四川省宜宾市第三中学2014高一教学论文 圆锥曲线在高考中的常见题型及其解法
浅谈几种圆锥曲线问题的解法
浅谈几种圆锥曲线问题的解法纵观近几年的高考试题，圆锥曲线内容在试卷中所占的比例一直稳定在15%左右，以圆锥曲线为载体在知识网络的文汇点设计问题也是近年高考的一大特点，如与不等式、函数、数列等知识的综合对范围问题、最值问题、存在性问题的考查等等，这类问题内涵丰富且极具综合性，集中体现了函数方程，等价转换，数形结合和分类讨论的数学思想，以及配方，换元，构造，待定系数等数学方法，是培养与考查学生数学综合能力的绝佳素材，也是数学中的一个难点。
本文就几种常见问题的研究方法进行探究。
一、存在性问题此类问题的条件常以向量形式出现，或题目中的条件可以向量形式描述。
理解向量条件表达的几何意义。
用好向量的基本运算是解决此类问题的关键。
二、范围问题圆锥曲线中范围问题的求解比较难，原因有三：1.由于这类问题本身所固有的结构特征，使得数量关系常隐含于几何图形之中，导致了解题入手难。
2.由于问题的解决始终伴随着大量的运算与推理，导致了解题深入难。
3.由于初学者未能掌握这类问题的研究方法，导致了解题调控难。
下面我们结合例题来探索范围问题的研究方法。
例3的解法可概括为：先寻求问题中涉及到的基本量及其内在联系，进而化归为基本量的代数问题（如议程、不等式、函数等），最后运用代数知识、方法解决，我们把这种研究方法称为基本量法。
运用基本量法研究范围问题，优点有二：其一，通过基本量的寻求与分析，能对问题的求解目标及解题思路作出清晰的回答，有利于增强学生的解题信心，激发学生的学习兴趣。
其二，可将问题统一化归为基本量的代数问题，使学生在解决问题之前就能对问题的解决方法、步骤作为较为准确的预见，有利于培养学生的主体意识与探索精神。
解决范围问题的解法实质，即先寻求问题中涉及到的基本量，进而化归为基本量的方程——不等式混合组问题，利用议程消去某些变量，再代入不等式中，即可求得指定变量的取值范围。
圆锥曲线中范围问题的特殊性主要表现在两个方面：一是基本量的确定；二是方程——不等式混合组的建立。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究一、引言圆锥曲线是高中数学重要的内容之一，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。
在高中数学教学中，圆锥曲线的理论知识和解题方法常常成为学生学习的难点和痛点。
本文将就高中数学圆锥曲线的教学方法和解题技巧进行探究，希望能对圆锥曲线的学习和教学提供一些参考和帮助。
二、圆锥曲线教学方法1. 理论知识教学在教学中，首先需要对圆锥曲线的定义、性质、公式和方程等理论知识进行详细讲解。
老师可以通过示意图或实例等形式生动直观地向学生展示圆锥曲线的几何特征和数学性质，让学生对圆锥曲线有一个清晰的认识。
2. 解题方法教学解题方法是学生掌握圆锥曲线知识的关键，因此在教学中应重点讲解各种题型的解题方法。
对于椭圆的焦点、顶点、长轴、短轴等概念要有清晰的理解，学会根据椭圆的方程确定椭圆的位置、形状和大小；对于双曲线的渐近线、离心率等概念也要有深入的了解，学会根据双曲线的方程确定双曲线的位置、形状和大小；对于抛物线的焦点、准线、参数方程等概念也要有充分的掌握，学会根据抛物线的方程确定抛物线的位置、形状和大小。
3. 案例分析教学通过一些实际案例对圆锥曲线的应用问题进行分析和讲解，可以帮助学生更好地理解圆锥曲线的理论知识，并掌握解题方法。
这些案例可以是生活中的实际问题，也可以是一些经典的数学问题，通过具体的案例分析可以激发学生的学习兴趣，增强他们对知识的理解和记忆。
三、圆锥曲线解题技巧1. 理清思路在解题过程中，要先理清思路，明确所给问题的要求和条件，以及所使用的解题方法和步骤。
对于不同类型的圆锥曲线题目，要分别选取相应的解题方法，不能搞混或混合使用。
2. 灵活运用公式在解题过程中，要熟练掌握圆锥曲线的标准方程、常用公式和性质，以便能够灵活运用到解题中。
椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，抛物线的标准方程为y^2=2px等，这些标准方程和公式是解题的基础。
浅谈高考中的圆锥曲线的常见解法
浅谈高考中的圆锥曲线的常见解法近年来高考题目难度下降，主要考察椭圆与抛物线为主，今年结合个人理解以椭圆为主要研究对象探讨一些常见的题型以及解题方法。
类型一：求离心率椭圆与双曲线的考题中,对方程与离心率的考查一直都是热点,几乎每张考卷都会涉及.(一)解决方程问题需要抓住:(1)确定曲线焦点所在的坐标轴的位置,(2)根据条件求出方程中的a,b的值.(二)解决离心率问题需要注意:(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键.(2)在求解有关离心率的问题时,有的是根据题目条件直接求出c和a的值,而有的不能够直接求出c与a,只能根据题目给出的条件,建立关于参数c，a，b 的方程或不等式(这个方程或不等式,可以是根据题意直接得到的,也可以是根据几何特征转化而来的),通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.例1.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上,求椭圆的方程.