2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第16讲 定积分及其应用举例
2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第9讲 函数的图象
ⅰ)当 x>a 时，
①当 a<0 时，g(a)＝－1,
a a a2 g ＝－ －1<0，g(x)在 ，＋∞ 4 2 2
上是增函数，如图 2-9-8，此时函数 g(x)与 x 轴有 1 个交点；
图 2-9-8
图 2-9-9
②当 a＝0 时， g(0)＝－1，g(x)在(0，＋∞)上是增函数， 如图 2-9-9，此时函数 g(x)与 x 轴有 1 个交点； ③当 a>0 时，g(a)＝－1，g(x)在(a，＋∞)上是增函数， 此 时函数 g(x)与 x 轴有 1 个交点．
A
B
C
D
3．函数 y＝lg|x|的图象大致是( C )
A
B
C
D
4．方程|x|＝cosx 在(－∞，＋∞)内(
C )
A．没有根
C．有且仅有两个根
B．有且仅有一个根
D．有无穷多个根
解析：构造两个函数 y＝|x|和 y＝cosx，在同一个坐标系内 画出它们的图象，如图 D4，观察知图象有两个公共点，所以已 知方程有且仅有两个根．
方法二：函数 g(x)＝f(x)－1 的零点个数问题等价于函数 y
＝f(x)－1 与 x 轴的交点的个数．
2 x －ax－1，x≥a， g(x)＝f(x)－1＝x|x－a|－1＝ 2 －x ＋ax－1，x<a， a2 a2 x－2 － 4 －1，x≥a， 即 g(x)＝ 2 a a －x－ 2＋ －1，x<a. 2 4
答案：①②
【规律方法】本题考查的是作图，作图主要应用描点法、 图象变换法以及结合函数的性质等方法.函数图象的变换主要 有三种：平移变换、伸缩变换、对称变换.要特别注意平移变换 与伸缩变换的顺序不同会带来不同的结果.
《南方新课堂_高考总复习》数学(理科)课时作业专题六立体几何Word含解析
专题六立体几何第 1课时1．(2015 年新课标Ⅱ )一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如图Z6- 1，则截去部分体积与节余部分体积的比值为()图 Z6-11 1 1 1A. 8B. 7C.6D. 52．如图 Z6- 2，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()图 Z6-216 32 64A. 3B. 3C. 3 D ．323．某几何体的三视图如图Z6- 3，则该几何体的体积为()图 Z6-32 4A. 3B. 3816C.3D. 34．(2016 年河北“五校结盟”质量监测 )某四周体的三视图如图Z6-4，则其四个面中最大的面积是 ()图 Z6-4A ．2B ．22 C.3 D ．235．已知一个几何体的三视图如图 Z6- 5，则该几何体的体积为 ( )图 Z6-52223A ．8 B. 3 C. 3 D ．76．点 A ， B ，C ，D 均在同一球面上，且 AB ， AC ，AD 两两垂直，且AB ＝ 1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为 ( )7 7 14πA ． 7πB ． 14π C.2π D. 37．(2013 年新课标Ⅰ)如图 Z6-6，有一个水平搁置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内灌水，当球面恰巧接触水面时测得水深为 6 cm ，假如不计容器厚度，则球的体积为()图 Z6-6500 π 3866 π3A. 3cm B. 3 cm C. 1372 π D. 2048 π3 cm 3 3cm 38． (2016 年北京 )某四棱柱的三视图如图 Z6-7，则该四棱柱的体积为 ________．图 Z6-7体9．球 O 半径为OABC 的体积是 (R＝13，球面上有三点)A， B，C， AB＝ 12 3， AC＝ BC＝ 12，则四周A．60C．6010．如图ABC 的距离为3 B．50 36 D．50 6Z6-8，已知正三角形ABC 三个极点都在半径为 2 的球面上，球心O1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是到平面( )图 Z6-87π9πA. 4 B． 2π C. 4 D． 3π11． (2017 年广东茂名一模 )过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦AB， AC， AD ，且两两夹角都为60°，若球半径为 R，则△ BCD 的面积为 ____________．12．已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各极点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3， AB＝ 2， AC＝ 1，∠ BAC＝ 60°，则此球的表面积等于 ________．第 2课时1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ BAC＝ 90°，AB ＝AC＝ AA1，则异面直线BA1与 AC1 所成的角等于 ()A ． 30°B ．45° C．60° D ．90°2．(2016 年天津模拟 )如图 Z6-9，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和△ ACD 折成相互垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：图 Z6-9①BD⊥ AC；②△ BAC 是等边三角形；③三棱锥 D -ABC 是正三棱锥；④平面 ADC ⊥平面 ABC .()此中正确的选项是A ．①②④B ．①②③C．②③④D．①③④)分别相等，且3．三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱2 2长各为2， m， n，此中 m ＋n ＝6，则三棱锥体积的最大值为()3 1 8 3 2A. 3B. 2C. 27D. 34．(2016 年辽宁葫芦岛统测) 已知四棱锥P-ABCD 的五个极点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD ，在△ PAD 中， PA＝ PD ＝2，∠ APD ＝120 °，AB＝2，则球 O 的外接球的表面积等于()A ． 16π B． 20π C． 24π D ．36π5．在矩形ABCD 中， AD＝ 2，AB ＝4， E，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，点A， F 折起后分别为点A′， F′，获得四棱锥A′ -BCDE .