包头市2015中考复习第2章 第3节 分式方程
包头市2015中考复习第2章 第2节 一元二次方程
第2节 一元二次方程一元二次方程1．定义：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程． 2．一般形式：________________(a ≠0)．一元二次方程的解法配方法，________法，________法．一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)： b 2－4ac ＞0⇔方程有两个________的实数根； b 2－4ac ＝0⇔方程有两个________的实数根； b 2－4ac ＜0⇔方程________实数根．一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________.一元二次方程的应用步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答．一元二次方程及解法【例1】(1)(2013·遵义)已知x ＝－2是方程x 2＋mx －6＝0的一个根，则方程的另一个根是__3__．(2)解方程：(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：原方程化简为x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1(1)由根的定义―→代入求值―→解方程，或由两根之积等于－6―→求另一根； (2)化简―→观察方程特点―→利用配方法或公式法求解．一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系 【例2】(1)如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( D )A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．－12≤k ＜12D ．－12≤k ＜12且k ≠0(2)(2014·德州)方程x 2＋2kx ＋k 2－2k ＋1＝0的两个实数根x 1，x 2满足x 12＋x 22＝4，则k的值为__1__．(1)理解题意，观察方程特点―→k ≠0，2k ＋1≥0，Δ＞0；(2)两个实数根―→Δ≥0，x 12＋x 22＝4―→(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4，把x 1＋x 2，x 1x 2的结果代入，求出k 的值．注意：所求k 值必须使Δ≥0.一元二次方程的应用【例3】(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为__2.6(1＋x )2__万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x .解：(2)由题意得4＋2.6(1＋x )2＝7.146，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)审题确定相等关系―→设未知数―→列方程―→求解、验证． 真题热身1．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__． 2．(2014·菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( A )A ．1B ．－1C ．0D ．－23．(2014·玉林)x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根，是否存在实数m 使1x 1＋1x 2＝0成立？则正确的结论是( A )A ．m ＝0时成立B ．m ＝2时成立C ．m ＝0或2时成立D ．不存在 4．解方程： (1)(2014·徐州)x 2＋4x －1＝0；解：x 1＝－2＋5，x 2＝－2－5(2)(2013·兰州)x 2－3x －1＝0.解：x 1＝3＋132，x 2＝3－1325．(2014·北京)已知关于x 的方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0(m ≠0)． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值． 解：(1)Δ＝[－(m ＋2)]2－4m·2＝(m －2)2≥0(2)由原方程得(x －1)(mx －2)＝0，∴x 1＝1，x 2＝2m ，则x 2＝2m 为整数，∴正整数m ＝1或26．(2014·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB的长度为x，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5，则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去，即AB＝20，BC＝20，∴羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米第2节一元二次方程基础过关一、精心选一选1．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值范围是( A )A．2018 B．2008 C．2014 D．20122．(2014·宜宾)若关于x的一元二次方程的两根为x1＝1，x2＝2，则这个方程是( B ) A．x2＋3x－2＝0 B．x2－3x＋2＝0C．x2－2x＋3＝0 D．x2＋3x＋2＝03．(2013·兰州)用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为( D )A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝24．(2014·钦州)若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( A ) A．－10 B．10 C．－16 D．165．下列关于x的一元二次方程有实数根的是( D )A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝06．(2014·广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－947．(2014·昆明)某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为( D )A ．144(1－x)2＝100B ．100(1－x)2＝144C ．144(1＋x)2＝100D ．100(1＋x)2＝1448．(2013·东营)要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是( C )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 二、细心填一填9．(2014·舟山)方程x 2－3x ＝0的根为__x 1＝0，x 2＝3__．10．(2014·巴中)菱形的两条对角线长分别是方程x 2－14x ＋48＝0的两实根，则菱形的面积为__24__．11．(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长30 m ，宽20 m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为x m ，由题意列得方程__(30－2x)(20－x)＝6×78__．12．(2013·自贡)已知关于x 的方程x 2－(a ＋b)x ＋ab －1＝0，x 1，x 2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③x 12＋x 22＜a 2＋b 2.则正确结论的序号是__①②__．三、用心做一做13．解下列方程：(1)(2014·无锡)x2－5x－6＝0；解：x1＝－1，x2＝6(2)(2013·义乌)x2－2x－1＝0.解：x1＝1＋2，x2＝1－ 214．(2013·襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：(1)设每轮传染中平均一人传染了x个人，依题意得1＋x＋(1＋x)x＝64，解得x1＝7，x2＝－9(舍去)，则每轮传染中平均一人传染了7个人(2)7×64＝448，则第三轮将又有448人被感染15．(2014·泸州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)由根与系数的关系得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，∵(x1－1)(x2－1)＝28，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝28，∴m2－2m－24＝0，∴m1＝－4，m2＝6，由Δ≥0得m≥2，∴m＝6(2)当底边为7时，则两根相等，∴[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝0，∴m＝2，∴x1＝x2＝3，不能构成三角形．当腰为7时，代入原方程可求m1＝4，m2＝10，当m＝4时，原方程变为x2－10x＋21＝0，解得x1＝3，x2＝7，周长为17；当m＝10时，原方程变为x2－22x＋105＝0，解得x1＝7，x2＝15，不能构成三角形．综上可知，三角形的周长为1716．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根．解：(1)将x＝－1代入原方程，得a＋c－2b＋a－c＝0，可得a＝b，故△ABC是等腰三角形(2)由已知可得Δ＝(2b)2－4(a＋c)×(a－c)＝0，即4b2－4(a2－c2)＝0，可得b2＋c2＝a2，故△ABC是直角三角形(3)∵a＝b＝c，∴原方程可化为2ax2＋2ax＝0，解得x1＝0，x2＝－117．(2014·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？解：设每个商品的定价为x 元，则(x －40)[180－10(x －52)]＝2000，整理得x 2－110x ＋3000＝0，解得x 1＝50，x 2＝60，当x 1＝50时，进货180－10(x －52)＝200(个)，不合题意，舍去；当x ＝60时，进货180－10(x －52)＝100(个)挑战技能18．(2013·潍坊)已知关于x 的方程kx 2＋(1－k)x －1＝0，下列说法正确的是( C ) A ．当k ＝0时，方程无解 B ．当k ＝1时，方程有一个实数解C ．当k ＝－1时，方程有两个相等的实数解D ．当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解19．(2013·烟台)已知实数a ，b 分别满足a 2－6a ＋4＝0，b 2－6b ＋4＝0，且a ≠b ，则b a ＋ab的值是( A ) A ．7 B ．－7 C ．11 D ．－1120．(2014·孝感)已知关于x 的方程x 2－(2k －3)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围； (2)试说明x 1＜0，x 2＜0；(3)若抛物线y ＝x 2－(2k －3)x ＋k 2＋1与x 轴交于A ，B 两点，点A ，点B 到原点的距离分别为OA ，OB ，且OA ＋OB ＝2OA·OB －3，求k 的值．解：(1)由题意可知Δ＝[－(2k －3)]2－4(k 2＋1)＞0，∴－12k ＋5＞0，∴k ＜512(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k －3＜0，x 1x 2＝k 2＋1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0 (3)依题意，不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，∴OA＋OB ＝|x 1|＋|x 2|＝－(x 1＋x 2)＝－(2k －3)，OA ·OB ＝|－x 1|·|－x 2|＝(－x 1)·(－x 2)＝x 1x 2＝k 2＋1，∵OA ＋OB ＝2OA·OB －3，∴－(2k －3)＝2(k 2＋1)－3，整理得k 2＋k －2＝0，解得k 1＝1，k 2＝－2，∵k ＜512，∴k ＝－221．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在k 使得x 1x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)k ≤14 (2)假设存在实数k ，使得x 1x 2－x 12－x 22≥0成立．∵x 1＋x 2＝2k ＋1，x 1x 2＝k 2＋2k ，由x 1x 2－x 12－x 22≥0得3x 1x 2－(x 1＋x 2)2≥0，∴3(k 2＋2k)－(2k ＋1)2≥0，整理得－(k －1)2≥0，∴只有当k ＝1时上式才能成立，又由(1)知k ≤14，∴不存在实数k 使得x 1x 2－x 12－x 22≥0成立22．(2013·威海)要在一块长52 m ，宽48 m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案．小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m ，剩余的四块绿地面积共2300平方米．小颖设计的方案如图②所示，BC＝HE＝x，AB∥CD，HG∥EF，AB⊥EF，∠1＝60°.(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)解：根据小亮的设计方案列方程得(52－x)(48－x)＝2300，整理得x2－100x＋196＝0，解得x1＝2，x2＝98(舍去)，∴小亮设计方案中甬路的宽度为2 m(2)易证四边形ADCB为平行四边形．由(1)得x＝2，∴BC＝HE＝AD＝2.过A作AI⊥CD于I，则AI＝2sin60°＝3，∴小颖设计方案中四块绿地的总面积＝52×48－52×2－48×2＋(3)2＝2299(m2)。
包头市2015中考复习第3章 第2节 一次函数的图象和性质
