2014高考数学圆锥曲线小题解题方法大全
圆锥曲线的解题方法(精选4篇)
圆锥曲线的解题方法(精选4篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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专题10 圆锥曲线-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 Word版含解析
(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B 级要求； (2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求. （4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题.1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． 2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)．3．圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e ＝ca ＝1－b 2a2；(2)双曲线：①e ＝c a ＝1＋b 2a 2.②渐近线方程：y ＝±b a x 或y ＝±abx .4．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义；②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)；双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)．这样可以避免讨论和繁琐的计算． 5．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； (3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.6．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝ 1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k2|y 2－y 1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算． 7．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有①|OP |∈[b ，a ]； ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]； ③|PF 1|²|PF 2|∈[b 2，a 2]； ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有①|OP |≥a ； ②|PF 1|≥c －a . 8．定点、定值问题定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．9．解决最值、范围问题的方法解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.考点1、圆锥曲线的定义与标准方程【例1】 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________________．【解析】 法一 x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，根据定义2a ＝|152＋12－152＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.法二 x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.【方法技巧】本例可有三种解法：一是根据双曲线的定义直接求解，二是待定系数法；三是共焦点曲线系方程，其要点是根据题目的条件用含有一个参数的方程表示共焦点的二次曲线系，再根据另外的条件求出参数．【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为____________．考点2、圆锥曲线的几何性质【例2】 (2013²浙江卷改编)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．【规律方法】求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a ，c ，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a ，c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．【变式探究】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.(2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为________．考点3、求动点的轨迹方程【例3】 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足A M →²B M →＝－2，求点M 的轨迹方程．【规律方法】(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．【变式探究】(2013²新课标全国Ⅰ卷)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB |.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或187.难点一、圆锥曲线的弦长问题【例1】 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为40 3，求a ，b 的值．法二 设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，可知|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，可得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ²85a ²32＝235a 2＝403，知a ＝10，b ＝5 3.【规律方法】在【解析】几何问题中，转化题目条件或者设参数解决问题时，根据题目条件，选择适当的变量是解题的一个关键，能够起到简化运算的作用(本例中可设|AB |＝t )．【变式探究】 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，A F →＝2F B →.(1) 求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．难点二、定点、定值问题【例2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．【规律方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．【变式探究】 (2013²安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．难点三、最值、范围问题【例3】 (2013²新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ： x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ABCD 面积的最大值．所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |²|CD |＝863.[规律方法] 求最值或求范围问题常见的解法有两种：【变式探究】 已知椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．(1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求PA 的最大值与最小值； (3)若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围．1．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．2．(2013·福建卷)椭圆T：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．3．已知双曲线C与椭圆x216＋y212＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________．4．在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(3k＋1)x＋(k－3)y－(3k＋3)＝0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2＋ 3.(1)求椭圆C的方程；(2)设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx＋ny＝1和l2：mx＋ny＝4的位置关系．5．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．6．在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，－1)椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1→·FB 2→＝2b 2.