给出以下几个结论：① A′， B， C， F′四点共面；② EF′∥平面A′ BC；③若平面 A′DE ⊥平面 BCDE ，则 CE⊥ A′ D；④四棱锥 A′ -BCDE 体积的最大值为2，此中正确的选项是________(填上全部正确的序号)．6．(2017 年广东梅州一模 )如图 Z6-10 所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG 所截后获得的，此中∠ BAE＝∠ GAD ＝ 45°，AB ＝ 2AD＝ 2，∠ BAD ＝ 60°.(1)求证： BD ⊥平面 ADG；(2)求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值．图 Z6- 107． (2017 年广东广州二模 )如图 Z6-11，ABCD 是边长为 a 的菱形，∠ BAD＝ 60°， EB⊥平面 ABCD ， FD ⊥平面 ABCD ， EB＝ 2FD ＝ 3a.(1)求证： EF ⊥ AC；(2)求直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值．图 Z6-118． (2017 年广东揭阳一模)如图Z6-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB＝ BC＝BB1，AB1∩ A1B＝ E，D 为 AC 上的点， B1C∥平面 A1BD；(1)求证： BD ⊥平面 A1ACC1；(2)若 AB＝ 1，且 AC ·AD＝ 1，求二面角B-A1D -B1的余弦值．图 Z6- 12专题六 立体几何第 1课时1．D 分析： 由三视图，得在正方体 1 1 1 1 中，截去四周体A-A 1 1 1，如图ABCD-A B C DB DD164 ，图 D164设正方体棱长为 a ，则 V A- A 1B 1D 1 1 1 3 1 3＝ × a ＝ a .3 2 631 35 31则节余几何体体积为 a－ 6a ＝ 6a .因此截去部分体积与节余部分体积的比值为 5.应选D.2． B 分析： 几何体为如图 D165 所示的正方体中的三棱锥 E- BB 1C(E 为 AA 1 的中点 )，它的体积为1× 1× 4× 4× 4＝323 23 .应选 B.图 D165图 D1663． B分析： 由三视图知对应的几何体为如图D166 所示的正方体中的三棱锥P-ABC ，此中 PC ⊥平面 PAB ，PA ＝AB ， PC ＝ PB ＝ 2，A 到 PB 的距离为 2，故该几何体的体积为 1× 13 2 4×2× 2× 2＝ .应选 B.3 4．D分析： 如图 D167 ，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中复原出三视图的直观图，其是一个三个极点在正方体的右边面、一个极点在左边面的三棱锥，即 D 1-BCB 1，其四个面的面积分别为 2,22， 2 2， 2 3.应选 D.图 D1675．D 分析：由三视图可知该几何体是一个由棱长为 2 的正方体截去两个三棱锥 A-A 1PQ和 D-PC 1D 1 后节余的部分，如图D168 ，此中 Q 是棱 A 11 的中点， P 是 A 11 的中点，因此B D该几何体的体积为V ＝ 8－1× 1× 1× 1×2－ 1×1× 1× 2×2＝ 7.应选 3 2 3 2D. 图 D1686．B分析： 三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两相互垂直，因此把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，因此长方体的对角线长是 12＋ 22＋ 32＝14，它的外接球半径是14，外接球的表面积是 4π× 14 2＝ 14π故.选 B.2 27．A 分析： 如图 D169 ，作出球的一个截面，则 MC ＝ 8－ 6＝ 2(cm)，BM ＝ 1A B ＝ 1× 822 ＝ 4(cm) ．设球的半径为 R cm ，则 R 2＝OM 2＋ MB 2＝ (R － 2)2＋42，∴R ＝ 5.∴V 球＝43π× 53＝5003 π(cm 3)．图 D16938.2 分析： 由已知的三视图，得该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，其高1 3为 1，故该四棱柱的体积 V ＝ Sh ＝ 2× (1＋2)× 1× 1＝2.9．A 分析： 设△ABC 外接圆半径为 r ，由 AB ＝ 12 3，AB ＝BC ＝ 12，得 A ＝B ＝ 30°，12 3 ＝24.解得 r ＝ 12.则 O 到平面 ABC 的距离 d ＝ R 2－ r 2＝ 132－ 122C ＝ 120 °.因此 2r ＝sin 120° 1× 36 3× 5＝ 60 3.应选 A. △1× 12× 12× sin 120 ＝°36 3，因此 V＝5.又 S ABC ＝ 2O-ABC ＝310．C 分析： 依据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，知经过点 E 的球 O的截面与 OE 垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半 径的最小值，进而可得截面面积的最小值．设正三角形ABC 的中心为O 1，连结 O 1A ，连结O 1O ，O 1C ，OC ，∵O 1 是正三角形 ABC 的中心， A ，B ，C 三点都在球面上， ∴O 1O ⊥平面 ABC. 联合 O 1C? 平面 ABC ，可得 O 1O ⊥O 1C.∵球的半径 R ＝ 2，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，∴O 1O ＝1.∴Rt △O 1OC 中，O 1C ＝ R 2－ O 1O 2＝ 3.又∵E 为 AB 的中点， △ABC 是等边三角形． ∴32 27O 1E ＝ AO 1sin 30 ＝°2 .∴OE ＝OO 1＋ O 1E ＝ 2 .过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，2 2 329 截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r ＝ R －OE ＝ 2.可得截面面积为 S ＝ πr ＝ 4π故.选 C.2 3 2分析： 方法一，由条件知 A-BCD 是正四周体，△ BCD 是正三角形， A ，B ，11. 3 R C ，D 为球上四点，将正三棱锥A-BCD 增补成一个正方体AGBH -FDEC ，如图 D170. 