2020—2021年湘教版七年级数学下册《多项式的因式分解》同步练习题及答案解析一.docx
2020—2021年湘教版七年级数学下册《因式分解及其应用》综合测试题及答案解析.docx
新课标2017-2018学年湘教版七年级数学下册综合练习因式分解及其应用1.下列式子从左到右变形是因式分解的是( )A．a2+4a-21=a(a+4)-21 B．a2+4a-21=(a-3)(a+7)C．(a-3)(a+7)=a2+4a-21 D．a2+4a-21=(a+2)2-252.下面分解因式正确的是( )A．x2+2x+1=x(x+2)+1 B.(x2-4)x=x3-4xC.ax+bx=(a+b)xD.m2-2mn+n2=(m+n)23.若代数式x2+ax可以因式分解，则常数a不可以取( )A．-1 B．0 C．1 D．24.下列各式不能用平方差公式因式分解的是( )A.-y2+1B.x2+(-y)2C.m2-n2D.-x2+(-y)25.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )A．-a2-4ab+4b2B．a2+6ab-9b2C．a2+6a+9b2D．4（a-b）2+4（a-b）+16.若多项式ax2+bx+c可分解为(1-3x)2，那么a、b、c的值分别为( )A.-9，6，-1B.9，-6，1C.9，6，1D.9，6，-17.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是( )A.99×(57+44)=9 999B.99×(57+44-1)=9 900C.99×(57+44+1)=10 098D.99×(57+44-99)=1988.(-12)2 015+(-12)2 016的结果是( )A.-12 B.12 C.(12)2 015D.-(1 2)2 0169.将3a2（x-y）-6ab（y-x）用提公因式法因式分解，应提出的公因式是__________.10.计算：32×3.14+3×(－9.42)=__________.11.因式分解：x2+3x(x-3)-9=__________.12.设a＝192×918，b＝8882-302，c＝1 0532-7472，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是__________＜__________＜__________．13.若x2+(m-3)x+4是完全平方式，则数m的值是__________.14.如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是____________________.15.58-1能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是__________.16.若a※b=a2-ab2，则x2※y所表示的代数式因式分解的结果是__________.17.因式分解：（1）4a2b2-12ab2+24ab3c; (2)4x(y-x)-y2;(3)x2-(y-1)2; (4)(a2+1)2-4a(a2+1)+4a2.18.用简便方法计算：（1）15×1012-992×15; (2)14×8.92-8.9×2.9×12+14×2.92.19.若|a+b-6|+(ab-4)2=0，求-a3b-2a2b2-ab3的值.20.已知a2+b2+8a-6b+25=0，求(a+b)2 014的值.21.春蕾中学正在新建一栋食堂，在施工过程中，需要浇制三种半径分别为0.21 m，0.35 m，0.44 m的钢筋圆环，每种圆环都需要20个，则所需钢筋共有多长？22.阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax 的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）．像这样，先添一适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”因式分解：a2-6a+8;（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．参考答案1.B2.C3.B4.B5.D6.B7.B8.D9.3a(x-y) 10.011.(4x+3)(x-3) 12.a c b 13.7或-114.a2-b2=(a+b)(a-b) 15.26、24 16.x2(x+y)(x-y)17.(1)原式=4ab2(a-3+6bc).(2)原式=4xy-4x2-y2=-(2x-y)2.(3)原式=(x+y-1)(x-y+1).(4)原式=(a2+1-2a)2=(a-1)4.18.(1)原式=15×(1012-992)=15×200×2=6 000.(2)原式=14×(8.92-8.9×2.9×2+2.92)=14×(8.9-2.9)2=14×62=9.19.因为|a+b-6|+(ab-4)2=0,所以a+b-6=0,ab-4=0,即a+b=6,ab=4.又因为-a3b-2a2b2-ab3=-ab(a2+2ab+b2)=-ab(a+b)2,当a+b=6,ab=4时,原式=-ab(a+b)2=-4×6=-24.20.因为a2+b2+8a-6b+25=0,所以(a2+8a+16)+(b2-6b+9)=0,(a+4)2+(b-3)2=0.所以a=-4,b=3,(a+b)2 014=(-4+3)2 014=1.21.2π×0.21×20+2π×0.35×20+2π×0.44×20=2π×20×(0.21+0.35+0.44)=40π≈125.6(m).答：所需钢筋共有约125.6 m．22.（1）a2-6a+8=a2-6a+9-1=（a-3）2-1=（a-3+1）（a-3-1）=（a-2）（a-4）. （2）①a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×6=13.②a4+b4 =（a2+b2）2-2a2b2=132-2×62=97.。
七年级数学下册 3.1 多项式的因式分解同步练习 湘教版(2021年整理)
七年级数学下册3.1 多项式的因式分解同步练习（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（七年级数学下册3.1 多项式的因式分解同步练习（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1多项式的因式分解同步练习一、选择题（本大题共8小题）1. 把代数式xy2—9x，分解因式，结果正确的是( )A、x（y2-9）B、x(y+3)2C、x（y+3)（y-3)D、x（y+9）（y-9）2。
若m+n=3，则2m2+4mn+2n2—6的值为（）A。
12； B. 6； C。
3; D. 0；3. 下列各式从左到右的变形中,是分解因式的是（ )A、x2-9+6x＝（x+3)（x-3)+6xB、（x+5）（x-2)＝x2+3x-10C、x2—8x+16＝（x-4)2D、(x—2)（x+3)＝（x+3）（x-2）4。
在一个边长为12.75 cm的正方形纸板内，割去一个边长为7。
25 cm的正方形,剩下部分的面积等于（）A.100 cm2 B。
105 cm2 C。
108 cm2 D.110 cm25. 多项式mx+n可分解为m（x-y），则n的值为（）A。
m B.my C。
-y D.-my6. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( ）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2(a+2)+17。
下列各式从左到右的变形(1）15x2y=3x·5xy;（2）（x+y)(x—y）=x2-y2;（3）x2-6x+9=(x—3)2；（4)x2+4x+1=x(x+4+)，其中是因式分解的个数是（）A、1个B、2个C、3个 D.4个8. 把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）(x﹣3）则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3二、填空题(本大题共6小题)9。
2020—2021年湘教版七年级数学下册《因式分解》单元测试题及参考答案二.doc