分析: 将点代入椭圆方程,再结合离心率得到 ,然后解出 ,得标准方程.解析: 椭圆的离心率，所以，又点在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的方程为 .例2.在中,，若一个椭圆经过两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D.分析:题目中给出的图象是比较典型的三角形:一个顶点是椭圆的焦点,其对边是过椭圆另一个焦点的弦.利用其周长为4a,求出a.再利用角A为直角求出焦距,算出c.从而的到离心率e.解析: 设另一焦点为中，，, .在中焦距则又例3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上作此圆的切线，切点为，且得最小值不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.答案:B解析:依题意可知，圆心为，半径为，设在椭圆上，依题意有，当取得最小值时，取得最小值，此时点位于椭圆右顶点，即，即，化简得，两边平方得，即，，解得 .由于，即，故离心率的取值范围是 .类型二定值定点与存在性问题圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题．其中定点、定值问题的常用处理策略:(1)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x)，则直线必过定点(x0，y)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．(2)解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．二.例题精讲破解规律例1.已知椭圆（）的两个焦点，，点在此椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.解析：（Ⅰ）依题意知：，∴椭圆方程为；（Ⅱ）∵直线AB过点M(1，0)，∴设直线AB的方程为x=my+1，再设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x得：（m2+3）y2+2my﹣2=0，∴，∵N（3，2），∴，为定值.点评:本题的第（2）问的化简主要是利用了韦达定理和直线的方程 .在化简过程中同时涉及到通分，计算比较复杂，要认真计算.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，为等边三角形，且其面积为，为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点（不是左、右顶点），且满足，试问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.解析：（Ⅰ）由已知∴．∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设，，联立得，又，因为椭圆的右顶点为，∴，即，∴，∴，∴．解得：，，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点．所以，直线过定点，定点坐标为规律总结:求解定值问题的两大途径(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．类型三最值与范围问题圆锥曲线中的最值问题,主要考查直线与圆锥曲线相交时的弦长面积等量的最值.范围问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的几何性质，参数多与直线方程或圆锥曲线方程相关.二.例题精讲破解规律例1.设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A. B.C. D.答案:A解析: 设焦点在x轴上，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝＝.又tan∠AMB＝tan120°＝－，由＋＝1可得x2＝3－，则＝＝－.解得|y|＝.又0＜|y|≤，即0＜≤，结合0＜m＜3解得0＜m≤1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.点评:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．利用正切的和角公式进行转化.同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．规律总结:建立目标函数(或者多个变量的方程)，然后根据目标函数(或方程)的特征选择相应的方法进行求解．例2 已知椭圆的左、右焦点分别为 ,离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为 .(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.答案:(1) ；(2) .解析：(1)由已知得，解得，∴椭圆的方程为 .(2)设，的中点为，点，使得 ,则 .