安徽省池州市2013届高三上学期期末统考数学(理)试题
2013安徽高考数学
2013年安徽高考试卷理科数学试题（word版）第Ⅰ卷（选择题共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（3）在下列命题中，不是公理
．．的是
（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行
（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
（4）的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是
（A）这种抽样方法是一种分层抽样
（B）这种抽样方法是一种系统抽样
（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数。
安徽省池州市2013届高三上学期期末统考
安徽省池州市2013届高三上学期期末统考化学能力试题时间：150分钟分值：300分第I卷（选择题共120分）一选择题（本卷共20小题，每小题6分。
每小题只有一项是符合题目要求的。
l7．化学与人类生活、工农业生产、科学技术等息息相关，下列说法正确的是（）A．在涂料中尽量用液态有机物代替水作溶剂以减少环境污染B．新型无机非金属材料Si3N4、Al2O3可以用于制作高温结构陶瓷制品C．石油分馏可获得乙烯、丙烯和丁二烯D．绿色化学的核心是应用化学原理对环境污染进行治理8．《美国化学会志》报道了中国科学家以二氧化碳和钠在一定条件下制得金刚石，其化学方程式为3CO2+4Na 2X+C（金刚石）。
设N A为阿伏加德罗常数的数值，下列有关此反应的叙述中，不正确的是（）A．1mol C（金刚石）中含有c—c键数目为2N AB．金刚石与石墨互为同素异形体C．当有0．4molNa参加反应时，消耗的CO2的体积为6．72LD．3molCO2参加反应时．转移电子数目为4NA9．如图所示是氢氧燃料电池的基本结构，将电极a、b分别与负载连接后，电池就能正常工作。
下列有关该燃料电池工作时的叙述中，不正确的是（）A．a电极一定是负极B．若X是H+则H+将从a电极通过离子交换膜移向b电极C．若x是O2－则生成的水将从d口流出D．溶液中的电流方向是从b流向al0．在给定的条件下的下列溶液中，一定能大量共存的粒子组是（A．pH=3的溶液：Ca2+、CH3COOH、Br－、Na+B．水电离的c（H+）=1×10－13mo1·L－1的溶液：Na+、K+、SO42－、CO32－C．含有大量Fe3+的溶液：Na+、Mg2+、NO3－、SCN－D．含有大量NO3－的溶液：NH4+、H+、SO42－、I－11．下列各图所示的实验原理、方法、装置、操作或叙述，不正确的是A．称量25 .0g氯化钠固体B．收集NO2气体（尾气处理装置略）C ．检验出此装置漏气D ．吸收NH 3不会造成倒吸12．对于反应N 2（g ）+3H 2（g ） 2NH 3（g ） △H=－92kJ/mol ，若只改变下列一个条件，一定能增大正反应速率且使平衡向正反应方向移动的是（ ） A ．升高温度 B ．增大容器体积 C ．降低c （NH 3） D ．将三种物质浓度均增大到原来的2倍13．已知碳酸的电离常数：K 1=4 .4×l0－7，K 2=4 .7×l0－11。
2013年高考安徽理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年安徽，理1，5分】设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z =（ ）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 【答案】A【解析】设()i z a b a b =+∈R ,，则由·i+2=2z z z 得()()i i i 2i (2)a b a b a b +-+=+，即22i (2i )22a b a b ++=+， 所以22a =，222a b b +=，所以1a =，1b =，即i 1i z a b =+=+，故选A ．（2）【2013年安徽，理2，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A ）16 （B ）2524（C ）34 （D ）1112【答案】D【解析】开始28<，11022s =+=，224n =+=；返回，48<，113244s =+=，426n =+=；返回，68<，31114612s =+=，628n =+=；返回，88<不成立，输出1112s =，故选D ．（3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命题中，不是．．公理的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行 （B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 【解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理，故选A ． （4）【2013年安徽，理4，5分】“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x =-在区间(0)+∞，内单调递增”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】函数()f x 的图象有以下三种情形：由图象可知()f x 在区间(0)+∞，内单调递增时，0a ≤，故选C ．（5）【2013年安徽，理5，5分】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93．下列说法一定正确的是（ ）（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样 （C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C【解析】解法一：对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错； 对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错； 对C 选项，男生方差为40，女生方差为30．所以C 选项正确；对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91．所以D 选项错，故选C ． 解法二：五名男生成绩的平均数为869488920150(9)9++++=，五名女生成绩的平均数为()18893938893915++++=，五名男生成绩的方差为22222218690949088909290909085s (-)+(-)+(-)+(-)+(-)==，五名女生成绩的方差为2222288913939165s (-)+(-)==，所以2212s s >，故选C ．（6）【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式()0f x <的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则()100x f ＞的解集为（ ）（A ）{|}1lg2x x x <->-或 （B ）lg |}12{x x -<<- （C ）l 2|g {}x x >- （D ）l 2|g {}x x <- 【答案】D【解析】由题意知11012x -<<，所以1lg lg 22x =-<，故选D ．（7）【2013年安徽，理7，5分】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）（A ）()0cos 2θρρθ=∈=R 和 （B ）)s (co 2θρρθ=∈=R 和（C ）)s (co 1θρρθ=∈=R 和 （D ）()0cos 1θρρθ=∈=R 和 【答案】B【解析】由题意可知，圆2cos ρθ=可化为普通方程为2211()x y -+=．所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为0x =和2x =，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()θρ=∈R 和cos 2ρθ=，故选B ．（8）【2013年安徽，理8，5分】函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ,上可找到()2n n ≥个不同的数12n x x x ⋯,，,，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的取值范围是（ ） （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4,5 （D ）{}2,3 【答案】B【解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，故上式可理解为()y f x =图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与()y f x =的交点个数． 如图所示，由数形结合知识可得，①为2n =，②为3n =，③为4n =，故选B ．（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R所表示的区域的面积是（ ）（A ）（B ）（C ） （D ） 【答案】D【解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x 轴对称，由已知=2OAOB OA OB =⋅=，可得出60AOB ∠=︒，点)A，点)1B -，点()D ，现设()P x y ，，则由=+OP OA OB λμ得())),1x y λμ=+-，即x y λμλμ+)=-=⎪⎩，由于1λμ+≤，λμ∈R ，，可得11x y ⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点()P x y ，满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为，故选D ．（10）【2013年安徽，理10，5分】若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】A【解析】由()2320f x x ax b '=++=得，1x x =或2x x =，即()()()2320f x a f x b ++=的根为()1f x x =或()2f x x =的解．如图所示由图象可知()1f x x =有2个解，()2f x x =有1个解，因此()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数为3， 故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年安徽，理11，5分】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ． 【答案】12【解析】∵8x ⎛ ⎝的通项为1838C ()r r r r x a x --883388=C C r rr r r r r r a x x a x ----=，∴843r r --=，解得3r =．∴338C 7a =， 得12a =．（12）【2013年安徽，理12，5分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若2b c a +=，3sin 5sin A B =，则角C = ．【答案】2π3【解析】∵3sin 5sin A B =，∴35a b =．① 又∵2b c a +=，②∴由①②可得，53a b =，73c b =，∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =．（13）【2013年安徽，理13，5分】已知直线y a =交抛物线2y x =于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为 ．