附录：协方差矩阵及多元正态分布
多元t分布的定义
多元t分布的定义
多元t分布是多变量统计学中的一种概率分布。
它通过t统计量来描述多维数据的变异情况。
与多元正态分布相比，多元t分布考虑数据中的离群值（outliers），因此在数据不服从正态分布时具有更广泛的适用性。
多元t分布的定义需要借助于以下几个参数：自由度（degrees of freedom）、位置参数（location parameter）和协方差矩阵（covariance matrix）。
自由度代表了模型中可用于估计的独立观测值的数量。
位置参数则表示数据分布的中心位置，可以用多元均值来表示。
协方差矩阵描述了数据各维度之间的关系，用于衡量变量之间的相关性。
多元t分布可用于进行假设检验和置信区间估计，特别适用于小样本情况。
通过比较数据样本与理论分布的差异，我们可以判断变量是否具有显著差异或者找出异常值。
需要注意的是，多元t分布的应用需要满足一些假设，如数据的独立性、观测值的正态分布等。
此外，多元t分布的计算较为复杂，常常使用统计软件进行估计。
非结构化协方差矩阵
非结构化协方差矩阵摘要：一、引言二、非结构化协方差矩阵的定义与性质三、非结构化协方差矩阵在多元正态分布中的应用四、非结构化协方差矩阵与其他矩阵的关系五、总结与展望正文：一、引言非结构化协方差矩阵是多元正态分布中一个重要的矩阵，它可以描述多元正态分布的方差结构。
本文将详细介绍非结构化协方差矩阵的定义、性质以及在多元正态分布中的应用。
二、非结构化协方差矩阵的定义与性质非结构化协方差矩阵是一个对称的矩阵，其元素为协方差，定义为：C = [cov(X_i, X_j)] = E[(X_i - μ_i)(X_j - μ_j)]其中，X_i 和X_j 是多元正态分布的两个随机变量，μ_i 和μ_j 是它们的均值，E 表示期望。
非结构化协方差矩阵具有以下性质：1.非负性：协方差矩阵的元素非负。
2.半正定性：协方差矩阵的行列式大于等于零。
3.特征值非负性：协方差矩阵的特征值非负。
三、非结构化协方差矩阵在多元正态分布中的应用在多元正态分布中，非结构化协方差矩阵用于描述随机变量的方差结构。
设X = [X_1, X_2, ..., X_n]"是一个n 维随机向量，其均值为μ = [μ_1, μ_2, ..., μ_n]"，协方差矩阵为C。
那么，X 的概率密度函数为：f(x) = (1/√(det(C))) * exp(-1/2 * (x - μ)"C(x - μ))其中，"表示转置，det() 表示行列式。
四、非结构化协方差矩阵与其他矩阵的关系非结构化协方差矩阵与结构化协方差矩阵、方差矩阵、相关系数矩阵等矩阵有密切关系。
它们之间可以通过线性变换、对角化等操作相互转换。
五、总结与展望非结构化协方差矩阵是多元正态分布中一个重要的矩阵，它描述了随机变量的方差结构。
通过非结构化协方差矩阵，我们可以进一步了解多元正态分布的性质及其在实际问题中的应用。
多元统计分析——多元正态分布
一、多元正态分布的定义
1、一元正态分布的定义 若变量 X 的概率密度为：
x 2
2 2
1 f x e 2
， 0 ，
则称 X 服从一元正态分布，记为 X ～ N , 2 。 我们可以将上式改写为：
f x 2
1 2
1 exp x ' 2 2
量 X 的相关阵为
R rij p p
其中
rij
Var X i Var X j
covX i , X j
ij ii Байду номын сангаасj
i, j 1,2,， p
另证明：标准化数据的协方差阵正好是原始指标的相 关阵
第2节
多元正态分布
一、多元正态分布的定义 二、均值向量和协方差阵的估计 三、维希特（Wishart）分布 四、统计距离
三、多元变量的独立性
定义 3 两个随机向量 x 和 y 相互独立的充要条件为：
PX x, Y y PX x PY y
对任意的 x, y
若 F x, y 为 x, y 的联合分布函数； G x 和 H y 分别为 x 和 y 的分布函数， 则 x 与 y 独立当且仅当 F x, y G x H y 若 X ,Y ' 有密度函数 f x, y ， g x 和 h y 分别表示 X 和 Y 的分布密度， X 和 Y 用 则 独立当且仅当
