2019届高三数学第三次模拟考试试题 文(扫描版,无答案)
2019届高三数学第三次月考试题(含解析)
2019届高三数学第三次月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，故选A.2. 设集合为，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知可得，，为不能被整除的数，为整数，又分母相同，故，故选B.3. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 或 D. 2或【答案】A【解析】因为焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，所以，故选A.4. 一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，要从全体运动员中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标，则抽取的男运动员人数为（）A. 20B. 18C. 16D. 12【答案】C【解析】因为田径队男运动员，女运动员人，所以这支田径队共有人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，所以每个个体被抽到的概率是，因为田径队有男运动员人，所以男运动员要抽取人，故选C.5. 等差数列中，是函数的两个零点，则的前9项和等于（）A. -18B. 9C. 18D. 36【答案】C【解析】等差数列中，是函数两个零点，的前项和，，故选C...................6. 已知，则（）A. 0B. 1C. 32D. -1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．7. 下图所示中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，，时，等于（）A. 11B. 10C. 7D. 8【答案】D【解析】当，时，不满足，，故此时输入的值，并判断，若满足条件，此时，解得，这与与条件矛盾，若不满足条件，此时，解得，此时不成立，符合题意，综上所述，，故选D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知的面积为12，如果，则的面积为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】设，以为邻边作平行四边形，连接则，，，，所以可得的面积为，故选C.9. 已知，，，，从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】对求导得若函数有极值点，则有2个不相等的实数根，故，解得，而满足条件的有2个，分别是，故满足条件的概率故选：B．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，解题时准确理解题意是解题的关键．10. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，且满足则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题可知，O为△ABC的重心，△ABC外接圆的半径为，且三棱锥的高为1．故∴球＝＝，故选D考点： 三棱锥外接球的半径 球的表面积公式11. 已知为抛物线的焦点，过作两条夹角为的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，由过焦点的弦长公式，可得，，所以可得，的最大值为，故选D.12. 已知，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】化简，的图象关于对称，由可得,可得的图象也关于对称，因此与的图象的个交点为，…，，也关于对称，所以，，设，则，两式相加可，同理可得，，故选D.【方法点睛】本题主要考函数的对称性、函数的图象与性质、倒序相加法求和以及数学的转化与划归思想. 属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将等式与解析式转化为对称问题，将对称问题转化为倒序相加求和.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】1【解析】由，故答案为.14. 在中，三顶点，，，点在内部及边界运动，则最大值为__________．【答案】【解析】画出符合题意的的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由平移可知当直线，经过时，直线的截距最小，此时取得最大值，代入，即的最大值是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 若半径为1的球与的二面角的两个半平面切于两点，则两切点间的球面距离（即经过两点的大圆的劣弧长）是__________．【答案】【解析】画出图形，如图，在四边形中，是球的大圆的切线，，，两切点间的球面距离是弧，故答案为.16. 在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令，，______．【答案】【解析】设在数和之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为，则，即为此等比数列的公比，，，由，又，，，，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 不是直角三角形，它的三个角所对的边分别为，已知. （1）求证：；（2）如果，求面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）48【解析】试题分析：（1）由，根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；（2）视为定点,求出满足条件下的轨迹为一个圆，圆心在直上，当上升到离直线最远时面积最大.试题解析：（1）由，根据正弦定理可得，，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；（2）方法一：b=2a.c=12，余弦定理用a表示cosC,表示出sinC,进而用a表示出,求出该函数的最大值.(最费力的做法)方法二:视A.B为定点,求出满足b=2a条件下C的轨迹为一个圆，圆心在直线AB上，当C上升到离直线AB最远时面积最大。
2019届高三数学第三次联考三模试题文扫描版
17.解析：（1）由 ,得 ,由正弦定理，得 ,由余弦定理，得 ,整理得 ,因为 ,所以 ，所以a=3.。。。。。。。（6分）
(另解：由 代入条件变形即可。）
所以最优解为A（2，2），
则当直线12000x+7000y﹣z=0过点A（2，2）时，
z取得最大值为：38000元，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润．
16. ，解析：求导得 ，所以在点 处的切线方程为 .令x=0得， 令y=0得， 所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积 （舍去负值），所以.
设：至少有一名女生参加座谈为事件A,则 。。。。。。。。。。。。。。。（12分）
19.解析：（1）面 面 ， ，则 面 ，
面 ，∴ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ 面 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）
（2） ，即 ，
解 ，即点到面距离为 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）
6.C,解析：由程序框图知：算法的功能是求数列的前n项中的最小项，所以输出的M是数列的最小项，则满足 ，故选C。
7.B解析：如图正 的边长为a，分别以它的三个顶点为圆心，以 为半径，在 内部画圆弧，得三个扇形，依题意知点P在这三个扇形外，因此所求概率为 ，故选B．
8.A解析：由题意，该四面体的直观图如下: ,是直角三角形， ,是等边三角形,
9.D解析：由于f(-x)=-f(x)故函数为奇函数，排除A选项.令 ， ，排除B选项.由于分母不为零，分子 为增函数且为奇函数，有且仅有1个零点（x=0），排除C选项.故选D.
2019届高三数学下学期第三次模拟考试试题 文
2019年度高三第三次模拟考文科数学试卷班级： 姓名： 座号：第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,2,3,4,5}A =,1212{|,,}B y y x x x A x A ==+∈∈，则A B = （ ）A ． {}1,2,3,4,5B ．{}2,3,4,5C ．{}3,4,5D ．{}4,52．设有下面四个命题，其中的真命题为 （ ） A ．若复数12z z =，则12z z R ∈ B ．若复数12,z z 满足12z z =，则21z z =或12z z =- C ．若复数z 满足2z R ∈，则z R ∈ D ．若复数12,z z 满足12z z R +∈，则12,z R z R ∈∈3.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误．．的是 （ ） A ．它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C ．它们的渐近线方程相同 D ．它们的离心率相等4.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1+63πB ．+112πC ．1+123πD ．1+43π 5．在等比数列{}n a 中，22a =-，则“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而充分不条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论正确的是 ( ) A ．2016年各月的仓储指数最大值是在3月份B ．2017年1月至12月的仓储指数的 中位数为54%C ．2017年1月至4月的仓储指数比2016 年同期波动性更大D ．2017年11月的仓储指数较上月有所 回落，显示出仓储业务活动仍然较为 活跃，经济运行稳中向好7．设1F ，2F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点，椭圆C 上存在一点P 使得12PF PF b -=，12158PF PF ab ⋅=，则该椭圆的离心率为 （ ） A ．12 B ．2C D ．13 8．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如右图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1， 输出的x 的值为 （ ） A ．1627 B ．3227 C ．89 D ．239．已知直线l 过点(2,0)-且倾斜角为α，若l 与圆22(3)20x y -+=相切，则3sin(2)2π-α= （ ） A ．53 B ．53- C ．54 D ．54-10．在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅= ( )A ．．2 C ．3D 11．三棱锥BCD A -的所有顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，2==BD BC ，342==CD AB ，则球O 的表面积为 ( )A ．π16B ．2π3C ．0π6D ．4π612．设定义在R 上的函数()y f x =满足对任意t R ∈都有1(2)()f t f t +=， 且(0,4]x ∈时，()()f x f x x'>，则(2016)f ，4(2017)f ，2(2018)f 的大小关系是 （ ） A ．2(2018)(2016)4(2017)f f f << B ．2(2018)(2016)4(2017)f f f >> C ．4(2017)2(2018)(2016)f f f << D ．4(2017)2(2018)(2016)f f f >> 二、填空题（本题共 4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤+-≤,022,01,2y x y x x 则22y x z +=的最小值为_________；14.已知函数()121,14log , 1.x x f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩， 若()()1f x f x =，()()*1,n n f x f f x n +=∈⎡⎤⎣⎦N ，则4(1)f -= ．15. 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如右上图所示的是一位母亲 记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知， 孩子已经出生的天数是 ．16.已知数列{}a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足12n n n a a S +=，数列{}b 满足115b =，三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分.17. (本小题满分12分) 在ABC ∆中，内角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，且(sinsin )(sin sin )()c C A A B b a -=+-． (Ⅰ)求B ； (Ⅱ)若8c =，点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，13BM BC =，AN BM=，求AM 的值．18. (本小题满分12分) 已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面 分别是边长为2和4的正方形，14AA =且1AA ⊥底面ABCD ， 点P 为1AA 的中点. (Ⅰ)求证: 1AB ⊥平面PBC ； (Ⅱ)在BC 上找一点Q 使得PQ ∥平面11CDD C ，并求三棱锥1P QBB -的体积.19. (本小题满分12分) 某公司想了解对某产品投入的 宣传费用与该产品的营业额的影响.