【答案】[1)+∞，【解析】如图，设20200()()C x x x a ≠,，()A a，)B a，则()200,CA x a x =-，()200,CB a x a x =-．∵CA CB ⊥，∴0CA CB ⋅=，即()()222000a x a x --+-=，()()2210a x a x --+-=，∴210xa =-≥，∴1a ≥．（14）【2013年安徽，理14，5分】如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =．若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是．【答案】n a =【解析】设11OA B S S ∆=，∵11a =，22a =，n n OA a =，∴11OA =，22OA =．又易知1122OA B OA B ∆∆∽，∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭．∴11112233OA B A B B A S S S ∆==梯形．∵所有梯形11n n n n A B B A ++的面积 均相等，且11n n OAB OA B ∆∆∽，∴1n OA OA=．∴1n a a =∴n a =．（15）【2013年安徽，理15，5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当012CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当341CQ <<时，S为六边形；⑤当1CQ=时，S【答案】①②③⑤【解析】当12CQ =时，222111154D Q D C C Q =+=，22254AP AB BP =+=，所以1D Q AP =，又因为1//2AD PQ ，所以②正确；当012CQ <<时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图（1）所示；如（2）图，当34CQ =时，由1QCN QC R ∆∆∽得11C Q C RCQ CN =，即114314C R =，113C R =，故③正确；如图（3）所示，当341CQ <<时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；当1CQ =时，截面为1APC E ，可知1AC =EP 1APC E 为菱形，S四边形1APC E =，故⑤正确．图（1） 图（2） 图（3）三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，理16，12分】已知函数()4cos πsin ()4·0x f x x ωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=>+的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（1）())2π4cos sin cos sin2c os24f x x x x x x x x ωωωωωωω=⋅⋅⎛⎫+=+ ⎝⎭+⎪+π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>，从而有2π=π2ω，故1ω=．（2）由（1）知，()π2sin 24f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=0π2x ≤≤，则ππ5π2444x ≤+≤．当πππ2442x ≤+≤即π08x ≤≤时，()f x 单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤即ππ82x ≤≤时，()f x 单调递减． 综上可知，()f x 在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（17）【2013年安徽，理17，12分】设函数()()221f x ax a x =-+，其中0a >，区间(){}|0I x f x =>．（1）求I 的长度(注：区间()αβ，的长度定义为βα-；（2）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值． 解：（1）因为方程()()22100ax a x a -+=>有两个实根10x =，221ax a=+，故()0f x >的解集为{}12|x x x x <<． 因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +． （2）设()21d a aa =+，则()22211a a a d -(+')=．令()0d a '=，得1a =．01k <<，故当11k a -≤<时，()0d a '>，()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．所以当11k a k -≤≤+时，()d a 的最小 值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故()()11d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间[]1,1k k -+上取得最小值2122kk k --+．（18）【2013年安徽，理18，12分】设椭圆E ：2222=11x y a a +-的焦点在x 轴上．（1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（2）设12F F ，分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，并且11F P FQ ⊥．证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． 解：（1）因为焦距为1，所以22141a -=，解得258a =．故椭圆E 的方程为2288=153x y +．（2）设00()P x y ,，()1,0F c -，()2,0F c ，其中c =由题设知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+， 直线2F P 的斜率200F P y k x c =-，故直线2F P 的方程为00()y y x c x c =--．当0x =时，0cy y c x =-， 即点Q 坐标为00(0,)cy c x -．因此，直线1F Q 的斜率为100F Q yk c x =-． 由于11F P FQ ⊥，所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⋅=⋅=-+-．化简得22200(21)y x a =--．① 将①代入E 方程，由于点00()P x y ，在第一象限，解得20x a =，201y a =-，即点P 在定直线1x y +=上．（19）【2013年安徽，理19，13分】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5︒，AB和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60︒． （1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠． 解：（1）设面PAB 与面PCD 的交线为l ．//AB CD ，AB 不在面PCD 内，所以//AB 面PCD ．又因为AB 面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以//AB l ． 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（2）设CD 的中点为F ．连接OF ，PF ．由圆的性质，2COD COF ∠=∠，OF CD ⊥．因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP CD ⊥．又OP OF O =，故CD ⊥面OPF ．又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD ．从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ， 故OPF ∠为OP 与面PCD 所成的角．60OPF ∠=︒．设OP h =，则t a n t a n 60O F O P O P F h h=⋅∠=⋅︒=． 根据题设有22.5OCP ∠=︒，得tan tan 22.5OP h OC OCP ==∠︒．由22tan 22.51tan1tan45︒-=︒=和tan22.50︒>， 得tan22.51︒=，因此1)OC h=．在Rt OCF ∆中，os c OF OC OF C ==∠， 故22cos cos 22co ()2s 1=171COD COF COF ∠=∠=∠----=（20）【2013年安徽，理20，13分】设函数()2322*21()23n nf x x n x x x x n-++++∈∈+=R N ，．证明：（1）对每个*n ∈N ，存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =；（2）对任意*p ∈N ，由（1）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<．解：（1）对每个*n ∈N ，当0x >时，()11+02n n x f x x n -++'=>，故()n f x 在(0)+∞，内单调递增． 由于()110f =，当2n ≥时，()2221110231n f n=+++>，故()10n f ≥．又21122222213322112111231 ()0233343343313n k n k n n n k k f k --==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦=-++≤-+=-+⋅=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑∑，所以存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =．（2）当0x >时，()()()1121n n n n f x f x x f x n ++(+)=+>，故()()()1110n n n n n n f x f x f x +++>==． 由()1n f x +在(0)+∞，内单调递增知，1n n x x +<，故{}n x 为单调递减数列，从而对任意*n p ∈N ，，n p n x x +<．对任意*p ∈N ，由于()222102n nn n n n f x x x x n-++++==，①()2122221+021n n n pn p n p n p n p p n p n n p x x x x x n n n f x p ++++++++-++++++=(+)(+=)＋．②①式减去②式并移项，利用01n p n x x +<<≤，得222211k kk k n pn pnn p n n p n n n p p k k n k n x x x x k x x k k +++++==+=++=-+≤-∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+．因此，对任意*p ∈N ，都有01n n p n x x +<-<．（21）【2013年安徽，理21，13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ． （1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使()P X m =取得最大值的整数m ．解：（1）因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于()()11C C k n k n P A B k n P --===，故()()=1k P A P B n=-，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． （2）当k n =时，m 只能取n ，有()()1P X m P X n ====．