高一数学必修1(北师大版)同步练习3-2
高一数学必修1(北师大版)同步练习1-3-2
1-3-2 全集与补集基础巩固一、选择题1．(2011·江西文)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)[答案] D[解析]本题主要考查集合的运算．(∁U M)∩(∁U N)＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}．2．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁M)∩N等于()RA．{x|x<－2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<1} D．{x|－2≤x<1}[答案] A[解析]∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁R M＝{x|x>2或x<－2}，∴(∁M)∩N＝{x|x<－2}．故选A.R3．(2012·宜昌测试)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个[答案] A[解析]全集U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}，∴∁U(A∩B)中的元素共有3个，故选A.4．设集合A、B都是全集U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁U A)∩(∁U B)＝{2}，(∁U A)∩B＝{1}，则A＝()A．{1,2} B．{2,3} C．{3,4} D．{1,4}[答案] C[解析]排除法：∵(∁U A)∩(∁U B)＝{2}，∴2∈(∁U A)，∴2∉A，排除选项A、B.又∵(∁U A)∩B＝{1}，∴1∈(∁U A)，∴1∉A.排除D，故选C.5．如图阴影部分可表示为()A．(A∪B)∩∁U(A∩B) B．∁U(A∪B)C．∁U(A∩∁U B) D．[∁U(A∪B)]∪(A∩B)[答案] D[解析]结合V enn图及集合的运算可得正确选项．6．(2010·陕西)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}[答案] D[解析]∵B＝{x|x<1}，∴∁R B＝{x|x≥1}，∴A∩(∁R B)＝{x|1≤x≤2}，故选D.二、填空题7．已知集合A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1,1，－3,3}，∁U B＝{－1,0,2}，则集合B＝________.[答案]{1,4,6，－3,3}[解析]∵∁U A＝{－1,1，－3,3}，∴U＝{－1,1,0,2,4,6，－3,3}，又∁U B＝{－1,0,2}，∴B＝{1,4,6，－3,3}．8．已知全集U＝R，M＝{x|x<2}，N＝{x|x≤0}，则∁U M与∁U N 的包含关系是________．[答案]∁U M ∁U N[解析]∵M＝{x|x<2}，N＝{x|x≤0}，∴∁U M＝{x|x≥2}，∁U N＝{x|x>0}．借助数轴，∴对任意x∈∁U M，必有x∈∁U N.又1∈∁U N但1∉∁U M，∴∁U M ∁U N.三、解答题9．设A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，当a为何值时，(1)A∩B≠∅；(2)A∩B＝A；(3)A∪(∁R B)＝∁R B.[解析](1)A∩B≠∅，因为集合A的区间长度为3，所以由图可得a<－1或a＋3>5解得a <－1或a >2，∴当a <－1或a >2时，A ∩B ≠∅. (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .由图得a ＋3<－1或a >5.即a <－4或a >5时，A ∩B ＝A .(3)由补集的定义知：∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}，∵A ∪(∁R B )＝∁R B ， ∴A ⊆∁R B .由右图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1a ＋3≤5，解得：－1≤a ≤2.能 力 提 升一、选择题1．(2011·安徽文)集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，S ＝{1,4,5}，T ＝{2,3,4}，则S ∩(∁U T )等于( )A ．{1,4,5,6}B ．{1,5}C ．{4}D ．{1,2,3,4,5}[答案] B[解析] 该题考查集合交集与补集运算，属基础保分题． ∁U T ＝{1,5,6}，∴S ∩(∁U T )＝{1,5}．2．如图所示，用集合A 、B 及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是( )A．(A∪B)∩(A∩B)B．∁U(A∩B)C．[A∩(∁U B)]∪[(∁U A)∩B]D．∁U(A∪B)∩∁U(A∩B)[答案] C[解析]阴影有两部分，左边部分在A内且在B外，转换成集合语言就是A∩(∁U B)；右边部分在B内且在A外，转换成集合语言就是(∁U A)∩B.故选C.二、填空题3．设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，B ∁R A，实数a 的取值范围为________．[答案]a≥－1[解析]∵A＝{x|x>1}，如图所示，∴∁R A＝{x|x≤1}．∵B＝{x|x<－a}，要使B ∁R A，则－a≤1，即a≥－1.4．设全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或2≤x<3}，B＝{x|－2≤x<4}，则(∁U A)∪B＝__________.[答案]{x|x≥－2}[解析]由数轴得，∁U A＝{x|－1≤x<2或x≥3}，再由数轴得，(∁U A)∪B＝{x|x≥－2}．三、解答题5．已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，集合A＝{1，|2x－1|}，如果∁U A＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．[解析]∵∁U A＝{0}，∴0∈U，但0∉A，∴x3＋3x2＋2x＝0，∴x(x＋1)(x＋2)＝0，∴x1＝0，x2＝－1，x3＝－2.当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，故舍去；当x＝－1时，|2x－1|＝3，而3∈U，故成立；当x＝－2时，|2x－1|＝5，而5∉U，故舍去，综上所述，实数x存在，且它只能是－1.6．(2012·驻马店高一月考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}．A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}，求m＋n 的值．[解析]∵U＝{1,2,3,4,5}，(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}，∴2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}，∴2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，得m＝6且A＝{2,3}，∴∁U A ＝{1,4,5}， 而(∁U A )∪B ＝{1,3,4,5}，∴3∈B ，又B ＝{x |x 2＋nx ＋12＝0}，∴3一定是关于x 的方程x 2＋nx ＋12＝0的一个根， ∴n ＝－7且B ＝{3,4}，∴m ＋n ＝－1.7．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}，(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围；(3)若U ＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵A ＝{1,2}，A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件； 当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件． 综上，a 的值为－1或－3；(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝4(2a ＋6)， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅，满足条件； ②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件； ③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}．由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎨⎧a ＝－52a 2＝7，矛盾；综上，a 的取值范围是a ≤－3；(3)∵A ∩∁U B ＝A ，∴A ⊆∁U B ，∴A ∩B ＝∅； ①若B ＝∅，则Δ<0⇒a <－3适合；②若B≠∅，则a≥－3，此时1∉B且2∉B；将x＝2代入B的方程得a＝－1或a＝－3；将x＝1代入B的方程得a2＋2a－2＝0⇒a＝－1±3；∴a≠－1且a≠－3且a≠－1±3.综上，a的取值范围是a<－3或－3<a<－1－3或－1－3<a<－1或－1<a<－1＋3或a>－1＋ 3.。
数学(北师大版)必修一教学设计：3-2指数运算的性质 含答案
教学设计2．2 指数运算的性质导入新课思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程,自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题——指数运算的性质．思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习：指数运算的性质．推进新课错误!错误!①我们知道错误!＝1。
414 213 56…，那么1.41，1.414,1。
414 2,1.414 21，…是错误!的什么近似值？而1.42,1.415，1。
414 3，1。