右图是以往公司对该 产品的宣传费用x (单位：万元)和产品营业额y (单位： 万元)的统计折线图.(Ⅰ)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用x 与产品营业额y 的关系，请用相关系数加以说明； (Ⅱ)建立产品营业额y 关于宣传费用x 的回归方程； (Ⅲ)若某段时间内产品利润z 与宣传费x 和营业额y 的关系为50)08.001.1(+--=x y x z 应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润. (计算结果保留两位小数) 参考数据：7137.28i i y ==∑， 5.33y =，71160.68i i i x y ==∑2.2=2.64≈参考公式：相关系数()()nii xx y y r --=∑，回归方程ˆˆy abx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>，三点()11,1P ，()21,1P -，()31,2P 中仅有一个点在抛物线C 上．(Ⅰ)求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过3P 点且与C 相交于,A B 两点．若直线3P A 与3P B 的斜率之和为4， 证明：l 过定点．21. (本小题满分12分) 已知函数x x x f ln 21)(⋅=，x b ax x g 2)(-=，曲线()y g x =在1x =处 的切线方程为012=--y x ．(Ⅰ)求a ，b ；(Ⅱ)若),0(+∞∈x 时，()()f x m g x ≤⋅，求m 的取值范围．(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4—4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C ：2cos a ρθ=（0a >），l ：3cos()32πρθ-=，C 与直线l 有且仅有一个公共点. (Ⅰ)求a ；(Ⅱ)若O 为极点，,A B 为C 上的两不同点，且3AOB π∠=，求OA OB +的最大值．23.选修4-5：不等式选讲 (本小题满分10分)设函数13()22f x x x =+--． (Ⅰ)求函数()f x 的值域； (Ⅱ) 若函数()f x 的最大值为m ，且实数,, a b c 满足2222a b c m ++=，求证：22211131344a b c ++≥+++．2019年度莆田六中高三第三次模拟考文科数学试卷参考答案13. 1 ； 14.4-； 15.509； 16. 4三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分. 17. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵(sin sin )(sin sin )()c C A A B b a -=+-，则由正弦定理得：222c ca b a -=-，…2分∴222ac b ca +-=，∴2221cos 22a c b B ca +-==，…4分，又0B π<<，∴3B π=；…6分(Ⅱ)由题意得M ，N 是线段BC 的两个三等分点，设BM x =，则2BN x =，AN =，…7分又3B π=，8AB =，在ABN ∆中，由余弦定理得2212644282cos3x x x π=+-⨯⨯，…8分，解得2x = （负值舍去），则2BM =，…10分，又在ABM ∆中，AM…12分或解：在ABN ∆2sin sin3xBAN=，∴1sin 2BAN ∠=，…8分，又2BN x =，AN =，∴BN AN <，∴BAN ∠为锐角，∴6BAN π∠=，…9分，∴2ANB π∠=，又8AB =，∴24BN x ==，…10分，∴2x =，∴2MN =，AN =11分，∴在Rt ANM ∆中，AM ==12分18. (本小题满分12分)解：(1)证明：∵1AA ⊥底面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴1AA BC ⊥，又∵ABCD 为正方形， ∴AB BC ⊥，…1分，又1ABAA A =，∴BC ⊥平面11AA B B ，…2分，又∵1AB ⊂平面11AA B B ，∴1BC AB ⊥，…3分，又∵112A B AP ==，14A A AB ==，1190B A A PAB ∠=∠=，∴11ABP A AB ∆≅∆，∴11B AA ABP ∠=∠，又11190B AB B AA ∠+∠=，∴190B AB ABP ∠+∠=，∴1B A BP ⊥，…5分，又BC BP B =，∴1AB ⊥平面PBC ；…6分，(Ⅱ) 在BC 上存在一点Q ，当3CQ =时，可使得PQ ∥平面11CDD C ， 下证之．…7分，取1DD 中点M ，连接PM ，CM ，又点P 为1AA 的 中点，则在梯形11ADD A ，11PM AD A D ∥∥，111()2PM AD A D =+1(24)32=+=，又3CQ =，BC AD ∥，∴=PM CQ ∥，…8分， ∴四边形PQCM 为平行四边形，∴PQ MC ∥，又PQ ⊄平面11CDD C ，CM ⊂平面11CDD C ， ∴PQ ∥平面11CDD C ；…9分，又∵4BC =，∴431BQ BC QC =-=-=，…10分， 又11111111(24)422246222PBB PA B PAB ABB A S S S S ∆∆∆=--=+⨯-⨯⨯-⨯⨯=梯形，…11分， 又BC ⊥平面11AA B B ，∴1111161233P QBB Q PBB PBB V V S BQ --∆==⋅=⨯⨯=．…12分，19. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）由折线图中数据和参考数据得：71147i x i ===∑，772211()(4)28i i i x x i ==-=-=∑∑，…1分， 777111()()160.68437.2811.56i i i i i i i i x x y y x y x y ===--=-=-⨯=∑∑∑， (2)2.2=，2.64≈，∴7()()11.560.9952.64 4.4iix x y y r --==≈≈≈⨯∑，…3分，因为y 与x 的相关系数近似为0.995，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系. ……4分（Ⅱ）又715.337ii y y ==≈∑，∴71721()()11.560.41325()iii ii x x y y b x x ==--==≈-∑∑，…6分， ∴ 5.330.4134 3.68a y bx =-=-⨯≈，…7分，所以y 关于x 的回归方程为0.41 3.68y x =+. …8分 （Ⅲ）故22( 1.010.08)500.6 3.6500.6(3)55.4z x y x x x x =--+=-++=--+，…10分，故当3x =时，max 55.4z =.…11分，所以投入宣传费3万元时，可获得最大利润55.4万元. ……12分20. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)因为点1P ,2P 关于x 轴对称，故两个点都不在抛物线上． ………………1分所以仅3P 在抛物线上，计算得222p =，解得2p =，………………2分所以2:4C y x =．………3分，经验证1P ,2P 都不在C 上． ………………4分（Ⅱ）由题意得直线l 斜率不为0，设直线:l x t y m =⋅+，()()1122,,,A x y B x y ，3P A 与3P B 的斜率分别为12,k k ．将:l x ty m =+与C 联立，并消去x ，得：2440y t y m -⋅-=，……5分 故有124y y t +=；124y y m ⋅=-．…6分，又因为1212122211y y k k x x --+=+--，……………7分 所以1212221222444y y k k y y ⎛⎫--+=+ ⎪--⎝⎭，………8分，解得121211422k k y y ⎛⎫+=+ ⎪++⎝⎭又因为124k k +=，所以1211122y y +=++，…9分，即()()1212422y y y y ++=++，…10分 解得()12120y y y y =++⋅，即0t m -=，…11分，故:l x t y t =⋅+，必过定点()0,1-．…12分 21. (本小题满分12分)解：（1）∵x b ax x g 2)(-=，∴xb a x g -=)('．…2分，又依题意，可得：21)1('=g ， 即21=-b a .…3分，又因为切点为10（，），所以(1)0g =，即02=-b a ．…4分 由上可解得1=a ，21=b ． …5分（2）依题意，)()(x mg x f ≤，即)1()(ln 21-=-≤x x m x x m x x ．又0>x ，所以原不等式等价于)1(ln 21-≤x m x ．……6分，构造函数)1(ln 21)(--=x m x x h ，则()0h x ≤，),0(+∞∈x ，则xxm x h 21)('-=． ……7分 ①当0≤m 时，0)('>x h 在),0(+∞∈x 上恒成立，故)(x h 在),0(+∞∈x 上单调递增，又(1)0h =，故当1x >时，()(1)0h x h >=，故不合题意． ……8分 ②当0>m 时，令0)('=x h ，得21x =，由下表： 可知，01ln )11(1ln 21)1(222max ≤--=--==m m mm m m h h ．……10分 构造1ln )(--=m m m k ，011)('=-=mm k ，可得1=m ，由下表：可知，0)1()(=≥k m k ．……11分，由上可知，只能有0)(=m k ，即1=m ． …12分22. (本小题满分10分)解：(Ⅰ)∵曲线C ：2cos a ρθ=，∴22cos a ρρθ=，故化为直角坐标方程，得222x y ax +=，即222()x a y a -+=，…1分，∴曲线C 是以(,0)a 为圆心，以a 为半径的圆，…2分，又l ：3cos()32πρθ-=，∴13cos sin 222ρθθ+=，故化为直角坐标方程，得30x +-=，…3分， 又直线l 与圆C 有且仅有一个公共点，故32a a -=，…4分，又0a >，∴1a =；…5分， ∴曲线C ：2cos ρθ=；(Ⅱ)不妨设点A 在点B 的下方，设点A 的极坐标为1(,)A ρθ，…6分，则依题意可设点B 的极坐标为2(,)3B πρθ+，且22ππθ-<<，232πππθ-<+<，故26ππθ-<<，…7分，∴12cos ρθ=，22cos()3πρθ=+，∴2cos OA θ=，2cos()3OB πθ=+，…8分，∴OA OB +2cos 2cos()3πθθ=++3cos )6πθθθ==+，…9分，又363πππθ-<+<，故当06πθ+=时，即6πθ=-时，OA OB +取得最大值，最大值为…10分，23．解：(Ⅰ)∵13()22f x x x =+--，∴1313()()()22222f x x x x x =+--≤+--=，…2分 （当且仅当13()()022x x +-≥即1322x x ≤-≥或时，等号成立），…3分 ∴2()2f x -≤≤，…4分 ∴函数()f x 的值域为[2,2]-；…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得： 函数()f x 的最大值2m =，又22224a b c m ++==，∴22213412a b c +++++=， …6分，∴2222222221111111()(134)13412134a b c a b c a b c ++=+++++++++++++…7分， 2222222222221314143(+3)12131434b a c a c b a b a c b c ++++++=+++++++++++ …8分， 13(2223)=124≥+++，（当且仅当2221344a b c +=+=+=，即22231,0a b c ===，时，等号成立），…9分∴22211131344a b c ++≥+++…10分．。
2019年高三数学三模试卷及答案
2019年高三第三次模拟测试数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．．．．．． 1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝ ． 2．设a ∈R ，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝ ．3．设a ∈R ，则“1>a ”是“21a >”的 条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)4．已知平面向量,a b 的夹角为3π，且|a |＝1，|b |＝12，则2+a b 与b 的夹角大小是 ．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为 ．6．已知函数()(2+1)e x f x x =(e 是自然对数的底)，则函数()f x 在点(0，1)处的切线方程为 ．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如右图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入的a 的值为 ． 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．9．当实数x ，y满足240,10,1x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时，14ax y +≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221y x a b+=(0a b >>)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右AD C BE顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ．11．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分为x ，y ，z ，则1x y x y z+++的最小值分别为．12．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1101,55a S ==．