当k n <时，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n ．当X m =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m -．仅收到李老师或 仅收到张老师转发信息的学生人数均为m k -．由乘法计数原理知：事件{}X m =所含基本事件数为 2C CCC CCk k m m k k m k m k nkn kn kn k------=．此时()22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n k n k kn k k kn nP X m ------===． 当k m t ≤<时，()()1P X m P X m =≤=+⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m kkn k +-+--⇔()()()212m k n m k m -+≤-- ⇔ 2(1)22k m k n +≤-+．假如2(1)22k k k t n +≤-<+成立，则当()21k +能被2n +整除时， 22(1)(1)22122k k k k k t n n ++-<≤+-≤++．故()P X m =在2(1)22k k n m +-+=和2(1)212k m k n ++-+=处达最大值； 当()21k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22m k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦=处达最大值．(注：[]x 表示不超过x 的最大整数)，下面证明2(1)22k t n k k ≤+-<+．因为1k n ≤<，所以22(1)1222k kn k k k n n +----=++2111022k k k k n n (+)---≥=≥++．而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故()2122k k n n +-<+． 显然2(1)222k k k n +-<+．因此2(1)22k t n k k ≤+-<+．。
安徽省池州市高三上学期期末统考数学(理)试题
安徽省池州市 高三上学期期末统考数学 (理) 试题（时间：120分钟 分值：1150分）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核准条形码上的考场座位号、姓名及科目。
2．选择题部分必须使用2B 铅笔真涂，非选择题必须使用0 .5毫米黑色签字笔书写，字体工整，字迹清楚；3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；4．保持卡在清洁，不折叠、不破损。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．I 是虚数单位，复数iiz +=1对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知P 、Q 是两个集合，且满足Q P Q P = ，则P 与Q 的关系为 （ ）A ．B ．C ．P=QD ．不确定3．已知21,θθ是两个单位向量，1θ与2θ的夹角为60o ，212θθ+=，则α等于 （ ）A ．7B ．7C ．3D ．34．已知P 是圆122=+y x 上的动点，则P 点到直线022:=-+y x l 的距离的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．225．曲线nx x y 12+=在点（1，1）处的切线方程为（ ）A ．3x －y －2=0B ．x －3y+2=0C ．3x+y －4=0D ．x+3y －4=0 6．已知{a n }为等差数列，a 4+a 7+a 10=30，则a 3－2a 5的值为 （ ） A ．10 B ．-10 C ．15 D ．-157．已知θ是三角形中的最小角，则)3sin(πθ+的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎝⎛1,23 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,23 C ．⎥⎦⎤⎝⎛1,21D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,218．一个几何体的三视图均为直角三角形，尺寸如图所示，则这个几何体的体积是 （ ） A ．20cm 3B ．40 cm 3C ．60 cm 3D ．80 cm 39．已知,0.,10613sin )(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=x gx x xx x f 若函数k x f x g --)()(有三个不同的 零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1->kB ．211<<-kC ．211-≤<-k 或10<<k D ．211-<<-k 或10<<k10．2012年10月18日全国第二届绿色运动会在池洲隆垦开幕。
安徽省池州一中2013届高三第一次月考数学(理)试题
池州一中2013届高三第一次月考检测卷数 学（理科）试 题第Ⅰ卷（选择题 共42分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内复数65i +、23i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，则z z ⋅的值为（ ）A. 61B. 13C. 20D. 10 2.已知集合{|1}A x x =>，{}2+=<9B x N x ∈，那么AB =（ ）A . {}2B . ()-3,3C . ()1,3D . ()2,3 3.已知1F 、2F 为双曲线C ：222x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠=（ ）A ．14 B ．35 C ．34 D ．45 4.已知p 、q 为命题，则“p q ∨为真命题”是“p q ∧为真命题”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件 5.一机构为调查某地区中学生平均每人每周零花钱X （单位：元）的使用情况，分下列四种情况统计：①010X ≤≤；②1020X <≤；③2030X <≤； ④30X >．调查了10000名中学生，下图是此次调查中某一项的程序框图，其输出的结果是7300，则平均每人每周零花钱在[0,20]元内的学生的频率是（ ） A . 0.20 B . 0.80 C . 0.27 D . 0.736. 函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是 （ ）A .B .C .D .7.已知,x y 满足线性约束条件1020410x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，若(,2)x =-a ，(1,)y =b ，则z =⋅a b 的最大值是（ ）A . 1-B . 52- C . 5 D . 78.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈.若则32b =-，1012b =，则8a =（ ）A . 0B . 3C . 8D . 119.对于下列命题：①在△ABC 中，若sin2sin2A B =,则△ABC 为等腰三角形；②已知a ，b ，c是△ABC 的三边长，若2a =，5b =，6A π=,则△ABC 有两组解；③设2012sin3a π=，2012cos 3b π=，2012tan3c π=,则a b c >>；④将函数2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移6π个单位，得到函数2cos 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象.其中正确命题的个数是（ ）A . 0B . 1C . 2D . 310.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的取值范围是（ ） A . 403k ≤≤B . <0k 或4>3kC . 3443k ≤≤D .0k ≤或4>3k 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上.11.设,x y ∈R,向量(,1)x =a ,(1,)y =b ，(2,4)=-c 且⊥a c ，//b c ,则_______+=a b .12.已知30sin a xdx π=⎰，则71x x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项 是 （用数字作答）.13.函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导函数()y f x '=的部分图像如图所示：图象与y轴交点0,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,与x 轴正半轴的两交 点为A 、C ,B 为图象的最低点 ,则ABC S ∆=___ ___ .14. 将一张边长为12cm 的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折成一个有底的正四棱锥模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则四棱锥的体积是___________．15.函数()22f x x =--.给出函数()f x 下列性质：⑴函数的定义域和值域均为[]1,1-；⑵函数的图像关于原点成中心对称；⑶函数在定义域上单调递增；⑷()0Af x dx =⎰（其中A为函数的定义域）；⑸A 、B 为函数()f x图象上任意不同两点，则2AB ≤.请写出所有关于函数()f x 性质正确描述的序号 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 16.(本小题满分12分)已知函数21()cos cos 2f x x x x =--，.x R ∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别,,,a b c 且3c =,()0f C =，若sin()2sin ,A C A +=求,a b 的值．17.(本小题满分12分)在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1～4号的四名射箭运动员参加射箭比赛.（Ⅰ）通过抽签将他们安排到1～4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；（Ⅱ）记1号、2号射箭运动员射箭的环数为ξ（ξ所有取值为0，1，2，3．．．，10）的概率分别为P 、P.根据教练员提供的资料，其概率分布如下表: ①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中9环的概率； ②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由． 18.(本小题满分12分)已知函数()221()0ax f x x x e a aa ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭（Ⅰ）当=1a 时,求函数()f x 的图象在点()0,(0)A f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性； 19.(本小题满分12分)图1 图2 图3如图，四边形ABCD 中，BCD ∆为正三角形，==2AD AB，BD AC 与BD 交于O 点．