新课标2017-2018学年湘教版七年级数学下册单元综合检测（三）第3章(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.下列从左到右的变形,哪一个是因式分解( )A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.x2-y2+4y-4=(x+y)(x-y)+4(y-1)C.(a+b)2-2(a+b)+1=(a+b-1)2D.x2+5x+4=x错误!未找到引用源。
2.若(m+n)3-mn(m+n)=(m+n)·A,则A表示的多项式是( )A.m2+n2B.m2-mn+n2C.m2-3mn+n2D.m2+mn+n23.下列各式不能用平方差公式因式分解的是( )A.-x2+y2B.x2-(-y)2C.-m2-n2D.4m2-错误!未找到引用源。
n24.(2013·西双版纳州中考)因式分解x3-2x2+x正确的是( )A.(x-1)2B.x(x-1)2C.x(x2-2x+1)D.x(x+1)25.把代数式3x3-6x2y+3xy2因式分解,结果正确的是( )A.x(3x+y)(x-3y)B.3x(x2-2xy+y2)C.x(3x-y)2D.3x(x-y)26.若x-y=5,xy=6,则x2y-xy2的值为( )A.30B.35C.1D.以上都不对7.满足m2+n2+2m-6n+10=0的是( )A.m=1,n=3B.m=1,n=-3C.m=-1,n=-3D.m=-1,n=3二、填空题(每小题5分,共25分)8.(2013·绵阳中考)因式分解:x2y4-x4y2= .9.(2013·菏泽中考)因式分解:3a2-12ab+12b2= .10.若x+y+z=2,x2-(y+z)2=6,则x-y-z= .11.(2013·威海中考)因式分解:-3x2+2x-错误!未找到引用源。
= .12.(2013·杭州中考)32×3.14+3×(-9.42)= .三、解答题(共47分)13.(10分)因式分解:(1)25x2-16y2.(2)(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y).(3)a2-4ab+4b2.(4)4+12(x-y)+9(x-y)2.14.(12分)利用因式分解进行计算:(1)3.46×14.7+0.54×14.7-29.4.(2)9×1.22-16×1.42.15.(12分)观察猜想:如图,大长方形是由四个小长方形拼成的,根据此图可得x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x+p)(x+q).事实上,我们也可以用如下方法进行变形:x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).于是我们可利用上面的方法进行多项式的因式分解.例:把x2+3x+2因式分解.解:x2+3x+2=x2+(2+1)x+2×1=(x+2)(x+1).请利用上述方法将下列多项式因式分解:(1)x2+7x+12.(2)x4-13x2+36.16.(13分)先请阅读下列题目和解答过程:“已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状. 解:因为a2c2-b2c2=a4-b4①,所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)②,所以c2=a2+b2③,所以△ABC是直角三角形④.”请解答下列问题:(1)上列解答过程,从第几步到第几步出现错误?(2)简要分析出现错误的原因.(3)写出正确的解答过程.答案解析1.【解析】选C.A,B中最后结果不是乘积的形式,不属于因式分解;C中(a+b)2-2(a+b)+1=(a+b-1)2,是运用完全平方公式进行的因式分解;D中不是在整式范围内进行的分解,不属于因式分解.2.【解析】选 D.因为(m+n)3-mn(m+n)=(m+n)·[(m+n)2-mn]=(m+n)·(m2+2mn+n2-mn)= (m+n)·(m2+mn+n2)=(m+n)·A,所以A表示的多项式是m2+mn+n2.3.【解析】选C.A中-x2+y2,两平方项符号相反,可以用平方差公式,正确;B 中x2-(-y)2=x2-y2,两平方项符号相反,可以用平方差公式,正确;C中-m2-n2=-(m2+n2),两平方项符号相同,故本选项错误;D中4m2-错误!未找到引用源。
湘教版七年级下册数学第3章 因式分解含答案
湘教版七年级下册数学第3章因式分解含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列因式分解正确的是（）A.x 2-x=x(x+1)B.a 2-3a-4=(a+4)(a-1)C.a 2+2ab-b 2=(a-b)2 D.x 2-y 2=(x+y)(x-y)2、下列各式从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A. B. C.D.3、将x3﹣4x分解因式的结果是（）A.x（x 2﹣4）B.x（x+4）（x﹣4）C.x（x+2）（x﹣2） D.x（x﹣2）24、下列从左到右的变形中，是分解因式的是（）A.a 2﹣4a+5=a（a﹣4）+5B.（x+2）（x+3）=x 2+5x+6C.a 2﹣9b 2=（a+3b）（a﹣3b）D.x+1=x（1+ ）5、方程x2﹣4=0的解是（）A.x=2B.x=﹣2C.x=±2D.x=±46、因式分解x2﹣9y2的正确结果是（）A.（x+9y）（x﹣9y）B.（x+3y）（x﹣3y）C.（x﹣3y）2 D.（x﹣9y）27、下列多项式能分解因式的是( )A.x 2+y 2B.-x 2-y2C.-x 2+2xy-y 2D.x 2-xy+y 28、下列因式分解正确的是( )A.2x 3y-xy 2=2xy(x 2-y)B.-xy 2+2xy-y=-y(xy-2x)C.x 2-x-5=x(x-1)-5 D.2x 2-8x+8=2(x-2) 29、下列四个多项式中，能因式分解的是（）A.a 2+1B.a 2-6a+9C.x 2+5yD.x 2-5y10、下列因式分解正确的是（）A.m 2＋n 2＝(m＋n)(m－n)B.x 2＋2x－1＝(x－1) 2C.a 2－a＝a(a －1)D.a 2＋2a＋1＝a(a＋2)＋111、下列四个多项式，哪一个是2x2+4x+2的因式？（）A.2x﹣1B.2x﹣3C.x+1D.x﹣312、下列各式中，不含因式a+1的是（）A.2a 2+2aB.a 2+2a+1C.a 2﹣1D.13、下面因式分解错误的是( )A.x 2-y 2=(x+y)(x-y)B.x 2-8x+16=(x-4) 2C.2x2-2xy= 2X(x-y) D.x 2+y 2=(x+y) 214、分解因式：2x2﹣2=（）A.2（x 2﹣1）B.2（x 2+1）C.2（x﹣1）2D.2（x+1）（x ﹣1）15、下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、分解因式：m2﹣4=________．17、分解因式：x3y﹣4xy=________．18、因式分解：2m2﹣12m+18＝________．19、因式分解：x2-9=________.20、分解因式：a2+ab=________．21、分解因式：2x2﹣8=________22、分解因式：2x3﹣2x＝________．23、分解因式：ax2﹣4a=________．24、分解因式：________ ．25、把多项式4ax2+16axy+16ay2分解因式的结果是________。
初中数学 多项式的因式分解经典习题及答案(新版)湘教版