记[]=lg n n b a ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[][]0.90,lg991==．则数列{}n b 的前2017项和为．13．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝2π，∠B ＝23π， AB ＝6．在AB 边上取点E 使得BE ＝1，连结EC ，ED ，若∠CED ＝23π，EC CD ＝． 14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数()4sin cos()3f x x x π=++，0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知锐角ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆求ABC ∆的面积．A DP MB16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，PA PB ⊥，AB BC ⊥，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若2AB =，1BC =，AD BD == (1)求证：PA ⊥平面PBC ；(2)若点M 在棱PB 上，且:3PM MB =，求证//CM 平面PAD ．17．(本小题满分14分) 有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离OD 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．(本小题满分16分) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210y x a b a b+=＞＞ 的，抛物线E ∶24x y =的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设与坐标轴不重合的动直线l 与C 交于不同的两点A 和B ，与x 轴交于点M ，且1(,2)2P 满足2PA PB PM k k k +=，试判断点M 是否为定点？若是定点求出点M 的坐标；若不是定点请说明理由．19．(本小题满分16分) 各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n a a a a n λ+==+∈N ，(1)当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；(2)当2λ=时，令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．20．(本小题满分16分) 已知函数2ln )(ax x x f +=（a ∈R ），)(x f y =的图象连续不间断．(1)求函数)(x f y =的单调区间；(2)当1=a 时，设l 是曲线)(x f y =的一条切线，切点是A ，且l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求切线l 的方程．数学参考答案一、填空题1．{-101}，， 2．1- 3．充分不必要 4．6π5．2214x y -=6．310x y -+= 7．48．64259．3[1,]210．1311．312．4944 13．7 14．(1,0)-二、解答题15．(1)1()4sin (cos )22f x x x x =⋅-22sin cos x x x =-sin 2x x =2sin(2)3x π=+ (4)分 因为06x π≤≤，所以22333x πππ+≤≤，sin(2)123x π+≤， ……………………………6分 所以函数()f x的值域为⎤⎦． (7)分(2)依题意a =2b =，ABC ∆的外接圆半径4r =，sin 232a A r ===， ……………………………9分sin 232b B r ===cos 3A =，1cos 3B =，………………………11分sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， (13)分所以11sin 2223ABCS ab C ∆==⨯=． (14)分16．(1)证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD于AB ， 又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ．………3分 又PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ． ……………5分 由已知PA PB ⊥，且PB BC B =，所以PA ⊥平面PAB ． ……………………………7分 (2)证明：如图，取AD 的中点E ，连结CE ， 在平面PAB 内，过点M 作//MF AB 交PA 于F ， 连结,FM FE . 在△PAB 中，由作法知//MF AB ，且3342MF AB ==， (9)分PM BCDAF E在底面ABCD 中，易证//CE AB 且32CE =， 所以//MF CE 且MF CE =， ………………………11分 所以四边形MCEF 是平行四边形，所以//CM EF ， ………………………12分 又EF ⊂平面APD ，CM ⊄平面APD ，所以//CM 平面PAD ．……………14分17．建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1)小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥ 此时点D 为AB 中点． 故小路的最短长度为4+(百米)(2)显然，当广场所在的圆与△ABC 面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为则△ABC 的面积为1()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，……………6分 由弦长公式AB =可得2244AB d =-，所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+， (8)分设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++， (10)分 又因为0d CD<≤，即0d <，所以)x AB ⎡==⎣，……………12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-， 即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．………………………………………14分18．(1)由题意c a=1c =， …………………2分所以2,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=． …………………4分设直线1122:(,),(,)AB x ty m A x y B x y =+，，代入2214x y +=得22()14ty m y ++=，即222(4)240()t y tmy m +++-=*，212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，……………6分22222222222412112(2)42(8)164242241211514424242m tm t m t m t m t m t t m tm t t m m t m t t -⎛⎫⎛⎫-----+--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………10分又241122PMk mm ==--，8212PM k m =-． (12)分因为2PA PBPM k k k +=，所以2158241280181416.2122m m m m m ⎧⎪-⋅=-⎪⎪-=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎩，，解得8m =．……………15分经检验()*有解时恒成立，存在定点(8,0)M 符合条件．……………16分19．证明：(1)由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=，两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………2分解得1n n aa +=． ……………4分121212*********212122222111122221122()()42211()22PA PB y y y y k k x x ty m ty m ty y t y y m y y m t y y t m y y m ----+=+=+--+-+-⎛⎫⎛⎫-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0n a >，所以1n n a a +=为常数，故数列{}n a是等比数列，公比为12．……6分(2)当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122nn n n a b a a +==+．……………8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，……10分又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………12分 所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-， ……………14分 故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ……………………16分20．解:(1)2121'()2(0)ax f x ax x x x+=+=>，………………………1分①0≥a 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞； (3)分②<a 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(a-，减区间是),21(+∞-a．……………6分(2)设切点))(,(00x f x A ,00>x x xx f 21)(+=',所以在点A 处切线的斜率是0021x x + 所以切线方程为))(21()(0000x x x x x f y -+=-，………………………7分即02000ln 1)21(x x x x x y +--+=．l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象，即在点A 的两侧，曲线)(x f y =在直线的两侧．令02000ln 1)21()(x x x x x x g +--+=，设)()()(x g x f x h -=，所以在0x x =附近两侧)(x h 的值异号． (8)分设020002ln 1)21(ln )(x x x x x x x x h -+++-+=，注意到0)(0=x h ．下面研究函数的单调性：002121)(x x x x x h --+='=)12)((00xx x x --=xx x x x x x x x x x )21)((212)(00000--=--． ………………10分当021x x <时：)(),,0(0x h x x ∈0)()(0=<x h x h当)(),21,(00x h x x x ∈是减函数,所以0)()(0=<x h x h 所以)(x h 在0x x =处取极大值，两侧附近同负，与题设不符． ……………12分同理，当0021x x >时，)(x h 在0x x =处取极小值，两侧附近同正，与题设不符．故0021x x =,即220=x 时，22(2()0x h x x'=≥，所以)(x h 在),0(+∞内单调增所以当)()(),,0(00=<∈x h x h x x ，当0)()(),,21(00=>+∞∈x h x h x x 符合题设．………14分所以220=x ，切线方程为13ln 222y =--． (16)分21．A ．证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FAEA=，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ．因为B ，E ，F ，C 四点共圆， ……………5分 所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°． 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．……………10分21．B ．解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………5分M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6错误!未找到引用源。
2019届高三数学下学期三模考试试题(含解析)
2019届高三数学下学期三模考试试题（含解析）一. 填空题1.不等式的解为。
