河北省石家庄市正定县九年级(上)期末数学试卷

九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共14小题，共36.0分）1.一元二次方程2x2+3x-4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 2，−3，−4B. 2，3，4C. 2，−3，4D. 2，3，−42.计算：（12）-1-tan60°•cos30°=（）A. −12B. 1C. 12D. 323.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的大小为（）A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘4.如图，△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，下列选项正确的是（）A. DE：BC=1：2B. AE：AC=1：3C. BD：AB=1：3D. S△ADE：S△ABC=1：45.为了估计某地区供暖期间空气质量情况，某同学在20天里做了如下记录：其中ω＜50时空气质量为优，50≤ω≤100时空气质量为良，100＜ω≤150时空气质量为轻度污染．若按供暖期125天计算，请你估计该地区在供暖期间空气质量达到良以上（含良）的天数为（）6.反比例函数y=mx的图象如图所示，以下结论：①常数m＜-2；②若A（-1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；③y随x的增大而减小；④若P（x，y）在图象上，则P'（-x，-y）也在图象上．其中正确的是（）A. ①②B. ③④C. ②③D. ②④7.如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（）A. 16cmB. 13cmC. 12cmD. 1 cm8.图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A. 点MB. 点NC. 点OD. 点P9.某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下①小明取出老师提供的圆形细铁环，先找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB=8分米；②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）．③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；④计算出橡胶棒CD的长度．小明计算橡胶棒CD的长度为（）A. 43分米B. 23分米C. 26分米D. 32分米10.如图，在平面直角坐标系中，点P（1，2.5）、Q（m，n）在函数y＝kx（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q 分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）A. 增大B. 先增大后减小C. 先减小后增大D. 减小11.在湖边高出水面40m的山顶A处看见一架无人机停留在湖面上空某处，观察到无人机底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°，则无人机底部P 距离湖面的高度是（）A. (403+40)mB. (403+80)mC. (503+100)mD. (503+50)m12.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A. B.C. D.13.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（-3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（）A. (0,0)B. (−2,1)C. (−2,−1)D. (0,−1)14.如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE、BF交于点P，过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；③线段MN的最小值为5−22．其中正确的结论有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）15.若ab=37，则aa+b=______．16.如图，已知圆锥的高为8，底面圆的直径为12，则此圆锥的侧面积是______．17.某商品售价y（元/件）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比例根据表格写出y与x的函数关系式____．18.11，△122一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S1=______；S2=______；S n=______．三、解答题（本大题共6小题，共54.0分）19.已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．20.我区某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题：（1）九（1）班复赛成绩的中位数是______分，九（2）班复赛成绩的众数是______分；（2）小明同学已经算出了九（1）班复赛的平均成绩x1−=85分；方差S2=15[（85-85）2+（75-85）2+（80-85）2+（85-85）2+（100-85）2]=70（分2），请你求出九（2）班复赛的平均成绩x2和方差S22；（3）根据（2）中计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好？21.如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于A、B两点且点A的坐标为（3，1），点B的坐标（-1，n）．（1）分别求两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积．22.如图，点G是边长为4的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD=5．（1）寻找并证明图中的两组相似三角形；（2）求HG、FG的长．23.随着正定旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．（1）该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的288个，求该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率；（2）根据市场表现发现每床每日收费40元，288张床可全部租出，若每床每日收费提高10元，则租出床位减少20张．若想平均每天获利14880元，同时又减轻游客的经济负担每张床位应定价多少元？24.如图，点A在数轴上对应的数为20，以原点O为圆心，OA为半径作优弧AB，使点B在O右下方，且tan∠AOB=3，在优弧AB上任取一点P，且能过P作直线l∥OB 交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段AP的长为10π，求∠AOP度数及x的值．