则正三棱锥 A-BCD 和正方体 AGBH -FDEC 有共同的外接球， △BCD 的边长就是正方风光的对角线，设正方体 AGBH -FDEC 的棱长为 a ，则正方体外接球半径 R 知足： a 2＋ a 2＋ a 2 ＝(2R)2，解得2422 228211823 ＝ 2 3a ＝ R .因此 BC ＝ a＋ a ＝R .因此△BCD 的面积 S ＝BC ×BD sin 60 ＝°× R ×2 333223R 2.图 D170图 D171方法二，由条件 A-BCD 是正四周体， △ BCD 是正三角形， A ， B ， C ， D 为球上四点， 球心 O 在正四周体中心，如图 D171.设 BC ＝ a ，CD 的中点为 E ， O 1 为过点 B ，C ， D 截面圆的圆心，2 23 3 则截面圆半径 r ＝O 1B ＝ 3BE ＝ 3×2 a ＝ 3 a.2 3 2 6正四周体 A-BCD 的高 AO 1＝ a － 3 a＝ 3 a.∴ 截面 BCD 与球心的距离d ＝ OO 1＝ 63 a －R.32 2622 6在 Rt △BOO 1 中， 3 a＝ R － 3 a －R，解得 a ＝ 3 R.∴△ BCD 的面积为11 2 6 2 3 2 32S ＝BC ×BCsin 60 ＝° ×3 R× 2 ＝ 3 R .2 212． 8π 分析： ∵三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3， AC ＝ 1，1 2 22AB ＝ 2，∠BAC ＝ 60°，∴2×1× 2× sin 60°× AA 1＝ 3.∴AA 1＝ 2.∵BC ＝ AB ＋ AC －2AB ·ACcos60°＝ 4＋ 1－ 2＝3，∴BC ＝ 3.设△ABC 外接圆的半径为BC ＝ 2R.∴R ＝ 1.故外接球的 R ，则sin 60 °半径为12＋ 12＝ 2，外接球的表面积等于 4π× ( 2)2＝8π.第2课时1． C 分析： 延伸 CA 到 D ，使得 AD ＝ AC ，则 ADA 1C 1 为平行四边形，∠ DA 1B 就是异面直线 BA 1 与 AC 1 所成的角．又△ A 1DB 为等边三角形．∴∠ DA 1B ＝ 60°.2． B 分析： 由题意知， BD ⊥平面 ADC ，故 BD ⊥AC ，①正确； AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高， 平面 ABD ⊥平面 ACD ，因此 AB ＝ AC ＝ BC ，△BAC 是等边三角形， ②正确；易知 DA ＝ DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．3． D 分析： 直接求三棱锥的体积很困难，由于不知三棱锥的形状，也没有数据，将该三棱锥放进长方体模型，如图D172，三棱锥 A-CB 1 1 切合题意，设AA 1＝ x ， A 1 D 1＝ y ，Dx 2＋ y 2＝ 2，1 1＝ z ，有2＋ z2＝m 2， 2 22 222＝4，z ＝ 22x A By 2＋ z 2 ＝n 2 ，11 2 22三棱锥体积 V ＝ 3V 长方体 ＝ 3xyz ＝ 3 xy ≤ 3 .因此三棱锥体积的最大值为 3 .应选 D.图 D1724．B 分析： 取 AD 的中点为 E ，连结 PE ，则由平面 PAD 垂直于平面 ABCD 可得， PE ⊥平面 ABCD ，于是以点 E 为原点，以 ED ，EP 分别为 x ，z 轴成立空间直角坐标系，此中AC 与 BD 订交于 F 点．于是可得E(0,0,0) ， D( 3， 0,0)， A(－ 3， 0,0)， P(0,0,1) ， C( 3，2,0)，B(－ 3，2,0)，F(0,1,0) ，设球 O 的球心的坐标为 →O(0，1，z 0)，则 OP ＝ (0，－ 1,1－ z 0 )， → → → － 1 2 2 ＝ 2 OB ＝(－ 3，1，－ z 0)，由 |OP|＝ |OB|，得 ＋ 1－ z 0 3＋ 1＋ z 0.解之，得 z 0＝－ 1.因此球心→ 5，由球的表面积公式知， S ＝ 4πr 2 ＝4π× ( 5) 2O(0,1，－ 1)．于是其半径为 |OP|＝ ＝ 20π故.选 B.5． ②③6． (1) 证明： 在△BAD 中，∵AB ＝ 2AD ＝ 2，∠BAD ＝60°， ∴由余弦定理，可得 BD ＝ 3. ∵AB 2＝AD 2＋ BD 2，∴AD ⊥BD .又在直平行六面体中，GD ⊥平面 ABCD ，BD ? 平面 ABCD ，∴GD ⊥BD .又 AD ∩ GD ＝ D ，∴BD ⊥平面 ADG.(2)解： 以 D 为坐标原点，成立如图 D173 所示的空间直角坐标系 D-xyz.图 D173∵∠ BAE ＝∠ GAD ＝ 45°， AB ＝ 2AD ＝ 2，∴ A(1,0,0) ，B(0， 3， 0)， G(0,0,1)， E(0， 3，2)， C(－ 1， 3，0)．→ →． ∴ AE ＝ (－ 1， 3， 2)，AG ＝ (－ 1,0,1) 设平面 AEFG 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)，→n ·AE ＝－ x ＋ 3y ＋ 2z ＝ 0， 故有→n ·AG ＝－ x ＋ z ＝ 0.令 x ＝ 1，得 y ＝－ 33，z ＝ 1.n ＝ (1，－ 33， 1)．而平面 ABCD 的一个法向量为→，DG＝ (0,0,1)→→21 DG·n∴ cos 〈DG＝7 .， n〉＝→|DG | |·n|故平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为7．解： (1) 证明：连结 BD，如图 D174.由于 ABCD 是菱形，因此AC⊥BD.由于 FD ⊥平面 ABCD ， AC? 平面 ABCD ，因此 AC ⊥FD .由于 BD ∩FD ＝ D，因此 AC⊥平面 BDF .由于EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，因此 EB ∥FD .因此 B， D， F，E 四点共面．由于 EF ? 平面 BDFE ，因此 EF⊥AC. 21 7 .图 D174 图 D175(2)如图 D175，以 D 为坐标原点，分别以→→的方向为 y 轴， z 轴的正方向，成立DC，DF空间直角坐标系D-xyz.能够求得3 1 3 1 3Aa，－2a， 0 ， B 2 a，2a， 0 ， F 0， 0，2 a ， C(0 ， a,0) ，23 1E 2 a，2a， 3a .→→＝3 1 3因此 AB＝ (0， a,0)， AF －2 a，2a，2 a . 设平面 ABF 的法向量为n＝( x， y， z)，→＝0，ay＝ 0，n·AB则→即－3 1 3 ＝0，n·AF 2 ax＋2ay＋2 az＝ 0.