414 22，…是错误!的什么近似值?②多媒体显示以下图表：同学们从下面的两个表中，能发现什么样的规律?④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？活动：教师引导，学生回忆，教师提问,学生回答，积极交流,及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于错误!的方向．问题②对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看,注意其关联．问题③上述方法实际上是无限接近，最后是逼近．问题④对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释．问题⑤在③④的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般．讨论结果：①1。
2022版高中数学第二章函数3第2课时函数的最大小值提升训练北师大版必修1
函数的最大(小)值基础过关练题组一 函数最大(小)值的求法1.(2021湖南娄底一中高一上期中)函数f (x )=x 2+x 在区间[-1,1]上的最小值是 ( ) A.2B.0C.14D.-142.函数f (x )={2x +6,x ∈[1,2],x +7,x ∈[-1,1),则f (x )的最大值与最小值分别为( )A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对3.若函数y =f (x ),x ∈[-2,2]的图像如图所示,则该函数的最大值、最小值分别为 ( )A.f (32),f (-32) B.f (0),f (32)C.f (0),f (-32) D.f (0),f (2) 4.函数f (x )=x +√2x -1 ( ) A.有最小值12,无最大值B.有最大值12,无最小值C.有最小值12,有最大值2D.无最大值,也无最小值5.(2021河北邢台高一上期中联考)已知函数f (x )=3x -11-x,其定义域是[-4,-2],则 ( )A.f (x )有最大值-73,最小值-135B.f (x )有最大值-73,无最小值 C.f (x )有最大值-135,最小值-73 D.f (x )有最小值-135,无最大值 题组二 函数最大(小)值的综合运用 6.下列说法正确的是 ( )A.若函数f(x)的值域为[a,b],则f(x)min=a,f(x)max=bB.若f(x)min=a,f(x)max=b,则函数f(x)的值域为[a,b]C.若f(x)min=a,则直线y=a不一定与f(x)的图像有交点D.若f(x)min=a,则直线y=a一定与f(x)的图像有且仅有一个交点7.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是()A.2B.-2C.2或-2D.08.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为m.9.函数y=-x2+6x+9在区间[a,b](a<b<3)上有最大值9,最小值-7,则a=,b=.10.(2019湖北沙市中学高一上第一次段考)已知定义在[-1,2]上的一次函数f(x)为单调增函数,且值域为[-3,3].(1)求f(x)的解析式;(2)求函数f[f(x)]的解析式,并确定其定义域.11.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数R(x)={400x-12x2(0≤x≤400),80000(x>400),其中x是仪器的月产量(单位:台).(1)将利润表示为月产量的函数f(x);(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)题组三函数的最大(小)值在方程与不等式中的应用12.若不等式-x+a+1≥0对一切x∈(0,12]成立,则a的最小值为 () A.0 B.-2C.-52D.-1213.(2021河北定州二中高一上11月月考)当1≤x ≤3时,关于x 的不等式ax 2+x -1<0恒成立,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,0) B.-∞,-14 C.-14,+∞D.-12,+∞14.已知函数f (x )=11-x (1-x ),若方程f (x )=a 无解,则a 的取值范围是 .15.(2021河南高一上期中联考)锂电池的容量通常以A ·h(安培小时)为单位,在一定条件下,当以恒定电流充电时,把电池充满所需要的充电时间t (单位:h)等于电池的容量与充电电流x (单位:A)之比.电池充电时会产生额外的能量损失(不影响电池充入的电量).已知某种锂电池的容量为20A ·h,且充电时每小时的能量损失P (能量单位)与充电电流x 的关系式为P =x 2600+x 300+12.设这种锂电池的电量从0到充满电的能量损失总量为Q ,则充电电流为多大时,Q 的值最小?最小值为多少?参考结论:函数y =ax +xx (a ,b >0)在区间0,√xx 上单调递减,在区间√xx ,+∞上单调递增.16.已知函数f (x )=x -1x +2,x ∈[3,5]. (1)判断函数f (x )的单调性,并证明;(2)若不等式f (x )>a 在[3,5]上恒成立,求实数a 的取值范围; (3)若不等式f (x )>a 在[3,5]上有解,求实数a 的取值范围.能力提升练一、选择题1.(2019湖北华中师范大学第一附属中学高一上月考,)函数y =√1-x -√3+x 的最大值为M ,最小值为N ,则x x的值为 ( ) A.√2 B.1C.-1D.22.(2021湖北鄂西北五校高一上期中联考,)已知函数f (x )={(x -1)x +2x ,x <0,x 2-2x ,x ≥0有最小值,则a 的取值范围是 ( ) A.[-12,1)B.-12,1C.[-12,1]D.(-12,1]3.()若函数y =f (x )的值域是[12,3],则函数F (x )=f (x )+1x (x )的值域是 ( )A.[12,3]B.[2,103] C.[52,103]D.[3,103]4.(2019湖南长沙南雅中学高一上第一次检测,)已知f (x )=min{x 2-2x ,6-x ,x },则f (x )的值域是( )A.(-∞,3)B.(-∞,3]C.[0,3]D.[3,+∞)5.()定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2.若函数f (x )=(1⊕x )x -(2⊕x ),x ∈[-2,2],则f (x )的最大值等于( )A.-1B.1C.6D.126.(2019广东潮阳实验学校高一上第一次段考,)若关于x 的不等式|x -4|+|x +3|<a 有实数解,则实数a 的取值范围是 ( )A.(7,+∞)B.[7,+∞)C.(1,+∞)D.(1,7)7.()设函数f (x )={-(x-x )2+x 2,x ≤0,-x 2+2x +1-x ,x >0.若f (0)是f (x )的最大值,则a 的取值范围为 ( ) A.[4,+∞) B.[2,+∞)C.[1,+∞) D.[1,2]二、填空题8.(2021福建厦门一中高一上期中,)函数f (x )=x +2√1-x 的最大值为 .9.()若函数f (x )=x 2-2x +3-c 的最小值为2017,则f (x +2017)的最小值是 .10.(2019河北辛集中学高一上第一次月考,)已知函数f (x )=x 2-4|x |+1,若f (x )在区间[a ,2a +1]上的最大值为1,则a 的取值范围为 . 三、解答题11.(2019湖南长郡中学高一上第一次模块检测,)已知函数f (x )=x 2+1,g (x )=4x +1的定义域都是集合A ,函数f (x )和g (x )的值域分别为S 和T. (1)若A =[1,2],求S ∩T ;(2)若A =[0,m ],且S =T ,求实数m 的值;(3)若对于A 中的每一个x 的值,都有f (x )=g (x ),求集合A.12.(2020广东实验中学高一上期中,)已知函数f (x )={x +1x ,x ∈[-2,-1),-2,x ∈[-1,12),x -1x ,x ∈[12,2].(1)求f (x )的值域;(2)设函数g (x )=ax -2,x ∈[-2,2],若对于任意x 1∈[-2,2],总存在x 0∈[-2,2],使得g (x 0)=f (x 1)成立,求实数a 的取值范围.答案全解全析 第二章 函 数 §3 函数的单调性 第2课时 函数的最大(小)值基础过关练1.D2.A3.C4.A5.A6.A7.C12.D13.B1.D 因为f (x )=x 2+x 的图像开口向上,对称轴为直线x =-12∈[-1,1],所以f (x )min =f -12=14-12=-14.故选D .2.A 作出f (x )的图像如图所示:由图像知,当x =-1时,f (x )min =f (-1)=6; 当x =2时,f (x )max =f (2)=10,即f (x )的最大值为10,最小值为6,故选A .3.C 由题图可得,函数最大值对应图像中的最高点的纵坐标f (0),同理,最小值对应f (-32).4.A ∵f (x )=x +√2x -1在定义域[12,+∞)上是增函数,∴f (x )≥f (12)=12,即函数的最小值为12,无最大值,故选A .5.A 函数f (x )=3x -11-x =-3+21-x , 因为x ∈[-4,-2],所以-x ∈[2,4], 所以1-x ∈[3,5],所以21-x ∈[25,23], 所以-3+21-x ∈[-135,-73],所以f (x )∈[-135,-73],所以f (x )有最小值-135,最大值-73. 故选A .6.A 函数f (x )的值域为[a ,b ],则f (x )min =a ,f (x )max =b ,A 对;f (x )min =a ,f (x )max =b ,区间[a ,b ]上的某些元素可能不是函数值,所以[a ,b ]不一定是值域,B 错;若f (x )min =a ,由定义知一定存在x 0使f (x 0)=a ,即f (x )的图像与直线y =a 一定有交点,但不一定唯一,C,D 都错.7.C 由题意知a ≠0,当a >0时,函数y =ax +1在[1,2]上单调递增,有(2a +1)-(a +1)=2,解得a =2;当a <0时,函数y =ax +1在[1,2]上单调递减,有(a +1)-(2a +1)=2,解得a =-2. 综上可知,a =±2. 8.答案 20解析 设矩形花园边长为x 的边的邻边长为y m,则x 40=40-x40,即y =40-x ,由此可知,矩形花园的面积S =x ·(40-x )=-x 2+40x =-(x -20)2+400,所以当x =20时,面积最大.9.答案 -2;0解析 已知y =-x 2+6x +9,整理,得y =-(x -3)2+18,函数图像开口向下,对称轴为直线x =3. ∵a <b <3,∴函数y =-x 2+6x +9在区间[a ,b ]上单调递增,∴当x =b 时,y max =-b 2+6b +9=9,解得b =0(b =6不符合题意,舍去); 当x =a 时,y min =-a 2+6a +9=-7, 解得a =-2(a =8不符合题意,舍去). 