由得，由，得 .∴，∴ .∵∴，即，∴ .当时，（当且仅当，即时，取等号），∴；当时，（当且仅当，即时，取等号），∴，∴点的横坐标的取值范围为 .例3. 已知是圆：上的动点，在轴上的射影为，点是线段的中点，当在圆上运动时，点形成的轨迹为曲线 .（1）求曲线的方程；（2）经过点的直线与曲线相交于点，，并且，求直线的方程.解析：（1）设，则在圆上，所以，即（2）（ⅰ）当直线斜率不存在时，经检验，不满足题意；（ⅱ）设直线斜率为，则其方程为，则令，得设，①②又由，得，将它代入①，②，得，（满足）所以直线的斜率为，所以直线的方程为 .类型四：交叉知识综合问题求空间图形中的点的轨迹既是一个难点,也是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带.解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点.导数是高中阶段研究函数性质的重要工具,尤其是求最值,求切线.圆锥曲线中的一些切线问题和最值问题可以借助导数来处理.二.例题精讲破解规律例1.如图，正方体的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是( ).A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线分析：动点的轨迹问题是解析几何中常见的问题，因此我们可以把立体关系转化到平面上去，利用解析几何的知识将问题解决。
高中数学圆锥曲线解答题解法圆锥曲线解答题中的十一题型几乎全面版
高中数学圆锥曲线解答题解法题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值、最值问题 问题八：直线问题 问题九：对称问题 问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）题型二：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆Q 为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。
221212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -=+g 212k d k+= 22223141122k k k k k -+∴+=g 解得3913k =±满足②式此时053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
圆锥曲线综合题高考常见题型与分析(学生)
圆锥曲线综合题高考常见题型与分析本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题,从近几年的高考试题来看,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外,在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.(1)关于圆锥曲线的方程求解,一般是由定义法求曲线的方程或由已知条件直接求曲线方程,有时也会以求轨迹的形式出现,难度中等.(2)除了方程的求解,还有如下考查内容,圆锥曲线的弦长问题、最值问题、定点定值问题、探索性问题等,考查的知识点较多,能力要求高,尤其在考查学生的运算求解变形能力上,此类问题体现的淋漓尽致,是高考试题中区分度较高的题目.(3)预测2015年的高考,对本节知识的考查仍以解答题为主,选择的载体一般是椭圆,主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题,有时会与向量的共线、模和内积等联系起来;对于方程的求解,不要忽视轨迹的求解形式,后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查,探索类和存在性问题考查的概率也很高.一、直线和圆锥曲线经典结论椭 圆1. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.2. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.3. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.5. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF g ?，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b gD =. 6. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).7. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM ABb k k a?-，即。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究圆锥曲线是高中数学中的重要内容，学好圆锥曲线不仅可以帮助学生提高数学分析能力，还可以为后续的高等数学学习打下基础。