【答案】或【解析】【详解】由，可得即所以不等式的解为或2.已知直线垂直于平面直角坐标系中的轴，则的倾斜角为________【答案】0.【解析】【分析】根据直线垂直于轴，可得出直线的倾斜角.【详解】由于直线垂直于平面直角坐标系中的轴，所以，直线的倾斜角为，故答案为：.【点睛】本题考查直线倾斜角的概念，在直线的倾斜角中，规定与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为，意在考查学生对于倾斜角概念的理解，属于基础题.3.函数反函数是________【答案】.【解析】分析】由解出，可得出所求函数的反函数.【详解】由，得，则有，，因此，函数的反函数为，故答案为：.【点睛】本题考查反函数的求解，熟悉反函数的求解是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.若角的终边经过点，则的值为________【答案】.【解析】【分析】根据三角函数的定义求出的值，然后利用反三角函数的定义得出的值.【详解】由三角函数的定义可得，，故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数的定义求出的值，考查计算能力，属于基础题.5.方程的解为 .【答案】2【解析】【分析】根据求行列式的方法化简得，这是一个关于的二次方程，将看成整体进行求解即可.【详解】方程，等价于，即，化为或（舍去），，故答案为2.【点睛】本题主要考查行列式化简方法以及简单的指数方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.6.由参数方程为参数，所表示的曲线的右焦点坐标为________【答案】.【解析】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状，然后求出曲线的右焦点坐标.【详解】，由，得，所以，，即曲线的普通方程为，该曲线为双曲线，其右焦点坐标为，故答案为：.【点睛】本题考查曲线焦点坐标的求解，考查参数方程与普通方程之间的转化，解参数方程问题，通常将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状并进行求解，考查计算能力，属于基础题.7.平面直角坐标系内有点，，，，将四边形绕直线旋转一周，所得到几何体的体积为________【答案】.【解析】【分析】利用图形判断出四边形是矩形，且边位于直线上，旋转后形成圆柱，然后利用圆柱的体积公式可得出所求几何体的体积.【详解】如下图所示，四边形是矩形，且边位于直线上，且，，将四边形绕着直线旋转一周，形成的几何体是圆柱，且该圆柱的底面半径为，高为，因此，该几何体的体积为，故答案为：.【点睛】本题考查旋转体体积的计算，考查圆柱体积的计算，解题的关键要确定旋转后所得几何体的形状，考查空间想象能力，属于中等题.8.某同学从复旦、交大、同济、上财、上外、浙大六所大学中选择三所学校综招报名，则交大和浙大不同时被选中的概率为________【答案】.【解析】【分析】先利用古典概型的概率公式计算出事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件“交大和浙大同时被选中”的概率，再利用对立事件的概率公式得出所求事件的概率.【详解】由题意知，事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件为“交大和浙大同时被选中”，由古典概型的概率公式得知，事件“交大和浙大同时被选中”的概率为，由对立事件的概率知，事件“交大和浙大不同时被选中”的概率为，故答案为：.【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及对立事件的概率，在求解事件的概率时，若分类讨论比较比较繁琐，可考虑利用对立事件的概率来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.9.已知且，设函数的最大值为1，则实数的取值范围是________【答案】.【解析】【分析】由函数在上单调递增，且结合题中条件得出函数在上单调递减，且，于此列出不等式组求出实数的取值范围.【详解】由题意知，函数在上单调递增，且，由于函数的最大值为，则函数在上单调递减且，则有，即，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的最值，解题时要考查分段函数每支的单调性，还需要考查分段函数在分界点出函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是________【答案】.【解析】【分析】利用椭圆的定义，判断出在复平面对应的点的轨迹方程，作出图形，结合图形得出的取值范围.【详解】由于满足条件的复数对应的点的轨迹是椭圆，则，即复数在复平面内对应的点到点的距离小于，所以，复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆的内部，的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应的点的轨迹方程，结合椭圆的定义加以理解，考查数形结合思想，属于中等题.11.等差数列中，，，（），则数列的公差为________【答案】.【解析】【分析】设等差数列的公差为，由，可计算出的值，由此可得出数列的公差.【详解】设等差数列的公差为，则，又，，则，，即数列的公差为，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，对于等差数列基本量的计算，通常利用首项和公差建立方程组求解，考查计算能力，属于中等题.12.已知平面直角坐标系中两点、，为原点，有.设、、是平面曲线上任意三点，则的最大值为________【答案】20.【解析】【分析】将圆方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出的最大值.【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心坐标为，半径长为，，由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，所以，当四边形为正方形时，取最大值，此时正方形的边长为，所以，，故答案为：.【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题中代数式的几何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积最大这一结论的应用.二. 选择题13.已知非空集合满足，给出以下四个命题：①若任取,则是必然事件②若,则是不可能事件③若任取,则是随机事件④若,则是必然事件其中正确的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合的包含关系可得中的任何一个元素都是中的元素，中至少有一个元素不在中，结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，即可判断正确的个数【详解】非空集合、满足，可得中的任何一个元素都是中的元素，中至少有一个元素不在中，①若任取，则是必然事件，故①正确；②若，则是可能事件，故②不正确；③若任取，则是随机事件，故③正确；④若，则是必然事件，故④正确．其中正确的个数为3，故选C.【点睛】本题考查集合的包含关系，以及必然事件、不可能事件和随机事件的概念和判断，考查判断能力，属于基础题.14.已知数列为等差数列，数列满足，，，.，则数列的公差 d为（）.A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】D【解析】【详解】注意到，则从而，d=4．选D.15.正方体中, 为棱的中点(如图)用过点的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面的基本性质，得到几何体的直观图，然后判断左视图即可．【详解】由题意可知：过点、、的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D，故选D.【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是得到直观图，是基本知识的考查．16.如图所示，向量的模是向量的模的倍，与的夹角为，那么我们称向量经过一次变换得到向量. 在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过次变换得到的向量为，其中、、为逆时针排列，记坐标为，则下列命题中不正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用变换的定义，推导出的向量坐标，求出、的表达式，然后进行验算即可.【详解】，经过一次变换后得到，点，，，A选项正确；由题意知所以，，，B选项正确；，C选项正确；，D选项错误.故选：D.【点睛】本题考查新定义，首先应理解题中的新定义，转化为已有的知识来解决，本题的实质是考查向量的坐标运算，难度较大.三. 解答题17.已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆，OA与母线所成角为.（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱体积为，求点C到平面OEF的距离.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用与母线所成的角为求出，计算出圆柱的侧面积和底面积，即可得出圆柱的表面积；（2）由圆柱的体积求出与的值，再利用等体积法计算出点到平面的距离.【详解】（1）由于与圆柱的母线成的角，则，，所以，圆柱的表面积为；（2），，，设点到平面的距离为，由题意知，，，，，所以，，易得的面积为，由，，，即点到平面的距离为.【点睛】本题考查圆柱表面积的计算，考查点到平面距离的计算，要根据题中的角转化为边长关系进行计算，在计算点到平面的距离时，一般利用等体积法进行转化求解，考查计算能力，属于中等题.18.若的图像的最高点都在直线上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为.(1)求和的值：(2)在中，分别是的对边,若点是函数图像的一个对称中心,且,求外接圆的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦函数公式化简，再由正弦函数的性质求得和的值；（2）由是函数图象的一个对称中心求得值，再由正弦定理求得外接圆半径，则外接圆的面积可求．【详解】（1）由题意知,函数的周期为,且最大值为,所以.(2) 是函数图像的一个对称中心,所以,又因为的内角,所以，在中,设外接圆半径为,由得所以的外接圆的面积【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．19.已知函数，其中，且，且（1）若，试判断的奇偶性；（2）若，，，证明的图像是轴对称图形，并求出对称轴.【答案】(1)见解析（2）函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线．【解析】【分析】（1）由得出，于是得出，利用偶函数的定义得出，利用奇函数的定义得出，于是得出当时，函数为非奇非偶函数；（2）先得出，并设函数图象的对称轴为直线，利用定义，列等式求出的值，即可而出函数图象的对称轴方程.【详解】（1）由已知，，于是，则，若是偶函数，则，即，所以对任意实数恒成立，所以．若是奇函数，则，即，所以对任意实数恒成立，所以．综上，当时，是偶函数；当时，奇函数，当，既不是奇函数也不是偶函数；（2），若函数的图像是轴对称图形，且对称轴是直线，即对任意实数，恒成立，，化简得，因为上式对任意成立，所以，，．所以，函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线．【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，考查函数对称性的求解法，解题的关键要从函数奇偶性的定义以及对称性定义列式求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：.（1）求曲线的轨迹方程；（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）设两动圆的公共点为，由椭圆定义得出曲线是椭圆，并得出、、的值，即可得出曲线的方程；（2）求出点，设点，，对直线的斜率是否存在分两种情况讨论，在斜率存在时，设直线的方程为，并将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合条件并代入韦达定理求出的值，可得出直线所过点的坐标，在直线的斜率不存在时，可得出直线的方程为，结合这两种情况得出直线所过定点坐标；（3）利用韦达定理求出面积关于的表达式，换元，然后利用基本不等式求出的最大值.【详解】（1）设两动圆的公共点为，则有：．由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，，，所以曲线的方程是：；（2）由题意可知：，设，，当的斜率存在时，设直线，联立方程组：，把②代入①有：，③，④，因为，所以有，，把③④代入整理：，（有公因式）继续化简得：，或（舍），当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点，综上，直线恒过定点；（3）面积，由第（2）小题的③④代入，整理得：，因在椭圆内部，所以，可设，，，（时取到最大值）．所以面积的最大值为．【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，考查直线过定点问题以及三角形面积问题，对于这些问题的处理，通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理设而不求法求解，难点在于计算量，易出错.21.已知无穷数列的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为．(Ⅰ)若= n，请写出数列的前5项；(Ⅱ)求证："为奇数， (i = 2,3,4,）为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件；(Ⅲ)若，i=1, 2, 3,…，求数列的通项公式.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .【解析】试题分析：（Ⅰ）代入的值，即可求得，，，，．（Ⅱ）根据题意，先证充分性和不必要性，分别作出证明．（Ⅲ）分当为奇数和当为偶数，两种情况进而推导数列的通项公式．试题解析：（Ⅰ）解：，，，，．（Ⅱ）证明：（充分性）因为为奇数，为偶数，所以，对于任意，都为奇数．所以．所以数列是单调递增数列．（不必要性）当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时，为偶数，均为奇数，所以，数列是单调递增数列．所以“为奇数，为偶数”不是“数列是单调递增数列”的必要条件；综上所述，“为奇数，为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件．（Ⅲ）解：（1）当为奇数时，如果为偶数，若为奇数，则为奇数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为偶数，所以为奇数，与矛盾．所以当为奇数时，不能为偶数．（2）当为偶数时，如果为奇数，若为奇数，则为偶数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为奇数，所以为奇数，与矛盾．所以当为偶数时，不能为奇数．综上可得与同奇偶．所以为偶数．因为为偶数，所以为偶数．因为为偶数，且，所以．因为，且，所以．以此类推，可得．点睛：本题考查学生对新定义理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.2019届高三数学下学期三模考试试题（含解析）一. 填空题1.不等式的解为。