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:下列各式由左边到右边的变形中,属于因式分解的是( )A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x试题2:下列式子是因式分解的是( )A.x(x-1)=x2-1B.x2-x=x(x+1)C.x2+x=x(x+1)D.x2-x=(x+1)(x-1)试题3:若多项式x2-px-6因式分解的结果是(x-1)(x+6),则p的值是( )A.-1B.1C.5D.-5试题4:由(x-2)(x-1)=x2-3x+2,则x2-3x+2因式分解为.试题5:若x+5,x-3都是多项式x2-kx-15的因式,则k= .试题6:如果多项式M可因式分解为3(1+2x)(-2x+1),则M= .试题7:两位同学将一个二次三项式因式分解,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9),另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)(x-4),求原多项式.试题8:已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式(x+5),且m+n=17,试求m,n的值.试题9:已知多项式x4+2x3-x+m能因式分解,且有一个因式为x-1.(1)当x=1时,求多项式x4+2x3-x+m的值.(2)根据(1)的结果,求m的值.(3)仿照(1)的方法,试判断x+2是不是多项式x4+2x3-x+m的一个因式.试题1答案:C.a(x+y)=ax+ay是将乘积的形式化成和差的形式,是多项式乘法而不是因式分解,x2-4x+4=x(x-4)+4与x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x两式的右边最终还是和的形式,所以不是因式分解,10x2-5x=5x(2x-1)满足由多项式的和差形式化为乘积形式,且等号的左边和右边相等,所以C正确.试题2答案:C.选项A是将乘积的形式化成差的形式,并且等式左右两边不相等,所以选项A错误;选项B“看起来”满足由多项式的和差形式化为乘积形式,但是x(x+1)=x2+x,与等式的左边x2-x不等,所以选项B错误;选项C满足把一个多项式化成几个整式的积的形式,且等号的左边和右边相等,所以选项C正确;选项D类同选项B,所以选项D是错误的.试题3答案:D.因为(x-1)(x+6)=x2+5x-6,所以p的值为-5.试题4答案:(x-2)(x-1)试题5答案:-2【解析】根据题意得(x+5)(x-3)=x2+2x-15=x2-kx-15,所以-k=2,解得k=-2.试题6答案:3-12x2【解析】M=3(1+2x)(-2x+1)=3(1-4x2)=3-12x2.试题7答案:【解析】设原多项式为ax2+bx+c(其中a,b,c均为常数,且abc≠0). 因为2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9)=2x2-20x+18,所以a=2,c=18.又因为2(x-2)(x-4)=2(x2-6x+8)=2x2-12x+16,所以b=-12.所以原多项式为2x2-12x+18.试题8答案:【解析】设另一个因式是x+a,则有(x+5)·(x+a)=x2+(5+a)x+5a=x2+mx+n,所以5+a=m,5a=n,这样就得到一个方程组解得所以m,n的值分别是7,10.试题9答案:【解析】(1)根据题意得x4+2x3-x+m=(x3+ax2+bx+c)(x-1),当x=1时,x4+2x3-x+m=0.(2)由(1)知m=-2.(3)由x+2=0得x=-2,当x=-2时, x4+2x3-x-2=16-16+2-2=0,所以x+2是多项式的一个因式.。
湘教版七年级数学下册期末复习：专题03 因式分解(含答案及解析)
专题03因式分解2020-2021学年七年级数学下册期末复习精选精炼练（湘教版）一、单选题1．下列选项从左到右变形是因式分解的是（ ）A ．2(2)(2)4a a a +-=-B ．24(2)(2)a a a -=+-C ．2(1)(2)2a a a a +-=--D ．23(1)3x x x x --=--【答案】B【分析】根据分解因式的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，进行作答即可．【详解】解：A 、2(2)(2)4a a a +-=-是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；B 、24(2)(2)a a a -=+-右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；C 、2(1)(2)2a a a a +-=--是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；D 、23(1)3x x x x --=--右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意； 故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义与形式． 2．若因式分解()()231x ax x x b +-=-+，则a 的值是（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．4【答案】C【分析】 根据因式分解的定义可直接进行求解．【详解】解：由()()231x ax x x b +-=-+可得：()2231x ax x b x b +-=+--， ∴1,3a b b =-=，∴2a =；故选C ．【点睛】本题主要考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解是解题的关键．3．多项式322+6+9x x y xy 与339x y xy -的公因式是（ ）A ．2(3)x x y +B ．(3)x x y +C ．(3)xy x y +D ．(3)x x y -【答案】B【分析】先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论．【详解】解：∴322+6+9x x y xy ()2269x x xy y =++()23x x y =+， 339x y xy -()229xy x y =-()()33xy x y x y =+-，∴多项式322+6+9x x y xy 与339x y xy -的公因式是(3)x x y +．故选：B ．【点睛】本题主要考查了公因式的判断，掌握因式分解的方法及公因式的概念是解题的关键．4．4x 2y 和6xy 3的公因式是（ ）A ．2xyB ．3xyC ．2x 2yD ．3xy 3【答案】A【分析】提取各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积即可．【详解】24x y 和36xy 的公因式是2xy ，故选：A ．【点睛】本题考查公因式的定义，掌握确定公因式的方法是解题关键．5．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．21x +B ．21x --C ．21x -+D ．2(1)1x +- 【答案】C【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可．【详解】解：A 、是x 2与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；B 、两项的符号相同，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；C 、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确；D 、去括号后结果为x 2，不是二项式，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点．6．下列运算正确的是（ ）A ．23235m m m +=B ．32m m m ÷=C ．()326m m m ⋅=D ．()()22m n n m n m --=-【答案】B【分析】根据同类项的定义，幂的运算法则以及完全平方式逐项计算即可判断．【详解】A. 2m 和23m 不是同类项不能合并．故该选项错误，不符合题意．B. 3232m m m m -÷==．故该选项正确，符合题意．C. ()32236167m m m m m m m m ⨯+⋅=⋅=⋅==．故该选项错误，不符合题意．D. ()()()2222m n n m m n m mn n --=--=-+-．故该选项错误，不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查同类项的定义，幂的运算法则以及完全平方式．熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 7．