X 1 X 2 X p q
q
μ 1 μ 2 μ p q
q
11 21
12 21 p q
协方差为0的多元正态分布的等概率面
协方差为0的多元正态分布的等概率面多元正态分布是概率论和统计学中重要的概率分布之一，它在许多领域中都有广泛的应用。
在多元正态分布中，协方差矩阵是一个重要的参数，它描述了各个随机变量之间的相关性。
当协方差矩阵的元素为0时，意味着各个随机变量之间不存在线性相关性，这时多元正态分布的等概率面呈现出特殊的形态。
在协方差为0的多元正态分布中，各个随机变量之间是相互独立的。
这意味着，对于任意的两个随机变量，它们的取值不会因为另一个随机变量的取值而发生变化。
这种独立性质使得协方差为0的多元正态分布的等概率面呈现出一种特殊的形态——一个个独立的椭球。
具体来说，对于一个二维的协方差为0的多元正态分布，等概率面就是一系列的圆。
这是因为协方差为0意味着两个随机变量之间不存在线性相关性，它们的取值是完全独立的。
当协方差为0时，椭球的轴与坐标轴平行，即椭球的长轴和短轴与坐标轴重合，从而形成了一系列的圆。
在三维空间中，协方差为0的多元正态分布的等概率面则呈现出一系列的椭球。
这些椭球的轴与坐标轴平行，且各个轴的长度与各个随机变量的标准差有关。
当标准差较大时，椭球的形状更加扁平，表示该随机变量的取值范围更广；而当标准差较小时，椭球的形状更加圆球状，表示该随机变量的取值范围更窄。
在高维空间中，协方差为0的多元正态分布的等概率面则呈现出一系列的超椭球。
这些超椭球的轴与坐标轴平行，且各个轴的长度与各个随机变量的标准差有关。
与三维空间类似，当标准差较大时，超椭球的形状更加扁平，表示该随机变量的取值范围更广；而当标准差较小时，超椭球的形状更加球状，表示该随机变量的取值范围更窄。
协方差为0的多元正态分布的等概率面的形态直观地展示了各个随机变量之间的独立性。
当协方差为0时，各个随机变量的取值是相互独立的，它们之间没有任何线性关系。
这对于一些统计分析和建模问题非常重要，因为它简化了模型的计算和解释。
协方差为0的多元正态分布的等概率面呈现出一系列的独立的椭球或超椭球。
协方差矩阵运算规则
协方差矩阵运算规则
协方差矩阵是描述两个或多个随机变量之间关系的重要工具。
它可以帮助我们了解变量之间的线性关系以及它们的方差。
在实际应用中，协方差矩阵常用于风险评估、投资组合优化和金融建模等领域。
协方差矩阵的运算规则是基于对样本数据的统计分析得出的。
通过计算两个变量之间的协方差，我们可以得到一个方阵，即协方差矩阵。
协方差矩阵的对角线元素是各个变量的方差，而非对角线元素则表示两个变量之间的协方差。
在协方差矩阵的运算中，我们需要注意以下几个规则：
1. 对称性：协方差矩阵是对称矩阵，即矩阵的元素关于主对角线对称。
2. 非负定性：协方差矩阵是一个半正定矩阵，即对于任意非零向量x，都有x'Σx≥0，其中Σ表示协方差矩阵。
3. 线性性：对于两个协方差矩阵Σ1和Σ2，以及两个常数a和b，有aΣ1 + bΣ2的协方差矩阵为aΣ1 + bΣ2。
4. 乘法规则：对于两个协方差矩阵Σ1和Σ2，它们的乘积Σ1Σ2的协方差矩阵为Σ1Σ2。
协方差矩阵的运算规则是数学中的重要基础，它们在各个领域都有广泛的应用。
在金融领域，协方差矩阵可以帮助我们评估不同资产
之间的相关性，从而构建有效的投资组合。
在工程领域，协方差矩阵可以用于信号处理和模式识别等任务。
在统计学中，协方差矩阵被用于拟合多元正态分布和进行参数估计。
协方差矩阵的运算规则是我们进行数据分析和建模的重要工具。
通过对变量之间的关系进行描述和分析，我们可以更好地理解数据背后的规律，并作出相应的决策。
无论是在学术研究中还是实际应用中，协方差矩阵都发挥着重要的作用，为我们提供了丰富的信息和洞察力。
协方差矩阵
2
排成矩阵的形式:
c11 c12 c c 21 22
这是一个 对称矩阵
称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.