10.解析 (1)设f (x )=ax +b (a >0),由已知得{x (-1)=-3,x (2)=3,即{-x +x =-3,2x +x =3, 解得{x =2,x =-1,所以f (x )的解析式为f (x )=2x -1(-1≤x ≤2). (2)由(1)得,f [f (x )]=f (2x -1)=2(2x -1)-1=4x -3. 由f (x )的定义域为[-1,2],得-1≤2x -1≤2,即0≤x ≤32,所以f [f (x )]的定义域为[0,32].11.解析 (1)月产量为x 台,则总成本为(20000+100x )元,从而f (x )=R (x )-(20000+100x ) ={-12x 2+300x -20000(0≤x ≤400),60000-100x (x >400).(2)由(1)可知,当0≤x ≤400时,f (x )=-12·(x -300)2+25000,∴当x =300时,f (x )max =25000;当x >400时,f (x )=60000-100x ,是减函数,f (x )<60000-100×400<25000, ∴当x =300时,f (x )max =25000,故当月产量为300时,公司所获利润最大,最大利润为25000元.12.D 设f (x )=-x +a +1,由不等式-x +a +1≥0对一切x ∈(0,12]成立可得,只需满足f (x )min ≥0即可.因为f (x )在(0,12]上是减函数,所以当x ∈(0,12]时,f (x )min =a +12,所以a +12≥0,即a ≥-12,所以a min =-12,故选D . 13.B 当1≤x ≤3时,由ax 2+x -1<0恒成立可得,a <1x 2-1x恒成立,令f (x )=1x2-1x=1x -122-14,则当x =2时,f (x )min =-14,所以a <-14,故选B .14.答案 (-∞,0]∪(43,+∞)解析 因为1-x (1-x )=x 2-x +1=(x -12)2+34≥34,所以0<11-x (1-x )≤43,故f (x )的值域为(0,43].又方程f (x )=a 无解,所以a 不在函数f (x )的值域内,故a 的取值范围是(-∞,0]∪(43,+∞). 15.信息提取 ①P =x 2600+x 300+12(0≤x ≤20);②Q =Pt.数学建模 本题以锂电池充电为背景,构建函数模型,利用函数的单调性求相应函数的最值,从而解决生活中的最优化问题.解析 由题意知,充电时间t =20x , ∴Q =Pt =x 2600+x 300+12·20x =x 30+10x +115, 根据参考结论可知:当x ∈(0,10√3)时,Q 单调递减; 当x ∈(10√3,20)时,Q 单调递增. ∴当x =10√3时,Q 取得最小值,最小值为2√33+115.16.解析 (1)f (x )在[3,5]上为增函数.证明:任取x 1,x 2∈[3,5]且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1-1x 1+2-x 2-1x 2+2=3(x 1-x 2)(x1+2)(x 2+2).∵3≤x 1<x 2≤5,∴x 1-x 2<0,(x 1+2)(x 2+2)>0,∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), ∴f (x )在[3,5]上为增函数.(2)由不等式f (x )>a 在[3,5]上恒成立知,f (x )min >a ,由(1)知,f (x )在[3,5]上为增函数,所以f (x )min =f (3)=25,所以25>a ,故实数a 的取值范围是(-∞,25). (3)由不等式f (x )>a 在[3,5]上有解知,f (x )max >a ,由(1)知,f (x )在[3,5]上为增函数,所以f (x )max =f (5)=47,所以47>a ,故实数a 的取值范围是(-∞,47).能力提升练1.C2.C3.B4.B5.C6.A7.B一、选择题1.C 由y =√1-x -√3+x 有意义,得{1-x ≥0,3+x ≥0,解得-3≤x ≤1,因此y =√1-x -√3+x 的定义域为[-3,1],又∵函数y =√1-x -√3+x 在[-3,1]上单调递减, ∴M =y max =√4-√0=2,N =y min =√0-√4=-2,因此,x x =2-2=-1,故选C . 2.C 如图所示:根据题意,得{x -1<0,2x ≥-1或a -1=0,解得-12≤a <1或a =1,故a ∈[-12,1],故选C .3.B 令t =f (x ),则t ∈[12,3],易知y =t +1x 在[12,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增, 所以当t =1,即f (x )=1时,F (x )有最小值2,又当f (x )=12时,F (x )=52;当f (x )=3时,F (x )=103,且52<103,所以F (x )的最大值为103,所以函数F (x )=f (x )+1x (x )的值域是[2,103].故选B.4.B 在同一平面直角坐标系中,作出函数y =x 2-2x ,y =6-x ,y =x 的图像,由f (x )=min{x 2-2x ,6-x ,x }知,对任意x ∈R,f (x )取三个函数值中最小的,因此f (x )的图像如图所示(实线部分),所以可得f (x )的值域为(-∞,3].5.C 由题意知,当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2;当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2,又∵f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在其定义域上都为增函数,且f (1)=-1,f (2)=23-2=6,∴f (x )的最大值为6. 6.A 设f (x )=|x -4|+|x +3|, 则f (x )={-2x +1,x <-3,7,-3≤x ≤4,2x -1,x >4,作出f (x )的图像如图所示.由图像知,f (x )min =7,又f (x )<a 有实数解,因此f (x )min <a , 即7<a ,故选A .7.B f (x )={-(x-x )2+x 2,x ≤0,-x 2+2x +1-x ,x >0.当x ≤0时,f (x )=-(x -a )2+a 2的图像开口向下,对称轴为直线x =a ,f (0)=0;当x >0时,f (x )=-x 2+2x +1-a 的图像开口向下,对称轴为直线x =1,此时f (x )max =f (1)=2-a.若使得f (0)是f (x )的最大值,则满足{x ≥0,2-x ≤0,解得a ≥2,故选B .二、填空题 8.答案 2解析 设t =√1-x (t ≥0),则x =1-t 2,所以原函数可化为y =-t 2+2t +1=-(t -1)2+2(t ≥0), 由二次函数的性质,得当t =1时,函数取最大值2.9.答案 2017解析 函数f (x +2017)的图像可由函数f (x )的图像向左平移2017个单位长度得到,因此两函数的最小值相同,均为2017,故f (x +2017)的最小值是2017. 10.答案 [-12,0]∪{32}解析 ∵f (x )=x 2-4|x |+1={x 2-4x +1,x ≥0,x 2+4x +1,x <0,∴f (x )的图像如图所示.已知f (x )在[a ,2a +1]上的最大值为1,由2a +1>a ,得a >-1,结合图像知, 当-1<a ≤0时,0≤2a +1≤4, 解得-12≤a ≤0;当a >0时,2a +1=4,解得a =32.综上可得,a 的取值范围是[-12,0]∪{32}.三、解答题11.解析 (1)若A =[1,2],则函数f (x )=x 2+1的值域S =[2,5],g (x )=4x +1的值域T =[5,9],∴S ∩T ={5}. (2)若A =[0,m ],则S =[1,m 2+1],T =[1,4m +1], 由S =T ,得m 2+1=4m +1, 解得m =4或m =0(舍去).(3)若对于A 中的每一个x 的值,都有f (x )=g (x ),即x 2+1=4x +1, ∴x 2=4x ,解得x =4或x =0,∴满足题意的集合A 是{0}或{4}或{0,4}.12.解析 (1)任取x 1,x 2∈[-2,-1),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+1x 1-(x 2+1x 2)=(x 1-x 2)(1-1x1x 2).因为-2≤x 1<x 2<-1, 所以x 1-x 2<0,1-1x1x 2>0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x )在[-2,-1)上递增. 同理,可证f (x )在[12,2]上递增.所以当x ∈[-2,-1)时,f (x )∈-52,-2;当x ∈[12,2]时,f (x )∈-32,32.故f (x )的值域为-52,-2∪-32,32. (2)设g (x )的值域为B ,当a >0时,g (x )在[-2,2]上递增, 此时,值域B 为[-2a -2,2a -2], 依题意得{-2x -2≤-52,2x -2≥32,解得a ≥74; 当a <0时,g (x )在[-2,2]上递减, 此时,值域B 为[2a -2,-2a -2], 依题意得{2x -2≤-52,-2x -2≥32,解得a ≤-74; 当a =0时,不符合题意.综上,a 的取值范围是-∞,-74∪74,+∞.。
高一数学必修1(北师大版)同步练习2-4-2