下面将探究高中数学圆锥曲线的教学方法和解题技巧。
一、教学方法：1. 提前引导：在开始学习圆锥曲线之前，可以通过引入相关的实际问题，例如运动问题、工程问题等，引起学生的兴趣，激发学生对圆锥曲线的学习积极性。
2. 形象化教学：在讲解圆锥曲线的性质和特点时，可以通过几何图形、实物模型等形象化工具进行展示，帮助学生更好地理解和记忆。
3. 实例分析：在讲解圆锥曲线的解题方法时，可以选择一些具体实例进行分析，通过具体问题的讲解，引导学生掌握解题的思路和方法。
4. 综合应用：在学习圆锥曲线时，可以将圆锥曲线与其他数学知识相结合，例如函数、导数等，通过综合应用的方式来解决问题，培养学生的数学思维能力。
二、解题技巧：1. 注意曲线的方程形式：圆锥曲线有四种常见的方程形式，即圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程和抛物线的方程。
学生在解题时需要根据曲线的方程形式来选择相应的解题方法。
2. 利用对称性质解题：圆锥曲线具有一些特殊的对称性质，例如椭圆和双曲线的中心对称性、抛物线的轴对称性等。
在解题时，可以利用这些对称性质简化问题，减少计算量。
3. 利用关系式和性质解题：学生可以通过研究圆锥曲线的性质和关系式来解题，例如利用椭圆的离心率和焦点之间的关系，或者利用双曲线的渐近线方程等。
4. 应用微积分解题：在一些特殊情况下，可以利用微积分的知识来解决圆锥曲线的问题。
例如通过求导来确定曲线的切线方程、确定曲线的极值点等。
高中数学圆锥曲线的教学应注重形象化教学和实例分析，通过引导学生掌握解题的思路和方法，培养学生的数学思维能力。
学生在解题时需要注意曲线的方程形式，利用对称性质和关系式，以及适时应用微积分的知识来解决问题。
基于高考试题的高中数学圆锥曲线解题技巧探析
基于高考试题的高中数学圆锥曲线解题技巧探析【摘要】圆锥曲线在高中数学中扮演着重要的角色，是高考数学试题中的常见考点。
本文从圆锥曲线的定义和分类、性质与特点入手，探讨了如何通过几何方法和代数方法解题，以及如何综合运用不同方法。
通过掌握这些技巧，可以有效提高解题的效率和准确性，从而提升高中数学成绩。
本文强调了掌握圆锥曲线解题技巧的重要性，并指出这是提高数学成绩的有效途径。
通过理解圆锥曲线的特点和解题方法，考生可以更好地应对高考数学试题中的挑战，从而取得更好的成绩。
圆锥曲线的学习不仅有助于提高数学成绩，也培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
【关键词】高考数学试题、圆锥曲线、高中数学、解题技巧、几何方法、代数方法、综合运用、重要性、提高成绩1. 引言1.1 高考数学试题的特点在高考数学试题中，考生通常会遇到一些共同的特点。
高考数学试题往往涉及到基本的数学知识，以及结合不同知识点的综合运用。
这要求考生具备扎实的基础知识，并且能够灵活运用所学知识解决问题。
高考数学试题通常具有一定的难度和深度。
试题会涉及到一些较为复杂的问题，需要考生通过深入思考和分析才能找到正确的解决方法。
这种设计旨在考察考生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
高考数学试题往往会涉及到实际问题的应用。
试题可能会以实际生活中的问题为背景，要求考生运用数学工具解决这些问题。
这种设计旨在培养考生的应用能力和解决实际问题的能力。
高考数学试题的特点包括基础知识的考察、问题的难度和深度、以及实际问题的应用。
考生需要在备考过程中充分了解这些特点，才能更好地应对高考数学试题的挑战。
1.2 圆锥曲线在高中数学中的重要性在高中数学学习中，圆锥曲线是一个非常重要的内容。
圆锥曲线是代数与几何相结合的一门数学学科，它不仅是数学知识体系中的一部分，也是一种数学思维的重要体现。
掌握圆锥曲线的知识，可以帮助学生提高数学思维能力，培养逻辑思维和数学推理能力。
1. 圆锥曲线是高中数学的基础。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是数学中的重要概念，也是高中数学中的重要内容之一。
在高考中，圆锥曲线问题往往是考查学生分析能力、解题技巧和数学理论应用能力的重要内容。
圆锥曲线问题包括了圆、椭圆、双曲线和抛物线等内容，这些问题在高考中的常见题型有很多，下面我们就来总结一下圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧。
一、圆锥曲线的常见题型1. 求解圆锥曲线的焦点、直径等坐标问题2. 求圆锥曲线与坐标轴的交点3. 求圆锥曲线的参数方程4. 求解圆锥曲线的切线方程5. 求解圆锥曲线的渐近线方程6. 判断点是否在圆锥曲线内部或外部等问题这些都是高考中经常出现的圆锥曲线的题型，考查学生的代数计算、几何推理、参数方程应用等多方面的数学能力。
二、解题技巧1. 确定圆锥曲线的类型在解题时首先要明确圆锥曲线的类型，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
这样可以根据具体的类型选择相应的解题方法，避免盲目求解导致错误。
2. 利用几何的方法辅助求解对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，可以利用几何的方法来辅助求解，比如通过图形性质来确定焦点、直径等坐标，利用图形的对称性质来求解切线方程等。