第2节 一次函数的图象和性质一次函数的定义一般地，形如y ＝________(k ，b 为常数，k ≠0)的函数，叫做一次函数．特别地，当b ＝________时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx (k 是常数，k ≠0)，这时y 叫做x 的________．正比例函数、一次函数的图象与性质 1．正比例函数的图象是一条经过原点的________________________________________________________________________．2．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条经过点(0，____)，(____，0)的直线． 3．直线y ＝kx ＋b 可以看作由直线y ＝kx 平移得到．4．对于一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，当k ＞0时，y 随x 的增大而________；当k ＜0时，y 随x 的增大而________．一次函数与方程、不等式的关系(1)任何一元一次方程都可以转化为ax ＋b ＝0(a ，b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的________的值．反过来，一元一次方程可以看成函数在________时的特例．从图象上看，这相当于已知直线y ＝ax ＋b ，确定它与x 轴交点的________的值．(2)任何一个一元一次不等式都可以转化为ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a ，b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作是当一次函数值大于(或小于)0时，求相应的________的取值范围．(3)二元一次方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2的解可以看成是两个一次函数y ＝－a 1b 1x ＋c 1b 1和y ＝－a 2b 2x ＋c 2b 2的图象的________．一次函数的图象与性质【例1】(1)对于一次函数y ＝－2x ＋4，下列结论错误的是( D ) A ．函数值随自变量的增大而减小 B ．函数的图象不经过第三象限C ．函数的图象向下平移4个单位长度是y ＝－2x 的图象D ．函数的图象与x 轴的交点坐标是(0，4)(2)(2014·本溪)若实数a ，b 满足ab ＜0，且a ＜b ，则函数y ＝ax ＋b 的图象可能是( A )一次函数y ＝kx ＋b 的图象与性质应注意：(1)图象分布与k ，b 符号之间的关系；(2)增减性与k 的符号关系；(3)图象与两坐标轴的交点及围成的图形面积等．一次函数的解析式【例2】(2014·宜宾)如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于点B ，则这个一次函数的解析式是( D )A ．y ＝2x ＋3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x －3D ．y ＝－x ＋3两点坐标―→列方程组―→直线解析式．一次函数与方程、不等式的关系【例3】(2013·广安)如图，直线l 1：y ＝x ＋3与直线l 2：y ＝ax ＋b 相交于点A(m ，4)．(1)求出m 的值；(2)观察图象，请你直接写出关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋3，y ＝ax ＋b的解和关于x 的不等式x ＋3≤ax ＋b 的解集．解：(1)∵(m ，4)在直线y ＝x ＋3上，∴当y ＝4时，x ＝1，即m ＝1 (2)方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，不等式的解集为x ≤1解答这类题时，一要明确一次函数、一次方程和一元一次不等式的内在联系；二要在观察图象时特别关注直线与x 轴的交点，若两直线相交，其交点也是关键点．不能明确x ，y 取值范围的几何意义，如：不清楚与题目相关那部分图象的位置． 【例4】(2014·威海)一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则kx ＋b ＞x ＋a 的解集是__x ＜－2__．kx ＋b ＞x ＋a 的解集即为y 1图象位于y 2图象上方部分的x 的取值范围．真题热身1．(2014·徐州)将函数y＝－3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为( A )A．y＝－3x＋2B．y＝－3x－2C．y＝－3(x＋2) D．y＝－3(x－2)2．(2014·达州)直线y＝kx＋b不经过第四象限，则( C )A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0C．k＞0，b≥0 D．k＜0，b≥03．(2013·眉山)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝cx＋a的图象可能是( C )4．(2014·张家界)已知一次函数y＝(1－m)x＋m－2，当m__＜1__时，y随x的增大而增大．5．(2014·嘉兴)点A(－1，y1)，B(3，y2)是直线y＝kx＋b(k＜0)上的两点，则y1－y2__＞__0.(填“＞”或“＜”)6．(2014·武汉)已知直线y＝2x－b经过点(1，－1)，求关于x的不等式2x－b≥0的解集．解：把点(1，－1)代入y＝2x－b得－1＝2－b，解得b＝3，函数解析式为y＝2x－3，解2x－3≥0得x≥32第2节一次函数的图象和性质基础过关一、精心选一选1．(2014·温州)一次函数y＝2x＋4的图象与y轴交点的坐标是( B )A．(0，－4) B．(0，4)C．(2，0) D．(－2，0)2．(2014·济南)若一次函数y＝(m－3)x＋5的函数值y随x的增大而增大，则( C ) A．m＞0 B．m＜0C．m＞3 D．m＜33．(2014·广州)已知正比例函数y ＝kx(k ＜0)的图象上两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且x 1＜x 2，则下列不等式中恒成立的是( C )A ．y 1＋y 2＞0B ．y 1＋y 2＜0C ．y 1－y 2＞0D ．y 1－y 2＜04．(2014·汕尾)已知直线y ＝kx ＋b ，若k ＋b ＝－5，kb ＝6，那么该直线不经过( A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．(2014·宜宾)如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于点B ，则这个一次函数的解析式是( D )A ．y ＝2x ＋3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x －3D ．y ＝－x ＋36．如图，函数y ＝2x 和y ＝ax ＋4的图象相交于点A(m ，3)，则不等式2x ＜ax ＋4的解集为( A )A ．x ＜32 B ．x ＜3C ．x ＞32D ．x ＞37．(2013·泰安)把直线y ＝－x ＋3向上平移m 个单位后，与直线y ＝2x ＋4的交点在第一象限，则m 的取值范围是( C )A ．1＜m ＜7B ．3＜m ＜4C ．m ＞1D ．m ＜4二、细心填一填8．(2014·丽水)写出图象经过点(－1，1)的一个函数的解析式是__答案不唯一，如：y ＝－x__．9．(2013·青岛)如图，一个正比例函数图象与一次函数y ＝－x ＋1的图象相交于点P ，则这个正比例函数的表达式是__y ＝－2x__．10．(2014·舟山)过点(－1，7)的一条直线与x 轴、y 轴分别相交于点A ，B ，且与直线y ＝－32x ＋1平行，则在线段AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是__(3，1)，(1，4)__．11．(2013·包头)如图，已知一条直线经过A(0，2)，点B(1，0)，将这条直线向左平移与x 轴、y 轴分别交于点C ，D.若DB ＝DC ，则直线CD 的函数解析式为__y ＝－2x －2__.12．无论a 取什么实数，点P(a －1，2a －3)都在直线l 上，Q(m ，n)是直线l 上的点，则(2m －n ＋3)2的值等于__16__． 三、用心做一做13．已知一次函数y ＝kx ＋3的图象经过点A(1，4)． (1)求这个一次函数的解析式；(2)试判断点B(－1，5)，C(0，3)，D(2，1)是否在这个一次函数的图象上．解：(1)y ＝x ＋3 (2)当x ＝－1时，y ＝2≠5；当x ＝0时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝5≠1，∴点B ，D 不在图象上，点C 在图象上14．已知一次函数y ＝(2a ＋4)x －(3－b)，当a ，b 为何值时： (1)y 随x 的增大而增大；(2)图象经过第二、三、四象限； (3)图象与y 轴的交点在x 轴上方．解：(1)由题意得2a ＋4＞0，∴a ＞－2 (2)由题意得2a ＋4＜0，－(3－b)＜0，∴a ＜－2，b ＜3 (3)由题意得2a ＋4≠0，－(3－b)＞0，∴a ≠－2，b ＞315．画出函数y ＝－32x ＋3的图象，根据函数图象回答下列问题：(1)求方程－32x ＋3＝0的解；(2)求不等式－32x ＋3＜0的解集；(3)当x 取何值时，y ≥0? 解：(1)x ＝2 (2)x ＞2 (3)x ≤216．如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A(－2，－1)，B(1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D.(1)求该一次函数的解析式； (2)试求△DOC 的面积．解：(1)y ＝43x ＋53(2)C(－54，0)，D(0，53)，则OC ＝54，OD ＝53，∴S △DOC ＝12×54×53＝2524挑战技能17．(2013·娄底)关于x 的一次函数y ＝kx ＋k 2＋1的图象可能是( C )18．(2014·孝感)如图，直线y ＝－x ＋m 与y ＝nx ＋4n(n ≠0)的交点的横坐标为－2，则关于x 的不等式－x ＋m ＞nx ＋4n ＞0的整数解为( D )A ．－1B ．－5C ．－4D ．－319．已知A(1，5)，B(3，－1)两点，在x 轴上取一点M ，使AM －BM 取得最大值时，则M 的坐标为__(72，0)__．20．如图，已知直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2∶1的两部分，求直线l 的解析式．解：由题意知S △AOC ＝13S △AOB 或S △AOC ＝23S △AOB ，∴y C ＝13y B 或y C ＝23y B .令x ＝0，则y＝x ＋3＝3，∴B(0，3)，∴y C ＝1或y C ＝2.设直线l 的解析式为y ＝kx ，当y C ＝1时，代入y ＝x ＋3，得x C ＝－2，∴C(－2，1)，把C 的坐标代入y ＝kx ，得1＝－2k ，∴k ＝－12；当y C＝2时，同理可得C(－1，2)，∴k ＝－2，∴所求直线l 解析式为y ＝－2x 或y ＝－12x21．如图，已知直线l 1与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA ＝2，OB ＝4，直线l 2的函数表达式为x ＝4，与x 轴交于点D ，两直线相交于点C.(1)求直线l 1对应的函数表达式和点C 的坐标；(2)点P 是直线l 2上的一个点，且DP ＝2，过点P 作PE ∥x 轴交直线l 1于点E ，求线段PE 的长．解：(1)∵OA ＝2，OB ＝4，∴A(2，0)，B(0，－4)．设直线l 1函数表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－4，∴直线l 1的函数表达式为y ＝2x －4.当x ＝4时，y ＝2×4－4＝4，∴点C 坐标为(4，4) (2)∵DP ＝2，∴P 的坐标为(4，2)或(4，－2)．∵PE ∥x 轴，∴点E 的纵坐标为2或－2.当点E 的纵坐标为2时，2＝2x －4，∴x ＝3，∴点E 的坐标为(3，2)，∴PE ＝4－3＝1；当点E 的纵坐标为－2时，－2＝2x －4，∴x ＝1，∴点E 的坐标为(1，－2)，∴PE ＝4－1＝3，∴PE 的长为1或3。
包头市2015中考复习第2章 第4节 一元一次不等式(组)
第4节 一元一次不等式(组)不等式用________连接起来的式子，叫做不等式．不等式的性质1．如果a ＞b ，那么a±c________b±c.2．如果a ＞b ，c ＞0，那么ac______bc(或a c ＞b c )．3．如果a ＞b ，c ＜0，那么ac______bc(或a c ＜bc)．一元一次不等式1．定义：含有________个未知数，且未知数的次数是________的不等式． 2．解集：使不等式成立的______的取值范围．一元一次不等式组1．定义：把两个含有相同的未知数的__________合起来，就组成了一个一元一次不等式组．2．解集：几个不等式解集的________叫做它们组成的不等式组的解集． 3．解集的确定方法(a ＜b)：(1)⎩⎨⎧x ＞a ，x ＞b 的解集为________； (2)⎩⎨⎧x ＜a ，x ＜b 的解集为________； (3)⎩⎨⎧x ＞a ，x ＜b 的解集为________； (4)⎩⎨⎧x ＜a ，x ＞b的解集为________．一元一次不等式(组)的应用1．步骤：(1)找出不等关系；(2)设未知数；(3)列不等式；(4)解不等式；(5)答． 2．用不等号表示下列词语：(1)至少________； (2)最多________； (3)不低于________； (4)不大于________； (5)高于________．不等式的有关概念和基本性质【例1】(1)(2014·滨州)a ，b 都是实数，且a ＜b ，则下列不等式的变形正确的是( C ) A ．a ＋x ＞b ＋x B ．－a ＋1＜－b ＋1C ．3a ＜3b D.a 2＞b2(2)若a ＞b ，则下列不等式不一定成立的是( D ) A ．a ＋m ＞b ＋m B ．a (m 2＋1)＞b (m 2＋1)C ．－a 2＜－b2D ．a 2＞b 2认真理解不等式的性质，特别注意两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号需改变方向．另外不等式具有传递性，若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c .一元一次不等式(组)的解法【例2】(1)(2014·北京)解不等式12x －1≤23x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．解：x ≥－3(2)(2014·青岛)解不等式组：⎩⎨⎧3x －5＞0，①2－x ＞－1.