2019年高三第三次模拟考试数学试题
2019年高三第三次模拟考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
1．已知集合Q P x x Q x x x P },2|||{},0)3(|{<=<-== （ ）A ．（－2，0）B ．（0，2）C ．（2，3）D ．（－2，3）2．如果将一组数据中的每一数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差的 变化情况为（ ）A ．平均数和方差都不变B ．平均数不变，方差改变C ．平均数改变，方差不变D ．平均数和方差都改变 3．设m,n 是两条不同的直线，是三个不同的平面。
给出下列四个命题 （ ）①若； ②若； ③若；④若γαγββα⊥⊥m m 则,,//,//；其中正确的序号是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④4．若方程]5,1[022在区间=-+ax x 上有解，则a 的取值范围 （ ）A ．B ．C ．D ． 5．设双曲线的右准线与两渐近交于A ，B 两点，点F 为右焦点， 若以AB 为直径的圆经过点F ，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．B ．2C ．D ． 6．若θθθθθtan ,0cos sin ,45cos sin 则且<--<+ （ ）A ．大于1B ．等于1C ．小于1D ．等于－17．现有浓度为25%的酒精溶液一瓶，把“每次倒出半瓶，再用水加满”称为一次操作，至 少须经过k 次这样的操作，才能使瓶中溶液的浓度不高于1%，其中k 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．设函数)1ln()(2x x x x f +++=，则对任意实数a 和b ，a+b <0是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．反复掷掷一个骰子，依次记录下每一次抛掷落地时向上的点数，当记有三个不同点数时 即停止抛掷，若抛掷五次恰好停止，则记有这五次点数的所有不同记录结果的种数有 （ ） A ．360种 B ．600种 C ．840种 D ．1680种 10．点P 到点A 及直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的取值个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上。
高三数学第三次模拟考试题(三)文(最新整理)
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2019届高三第三次模拟考试卷文科数学(三）注意事项：1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·新乡二模］已知集合{}2,3,4A=，集合{},2B m m=+,若{}2A B =，则m=( ）A．0 B．1 C．2 D．4 2．［2019·湘赣联考］设复数()iiaz aa-=∈+R在复平面内对应的点位于第一象限，则a的取值范围是（ )A．1a<-B．0a<C．0a>D．1a>3．［2019·南通期末]已知向量(),2a=m,()1,1a=+n,若∥m n，则实数a的值为( ）准考证号考场号座位号23A ．23- B ．2或1- C ．2-或1D ．2-4．[2019·毛坦厂中学]某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（ ）A ．100000元B ．95000元C ．90000元D ．85000元5．[2019·广东模拟]若3π3sin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ) A ．12- B ．13- C ．13D ．126．[2019·临川一中]函数()12sin 12xxf x x ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．7．［2019·南昌一模]如图所示算法框图，当输入的x 为1时,输出的结果为（ )4A ．3B ．4C ．5D ．68．［2019·宜宾二诊］已知ABC △中，A ,B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B=︒，则AB 边上的中线的长为（ ） A ．37B ．34C ．32或37D ．34或379．[2019·江西九校联考］如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ )A ．2845+B ．2882+C ．164285+D ．168245+10．[2019·汕尾质检］已知A ,B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点,若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．20π3B ．15π2C ．6πD ．5π11．［2019·菏泽一模]已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，5A 为椭圆上一点，且120AF AF ⋅=，直线2AF 交y 轴于点M ，若126F F OM =，则该椭圆的离心率为（ ) A ．13BC ．58D12．［2019·江西九校联考]设[]x 为不超过x 的最大整数,n a 为[][)()0,x x x n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的个数，n S 是数列12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项的和,则下列结论正确个数的有（ ） （1）34a = （2）190是数列{}n a 中的项 （3）1056S = （4)当7n =时，21n a n+取最小值 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·深圳期末］已知不等式组20202x y x y x -≥-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩所表示的平面区域为Ω,则区域Ω的外接圆的面积 为______．14．[2019·南京二模］若函数()()()2sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的图象经过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则4πf ⎛⎫⎪⎝⎭的值为______．15．[2019·赣州期末]若曲线ln y x x =在1x =处的切线l 与直线:10l ax y '-+=垂直，则切线l 、直线l '与y 轴围成的三角形的面积为_______．16．[2019·茂名一模］已知()0,0O ,()2,2A -，点M 是圆6()()22312x y -+-=上的动点，则OAM △面积的最大值为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）［2019·江南十校]已知数列{}n a 与{}n b 满足：()1232n n a a a a b n ++++=∈*N ，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足()1nn n n a c n b b +=∈*N ，n T 为数列{}n c 的前n 项和,证明1n T <．18．(12分)[2019·沧州模拟]高考改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节,全社会极其关注．近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3x +”模式初露端倪．其中“3”指必考科目语文、数学、外语，“x "指考生根据本人兴趣特长和拟报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择3门作为选考科目,其中语、数、外三门课各占150分,选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．假定A 省规定:选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%的，以此赋分70分、60分、50分、40分．为了让学生们体验“赋分制"计算成绩的方法，A省某高中高一（1）班（共40人）举行了以此摸底考试（选考科目全考,单科全班排名，每名学生选三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分)茎叶图如下图所示，小明同学在这次考试中物理86分,化学70多分．(1)求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．19．（12分）［2019·宜宾二诊]如图，边长为2的正方形ABCD 中,E、F分别是AB、BC边的中点,将AED△，DCF△分别沿7DE,DF折起，使得A，C两点重合于点M．求证：MD EF⊥；求三棱锥M EFD-的体积．20．（12分）[2019·临沂质检]已知抛物线()2:20C y px p=>的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点，OFP△的外接圆与抛物线的准线相切,且外接圆的周长为3π．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l交C于A，B两点，M是AB的中点，若12AB=，求点M到y轴的距离的最小值，并求此时l的方程．8921．（12分）[2019·石家庄质检］已知函数()e sin x f x a x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)当1a =时，证明：对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥；(2）若函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．22．（10分)【选修4-4：坐标系与参数方程】10［2019·新疆一模]在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为()22cos 2sin x y θθθ⎧+⎨⎩==为参数,以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θα=，()0ρ>．（1)将圆C 的参数方程化为极坐标方程；(2）设点A的直角坐标为(，射线l 与圆C 交于点()B O 不同于点，求OAB △面积的最大值．23．(10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·咸阳模拟]已知函数()()2f x x m x =--∈R ，且()20f x +≤的解集为[]1,1-．（1）求实数m 的值；（2）设a ,b ，c +∈R ,且222a b c m ++=，求23a b c ++的最大值．2019届高三第三次模拟考试卷文科数学（三）答案一、选择题．1．【答案】A【解析】因为{}2A B =，所以2m=或22m+=．当2m=时,{}2,4A B =，不符合题意，当22m+=时,0m=．故选A．2．【答案】A【解析】()()()()22222212iii12ii i i111a aaa a aza a a a a a-----====-++-+++，z对应的点在第一象限，2222110112201aaa aa aa⎧->⎪⎧->⎪+∴⇒⇒<-⎨⎨->⎩⎪->⎪+⎩，故本题选A．3．【答案】C 【解析】根据题意，向量(),2a=m，()1,1a=+n,若∥m n，则有()12a a+=,解可得2a=-或1，故选C．4．【答案】D【解析】由已知得，2017年的就医费用为8000010%8000⨯=元，故2018年的就医费用为12750元，所以该教师2018年的家庭总收入为127508500015%=元,故选D．5．【答案】B【解析】因为3πsin2α⎛⎫+=⎪⎝⎭，由诱导公式得cosα=，所以21cos22cos13αα=-=-，故选B．6．【答案】A【解析】因为()()()122112sin sin sin122112x x xx x xf x x x x f x--⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=⋅-=-⋅=⋅=⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x是偶函数,其图象关于y轴对称,排除选项B，C；因为2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以可排除选项D ，故选A ．7．【答案】C【解析】当1x =时,1x >不成立，则1112y x =+=+=,011i =+=，20y <成立，2x =，1x >成立，24y x ==，112i =+=,20y <成立， 4x =，1x >成立,28y x ==，213i =+=，20y <成立，8x =，1x >成立,216y x ==，314i =+=，20y <成立16x =，1x >成立，232y x ==，415i =+=，20y <不成立,输出5i =，故选C ． 8．【答案】C【解析】∵3b =,33c =，30B =︒,∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得23927233a a =+-⨯⨯⨯， 整理可得29180a a -+=，∴解得6a =或3．如图：CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==， ∴在BCD △中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得22233333626CD =+-⨯⎝⎭,或22233333323CD =+-⨯⎝⎭， ∴解得AB 边上的中线32CD =37C ．