（2）若线段PQ的长为10，求这时x的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：一元二次方程2x2+3x-4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，3，-4．故选：D．根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．2.【答案】C【解析】解：原式=2-×=2-=．故选：C．直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值代入求出答案．此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．3.【答案】B【解析】解：∵OB=OC∴∠BOC=180°-2∠OCB=100°，∴由圆周角定理可知：∠A=∠BOC=50°故选：B．根据圆周角定理即可求出答案本题考查圆周角定理，注意圆的半径都相等，本题属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：已知AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，BD：AB=2：3，∵△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AE：AC=AD：AB=DE：BC=1：3，S△ADE：S△ABC=（1：3）2=1：9，所以只有B、AE：AC=1：3正确，故选：B．由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，再由AD：DB=1：2，推出AD：AB=1：3，据此求出DE：BC，AE：AC，BD：AB，S△ADE：S△ABC，从而得出正确选项．此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，关键是由已知先得到AD：AB=1：3和△ADE∽△ABC，再求出DE：BC，AE：AC，BD：AB，S△ADE：S△ABC．5.【答案】A【解析】解：∵在被抽查的样本中空气质量达到良以上（含良）的天数所占百分比为×100%=60%，∴估计该地区在供暖期间空气质量达到良以上（含良）的天数为125×60%=75（天），故选：A．20天中空气质量达到良以上的有12天，即所占比例为=，然后乘以125即可求出供暖期间空气质量达到良以上（含良）的天数．本题考查的是利用样本估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可6.【答案】D【解析】解：∵反比例函数图象经过第一、三象限，∴m＞0，所以①错误；在每一象限，y随x的增大而减小，所以③错误；∵A（-1，h），B（2，k）在图象上，∴h=-m，k=，而m＞0，∴h＜k，所以②正确；∵m=xy=（-x）•（-y），∴若P（x，y）在图象上，则P'（-x，-y）也在图象上，所以④正确．故选：D．根据反比例函数的性质得到m＞0，则可对①③进行判断；根据反比例函数图象上点的坐标特征对③④进行判断．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．7.【答案】D【解析】解：如图过O作直线OE⊥AB，交CD于F，依题意AB∥CD∴OF⊥CD∴OE=12，OF=2而AB∥CD可以得△AOB∽△COD∵OE，OF分别是它们的高∴，∵AB=6，∴CD=1，故选：D．据小孔成像原理可知△AOB∽△COD，利用它们的对应边成比例就可以求出CD之长．本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例．8.【答案】D【解析】解：点P在对应点M和点N所在直线上，再利用连接另两个对应点，得出相交于P点，即可得出P为两图形位似中心，故选：D．根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．此题主要考查了位似图形的概念，根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上得出是解题关键．9.【答案】A【解析】解：作OE⊥CD于E交⊙O于F．∵CD垂直平分OF，∴CO=CF，∴CO=CF=OF，∴△OCF是等边三角形，∵OC=4，∴CE=OC•cos30°=2，∵OE⊥CD，∴CE=ED，∴CD=2CE=4，故选：A．作OE⊥CD于E交⊙O于F．证明△OCF是等边三角形即可解决问题．本题考查垂径定理，圆周角定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10.【答案】A【解析】解：AC=m-1，CQ=n=AC•CQ=（m-1）n=mn-n则S四边形ACQE∵P（1，2.5）、Q（m，n）在函数的图象上，∴mn=k=2.5（常数）∴S=2.5-n四边形ACQE∴当m＞1时，n随m的增大而减小，∴S=2.5-n随m的增大而增大四边形ACQE故选：A．首先利用m和n表示出AC和CQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用m、n表示，然后根据函数的性质判断．此题主要考查反比例函数的几何意义，反比例函数的图象上的点的坐标特征．做此类题型时，要注意观察函数图象上点与函数解释式的关系．11.【答案】B【解析】解：设AE=xm，在Rt△AEP中∠PAE=45°，则∠P=45°，∴PE=AE=x，∵山顶A处高出水面40m，∴OE=40m，∴OP′=OP=PE+OE=x+40，∵∠P′AE=60°，∴P′E=tan60°•AE=x，∴OP′=P′E-OE=x-40，∴x+40=x-40，解得：x=40（+1）（m），∴PO=PE+OE=40（+1）+40=40+80（m），即无人机离开湖面的高度是（40+80）m．故选：B．设AE=x，则PE=AE=x，根据山顶A处高出水面40m，得出OE=40，OP′=x+40，根据∠P′AE=60°，得出P′E=x，从而列出方程，求出x的值即可．本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．12.【答案】C【解析】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选：C．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．13.【答案】C【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．∵点A的坐标为（-3，2），∴点O的坐标为（-2，-1）．故选：C．根据垂径定理可得：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．然后由点A的坐标为（-3，2），即可得到点O的坐标．此题考查了垂径定理的应用以及点与坐标的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．14.【答案】D【解析】解：如图，∵动点F，E的速度相同，∴DF=CE，又∵CD=BC，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故②正确；∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠APB=90°，故③正确；在△BPE和△BCF中，∵∠BPE=∠BCF，∠PBE=∠CBF，∴△BPE∽△BCF，∴，∴CF•BE=PE•BF，∵CF=BE，∴CF2=PE•BF，故④正确；∵点P在运动中保持∠APB=90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△BCG中，CG=，∵PG=AB=，∴CP=CG-PG=，即线段CP的最小值为，故⑤正确；综上可知正确的有5个，故选：D．