达朗贝尔习题解答

2 2 FA FAx FAz
ω mg
B
(a)
ml 2 7g 2 1 2 4 2 4l
8－6. 两细长的均质直杆互成直角地固结在一起， 其顶点 O 与铅直轴以铰链相连， 此轴以等 角速度 转动，如图所示。求长为 a 的杆离铅直线的偏角 与 间的关系。
b 2 cos a 2 sin 3g (b 3 a 3 ) sin 2
FT 6.8 m1aB 6.8 1.6 8.4 kN Fx 0 ； FT cos FOx 0 ； FOx 8.4 0.8 6.72 kN
y
0 ； FOy FT sin m2 g 0 ； FOy 8.4 0.6 20 25.04 kN
59 mg 21
取重物 A 为研究对象，受力如图（b）所示，
F
y
4 34 )mg mg 21 21
8－3. 11－15 重力的大小为 100N 的平板置于水平面上，其间的摩擦因数 f = 0.20，板上有 一重力的大小为 300N，半径为 20cm 的均质圆柱。圆柱与板之间无相对滑动，滚动摩阻可 略去不计。若平板上作用一水平力 F = 200N，如图所示。求平板的加速度以及圆柱相对于 平板滚动的角加速度。 解：设平板的重力 P1 = 100 N，加速度为 a；圆柱的重力 P2 = 300 N，角加速度为，质 心的加速度 aO = a – r，受力如图（a） 。
8－8. 均质圆盘以等角速度 绕通过盘心的铅直轴转动，圆盘平面与转轴交成 角，如图所 示。已知两轴承 A 和 B 与圆盘中心相距各为 a 和 b；圆盘半径为 R，质量为 m，厚度可忽略 不计。求两轴承 A 和 B 的动反力。
FAy FBy
MR 2 2 sin 2 ， FAx FBx 0 8(a b)
M
M I C J C m 2 1.52 mr 2
D
C
D B FIA
A
aA
(F ) 0 ；
mg （a） A
(mg FI C FI A 2mg )r M I C 0 g 4 aC r g 2 3 1.5 21
2mg 2mg （b）
F
y
0 ； FDE FI C FI A mg 2mg 0 ； FDE 3mg mr 0 ； FAB FI A 2mg 0 ； FAB 2mg 2mr 2(1
解得
2 3g
b 2 cos a 2 sin (b 3 a 3 ) sin 2
8－7. 长为 l 的均质等直杆从铅垂位置自由倒下。试计算当 a 为多大时，AB 段在 B 处受到 的约束反力偶为最大，因而杆子也最容易在此处折断。
a
2 1 l，M B max mgl cos （ 为杆与水平面的夹角） 3 27
8－1. 图示系统由匀质圆盘与匀质细杆铰接而成。已知：圆盘半径为 r、质量为 M，杆长 为 L、质量为 m。在图示位置杆的角速度为 、角加速度为 ，圆盘的角速度、角加速度 均为零，试求系统惯性力系向定轴 O 简化的主矢与主矩。 解：∵圆盘作平动，相当一质点作用在 A 点。
FgR mi aCi (mL / 2 ML) FgR mi aCi n (mL / 2 ML) 2

r MIO
FI1 Ff
FI2 O aO A P2 FN P1
a
F
（a）
8－4. 12、 图示匀质定滑轮装在铅直的无重悬臂梁上， 用绳与滑块相接。 已知： 轮半径 r=1m, 重 Q=20kN，滑块重 P=10kN，梁长为 2r，斜面的倾角 tg 3 / 4 , 动摩擦系数 f 0.1 。
2
解：受力分析及惯性力简化如图， FIa , 线密度为
2 FIb 的作用点到 O 的距离分别为 a, 3
2 b ,设杆的 3
1 a sin 2 a 2 1 FIb b sin( ) 2 b 2 2 0 由 M（ O F） FIa FIb 2 1 2 1 b cos( ) ag a sin FIa a cos bg b sin( ) 0 3 2 2 3 2 2
得: X A X 0 6.72 kN 由 Yi 0 ，
YA Yo 0
FT a B FN FI Fθ m1g （a） t
MIO FOy M O m2g （b） FAy FT′ FOx O
FOy′ FOx′
得: Y A Y0 25.04 kN
A
FAx MA
（c）
8－5. 图示均质杆 AB 长为 l，质量为 m，以等角速度 绕铅直 z 轴转动。求杆与铅直线的交 角 及铰链 A 的反力。
P P P 1 P 1 a ； FI 2 2 aO 2 (a r ) ； M I O J O 2 r 2 g g g 2 g 3 P 1 P M A (F ) 0 ； FI 2r M I O 0 ； g2 (a r )r 2 g2 r 2 ； a 2 r Fx 0 ； F FI1 FI 2 Ff 0 ；其中： Ff f FN f ( P1 P2 ) 80 N FI 1 P P P P 1 a 2 (a r ) 80 0 ； 120 ( 1 2 )a 0 ； g g g 3g 2 120 a g 5.88 m/s 2 ； a 19.6 rad/s 2 200 3r 200
n