取 x＝ 1，则平面 ABF 的一个法向量为n＝(1,0,1)．→ 3 1，由于 CE＝2 a，－2a，3a→| →| 3 6n·CE因此 |cos〈n，CE〉|＝|n|CE→＝8 .| |因此直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值为38 6 .8． (1) 证明：如图 D176，连结 ED，∵平面 AB1C∩平面 A1BD ＝ED， B1C∥平面A1BD ，∴B1C∥ED.∵E 为 AB1的中点，∴ D 为 AC 的中点．∵AB＝ BC，∴BD ⊥AC.①方法一，由 A1A⊥平面 ABC， BD? 平面 ABC，得 A1A⊥BD ，②由①②及 A1A， AC 是平面 A1ACC1内的两条订交直线，∴BD ⊥平面 A1ACC1.方法二，∵ A1A⊥平面 ABC， A1A? 平面 A1 ACC1，∴平面 A1ACC1⊥平面 ABC.又平面 A1ACC 1∩平面 ABC＝ AC，∴BD ⊥平面 A1ACC1.图 D176 图 D177(2)由 AB＝ 1，得 BC ＝BB1＝ 1.1 2由 (1)知 DA＝2AC，由 AC·DA＝1，得 AC ＝ 2.∵AC2＝ 2＝ AB2＋ BC2，∴ AB⊥ BC.以 B 为原点，成立空间直角坐标系B-xyz 如图 D177，1 1则 A1(1,0,1) ，B1(0,0,1) ， D 2，2， 0 .→→ 1 1.因此 B1A1＝ (1,0,0) ，B1D＝，，－12 2设 m＝(x，y，z)是平面A1B1D的一个法向量，→→m·B1A1＝x＝0，m⊥B1A1，则得→ 1 1→y－ z＝ 0.m⊥B1D，m·B1D＝x＋2 2令 z＝ 1，得m＝ (0,2,1) ．设 n＝(a，b，c)为平面A1BD的一个法向量，→，→ a bn⊥BD n·BD＝＋＝0，则得 2 2→→n⊥BA1，n·BA1＝a＋c＝0.令 c＝ 1，得n＝ (－1,1,1) ．依题意知二面角B-A1D -B1为锐二面角，设其大小为θ，则 cos θ＝ |cos〈n，m〉 |＝|n·m|＝3＝155. |n| ·|m| 5× 315 即二面角 B-A1 D-B1的余弦值为5 .。
《2016南方新高考》理科数学高考大一轮总复习课件：第2章 第9讲 函数与方程
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理 数
Байду номын сангаас
【跟踪训练 3】(2014· 湖北)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函 数，当 x≥0 时，f(x)＝x2－3x，则函数 g(x)＝f(x)－x＋3 的零点 的集合为( ) B．{－3，－1,1,3} D．{－2－ 7，1,3}
A．{1,3} C．{2－ 7，1,3}
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【温馨提示】(1)函数零点存在性问题常用的办法有三 种：一是用定理，二是解方程，三是用图象，值得注意的 是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件；(2) 对函数零点个数的判断方法：①结合零点存在性定理，利 用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数 图象交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．
0＜x＜2 x≤0或x≥1
，显然故 A、B、
C 都是错误的，正确的为 D.
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5. 函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一个区间是 ③ (填 序号)． ①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．
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解析：因为 f(x)＝ex＋x－2，所以 f(0)＝－1＜0，f(1)＝e －1＞0.所以函数 f(x)的零点所在的一个区间是(0,1)．
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【解答过程】(1)“对于任意的 a∈R(R 为实数集)，方程 f(x)＝1 必有实数根”是真命题；依题意：f(x)＝1 有实根，即 x2＋(2a－1)x－2a＝0 有实根，因为 Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋ 1)2≥0 对于任意的 a∈R(R 为实数集)恒成立， 即 x2＋(2a－1)x －2a＝0 必有实根，从而 f(x)＝1 必有实根．
2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第七章-第5讲-空间直角坐标系详细版.ppt
又 AC 的中点为 O72，4，－1，设 D(x，y，z)， 则72＝x＋2 2，4＝－52＋y，－1＝1＋2 z，
..分割..
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∴x＝5，y＝13，z＝－3.
故 D(5,13，－3)．
【规律方法】根据图形特征，利用点的对称性和中点坐标
公式是解决有关中点问题的关键.
【互动探究】
2．点 A(1，－3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为( B )
..分割..
17
【规律方法】注意空间直角坐标系与平面直角坐标系的联 系与区别，中点公式和距离公式与平面直角坐标系中的公式是 一致的，而直线与曲线的方程与平面直角坐标系中的方程是有 区别的．
..分割..
18
【互动探究】 4．在空间直角坐标系中，方程 y＝x 表示( C ) A．在坐标平面 xOy 中，第一、三象限的平分线 B．平行于 z 轴的一条直线 C．经过 z 轴的一个平面 D．平行于 z 轴的一个平面
解：(1)∵平面 ABCD⊥平面 ABEF，
平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面 ABCD，则 AB，BE，BC 两两垂直．
..分割..
12
如图 7-5-1，以 B 为坐标原点，以 BA，BE，BC 所在直线 分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，过点M 作MG ⊥CB 于 G，作 MH⊥AB 于 H.
..分割..