对于：①()2242x x -=-；②()()2111x x x -+=+-； ③()23242x x x +-=+； ④22111142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭． 其中因式分解正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：①()()2422x x x -=-+，此项错误； ②()()2111x x x -+=+-，此项正确； ③()23242x x x +-≠+，此项错误； ④22111142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，此项正确． 故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．二、填空题8．分解因式：26a a -=__________；【答案】(6)a a -【分析】找出公因式，直接提取分解因式即可．【详解】解：a 2-6a =a （a -6）．故答案为：a （a -6）．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．9．若224x y -=-，则236x y -+的值为________．．【答案】12【分析】先将236x y -+提取公因式再整体代入求解即可．【详解】∴223632x y x y -+=--（）且224x y -=- ，∴2363412x y -+=-⨯-=（），故答案为：12．【点睛】此题考查代数式求值，利用提取公因式法因式分解再整体代入求解，难度一般．10．分解因式：a 2﹣4＝_____________．【答案】（a +2）（a ﹣2）．【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可；【详解】a 2﹣4＝(a +2)(a ﹣2)．故答案为：(a +2)(a ﹣2)．【点睛】本题考查了平方差公式进行因式分解，正确掌握知识点是解题的关键；11．分解因式：2363x x ++=__________．【答案】()231x +【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，即可得到答案．【详解】解：2363x x ++， ()2321x x =++，()231x =+．故答案为：()231x +．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法进行分解因式，正确运用分解因式的方法是解题关键． 12．分解因式：a 3－4a 2＋4a ＝_________．【答案】a (a －2)2【分析】先提公因式，再运用完全平方公式．【详解】解：原式2(44)a a a =-+ 2(2)a a =-．故答案为：2(2)a a -．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．13．若3ab =，1a b +=-，则代数式22a b ab +的值等于__．【答案】-3【分析】直接提取公因式ab ，进而分解因式，把已知数据代入得出答案．【详解】解：∴ab =3，a +b =-1，a 2b +ab 2=ab （a +b ）=3×（-1）=-3．故答案为：-3．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及代数式求值，正确分解因式是解题关键．三、解答题14．因式分解（1）29x - （2）2(1)22x x --+【答案】（1）()()33x x +-；（2）()()13x x --【分析】（1）直接利用平方差分解因式得出答案；（2）将括号展开，合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出答案．【详解】解：（1）29x -=()()33x x +-；（2）2(1)22x x --+=21222x x x +--+=243x x -+=()()13x x --【点睛】此题主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键．15．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．如①和②：①ax by bx ay +++()()ax bx ay by =+++()()x a b y a b =+++()()a b x y =++②2221xy y x +-+()2221x xy y =++-()21x y =+-()()11x y x y =+++-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：22a a b b +--；（2）两个不相等的实数m ，n 满足2240m n +=．若26m m k -=，26n n k -=，求m n +和k 的值．【答案】（1）()()1a b a b -++；（2）6m n +=，2k =．【分析】（1）先分组得()22a b a b -+-，再根据平方差公式和提取公因式法进行因式分解； （2）由已知26m m k -=，26n n k -=两式相减得到22660m m n n --+=，左边分解后可得到6m n +=，再由已知26m m k -=，26n n k -=两式相加结合2240m n +=即可求得k 的值．【详解】解：（1）22a a b b +--()22a b a b =-+-()()()a b a b a b =+-+-()()1a b a b =-++；（2）∴26m m k -=，26n n k -=，两式相减得22660m m n n --+=，∴22660m n m n --+=，即()()()60m n m n m n +---=，因式分解得()()60m n m n -+-=，∴m n ≠，∴60m n +-=即6m n +=，∴26m m k -=，26n n k -=，两式相加得22662m m n n k -+-=，即()2262m n m n k +-+=， ∴2240m n +=，6m n +=，∴240664k =-⨯=，∴2k =．【点睛】本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键． 16．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小矩形，且 m n >．（以上长度单位：cm ）（1）观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以因式分解，请写出因式分解的结果；（2）若每块小矩形的面积为210cm ，四个正方形的面积和为288cm ，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【答案】（1）（m +2n ）（2m +n ）；（2）48cm【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m 2+5mn +2n 2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10cm 2，得出等式求出m +n ，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．【详解】解：（1）2m 2+5mn +2n 2可以因式分解为（m +2n ）（2m +n ）；故答案为：（m +2n ）（2m +n ）；（2）依题意得，2m 2+2n 2=88，mn =10，∴m 2+n 2=44，∴（m +n ）2=m 2+2mn +n 2，∴（m +n ）2=44+20=64，∴m +n ＞0，∴m +n =8，∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m +6n =6（m +n ）=48cm ．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．17．先化简：22121(1)24x x x x ++-÷+-，再从不等式216x --<的负整数解中选一个适当的数代入求值． 【答案】21x x -+；x 取-3，原式值为52． 【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数，即分式不为零的值，即可解题．