(1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R .过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P .若AQ ·AR ＝3OP 2，求直线l 的方程．所以a ＝22，b ＝ 2.7．已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．8．已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的公共顶点．P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(P 、M 都异于A 、B )，且满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为k 1、k 2、k 3、k 4，k 1＋k 2＝5，则k 3＋k 4＝________.9．在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O ，A ，B 三点的圆的方程．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F (3，0)．则AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x 1＝x 2－，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2.① 又点A ，B 在椭圆C 上，10．(2013·浙江卷)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．11．已知椭圆的焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q 两点，且|PQ|＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1MN ≤124＝3，当t ＝1，m ＝0时，S △F 1MN ＝3，又S △F 1MN ＝4R ，。
2014北京高考数学圆锥曲线及解题技巧
2014北京高考数学圆锥曲线及解题技巧椭圆与双曲线的性质椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
高考数学圆锥曲线解题技巧
高考数学圆锥曲线解题技巧高考数学两类压轴大题是导数和圆锥曲线，难度大、综合性强，取得满分不容易，但要得到尽可能多的分数还是有方法可行的。
下面店铺为高考考生整理数学圆锥曲线解题技巧，希望对大家有所帮助!高考数学圆锥曲线解题技巧1.解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法.(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法;(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法.2.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;(4)利用基本不等式求出参数的取值范围;(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.高考数学圆锥曲线基础知识点圆锥曲线定义圆锥曲线包括圆，椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当e<1时为椭圆。
椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。
离心率这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。
一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了。
特别的，因为抛物线的离心率都等于1，所以所有的抛物线都是相似图形。
准线在圆锥曲线的统一定义中：到定点与定直线的距离的比为常数e(e>0)的点的轨迹，叫圆锥曲线。
而这条定直线就叫做准线。
圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，)0(12222>>=+b a by a x 则有。
02020=+k by a x （2）与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则)0,0(12222>>=-b a by a x 有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。
（1）求证离心率；βαβαsin sin )sin(++=e （2）求的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA⊥OB，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。
高考数学二级结论快速解题：专题14 圆锥曲线的切线问题(解析版)
专题14圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0 来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0 来求解；对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解.而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C:222()()x a y b R上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R .2.过椭圆22221x y a b 上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y y a b.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p 和直线l :00()y y p x x .(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.(2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 222210x y a b a b ，则椭圆在其上一点 00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b ，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y ，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（）A ．1BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y ，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y ，令0y ，可得12(,0)C x ，令0x ，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y，又点B 在椭圆上，所以221112x y ，所以121111121111122x y S x y x y x x y y 当且仅当11112x yy x，即111,2x y 时等号成立，所以OCD故选：C【反思】过椭圆 222210x y a b a b上一点 00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y y a b ，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n上一点 00,P x y 的切线方程为001x x y y m n .过椭圆221124x y 上的点 3,1A 作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（）A ．30x yB ．-20x yC ．2330x yD ．3100x y 【答案】B 【详解】过椭圆221124x y 上的点 3, 1A 的切线l 的方程为 31124y x ，即40x y ，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为 13y x ，即20x y .故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n注意不要带错，通过对比本题信息，12m ，4n ，03x ，01y ，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点 1,1P 作圆22:2C x y 的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB_________.【答案】2 【详解】圆C 的圆心为 0,0C ，10110CP k，因为22112 ，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ，所以，直线AB 的斜率为1AB k ，故直线AB 的方程为 11y x ，即20x y ，直线20x y 交x 轴于点 2,0A ，交y 轴于点 0,2B ，所以， 1,1PA ， 1,1PB ，因此，112PA PB.故答案为：2 .另解：过圆C :222()()x a y b R 上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R .可知01x ，01y ；0a b ，22R ,代入计算得到过点 1,1P 作圆22:2C x y 的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y ，整理得：20x y ，直线20x y 交x 轴于点 2,0A ，交y 轴于点 0,2B ，所以， 1,1PA ， 1,1PB ，因此，112PA PB.故答案为：2 .【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，在高考中常常出现，并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。