②解：53＜x ＜3(1)去分母时，不要漏乘不含分母的项；(2)系数化为1时，要充分利用不等式的性质；(3)注意不等号方向的变化；(4)在数轴上表示不等式的解集时，要注意边界和方向的确定，含等号：实心圆点，不含等号：空心圆点；(5)不等式组的解集，取所有不等式解集的公共部分．一元一次不等式(组)的应用【例3】某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．(1)若小敏不购买会员卡，所购买商品价格为120元时，实际应支付多少元？ (2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？解：(1)实际应支付120×0.95＝114(元) (2)设所购商品的价格为x 元，依题意得168＋0.8x ＜0.95x ，解得x ＞1120，故当所购商品的价格高于1120元时，选方案一更合算确定不等关系―→设未知数―→列不等式―→解不等式―→检验． 真题热身1．(2013·恩施州)下列命题正确的是( D )A ．若a ＞b ，b ＜c ，则a ＞cB ．若a ＞b ，则ac ＞bcC ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b 2．(2012·攀枝花)下列说法中，错误的是( C ) A ．不等式x ＜2的正整数解只有一个 B ．－2是不等式2x －1＜0的一个解 C ．不等式－3x ＞9的解集是x ＞－3D ．不等式x ＜10的整数解有无数个3．(2014·南充)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12（x ＋1）≤2，x －3＜3x ＋1的解集在数轴上表示正确的是( D )4．(2013·包头)不等式13(x －m)＞3－m 的解集为x ＞1，则m 的值为__4__．5．解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来： (1)(2014·宁波)5(x －2)－2(x ＋1)＞3； 解：x ＞5(2)(2014·珠海)⎩⎨⎧2x －1＞－5，－x ＋1≥2.解：－2＜x ≤－16．(2014·嘉兴)某汽车专卖店销售A ，B 两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A 型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A 型车和1辆B 型车，销售额为62万元．(1)求每辆A 型车和B 型车的售价各为多少元；(2)甲公司拟向该店购买A ，B 两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元，则有哪几种购车方案？解：(1)设每辆A 型车售价为x 万元，每辆B 型车售价为y 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝96，2x ＋y ＝62，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18y ＝26 (2)设购A 型车a 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧18a ＋26（6－a ）≥130，18a ＋26（6－a ）≤140，解得2≤a ≤314，∴正整数a ＝2或3，∴共有两种方案：①买A 型车2辆，B 型车4辆；②买A 型车3辆，B 型车3辆第4节 一元一次不等式(组)基础过关一、精心选一选1．(2013·绵阳)设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲●■这三种物体按质量从大到小排列应为( C )A ．■●▲B ．▲■●C ．■▲●D ．●▲■2．(2014·梅州)若x ＞y ，则下列式子中错误的是( D ) A ．x －3＞y －3 B .x 3＞y 3C ．x ＋3＞y ＋3D ．－3x ＞－3y3．(2013·广东)不等式5x －1＞2x ＋5的解集在数轴上表示正确的是( A )4．(2014·长沙)一个关于x 的一元一次不等式组在数轴上的解集如图所示，则此不等式组的解集是( C )A ．x ＞1B ．x ≥1C ．x ＞3D ．x ≥35．(2013·荆门)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧x －2m ＜0，x ＋m ＞2有解，则m 的取值范围为( C )A ．m ＞－23B ．m ≤23C ．m ＞23D ．m ≤－236．小明原有300元，如图记录了他今天所有支出，其中饼干支出的金额被涂黑．若每包饼干的售价为13元，则小明可能剩下多少元？( B )A ．4B ．14C ．24D ．34 二、细心填一填7．(2014·金华)写出一个解为x ≥1的一元一次不等式__x －1≥0__． 8．(2014·温州)不等式3x －2＞4的解是__x ＞2__．9．(2014·广东)不等式组⎩⎨⎧2x ＜8，4x －1＞x ＋2的解集是__1＜x ＜4__．10．(2013·安顺)已知关于x 的不等式(1－a)x ＞2的解集为x ＜21－a ，则a 的取值范围是__a ＞1__．11．(2013·白银)不等式2x ＋9≥3(x ＋2)的正整数解是__1，2，3__．12．(2014·南京)铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm ，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm ，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为__78__cm . 三、用心做一做13．解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1)(2014·广州)5x －2≤3x ； 解：x ≤1(2)(2013·巴中)2x －13－9x ＋26≤1；解：x ≥－2(3)(2014·丽水)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2＞x ，12x ≤2.解：－1＜x ≤414．(1)解不等式：5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7；(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x －ax ＝3的解，求a 的值．解：(1)x ＞－3 (2)由(1)得最小整数解为x ＝－2，∴2×(－2)－a ×(－2)＝3，∴a ＝7215．(2014·宜宾)在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．(1)小李考了60分，那么小李答对了多少道题？(2)小王获得二等奖(75～85分)，请你算算小王答对了几道题？解：(1)设小李答对x 题，则5x －3(20－x)＝60，解得x ＝15 (2)设小王答对了y 题，则⎩⎪⎨⎪⎧5y －3（20－y ）≥75，5y －3（20－y ）≤85，解得1358≤y ≤1458，∵y 为整数，∴y ＝17或1816．(2014·重庆)某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元．(1)今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？(2)6月份是青椒产出旺季，为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%，预计这种青椒在市区、园区的销量将在今年5月份的基础上分别增加30%，20%，要使得6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？解：(1)设在市区销售了x 千克，则6x ＋4(3000－x)＝16000，解得x ＝2000，∴3000－x ＝1000，则该青椒在市区、园区分别销售了2000千克、1000千克(2)由题意得6(1－a%)×2000(1＋30%)＋4(1－a%)×1000(1＋20%)≥18360，解得a ≤10，∴a 的最大值为1017．(2013·舟山)某镇水库的可用水量为12000万m 3，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量，为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只能够维持居民15年的用水量．(1)问：年降水量为多少万m 3？每人年平均用水量为多少m 3?(2)政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少m 3水才能实现目标？(3)某企业投入1000万元设备，每天能淡化5000 m 3海水，淡化率为70%.每淡化1 m 3海水所需的费用为1.5元，政府补贴0.3元．企业将淡化水以3.2元/m 3的价格出售，每年还需各项支出40万元．按每年实际生产300天计算，该企业至少几年后能收回成本？(结果精确到个位)解：(1)设年降水量为x 万m 3，每人年平均用水量为y m 3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12000＋20x ＝16×20y ，12000＋15x ＝20×15y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝50，即年降水量为200万 m 3，每人年平均用水量为50 m 3 (2)设该镇居民人均每年用水z m 3才能实现目标，由题意得12000＋25×200＝20×25z ，解得z ＝34，50－34＝16(m 3)，则该镇居民人均每年需节约16 m 3水才能实现目标 (3)设该企业n 年后能收回成本，由题意得[3.2×5000×70%－(1.5－0.3)×5000]×300n10000－40n ≥1000，解得n ≥81829，则至少9年后企业能收回成本挑战技能18．(2014·威海)已知点P(3－m ，m －1)在第二象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是( A )19．(2014·泰安)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜a ，x ＋92＋1≥x ＋13－1有解，则实数a 的取值范围是( C )A ．a ＜－36B ．a ≤－36C ．a ＞－36D ．a ≥－3620．(2013·厦门)某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域，甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车，已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒，步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒，为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于__1.3__米．21．(2014·巴中)定义新运算：对于任意实数a ，b 都有aΔb ＝ab －a －b ＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2Δ4＝2×4－2－4＋1＝8－6＋1＝3.请根据上述知识解决问题：若3Δx 的值大于5而小于9，求x 的取值范围．解：3Δx ＝3x －3－x ＋1＝2x －2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2＞5，2x －2＜9，解得72＜x ＜11222．(2014·益阳)某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A ，B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本) (1)求A ，B 两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．解：(1)设A ，B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元，y 元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝1800，4x ＋10y ＝3100，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝250，y ＝210，则A ，B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元 (2)设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇(30－a)台．依题意得200a ＋170(30－a)≤5400，解得a ≤10，即超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元 (3)依题意有(250－200)a ＋(210－170)(30－a)＝1400，解得a ＝20，此时，a ＞10，所以在(2)的条件下超市不能实现利润1400元的目标。
中考数学总复习考点系统复习第三节 分式方程
【温馨提示】列分式方程解应用题必须验根，既要检验是否为分式方程的增根，
增根应舍去，又要看是否符合实际意义
重难点突破
解分式方程
例
解分式方程： x
x
1
－
3 x2
x
1
＝1.
自主解答：
解：去分母得：①_x_(_x_－__1_)_－__3_x_＝__x_2－__1_， 去括号得：②__x_2_－__x_－__3_x_＝__x_2－__1_，
移项、合并同类项得：③_－__4_x_＝__－__1__， 系数化为1得：④__x_＝__14__，
⑤____当___x_＝__14_时__，__x_2_－__1_≠_0___________，
∴⑥_______x_＝__14_是__原__分__式__方__程__的__根_______． 满分技巧
－x＝－10(4分)
经检验，x＝10是原方程的根．(5分)
3. (2017陕西16题5分)解方程： x 3－ 2 ＝1. x3 x3
解：去分母，得(x＋3)2－2(x－3)＝(x＋3)(x－3)，(2分) 解得x＝－6，(4分) 经检验，x＝－6是原分式方程的根．(5分)
4. (2017陕西副题16题5分)解分式方程： 2x 1 ＝2－ 3 .
x2
2 x
解：去分母，得4x－(x－2)＝－3，(2分)
解得x＝－ 5 ，(4分)
3 经检验，x＝－
5
是原分式方程的根．(5分)
3
2.