【详解】 解：22121(1)24x x x x ++-÷+- 22214221x x x x x +--=⨯+++ 21(2)(2)2(1)x x x x x ++-=⨯++ 21x x -=+ 216x --<72x ∴>-72x ∴>-的负整数解有：-3，-2，-1， 2,1x x ≠-≠-3x ∴=- 原式21x x -=+ 3231--=-+ 52=． 【点睛】本题考查分式的混合运算、分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式进行因式分解，解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．（阅读材料） 在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如：23111111111111;;()333623231535235-==-==-==-⨯⨯等． （问题解决）利用上述材料中的方法，解决下列问题：（1）求111111261220342380++++++的值； （2）求11111141224402(1)2(1)n n n n ++++++-+的值； （3）求211111315356341n +++++-的值． 【答案】（1）1920；（2）22n n +；（3）21n n +． 【分析】 （1）根据题目中的式子特点，先分解，然后裂项，再计算即可解答本题； （2）先提出12，然后裂项计算即可解答本题； （3）根据题目中式子的特点，先裂项，然后计算即可解答本题．【详解】解：（1）111111261220342380++++++＝111223+⨯⨯+134⨯+…+1118191920+⨯⨯ ＝1﹣1111122334+-+-+…+111118191920-+- ＝1﹣120＝1920； （2）11111141224402(1)2(1)n n n n ++++++-+ ＝12×[1112612+++…+1n(n 1)+] ＝12×[111223+⨯⨯+134⨯+…+1n(n 1)+] ＝12×（1﹣1111122334+-+-+…+111n n -+） ＝12×（1﹣11n +） ＝12×111n n +-+ ＝22n n +； （3）211111315356341n +++++-＝111335+⨯⨯+157⨯+…+1(21)(21)n n -+ ＝12×（1﹣1111133557+-+-+…+112121n n --+） ＝12×（1﹣121n +） ＝12×221n n + ＝21n n +． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．。
2020—2021学年湘教版数学七年级下册第3章《因式分解》常考题(解析版)
2020—2021学年湘教版数学七年级下册第3章《因式分解》常考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一，单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．（x+y）（x-2y）=x2-xy+y2B．3x2-x=x（3x-1）C．（a-b）2=（a-b）（a-b）D．25（x-2y）2-4（2y-x）2【答案】B【分析】认真审题，根据因式分解的定义，即：将多项式写成几个因式的乘积的形式，进行分析，据此即可得到本题的答案．【详解】解：A．结果不是乘积的形式，故不符合；B．符合因式分解的定义，故符合；C．两边都是乘积的形式，故不符合；D．没有进行变形，故不符合；故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，即：将多项式写成几个因式的乘积的形式，牢记定义是解题的关键，要注意认真总结．2．4x2y和6xy3的公因式是（）A．2xy B．3xy C．2x2y D．3xy3【答案】A【分析】提取各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积即可．【详解】和的公因式是，故选：A．【点睛】本题考查公因式的定义，掌握确定公因式的方法是解题关键．3．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）【答案】B【分析】此题可将x﹣y的形式化成﹣（y﹣x），然后提取公因式（y﹣x），据此可解此题．【详解】﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y），＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（y﹣x），＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）．故选：B．【点评】此题考查的是因式分解，先观察题意找出公因式y﹣x，然后提取公因式．4．下列各式：①﹣x2﹣y2；①﹣a2b2+1； ①a2+ab+b2； ①﹣x2+2xy﹣y2；①﹣mm+m2n2，用公式法分解因式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．【详解】解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；①﹣a2b2+1＝1﹣＝（1+ab）（1﹣ab），因此①能用公式法分解因式；①a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此①不能用公式法分解因式；①﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此①能用公式法分解因式；①﹣mm+m2n2＝（﹣mn）2，因此①能用公式法分解因式；综上所述，能用公式法分解因式的有①①①，故选：B．【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握公式的结果特征是应用的前提．5．若实数，满足方程组，则的值为（）A．20B．15C．D．10【答案】B【分析】直接利用整体思想得出ab ，a +b 的值，进而分解因式得出答案．【详解】解：①，①，①a 2b -ab 2=ab （a -b ）=3×5=15．故选：B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及整体思想的应用，正确解方程组是解题关键．6．已知x 2+kx +9可以用完全平方公式进行因式分解，则k 的值为（ ）A ．3B ．±3C ．6D ．±6 【答案】D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k 的值．【详解】解：①x 2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，①k=±6，故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7．如果多项式221155abc ab a bc -+-的一个因式是，那么另一个因式是（ ） A ．B ．5c b ac +-C ．D ． 【答案】A【分析】该多项式是有公因式的，提取公因式即可得．【详解】解：原式=()155ab c b ac --+故选A【点睛】本题考查了提取多项式公因式；关键在于能够找到公因式并正确的提取公因式．8．若二次三项式可分解为，则a+b的值为（）A．B．1C．D．2【答案】A【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：（x-2）（x+b）=x2+（b-2）x-2b，①二次三项式x2+ax-1可分解为（x-2）（x+b），①，解得：，①a+b= -+=-1．故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解题的关键．9．设是三角形的三边长，且满足222++=++，关于此三角形的形状a b c ab bc ca有以下判断：①是直角三角形； ①是等边三角形； ①是锐角三角形；①是钝角三角形，其中正确的说法的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质得出．进而判断即可．【详解】①222++=++，a b c ab bc ca①222a b c ab bc ca++=++，222222即，①，①此三角形为等边三角形，同时也是锐角三角形．