例4.22 设( X 1 , X 2 ) ~ N ( 1 , 2 , 12 , 12 , ), 试求其
协方差矩阵。
2 解 例3.18 （P .98 ）已计算得： c11 12 , c22 2 , c12 c21 1 2 , 于是
12 1 2
T T
1 2 . 2 2
T
记x ( x1 , x2 ) , ( 1 , 2 ) , 则二维随机变量 X ( X 1 , X 2 ) 的联合概率密度可以简 洁地表示为 1 1 T 1 f ( x) exp{ ( x ) ( x )} 1/ 2 2 2
0
1 x 2(1 x )dx , 3
E (Y )
2
1
0
1 E ( XY ) xy 2dxdy ydy 2 xdx , 0 0 4 D 1 1 1 2 2 D( X ) E ( X ) [ E ( X )] , 6 9 18 1 4 1 2 2 D(Y ) E (Y ) [ E (Y )] , 2 9 18
X与Y独立
X与Y不相关
4.5 矩、协方差矩阵 4.5.1 矩、偏态、峰态 定义4.6 设X和Y是随机变量。 若 E ( X k ) 存在， 称它为X的k阶原点矩；
记为Ak 或vk；
若 E{[ X E ( X )]k
存在， 称它为X的k阶中心矩；
记为Bk 或 μk；
若
协方差和协方差矩阵的关系
协方差和协方差矩阵的关系
协方差和协方差矩阵是统计学中常见的概念。
协方差是指两个随机变量之间的线性关系，而协方差矩阵则是多个随机变量之间的线性关系的矩阵表示。
具体来说，设有两个随机变量X和Y，它们的期望分别为μx和μy，协方差为Cov(X,Y)，则协方差的计算公式为：
Cov(X,Y) = E[(X-μx)(Y-μy)]
可以看出，协方差是两个随机变量之间的“共变性”，若两个随机变量越是线性相关，它们的协方差就越大；反之，若两个随机变量相互独立，则它们的协方差为0。
当有n个随机变量X1,X2,...,Xn时，它们之间的线性关系可由一个n×n的协方差矩阵Σ表示，其中第i行第j列的元素为
Cov(Xi,Xj)。
协方差矩阵是一个对称矩阵，对角线上的元素为各个随机变量的方差，即Var(Xi)。
协方差矩阵在多元正态分布中扮演着重要角色，它可以完全描述多元正态分布的协方差结构。
此外，协方差矩阵还被广泛应用于主成分分析、线性判别分析、聚类等数据分析领域。
总之，协方差和协方差矩阵是统计学中不可或缺的概念，深入理解它们的含义和计算方法，将有助于我们更好地应用统计学方法进行数据分析。
- 1 -。
多元正态分布均值向量和协差阵的检验
而
Y n(X 0) ~ Np (0,)
故 T02 n(X 0)T 1(X 0) ~ 2( p)
(2)协差阵未知时，均值向量的检验
H0：＝（0 0为已知向量），H1： 1
假设H
成立，检验统计量为
0
F (n 1) p 1T 2 ~ F ( p, n p) (n 1) p
第三章 多元正态分布均值向量和
协差阵的检验
一、均值向量的检验
二、协差阵的检验
一、均值向量 •的假设检验
1、霍特林（Hotelling）T 2分布
定义1：设X ~ N p (, ),S ~ Wp (n, )，且X与S相互独立，n p,
则称统计量 T 2 nX T S 1X的分布为非中心霍特林T 2分布，
X (i) ~ N4 (1, ), i 1,2,,10； Y(i) ~ N4 (2 , ), i 1,2,,10
且两组样本相互独立，有共同未知协方差阵 0
假设检验 H0 : 1 2 , H1 : 1 2
构造统计量
F