8
【互动探究】
1．在空间直角坐标系中，已知点 P(x，y，z)，给出下列四 条叙述：
①点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；
②点 P 关于 yOz 平面的对称点的坐标是(x，－y，－z)；
③点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；
2016届高考数学三轮讲练测核心热点总动员(新课标版)专题09定积分的应用、二项式定理(理)(原卷版)
【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】设m 为正整数,(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ,若13a =7b ,则m ＝ ( ) A 、5B 、6C 、7D 、82.【2014全国1高考】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 3.【2015全国1】()52x x y ++的展开式中,52x y 的系数为（）.A ．10B ．20C ．30D ．604.【2015全国2】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32, 则a =__________． 【热点深度剖析】二项式定理,定积分属于理科内容,从近几年的高考试题来看,二项式定理考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数,以考查基本概念、基础知识为主,如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等,注意多项式展开式系数的确定是近几年高考的一个热点；二项式定理基本每年必考,难度不大,属于中档题和容易题,题型为选择题或填空题．定积分重点考查定积分的应用,利用定积分求值,求面积,题型为选择题或填空题． 2013年考查了二项式定理系数最大项,属于基础题, 2014年高考中考查了二项式定理,求二项式展开项的某项系数,展开项的某项系,2015年考察了多项式系数的确定,定积分近几年一直没有考查.预测2016年高考二项式定理仍以指定项系数的确定为主,也可能考查求参数的值；定积分考查的可能性增大,可能是利用定积分求值,或求曲边多边形面积,也可能与几何概型结合出题．【重点知识整合】 1.定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a,b ]上恒为正时,定积分⎠⎛ab f(x )dx 的几何意义是由直线x ＝a ,x ＝b (a ≠b ),y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图1中阴影部分)．②一般情况下,定积分⎠⎛ab f (x )dx 的几何意义是介于x 轴、曲线f(x)以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图2中阴影所示),其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质①⎠⎛a b kf (x )dx ＝ k ⎠⎛ab f (x )dx (k 为常数)②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛ab f 2(x)dx③⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛cb f (x )dx (其中a <c <b )．2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且F ′(x )＝f (x ),那么⎠⎛ab f (x )dx ＝F (b )－F (a ),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便,常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ,即⎠⎛abf (x )dx ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )． 3.二项式定理的展开式011()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,其中组合数r n C 叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项.注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在()nax b +的展开式中,第ｒ＋１项的二项式系数为rn C ,第ｒ＋１项的系数为r n r r n C a b -；而1()n x x+的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？（4）特例：1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++4.二项式定理的通项二项展开式中第r +l 项1(0,1,2,r n r rr n T C a b r -+==,)n 称为二项展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.注意：()1通项公式是表示第1r +项,而不是第r 项.()2展开式中第1r +项的二项式系数r n C 与第1r +项的系数不同.()3通项公式中含有1,,,,r a b n r T +五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数,r 是非负整数且r ≤n . 5.项的系数和二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n nC C -=）． (2)增减性与最大值： 当12n r +≤时,二项式系数C r n 的值逐渐增大,当12n r +≥时,C r n 的值逐渐减小,且在中间取得最大值.当n 为偶数时,中间一项（第2n＋1项）的二项式系数2nn C 取得最大值.当n 为奇数时,中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数1122n n n n C C -+=相等并同时取最大值.(3)各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++,令1x =,则0122n rnn n n n nC C C C C =++++++ , 0213n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅12n -=(4)用二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,一般地：当α很小时,有()()211112nn n n ααα±≈±+-.【应试技巧点拨】1.二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n r rr n T C a b -+=,注意()n a b +与()nb a +虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指r n C ,而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关,恒为正,后者还与a ,b 有关,可正可负．⑵ 对于二项式系数问题,应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时,应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求r ,再求1r T +,有时还需先求n ,再求r ,才能求出1r T +.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚,不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令0x =.在二项式的展开式中,要注意项的系数和二项式系数的区别.2. 排列组合在二项展开式中的应用：()na b +展开式可以由次数、项数和系数来确定． (1)次数的确定：从n 个相同的a b +中各取一个(a 或b )乘起来,可以构成展开式中的一项,展开式中项的形式是p q ma b ,其中,,p q N p q n ∈+=.(2)项数的确定：满足条件,,p q N p q n ∈+=的(),p q 共1n +组．即将()na b +展开共2n项,合并同类项后共1n +项．(3)系数的确定：展开式中含p q a b (p q n +=)项的系数为p n C (即p 个a ,q 个b 的排列数)因此()na b +展开式中的通项是：1r n r rr n T C a b -+= (0,1,2,3,,r n =)()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性,不仅可二项展开,也可三项展开,四项展开等．3. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时,一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配,分类时一般以一个二项式逐项分类,分析其他二项式应满足的条件,然后再求解结果．4. 求展开式系数最大项：如求()nax b + (,a b R ∈)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为1231,,,,n A A A A +,且第k 项系数最大,应用11k k k k A A A A -+≥⎧⎨≥⎩从而解出k 来,即得． 5.二项式应用问题(1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式,应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时,应明确被除式()f x 与除式()g x (()0g x ≠),商式()q x 与余式的关系及余式的范围．(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时,先要合并通项中同一字母的指数,再根据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围．