2-4-2 二次函数的性质基 础 巩 固一、选择题1．函数y ＝－x 2＋1在下列哪个区间上是增加的( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(0，＋∞) D ．(－∞，＋∞)[答案] B[解析] y ＝－x 2＋1中二次项系数小于0，图像开口向下，易知递增区间为(－∞，0]．2．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是( ) A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值 [答案] C[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x ＝－1时，函数有最大值8，无最小值．3．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc ＝( )A ．－6B ．11C ．－14 D.14[答案] C[解析] ∵f (x )图像过点(0,2)，∴c ＝2. 又顶点为(4,0)，∴－b2a ＝4，8a －b 24a ＝0.解得：b ＝－1，a ＝18，∴abc ＝－14.4．若f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)[答案] A[解析] ∵对称轴x ＝1－a3，又开口向上，在(－∞，1]上是减函数．∴1－a 3≥1，∴a ≤－2.5．二次函数y ＝f (x )的图像过原点，且顶点为(－2,8)，则f (x )＝( )A ．－2x 2－8xB ．2x 2－8xC ．2x 2＋8xD ．－2x 2＋8x [答案] A[解析] 由题意设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋8，又∵函数图像过原点，∴4a ＋8＝0，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2－8x .6．二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )在[0,2]上是增函数，且f (a )≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，－0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞) [答案] C[解析] 此函数图像的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x 2＝2，在[0,2]上递增，如图所示，正确答案为C.二、填空题7．(2012·石家庄高一检测)已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在[2,10]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．[答案] k ≤16或k ≥80[解析] 函数f (x )的对称轴为x ＝k 8，∴k 8≤2或k8≥10， ∴k ≤16或k ≥80.8．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．[答案] (－14，14)[解析] 把(1,4)的坐标代入y ＝ax 2与y ＝kx ＋1中得a ＝4，k ＝3.所以由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝14.三、解答题9．(2012·九江高一检测)已知二次函数y ＝－4x 2＋8x －3. (1)画出它的图像，并指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)求函数的最大值；(3)写出函数的单调区间．(不必证明)[解析] (1)图像如图所示，该图像开口向下；对称轴为直线x ＝1；顶点坐标为(1,1)．(2)y ＝－4(x －1)2＋1，故函数的最大值为1. (3)函数的单调增区间是(－∞，1]， 单调减区间是[1，＋∞).能 力 提 升一、选择题1．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )A ．f (1)≥25B ．f (1)＝25C ．f (1)≤25D ．f (1)>25[答案] A[解析] f (x )＝4x 2－mx ＋5在[m8，＋∞)上是增加的，故[－2，＋∞)⊆[m8，＋∞)，即－2≥m8，∴m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25.2．某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速自动注水(即t 分钟自动注水2t 2升)，当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供________人洗浴．( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 设t 分钟后水箱内的水量为y 升，则由题设，知y ＝200－34t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1722＋200－2892t >0)，当t ＝172＝8.5分钟时，y 取最小值，此时共放浴用水34×8.5＝289升，而28965＝42965，故一次至多可供4人洗浴．二、填空题3．已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －9顶点为A ，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点A ，且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点，则这个二次函数的解析式为________．[答案] y ＝12x 2－32x[解析] ∵y ＝－2x 2＋8x －9＝－2(x －2)2－1，∴A (2，－1)．设所求二次函数的解析式为y ＝ax (x －3)，则由题意知－1＝a ×2(2－3)，即a ＝12.∴所求解析式为y ＝12x 2－32x .4．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为________．[答案] 3或－1[解析] 由图像知f (3)＝0， ∴m ＝3.由－x 2＋2x ＋3＝0得x 2－2x －3＝0， ∴x ＝3或－1. 三、解答题5．根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)图像过A (0,1)、B (1,2)、C (2，－1)三点； (2)图像顶点是(－2,3)，且过点(－1,5)；(3)图像与x 轴交于(－2,0)、(4,0)两点，且过点(1，－92)．[解析] (1)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知函数的图像经过(0,1)、(1,2)、(2，－1)三点．得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1a ＋b ＋c ＝24a ＋2b ＋c ＝－1，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝3c ＝1，∴函数的解析式为y ＝－2x 2＋3x ＋1.(2)设二次函数的解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，其顶点的坐标是(h ，k )，∵顶点的坐标是(－2,3)，∴y ＝a (x ＋2)2＋3. 又∵图像过点(－1,5)，∴5＝a (－1＋2)2＋3. ∴a ＝2，∴y ＝2(x ＋2)2＋3， ∴y ＝2x 2＋8x ＋11.即函数的解析式为y ＝2x 2＋8x ＋11.(3)设二次函数的解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)， 因为二次函数的图像交x 轴于(－2,0)、(4,0)两点，且过点(1，－92)，设y ＝a (x ＋2)(x －4)，则有－92＝a (1＋2)(1－4)，∴a ＝12.∴所求的函数解析式为y ＝12(x ＋2)(x －4)，即y ＝12x 2－x －4.6．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图像与x 轴总有交点．(1)求m 的取值范围；(2)若函数图像与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值．[解析] (1)当 m ＋6＝0即m ＝－6时， 函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点； 当m ＋6≠0即m ≠－6时，有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m ≤－59，即当m ≤－59且m ≠－6时，抛物线与x 轴有一个或两个交点，综上可知，当m ≤－59时，此函数的图像与x 轴总有交点．(2)设x 1、x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根， 则x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4，解得m ＝－3，当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意，∴m 的值是－3.7．设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，且f (x )在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a 的取值范围．[解析] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a －a 24，f (x )≥0在x ∈[－2,2]恒成立的充分条件是f (x )在x ∈[－2,2]上的最小值非负．(1)当－a2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上是增函数，最小值为f (－2)＝7－3a ，由7－3a ≥0，得a ≤73，这与a >4矛盾，此时a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )在[－2,2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24，3－a －a24≥0⇒a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2. 结合－4≤a ≤4，可知此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上是减函数，最小值为f (2)＝7＋a ，由7＋a ≥0，得a ≥－7.∵a <－4，∴－7≤a <－4.由(1)(2)(3)可知，a 的取值范围是[－7,2]．。
高一数学必修1(北师大版)同步练习1-3-1