9．【答案】A【解析】由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -,将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，A 是棱的中点，在ADC △中，25AC =,且CD AC ⊥，∴226AD CD AC =+=，114254522ADC S AC DC =⋅=⨯⨯=△， 在ABD △中，25AB =，42BD =， 由余弦定理得，222cos 226255AD AB BD DAB AD AB +-∠===⋅⨯⨯，∴2sin 1cos 5DAB DAB ∠=-∠=，∴11sin 62512225ABDS AD AB DAB =⋅∠=⨯⨯⨯=△， 又ABC S △与BDC S △均为边长为4的正方形面积的一半，即为8， ∴三棱锥A BCD -的表面积为1228452845+⨯+=+,故选A ． 10．【答案】A【解析】如图,取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥,DG BC ⊥， 分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ,则O 为四面体A BCD -的球心, 由2AB AC DB DC BC =====，得正方形OEGF 3,则6OG =∴四面体A BCD -的外接球的半径222265133R OG BG ⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭∴球O 的表面积为2520π4π33⨯=．故选A ． 11．【答案】D【解析】结合题意,可知122F F c =，3c OM =则，故21tan 3MF O ∠=，结合120AF AF ⋅=， 可知1290F AF ∠=︒，故1213AF AF =， 设1AF x =,23AF x =，所以234a x x x =+=,()22224310c x x x =+=，所以c e a ==，故选D ． 12．【答案】C【解析】当1n =时，[)0,1x ∈，[]0x =,[]0x x =，[]{}0x x ⎡⎤∈⎣⎦，故11a =． 当2n =时，[)0,2x ∈，[]{}0,1x ∈，[][)0,2x x ∈，[]{}0,1x x ⎡⎤∈⎣⎦，故22a =． 当3n =时,[)0,3x ∈,[]{}0,1,2x ∈，[][)[)[)0,11,24,6x x ∈，故[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤∈⎣⎦，共有4个数，即34a =，故（1）结论正确．以此类推，当2n ≥，[)0,x n ∈时,[]{}0,1,,1x n ∈-,[][)[)[)()())20,11,24,1,61x x n n n ⎡∈--⎣，故[]x x ⎡⎤⎣⎦可以取的个数为()22112312n n n -++++++-=，即()2222n n n a n -+=≥,当1n =时上式也符合，所以222n n n a -+=；令190n a =，得()1378n n -=,没有整数解，故(2）错误．()()1211221212n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭,所以111111112223341222n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 故1011522126S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以(3)判断正确． 21221112222n a n n n +=+->=,222n n=，244n =， 当6n =时，21166n a n +=+；当7n =时，21167n a n +=+, 故当7n =时取得最小值，故（4)正确．综上所述，正确的有三个，故选C ．二、填空题．13．【答案】25π4【解析】由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，易知1232tan 14122MON -∠==+⨯，故3sin 5MON ∠=, 又3MN =，设OMN △的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2sin MN R MON =∠,即52R =，故所求外接圆的面积为2525ππ24⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭． 14．【答案】3【解析】因为相邻两条对称轴间的距离为π2，所以2ππω=，2ω∴=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．因为函数的图象经过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin π13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πϕ<<，π6ϕ∴=． 所以()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 342πππ6f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为315．【答案】1【解析】由题可得ln 1y x '=+，故切线l 的斜率为1， 又切点坐标为()1,0,所以切线l 的方程为1y x =-，因为切线l 与直线l '垂直，所以11a ⋅=-,所以直线l '的方程为1y x =-+,易得切线l 与直线l '的交点坐标为()1,0,因为切线l 与y 轴的交点坐标为()0,1-，直线l '与y 轴的交点坐标为()0,1，所以切线l 、直线l '与y 轴围成的三角形的面积为12112⨯⨯=．16．【答案】6 【解析】如图，由题设，得圆心()3,1C ，半径2r =222222OA =+=， 直线OA 的方程为0x y +=，则OAM △边OA 上的高h 就是点M 到直线OA ,的距离，圆心()3,1C 到直线OA 的距离为31222d +==，可得圆()()22312x y -+-=上的点M 到直线OA 的距离的最大值为max 32h d r =+=，故OAM △面积的最大值max 112232622S OA h =⋅=⨯．故答案为6．三、解答题．17．【答案】（1）2n n a =，21n n b =-;（2）见解析． 【解析】（1)由1232n n a a a a b +++⋅⋅⋅+=……①2n ≥时,123112n n a a a a b --+++⋅⋅⋅+=……②①-②可得：()()133222248n n n a b b a b b -=-⇒=-=⨯=，12a =，0n a >，设{}n a 公比为q ，2182a q q ∴=⇒=，()1222n n n a n -∴=⨯=∈*N ,()()123121222222222112n nn n n n b b n +-∴=+++⋅⋅⋅+==-⇒=-∈-*N ．（2）证明：由已知：()()11121121212121n n n n n n n n n a c b b +++===-⋅----，121223*********121212*********n n n n n T c c c ++∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=--------，当n ∈*N 时，121n +>，11021n +∴>-，111121n +∴-<-，即1n T <．18．【答案】（1）70分；（2）76,77，78，79;（3)25． 【解析】（1）()11100.0050.0150.0250.0350.12⨯-⨯+++=⎡⎤⎣⎦，100.0050.05⨯=,∴此次考试物理成绩落在(]80,90,(]90,100内的频率依次为0.1，0.05，概率之和为0.15，小明的物理成绩为86分，大于80分．∴小明物理成绩的最后得分为70分．（2）因为40名学生中，赋分70分的有4015%6⨯=人，这六人成绩分别为89，91，92,93，93，96;赋分60分的有4035%14⨯=人,其中包含80多分的共10人，70多分的有4人,分数分别为76，77，78，79；因为小明的化学成绩最后得分为60分，且小明化学多分，所以小明的原始成绩的可能值为76,77，78，79．（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为A ,a ，b ，c ，d ，e ，小明的所有可能选法有(),,A a b ，(),,A a c ,(),,A a d ，(),,A a e ，(),,A b c ，(),,A b d ,(),,A b e ,(),,A c d ，(),,A c e ,(),,A d e 共10种，其中包括化学的有(),,A a b ，(),,A a c ，(),,A a d ，(),,A a e 共4种，∴若小明必选物理,其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为25．19．【答案】（1）见解析;（2）13．【解析】（1)证明：在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M =，MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥．（2）解：E 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点,1BE BF ∴==，111122MEF BEF S S ∴==⨯⨯=△△，由（1）知,111123323M DEF MEF V S MD -=⋅=⨯⨯=△．20．【答案】（1）24y x =;(2）最小值为5，直线方程为210x ±-=．【解析】（1）因为OFP △的外接圆与抛物线C 的准线相切， 所以OFP △的外接圆圆心到准线的距离等于圆的半径， 圆周长为3π，所以圆的半径为32r =， 又因为圆心在OF 的垂直平分线上2p OF =， 所以3422pp +=，解得2p =，所以抛物线方程为24y x =． （2）①当l 的斜率不存在时， 因为12AB =，所以246x =，得9x =,所以点M 到y 轴的距离为9，此时，直线l 的方程为9x =，②当l 的斜率存在且0k ≠时，设l 的方程为y kx b =+，设()11,A x y 、()22,B x y ,()00,M x y ，由24y x y kx b==+⎧⎨⎩，化简得()222220k x kb x b +-+=， 所以16160Δkb =-+>，由韦达定理可得12242kbx x k -+=,2122b x x k =，所以()22212124114112kbAB k x x x x k -++-+=， 即42911k kb k -=+，又因为212022222219191129151211x x kb k x k k k k k +-===+=++-≥=++，当且仅当2113k+=时取等号，此时解得2k =, 代入12kb =-中，得22k b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，22k b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩, 所以直线l 的方程为2222y x =-或2222y =+,即直线方程为10x -=．21．【答案】(1）见证明；(2)()0,1a ∈．【解析】（1）当1a =时，()e sin x f x x =-，于是()e cos x f x x '=-． 又因为当()0,x ∈+∞时，e 1x >且cos 1x ≤． 故当()0,x ∈+∞时,e cos 0x x ->，即()0f x '>． 所以函数()e sin x f x x =-为()0,+∞上的增函数，于是()()01f x f ≥=．因此对[)0,x ∀∈+∞,()1f x ≥．（2）方法一：由题意()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值,则()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点,①当()0,1a ∈时,()e cos x f x a x '=-为0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，π2e π02f a ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭,所以，存在唯一实数00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立．于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数;当02π,x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为02π,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，所以00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点；②1a ≥当时,()e cos e cos 0x x f x a x x ≥-'=->在2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，所以()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值;③当0a ≤时，()e cos 0x f x a x =-<'在2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，所以()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值,综上所述,使()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值的a 的取值范围是()0,1．方法二：由题意，函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，则()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点．