故选：B．本题考查了因式分解的应用，根据式子特点，将原式转化为完全平方公式是解题的关键．10．已知实数m ，n ，p ，q 满足4m n p q +=+=，4mp nq +=，则（ ） A ．48B ．36C ．96D ．无法计算 【答案】A【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．【详解】解：4m n p q +=+=，，， 16mp mq np nq ∴+++=，4mp nq +=，12mq np ∴+=，，2222m pq n pq mnp mnq =+++，，，，()()mp nq np mq =++，，，故选：A ．【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．分解因式：____．首先找出公因式2y ，进而提取2y ，分解因式即可．【详解】原式=2y （x ﹣2）．故答案为：2y （x ﹣2）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12．分解因式：2(2)2a b a b --+=_______．【答案】（2a -b ）（2a -b -1）【分析】先添加括号，再提取公因式，即可得出答案．【详解】解：（2a -b ）2-2a+b=（2a -b ）2-（2a -b ）=（2a -b ）（2a -b -1），故答案为：（2a -b ）（2a -b -1）．【点睛】本题考查了因式分解，能灵活运用各种方法分解因式是解此题的关键．13．分解因式：_____．【答案】【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．【详解】解：()()()324422m m m m m m m -=-=-+ 故答案为：．【点睛】本题考查综合提公因式法和公式法进行因式分解，掌握提公因式的技巧和平方差公式的公式结构正确计算是解题关键．14．若212()()++=++x mx x a x b ，且、为整数，则常数的所有可能值有________个．由可得,12,m a b ab =+=再结合为整数，从而可得答案．【详解】解：,12,m a b ab ∴=+=、为整数，()()12112112,=⨯=-⨯-或或()()123434,=⨯=-⨯-11213m ∴=+=或11213,m =--=-或或故符合题意的的值有：个，故答案为：【点睛】本题考查的是十字乘法分解因式，掌握十字乘法分解因式是解题的关键．15．若，则分解因式为____________．【答案】（x+5y ）（x -5y ）【分析】由|m -1|+（n -25）2=0得出m 和n 的值，然后代入进行因式分解．【详解】解：由|m -1|+（n -25）2=0得：m -1=0，n -25=0，①m=1，n=25，所以mx 2-ny 2=x 2-25y 2=（x+5y ）（x -5y ），故答案为：（x+5y ）（x -5y ）．【点睛】本题主要考查了分解因式，解此类题目的关键是由|m -1|+（n -25）2=0得出m 和n 的值．16．已知x 2－3x －1＝0，则2x 3－3x 2－11x ＋1＝________．根据x2－3x－1＝0可得x2－3x＝1，再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值．【详解】解：①x2－3x－1＝0，①x2－3x＝1，①32x x x--+23111==将x2－3x＝1代入原式=2+-+x x3x2111=将x2－3x＝1代入原式=，故答案为：4．【点睛】本题考查代数式求值，因式分解法的应用．解决此题的关键是掌握“降次”思想和整体思想．17．=_______．【答案】【分析】先运用平方差公式对各括号内因式分解，然后寻找规律解答即可．【详解】解：====【点睛】本题考查了实数的运算以及运用平方差公式因式分解，因式分解后观察发现数字间的规律是解答本题的关键．三、解答题（本大题共6小题,18，19.20题各7分，21题8分,22,23题各10分，共49分） 18．分解因式：(1)(2) 2363x y xy y -+【答案】（1）(1)(1)x x x +-；（2）【分析】（1）先提出公因式x ，再利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提出公因式3y ，再利用完全平方公式进行因式分解即可.【详解】解：(1) 32(1)(1)(1)x x x x x x x -=-=+-(2) 2223633(21)3(1)x y xy y y x x y x -+=-+=-【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法是解题的关键.19．阅读材料：例：分解因式解：原式==222(233)37x x +⨯+--=()2316x +-==(34)(34)x x +++-=(7)(1)x x +-上述例子用到了“在式子变形中，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫配方法．”请根据这种方法解答下列问题：分解因式：（1）2616a a --；（2）241615a a -+【答案】（1）；（2）【分析】仿照题中分解因式的方法计算即可．【详解】解：（1）2616a a --==()2235a --==；（2）241615a a -+====【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20．（1）化简求值：2(2)(2)(3)x y x y x y +----，其中．（2）先因式分解再求值，已知，，求42332444x y x y x y -+-．【答案】（1），；（2）()2222x y x y --，【分析】（1）原式利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．（2）提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，最后将，代入计算．【详解】解：（1）2(2)(2)(3)x y x y x y +---- =()2222964x y xy x y +-+-=2222964x y xy x y ----=将代入，原式==；（2）42332444x y x y x y -+-=()222244x y x xy y --+=()2222x y x y --①，，①原式===．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．已知．（1）求a ，b 的值．（2）求代数式的值．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；（2）先化简，再代入求值．【详解】解：（1），22(3)(31)0a b ++-=，①30,310a b +=-=，①．（2）22321a b ab =-+-①，①22321a b ab -+-23()21ab ab =-+-2113323133⎛⎫⎛⎫=--⨯+⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了非负数的性质和整式的化简求值以及因式分解，解题关键是熟练运用整式的运算法则进行化简，代入数值后合理计算．22．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．如①和①：①ax by bx ay +++①2221xy y x +-+请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：；（2）两个不相等的实数m ，n 满足2240m n +=．若26m m k -=，，求和k 的值．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）先分组得()22a b a b -+-，再根据平方差公式和提取公因式法进行因式分解； （2）由已知26m m k -=，两式相减得到22660m m n n --+=，左边分解后可得到，再由已知26m m k -=，两式相加结合2240m n +=即可求得的值．