1-3-1 交集与并集基 础 巩 固一、选择题1．(2011·福建文)若集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∩N 等于( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}[答案] A[解析] 本题考查集合的交集运算． M ∩N ＝{0,1}．2．(2012·信阳高一检测)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D[解析] ∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16a ＝4，∴a ＝4.故选D. 3．若集合P ＝{x |x 2＝1}，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，则P ∩M ＝( ) A ．{3} B ．{1} C ．{－1} D ．∅ [答案] C[解析] ∵P ＝{x |x 2＝1}＝{－1,1}，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}．∴P ∩M ＝{－1}，故选C.4．已知集合A ＝{x |x 2－16＝0}，B ＝{x |x 2－x －12＝0}，则A ∪B＝()A．{4}B．{－3} C．{4}D．{－4，－3,4}[答案] D[解析]∵A＝{－4,4}，B＝{－3,4}，∴A∪B＝{－4，－3,4}，故选D.5．已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q＝()A．{2}B．{3}C．{－2,3}D．{－3,2}[答案] A[解析]∵P＝{1,2,3，…，10}，Q＝{－3,2}，∴P∩Q＝{2}，故选A.6．设集合A＝{x|y＝x2－4}，B＝{y|y＝x2－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}给出下列关系式：①A∩C＝∅；②A＝C；③A＝B；④B＝C，其中不正确的共有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] C[解析]事实上A＝R，B＝{y|y≥－4}，C是点集，只有①是正确的，其余3个均不正确．二、填空题7．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∩B ＝________，A∪B＝________.[答案]{2}{－3,0,2}[解析]∵A＝{－3,2}，B＝{0,2}，∴A ∩B ＝{2}，A ∪B ＝{－3,0,2}．8．已知集合A ＝{x |x <1或x >5}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，且A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |5<x ≤6}，则2a －b ＝________.[答案] －4 [解析] 如图所示，可知a ＝1，b ＝6，∴2a －b ＝－4. 三、解答题9．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2－ax ＋2＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．[解析] 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，由已知得A ＝{1,2}． (1)若1∈B ，则2×12－a ×1＋2＝0，得a ＝4，当a ＝4时，B ＝{1}⊆A ，符合题意． (2)若2∈B ，则2×22－2a ＋2＝0，得a ＝5. 此时B ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12A ，所以a ＝5不符合题意． (3)若B ＝∅，则a 2－16<0， 得－4<a <4，此时B ⊆A ，综上所述，a 的取值范围为－4<a ≤4.能 力 提 升一、选择题1．设M ＝{x |1<x <3}、N ＝{x |2≤x <4}，定义M 与N 的差集M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，则M －N ＝( )A ．{x |1<x <3}B ．{x |3≤x <4}C ．{x |1<x <2}D ．{x |2≤x <3}[答案] C[解析] 将集合M 、N 在数轴上标出，如图所示．∵M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }， ∴M －N ＝{x |1<x <2}．2．集合A ＝{1,2,3,4}，B A ，且1∈(A ∩B )，4∉(A ∩B )，则满足上述条件的集合B 的个数是( )A ．1B ．2C ．4D ．8[答案] C[解析] 由1∈(A ∩B )，且4∉(A ∩B )，得1∈B ， 但4∉B ，又B A ，∴集合B 中至少含有一个元素1，至多含有3个元素1,2,3，故集合B 可以为{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．二、填空题3．已知A ＝{x |a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1，或x >5}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________．[答案] －3≤a <－1[解析] 由题意A ∪B ＝R 得下图，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8≥5，得－3≤a <－1. 4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝{1,3，x }，则满足条件的实数x的个数是________．[答案] 3[解析]∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，∴A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝3或x2＝x.(1)当x2＝3时，得x＝±3.若x＝3，则A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，符合题意；若x＝－3，则A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，符合题意．(2)当x2＝x时，得x＝0或x＝1.若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不成立，舍去．综上知，x＝±3或x＝0.三、解答题5．设集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}，求A∪B.[解析]∵|a＋1|＝2，∴a＝1或a＝－3.当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3，由集合的元素应具有互异性的要求可知，a≠1.当a＝－3时，集合B＝{－5,3,2}．∴A∪B＝{－5,2,3,5}．6．已知A⊆M＝{x|x2－px＋15＝0，x∈R}，B⊆N＝{x|x2－ax－b ＝0，x∈R}，又A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，求p，a和b的值．[分析]由A∩B＝{3}代入可求p，由A∪B＝{2,3,5}及A∩B＝{3}，可求B.再由韦达定理可解a，b.[解析]如图∵A∩B＝{3}，∴3∈A，又A⊆M，∴3∈M.∴32－p·3＋15＝0.∴p＝8，M＝{3,5}．又A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}．∴5∈A,2∈B.∴B＝{2,3}．又B⊆N，∴方程x2－ax－b＝0的两根为2和3.由根与系数的关系，得a＝5，b＝－6.∴p＝8，a＝5，b＝－6.7．某校高一年级举行语、数、英三科竞赛，高一(2)班共有32名同学参加三科竞赛，有16人参加语文竞赛，有10人参加数学竞费，有16人参加英语竞赛，同时参加语文和数学竞赛的有3人，同时参加语文和英语竞赛的有3人，没有人同时参加全部三科竞赛，问：同时参加数学和英语竞赛的有多少人？只参加语文一科竞赛的有多少人？[解析]设所有参加语文竞赛的同学组成的集合用A表示，所有参加数学竞赛的同学组成的集合用B表示，所有参加英语竞赛的同学组成集合用C表示，设只参加语文竞赛的有x人，只参加数学竞赛的有y人，只能加英语竞赛的有z人，同时参加数学和英语竞赛的有m 人．根据题意，可作出如图所示Venn图，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＋3＋y ＋m ＋z ＝32，x ＋3＋3＝16，y ＋m ＋3＝10，z ＋m ＋3＝16，解得x ＝10，y ＝3，z ＝9，m ＝4.答：同时参加数学和英语竞赛的有4人，只参加语文一科竞赛的有10人．。
高一数学必修1(北师大版)同步练习2-3
2-3 函数的单调性基础巩固一、选择题1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是()A．y＝1x2B．y＝x3C．y＝x0D．y＝x2[答案] D[解析]∵函数y＝x2的图像是开口向上的抛物线，对称轴为y 轴，∴函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．2．若函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m＝()A．2B．－2C．10D．－10[答案] C[解析]函数y＝5x2＋mx＋4的图像为开口向上对称轴是x＝－m10要使函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则－m10＝－1，∴m＝10.3．已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a、b∈R，且a＋b≤0，则有()A．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)C．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)D．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)[答案] A[解析]∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a、b∈R，且a＋b≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a ，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．4．(2012·南安高一检测)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上是减少的，则a 的取值范围是( )A ．(0，14]B ．[0，14]C ．[2，＋∞)D ．(0,4][答案] B[解析] 当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1在(－∞，2)上是减少的； 当a ≠0时，要使f (x )在(－∞，2)上是减少的．