1 M g 0 J 0 ( mL2 ML2 ) 3
8－2. 图示系统位于铅直面内，由鼓轮 C 与重物 A 组成。已知鼓轮质量为 m，小半径为 r， 大半径 R = 2r，对过 C 且垂直于鼓轮平面的轴的回转半径 ρ = 1.5r，重物 A 质量为 2m。试 求（1）鼓轮中心 C 的加速度； （2）AB 段绳与 DE 段绳的张力。 解：设鼓轮的角加速度为， FDE 在系统上加惯性力如图（a）所示， E FAB F IC 则其惯性力分别为： FIA MIC FI C mr ； FI A 2m r
取定滑轮 O 为研究对象， 设其质量为 m2， 半径为 r， 则其惯性力矩为： M IO 受力如图（b）所示。
1 a m2 r 2 B ， 2 r
M F
O
( F ) 0 ；M M I O FTr 0 ；10
10 10 aB 6.8 aB 0 ；aB 1.57 m/s 2 g g
FAx
FAz
A
（1）代入，得：
3g cos 2l 2
3、求 A 处反力
3g arccos 2l 2 ，
（2）
C
D
Fx 0
2 l 3
l FAx FI m 2 sin 2 1 3g 2 ml 2 1 ( ) 2 2l 2 Fz 0 ， FAZ mg
'
试用动静法求： （1） 滑块 B 上升的加速度； （2） 若在轮 O 上作用一常力偶矩 M 10 kN m 。 支座 A 处的反力。 加速度为 aB， 则其惯性力为：FI m1aB ， 解： （1） 取滑块 B 为研究对象， 设其质量为 m1， 受力如图（a）所示。
F
t
0 ； FI F FT m1 g sin 0 ； F f FN 0.1m1 g cos 0.8 kN FT 6 0.8 m1aB 6.8 m1aB
X i 0 ， X 0 ( P sin Fg F ) cos 0
得: X 0 ( P sin Pa / g f P cos ) cos
Yi 0 ， Y0 ( P sin Fg F ) sin Q 0
a FIt m aC m1 (l ) 2 a FIn m 2 r m1 2 (l ) 2 1 M I J ma 2 3 由 M B 0, M B M I m1 ga sin 0 2al a 2 ) 2l 1 2 a l , M B max m1 g sin 27 3 M B m1 g sin (
arccos(
ml 2 7g 2 3g ， ) F 1 A 2 4l 2 4 2l 2 2 l 3
解：1、分布惯性力如图（a） ，惯性力合力位于 D 点。
AD
FI maC mrC 2 m 2
2、求 角
l sin 2
（1）
M
A
0 ， FI
l 2 l cos mg为研究对象，设梁长为 l，受力如图（c）所示，
M (F ) 0 ； M F l 0 ； M 6.27 2 13.44 kN m F 0 ； F F 0 ； F 6.72 kN F 0 ； F F 0 ； F 25.04 kN
得: Y0 Q ( P sin Pa / g f P cos ) sin 对悬臂梁 AO :
M A 0 ， M A X 0 2r 0
得: M A X 0 2r 13.44 kN m 由 Xi 0 ，
X A X0 0
x Ox Ax Ax y Ay Oy Ay
解：对轮与滑块： 由 M O ( Fi ) 0
M M g P sin r Fg r F r 0
2
得: a ( M Pr sin f P r cos )2 g /[(Q 2 P)r ] 0.16 g 1.57(m/s )
解：由机械能守恒定律：
l 1 (1 cos ), mgh J O 2 2 2 l 1 1 mg (1 cos ) ml 2 2 2 3 3g (1 cos ) 解得： l h