(2019陕西副题16题5分)解方程：5xx2
8 9
－1＝
3 x. x3
解：5x－8－(x2－9)＝(3－x)(x－3)(2分)
包头市2015中考复习第1章 第4节 分式
第4节 分式分式1．分式的概念：形如A B 的式子叫做分式，A 和B 均为________，B 中含有________． 2．分式的性质、约分、通分：(1)性质：A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A÷M B÷M(其中M 是________的整式)． (2)约分：把一个分式的分子和分母的________约去，这种变形叫做约分．(3)通分：根据分式的基本性质把异分母的分式化为________的分式，这一过程叫做通分．分式的运算1．分式的乘、除法：a b ·c d ＝________，a b ÷c d ＝________＝ad bc. 2．分式的乘方：(a b)n ＝________(n 为正整数)． 3．分式的加减法．4．分式的混合运算．分式及其性质【例1】(1)(2013·凉山州)分式|x|－3x ＋3的值为0，则x 的值为( A ) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．任意实数(2)已知分式x －3x 2－5x ＋a，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝__6__；当a ＜6时，使分式无意义的x 的值共有__2__个．分式有无意义，主要看分母；若分式值为0，则分子为0且分母不为0.分式的运算【例2】(1)(2014·黄冈)当x ＝2－1时，代数式x 2－2x ＋1x ＋1÷x －1x 2＋x＋x ＝__3－22__； (2)先化简：1－a －1a ÷a 2－1a 2＋2a，再选取一个合适的a 值代入计算． 解：化简得原式＝－1a ＋1，a 取除0，－2，－1，1以外的数，如取a ＝5，原式＝－16依分式的特点，能先化简的，应先化简，再依分式混合运算的顺序进行运算，注意方法的灵活性．对于分式值的计算，所取字母的值必须使原分式有意义．分式通分要注意符号的改变，分式代值运算必须使原分式有意义．【例3】(2013·自贡)先化简(1a －1－1a ＋1)÷a 2a 2－2，然后从1，2，－1中选取一个你认为合适的数作为a 的值代入求值．解：化简得原式＝4a，∵a ≠±1，∴取a ＝2，得原式＝22真题热身1．(2014·广州)计算x 2－4x －2的结果是( B ) A ．x －2 B ．x ＋2 C.x －42 D.x ＋2x2．(2014·无锡)分式22－x可变形为( D ) A.22＋x B ．－22＋xC.2x －2 D ．－2x －23．(2014·丽水)若分式1x －5有意义，则实数x 的取值范围是__x ≠5__． 4．(2014·泉州)计算：m 2m ＋1＋m ＋12m ＋1＝__1__． 5．计算：(1)(2014·珠海)(a 2＋3a)÷a 2－9a －3； 解：a(2)(2014·黄冈)(a ＋1a －2)÷(1＋1a －2)． 解：a －16．(2014·德州)先化简，再求值：a －b a ＋2b ÷a 2－b 2a 2＋4ab ＋4b 2－1，其中a ＝2sin 60°－tan 45°，b ＝1.解：原式＝b a ＋b，当a ＝3－1，b ＝1时，原式＝33第4节 分式基础过关一、精心选一选1．(2014·温州)要使分式x ＋1x －2有意义，则x 的取值应满足( A ) A ．x ≠2 B ．x ≠－1C ．x ＝2D ．x ＝－12．(2014·凉山州)分式|x|－3x ＋3的值为0，则x 的值为( A ) A ．3 B ．－3C ．±3D ．任意实数3．下列计算错误的是( A )A .0.2a ＋b 0.7a －b ＝2a ＋b 7a －bB .x 3y 2x 2y 3＝x yC .a －b b －a＝－1 D .1c ＋2c ＝3c 4．(2013·包头)化简16－a 2a 2＋4a ＋4÷a －42a ＋4·a ＋2a ＋4的结果是( A ) A ．－2 B ．2C ．－2（a ＋2）2D .2（a ＋2）25．(2013·天津)若x ＝－1，y ＝2，则2x x 2－64y 2－1x －8y 的值等于( D ) A ．－117 B .117 C .116 D .115二、细心填一填6．(2014·广州)代数式1|x|－1有意义时，x 应满足的条件为__x ≠±1__． 7．下列分式的变形中：①a b ＝ac bc (c ≠0)；②－a －b a ＋b ＝－1；③0.5a ＋b 0.2a －0.3b ＝5a ＋b 2a －3b ；④x －y x ＋y＝y －x y ＋x，错误的是__③④__．(填序号) 8．(2014·泰安)化简(1＋2x －1)÷x ＋1x 2－2x ＋1的结果为__x －1__． 9．(2014·泸州)计算：(a a 2－b 2－1a ＋b )÷b b －a ＝__－1a ＋b __.10．(2013·河北)若x ＋y ＝1，且x ≠0，则(x ＋2xy ＋y 2x )÷x ＋y x的值为__1__． 三、用心做一做11．(2013·广东)从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a ＝6，b ＝3时该分式的值．解：答案不唯一，如3a －3b a 2－2ab ＋b 2＝3a －b ，当a ＝6，b ＝3时，原式＝112．(2013·太原)下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．解：2x ＋2－x －6x 2－4＝2（x －2）（x ＋2）（x －2）－x －6（x ＋2）（x －2）……第一步 ＝2(x －2)－x ＋6……第二步＝2x －4－x ＋6……第三步＝x ＋2……第四步小明的解法从第__二__步开始出现错误，正确的化简结果是__1x －2__． 13．先化简，再求值：(1)(2014·南京)4a 2－4－1a －2，其中a ＝1； 解：原式＝－1a ＋2，当a ＝1时，原式＝－13(2)(2014·随州)(2a a ＋1－a a －1)÷1a 2－1，其中a ＝2＋1. 解：原式＝a 2－3a ，∵a ＝2＋1，∴原式＝－ 214．(1)已知1a ＋1b ＝5(a ≠b)，求a b （a －b ）－b a （a －b ）的值；解：原式＝a ＋b ab ，由1a ＋1b ＝5，得a ＋b ab ＝5，∴原式＝ 5(2)先化简，再求值：a －33a 2－6a ÷(a ＋2－5a －2)，其中a 2＋3a －1＝0. 解：原式＝13（a 2＋3a ），∵a 2＋3a －1＝0，∴a 2＋3a ＝1，∴原式＝13挑战技能15．(2014·杭州)若(4a 2－4＋12－a)·w ＝1，则w ＝( D ) A ．a ＋2(a ≠－2) B ．－a ＋2(a ≠2)C ．a －2(a ≠2)D ．－a －2(a ≠－2)16．(2014·毕节地区)观察下列一组数：14，39，516，725，936，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__2n －1（n ＋1）__． 17．(2014·内江)已知1a ＋12b ＝3，则代数式2a －5ab ＋4b 4ab －3a －6b的值为__－12__． 18．化简求值：(1)(x ＋2x －x －1x －2)÷x －4x 2－4x ＋4，其中x 是不等式3x ＋7＞1的负整数解； 解：原式＝x －2x，由3x ＋7＞1得x ＞－2，又∵x 为负整数，∴x ＝－1，此时原分式有意义，故原式＝3(2)(2013·重庆)a 2－6ab ＋9b 2a 2－2ab ÷(5b 2a －2b －a －2b)－1a ，其中a ，b 满足⎩⎨⎧a ＋b ＝4，a －b ＝2.解：原式＝－2a ＋3b ，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，代入得原式＝－1319．(2013·达州)已知f(x)＝1x （x ＋1），则f(1)＝11×（1＋1）＝11×2，f(2)＝12×（2＋1）＝12×3，…….已知f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)＝1415，求n 的值． 解：∵1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，依题意得1－1n ＋1＝1415，∴1n ＋1＝115，∴n ＝14。
初中数学中考总复习教案_最新版
2015年中考总复习数学教案陈素国目录第一章实数与代数式1.1有理数 (4)1.2实数 (6)1.3整式 (8)1.4因式分解 (10)1.5分式 (12)1.6二次根式 (14)第二章方程与不等式2.1一次方程（组） (20)2.2分式方程 (23)2.3一元二次方程 (25)2.4一元一次不等式（组） (28)2.5方程与不等式的应用 (30)●单元综合评价 (33)第三章函数3.1平面直角坐标系与函数 (37)3.2一次函数 (39)3.3反比例函数………………………………………………………………………………3.4二次函数…………………………………………………………………………………3.5函数的综合应用…………………………………………………………………………●单元综合评价………………………………………………………………………………第四章图形的认识4.1简单空间图形的认识……………………………………………………………………4.2线段、角、相交线与平行线……………………………………………………………4.3三角形及全等三角形……………………………………………………………………4.4等腰三角形与直角三角形………………………………………………………………4.5平行四边形………………………………………………………………………………4.6矩形、菱形、正方形……………………………………………………………………4.7梯形………………………………………………………………………………………●单元综合评价………………………………………………………………………………第五章圆5.1圆的有关性质……………………………………………………………………………5.2与圆有关的位置关系……………………………………………………………………5.3圆中的有关计算…………………………………………………………………………5.4几何作图…………………………………………………………………………………●单元综合评价………………………………………………………………………………第六章图形的变换6.1图形的轴对称……………………………………………………………………………6.2图形的平移与旋转………………………………………………………………………6.4图形与坐标………………………………………………………………………………6.5锐角三角函数……………………………………………………………………………6.6锐角三角函数的应用……………………………………………………………………●单元综合评价………………………………………………………………………………第七章统计与概率7.1数据的收集、整理与描述………………………………………………………………7.2数据的分析………………………………………………………………………………7.3概率………………………………………………………………………………………●单元综合评价………………………………………………………………………………第八章拓展性专题8.1数感与符号感……………………………………………………………………………8.2空间观念…………………………………………………………………………………8.3统计观念…………………………………………………………………………………8.4应用性问题………………………………………………………………………………8.5推理与说理………………………………………………………………………………8.6分类讨论问题……………………………………………………………………………8.7方案设计问题……………………………………………………………………………8.8探索性问题………………………………………………………………………………8.9阅读理解问题……………………………………………………………………………1.1有理数第课第个教案执行时间：年月日【教学目标】1.理解有理数的有关概念，能用数轴上的点表示有理数，会求倒数、相反数、绝对值.2.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，会比较两个有理数的大小.3.理解近似数和有效数字的概念，会将一个数表示成科学记数法的形式.4.能运用有理数的运算解决简单的实际问题，会探索有规律性的计算问题.【重点难点】重点：有理数的加、减、乘、除、乘方运算及简单的混合运算.难点：对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.【考点例解】例1（1）-5的绝对值是（）A.-5B.5 C.15D.15- （2）2007年3月5日，温总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其中之一就是全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约52000000名学生的学杂费.这个数据保留两个有效数字用科学记数法表示为（）A.75210⨯ B.75.210⨯ C.85.210⨯ D.85210⨯（3）2008年2月4日，我国遭受特大雪灾，部分城市的平均气温情况如下表（记温度零上为正，单位：℃），则其中当天平均气温最低的城市是（）A.广州B.福州C.北京D.哈尔滨分析：本题主要是考查学生对有理数相关概念的理解.第（1）小题考查绝对值的意义；第（2）小题考查科学记数法；第（3）小题考查有理数的大小比较. 解答：（1）B ；（2）B ；（3）D. 例2计算：32211(1)3()3+-÷⨯-.分析：本题主要是考查有理数的乘方运算及有理数混合运算的顺序. 解答：原式11801(1)9198181=+-÷⨯=-=. 例3观察表①，寻找规律，表②、表③、表④分别是从表①中截取的一部分，其中a 、b 、c的值分别是（），20，28分析：的2倍、3倍、4倍、…；表①中第一列中的数均为连续的自然数，依次从左往右各列的最大公约数分别是2、3、4、…. 解答：D. 【考题选粹】表① 表② 表③ 表④1.（2007·宜宾）数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：21a b ++.如把（3，-2）放入其中，会得到23(2)18+-+=.现将实数对（-2，3）放入其中得到实数m ，再将实数对（m ，1）放入其中得到的数是.2.（2007·玉溪）小颖中午回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜3分钟.以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序，则小颖要将面条煮好，最少用分钟. 【自我检测】见《数学中考复习一课一练》.1.2实数第课第个教案执行时间：年月日【教学目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会求非负数的算术平方根和实数的立方根.2.了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，能用有理数估计一个无理数的大致范围.3.会用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算，会用计算器进行近似计算. 