则⎩⎨⎧a >0－－12a ≥2∴0<a ≤14.综上可得a 的取值范围为a ∈[0，14]．5．(2012·海口高一检测)下列四个函数之中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |[答案] C[解析] 分别画出四个函数的图像易知y ＝x 2－3x 在(32，＋∞)为增加的，y ＝3－x 在(0，＋∞)为减少的，y ＝－|x |在(0，＋∞)上是减少的，y ＝－1x ＋1在(－1，＋∞)上为增加的，故选C.6．定义在R 上的函数y ＝f (x )关于y 轴对称，且在[0，＋∞)上是增加的，则下列关系成立的是()A．f(3)<f(－4)<f(－π)B．f(－π)<f(－4)<f(3)C．f(－4)<f(－π)<f(3)D．f(3)<f(－π)<f(－4)[答案] D[解析]∵f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，且f(x)在[0，＋∞)上是增加的，∴f(3)<f(π)<f(4)，∴f(3)<f(－π)<f(－4)．二、填空题7．设函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．[答案]f(－3)>f(－π)[解析]由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．8．若f(x)＝x2－2(1＋a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围为________．[答案]a≥3[解析]∵函数f(x)＝x2－2(1＋a)x＋2的对称轴为x＝1＋a，∴要使函数在(－∞，4]上是减函数，应满足1＋a≥4，∴a≥3.三、解答题9．已知函数f(x)＝x＋1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求证：函数f(x)在定义域上是增加的；(3)求函数f(x)的最小值．[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值需满足x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数f (x )的定义域是[－1，＋∞)． (2)证明：设－1<x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1－x 2＋1 ＝(x 1＋1－x 2＋1)(x 1＋1＋x 2＋1)x 1＋1＋x 2＋1＝(x 1＋1)－(x 2＋1)x 1＋1＋x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋1＋x 2＋1.∵－1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴f (x 1)<f (x 2)，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)>0， ∴函数f (x )在定义域上是增加的．(3)∵函数f (x )在定义域[－1，＋∞)上是增加的， ∴f (x )≥f (－1)＝0， 即函数f (x )的最小值是0.能 力 提 升一、选择题1．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a )[答案] D[解析] ∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，又∵函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴f (a 2＋1)<f (a )．2．下列命题正确的是( )A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增加的B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增加的C ．若f (x )在区间I 1上为增加的，在区间I 2上也为增加的，那么f (x )在I 1∪I 2上也一定为增加的D ．若f (x )在区间I 上为增加的且f (x 1)<f (x 2)(x 1，x 2∈I )，那么x 1<x 2 [答案] D[解析] 由单调性定义知，选项A 、B 错；对于C ，可举反例，如y ＝－1x ，在区间(－∞，0)上是增加的，在区间(0，＋∞)上也是增加的，若x 1＝－1，x 2＝1时，x 1<x 2，f (－1)＝1>f (1)＝－1，∴函数y ＝－1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增加的，所以C 错，故选D.二、填空题3．f (x )是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f (x )<f (－2x ＋8)的解集是______________．[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 83<x ≤4[解析]依题意，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0－2x ＋8≥0，x >－2x ＋8解得83<x ≤4.4．(2011·四川理)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③[解析] 本题主要考查定义理解．①函数f (x )＝x 2, 当f (x 1)＝f (x 2)时不一定总有x 1＝x 2也可x 1＝－x 2，因此不对，④如果一个函数是单调的，不会出现f (x 1)＝f (x 2)也不会出现x 1＝x 2，故②③.三、解答题5．利用单调性的定义证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减少的．[解析] 设x 1>x 2>－1，则Δx ＝x 2－x 1<0， Δy ＝y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)∵x 1>x 2>－1，x 1＋1>0，x 2＋1>0， Δx ＝x 2－x 1<0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)<0. Δy ＝y 1－y 2<0.∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减少的．6．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.(1)求f (2)的值； (2)解不等式f (m －2)≤3.[解析] (1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2m －2>0，解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．7．已知f (x )的定义域为R ，且有f (－x )＝f (x )，而且在(0，＋∞)上是减少的，判断在(－∞，0)上是增加的还是减少的，并加以证明．[解析] f (x )在(－∞，0)上为增加的． 证明：设x 1∈(－∞，0)，x 2∈(－∞，0)， 且x 1<x 2，则－x 1∈(0，＋∞)，－x 2∈(0，＋∞)， 且－x 1>－x 2.又f (x )在(0，＋∞)上为减少的， ∴f (－x 1)<f (－x 2)．又∵f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2)， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(－∞，0)上为增加的．。
高一数学必修1(北师大版)同步练习2-1、2-3
2-1、2-3 映 射基 础 巩 固一、选择题1．下列从集合A 到集合B 的对应中为映射的是( )A ．A ＝B ＝N ＋，对应法则f ：x →y ＝|x －2|B ．A ＝R ，B ＝{0,1}，对应法则f ：x →y ＝⎩⎨⎧1 (x ≥0)0 (x <0) C ．A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝±xD ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应法则f ：x →y ＝1x[答案] B[解析] A 中元素2无象，排除A ；C 中一个x 对应两个y ，与映射定义不符，排除C ；D 中元素0无像，排除D ，故只有B 正确．2．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面的命题为真命题的是( )A ．A 中的每一个元素在B 中必有像B ．B 中的每一个元素在A 中必有原像C ．B 中的每一个元素在A 中的原像唯一D ．A 中的不同元素的像必定不同[答案] A[解析] 由映射的定义可知，集合A 中的每一个元素在B 中必有像，故选A.3．已知(x ，y )在映射下的像是(x ＋y ，x －y )，则像(1,2)在f 下的原像为( )A ．(52，32)B ．(－32，12)C ．(－32，－12) D ．(32，－12) [答案] D[解析] 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32y ＝－12.4．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列能表示从集合A 到集合B 的映射的是()[答案] D[解析] 对于A ，当x ＝0，y ＝0∉{y |1≤y ≤2}，不是从A 到B 的映射；对于B ，当x ＝2时y ＝0∉{y |1≤y ≤2}，也不是从A 到B 的映射；对于C ，当x ＝0时，y ＝1且y ＝2，即集合A 中的一个元素0与集合B 中的两个元素1和2相对应，所以也不是从A 到B 的映射；对于D ，集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应，所以是从A 到B 的映射．5．(2012·广州高一检测)下列说法正确的有( )①函数是从定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋1－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈Z )的图像是一条直线．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案] B[解析] ①根据定义可知此命题是正确的；②要使f (x )有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ≤1， 故x ∈∅，定义中明确指出，函数建立在两个非空数集上，故此命题是错误的；③因为函数y ＝2x 的定义域是Z ，故y ＝2x (x ∈Z )的图像是一些孤立的点，所以此命题是错误的．