将ACD ∆沿边AC 折起，使D 点至P 点，已知PO 与平面ABCD 所成的角为θ，且P 点在平面ABCD 内的射影落在ACD ∆内． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若已知二面角A PB D --，求θ的大小.20.(本小题满分13分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为A ，离心率为12，在x轴负半轴上有一点B ，且212.BF BF =（Ⅰ）若过2A B F 、、三点的圆恰好与直线30x -=相切，求椭圆C 的方程； （Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M N 、两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，说明理由．21.(本小题满分14分) 在数列{}n a 中，11a =、214a =，且()()+11=2n n nn a a n n a -≥-. (Ⅰ) 求3a 、4a ，猜想n a 的表达式，并加以证明； (Ⅱ)设n b *n N ∈，都有12n b b b ++⋅⋅⋅+<. 数学（理科）答案一、选择题：题号1 23 4 5 6 7 8 9 10 答案C ACBDDCBCA8. 【解析】：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==9. 【解析】①sin2sin2A B =，则22A B =,或22A B π+=，∴A B =，或2A B π+=，,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故此命题错；②由正弦定理知sin sin a bA B=，∴15s i n52s i n 124b A B a⨯===>,显然无解，故此命题错；③20122sinsin 33a ππ==，201221coscos 332b ππ===-，20122tantan 33c ππ===，∴a b c >>；④2s i n 3+=2s i n 3++=2cos366626y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，正确. 10. 【解析】∵圆C 的方程可化为:()2241x y -+=,∴圆C 的圆心为(4,0),半径为1.∵由题意,直线2y k x =-上至少存在一点00(,2)A x kx -,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点;∴存在0x R ∈,使得11AC ≤+成立,即min 2AC ≤. ∵min AC 即为点C 到直线2y k x =-,2≤,解得403k ≤≤. 二、填空题题号 1112131415 答案5602π3⑵⑷11. 【解析】由02402a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||(21)a b +=+=.12. 【解析】3011sin cos 13220a xdx x ππ==-=-+=⎰，因而要求72x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是，即求72x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的1x -的系数，由展开式的通项公式77217722r r r r r r r r T C x x C x ---+=⋅⋅=，则令721r -=-，解得4r =，从而常数项为4472560C =13.【解析】()y f x '=cos 6x πωω⎛⎫=+⎪⎝⎭,点P 的坐标为(0,2)时 cos 62πω=，得3ω=，故()3cos 36f x x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，从而23T AC π==，则13232ABC S ππ∆=⨯⨯=；14.【解析】设正四棱锥的底面边长为2x,则由其侧棱长为所以此四棱锥的底边长为高为所以其体积为15.此时()f x=错误（0<三、解答题16.解析：（则()f x的最大值为0，最小正周期是22Tππ==…………………6分（2）()sin(2)106f C Cπ=--=则sin(2)16Cπ-=1100222666C C Cπππππ<<∴<<∴-<-<2623C Cπππ∴-=∴=sin()2sinA C A+=由正弦定理得12ab=①………………………………9分由余弦定理得2222cos3c a b abπ=+-即229a b ab+-=②由①②解得a=b=………………………………………12分17.【命制意图】本试题主要是考查了古典概型概率的运算，以及随机变量的分布列的求解和期望值的运用。
安徽省池州市届高三月联考数学试题理含答案
池州市普通高中2016-2017学年第二学期高三年级教学质量检测卷 理科数学第I 卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分•在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.A ={x|3x ：：：16, x N} ,B 二{x|x 2-5x • 4 ：：： 0}，则 AP](C R B)的真子集个数为（A. 1 B3.若（丄2x ）6展开式的常数项为（x5•如图，网格线上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（WBFA. 93 12 & B . 97 12、2 C .105 12、2 D . 109 1^ 26.“欧几里得算法” 是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于 “欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“ aMODb ”表示a 除以b1 •已知集合2 •设i 是虚数单位, z 是复数z 的共轭复数，若 z_z = 2(z • i)，则 z 二()A. 一1 —i B .-1 i C . 1 i D . 1 -iA. 120B . 160 C.200 D 2404.CHlogJ 。
，则 5a,b,c 大小关系为（A.b c B . a c b c的余数)，若输入的a,b 分别为675,125，则输出的a =()z nr z/ffiAa.b / Ji~ c=aMODb1 _I aAA. 0 B .25 C .50 D . 757.将函数f (x) = 2； 3 cos 2 x-2sin xcosx-、、3的图象向左平移t(t 0)个单位，所得图 象对应的函数为奇函数，则 t 的最小值为()A.1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法， 若从本校学生中抽取 100人，从高一和高二抽取样本 数分别为a,b ，且直线ax by ^0与以A(1,-1)为圆心的圆交于 B,C 两点，且BAC -120，则圆C 的方程为( )2 2 2 2A. (x -1)(y 1) =1 B . (x -1) (y 1) =22 218 2 2 12c. (X-1)2 (y 1)2 二打 D . (x-1)2 (y 1)^--1715x - y - 2 _09.已知x, y 满足约束条件＜ax+yH4,目标函数z=2x —3y 的最大值是2,则实数a =、x —2y + 3 兰0A.10•已知正三棱锥 A-BCD 的外接球半径R , P,Q 分别是AB, BC 上的点，且满足2AP CQ&某学校有2500名学生，其中高I b=c5，DP _ PQ ，则该正三棱锥的高为()PB QBA.-I B •二 C •.3 D • 2、33311 •已知抛物线C i : y 2 =8ax(a 0)，直线I 倾斜角是45且过抛物线G 的焦点，直线I 被2 2X y抛物线C i 截得的线段长是16,双曲线C 2 :二2 =1的一个焦点在抛物线 C i 的准线上，a b则直线I 与y 轴的交点P 到双曲线C 2的一条渐近线的距离是( )A. 2 B •、、3 C •2 D • 112 •已知函数f(x)是定义在R 上的可导函数，其导函数为f '(x)，则命题P ： “-x 1, x 2 R ,且为=x 2, |f (x1)一f (x2)卜：2017 ” 是命题 Q :“-R , | f '(x)卜：2017 ”的()X r _X 2A.充分而不必要条件 B•必要而不充分条件C.充要条件 D•既不充分也必要条件第U 卷(共90分)二、 填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)■ 4d & 兀13•已知向量a = (-1,m) , b =(0,1)，若向量a 与b 的夹角为一，则实数m 的值3为 __________ • 1 二 二14•已知 sin( )(0 )，则 sin( ) - ________________ . 332 615•在区间［0,1］上随机地取两个数 x, y ，则事件“ y 乞X 5 ”发生的概率为 ___________ • 16•已知在平面四边形 ABCD 中，AB = -.2 , BC=2 , AC _ CD , AC 二CD ，则四 边形ABCD 面积的最大值为 ___________ •三、 解答题 (本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.)17.已知各项均不相等的等差数列 {a n }满足a 1 =1，且a 1,a 2,a 5成等比数列.（1）求｛a n｝的通项公式;a + o *（2 ）若b n =（-1）n n口（n・N），求数列｛b n｝的前n项和S n .a n a n ■+18.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）. （1）求图中a的值；（2）根据已知条件完成下面2 2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？晋级成功晋级失败合计男16女50合计a —* ■（参考公式：2k2n(ad - bc)，其中n "bed ) (a + b)(c + d)(a +c)(b +d)2P(K >k g)0. 400. 250. 150. 100. 050. 025k0. 780 1 . 3232. 0722. 7063. 8415. 024（3 ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）.19.如图1，四边形ABCD 中，AC _ BD，CE 二2AE 二2BE 二2DE 二2，将四边形ABCD沿着BD折叠，得到图2所示的三棱锥A-BCD，其中AB—CD .(1) 证明：平面ACD _平面BAD ;(2) 若F 为CD 中点，求二面角 C - AB - F 的余弦值.(1)求点M 的轨迹;(2)若m =1时得到的曲线是 C ，将曲线C 向左平移一个单位长度后得到曲线 E ，过点P( -2,0)的直线l i 与曲线E 交于不同的两点 人(为，力)，B(X 2, y 2)，过F0 的直线AF , BF21. 设函数 f(x)=xln(x-1)-a(x-2). (1 )若a =2017,求曲线f (x)在x=2处的切线方程； (2)若当X —2时，f(x) _0,求〉的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 .选修4-4 :坐标系与参数方程X = —t已知直线l 的参数方程是2_(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为|y 出 t +M I. 2= 4cos( ).4(1) 求圆心C 的直角坐标；20.设点M 到坐标原点的距离和它到直线I : x = _m(m . 0)的距离之比是一个常数分别交曲线E 于点D,Q ，设孔石，BF FQ ，「■匸R ，求:八］的取值范围. D(2)由直线I上的点向圆C引切线，求切线长的最小值.23.选修4-5 :不等式选讲已知函数f (x) =|2x — a|，a .