如何利用一元二次方程解匀变速问题

如何利用一元二次方程解匀变速问题（学习辅导材料）
一.相关基础知识：
1. 均匀增大或减小的一列数，如何求它们的平均数？如何求这组数中的任何一个数？
例1. 求下列数的平均数：
1，2，3，4，5，6，7
解：平均数=1/7 (1+2+3+…+7) =28/7=4
另解：平均数=1/2（1+7）=4
可知：均匀增减的一列数的求平均数公式为
平均数=1/2（最小值+最大值）
例2. 已知一列数（连续正奇数）为
1，3，5，7，9，11，… …
则（1）这组数中的第15个数是；第30个数是；（2）这组数中的第n个数是。

（答案：29；59；2n-1）
由此又可知：均匀增减的一列数中，已知第1个数，就可以按其规律求得这组数中的任何一个数。

2. 变速运动的平均速度，路程及时间的关系：
平均速度=路程/时间（1）路程=平均速度*时间（2）时间=路程/平均速度（3）
二. 匀变速运动：
有些变速运动物体的运动速度的大小是均匀变化（增大或减小）的，这样的变速运动是匀变速运动。

同上面的问题类似，在匀变速运动问题中，有
平均速度=1/2（最小值+最大值）
上式中，最大（小）值分别代表匀变速运动物体的初速度和末速度，因此在匀变速运动问题里，有
平均速度=1/2（初速度+末速度）
类似的，若已知匀变速运动的初速度，并知道运动的时间（或路程），则也可以求出整个运动时间范围内的某一段时间（或路程）的速度的单位时间的变化量。

例3. 行驶速度为20m/s的汽车，刹车后，汽车匀减速滑行5s后停止。

试问：
（1）从刹车到停车，汽车滑行的平均速度是多少？
（2）从刹车到停止，汽车滑行的路程是多少？
（3）刹车后汽车滑行的速度平均每秒减小多少？
解：
（1）
1/2（20+0）=10 (m/s)
即，从刹车到停止，汽车滑行的平均速度为10m/s.
(2)
10*5=50(m).
即从刹车到停止，汽车滑行的路程为50m.
（3）（20-0）/5=4(m/s).
即刹车后汽车滑行的速度平均每秒减小4m/s
三. 如何利用一元二次方程解匀变速问题
其实，就是将上述讨论的这些基本问题加以综合运用（类比和迁移）。

例如，在例3中，还可以问：
（4）汽车在刹车后，滑行4s时间，汽车滑行的路程是多少？
解：结合前边的讨论，可得
汽车滑行4s，速度减小到
20 – 4*4 = 4(m/s) .
∴滑行的这4s时间里，汽车的平均速度为
1/2(20+4)=12(m/s).
进而得，刹车后的4s 时间里，汽车滑行了48 m.
在例3中，(3) 这一问的解决是关键，（4）这样的问题的解决离不开它。

如果继续问题的讨论，还要用到它。

例如在例3中，若再问：
（5）刹车后，汽车经过xs（x≤5）滑行，汽车的速度减小到多少？
解：汽车的速度减小到（20-4x）m/s.
现在，我们在例3的（1）～（5）的基础上，再问：
(6)刹车后汽车滑行到48m时，用了多少时间？
显然，这是将（4）的结果作为条件，反过来提的问题，因而这个时间自然应该是4s。

而要求得这个结果，就要用到一元二次方程了。

请看
解：设刹车后汽车滑行48m
，所用时间为xs. 则结合前述（尤其是（3））的结果，可得方程
[20+(20-4x)] /2*x=48.
化简：
x^2-10x+24=0.
解得：
x1=4,
x2=6﹥5(舍)
∴刹车后汽车滑行48m 时，用了4s.
至此，我们详细讨论了初中数学里匀变速问题的一般处理思路和方法。

四. 小结：
<一> 在匀变速问题中
（1）平均速度=1/2(初速度+末速度)
（2）路程=平均速度*时间
（3）时间=路程/平均速度
（4）＊(关键——在具体问题中它是一个常量)：
速度的单位时间的变化量=∣初速度-末速度∣/速度变化的时间
想一想：为什么上式分子用绝对值？
<二> 解决―匀变速问题‖的一般步骤：
一般都是已知初始速度和末速度，若题目中还知道总的运动时间，则可以考虑（如本文的例3）：
（1）求整个运动过程的平均速度及路程；
（2）求出速度的单位时间内的变化量（如本文例3的（3），在中学课程里的匀变速问题里，它一般被视为一个常量）；
（3）根据题目列出方程解决进一步的问题（如本文例3的（5）（6））。

若题目中未告诉总的运动时间，而是告诉了总的运动路程和末速度（如课本P51的―探究4‖），则可以考虑先求整个运动过程的平均速度；进而，再求出整个运动时间。

其余同上边类似。

必须注意的是，在匀变速问题里，平均速度不是常数，它是和相应的运动时间（所指的相应的路程）相关的。

例如在本文的例3中：
从刹车到停车汽车滑行的平均速度是10m/s;
从刹车开始，汽车滑行4s,这段时间汽车的平均速度则是12m/s(这段时间汽车滑行了48m，因此也可以说汽车在这48m路程上的平均速度是12m/s)。

另外，回头看看本文例3的（1）（4），也可以知道，两处除了平均速度不同，相对应的算式中的―末速度‖也是不一样的.
五. 课本习题选解：
P51探究4：一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m
后停车。

（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（结果保留小数点后一位）？
解：不妨假设刹车后汽车匀减速滑行到停止.
（1）从刹车到停车，汽车滑行的平均速度为：
1/2(20+0)=10 (m/s).
∴从刹车到停车所用的时间为：
25/10=2.5 (s).
(2) 依题意：
( 20-0) / 2.5=8 (m/s).
∴从刹车到停车平均每秒车速减少8m/s.
(3) 设刹车后汽车行驶到15m用了xs，则结合上述可得
1/2[20+(20 – 8x)]x=15.
解得
x=1/2(5±√10).
由于x=1/2(5+√10)﹥2.5,应舍去。

∴从刹车到滑行到15m时，所用时间为1/2(5-√10)s≈0.9s.。