【重点难点】重点：用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算. 难点：实数的分类及无理数的值的近似估计. 【考点例解】例1（1）下列实数：227，sin 60，3π，0，3.14159，2(- A.1个B.2个C.3个D.4个（2）下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数.其中正确的是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.②④分析：本题主要是考查学生对无理数与实数概念的理解.解答：（1）C ；（2）C.例2计算：021111sin 301820082-⎛⎫⎛⎫--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭分析：本题主要是考查零指数幂、负指数幂及算术平方根的化简与运算. 解答：原式)11141122=-+⨯-=-+-=-.例3我国《劳动法》对劳动者的加班工资作出了明确规定：春节长假期间，前3天是法定休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的300%支付加班工资;后4天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的200%支付加班工资.小王由于工作需要，今年春节的初一、初二、初三共加班三天（春节长假从十二月卅日开始）.如果小王的月平均工资为2800元，那么小王加班三天的加班工资应不低于元.分析：本题主要考查学生灵活应用实数运算的相关知识解决实际问题的能力.要注意的是今年的法定假期共有11天，因此日工资标准的计算方法是：280021.75÷. 解答：()280021.752300%1200%1030÷⨯⨯+⨯≈（元）. 【考题选粹】1.（2007·内江）若a ，b均为整数，且当1x =时，代数式2x ax b ++的值为0，则ba 的算术平方根为.2.（2007()312tan 452--⨯+. 3.（2007·重庆）将正整数按如右图所示的规律排列 下去.若用有序实数对（n ，m ）表示第n 排、 从左到右第m 个数，如（4，3）表示实数9，则 （7，2）表示的实数是. 【自我检测】见《数学中考复习一课一练》.1…………………第一排 23………………第二排 456……………第三排 78910………第四排……………………………………1.3整式第课第个教案执行时间：年月日【教学目标】1.了解整式的有关概念，理解去括号法则，能熟练进行整式的加减运算.2.掌握正整数指数幂的运算性质，能在运算中灵活运用各种性质.3.会进行简单的整式乘法运算和简单的多项式除法运算，了解两个乘法公式及其几何背景，能运用乘法公式进行简便.4.会通过对问题的分析列出代数式，能熟练进行整式的化简与求值. 【重点难点】重点：列代数式表示数量关系，整式的化简与求值. 难点：乘法公式的灵活运用. 【考点例解】 例1（1）已知整式3121y x a -与b a b y x +--23是同类项，那么a ，b 的值分别是（） A.2，-1B.2，1 C.-2，-1D.-2，1 （2）下列运算中正确的是（） A.853x x x =+ B.()923x x = C.734x x x =⋅ D.()9322+=+x x（3）如果5mx =，25nx =，那么代数式52m nx-的值是.分析：本题主要是考查同类项的概念和整式的加法、乘法和正整数指数幂的运算. 解答：（1）A ；（2）C ；（3）5.例2（1）王老板以每枝a 元的单价买进玫瑰花100枝.现以每枝比进价多两成的价格卖出70枝后，再以每枝比进价低b 元的价格将余下的30枝玫瑰花全部卖出，则王老板的全部玫瑰花共卖了元（用含a ，b 的代数式表示）.（2）如图3-1所示，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：①第4个图案中有白色纸片张；②第n 个图案中有白色纸片张.分析：本题主要考查列代数式表示数量关系，第（1）题的关键是弄清前70枝玫瑰花的单价和后30枝的单价分别是多少；第（2）题的关键是要发现图案中的规律：第一个图形有4张白色纸片，以后每个图形都比前一个图形多3张白色纸片.解答：（1）()()b a b a a 3011430%20170-=-++. （2）①13；②31n +.例3先化简，再求值：()()()()232325121x x x x x +-----，其中13x =-.分析：本题主要考查乘法公式的灵活应用及整式的化简求值.解答这一类题目时，一般应先将整式化简，然后再将字母的值代入计算.解答：原式222945544195x x x x x x =--+-+-=-. 当13x =-时，原式19583⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭. 【考题选粹】 1.（2006·济宁）()()2006200588-+-能被下列数整除的是()A.3B.5C.7D.92.（2007·淄博）根据以下10个乘积，回答问题：1129⨯；1228⨯；1327⨯；1426⨯；1525⨯；1624⨯；1723⨯；1822⨯；1921⨯；2020⨯.（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程； （2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论（不要求证明）. 【自我检测】见《数学中考复习一课一练》.1.4因式分解第课第个教案执行时间：年月日【教学目标】1.理解因式分解的概念，了解因式分解与整式乘法之间的关系.2.掌握因式分解的一般思考顺序，会运用提公因式法和公式法进行因式分解，会利用因式分解解决一些简单的实际问题. 【重点难点】重点：运用提公因式法和公式法进行因式分解. 难点：利用因式分解解决一些简单的实际问题. 【考点例解】例1（1）在一次数学课堂练习中，小聪做了以下4道因式分解题，你认为小聪做得不够完整的一道题是（） A.()321x x x x -=- B.()2222x xy y x y -+=-C.()22x y xy xy x y -=-D.()()22x y x y x y -=+-. （2）因式分解()219x --的结果是（） A.()()81x x ++ B.()()24x x +-C.()()24x x -+D.()()108x x -+.分析：本题主要是考查因式分解的概念和因式分解一般思考顺序，强调因式分解一定要分解到结果中的每个因式都不能再分解为止.解答：（1）A ；（2）B.例2利用因式分解说明：712255-能被120整除.分析：要说明712255-能被120整除，关键是通过因式分解得到712255-含有因数120，可将712255-化为同底数形式，然后利用提公因式法分解因数.解答：∵()71214121221211255555515245120-=-=-=⨯=⨯，∴712255-能被120整除.例3在日常生活中经常需要密码，如到银行取款、上网等.有种用“因式分解”法产生的密码方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是()()()22x y x y x y-++，若取9x =，9y =，则各因式的值分别是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.同理，对于多项式324a ab -，若取10a =，10b =，则产生的密码是：（写出一个即可）.分析：本题是因式分解的知识在实际生活中的简单应用.解答时只需要先对多项式进行因式分解，再求各因式的值就可以了.解答：()()()32224422a ab a a b a a b a b -=-=-+，当10a =，10b =时，各因式的值分别是：10a =，210a b -=，230a b +=，所以密码可以为101030（也可以为103010或301010）.【考题选粹】1.（2006·南通）已知2A a =+，25B a a =-+，2519C a a =+-，其中2a >. （1）求证：0B A ->，并指出A 与B 的大小关系； （2）指出A 与C 的大小关系，并说明理由.2.（2007·临安）已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且满足422422a b c b a c +=+，判断ABC ∆的形状.阅读下面的解题过程：解：由422422a b c b a c +=+得442222a b a c b c -=-，①即()()()2222222a b ab c a b +-=-，②∴222a b c +=，③ ∴ABC ∆是直角三角形.④试问：以上解题过程是否正确？.若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）；错误原因是；本题的正确结论应该是.【自我检测】见《数学中考复习一课一练》.1.5分式第课第个教案执行时间：年月日【教学目标】1.了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件.2.掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分.3.掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值. 【重点难点】重点：分式的基本性质和分式的化简.难点：分式的化简和通过分式的运算解决简单的实际问题. 【考点例解】例1（1）在函数23xy x =-中，自变量x 的取值范围是（） A.0x ≠ B.32x ≠ C.32x >且0x ≠ D.0x ≠且32x ≠.（22x 的值为.（3）下列分式的变形中，正确的是（）A.1111a a b b +-=+-B.x y x y x y x y ---=-++C.()222x y x y x y x y --=-+ D.22x y x yx y x y--=++ 分析：本题主要考查分式的概念与分式的基本性质.在分式中，要使分式有意义，分式的分母要不为零；要使分式值为0，则要求分子的值为0且分式有意义.解答：（1）B ；（2）x =（3）C.例2先化简：21111xx x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，再选择一个恰当的x 的值代入求值. 分析：本题主要考查分式的化简和分式有意义的条件.在分式化简中，经常可以把分式的除法改为乘法，再利用“分解约分”法进行化简.在本题中的x 不能取0和±1.解答：原式()()1111x x x x x x-+=⋅=+-，当2x =时，原式＝3. 例3（1）已知一个正分数()0nm n m>>，如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大减小？请证明你的结论；（2）若正分数()0nm n m>>中分子和分母同时增加2，3，…，k （整数k ＞0），情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定，民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由.分析：本题考查了分式的大小比较，并要求利用有关知识解决实际问题.解题的关键是理解题意，得到正确的结论. 解答：（1）正分数()0nm n m>>中，若分子、分母同时增加1，分数的值增大，证明如下： ∵0m n >>，∴0m n ->，()10m m +>∴()1011n n m n m m m m +--=>++，即11n nm m+>+. （2）正分数()0nm n m>>中分子和分母同时增加2，3，…，k （整数k ＞0）时，分式的值也增大.（3）住宅的采光条件变好，理由略.【考题选粹】1.（2007·东营）小明在考试时看到一道这样的题目：“先化简2211111aa a a ⎛⎫⎛⎫-÷-⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭，再求值.”小明代入某个数后求得值为3.你能确定小明代入的是哪一个数吗?你认为他代入的这个数合适吗?为什么? 2.（2007·嘉兴）解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”等等.（1）设322x x A x x =--+，24x B x -=，求A 与B 的值； （2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题. 【自我检测】见《数学中考复习一课一练》.1.6二次根式第课第个教案执行时间：年月日【教学目标】1.了解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件.2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会对简单的二次根式进行化简，会用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算. 【重点难点】重点：二次根式的化简和用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算. 难点：二次根式的化简. 【考点例解】例1（1）若代数式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A.2>x B.2≥x C.2<x D.2≤x .（2）若x 为实数，则下列各式中一定有意义的是（）A.x -2B.12+xC.21xD.22-x 分析：本题主要考查二次根式的概念，即在二次根式中，被开方数必须是非负数. 解答：（1）B ；（2）B.例2（1）计算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+483137512. （2）比较大小：73-152-.分析：本题主要考查二次根式性质的灵活应用和二次根式的混合运算.第（1）题中，可先利用二次根式的性质进行化简，然后利用实数的运算法则进行计算；第（2）题要先逆用性质：()02≥=a a a ，再进行两个数的大小比较.解答：（1）原式()1232323433532=⨯=-+=. （2）∵6373-=-，60152-=-，且6063>，∴15273-<-.例3已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足224210212--+=--++b a c b a ，则ABC ∆为（）.A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形分析：本题考查了二次根式的非负性，即：在二次根式a 中，0≥a 且0≥a . 解答：将原式变形，得()()021*********2=--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---++-c b b a a .即()()02114522=--+--+-c b a .∴05=-a ，014=--b ，021=--c .∴5===c b a .∴ABC ∆为等边三角形，故选B. 【考题选粹】1.（2006·南充）已知0<a ，那么化简a a 22-的正确结果是（）A.a -B.aC.a 3-D.a 32.（2007·烟台）观察下列各式：312311=+，413412=+，514513=+，…，请将你发现的规律用含自然数()1≥n n 的等式表示出来：. 【自我检测】见《数学中考复习一课一练》.