(1 )若不等式f(x)空6的解集为｛x|_2空x乞3｝，求实数a的值;(2 )在(1)的条件下，若存在实数n使f(n )^m_f (一n)成立，求实数m的取值范围.试卷答案1. B 【解析】因为A = {x 3x c16,x w N}= {0,1,2}，B = {x x2 -5x +4 v O}= {x 1 c x c4},故*B =& x±或x兰4＞，故AI ($B )」O,1}，故AI (g B )的真子集个数为3,故选B.2. C 【解析】设z 二a • bi，(a,b •二R)，贝U N 二a b ,i 又z 一z -2 一z • i，a2 b2 =2a 2 -b 1 i , a =1,b =1,故z =1 i .故选C.1 6 13. B【解析】(2x)，展开式中的第r 1项为T r 1二C6 (-)6丄(2x)r㊁x2v ,x x令2r _6=0可得r =3，故展开式中的常数项为160.4. D 【解析】0, (I)10, (I)0=1,即0 ：：：a : 1，同理b • 1,而c ：：：0 ,因此b a c.2 25. C 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为S = 3 3 4 3 2 4 4 6 =105 12 2，故选C.6. B【解析】开始a =675, b=125;第一次循环：c=50, a =125, b =75;第二次循环：c=50, a =75, b =50;第三次循环：c=25, a =50, b =25;第四次循环：c=0, a =25, b =0.退出循环，输出a =25.7. D【解析】f (x) = •.3cos2x-sin2x=2cos(2x )图象向左平移t(t 0)个单位得到6f (x)二2cos(2 x 2t )为奇函数，所以2t最小值二t_二.选D.6 3 68. C【解析】由分层抽样方法知抽样比例为25:1 ,故从高一、高三抽取40,24 ,故a=40,b=24,•••直线ax by -8=0为40x • 24y^0 ,化简为5x 3y •仁0，圆心A(1,_1)到直线1的距离为"-匕31 -3炉,所求的半径为R=2W34 ,所求的圆的方程为455^32 34 342 2 18(X -1)2(y 1)2二万.9.A【解析】不等式组x_y_2W0表示的平面区域如图中直线x_2y・3=0与直线x_y_2=0X _2y +3》0所夹的点A的左边部分，由于目标函数z=2x_3y的最大值是2，作出直线2x _3y =2见图中4 - y -2三0虚线，可知点C是直线x _y _2 =0与2x_3y =2的交点，从而知点C是不等式组ax y>4x _2y - 3>0 表示的平面区域的最下方的一个点，直线ax ・y=4过定点B(0,4)又过点C(4,2)，所以得1a .210.A【解析】易知正三棱锥A-BCD中对棱互相垂直，则有AC_ BD ,因为AP CQ5，所以PQ//AC，而DP _PQ，所以DP _ AC ,所以AC _ 平面ABD , PB QB又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥 A - BCD的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A-BCD补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故2^,3，由正方体的性质可知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥的高，所以高为11. D【解析】由题意得直线l的方程是y=x—2a,由化^一2a得/ _12ax+4a2=0，又由直y 二8ax8a线1被抛物线C1截得的线段长是16,得12a •三来，得a =1 ,从而知抛物线q的准线方程是x二_2，由题意可以得双曲线的一个焦点是(_2,0)，即有c=2 , b2*-a2 =4-1=3 , 双曲线C2的渐近线方程是y=M§x.又知点P(0,-2)，从而有^-^^=^1，故选D.12.B【解析】因为-x1, x^ R，且x<" x2，所以不妨设x<:: x2，则由| 一卜：2017 捲_ x2可得I f (x,) - f (x2)| ：：2017x2 -2017x ,f (xj - f (x2) ：： 2017x2- 2017% 是f (xj - f(x2) 2017N-2017X2'1f(x 1) 2017% ：： f(x 2) 2017x 2即1' 2，2.构造函数g(x)二f(x) • 2017x ，则由单调性的定义[f (xj —2017% > f (x 2) —2017X 2可知g(x)在R 上单调递增，所以g (x)二f (x)2017 _ 0在R 上恒成立，即f (x) _ -2017在R 上恒成立，同理可证f (x)乞2017在R 上恒成立，所以 P 等价于“ W x ^RI f (x)|兰2017”，显然Q 是P 的真子集，所以 P 推不出Q ，而Q 可以推出P ， 所以P 是Q 的必要不充分条件• 13. 3【解析】由cos 怕,b ，得<3. m 二，从而解得m =亡 或m 3 (舍去)3 I a || b | 3m 2 123314. 2 2【解析】因为31cos( ) =cos[( )] =si n()，且：为锐角，6 2333所以3忖小(1)22.2A15. 丄 【解析】在区间1.0,11上随机地取两个数 x 、y 构成的区域的面积为1，事件6“ y 乞x 5 ”发生构成的区域的面积为 1 x 5dx =1 x 610 =丄，所以所求概率为 丄•6 6 616..10【解析】设.ABC 7," (0,二),则在 ABC 中，由余弦定理可得AC 2 二 AB 2 • BC 2 -2AB BCcos^ - 6-4、、2cos^ ,从而四边形 ABCD 的面积1S= S A B 扌 S Ar D ( A B BfeC3n+■ A C 化简得S =丄(2 一2sin 6—4,2 cos^) = 3 、. 2(sin v - 2cos r ) =3 . 10sin(- J ,其中 2 tan =2，当 sin(■「)=1 时，S 取得最大值 3r10.17•【解析】(i)设等差数列｛a n ｝的公差为d ，由题意得a ； = a 1a 5，即(1 • d)2 =1 • 4d , 解得d =2或d = 0 (舍)，所以a n =2n -1.(n)由 a . =2n -1，可得当n 为偶数时,b n 十$a n a n 1 a n a n 1十1)n4n(2n -1)(2n 1)1 2n 1=—1 —-根据上表数据代入公式可得K =2100 (16 41 -34 9)25 75 50 502.613 2.072所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关. （III ）由频率次考试的所有人员中，随机抽取 1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75,故X 可视为服从二项分布,3 3 1即 X : B(4,—) , P(X =k) =C ；( )k ( )4°(k=0,1,2,3),4 4 4故 P(X =0) =C 4)(7)0(1)4二,P(X =1)七(3用)34 4 2564 42,3、2,1、2P(X =2) 乂4(：)(;) 4 4P(X =4) =C ：(；)4(；)°4 464， 10854,P(X =3)19.【解析】（I ）因为 AE _ BD 且BE 二DE ，可得 ABD 为等腰直角三角形,则 AB _ AD ，又 AB — CD ，且 AD 、CD 平面 ACD , AD 门 CD = D , 故AB —平面ACD ，又AB 平面BAD ,当n 为奇数时，n ・1为偶数，于（n ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 0.20 0.05二0.25,故晋级成功的人数为100 0.25 = 25 （人）, 故填表如下1 1 1 1 1『（八3）（3 5）二万）川（冇R ） 2n 2n 12n 1 11 11 1 1 15 = ( -1) ( ) () -()3 3 55 72n-1 2n+118.【解析】(I )由频率分布直方图各小长方形面积总和为(2a 0.020 0.030 0.040) 10 =1，故 a =0.005.2n —1 2n 1 2n 11，可知2n 22n 1假设“晋级成功”与性别无关,2故X 的分布列为256 ' E(X)=43=3 或(E(X)10 — 1 竺 2 1083-814=3.4256 64 2562562565所以平面ACD _平面BAD .(n)以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向，ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为 G ，根据对称性，显然 G 点在x 轴上，设AG 二h •由 题设条件可得下列坐标:E(0,0,0)，C(2,0,0)，B(0, -1,0)，D(0,1,0)，A(..1-h 2,0,h)， 叫,°).此(Em ，DC %, J 。
安徽省池州市高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2020届安徽省池州市高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{(,)|210},A x y x y =-+={(,)|0}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{1,1}x y == B ．{1,1}C ．{(1,1)}D ．∅【答案】C【解析】根据集合A 和集合B 所表示的意义，根据集合的交集运算，得到答案. 【详解】因为集合{(,)|210},A x y x y =-+={(,)|0}B x y x y =-=集合A 表示满足210x y -+=的点的集合，即直线210x y -+=的图像， 集合B 表示满足0x y -=的点的集合，即直线0x y -=的图像， 所以A B I 表示两条直线的交点，解2100x y x y -+=⎧⎨-=⎩，得11x y =⎧⎨=-⎩所以{(1,1)}A B =I . 故选：C. 【点睛】本题考查集合的描述法，集合交集的运算，属于简单题. 2．已知复数32(1)iz i =-，则z 在复平面内对应点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】对复数z 进行化简，从而得到z ，再得到z 在复平面内对应点所在的象限. 【详解】()322(1)21i iz i i i ==---()()111ii i +=-+-1122i =--，则1122z i=-+，z在复平面内对应点为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，在第二象限故选B.【点睛】本题考查复数的计算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.3．如图所示，ABCV中，2,AB=2,AC=120BAC︒∠=，半圆O的直径在边BC 上，且与边AB，AC都相切，若在ABCV内随机取一点，则此点取自阴影部分（半圆O内）的概率为（）A．3πB．3πC．4πD．3π【答案】A【解析】根据条件得到半圆O的半径，然后计算出ABCV的面积和半圆O的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】如图所示，1OA=，60OAC︒∠=，32r OD==，所以ABCV的面积132232S=⨯⨯⨯=，半圆O的面积21328S rππ'==，根据几何概型公式得：33883SPSππ'===.故选：A.【点睛】本题考查求几何概型-面积型的概率，属于简单题4．将函数()y f x =的图象向左平移4π后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，若2C 的解析式为cos y x =，则()f x 的解析式为（ ） A ．sin 4y x = B ．cos 2y x =C ．sin 2y x =D ．