故应选B.6．下列各组中，集合P 与M 不能建立映射的是( )A ．P ＝{0}，M ＝∅B ．P ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{2,4,6,8}C ．P ＝{有理数}，M ＝{数轴上的点}D ．P ＝{平面上的点}，M ＝{有序实数对}[答案] A[解析] 选项A 中，M ＝∅，故集合P 中的元素在集合M 中无元素与之对应，故不能建立映射．二、填空题7．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{m ，n }，则由A 到B 的一一映射的个数为________．[答案] 2[解析] 由题意可知如图：共有2个一一映射．8．a ，b 为实数，集合M ＝{b a，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值等于________．[答案] 1[解析] 因为f ：x →x ，∴M ＝N ，∴b a＝0，a ＝1，故a ＋b ＝1. 三、解答题9．已知映射f ：A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x ＋2y ＋2,4x ＋y )．(1)求A 中元素(5,5)的像；(2)求B 中元素(5,5)的原像；(3)A 中是否存在这样的元素(a ，b )，使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵x ＝5，y ＝5，∴(x ＋2y ＋2,4x ＋y )＝(17,25)．∴A 中元素(5,5)的像是(17,25)．(2)设元素(5,5)的原像是(m ，n )，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＋2＝5，4m ＋n ＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1， ∴(5,5)的原像是(1,1)．(3)假设A 中存在这样的元素(a ，b )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋2＝a ，4a ＋b ＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1， ∴A 中存在元素(a ，b )使它的像仍是它自己，这个元素为(0，－1).能 力 提 升一、选择题1．已知A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列对应不表示从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝32x D ．f ：x →y ＝x[答案] C[解析] 对于A ，当0≤x ≤4时，0≤12x ≤2，f ：x →y ＝12x 能构成A 到B 的映射；对于B,0≤13x ≤43，也能构成集合A 到集合B 的映射；对于C,0≤32x ≤6，而[0,6][0,2]，所以不能构成从A 到B 的映射；对于选项D,0≤x ≤2，能构成从A 到B 的映射．2．(2012·东营高一检测)已知集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－1,0,1}，若f 是M →N 的映射，且f (a )＝0，则这样的映射共有( )A ．4个B ．6个C ．9个D ．27个 [分析] 通过本题考查映射的概念．同时又加深了像与原像的关系理解，是一道“源于课本，高于课本”的好题．[答案] C[解析]∵f(a)＝0.本题就转化为M＝{b，c}到N＝{－1,0,1}的映射个数问题．当f(b)＝－1时f(c)可以等于－1,0,1三种情况．同理当f(b)＝0或1时，f(c)也各有三种情况．∴共构成9个映射，故选C.二、填空题3．下列对应是集合A到集合B的一一映射的是________(填正确序号)．(1)A＝N，B＝{－1,1}，x∈A，y∈B，f：x→y＝(－1)x；(2)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：x→y＝13x；(3)A＝{x|0≤x≤1}，B＝{y|y≥1}，f：x→y＝1 x；(4)A＝{三角形}，B＝R，f：三角形与它面积的对应．[答案](2)[解析](1)(2)(4)为映射，(3)不是映射(因为(3)中集合A中的元素0没有像)，只有(2)是一一映射．4．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1，2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下A→B的像，且对任意的a ∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素个数是________．[答案] 4[解析]∵|－3|＝3，|－2|＝2，|－1|＝1，∴－3,3→3，－2,2→2，－1,1→1,4→4，B中元素有4个．三、解答题5．下列对应是不是从A 到B 的函数？是不是从A 到B 的映射？(1)A ＝B ＝N ，f ：x →|x －3|；(2)A ＝{x |x 是三角形}，B ＝{x |x 是圆}，f ：三角形的内切圆；(3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →y ＝1x. [解析] (1)当x ∈N 时，则|x －3|∈N ，即A 中的元素在B 中都有像，所以(1)是映射，也是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，它是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，y ＝10没有意义，即A 中元素0在B 中没有像，所以(4)不是函数，也不是映射．规律技巧总结：(1)函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．(2)有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？对于关系式x ＝1，显然有x ∈{1}，y ∈R ，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x ＝1”不是y 关于x 的函数．6．从集合A 到B 的映射是f ：x ―→y ＝x 2x ＋1，从集合B 到C 的映射是f ：y ―→z ＝y 2－4y ，则A 中元素1在C 中的像是什么？C 中的元素0对应A 中的原像是什么？[解析] A 中元素1在B 中对应的元素为12×1＋1＝13，B 中元素13在C 中对应的元素是(13)2－4×13＝－119，故A 中元素1在C 中的像是－119. C 中的元素0在B 中的原像是0或4.B 中的元素0在A 中的原像是0；B 中的元素4在A 中的原像是－47，所以C 中的元素0在A 中的原像是0或－47. 7．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f 是A 到B 的一个映射，并满足f ：(x ，y )→(－xy ，x －y )．(1)求B 中元素(3，－4)在A 中的原像；(2)试探索B 中元素满足什么条件时在A 中存在原像？[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －xy ＝3，x －y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1. 所以B 中元素(3，－4)在A 中的原像为(－1,3)和(－3,1)．(2)设任意(a ，b )∈B ，则它在A 中的原像(x ，y )应满足⎩⎪⎨⎪⎧－xy ＝a ①x －y ＝b ②，由②得y ＝x －b 代入①式并化简，得x 2－bx ＋a ＝0③当且仅当Δ＝b 2－4a ≥0时，方程③有实根，所以，只有当B 中元素(a ，b )满足b 2－4a ≥0时，在A 中才有原像．。
高一数学必修1(北师大版)同步练习2-1
2-1生活中的变量关系基 础 巩 固一、选择题1．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，在同一坐标系下，函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝1的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1均有可能[答案] B[解析] ∵1∈[－1,5]，∴y ＝f (x )的图像与直线x ＝1的交点为1个．2．(2012·九江高一检测)函数f (x )＝x －2＋1x －3的定义域是( )A ．[2,3)B ．(3，＋∞)C ．[2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)[答案] C[解析] 要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0x －3≠0解得x ≥2且x ≠3.故选C.3．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2 B ．y ＝x ＋1 C ．x ＋y ＝0 D ．y ＝x 2[答案] A[解析] 从函数的概念来看，一个自变量x 对应一个y ；而A 中x ＝y 2中一个x 对应两个y .∴A 不是函数．4．(2012·潍坊高一检测)函数y ＝x (x －1)＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1}[分析] 本题主要考查偶次根式函数定义域的求法． [答案] C[解析] 要使函数有意义，只须⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0x ≥0，解得：x ＝0或x ≥1.故选C.5．函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)[答案] C[解析] ∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，∴值域为(0,1]，故选C.6．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x ＋1和y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2 [答案] D[解析] 只有D 是相等的函数，A 与B 中定义域不同，C 是对应法则不同．二、填空题7．