【详解】解：（1）()22a b a b =-+-；（2）①26m m k -=，，两式相减得22660m m n n --+=，①22660m n m n --+=，即，因式分解得，①，①即，①26m m k -=，，两式相加得22662m m n n k -+-=，即()2262m n m n k +-+=， ①2240m n +=，，①240664k =-⨯=，①．【点睛】本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键．23．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a 2+6a +8，解：原式=a 2+6a +8+1-1=a 2+6a +9-1=(a +3)2－12=①M =a 2-2a －1，利用配方法求M 的最小值．解：22221212(1)2a a a a a --=-+-=--①(a -b )2≥0，①当a =1时，M 有最小值－2．请根据上述材料解决下列问题：（1）用配方法．．．因式分解：． （2）若228M x x =-，求M 的最小值．（3）已知x 2+2y 2+z 2-2xy -2y -4z +5=0，求x +y +z 的值．【答案】（1）(3)(1)x x +-；（2）；（3）4．【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可； （2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x 、y 、z 的值，然后代入求解即可．【详解】（1）原式22344x x =+-+-2214x x =++-；（2）22282(4)x x x x -=-22(444)x x =-+-22(2)8x =--2(2)0x -≥当时，有最小值；（3）22222245x y z xy y z ++---+2222(2(21)()44)x xy y y y z z =-++-++-+222()(1)(20)x y y z -+-+-=解得则1124x y z ++=++=．【点睛】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．。
湘教版 七下 3.1多项式的因式分解同步课时训练(word版含答案)
3.1多项式的因式分解同步课时训练一、单选题1．把多项式2x ax b ++分解因式，得(2)(3)x x +-，则a ，b 的值分别是（ ） A ．1,6a b == B ．1,6a b =-= C ．1,6a b =-=- D ．1,6a b ==- 2．多项式2223261812ab a b a b c +-的公因式是（ ）A ．26ab cB ．2abC ．26abD ．326a b c 3．多项式22364812a bc ab c abc -+的公因式是（ ）A ．24abcB ．12abcC ．22212a b cD ．2226a b c 4．对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，②是乘法运算D ．①是乘法运算，②是因式分解 5．多项式 2x px q +-(0,0p pq >>)分解因式的结果足()()++x m x n ，则下列判断正确的是( )A ．0mn >B ．0mn <C ．0m >且0n >D ．0m <且0n < 6．多项式12ab 3+8a 3b 的各项公因式是（ ）A ．abB ．2abC ．4abD ．4ab 2 7．如果x 2+ kx ＋6＝(x ＋2)(x ＋3)，则k ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5 8．在下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．2321243a b ab ab =⋅B ．223(2)3x x x x +-=+-C ．2(3)(3)9x x x -+=-D ．()()252438x x x x +-=-+ 9．如果多项式x 2﹣mx ＋6分解因式的结果是（x ﹣3）（x ＋n ），那么m ，n 的值分别是（ ）A ．m ＝﹣2，n ＝5B ．m ＝2，n ＝5C ．m ＝5，n ＝﹣2D ．m ＝﹣5，n ＝2 10．多项式x 2+mx ﹣21因式分解的结果为（x +3）（x ﹣7），则m 的值是（ ） A ．4B ．﹣4C ．10D ．﹣10二、填空题11．若多项式3x x m ++含有因式22x x -+，则m 的值是________．12．若将2x px q ++分解因式为()()35x x -+，则p 为______．13．323612ma ma ma +-的公因式是______．14．已知x 2=-y 2=+22x y xy += ____________15．若关于x 的多项式2416x mx -+能用完全平方公式进行因式分解，则常数m 的值为________．16．()()2312x x n x ax ++=++，则a 的取值____三、解答题17．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(1)(9)x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成2(2)(4)x x --，求出原多项式． 18．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且a 2+2b 2+c 2﹣2b （a+c ）=0，试判断△ABC 的形状，并证明你的结论．19．已知多项式kx 2-6xy -8y 2可写成（2mx +2y ）(x -4y )的形式，求k ，m 的值．20．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”． （1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？参考答案1．C2．C3．B4．D5．B6．C7．D8．D9．C10．B11．212．213．3ma14．415．2±16．717．221218x x -+【详解】解：设原多项式为2ax bx x ++（其中a ，b ，c 均为常数，且0abc ≠）．因为2(1)(9)x x --=222(109)22018x x x x -+=-+，所以2a =，18c =，又因为2(2)(4)x x --=222(68)21216x x x x -+=-+，所以12b =-，所以原多项式为221218x x -+．18．△ABC 是等边三角形．证明见解析【详解】△ABC 是等边三角形，理由：∵a 2+2b 2+c 2﹣2b （a+c ）=0∴a 2+b 2+c 2﹣2ba ﹣2bc+b 2=0，∴（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2=0，则a=b ，b=c ，故a=b=c ，则△ABC 是等边三角形．19．k =2，m =1．【详解】解：∵多项式kx 2-6xy -8y 2可写成（2mx +2y ）（x -4y ）的形式，∴kx 2-6xy -8y 2=（2mx +2y ）（x -4y ），=2mx 2-8mxy +2xy -8y 2，=2mx 2-（8m -2）xy -8y 2，∴8m -2=6，解得：m =1，故k =2，m =1．20．（1）36和2020是“和谐数”；理由见解析；（2）这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．理由见解析【详解】(1)∵36＝102﹣82，2020＝5062﹣5042，∴36和2020是“和谐数”；故答案为：36和2020是和谐数.(2)这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．理由如下：∵()()()22222421k k k +-=+;∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．故答案为：是4的倍数.。
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新课标2017-2018学年湘教版七年级数学下册
3.1 多项式的因式分解
要点感知1 一般地,对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫做f的一个__________.此时h也是f的一个__________.