cos 4y x =【答案】C【解析】将2:cos C y x =横坐标压缩到原来的一半得到1C ，再向右平移4π得到函数()f x【详解】先将2:cos C y x =图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半得到曲线1:cos 2C y x =，再将曲线1:cos 2C y x =上所有的点向右平移4π得到 函数()cos 2sin 24f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查根据三角函数的图像变换求变换前的解析式，属于简单题. 5．函数()ln(31)f x x =-的定义域为（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】根据函数解析式，得到2140310x x ⎧-≥⎨->⎩，解出x 的取值范围，得到()f x 定义域.【详解】因为函数()ln(31)f x x =-有意义，所以2140310x x ⎧-≥⎨->⎩，解得112213x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩所以解集为1132x <≤ 所以()f x 定义域为11,32⎛⎤⎥⎝⎦， 故选：B. 【点睛】本题考查求具体函数定义域，属于简单题.6．已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】先得到双曲线C 的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到a 和c 的关系，求出离心率，得到答案. 【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为b y x a =±因为两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，所以点(,0)a 到直线b y x a =的距离等于半径2b即2ab b d c ===，又因为222c a b =+ 整理得到2c a =， 故双曲线C 的离心率为2ce a==. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题.7．已知实数x，y满足不等式202501x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3yzx=+的最大值为（）A．35B．45C．34D．32【答案】C【解析】根据约束条件画出可行域，目标函数3yzx=+转化为点(),x y与()3,0-连线的斜率，从而求出其最大值.【详解】根据约束条件202501x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩画出可行域，图中阴影部分为可行域，目标函数3yzx=+，表示可行域中点(,)x y与(3,0)-连线的斜率，由图可知点(1,3)P与(3,0)-连线的斜率最大，故z的最大值为34，故选：C.【点睛】本题考查线性规划求分式型目标函数的最大值，属于中档题.8．如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（）A ．最小长度为8B ．最小长度为2C ．最大长度为8D ．最大长度为42【答案】B【解析】设,BC a =CD b =，得到4ab =，所求的篱笆长度为2a b +，根据基本不等式，得到最小值. 【详解】设,BC a =CD b =，因为矩形的面积为4，所以4ab =， 所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为442222a b a a a a+=+≥⋅42= 当且仅当42,a a=即2a =. 故选：B. 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题. 9．若3sin 122πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．12-C ．3 D ．3 【答案】A【解析】根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案. 【详解】因为3sin 122πα⎛⎫-=⎪⎝⎭， 所以23cos 2126πα⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12=- 2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题. 10．若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( ) A ．a b c >> B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】D【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x x x=+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系. 详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+，令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小. 11．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中错误的是（ ）A ．若为的外心，则B ．若为等边三角形，则C ．当时，与平面所成角的范围为D ．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为 【答案】B【解析】利用射影相等可知，利用反证法可知不成立，构造线面角，可得其正弦值的范围为，故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行的中位线.【详解】 若为的外心，则，由射线相等即可知，故A 正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故B 错误； 当时，，，过作，连结，易知为与平面所成角，，故的范围为，故C 正确； 取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，其长度为，故D 正确【点睛】本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.12．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>5，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =u u u r u u u r，则直线AB 的斜率为（ ）A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．16【答案】B【解析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时，设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题.二、填空题13．等腰直角三角形ABC 中，90,C ︒∠=CA CB ==CA AB ⋅=u u u r u u u r________.【答案】-2.【解析】先求出AB u u u r ，再根据向量数量积公式，求出CA AB ⋅u u u r u u u r的值，得到答案.【详解】等腰直角三角形ABC 中，90,C ︒∠=CA CB ==，所以2AB =u u u r所以()cos CA AB CA AB A π⋅=⋅⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22⎛=⨯=- ⎝⎭.故答案为：2- 【点睛】本题考查计算向量的数量积，属于简单题.14．sin 613cos1063tan30︒︒︒++的值为________.【解析】根据诱导公式，进行化简，从而得到答案. 【详解】sin 613cos1063tan30︒︒︒++()sin 253cos 17tan30︒︒︒=+-+ ()sin 73cos 17tan30︒︒︒=-+-+=cos17cos17tan30︒︒︒-++=【点睛】本题考查诱导公式化简，特殊角三角函数值，属于简单题. 15．数列{}1(252)2n n --的最大项所在的项数为________.【答案】11.【解析】1(252)2n n a n -=-，2n ≥时，11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，得到关于n 的不等式组，解得n的范围，结合*n ∈N ，得到n 的值，再与1n =时进行比较，得到答案. 【详解】令1(252)2n n a n -=-，当2n ≥时，设n a 为最大项，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩即121(252)2(272)2,(252)2(232)2,n n n nn n n n ---⎧-≥-⎨-≥-⎩ 解得212322n ≤≤. 而*n ∈N ，所以11n =又1n =时，有122342a a =<=， 所以数列{}1(252)2n n --的最大项所在的项数为11.故答案为：11 【点睛】本题考查求数列中的最大项，属于简单题.16．已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，5,PA BC ==PB AC ==PC AB ==，则球O 的表面积为________.【答案】29π【解析】将三棱锥P ABC -补成长方体，根据棱长求出外接球的半径，然后求出外接球的表面积，得到答案. 【详解】如图所示，将三棱锥P ABC -补成长方体， 球O 为长方体的外接球，边长分别为a ，b ，c ，则222222251320a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩， 所以22229a b c ++=，所以292R =， 则球O 的表面积为24S R π=2294π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭29π=.故答案为：29π.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，属于中档题.三、解答题17．已知等比数列{}n a 各项均为正数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且116,a =328S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12log n n b a =，求数列{}nb 的前n 项和n T .【答案】(1) 52nn a -=()*n ∈N ；(2)292n n -. 【解析】（1）设等比数列公比q ，根据116,a =328S =，得到关于q 的方程，解出q ，从而得到数列{}n a 的通项公式；（2）写出n b 的通项，根据等差数列的求和公式，得到答案. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为116a =，328S =， 所以()216128q q++=，因为{}n a 各项均为正数 解得12q =（负值舍去）， 所以151122n n n a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭()*n ∈N ；（2）由已知得，12log n n b a =512log 2n-=5n =-，所以{}n b 为等差数列，所以(45)2n n n T -+-=292n n-=. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，等差数列求和公式，属于简单题. 18．如图所示，在ABC V 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，37BD CD =ABD △的面积. 