(n＋m 2) (n＋m
p 2) p
X
～N
p
(0,
2
n
)
，
在一元统计中，若 t ~ t(n 1) 分布， 则 t2 ~ F (1, n 1) 分布，即把t分布转化为F分 布来处理，在多元统计分析中统计量也有类 似的性质。
定理1：设X ~ N p (0, ), S ~ Wp (n, )，且X与S相互独立， 令 T 2 nX T S 1 X 则 n p 1T 2 ~ F ( p, n p 1)
再由样本值计算出统计量T02，比较
若T02
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
附录：协方差矩阵及n 维正态分布
1、设n 维随机变量),,,(21n X X X 的二阶混合中心矩
n j i X E X X E X E X X Cov c j j i i j i ij ,,2,1,,)]}()][({[),(
都存在，则称矩阵：
nn n n n n c c c
c c c
c c c 21222
2111211Σ 为n 维随机变量),,,(21n X X X 的协方差矩阵。
它是一对称矩阵。
2、n 维正态分布
● 定义：若n 维随机变量),,,(21n X X X 的概率密度可以表示成以下的形式:
μx Σμx Σx 1
2
/12/2121ex p )(det )2(1)(),,,(T n n f x x x f 其中: T
n x x x ),,,(21 x ，
T n T n X E X E X E ))(,),(),((),,,(2121 μ，Σ是),,,(21n X X X 的协方差矩阵，则称n 维随机变量),,,(21n X X X 为n 维正态
随机变量，记为：),(~),,,(21 N X X X X n ，),,,(21n x x x f 为n 维正态概率密度函数，。
●
n 维正态随机变量的性质
（1）
n 维正态随机变量),,,(21n X X X 的每一个分量都是正态变量；反之，若n X X X ,,,21 都是正态随机变量，且相互独立，则),,,(21n X X X 是n 维正态
随机变量 （2）
n 维随机变量),,,(21n X X X 服从
n
维正态分布的充要条件是
n X X X ,,,21 的任意的线性组合n n X l X l X l 2211服从一维正态分布。
（3）
若),,,(21n X X X 服从n 维正态分布，设k Y Y Y ,,,21 是)
,2,1(n j X j 的线性函数，则),,,(21k Y Y Y 也服从多维正态分布。
（4）
若),(~),,,(21B N X X X X n ，n m jk c C )(为任意的矩阵，则有：
CX Y 为服从m 元正态分布，即),(~T CBC C N CX Y 。
（5）
设),,,(21n X X X 服从n 维正态分布，则“n X X X ,,,21 相互独立”与
“n X X X ,,,21 两两不相关”是等价的。
例：设n X X X ,,,21 是取自正态总体)0(),(2
N 的简单随机样本。
记
n k X k X k
i i k 1,11
，求统计量1 k k X X T 的分布。
解：由于 1111
1
)1(1)1(1
k k k k X k X k k X k k X X T
因此：0 ET ，2
22
2222)1(1)
1(1)]1([1)]1([1)(
k k k k k k k T D 因此：))
1(1
,0(~2 k k N T。