即e cos x x a =在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点． 设()cos e x x g x =，2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由单调性的性质可得()g x 为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数．即()g x 的值域为()0,1，所以，当实数()0,1a ∈时，()e cos x f x a x'=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点． 下面证明，当()0,1a ∈时,函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值．事实上，当()0,1a ∈时，()e cos x f x a x '=-为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，π2e π02f a ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以,存在唯一实数00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00f x '=成立．于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当02π,x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>，()f x 为02π,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，即00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点．综上所述，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值．22．【答案】（1)4cos ρθ=；（2）2． 【解析】（1）圆C 的参数方程为()22cos 2sin x y θθθ⎧+⎨⎩==为参数，∴圆C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=， ∴圆C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=．(2）射线l 的极坐标方程为θα=，()0ρ>，射线l 与圆C 交于点()B O 不同于点，4cos OB α∴=，π2α≠，点A 的直角坐标为()1,3，132OA ∴=+=, ()1sin 602OAB S OA OB α=⨯⨯⨯︒-△()124cos sin 602αα=⨯⨯⨯︒- 314cos cos sin 2ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭223cos 2sin cosααα=-()31cos2sin2αα=+-()2sin 6023α=︒-+ ()2sin 2603α=--︒+,∴当26090α-︒=-︒，即15α=-︒时，OAB △面积取最大值23S =+．23．【答案】（1）1m =；（2）14．【解析】（1）依题意得()2f x x m +=-，()20f x +≤，即x m ≤， 可得1m =． （2）依题意得2221a b c ++=(0a b c >，，)由柯西不等式得， 2222222312314a b c a b c ++≤++⋅++=, 当且仅当23b c a ==,即1414a =，147b =，31414c =时取等号． ∴23a b c ++的最大值为14．。
2019届高三数学第三次模拟考试题(含答案)文
2019届高三第三次模拟考试卷 文 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·深圳期末]已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+，{}1B x a x a =<<+，若A B =∅，则a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞ B ．(],4-∞ C ．()3,4 D ．[]3,4 2．[2019·广安期末]已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数()1i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．2i - D ．23i -+ 3．[2019·潍坊期末]我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（ ）A ．19533分B ．110522分C ．211513分D ．512506分 4．[2019·恩施质检]在区间[]2,7-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ） A ．13 B ．59 C ．79 D ．89 5．[2019·华阴期末]若双曲线()2210mx y m -=>的一条渐近线与直线2y x =-垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2 BCD6．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．3π2 7．[2019·合肥质检]函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ ） A ． B ． 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号C ．D ．8．[2019·江西联考]已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>9．[2019·汕尾质检]如图所示的程序框图设计的是求9998210099321a a a a ++⋯+++的一种算法，在空白的“”中应填的执行语句是（ ）A ．100i n =+B ．99i n =-C ．100i n =-D ．99i n =+10．[2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线l 于点C，若BC =，且1AF =，则此抛物线的方程为（ ）A．2y = B ．22y x = C．2y = D ．23y x =11．[2019·陕西联考]将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，在向上平移一个单位，得到()g x 的图象若()()124g x g x =，且1x ，[]22π,2πx ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A ．9π2B ．7π2C ．5π2D ．3π2 12．[2019·菏泽期末]如图所示，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB '、DD '交于M ，N ，设BM x =，[]0,1x ∈，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD B ''； ②当且仅当12x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()L f x =，[]0,1x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题的序号为（ ）A ．①④B ．②C ．③D ．③④ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60︒，3=a，+=a b ，则=b _____． 14．[2019·醴陵一中]某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．则该小组人数的最小值为__________． 15．[2019·广安一诊]某车间租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品8件和B 类产品15件，乙种设备每天能生产A 类产品10件和B 类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A 类产品100件，B 类产品200件，所需租赁费最少为_________元 16．[2019·哈三中]设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，22a <，且2019n S =，则n 的最大值为___________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·濮阳期末]已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1cos sin c A C +=．（1）求角A 的大小；（2）若a 1b =，求ABC △的面积．18．（12分）[2019·揭阳一模]如图，在四边形ABED 中，AB DE ∥，AB BE ⊥，点C 在AB 上，且AB CD ⊥，2AC BC CD ===，现将ACD △沿CD 折起，使点A 到达点P的位置，且PE =．（1）求证：平面PBC ⊥平面DEBC ；（2）求三棱锥P EBC -的体积．19．（12分）[2019·合肥质检]为了了解A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：（1）根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性强弱（已知：0.751r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.30.75r ≤<，则认为y 与x 线性相关性一般；0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较弱）； （2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数（精确到个） 参考公式：n x x y y r --=，()2110n i i x x =-=∑，()21 1.3n i i y y =-=∑ 3.6056≈，()()()121ˆn i i i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-． 20．（12分）[2019·鹰潭期末]已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，1F ，2F 为椭圆C 的左右焦点，，短轴长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，椭圆C 的内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点1F ，2F ，求该平行四边形ABCD 面积的最大值．21．（12分）[2019·豫西名校]已知函数()()2ln f x a x x ax a =+-∈R ．（1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（2）求()()2g x f x x =-在区间[]1,e 上的最小值()h a ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·哈三中]已知曲线1:C x =2:x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位． （1）把曲线1C 和2C 的方程化为极坐标方程； （2）设1C 与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P ．若射线OP 与1C ，2C 交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·江南十校]设函数()()f x x x a=-++-．lg2121f x的定义域；（1）当4a=时，求函数()f x的定义域为R，求a的取值范围．（2）若函数()2019届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】由题意，集合(){}{}{}222log 815815035A x y x x x x x x x x ==-+=-+>=<>或，{}1B x a x a =<<+；若A B =∅，则3a ≤且15a +≤，解得34a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[]3,4．故选D ．2．【答案】A【解析】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12i z =-+或2i z =-， ∵z 在复平面内对应的点位于第三象限，∴12i z =-+．故选A ．3．【答案】B【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．∴135012160d +=，解得119012d =-， ∴“立春”时日影长度为：11901135031052122⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭（分）．故选B ．4．【答案】B【解析】区间[]2,7-的长度为()729--=；由2log 10x -≥，解得2x ≥，即[]2,7x ∈，区间长度为725-=，事件“2log 10x -≥”发生的概率是59P =．故选B ．5．【答案】B【解析】设双曲线()2210mx y m -=>为2221x y a -=，它的一条渐近线方程为1y x a =，直线2y x =-的斜率为2-， ∵直线1y x a =与2y x =-垂直，∴()121a ⨯-=-，即2a =，∴c e a ==B ．6．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱的34， ∴该几何体的体积为233ππ1242⨯⨯⨯=．故选D ．7．