【答案】(1)7b =21；3【解析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到3BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积. 【详解】（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=， 所以在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=， 因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=， 所以1cos 2B =-， 又0B π<<，所以23B π=， 由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，所以b =，在ABC V 中，由正弦定理sin sin c bC B=， 所以sin sin c B C b=22sin π=7=； （2）在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD CCD CBD=∠，因为BD CD =sin sin C CBD =∠，因为sin 7C =，所以sin 1CBD ∠=， 而()0,CBD π∠∈ 所以2CBD π∠=，由BD CD =,BD=CD =，所以222)1)+=，所以12t =，所以BD =， 因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6π=， 所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⨯⨯∠V 11222=⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.19．如图，三棱锥D-ABC 中，2,AB AC ==BC =3DB DC ==，E ，F 分别为DB ，AB 的中点，且90EFC ︒∠=.（1）求证：平面DAB ⊥平面ABC ； （2）求二面角D-CE-F 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 370-. 【解析】（1）取BC 的中点G ，可得BC AG ⊥，BC DG ⊥，从而得到BC ⊥平面DAG ，得到BC DA ⊥，由DA EF ∥，EF CF ⊥，得到DA CF ⊥，从而得到DA ⊥平面ABC ，所以平面DAB ⊥平面ABC ；（2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到120BAC ︒∠=，5DA =，得到DCE 的法向量1n u r，平面FCE 的法向量2n u u r，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角D CE F --的余弦值【详解】（1）如图取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，因为2AB AC ==，所以BC AG ⊥， 因为DB DC =，所以BC DG ⊥，又因为AG DG G =I ，所以BC ⊥平面DAG ，DA ⊂平面DAG所以BC DA ⊥.因为E ，F 分别为DB ，AB 的中点，所以DA EF ∥. 因为90EFC ︒∠=，即EF CF ⊥， 则DA CF ⊥.又因为BC CF C =I ， 所以DA ⊥平面ABC ， 又因为DA ⊂平面DAB ，所以平面DAB ⊥平面ABC .（2）因为DA ⊥平面ABC ，则以A 为坐标原点，过点A 与AC 垂直的直线为x 轴，AC 为y 轴，AD 为z 轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系.因为2,AB AC ==3,BC =3DB DC ==， 在ABC ∆中，222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⋅4412222+-=⨯⨯12=-， 所以120BAC ︒∠=.在Rt DAB ∆中，2232DA =-5=所以点(0,0,0)A ，5),D (0,2,0),C 3,1,0)B -，315,,222E ⎛- ⎝⎭31,022F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面DCE 的法向量为()1111,,,n x y z =u r(0,2,5),DC =u u u r 315,,222DE ⎛=-- ⎝⎭u u u r . 所以1100DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v ，即1111125031502y z x y z ⎧=--=， 可取1(15,5,2)n =u r.设平面FCE 的法向量为()2222,,,n x y z =u u r35,0,2FC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r 5FE ⎛= ⎝⎭u u u r .所以2200FC n FE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u v u u u v u u v ，即222350250x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪， 可取2(5,3,0)n =u u r，则12222221555320cos ,155253n n ⨯+⨯+⨯<>=++⨯+u r u u r370=因为二面角D CE F --为钝二面角，所以二面角D CE F --的余弦值为370-. 【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中档题.20．高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：9[80,0) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].其中a ，b ，c 成等差数列且2c a =.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数 6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； （2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X 为抽到两个“优”的学生人数，求X 的分布列和期望值.【答案】（1）117.8（分）；（2）75分；（3）见解析.【解析】（1）根据频率之和等于1，a ，b ，c 成等差数列，2c a =，解出,,a b c 的值，利用频率分布直方图，求出平均分；（2）根据物理成绩统计表，得到中位数所在的成绩区间，得到答案；（3）根据数学成绩“优”和物理成绩“优”，得到两科均为“优”的人数，计算出每种情况的概率，写出分布列，得到期望值. 【详解】（1）根据频率分布直方图得，()20.0240.0200.04101a b c +++++⨯= 又因2,a c b +=2c a =，解得0.008,a =0.012,b =0.016c =， 故数学成绩的平均分850.04950.121050.161150.21250.241350.161450.08x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯117.8=（分）， （2）总人数50分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间[70,80)， 所以物理成绩的中位数为75分.（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人， 因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学， 故两科均为“优”的人数为3人， 故X 的取值为0、1、2、3.33361(0),20C P X C ===1233369(1),20C C P X C ===2133369(2),20C C P X C ===33361(3)20C P X C ===.所以分布列为：期望值为：1991()012320202020E X =⨯+⨯+⨯+⨯32=. 【点睛】本题考查频率分布直方图的特点，根据频率分布直方图求平均值，根据统计表求中位数，求随机变量的分布列和数学期望，属于简单题.21．已知函数3()sin f x x x =-，()f x '为()f x 的导函数. （1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）求证：()f x '在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有两个零点.【答案】（1）y x =；（2）证明见解析.【解析】（1）对()f x 求导，得到()f x '，代入0x =得到切线斜率，利用切点()0,0，点斜式写出切线方程，得到答案；（2）根据()f x '解析式，得到()f x '为偶函数，且(0)1f '=，对()f x '求导，得到()f x ''，判断出()f x ''的正负，得到()f x '的单调性，结合02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，由零点存在定理得到()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，从而得到()f x '在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有两个零点.【详解】（1）()2cos 3,f x x x '=-()01f '=，又()00f =，所以切点为()0,0.故()f x 在0x =处的切线方程为y x =；（2）2()cos 3,f x x x '=-因为()f x '为偶函数，且()01f '=，则只需证明()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点即可. ()sin 6f x x x ''=--，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x ''<，故()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因为()010f '=>，23022f ππ⎛⎫⎛⎫'=-⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由零点存在定理，可知存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=，所以()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点， 因此()f x '在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有两个零点.【点睛】本题考查通过导数的几何意义，求函数图像上在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和零点，零点存在定理，属于中档题.22．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.【答案】（1）2211612x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，得到||1PM r =+，||7PN r =-，从而得到||||8PM PN +=，得到28,2a c ==，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线l 斜率存在时，设:(l y kx m m =+≠±，代入椭圆方程，得到12x x +，12x x ，表示出直线QA 与直线QB 的斜率，根据2Q QA B k k +=-，得到k ，m 的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l 斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点. 