要点感知2 一般地,把一个多项式表示成若干个多项式的__________的形式,称为把这个多项式因式分解.
预习练习2-1 下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的为( )
A.a（x+y）=ax+ay
B.x2-4x+4=x（x-4）+4
C.10x2-5x=5x（2x-1）
D.x2-16+3x=（x+4）（x-4）+3x
知识点1 因式分解
1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A.a(x-y)＝ax-ay
B.x2+2x+1＝x(x+2)+1
C.(x+1)(x+3)＝x2+4x+3
D.x3-x＝x(x+1)(x-1)
2.下列因式分解正确的是( )
A．x2-y2= (x-y) 2B．a2+a+1=(a+1)2
C．xy-x=x(y-1) D.2x+y= 2(x+y)
3.检验下列因式分解是否正确.
(1)x2-2x=x(x-2)；(2)x2-1=(x+1)(x-1)；
(3)x2-xy-2y2=(x+y)(x-2y)；(4)a2-2ab+4b2=(a-2b)2.
4.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)；(2)a(a-2b)=a2-2ab；
(3)(a-1)2=a2-2a+1；(4)a2-6a+9=(a-3)2.
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
5.(3x-y)(3x+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( )
A.9x2+y2
B.-9x2+y2
C.9x2-y2
D.-9x2-y2
6.把x2+x+m因式分解得(x-1)(x+2),则m的值为( )
A.2
B.3
C.-2
D.-3
7.在(x+y)(x-y)=x2-y2中,从左向右的变形是,从右向左的变形是__________.
8.已知(x-2)(x-1)=x2-3x+2,则x2-3x+2因式分解为__________.
9.如果多项式2x+B可以分解为2(x+2),那么B=__________.
10.把多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m=__________，n=__________.
11.已知多项式x2+3x+2因式分解的结果是(x+a)(x+b),请你确定a+b与ab的值.
知识点3 最大公因数
12.36和54的最大公因数是( )
A.3
B.6
C.18
D.36
13.把60写成若干个素数的积的形式为__________.
14.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的个数是( )
①x2-4=x(x-4
x);②a2-1+b2=(a-1)(a+1)+b2;③
1
2a2b-
1
2ab2=
1
2ab(a-b);④
(x-2)2=x2-4x+4;⑤x2-1=(x+1)(x-1).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
15.多项式mx+n可分解为m(x-y),则n的值为( )
A.m
B.my
C.-y
D.-my
16.若N=(x-2y)2,则N为( )
A.x2+4xy+4y2
B.x2-4y2
C.x2-4xy+4y2
D.x2-2xy+4y2
17.我们知道:a(b+c)=ab+ac,反过来则有ab+ac=a(b+c),前一个式子是整式乘法,后一个式子是因式分解.请你根据上述结论计算:2 0142-2 014×2
013=__________.
18.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)·(x-13)可因式分解为(3x+a)(x+b)，其中a，b均为整数，则a+3b=__________.
19.检验下列因式分解是否正确.
(1)a3-ab=a(a2-b)；(2)x2-x-6=(x-2)(x-3)；
(3)2a2-3ab-2b2=(2a+b)(a-2b)；(4)9m2-6mn+4n2=(3m-2n)2.
20.学习了多项式的因式分解后，对于等式x2+1=x(x+1
x)，小峰和小欣两人产生
了激烈的争论，小峰说这种变形不是因式分解，但又说不清理由；小欣说是因式分解，因为右边是乘积的形式.你认为他们是否正确，为什么？
21.已知x2+mx-n可以分解为一次因式（x-5)和（x+8)，求（13m-n)2 015的值.
22.如果x2-ax+5有一个因式是x+5,求a的值,并求另一个因式.
23.两位同学将一个二次三项式因式分解，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9)，另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)·(x-4)，试求原多项式.
参考答案
要点感知1 因式因式
要点感知2 乘积
预习练习2-1 C
1.D
2.C
3.(1)正确；(2)正确；(3)正确；(4)不正确.
4.(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解.
5.C
6.C
7.整式乘法因式分解
8.(x-2)(x-1)
9.4 10.61 11.由题意，知x2+3x+2=(x+a)(x+b),
所以x2+3x+2=x2+(a+b)x+ab,
因此有a+b=3,ab=2.
12.C 13.2×2×3×5
14.B 15.D 16.C 17.2 014 18.-31
19.(1)正确；(2)不正确；(3)正确；(4)不正确.
20.小欣的说法不正确，这种变形不是因式分解.因为因式分解是把一个多项式
化为若干个多项式乘积的形式，等式右边中的x+1
x不是多项式(分母含有字母
x)，因此这种变形不是因式分解.
21.x2+mx-n=(x-5)(x+8).
即(x-5)(x+8)=x2+3x-40=x2+mx-n.
所以m=3,n=40.
所以(13m-n)2 015=-1.
22.因为5=1×5,5=(-1)×(-5),
又x2-ax+5有一个因式是x+5,
因此5只能分解为1×5,
所以x2-ax+5可以分解为(x+5)(x+1),
即x2-ax+5=(x+5)(x+1).
而(x+5)(x+1)=x2+6x+5,
所以a=-6,且另一个因式为x+1.
23.设原多项式为ax2+bx+c(其中a，b，c均为常数，且abc≠0). 因为2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9)=2x2-20x+18，
所以a=2，c=18.
又因为2(x-2)(x-4)=2(x2-6x+8)=2x2-12x+16，
所以b=-12.
所以原多项式为2x2-12x+18.。