3. 转换坐标系有些圆锥曲线问题在直角坐标系中比较复杂，但是如果将坐标系进行适当的旋转、平移或变换，可能会使问题更易于求解。
将坐标系转换成合适的坐标系是解决问题的有效方法之一。
4. 参数化求解对于一些复杂的圆锥曲线问题，可以尝试使用参数方程来进行求解，将问题转化成参数方程的形式，有时会使问题变得更加简单。
5. 利用数学工具软件辅助求解在解题过程中，可以利用数学软件来辅助求解，比如利用计算机绘制图形、求解方程等，可以帮助理清思路、验证结果，并避免繁琐的计算错误。
三、举例分析以下举一个常见的圆锥曲线问题作为例子进行分析：已知椭圆的方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]求椭圆的焦点坐标及渐近线方程。
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圆锥曲线在高考中的常见题型及其解法从近几年全国各地的高考题来看，圆锥曲线问题一直是以拉开差距的题目的身份出现，题目的综合性较强，计算能力要求较高，难度较大。
因此，对于那些想考上较好大学的学生而言，圆锥曲线问题就成了必争之地，而要突破它也并非难事，让我们来看看高考中这类问题是怎样出现的吧！一、新趋势——与圆结合随着课程改革的不断推广，新课标教材中降低了对圆锥曲线的要求，这让我们看到高考中圆锥曲线与圆相结合的问题逐渐增多（尤其是新课标考区），而且难度较小。
如：例1：（07年广东理）在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（I ）求圆C 的方程；（II ）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（I ）圆C ：22(2)(2)8x y ++-=；（II ）由条件可知a =5，椭圆方程为221259x y +=，∴F （4，0）.若存在这样的点Q ，则F 在OQ 的中垂线上，又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称；直线CF 的方程为y -1=1(1)3x --,即340x y +-=.设Q （x,y ），则334022yx x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以存在满足条件的点Q ，其坐标为412(,)55.点评：圆与圆锥曲线相结合的问题主要是强调对圆锥曲线基本概念的理解，要充分利用圆的几何性质对题目条件进行合理的转化，以简化计算，解决问题。
二、向量参与圆锥曲线问题的两种方式我们经常在圆锥曲线问题中看到向量，比较简单的是用向量语言表述几何关系。
如用0=⋅表示OA 和OB 互相垂直，用()OM +=21表示M 是线段AB 的中点等等。
另一种情况是用向量语言表述坐标关系，下面我们还是通过一些题目来说明这些是如何办到的。
例2：（08全国II ）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．解析：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>．如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==； 由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k =+．所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． （Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h ==又AB ==AEBF 的面积为121()2S AB h h =+()()2415214521kk++===≤ 当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为 点评：就像本题一样，最常见的向量语言表述坐标关系莫过于定比分点坐标公式。
在某些题目中可能还会以线段的比值关系来给出这样的条件，此时还要注意对λ的正负进行讨论，然后利用向量找到坐标之间的关系以解决问题。
三、圆锥曲线中的面积问题圆锥曲线中的面积问题和弦长问题联系是非常紧密的，高考中也经常出现，但以面积问题居多，这类问题往往又与函数的最值、方程等结合得比较紧密，有一定的综合性但难道不算太大，容易突破。
例3：（05全国卷II ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．解析：①当PQ 斜率存在且不为0时，设为k.. 则PQ ：1+=kx y .由⎩⎨⎧=-++=022122y x kx y 得，()012222=-++kx x k . 设()()2211,,,y x Q y x P . 则21,22221221+-=+-=+k x x k k x x .∴()2122122212++=-+=k k x x k PQ . 同理可得，()1212222++=k k MN . ∴()()()21214212222+++=⋅=k k k MN PQ S PMQN . 令()112>+=t k t ，则12-=t k . ∴()()452114112422+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=t t t t S PMQN.∵110<<t ， ∴2916<≤PMQN S ②当PQ 斜率不存在或为0时，221=⋅=MN PQ S PMQN 综上所述，四边形PMQN 的面积的最小值为916，最大值为2.点评：此题以向量的形式告诉我们过上焦点的两条相互垂直的直线与椭圆交于四点，并要我们求这四点所构成的四边形的面积的最值。