6.二项式定理是一个恒等式,使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法,一般对任意A x ∈,某式子恒成立,则对A 中的特殊值,该式子一定成立,特殊值x 如何选取视具体情况决定,灵活性较强,一般取1,1,0-=x 居多.若2012()...,n n n ax b a a x a x a x +=++++则设()()=+n f x ax b .有：①0(0);a f = ②012...(1);n a a a a f ++++=③0123...(1)(1);n n a a a a a f -+-++-=- ④0246(1)(1)...;2f f a a a a +-++++=⑤1357(1)(1) (2)f f a a a a --++++=6. 定积分的应用及技巧：(1)对被积函数,要先化简,再求定积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分,依据定积分的性质,分段求定积分再求和．(3)对含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能求定积分．(4)应用定积分求曲边梯形的面积,解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数．求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值,否则就会求出负值．[易错提示] 在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时,要注意根据曲线的交点判断这个面积是怎样的定积分,既不要弄错积分的上下限,也不要弄错被积函数．用微积分基本定理求定积分时,要掌握积分与导数的互逆关系及求导公式的逆向形式． 7.求导运算与求原函数运算互为逆运算,求定积分的关键是找到被积函数的原函数,为避免出错,在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.8.定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题,其中,应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别. 【考场经验分享】 一．二项式定理：1．区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细．项的系数与,a b 有关,可正可负,二项式系数只与n 有关,恒为正．2．切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念． 3．求展开式中的指定项,要把该项完整写出,不能仅仅说明是第几项． 4．赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为0,±1． 5．在化简求值时,注意二项式定理的逆用．要用整体思想看待a 、b . 二．定积分1.求定积分的常用技巧:(1)求被积函数,要先化简,再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号才能积分．【名题精选练兵篇】1．【2016届湖南省高三六校联考】若231(2)(1)x x x++-的展开式中的常数项为a ,则20(31)ax dx -⎰的值为（ ）A ．6B ．20C ．8D ．24 2．【2016届湖北省襄阳市高三上学期期末】由曲线y=x 3与直线y=4x 所围成的平面图形的面积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．163．【2016届江西师大附中高三上学期期末】若()241cos 2x a dx xdx π-=⎰⎰,则a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．44．【2016届黑龙江省大庆一中高三下学期开学考试】由曲线y =,直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A ．103 B ．163C ．4D ．6 5．【2016届河北省邯郸一中高三下第一次模拟】6(2)x y -的展开式中,42x y 的系数为（ ） A ．15 B ．-15 C ．60 D ．-606.．【2016届河北省衡水中学高三下学期一模】已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++,定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →,则()4,3,2,1f =（ ）A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2--7．【2016届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A ．3B ．-2C ．2D ．-38．【2016届福建省漳州市高三下学期第二次模拟考试】已知101099221010....)12(x a x a x a x a a x +++++=-,求10932....a a a a ++++的值为（ ）（A ）20- （B ）0 （C ）1 （D ）20 9．【2016届河南省八市重点高中高三4月质检】已知53878710(3)(1)(1)(1)x x a x a x a x a +=+++++++,则7531753a a a a +++=（ ）A ．-16B ．-8C ．8D ．1610．【2016届江西师大附中、鹰潭一中高三下第一次联考】5)21(-+xx 展开式中常数项为（ ）A ．252B ．－252C ．160D ．－16011．【2016届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考】设k 是一个正整数,1+)k x k（的展开式中第四项的系数为116,记函数2y x =与y kx =的图象所围成的阴影部分为S ,任取[0,4]x ∈,[0,16]y ∈,则点(,)x y 恰好落在阴影区域S 内的概率是 （ ）A ．23 B ．13 C ．25 D ． 1612. 【2015届河南省濮阳市高三上学期期末】如图,在正方形C OAB 内任取一点,取到函数y =的图象与x 轴正半轴之间（阴影部分）的点的概率等于（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．4513. 【2015届山东省德州市高三上学期2月期末】若9290129(2)(1)(1)(1)x m a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++且229028139()()3a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=,则实数m 的值是_________．14. 5)11)(2(22-+xx的展开式的常数项是（ ）． A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-315. 【宁夏银川九中高三年级期中试卷】函数2()2(,)f x x x m x m R =++∈的最小值为1-,则21()f x dx ⎰等于（ ） A ．2B ．163C ．6D ．716. 【广东省佛山市第一中学2015届高三上学期期中】过点(1,1)A 作曲线2(0)y x x =≥的切线,设该切线与曲线及x 轴所围图形的面积为,S 则S = .【名师原创测试篇】1．61x⎛⎝的展开式中的常数项为（ ）A.135-B.130-C.130D.1352. 式子()7511x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中,2x y 的系数为 .3. 知20(sin cos )a x x dx π=+⎰,在64(1)(1y)ax ++的展开式中,2xy 项的系数为（ ）A ．45B ．72C ．60D ．1204.设函数61(2),0,()0.x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩则0x >时,[()]f f x 表达式中的展开式中的常数项为 .（用数字作答）5.在46)1()1(y x ++的展开式中,记nm y x 项的系数为f(m ,n ),则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) = .6. 已知2201sin 22x a dx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰,则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中,x 的一次项系数为（ ） A ．6316- B ．6316 C ．638- D ．638。
[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第11讲 抽象函数[配套课件]
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答案：①③⑤
●思想与方法●
⊙利用转化与化归思想解答抽象函数
例题：已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝
π fx＋2为偶函数，对于函数y＝f(x)有下列几种描述：
①y＝f(x)是周期函数； ②x＝π是它的一条对称轴； ③(－π，0)是它图象的一个对称中心； π ④当x＝2时，它一定取最大值． 其中描述正确的是____________．
解得x －
10 10 2 2 <x< 2 ，且x≠± 2
.
【规律方法】（1）解决对数函数型抽象函数的一般步骤 为：
x 1 f(1)=0⇒ f =－f(x)⇒ f ＝f(x)－f(y)⇒单调性. x y
（２）判断单调性小技巧：设０<x1<x2，则
第 11 讲
抽象函数
1．了解函数模型的实际背景． 2．会运用函数的解析式理解和研究函数的性质．
抽象函数
解析式
抽象函数 的类型
f(x1＋x2)＝
f(x1)＋f(x2)
正比例函数型
f(x1· x2)＝f(x1)＋f(x2) f(x1＋x2)＝f(x1)· f(x2)
对数函数型
x1 fx ＝f(x1)－f(x2) 2
则有 f(－x)＝f(x)＋f(－1)． 又令x1＝x2＝－1，得 2f(－1)＝f(1)． 再令 x1＝x2＝1，得 f(1)＝0，从而 f(－1)＝0.