第一单元综合测试（数与式）第课第个教案执行时间：年月日一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）1.如果水库的水位高于标准水位3m 时，记作+3m ，那么低于标准水位2m 时，应记作（） A.-2mB.-1mC.+1mD.+2m2.2007年我国某省国税系统完成税收收入为3.45065×1011元，也就是收入了（） A.345.065亿元B.3450.65亿元C.34506.5亿元D.345065亿元 3.若整式()16322+-+x m x 是一个完全平方式，那么m 的值是（）A.-5B.7C.-1D.7或-1 4.估计88的大小应在()A. 9.1～9.2之间B.9.2～9.3之间C.9.3～9.4之间D.9.4～9.55.如图1，点A ，B 在数轴上对应的实数分别是m ，n ，那么A ，B 两点间的距离是（） A.m n + B.m n - C.n m - D.n m --6.下列运算中，错误的是（） A.()0a ac c b bc =≠ B.1a b a b --=-+ C.0.55100.20.323a b a b a b a b++=-- D.x y y xx y y x --=++ 7.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（）A.31个B.33个C.35个D.37个8.如果代数式2346x x -+的值为9，则代数式2463x x -+的值为（） A.7B.9 C.12D.18 9.如图2，图中阴影部分的面积是（） A.5xy B.9xy C.8.5xy D.7.5xy10.已知m ，n 是两个连续自然数（m ＜n ），且q mn =，设p p 的值是（）A.奇数B.偶数C.奇数或偶数D.有理数或无理数 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11.写出一个小于2的无理数：.12.列代数式表示：“数a 的2倍与10的和的二分之一”应为. 13.已知7x y +=，且12xy =，则当x y <时，代数式11x y-的值为. 14.一个矩形的面积是()29x -米2，它的一条边为()3x +米，那么它的另一边为米.15.数学家发现一个魔术盒，当任意实数对．．．(),a b 进入时，会得到一个新的实数：21a b ++.例如把（3，-2）放入其中后，就会得到32+（-2）+1=8.现将实数对．．．（-2，3）放入其中得到实数m ，再将实数对．．．(),1m 放入其中后，得到的实数是.16.如果2007个整数1a ,2a ,…,2007a 满足下列条件：10a =,212a a =-+，322a a =-+，…，200720062a a =-+，则1232007a a a a ++++=.三、解答题（本题有7小题，共80分）17.（10()012sin 452 3.14π--+-.18.（10分）先化简代数式：22221244a b a b a b a ab b --÷-+++，然后选择一个使原式有意义的a ，b 值代入求值.19.（10分）观察下面一列数，探求其中的规律：1-，12，13-，14，15-，16，，，，…（1）请在上面的横线上填出第7，8，9个数；（2）第2008个数是什么？第n 个数是什么？如果这一列数无限地排列下去，那么与哪个数越来越接近？20.（10分）分解因式：（1）44x y -（2）2484xy xy x -+21.（12分）2007年4月18日是全国铁路第六次大提速的第一天.这一天，小明爸爸因要出差，于是他到火车站查询列车的开行时间，下表是他从火车站带回家的最新时刻表：2007年4月18日起××次列车时刻表小明爸爸找出了以前同一车次的时刻表如下：2006年3月20日××次列车时刻表比较了两张时刻表后，小明爸爸提出了下面两个问题，请你帮小明解答： （1）现在该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时？（2）如果该次列车提速后的平均时速为200千米/小时，那么该次列车原来的平均时速为多少？（结果精确到个位）22.（14分）下面的图(1)是由边长为a 的正方形剪去一个边长为b 的小正方形后余下的图形.把图(1)剪开后,再拼成一个四边形,可以用来验证公式：22()()a b a b a b -=+-. （1）请你通过对图(1)的剪拼,画出三种不同拼法的示意图.要求：①拼成的图形是四边形；②在图(1)上画出剪裁线(用虚线表示)；aab b③在拼出的图形上标出已知的边长.（2）选择其中的一种拼法写出验证上述公式的过程.23.（14分）设22131a =-，22253a =-,…,()()222121n a n n =+--（n ≥0的自然数）.（1）探究：n a 是8的倍数吗？请说明理由，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出1a ，2a ，…，n a ，…，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并求：当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数？2.1一次方程（组）第课第个教案执行时间：年月日【教学目标】1.理解方程、方程组，以及方程和方程组的解的概念.2.掌握解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法，体会“消元”的数学思想，会求二元一次方程的正整数解.3.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性. 【重点难点】重点：解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法.难点：根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组. 【考点例解】例1（1）若关于x 的一元一次方程12332=---kx k x 的解是1-=x ，则k 的值是（） A.72B.1 C.1713- D.0. （2）若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+433by x ay x 的解为⎩⎨⎧==12y x ，则b a -的值为（）A.1B.3C.-1D.-3分析：本题主要考查方程和方程组的概念，以及一元一次方程和二元一次方程组的解法. 解答：（1）B ；（2）C. 例2已知方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组()()()()⎩⎨⎧=-++=--+9.301523131322y x y x 的解是.分析：本题主要考查一元一次方程或二元一次方程组的解法和整体代换的思想.在解答时，既可以直接求方程组的解，也可以利用整体思想，分别把2+x 和1-y “看作”a 和b ，通过解一元一次方程来解决. 解答：⎩⎨⎧==2.23.6y x .例3陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向总务处王老师交帐时说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还剩余418元.…”王老师算了一下说：“你肯定搞错了”. （1）王老师为什么说陈老师搞错了呢？请你用方程的知识给予解释.（2）陈老师连忙拿出购物发票进行核对，发现自己的确是弄错了，因为他还买了一个笔记本.但笔记本的单价已经模糊不清了，只能辨认出应该是小于10元的整数.问：笔记本的单价可能是多少元？分析：本题考查了列一元一次方程解应用题.列方程（组）解应用题的一般步骤是：审题、设元、列方程、解方程、检验和作答.在检验时，不仅要检验所求得的结果是否是所列方程的解，而且还要检验方程的解是否符合实际问题.解答：（1）设单价为8元的书买了x 本，则单价为12元的书买了()x -105本.由题意得()4181500105128-=-+x x .解这个方程，得5.44=x .因为书的本数一定是正整数，所以5.44=x （本）不合题意，因此陈老师错了.（2）设笔记本的单价为y 元，则由题意得()y x x --=-+4181500105128.解这个关于y 的方程，得1784-=x y . ∵100<<y ，∴1017840<-<x ，解得41884178<<x . 又∵x 为正整数，∴x 可以取45、46.当45=x 时，21784541784=-⨯=-=x y （元）； 当46=x 时，61784641784=-⨯=-=x y （元）. 答：笔记本的单价可能是2元或6元.例4新星学校的一间阶梯教室内，第1排的座位数为a ，从第2排开始，每一排都比前一排增加b 个座位.（1）请你在下表的空格内填写一个适当的代数式：（2）已知第4排有18个座位，第15排的座位数是第5排的座位数的2倍，则第21排有多少个座位？ 分析：本题考查了列二元一次方程组解应用题.解答本题的关键是会从表中数据的变化中寻找出一定的规律，再利用规律求出a 和b 的值. 解答：（1）3a b +. （2）根据题意，得()3181424a b a b a b +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得122a b =⎧⎨=⎩.∴1220252+⨯=. 答：第21排有52个座位. 【考题选粹】1.（2007·济宁）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，在山脚和山顶之间不断往返运动，已知山坡长为360m ，甲、乙两人上山的速度比是6:4，并且甲、乙两人下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，当甲第三次到达山顶时，则此时乙所在的位置是.2.（2007·北京）某地区为了改善生态环境，增加农民收入，自2004年起就鼓励农民在荒山上广泛种植某种果树，并且出台了一项激励措施：即在开荒种树的过程中，每一年新增果树达到100棵的农户，当年都可得到生活补贴1200元，且每超出一棵，政府还给予每棵a 元的奖励.另外，种植的果树，从下一年起，每年每棵平均将有b 元的果实收入.下表是某农户在头两年通过开荒种树每年获得的总收入情况：（注：年总收入＝生活补贴费＋政府奖励费＋果实收入） 【自我检测】见《数学中考复习一课一练》.2.2分式方程第课第个教案执行时间：年月日【教学目标】1.了解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来.2.会解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程，体验转化的数学思想；了解增根的概念，会进行分式方程的验根.3.能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性. 【重点难点】重点：解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程的一般步骤与方法. 难点：根据实际问题中的数量关系，列出分式方程，并检验解的合理性. 【考点例解】例1如果关于x 的分式方程1133ax x -=++无解，那么a 的值是（） A.1B.-1 C.3D.-3.分析：本题主要考查分式方程的增根概念.需要注意的是：分式方程的增根应该满足变形后的整式方程，但不满足原分式方程.解答：A. 例2解分式方程：21124x x x -=--. 分析：本题主要考查分式方程的解法.在解答时，应按照解分式方程的一般步骤进行，并注意验根. 解答：去分母，得()()()2221x x x x +-+-= 去括号，得22241x x x +-+= 移项，合并同类项，得23x =- 方程两边同时除以2，得32x =- 经检验，32x =-是原方程的解. 例3某公司投资某个项目，现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目.公司经调查发现：乙工程队单独完成工程所需的时间是甲工程队单独完成工程所需时间的2倍，；甲、乙两队合作完成工程需要20天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为550元.根据以上信息，从节约资金的角度考虑，该公司应选择哪个工程队来承包这个项目？公司应付出的费用为多少元？分析：本题考查了列分式方程解应用题.解答本题的关键是根据题意求出甲、乙两队单独完成工程所需的时间，进而求出各自的总费用.解答：设甲队单独完成工程需要x 天，则乙队单独完成工程需要2x 天.根据题意，得112012x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解得30x = 经检验，30x =是原方程的解，且30x =和260x =都符合题意. ∴应付甲工程队的费用为：30100030000⨯=（元），应付乙工程队的费用为：30255033000⨯⨯=（元）.∵3000033000<，∴该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为30000元. 答：该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为30000元. 【考题选粹】1.（2007·青岛）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400米的道路.为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务.若设原计划每小时修路x 米，则根据题意可得方程.2.（2007·怀化）解方程：25231x x x x +=++. 【自我检测】见《数学中考复习一课一练》.2.3一元二次方程第课第个教案执行时间：年月日【教学目标】1.理解一元二次方程的概念和一般形式，能把一个一元二次方程化为一般形式.。
中考重点分式方程的解法
中考重点分式方程的解法中考重点：分式方程的解法一、引言分式方程是中考数学中的重要内容之一。
在解决实际问题和推导过程中，经常会遇到分式方程。
本文将介绍两种常见的分式方程解法，帮助中考学生更好地掌握和应用分式方程的解法。
二、通分法解分式方程通分法是解决分式方程的常见方法之一。
具体步骤如下：1. 对方程中的分式按照最小公倍数进行通分。
将所有分式的分母化为相同的分母。
2. 化简方程，消去分母。
将通分后的分式方程化简为一个无分式的方程。
3. 解方程得出结果。
4. 验证解是否满足原方程。
接下来，通过一个具体的例子来演示通分法解分式方程的步骤。
【例题】解方程：$\frac{x}{3} - \frac{2x}{5} = \frac{7}{10}$1. 对方程进行通分，最小公倍数为15，将分式的分母都化为15。
$\frac{5x}{15} - \frac{6x}{15} = \frac{7}{10}$2. 化简方程，消去分母。
将通分后的分式方程化简为一个无分式的方程。
$5x - 6x = \frac{7}{10} \times 15$$-x = \frac{21}{2}$3. 解方程得出结果。
$x = -\frac{21}{2}$4. 验证解是否满足原方程。
将$x = -\frac{21}{2}$代入原方程，验证两边是否相等。