【答案】A 【解析】∵()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=--=+=，∴()f x 为偶函数，选项B 错误，()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0g x x ='+≥恒成立， ∴()g x 是单调递增函数，则当0x >时，()()00g x g >=， 故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x =+'>'， 即()f x 在()0,+∞上单调递增，故选A ． 8．【答案】C 【解析】0.201.1 1.11a =>=，0.20.2log 1.1log 10b =<=， 1.1000.20.21c <=<=，故a c b >>．故选C ．9．【答案】C 【解析】由题意，n 的值为多项式的系数，由100，99⋯直到1， 由程序框图可知，输出框中“”处应该填入100i n =-．故选C ． 10．【答案】A 【解析】如图，过A 作AD 垂直于抛物线的准线，垂足为D ， 过B 作BE 垂直于抛物线的准线，垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点，由抛物线的定义，BF BE =，1AF AD ==，∵BC =，∴BC =，∴45DCA ∠=︒，∴2AC ==+211CF ==，∴PF ==，即p PF =，∴抛物线的方程为2y =，故选A ． 11．【答案】D 【解析】将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位，得到()2ππsin 21cos 2136g x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭的图象，故()g x 的最大值为2，最小值为0，若()()124g x g x =，则()()122g x g x ==，或()()122g x g x ==-（舍去）．故有()()122g x g x ==，即12cos2cos21x x ==-，又1x ，[]22π,2πx ∈-，则12πx =，22πx =-，则122x x -取得最大值为π3ππ22+=．故选D ．12．【答案】C【解析】①连结BD ，B D ''，则由正方体的性质可知，EF ⊥平面BDD B ''，∴平面MENF ⊥平面BDD B ''，∴①正确；②连结MN ，∵EF ⊥平面BDD B ''，∴EF MN ⊥，四边形MENF 的对角线EF 是固定的， ∴要使面积最小，则只需MN 的长度最小即可，此时当M 为棱的中点时， 即12x =时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF 的面积最小，∴②正确；③∵EF MN ⊥，∴四边形MENF 是菱形，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由大变小， 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由小变大，∴函数()L f x =不单调，∴③错误；④连结C E '，C M '，C N '，则四棱锥可分割为两个小三棱锥，它们以C EF '为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥，∵三角形'C EF 的面积是个常数，M ，N 到平面'C EF 的距离是个常数，∴四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数，∴④正确，∴四个命题中③假命题，故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】根据题意，设t =b ，()0t >，向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，则32t⋅=a b ，又由+=a b ，则()222229313t t +=+⋅+=++=a b a a b b ，变形可得：2340t t +-=，解可得4t =-或1，又由0t >，则1t =；故答案为1． 14．【答案】12 【解析】设男学生人生为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，且x ，y ，*z ∈N ， 则2z x y z >>>，当1z =时，21x y >>>不成立；当2z =时，42x y >>>不成立； 当3z =时，63x y >>>，则5x =，4y =，此时该小组的人数最小为12． 15．【答案】3800 【解析】设甲种设备需要生产x 天，乙种设备需要生产y 天， 该公司所需租赁费为z 元，则300400z x y =+， 甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品的情况为45503540,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪∈∈⎩N N ，做出不等式表示的平面区域，由45503540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()10,2， 当300400z x y =+经过的交点()10,2时，目标函数300400z x y =+取得最低为3800元． 故答案为3800． 16．【答案】63 【解析】数列{}n a n -是以1-为公比，以11a -为首项的等比数列， 数列{}n a n -的前n 项和为()()()()111112122n n n n n S n S a +---++⋯+=-=-⋅， ()()()1111122n n n n S a --+=-⋅+， 当n 为偶数时，()120192n n n S +==，无解； 当n 为奇数时，由()()11120192n n n S a +=+-=，可得()1120202n n a +=-，由121n n a a n ++=+可得213a a +=，123a a =-，∵22a <，∴11a >，即()()1120201140382n n a n n +=->⇒+<，结合n ∈N ，可得63n ≤，∴使得2019n S =的n 的最大值为63，故答案为63．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3A =；（2）S ．【解析】（1）∵()1cos sin c A C +=，由正弦定理可得()sin 1cos sin C A A C +=cos 1A A -=， ∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，A 是ABC △的内角，∴ππ66A -=，∴π3A =．（2）∵a =1b =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即217c c +-=，可得260c c --=，又0c >，∴3c =，∴ABC △的面积11sin 1322S bc A ==⨯⨯=18．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）证明：∵AB BE ⊥，AB CD ⊥，∴BE CD ∥，∵AC CD ⊥，∴PC CD ⊥，∴PC BE ⊥，又BC BE ⊥，PC BC C =，∴EB ⊥平面PBC ，又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ；（2）解法1：∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB PB ⊥，由PE =得2PB ==，∴PBC △为等边三角形，∴22PBC S ==△∴11233P EBC E PBC PBC V V S EB --==⋅==△，解法2：∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB PB ⊥，由PE =，得2PB ，∴PBC △为等边三角形，取BC 的中点O ，连结OP，则PO =∵PO BC ⊥，∴PO ⊥平面EBCD ，∴21112332P EBC EBC V S PO -=⋅=⨯⨯=△． 19．【答案】（1）相关性很强；（2）0.36 4.6ˆ727y x =-，208个． 【解析】（1）2016x =，1y =，n x x y y r --=20.710.410.420.7360.7536056-⨯-+-⨯-+⨯+⨯==>．．， ∴y 与x 线性相关性很强． （2）()()()()()()()12120.710.410.420.70.3641014ˆn i i i n i i x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑， 120160.36724.7ˆ6ˆa y bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程是0.36 4.6ˆ727y x =-． 当2019x =时，0.36724.76ˆ 2.08y x =-=（百个）， 即A 地区2019年足球特色学校的个数为208个． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2） 【解析】（1）依题意得22b=，2c e a ==，解得a 1b c ==， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）当AD 所在直线与x 轴垂直时，则AD 所在直线方程为1x =， 联立2212x y +=，解得y =ABCD 的面积S = 当AD 所在的直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-， 联立2212x y +=，得()2222124220k x k x k +-+-=， 设()11,A x y ，()22,D x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k xx k -=+，则)22112k AD k +=+，两条平行线间的距离d =， 则平行四边形ABCD 的面积)22112k S k +==+，令212t k=+，1t >，则S =，()10,1t ∈，开口向下，关于1t单调递减，则(S =，综上所述，平行四边形ABCD的面积的最大值为21．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()()2min 21,21ln ,22e 241e e 2e,2ea a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+-≥⎩．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222a x ax af x x a x x -+=+-='，∵3x =是()f x 的极值点，∴()183303a af '-+==，解得9a =，∴()()()2233299x x x x f x x x ---+=='， 当302x <<或3x >时，()0f x '>；当332x <<时，()0f x '<．∴()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫⎪⎝⎭．（2）()2ln 2g x a x x ax x =+--，则()()()22122x a x x ax a g x x x ---+='=-，令()0g x '=，得2ax =或1x =． ①当12a≤，即2a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()min 11h a g a ==--； ②当1e 2a<<，即22e a <<时，()g x 在1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,e 2a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，∴()2min 1ln 224a a h a g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭； ③当e 2a≥，即2e a ≥时，()g x 在[]1,e 上为减函数，∴()()()2min e 1e e 2e h a g a ==-+-．综上，()()2min 21,21ln ,22e 241e e 2e,2ea a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+-≥⎩．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+；（2）1．【解析】（1）∵2C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）， ∴其普通方程为22162x y +=，又1:C x +=∴可得极坐标方程分别为1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+． （2）∵)M ，()0,1N，∴12P ⎫⎪⎪⎝⎭，∴OP 的极坐标方程为π6θ=， 把π6θ=代入πsin 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11ρ=，π1,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把π6θ=代入22612sin ρθ=+得22ρ=，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴211PQ ρρ=-=，即P ，Q 两点间的距离为1． 23．【答案】（1）53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3a <． 【解析】（1）当4a =时，()f x 定义域基本要求为21214x x -++>， 当1x ≤-时，5122244x x x --->⇒<-； 当112x -<<时，12224x x -++>，无解； 当12x ≥时，3212244x x x -++>⇒>， 综上：()f x 的定义域为53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由题意得2121x x a -++>恒成立()min 2121a x x ⇒<-++， ()()()min 2121212221223x x x x x x -++=-++≥--+=， ∴3a <．。