圆锥曲线问题在高考中的常见题型有：直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。
下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。
一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型，题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
解题技巧如下：1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线，确定直线方程和圆锥曲线方程；2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中，解方程得出交点坐标；3. 特别要注意，当圆锥曲线为椭圆或双曲线时，有两个交点，需要分别求解；4. 当圆锥曲线为抛物线时，还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。
二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力，解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。
解题技巧如下：1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示，将已知的参数方程代入题目求解；2. 注意参数方程的参数范围，有时需要根据范围重新调整参数；3. 对于给出的参数方程，需要将参数代换替换变量，进而得出答案。
三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质，以及如何应用这些性质解决实际问题。
解题技巧如下：1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质，例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等；2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程；3. 对于应用问题，需要在掌握了基本性质的前提下，将问题转化为数学模型，进而解决。
以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望对大家备战高考有所帮助。
在复习期间，建议大家多做练习题，加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力。
多思考，灵活运用各种解题技巧，相信大家一定能在高考中取得好成绩！。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是数学中的重要概念，也是高中数学中的重要内容之一。
在高考中，圆锥曲线问题往往是考查学生分析能力、解题技巧和数学理论应用能力的重要内容。
圆锥曲线问题包括了圆、椭圆、双曲线和抛物线等内容，这些问题在高考中的常见题型有很多，下面我们就来总结一下圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧。
一、圆锥曲线的常见题型1. 求解圆锥曲线的焦点、直径等坐标问题2. 求圆锥曲线与坐标轴的交点3. 求圆锥曲线的参数方程4. 求解圆锥曲线的切线方程5. 求解圆锥曲线的渐近线方程6. 判断点是否在圆锥曲线内部或外部等问题这些都是高考中经常出现的圆锥曲线的题型，考查学生的代数计算、几何推理、参数方程应用等多方面的数学能力。
二、解题技巧1. 确定圆锥曲线的类型在解题时首先要明确圆锥曲线的类型，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
这样可以根据具体的类型选择相应的解题方法，避免盲目求解导致错误。
2. 利用几何的方法辅助求解对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，可以利用几何的方法来辅助求解，比如通过图形性质来确定焦点、直径等坐标，利用图形的对称性质来求解切线方程等。
3. 转换坐标系有些圆锥曲线问题在直角坐标系中比较复杂，但是如果将坐标系进行适当的旋转、平移或变换，可能会使问题更易于求解。
将坐标系转换成合适的坐标系是解决问题的有效方法之一。
4. 参数化求解对于一些复杂的圆锥曲线问题，可以尝试使用参数方程来进行求解，将问题转化成参数方程的形式，有时会使问题变得更加简单。
5. 利用数学工具软件辅助求解在解题过程中，可以利用数学软件来辅助求解，比如利用计算机绘制图形、求解方程等，可以帮助理清思路、验证结果，并避免繁琐的计算错误。
三、举例分析以下举一个常见的圆锥曲线问题作为例子进行分析：已知椭圆的方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]求椭圆的焦点坐标及渐近线方程。
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圆锥曲线小题总结直线与圆问题1已知直线ax+by+c=0与圆o ：x 2+y 2=1交于A 、B 两点，且|AB|=，则•=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣2在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x+15=0，若直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最大值为（ ） A ． 0 B ． C ． D ．3 3直线y=kx+3与（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4相交于A 、B 两点，若的值是（ ）A ．B ．C ．D ．4若A ，B ，C 是圆x 2+y 2=1上不同的三个点，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（ ）A ． λ2+μ2=1B ．C ．λ•μ=1 D ．λ+μ=1 5过点（）引直线l 与曲线y=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A ．B ．C ．D ．6若直线x ﹣y+1=0与圆（x ﹣a ）2+y 2=2有公共点，则实数a 取值范围是（ ）A ． [﹣3，﹣1]B ． [﹣1，3]C ． [﹣3，1]D ． （﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）7在圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y=0内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ． B ． C ． D ．8直线y=kx+3与圆（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=4相交于M ，N 两点，若，则k 的取值范围是（ ） A ． [﹣，0] B ． C ．[﹣]D ．[﹣，0]9圆x 2+y 2﹣2x ﹣1=0关于直线2x ﹣y+3=0对称的圆的方程是（ ）A ．B ．C ． （x+3）2+（y ﹣2）2=2 D ．（x ﹣3）2+（y+2）2=210由直线y=x+1上的一点向圆（x ﹣3）2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． D ． 311如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么xy的最大值是（ ） A ．21 B ．33 C ．23D ．312若直线x+y ﹣m=0与曲线有公共点，则m 所的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．13在平面直角坐标系xOy 中，若曲线与直线x=m 有且只有一个公共点，则实数m= _______ 14若关于x 的方程：有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围：_________ ．15不论k 为何实数，直线l ：y=kx+1恒过的定点坐标为 _________ 、若该直线与圆x 2+y2﹣2ax+a 2﹣2a ﹣4=0恒有交点，则实数a 的取值范围是 _________ ．16．若对满足条件x 2+（y+1）2=1的x ，y ，不等式x+y+c ≥0恒成立，则实数c 的取值范围是 _________ ．17过直线x+y ﹣2=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是 ___18过原点O 作圆x 2+y 2﹣6x ﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为 _________ ．圆锥曲线基本定义 1．方程所表示的曲线是（ ） A ． 线段 B ． 椭圆C ． 双曲线D ． 抛物线2设P 为椭圆上任意一点，O 为坐标原点，F 为椭圆的左焦点，点M 满足，则= _________ ．