经计算得到：$\frac{(-\frac{21}{2})}{3} - \frac{2 \times (-\frac{21}{2})}{5} =\frac{7}{10}$$\frac{-21}{2 \times 3} - \frac{2 \times 21}{5} = \frac{7}{10}$$-\frac{7}{2} - \frac{2 \times 21}{5} = \frac{7}{10}$$-\frac{7}{2} - \frac{42}{5} = \frac{7}{10}$$\frac{-35}{10} - \frac{84}{10} = \frac{7}{10}$$-\frac{119}{10} = \frac{7}{10}$由此可见，验证结果相等，所以$x = -\frac{21}{2}$是原方程的解。
包头市2015中考复习第3章 第3节 一次函数的应用
第3节 一次函数的应用一次函数图象的应用一次函数图象的应用是指用一次函数的图象来表示题中的数量关系的应用题，解这类题的关键在于要弄清纵、横轴各表示什么量，图象上每一点表示什么实际意义，以及图象的变化趋势、倾斜度大小各表示什么含义等．实际问题中的一次函数步骤：1.分析问题：(1)借助图表等手段分析题目中的数量关系，从而确定函数关系式；(2)根据函数图象获取信息，分析数量关系．2．确定模型：根据所获取的信息，建立一次函数模型．3．解决问题：根据题中数量关系或函数模型解决问题．一次函数图象的应用【例1】(2014·新疆)如图1所示，在A ，B 两地之间有汽车站C 站，客车由A 地驶往C 站，货车由B 地驶往A 地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C 站的路程y 1，y 2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象．(1)填空：A ，B 两地相距__440__千米；(2)求两小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数关系式；(3)客、货两车何时相遇？解：(1)440 (2)由图可知货车的速度为80÷2＝40(千米/小时)，货车到达A 地一共需要2＋360÷40＝11(小时)，设y 2＝kx ＋b ，把(2，0)，(11，360)代入得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，11k ＋b ＝360，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝40，b ＝－80，所以y 2＝40x －80 (3)设y 1＝mx ＋n ，把(6，0)，(0，360)代入得⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝0，n ＝360，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－60，n ＝360，所以y 1＝－60x ＋360.由y 1＝y 2得40x －80＝－60x ＋360，解得x ＝4.4，即客、货两车经过4.4小时相遇(1)从图中可读出A ，B 两地距离；(2)从图中读出货车离C 站路程与时间点，从而求出y2解析式；(3)从图中求y1解析式，由y1＝y2求相遇时间．实际问题中的一次函数【例2】(2013·襄阳)某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B(元)．请解答下列问题：(1)分别写出y A，y B与x之间的关系式；(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．解：(1)y A＝27x＋270，y B＝30x＋240(2)当y A＝y B时，27x＋270＝30x＋240，得x＝10；当y A＞y B时，27x＋270＞30x＋240，得x＜10；当y A＜y B时，27x＋270＜30x＋240，得x＞10，∴当2≤x＜10时，在B超市购买划算；当x＝10时，两家超市一样划算；当x ＞10时在A超市购买划算(3)由题意知x＝15＞10，∴①选择A超市，y A＝27×15＋270＝675(元)；②先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球需(10×15－20)×3×0.9＝351(元)，共需要费用10×30＋351＝651(元)．∵651＜675，∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球(1)由题意写出y A，y B与x的关系式；(2)在(1)的基础上，分类讨论求出自变量取值范围；(3)在(2)的基础上再次分类讨论，经计算、比较，得到结果．没弄清一次函数与实际问题的关系以及不分类讨论而出错．【例3】(2014·汕尾)汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)的函数关系的大致图象是( C )真题热身1．(2013·荆州)出租车的计价器中编入了一个程序如图所示，其中x表示乘客乘坐计程车行驶的路程(千米)，当你打的去8.8千米处的体育场看足球比赛，请问你要付计程费(单位：元，精确到1元)( D )A．8元B．9元C．10元D．11元2．(2013·十堰)张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如图所示，以下说法错误的是( C )A．加油前油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)的函数关系是y＝－8t＋25B．途中加油21升C．汽车加油后还可行驶4小时D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升3．(2013·赤峰)目前，我国大约有1.3亿高血压病患者，占15岁以上总人口数的10%－15%，预防高血压不容忽视．“千帕kPa”和“毫米汞柱mmHg”都是表示血压的单位，前者是法定的国际计量单位，而后者则是过去一直广泛使用的惯用单位．请你根据下表所提供的信息，判断下列各组换算正确的是( C )A.13 kPa＝C．8 kPa＝60 mmHg D．22 kPa＝160 mmHg4．(2014·金华)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行__80__米．5．(2014·南充)今年我市水果大丰收，A，B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件．(1)设从A 基地运往甲销售点水果x 件，总运费为w 元，请用含x 的代数式表示w ，并写出x 的取值范围；(2)若总运费不超过18300元，且A 基地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费．解：(1)依题意，列表：∴w ＝40x ＋20×(380－x )＋15×(400－x )＋30×(x －80)＝35x ＋11200，又⎩⎪⎨⎪⎧x －80≥0，400－x ≥0，380－x ≥0，解得80≤x ≤380 (2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋11200≤18300，x ≥200，解得200≤x ≤20267，∴x ＝200，201，202，因为w ＝35x ＋11200，k ＝35，w 随x 的增大而增大，所以x ＝200时，运费w 最低，最低运费为18200元．此时运输方案如下：第3节 一次函数的应用基础过关一、精心选一选1．(2014·南宁)“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子的价格打6折，设购买种子数量为x 千克，付款金额为y 元，则y 与x 的函数关系的图象大致是( B )2．如图，李大爷要围成一个矩形菜园ABCD，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是( B )A．y＝－2x＋24(0＜x＜12)B．y＝－12x＋12(0＜x＜24)C．y＝2x－240(0＜x＜12)D．y＝12x－12(0＜x＜24)3．(2014·泸州)“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是( C )A．2小时B．2.2小时C．2.25小时D．2.4小时4．(2014·黔西南州)甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123.其中正确的是( A )A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③二、细心填一填5．(2014·益阳)小明放学后步行回家，他离家的路程s(米)与步行时间t(分钟)的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是__80__米/分钟．6．如图，OB，AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s与t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④8秒钟后，甲超过了乙，其中正确的有__②③④__．(填写你认为所有正确的答案序号)7．(2013·孝感)如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(单位：升)与时间x(单位：分)之间的部分关系如图所示，那么从关闭进水管起__8__分钟该容器内的水恰好放完．三、用心做一做8．(2014·孝感)我市荸荠喜获丰收，某生产基地收获荸荠40吨，经市场调查，可采用批发、零售、加工销售三种销售方式，这三种销售方式每吨荸荠的利润如下表：设按计划全部售出后的总利润为y 百元，其中批发量为x 吨，且加工销售量为15吨．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若零售量不超过批发量的4倍，求该生产基地按计划全部售完荸荠后获得的最大利润．解：(1)依题意可知零售量为(25－x)吨，则y ＝12x ＋22(25－x)＋30×15，∴y ＝－10x ＋1000 (2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，25－x ≥0，25－x ≤4x ，解得5≤x ≤25，∵－10＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝5时，y 有最大值，且y 最大＝950，∴最大利润为950百元9．(2014·昆明)某校运动会需购买A ，B 两种奖品，若购买A 种奖品3件和B 种奖品2件，共需60元；若购买A 种奖品5件和B 种奖品3件，共需95元．(1)求A ，B 两种奖品单价各是多少元？(2)学校计划购买A ，B 两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍．设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W(元)与m(件)之间的函数关系式，求出自变量m 的取值范围，并确定最少费用W 的值．解：(1)设A ，B 两种奖品单价分别为x 元、y 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝60，5x ＋3y ＝95，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10y ＝15 (2)由题意得W ＝10m ＋15(100－m )，即W ＝1500－5 m ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1500－5 m ≤1150，m ≤3（100－m ），解得70≤m ≤75，由一次函数W ＝1500－5 m 可知，W 随m 的增大而减小，∴当m ＝75时，W 最小，W 最小＝1500－5×75＝1125，则当购买A 种奖品75件，B 种奖品25件时，费用最少为1125元10．小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m /min .设小亮出发x min 后行走的路程为y m ．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y 与x 的函数关系．(1)小亮行走的总路程是__3600__m ，他途中休息了__20__min .(2)①当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式；②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？解：(2)①当50≤x ≤80时，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1950＝50k ＋b ，3600＝80k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝55，b ＝－800，则y 与x 的函数关系式为y ＝55x －800 ②缆车到山顶的路线长为3600÷2＝1800(m )，缆车到达终点所需时间为1800÷180＝10(min )．小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10＋50＝60(min )．把x ＝60代入y ＝55x －800，得y ＝55×60－800＝2500，∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600－2500＝1100(m )11．(2013·临沂)某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y 与生产数量x 之间是一次函数关系，函数y 与自变量x(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)求该机器的生产数量；(3)市场调查发现，这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元/台)之间满足如图所示的函数关系，该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．(注：利润＝售价－成本)解：(1)y ＝－12x ＋65(10≤x ≤70) (2)设该机器的生产数量为x 台，由题意得x(－12x ＋65)＝2000，解得x 1＝50，x 2＝80，∵10≤x ≤70，∴x ＝50，即生产数量为50台 (3)设销售数量z 与售价a 之间的函数关系式为z ＝ka ＋b ，求得z ＝－a ＋90，当z ＝25时，a ＝65.设该厂第一个月销售这种机器的利润为w 万元，则w ＝25×(65－200050)＝625(万元)12．(2014·河南)某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．(1)求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元．①求y 关于x 的函数关系式；②该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？(3)实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调m(0＜m ＜100)元，且限定商店最多购进A 型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．