(2011·浙江文)设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，则实数a ＝________.[答案] －1[解析] 本题考查了已知函数值，求自变量的值的问题，主要考查学生的求解运算能力．由题意可知，f (a )＝41－a＝2，解之得a ＝－1.8．函数y ＝－x 2＋x ＋2的定义域为______________，值域为______________．[答案] [－1,2] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 [解析] 由－x 2＋x ＋2≥0得－1≤x ≤2，又设t ＝－x 2＋x ＋2的对称轴为x ＝12，顶点的纵坐标为4ac －b 24a ＝4×(－1)×2－1－4＝94，∴0≤t ≤94，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.三、解答题9．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－3)、 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值；(3)当a >0时，求f (a )、f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}．∴这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2} ＝{x |x ≥－3且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)∵a >0，∴f (a )、 f (a －1)有意义． f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1(a －1)＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能 力 提 升一、选择题 1．函数y ＝11＋1x的定义域是( )A ．{x |x >0}B ．{x |x >0或x ≤－1}C ．{x |x >0或x <－1}D ．{x |0<x <1}[答案] C[解析] ∵11＋1x≥0⇔1＋1x >0⇔x ＋1x ⇔x >0或x <－1.2．函数y ＝2x －1(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)[答案] A[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5) ∴x －1∈(－∞，0)∪[1,4)当x －1∈(－∞，0)时，2x －1∈(－∞，0)；当x －1∈[1,4)时，2x －1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 二、填空题3．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈A 的值域为{－1,1,3}，则定义域A 为________．[答案] {1,2,3}[解析] 值域为{－1,1,3}，即令f (x )分别等于－1,1,3求出对应的x ，则由x 组成的集合即为定义域{1,2,3}．4．下列函数中定义域与值域相同的是________． (1)y ＝－x ＋1；(2)y ＝x 2；(3)y ＝3x .[答案] (1)(3)[解析] (1)x ∈R ，y ∈R ；(2)x ∈R ，y ≥0；(3)x ≠0，y ≠0.故选(1)(3)． 三、解答题5．(2012·琼海高一检测)已知函数f (x )＝x ＋4x ＋2(1)求f (x )的定义域；(2)求f (－3)，f (23)的值．[解析] (1)要使f (x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4≥0x ＋2≠0，即x ≥－4且x ≠－2，∴f (x )的定义域为[－4，－2)∪(－2，＋∞)．(2)∵f (x )＝x ＋4x ＋2，∴f (－3)＝－3＋4－3＋2＝－1，f (23)＝23＋423＋2＝428. 6．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1x －2；(2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝－x 2＋2(x ∈Z )． (4)f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x .[解析] (1)∵x －2为分母，∴x －2≠0. ∴定义域为{x |x ≠2}．(2)∵3x ＋2<0，3x ＋2无意义， ∴3x ＋2≥0，即x ≥－23.其定义域为{x |x ≥－23}．(3)∵－x 2＋2≥0，即x 2≤2， 又∵x ∈Z ，∴x ＝0，－1,1.即该函数定义域为{－1,0,1}． (4)要使函数式有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数的定义域是{x |x ≤1且x ≠－1}．7．已知函数f (x )＝11＋x (x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (2)]的值；(3)求f [g (x )]和g [f (x )]的解析式．[分析] (1)f (x )＝11＋x ，g (x )＝x 2＋2→令x ＝2→求f (2)，g (2)(2)由(1)知g (2)→求f [g (2)](3)f [g (x )]中的g (x )看作x →整体代入f (x )求解→f [g (x )]解析式 [解析] (1)令x ＝2分别代入f (x )，g (x )得 f (2)＝11＋2＝13， g (2)＝22＋2＝6.(2)∵g (2)＝6，∴f [g (2)]＝f (6)＝11＋6＝17.(3)将f [g (x )]中的g (x )看作整体， ∴f [g (x )]＝11＋g (x )＝11＋x 2＋2＝1x 2＋3， 同理将g [f (x )]中的f (x )看作整体， ∴g [f (x )]＝[f (x )]2＋2＝(11＋x)2＋2.[点评] 1.求函数值问题，首先确定出函数的对应关系f 的具体含义，再代入求值．求类似f[g(2)]的值，要注意f，g作用的对象，按由内向外的顺序求值．2．求f[g(x)]解析式时，要有整体代换的思想．。
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3-2指数扩充及其运算性质
基 础 巩 固
一、选择题 1．若有意义，则x 的取值范围是( )
A ．x ∈R
B ．x ≠12
C ．x >12
D ．x <12
[答案] D [解析]
＝
16(1－2x )5
，要使
有意义，则需1－2x >0，即x <1
2
.
2．以下化简结果错误的是(
)
[答案] D
[解析]
故选项D 错误．
A ．5
B ．23
C ．25
D ．27 [答案] B
[解析] x 2＋1x ＝x ＋1
x
＝x ＋x －1
故选B.
4．要使4
a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．2≤a <4或a >4 C ．a ≠2 D ．a ≠4
[答案] B
[解析] 要使原式有意义，需满足：
⎩⎪⎨⎪⎧
a －2≥0
a －4≠0
，解得2≤a <4或a >4.
[答案] A [解析]
6．(
36a 9)4·(6
3a 9)4的结果是( )
A ．a 16
B ．a 8
C ．a 4
D ．a 2 [答案] C
[解析] (
3
6a 9)4·(63a 9)4＝
)4
·
(6a 3)
4
二、填空题
7．(2012·临淄高一检测)0.25×(－
12)－4
－4÷20－
＝
________.
[分析] 本小题考查分数指数幂的运算，利用运算性质，运用法则即可求解．
[答案] －4 [解析]
＝14×(12)－4
－4－
＝4－4－4＝－4.
8．(2012·郑州模拟)设函数f 1(x )＝x 1
2
，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则
f 1(f 2(f 3(2012)))＝________.
[答案] 1
2012
[解析] f 1(f 2(f 3(2012)))＝f 1(f 2(20122
))＝f 1((20122
)－1
)＝((20122)－1
)
1
2
＝2012－1
＝1
2012
.
三、解答题
9．(1)已知3a 2＋b ＝1，求9a
·3b
3
a 的值．
[解析] (1)9a ·3b 3a ＝32a ·3b 3a 2
＝32a ＋b ÷3a
2
∵32a ＋b ＝1，∴9a
·3b
3
a ＝3.
能 力 提 升
一、选择题
[答案] A
[解析]利用平方差公式易求选A.
2．下列结论中正确的个数是()
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析]取a＝－2，可验证①不正确；
当a<0，n为奇数时，②不正确；
y＝(x－2)1
2
－(3x－7)0的定义域应是[2，
7
3)∪(
7
3，＋∞)，③不正
确；
④由100a＝5得102a＝5.(1)
又10b＝2.(2)
(1)×(2)得102a＋b＝10.
∴2a＋b＝1，此命题正确．
二、填空题
3．若2－x 有意义，则x 2－4x ＋4－|3－x |化简后的结果是________．
[答案] －1
[解析] ∵2－x 有意义，∴2－x ≥0. ∴x ≤2.
∴x 2－4x ＋4－|3－x |
＝|x －2|－|3－x |＝(2－x )－(3－x )＝－
1.
[答案] －23 [解析]
三、解答题 5．化简下列各式：
(2)
a 3
b 2
·3ab
2
(4
a b )4
3b
a (a ＞
b ，b ＞0)．
[分析] 在指数式运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．
[解析]
[点评] 这种混合运算的题型，运算的关键是化简顺序：先乘方、再乘除，最后做加减，步步紧扣运算法则，同时应注意将系数和字母分开计算．
6．已知a ＝－827，b ＝17
71，求
的值．
[解析] ∵a ≠0，
7．已知a 、b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －b
a ＋b
的值．
[解析] ∵a 、b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝6ab ＝4. (a －b a ＋b )2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15， ∵a >b >0，∴a >b ， ∴a －b a ＋b ＝
15＝55
.。