(x-1)= 3x2－3x ; （2）m(a+b+c)= ma+mb+mc ; 2 （3）(m+4)(m-4)= m2-16 ;（4）(y-3)2= y -6y+9 ; （5）a(a+1)(a-1)= a3-a ; 根据上面的算式填空： （1）3x2－3x= ( 3x )( x-1 ) ; （2）ma+mb+mc)=(m)( a+b+c ); （3）m2-16=(m+4)( m-4 ); （5）a3-a=( a )( a+1)( a-1 ); （4）y2-6y+9=( y-3 )2；