【详解】（1）设动圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆M 外切，所以||1PM r =+， 因为动圆P 与圆N 内切，所以||7PN r =-， 则||||(1)(7)8||4PM PN r r MN +=++-=>=，由椭圆定义可知，曲线C 是以(2,0)M -、(2,0)N 为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，设椭圆方程为22221x y a b+=(0)a b >>， 则4a =，2c =，故22212b a c =-=，所以曲线C 的方程为2211612x y +=. （2）①当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx m =+，m ≠± 联立2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()2223484480k x kmx m +++-=，设点()11,,A x y ()22,B x y ，则122212283444834km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12Q QA B k k +=()()21212112x kx m x kx m x x +-++-=()1212122(2kx x m x x x x +-+==-，所以()1212(22)(0k x x m x x ++-+=，即2224488(22)(03434m km k m k k--++-=++，得212120m k -+-=.则((0m m m +-+-=，因为m ≠0m +=.即m =--直线:l y kx =--(k x =--，所以直线l过定点(-.②当直线l 斜率不存在时，设直线:(0)l x t t =≠，且44t -<<，则点,,A t ⎛ ⎝B t ⎛ ⎝QA QB k k +==2=-，解得t =，所以直线:l x =(-.综上所述，直线l过定点(-.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过定点问题，属于中档题.。
安徽省示范高中2013届高三第一次联考数学理试题(WORD版)
安徽省示范高中 2013届高三第一次联考数学（理）试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第II 卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰：作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚：必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4．考试结束．务必将试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R ，集合{||11},{|2,1},()xU A x x B y y x A C B =-≤==<⋂集合则=A ．{|02}x x <<B ．∅C ．{0，2}D ．{|02}x x x ≤≥或2．函数()lg f x x=的定义域是 A ．（0，2） B ．（0，1）∪（1，2）C ．(0,2]D ．（0，1）∪(0,2]3．若函数211(),(())ln 1x x f x f f e x x ⎧+≤=⎨>⎩则=A ．0B ．1C ．2D ．2ln(1)e +4．设01,a a >≠且则“函数()x f x a =在R 上是增函数”是“函数()ag x x =在R 上是增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数2||()2x f x x =-的图像为6．设121333211(),(),(),,,333a b c a b c ===则的大小关系是A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．若函数32121212()1,()[()()]0f x x x mx x x R x x f x f x =+++∈-->对任意满足，则实数m 的取值范围是A ．1(,)3-∞B ．1(,)3+∞C ．1(,]3-∞D ．1[,)3+∞8．已知集合{0,1,2,3},{(,)|,,,}A B x y x A y A x y x y A ==∈∈≠+∈集合，则B 中所含元素的个数为 A ．3B ．6C ．8D ．109．若函数2()2f x x x m =++的最小值为0，则1()f x dx ⎰=A ．2B ．13C ．73D ．8310．若曲线1122(,)y x a a --=在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a=A ．8B ．16C ．32D ．64第Ⅱ卷（非选择题，共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
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安徽省池州市
2013届高三上学期期末统考
数学 (理) 试题
（时间：120分钟 分值：1150分）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核准条形码上的考场
座位号、姓名及科目。
2．选择题部分必须使用2B 铅笔真涂，非选择题必须使用0 .5毫米黑色签字笔书写，字
体工整，字迹清楚；
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿
纸、试题卷上答题无效；
4．保持卡在清洁，不折叠、不破损。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
） 1．I 是虚数单位，复数i
i
z +=1对应的点在
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知P 、Q 是两个集合，且满足Q P Q P = ，则P 与Q 的关系为 （ ）
A ．
B ．
C ．P=Q
D ．不确定
3．已知21,θθ是两个单位向量，1θ与2θ的夹角为60o ，212θθα+=，则等于
（ ）
A ．7
B ．7
C ．3
D ．3
4．已知P 是圆12
2
=+y x 上的动点，则P 点到直线022:=-+y x l 的距离的最小值为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．22
5．曲线nx x y 12
+=在点（1，1）处的切线方程为
（ ）
A ．3x －y －2=0
B ．x －3y+2=0
C ．3x+y －4=0
D ．x+3y －4=0 6．已知{a n }为等差数列，a 4+a 7+a 10=30，则a 3－2a 5的值为 （ ） A ．10 B ．-10 C ．15 D ．-15
7．已知θ是三角形中的最小角，则)3
sin(π
θ+的取值范围是
（ ）
A ．⎥⎦
⎤
⎝⎛1,23 B ．⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡1,23 C ．⎥⎦
⎤ ⎝⎛1,2
1
D ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1,2
1
8．一个几何体的三视图均为直角三角形，尺寸如图所示，则这个几何体的体积是 （ ） A ．20cm 3
B ．40 cm 3
C ．60 cm 3
D ．80 cm 3
9．已知,0
.,10
6
13sin )(⎪⎩⎪⎨⎧
≤≤-=x gx x xx x f 若函数k x f x g --)()(有三个不同的 零点，则k 的取值范围是
（ ） A ．1->k
B ．211<
<-k
C ．2
1
1-
≤<-k 或10<<k D ．2
1
1-<<-k 或10<<k
10．2012年10月18日全国第二届绿色运动会在池洲隆垦开幕。
本次大会的主
题是“绿色、低碳、环保”，为大力宣传这一主题，主办方将这6个字做成灯笼悬挂在主会场（如图所示），大会结束后，要将这6个灯笼撤下来，每次撤其中一列最下面的一个，则不同的撤法种数为（ ） A ．36 B ．54 C ．72 D ．90
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的横线上。
11．命题“01,2
>++∈∀x x R x ”的否定是 。
12．执行右边的程序框图，则输出的结果是 。
13．已知x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥+≤-010302y x x y ，
则
4
2
--x y 的取值范围是 。
14．已知a ＞0，椭圆112
2
2=++y a x 的离心率为1θ，双曲线1222=-y a
x 的 离心率为2θ，则41θ+2θ的最小值为 。
15．若对于定义在R 上的连续函数f （x ），存在常数)(R a a ∈，使得0)()(=++x af a x f 对
任意实数x 均成立，则称f （x ）是回旋函数，且阶数为a ，现给出四个命题：
①f(x ）=1是－1阶回旋函数； ②f （x ）=x 2是a 阶回旋函数； ③f （x ）=4x 是2
1
-
阶回旋函数； ④f （x ）=sin （x π）是1阶回旋函数。
其中真命题的序号是 。
（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文学说明，证明过程或演算步骤。
解
答应写答题卡指定的区域内。
16．（本小题满分12分） 已知α
α
απβαsin 42cos 23)(),,0(,-=
∈f 。
（Ⅰ）用αsin 表示)(αf ；
（Ⅱ）若βαsin )(=f ，求α及β的值。
17．（本小题满分12分） 某数学兴趣小组由甲、乙、丙三人组成，一次老师给这个兴趣小组布置一道探究题，假
定甲、乙、丙三人各自独立地正确解答此题的概率分别为
.2
1
,21,43 （Ⅰ）求此道题被此兴趣小组正确解答的概率； （Ⅱ）设此兴趣小组中能正确解答此题的人数为X ，求X 的分布列和数学期望。
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD, ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AD=AB=PA=1，BC=2，E 为AB 中点，F 为PC 中点。
（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面PAB ； （Ⅲ）求二面角E －PC －A 的大小。
19．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，点A （m ，2）
在抛物线上，A 点到抛物线焦点的距离为
8
17。
（Ⅰ）求抛物线C 的方程及m 的值；
（Ⅱ）若过点M )2
5
,1(-的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，P 点坐标为（1，2），求
证：，为定值。
20．（本小题满分13分）
已知数列{a n }满足n n a n
a a 2
11)11(2,1+==+。
（Ⅰ）设2n
a b n
n =
，求证：数列{b n }是等比数列； （Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅲ）设n n n a a c 21-=+，求数列{c n }的前n 项和S n 。
21．（本小题满分14分） 已知x
x ax x f θ)22()(2
++=（θ为自然对数的底数）。
（Ⅰ）求f （x ）的递增区间；
（Ⅱ）当a=0时，是否存在实数k ，使不等式141)(2
++-≥+≥x x kx x f 对任意R
x ∈
恒成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由。