解决此题时要注意一下两点：①要能够通过对四边形面积的分割，将四边形的面积转化为两条弦长的乘积。
②再顺利表示出四边形的面积以后，要能够通过合理的换元求出那个分式函数的最值。
对于这些类似的分式函数常见的求最值的方法有，换元后用均值不等式、或转化为二次函数、或用判别式法求最值。
另外，对所求面积进行合理的分割，能起到简化计算的作用，如下面这个题目。
四、求值、求方程问题相对于面积问题，求值、求方程类问题的条件更加变化多端，可能需要对条件作出更多的转化，才能够利用条件列出方程以求出所需的值。
注意，求方程就是求方程中待定的系数，也就是求值。
例4：（05福建卷）已知方向向量为)3,1(=v 的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足634=⋅OM cot ∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.解析：（I ）椭圆C 的方程为：12622=+y x . （II ）由已知，直线m 不垂直于y 轴，所以可设其方程为：2-=ty x .由⎩⎨⎧=-+-=063222y x ty x 得，()024322=--+ty y t . 设()()2211,,,y x N y x M 则34221+=+t t y y ，32221+-=t y y . ∴31622221++=-t t y y ∴3162212221++=-⋅=+=∆∆∆t t y y OE S S S ONEOME OMN . 又由634=⋅ON OM cot ∠MON ，知362=∆MON S . ∴31322+=+t t . 解得，0=t 或3±=t . 所以，存在这样的直线m ，其方程为：2-=x 或023=+±y x .点评：对于此题，要将条件634=⋅OM cot ∠MON ≠0转化为362=∆MON S 才能够突破问题的关键。
此外，大胆的设方程、设参数也是需要不断向学生渗透的重要思想。
五、求范围问题如果说求值要想尽一切办法列方程的话，那么求范围就要想尽一切办法列不等式，列所求字母的不等式以求出其范围。
其中，能用于列不等式的主要有：①判别式0>∆；②曲线上点坐标的范围；③特殊的已知条件。
另外要注意的是，我们所求的字母有可能是某个变量的函数，我们可利用函数求值域的方法求其范围。
例5：（07四川理20）设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1·2PF 的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.解析：（Ⅰ）易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1（Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：2k <或2k >-…① 又00090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅>∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<<…②故由①、②得2k -<<2k << 点评：这个题中体现了用判别式及已知条件列不等式求范围的方法，容易找到切入点，值得提醒学生注意的是∠AOB 为锐角是怎样应用的。
例6：（05石家庄一模）已知圆C ：()8122=++y x ，定点A （1，0），M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足0,2=⋅=，点N 的轨迹为曲线E. （I ）求曲线E 的方程；（II ）若过点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.点拨：这个题目还是可以构造韦达定理来求解，但计算量较大。
下面的解法就是通过向量找到了椭圆上一点的纵坐标和λ的关系，从而利用椭圆上点的纵坐标的范围得到了λ的取值范围。
参考答案：（I ）曲线E 的方程为：1222=+y x .（II ）设()()2211,,,y x H y x G . 由FH FG λ=有，()⎩⎨⎧--==122121λλλy y x x ，代入E 的方程，得∴λλ4352-=y . 由112≤≤-y ， 得331≤≤λ又因为点G 在点F 、H 之间，所以10<<λ. 综上，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,31λ.例7：（06年福建）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。