于是有 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)是偶函数．
(2)证明：设 0<x1<x2， 则
x2 f(x1)－f(x2)＝f(x1)－fx1· x1
x2 f(x2)= f x1 =f(x1)+ f x1 x2 >f(x1)，f(x)是增函数. x1
【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 第1讲 函数与映射的概念课件 理
【互动探究】 2．下列四组函数中，表示同一个函数的是( D )
A．y＝x－1与y＝ x－12 x－1 B．y＝ x－1与y＝ x－1 C．y＝4lgx与y＝2lgx2 x D．y＝lgx－2与y＝lg100
考点 3 求函数的定义域
1 例3：(2014年山东)函数f(x)＝ 的定义域为( log2x－1 )
4．设 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出如图 2-1-1 所示的四个图象，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的 ②③ 填序号)． 是________(
图 2-1-1
考点1
有关映射与函数的概念
例1：若集合 A＝{1,2,3，k}到集合 B＝{4,7，a4，a2＋3a} 是一个映射，对应关系为 f：x→y＝3x＋1，则自然数 a＝____，
数为非负数；有对数函数的保证真数大于零，底数大于零，且
不等于 1.
【互动探究】
lgx＋1 3．(2013年广东)函数f(x)＝ 的定义域是( C ) x－1
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．[－1,1)∪(1，＋∞)
x＋1>0， 解析： x－1≠0，
2
B．y＝ x3 x2 D．y＝ x
3
3．(2013 年江西)函数 y＝ xln(1－x)的定义域为( B ) A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1]
x≥0， 解析：由题意，得自变量满足 1－x>0.
解得 0≤x<1，即函
数 y＝ xln(1－x)的定义域为[0,1)．故选 B.
1 1．(2013 年广东茂名一模)函数 f(x)＝ x－2＋ 的定义 x－3 域是( D )
2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第14讲 导数在函数中的应用
a f(x)在[1,4]上的最小值为f－2＝0，不合题意；
a 当－2>4，即a<－8时， f(x)min＝min{f(1)，f(4)}， 由于f(1)≠8，所以f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8. 解得a＝－10或a＝－6(舍)． 当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小 值为f(4)＝8.满足题意． 综上所述，a＝－10.
x f′(x)
2 0， 5
2 5 0
2 ，2 5
2 0
(2，＋∞) ＋
＋
－
2 所以函数f(x)的单调递增区间为0，5和(2，＋∞)．
10x＋a2x＋a (2)由(1)知，f′(x)＝ ， 2 x a a 所以导函数的零点为x＝－10和x＝－2.
考点 3 利用导数解决函数中的恒成立问题
1 3 2 例3：已知函数f(x)＝－3x ＋x ＋ax＋b(a，b∈R)．
(1)若 a＝3，试确定函数 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在其图象上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率都小于
2a2，求实数 a 的取值范围．
1 3 2 解：(1)当a＝3时，f(x)＝－3x ＋x ＋3x＋b， 所以f′(x)＝－x2＋2x＋3. 由f′(x)>0，解得－1<x<3.
＝0，而 x＝x0 不一定是 f(x)的极值点，如 f(x)＝x3，当 x＝0 时，
f′(0)＝0，但 x＝0 不是极值点．故 p 是 q 的必要不充分条件．
故选 C.
考点 2 函数的最值
1 2 例2:(2013年北京丰台一模)已知函数f(x)= x －alnx(a>0)． 2
(1)若 f(x)在 x＝2 处的切线与直线 3x－2y＋1＝0 平行，求
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(3)(2013 年江西)若 S1＝ x dx，S2＝
2 1
2
2
1
1 dx，S3＝ x
2
1
e xdx，则 S1，S2，S3 的大小关系为(
)
A．S1<S2<S3 C．S2<S3<S1
B．S2<S1<S3 D．S3<S2<S1
解析：方法一：如图 D8，根据定积分的几何意义知，S1， 1 S2，S3 分别是函数 y＝x ，y＝ ，y＝ex 与 x＝1，x＝2 及 x 轴所 x
位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m) 是( ) A．1＋25ln5 C．4＋25ln5 11 B．8＋25ln 3 D．4＋50ln2
25 解析：令 v(t)＝7－3t＋ ＝0，化为 3t2－4t－32＝0，又 1＋t t>0， 解得 t＝4.∴由刹车行驶至停止， 在此期间汽车继续行驶的
2
3
18 2．(2015 年广东深圳一模) ( x2－2sinx)dx＝______.
3
解析： ( x
3
3
2
1 3 － 2sinx)dx ＝ x ＋2cosx 3
3 3
＝ 9 ＋ 2cos3 ＋ 9 －
2cos3＝18.
考点2
利用定积分求平面区域的面积
例2：(2014 年山东)直线 y＝4x 与曲线 y＝x3 在第一象限内 围成的封闭图形的面积为( A．2 2 C．2
图 2-16-1
考点3 定积分在物理方面的应用 例3：汽车以 54 千米/时的速度行驶，到某处需要减速停车， 设汽车以 3 米/秒 2 的加速度匀减速刹车，问从开始刹车到停车， 汽车走了多少千米？
解：由题意，v0＝54 千米/时＝15 米/秒， ∴v(t)＝v0－at＝15－3t，令 v(t)＝0，得 15－3t＝0，t＝5， 即 5 秒时，汽车停车． ∴汽车由刹车到停车所行驶的路程为 5 5 3 25 s＝ v (t)dt＝ ( 15－3t)dt＝ 15t－2t 0 0 0 ＝37.5(米)＝0.037 5(千米)． 答：汽车走了 0.037 5 千米．
0
答案：C
(2)
3
0
9 x 2 dx＝(
) 9 C.4π
3 0
A．9π
B．3π
9 D.2π
9 x 2 dx 是由曲线 y＝
3 0
解析：由定积分的几何意义知，
2
9－x ， 直线 x＝0， x＝3 围成的封闭图形的面积， 故 π×32 9 ＝ ＝ π. 4 4
9 x 2 dx
答案：C
2
)
B．4 2 D．4
解析：S＝ ( 4x－x )dx＝
3
0
2 1 4 2x － x 2 4 0＝4.故选
D.