3如图，从双曲线的左焦点F 1引圆x 2+y 2=9的切线，切点为T ，延长F 1T 交双曲线右支于P 点．设M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|F 1t|= _________ ；|MO|﹣|MT|= _________ ．4双曲线﹣=1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为（）A．B．C．D．5 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是A．2 B．3C. 115D.37166．已知双曲线的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1B．C．2D．37已知抛物线C：y2=8x与点M（﹣2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若=0，则k=（）A．B．C．D．28已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则tan∠F1PF2=（）A．B．C．D．9已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________．10已知双曲线C1：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）C．x2=8y D．x2=16yA．B．x2=y离心率问题1过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．3已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率为（）A．B．C．D．4点P为双曲线C1：和圆C2：x2+y2=a2+b2的一个交点，且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1，F2为双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．25过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）左焦点F1的直线与以右焦点F2为圆心、为半径的圆相切于A点，且=2b，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．26在△ABC中，，则过点C，以A，H为两焦点的椭圆的离心率为7已知双曲线的焦点F 到一条渐近线的距离为，点O为坐标原点，则此双曲线的离心率为 _________ ． 8已知F 1，F 2是双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与C的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率为_________ ． 9．过双曲线（a ＞0，b ＞0）的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若|FM|=|ME|．则该双曲线的离心率为 __10设e 1、e 2为焦点在x 轴上且具有公共焦点F 1、F 2的标准椭圆和标准双曲线的离心率，O 为坐标原点，P 是两曲线的一个公共点，且满足2=，则的值为（ ）A ．2 B ．C ．D ．1 11已知椭圆C ：（a ＞b ＞0），F （c ，0）是它的右焦点，经过坐标原点O 的直线l 与楠圆相交于A ，B 两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．12设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___.13 F 1，F 2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF2=S △IPF1﹣S △IF1F 2，则双曲线的离心率e= _________ ．14 已知点A 是抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）与双曲线C 2：的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线的离心率等于_________ ．15如图，已知ABCDEF为正六边形，若以C，F为焦点的双曲线恰好经过A，B，D，E四点，则该双曲线的离心率为_________．16已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F做双曲线C的一条渐近线的垂线，与双曲线交于M，垂足为N，若M为线段FN的中点，则双曲线C的离心率为________．17已知双曲线，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则此双曲线的离心率e=_________．18已知双曲线c：，以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N （异于原点O），若|MN|=，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．2D．三角形问题1 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3C．D．2已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2B．4C．6D．83已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点p在C上，∠F1pF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．4已知椭圆的焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=90°，则点P的纵坐标可以是（）A．B．C．D．5己知P是椭圆上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若=，则△F I PF2的面积为（）A．B．C．2D．36设P为双曲线上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．B．12 C．D．247设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|=（）A．B．2C．D．28设O为坐标原点，F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，|OP|=a，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0 9已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=_________．10已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1、F2，点G在椭圆上，且=0，△GF1F2的面积为6，则椭圆C的方程为_________．11 设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．若点P在椭圆上，且，则向量与向量的夹角的大小为_________．轨迹方程问题1过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）A．y2=6x B．y2=3x C．y2=12x D．2已知两点M （﹣2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足=0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ ）A ． y 2=8x B ． y 2=﹣8x C ． y 2=4xD ． y 2=﹣4x3椭圆M ：长轴上的两个顶点A 、B ，点P 为椭圆M 上除A 、B 外的一个动点，若•=0且•=0，则动点Q 在下列哪种曲线上（ ）A ． 圆B ． 椭圆C ． 双曲线D ． 抛物线4已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F （1，0）为定点，且满足，•．动点N 的轨迹E 的方程是 _________ ．5过定点F （4，0）作直线l 交y 轴于Q 点，过Q 点作QT ⊥FQ 交x 轴于T 点，延长TQ 至P 点，使|QP|=|TQ|，则P 点的轨迹方程是 _________ ． 6．动点P 到两定点A （a ，0），B （﹣a ，0）连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线？7已知点M （0，1）、A （1，1）、B （0，2），且求点P 的轨迹方程；8设A 、B 分别是直线y=x 和y=﹣x 上的两个动点，并且||=，动点P 满足，记动点P 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程．9．已知动圆M 与直线y=2相切，且与定圆C ：x 2+（y+3）2=1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．10．已知平面内点M （﹣3，2），N （5，﹣4），l 是经过点A （﹣1，﹣2）且与MN 垂直的直线，动点P （x ，y ）满足．求直线l 的方程与动点P 的轨迹Σ的方程；11．已知A （﹣，0）、B （，0），△ABC 的内切圆的圆心在直线x=2上移动．求点C的轨迹方程；12已知圆1:221=+y x O ，圆:2O 091022=+-+x y x 都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。