解：(1)设每台A 型电脑销售利润为x 元，每台B 型电脑的销售利润为y 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋20y ＝4000，20x ＋10y ＝3500，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝150，则每台A 型电脑的销售利润为100元，每台B 型电脑的销售利润为150元 (2)①由题意得y ＝100x ＋150(100－x)，即y ＝－50x ＋15000②由题意得100－x ≤2x ，解得x ≥3313，∵y ＝－50x ＋15000，∴y 随x 的增大而减小，∵x 为正整数，∴当x ＝34时，y 取最大值，此时100－x ＝66，则商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑的销售利润最大 (3)由题意得y ＝(100＋m)x ＋150(100－x)，即y ＝(m －50)x ＋15000，3313≤x ≤70，①当0＜m ＜50时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝34时，y 取最大值，即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑的销售利润最大；②m ＝50时，m －50＝0，y ＝15000，即商店购进A 型电脑数量满足3313≤x ≤70的整数时，获得最大利润； ③当50＜m ＜100时，m －50＞0，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝70时，y 取得最大值，即商店购进70台A 型电脑和30台B 型电脑的销售利润最大挑战技能13．小静准备到甲商场或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a 元后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费．若累计购物x 元，当x ＞a 时，在甲商场需付钱数y 甲＝0.9x ＋10；当x ＞50时，在乙商场需付钱数为y 乙．下列说法：①y 乙＝0.95x ＋2.5；②a ＝100；③当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；④当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些．其中正确的说法是( C )A ．①②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③14．绍兴黄酒是中国名酒之一，某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间，该车间有灌装、装箱生产线共26条，每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图①，②所示．某日8：00～11：00，该车间的生产线全部投入生产，图③表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况，则灌装生产线有__14__条．15．(2014·聊城)甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2 h ，并且甲车途中休息了0.5 h ，如图是甲、乙两车行驶的距离y(km )与时间x(h )的函数图象．(1)求出图中m ，a 的值；(2)求出甲车行驶路程y(km )与时间x(h )的函数解析式，并写出相应的x 的取值范围；(3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50 km?解：(1)由题意，得m ＝1.5－0.5＝1，120÷(3.5－0.5)＝40，∴a ＝40×1＝40 (2)当0≤x ≤1时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝k 1x ，由题意得40＝k 1，∴y ＝40x ；当1＜x ≤1.5时，y ＝40；当1.5＜x ≤7时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝k 2x ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧40＝1.5k 2＋b ，120＝3.5k 2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝40，b ＝－20，∴y ＝40x －20.综上可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40x （0≤x ≤1）40（1＜x ≤1.5）40x －20（1.5＜x ≤7）(3)设乙车行驶的路程y 与时间x 之间的关系式为y ＝k 3x ＋b 3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2k 3＋b 3，120＝3.5k 3＋b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 3＝80，b 3＝－160，∴y ＝80x －160.当40x －20－50＝80x －160时，解得x ＝94；当40x －20＋50＝80x －160时，解得x ＝194.94－2＝14，194－2＝114，则乙车行驶14小时或114小时，两车恰好相距50 km16．(2013·荆州)某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y(千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图甲所示，销售单价p(元/千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图乙所示．(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)分别求出第10天和第15天的销售金额；(3)若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤15）－6x ＋120 （15＜x ≤20） (2)当10≤x ≤20时，p ＝－15x ＋12，当x ＝10时，销售金额为10×20＝200(元)；当x ＝15时，销售金额为9×30＝270(元) (3)若日销售量不低于24千克，则y ≥24，当0≤x ≤15，y ＝2x ，由2x ≥24得x ≥12；当15＜x ≤20时，y ＝－6x ＋120，由－6x ＋120≥24得x ≤16，∴12≤x ≤16，∴“最佳销售期”共有16－12＋1＝5(天)．∵p ＝－15x ＋12(10≤x ≤20)，－15＜0，∴p 随x 的增大而减小，∴当12≤x ≤16时，x 取12时p 有最大值，此时p ＝－15×12＋12＝9.6，即销售单价最高为9.6元。
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第3节 分式方程
分式方程
1．定义：分母中含有________的方程叫做分式方程．
2．思路、方法：(1)解分式方程的基本思路是将分式方程转化为________；
(2)具体的方法是________，即方程两边同乘以________．
3．解分式方程必须________．
分式方程的应用
分式方程的应用与整式方程的应用类似，关键要分清题目中的等量关系，不同的是要注意验根：
(1)检验所求的解是否是原方程的解；
(2)检验所求的解是否符合________．
分式方程及解法
【例1】(2014·连云港)解分式方程：2x －2＋3＝1－x 2－x
. 解：x ＝32
去分母，转化为整式方程―→解这个整式方程―→验根．
分式方程的应用
【例2】(2014·徐州)几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
解：设票价为x 元，由题意得360－720.6x ＝360x ＋2，解得x ＝60，则小伙伴的人数为360－720.6×60
＝8
审题确定等量关系―→设未知数―→列方程―→解方程―→验根，判断根是否合理―→确定根并作答．
解分式方程时，注意不要漏乘不含分母的项和忘记验根．
【例3】解分式方程：2＋x 2－x ＋16x 2－4
＝－1. 解：x ＝2是增根，原方程无解
真题热身
1．(2012·丽水)把分式方程2x ＋4＝1x
转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( D ) A ．x B ．2x
C ．x ＋4
D ．x (x ＋4)
2．(2013·湘潭)分式方程5x ＋2＝3x
的解为( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．(2014·青岛)某工程队准备修建一条长1200 m 的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务，若设原计划每天修建道路x m ，则根据题意可列方程为( D )
A.1200（1－20%）x
－1200x ＝2 B.1200（1＋20%）x
－1200x ＝2 C.1200x －1200（1－20%）x
＝2 D.1200x －1200（1＋20%）x
＝2 4．(2014·凉山州)关于x 的方程ax ＋1x －2
＝－1的解是正数，则a 的取值范围为__a ＞－1且a ≠－12
__． 5．(2013·绥化)若关于x 的方程ax x －2＝4x －2
＋1无解，则a 的值是__2或1__． 6．解方程：
(1)(2014·宁波)x x －2＝12－x
； 解：x ＝－1
(2)(2014·南充)1x －1＋2x 2－1
＝0. 解：x ＝－3
第3节 分式方程
基础过关
一、精心选一选
1．(2014·重庆)分式方程4x ＋1＝3x
的解是( C ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1
C ．x ＝3
D ．x ＝－3
2．(2013·荆州)解分式方程x 3＋x －22＋x
＝1时，去分母后可得到( C ) A ．x(2＋x)－2(3＋x)＝1
B ．x(2＋x)－2＝2＋x
C ．x(2＋x)－2(3＋x)＝(2＋x)(3＋x)
D ．x －2(3＋x)＝3＋x
3．若分式方程2＋1－kx x －2＝12－x
有增根，则k 的值为( A ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2
4．(2014·龙东)已知关于x 的分式方程m x －1＋31－x
＝1的解是非负数，则m 的取值范围是( C )
A ．m ＞2
B ．m ≥2
C ．m ≥2且m ≠3
D ．m ＞2且m ≠3
5．(2014·福州)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( A )
A .600x ＋50＝450x
B .600x －50＝450x
C .600x ＝450x ＋50
D .600x ＝450x －50 6．(2013·深圳)小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他，已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是( B )
A .1440x －100－1440x ＝10
B .1440x ＝1440x ＋100
＋10 C .1440x ＝1440x －100＋10 D .1440x ＋100
－1440x ＝10 二、细心填一填
7．(2014·安徽)方程4x －12x －2
＝3的解是x ＝__6__． 8．(2014·济南)若代数式1x －2和32x ＋1
的值相等，则x ＝__7__． 9．(2013·盘锦)小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍，设骑自行车的速度为x 千米/
时，根据题意列方程为__5x －52x ＝16
__． 10．(2014·成都)已知关于x 的分式方程x ＋k x ＋1－k x －1
＝1的解为负数，则k 的取值范围是__k ＞12
且k ≠1__． 三、用心做一做
11．解方程：
(1)(2014·舟山)x x ＋1－4x 2－1
＝1； 解：x ＝－3
(2)(2013·泰州)2x ＋2x －x ＋2x －2＝x 2－2x 2－2x
. 解：x ＝－12
12．若分式方程2x ＋1＋3x －1＝m x 2－1
有增根，求m 的值． 解：若增根为x ＝1，可求m ＝6；若增根为x ＝－1，可求m ＝－4
13．(2014·广州)从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
解：(1)依题意可得，普通列车的行驶路程为400×1.3＝520(千米) (2)设普通列车的平
均速度为x 千米/时，则高铁的平均速度为2.5x 千米/时，依题意有520x －4002.5x
＝3，解得x ＝120，经检验x ＝120是方程的解，∴高铁平均速度为2.5×120＝300(千米/时)
14．(2014·汕尾)某校为美化校园，计划对面积为1800 m 2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m 2?
(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m 2，根据题意得400x －4002x
＝4，解得x ＝50，经检验x ＝50是方程的解，∴2x ＝100，则甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别
是100 m 2，50 m 2 (2)设至少应安排甲队工作x 天，根据题意得0.4x ＋1800－100x 50
×0.25≤8，解得x ≥10，则至少应安排甲队工作10天
挑战技能
15．(2013·枣庄)对于非零的实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1a
，若2⊕(2x －1)＝1，则x ＝( A ) A .56 B .54 C .32 D ．－16
16．(2013·泰安)某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x 个，根据题意可得方程为( B )
A .2300x ＋23001.3x ＝33
B .2300x ＋2300x ＋1.3x
＝33 C .2300x ＋4600x ＋1.3x ＝33 D .4600x ＋2300x ＋1.3x
＝33 17．若分式方程2＋1－kx x －2＝12－x
无解，则k ＝__1或2__． 18．(2014·泰安)某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)超市销售这种干果共盈利多少元？
解：(1)设该种干果的第一次进价是每千克x 元，则第二次进价是每千克(1＋20%)x 元，由题
意得9000（1＋20%）x
＝2×3000x ＋300，解得x ＝5，经检验x ＝5是方程的解，则该种干果的第一次进价是每千克5元 (2)[30005＋9000（1＋20%）
－600]×9＋600×9×80%－(3000＋9000)＝5820(元)，即超市销售这种干果共盈利5820元。