答案：D
【互动探究】 3．设 a>0.若曲线 y＝ x 与直线 x＝a，y＝0 所围成封闭图 4 9 形的面积为 a2，则 a＝______.
4．(2014 年广东广州调研)如图 2-16-1，设 D 是图中边长为 4 的正方形区域，E 是 D 内函数 y＝x2 图象下方的点构成的区域． 1 若在 D 内随机取一点，则该点落入 E 中的概率为_____. 3
2
1
2
1 ∴围成的图形的面积为4. 答案：1 4
【互动探究】 6．抛物线 y＝－x2＋4x－3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的 切线所围成图形的面积为_____.
解析：如图 D9.∵y′＝－2x＋4，∴在点 A(1,0)处的切线斜 率 k1＝2， 方程为 y＝2(x－1)， 在点 B(3,0)处的切线斜率 k2＝－2， 方程为 y＝－2(x－3)．
形的面积为__________．
1 2x，0≤x≤2， 解析：根据题意，得 f(x)＝ －2x＋2，1<x≤1. 2 1 2 2x ，0≤x≤2， ∴y＝xf(x)＝ －2x2＋2x，1<x≤1. 2 ∴围成的面积为 S＝
1 2 0
1 2 x dx＋ 1 ( －2x ＋2x)dx＝ ， 4 2
2
围成的面积，显然 S2<S1<S3.
方法二：S1＝ S2＝
2 1
2
1
1 32 7 x dx＝ x 1 ＝ ， 3 3
2
1 dx＝lnx|2 1＝ln2， x
x
S3＝ e
1
2
7 x2 2 dx＝e |1＝e －e＝(e－1)e>e> ， 3
所以 S2＜S1＜S3.故选 B.
答案：B 图D8
0
3
公比 q 的值为( A．1 1 C．1 或－ 2
C
) 1 B．－ 2 1 D．－1 或－ 2
考点1
例 1：(1) ( ex＋2x)dx＝(
0 1
定积分的计算
)
A．1 C．e
1
B．e－1 D．e＋1
0 解析： ( ex+2x)dx＝(ex+x2) 1 =e ＋ 1 － e －0＝e.故选 C. 0
b b F(x)|a，即
a
F(b)－F(a) f (x)dx＝F(x)|b a＝______________．
3．常见求定积分的公式 1 n＋1 b n b x (1) x dx＝ a (n≠1)． a n＋1
b (2) C dx＝Cx|a (C 为常数)．
b
(3) sin xdx＝－cosx|b a. (4) cos xdx＝ sinx|b a.
π 4 0
π 4 0
2． ( sinx＋cosx)dx 的值是( C ) A．0 C．2
π 2 0
π 2 π 2
π B. 4 D．4
3．若 ( sinx－acosx)dx＝2，则实数 a＝( A ) A．－1 C．－ 3 B．1 D. 3
4．在等比数列{an}中，a3＝6，前三项的和 S3＝ 4 xd x，则
2 3 t 25 4 7t－ ＋25ln1＋t 0 距离：s＝ 7 3t d t ＝ ＝4＋ 2 a 1 t
b
25ln5.
答案：C
考点4
定积分的综合应用
例 4：已知函数 y＝f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A(0,0)，
1 B ,1 ，C(1,0)，函数 y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图 2
a b
所围成的图形的面积．
5．定积分的物理意义
(1)变速直线运动的路程公式： 做变速直线运动的物体所经过的路程 s 等于其速度函数 v ＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝ (2)变力做功公式： 如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着 与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，则变力 F(x)所做 的功 W＝ a F (x)dx.
a a b
a b
1 dx＝lnx|b a(b>a>0)． a x b b (6) e xdx＝ex|a .
(5)
b
a
x a b a(a>0，且 a≠1)． (7) a xdx＝ a lna
b
4．定积分的几何意义
(1)直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的图 形称为曲边梯形． (2)若函数 f(x)在区间[a， b]上连续且恒有 f(x)≥0， 那么定积 分 f (x)dx 表示由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)
答案：2 3
图 D9
【规律方法】本题可以利用公式进行定积分运算，然后比
较大小，也可以利用定积分的几何意义比较面积的大小，数形
结合，相得益彰．
【互动探究】 3 1．(2013 年湖南)若 x 2 dx＝9，则常数 T 的值为___.
0 T
解析：
T
0
1 3 T 1 3 x dx＝ x 0＝ T ＝9，T3＝27，T＝3. 3 3
b b a
v(x)dx.
π 1．曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x＝0，x＝2所围成的平面 区域的面积为( D ) A． ( sinx－cosx)dx C． ( cosx－sinx)dx
π 2 0 π 2 0
B．2 ( sinx－cosx)dx D．2 ( cosx－sinx)dx
y＝2x－1， 由 y＝－2x－3 x＝2， 得 y＝2，
故所求面积为 S＝ [ (2x－2)－(－x ＋4x－3)]dx＋ [ (－2x＋
2
1 2
2ห้องสมุดไป่ตู้
3
6)－(－x ＋4x－3)]dx＝
2
1 1 2 3 2 3 2 2 x － x ＋x 1＋ x － 3x ＋9x 3 2＝ . 3 3 3
【规律方法】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可 以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前 应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式．若做变速
直线运动的物体的速度关于时间的函数为v＝v(t)[v(t)≥0]，由
定积分的物理意义可知，做变速运动物体
在[a，b]时间内的路程 s 是曲边梯形(如图
2-16-2 的阴影部分)的面积，即路程
s＝ v (t)dt；若 v(t)≤0(a≤t≤b)时，
a b
则路程 s＝－ v (t)dt.
a
b
图 2-16-2
【互动探究】 5．(2013 年湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧 急情况而刹车，以速度 v(t)＝7－3t＋
25 (t 的单位：s，v 的单 1＋t