由正方形的性质及条件可判断出①△ABE≌△BCF，即可判断出②AE=BF，∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，可得出∠APB=90°，即可判断③，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性质，结合CF=BE可判断④；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值，可判断⑤．本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识点．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，证明△ABE≌△BCF是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．15.【答案】310【解析】解：∵=，∴设a=3x，则b=7x，则==．故答案为：．直接利用已知表示出a，b的值，进而代入求出答案案．此题主要考查了比例的性质，正确表示出各未知数是解题关键．16.【答案】60π【解析】解：底面圆的直径为12，则半径为6，∵圆锥的高为8，根据勾股定理可知：圆锥的母线长为10．根据周长公式可知：圆锥的底面周长=12π，∴扇形面积=10×12π÷2=60π．故答案为60π．圆锥的侧面积是一个扇形，根据扇形公式计算即可．本题主要考查了圆锥的侧面积的计算方法．解题的关键是熟记圆锥的侧面展开扇形的面积计算方法．17.【答案】y=600x+5【解析】解：由题意设y与x的函数关系式为：y=+b，则，解得：，故y与x的函数关系式为：y=+5，故答案为：y=+5．直接根据题意假设出函数关系式进而把已知数据代入求出答案．此题主要考查了反比例函数的应用，正确假设出函数关系式是解题关键．18.【答案】S1=94S2=3 S n=9n2n+2【解析】解：连接B1、B2、B3、B4、B5，如图所示：∵n+1个直角边长为的等腰直角三角形斜边在同一直线上，B1、B2、B3、B4、B5的连线与直线AC5平行，∵等腰直角三角形的直角边长为3，∴S△AB1C1=由题意可知，△B1C1B2为直角边为3的等腰直角三角形，∴△AC1D1∽△B2B1D1∴，S1=同理可得△B2D2B3∽△C2D2A，∴∴S2=，同理可得：△B3D3B4∽△C3D3A，∴，=∴=，…故答案为：．连接B1、B2、B3、B4、B5，则B1B5∥AC5，通过三角形相似依次表示出S1、S2、S3、S4…S n．本题主要考查了图形的变化规律，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键．19.【答案】解：（1）由题意得，b2-4ac＞0即42-4k•2＞0k＜2，又∵一元二次方程k≠0∴k＜2且k≠0；（2）∵k＜2且k取最大整数∴k=1，当k=1时，x2-4x+2=0解得，x1=2+2，x2=2-2．【解析】（1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=42-4k•2＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）先确定k的最大整数值得到方程x2-4x+2=0，然后利用因式分解法解方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．20.【答案】85 100【解析】解：（1）九（1）班复赛成绩的中位数是85分，九（2）班复赛成绩的众数是100分；故答案为：85，100；（2）九（2）班的选手的得分分别为70，100，100，75，80，所以九（2）班成绩的平均数=（70+100+100+75+80）=85，九（2）班的方差S22=[（70-85）2+（100-85）2+（100-85）2+（75-85）2+（80-85）2]=160；（3）平均数一样的情况下，九（1）班方差小，所以九（1）班的成绩比较稳定．（1）利用众数、中位数的定义分别计算即可；（2）利用平均数和方差的公式计算即可；（3）利用方差的意义进行判断．本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了统计图．21.【答案】解：由题意得，把点A（3，1）代入y=kx，1=k3，解得k=3，∴y=3x，当x=-1时，y=-3，∴点B（-1，-3），把点A（3，1），点B（-1，-3）代入y=ax+b，得3k+b=1−k+b=−3，解得k=1b=−2，则一次函数的解析式为：y=x-2，∴一次函数的解析式是y=x-2，反比例函数的解析式是y=3x，（2）y=x-2，当x=0时，y=-2，S△AOB=12×|-2|×3+12×|-2|×|-1|=4．【解析】（1）利用待定系数法求两个函数的解析式；（2）根据三角形面积公式可得结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，（1）待定系数法解题是解题的关键，（2）转化的思想是解题关键，将大三角形的面积转化成两个小三角形的面积．22.【答案】证明：（1）∵正方形ABCD∴∠B=∠C=90°又∵矩形DEFG∴∠FGD=90°∴∠HGB+∠DGC=90°又因为∠DGC+∠GDC=90°∴∠GDC=∠HGB∴△HGB∽△GDC，相似三角形还有：△HGB∽△HAF，△DAE∽△GDC（2）在Rt△DGC中，∵GD=5，DC=4∴CG=3，∵△HGB∽△GDC∴HGGD=BGCD∴HG=54，∵△HGB∽△ADE∴ADGD=DECD∴DE=165∵四边形DEFG是矩形，∴FG=DE=165．【解析】（1）根据正方形的性质和矩形的性质以及相似三角形的判定解答即可；（2）根据相似三角形的性质解答即可．此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据正方形的性质和矩形的性质以及相似三角形的判定解答．23.【答案】解：（1）设该宾馆这两年床位的年平均增长率为x，依题意，得：200（1+x）2=288，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）．答：该宾馆这两年床位的年平均增长率为20%．（2）设每张床位定价m元，依题意，得：m（288-20•m−4010）=14880，整理，得：m2-184m+7440=0，解得m1=60，m2=124．∵为了减轻游客的经济负担，∴x2=124（舍去）．答：每张床位应定价60元．【解析】（1）设该宾馆这两年床位的年平均增长率为x，根据该宾馆2016年底及2018年底的床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每张床位定价m元，根据总价=单价×数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24.【答案】解：（1）如图1，由nπ×20180=10π，解得n=90°，∴∠POQ=90°，∵PQ∥OB，∴∠PQO=∠BOQ，∴tan∠PQO=tan∠QOB=3=OPOQ∴OQ=2033∴x=2033；（2）分三种情况：①如图2，作OH⊥PQ于H，设OH=3k，QH=k．在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，∴202=（3k）2+（10-k）2，整理得：k2-5k-75=0，解得k=5+5132或k=5−5132（舍弃），∴OQ=2k=5+513此时x的值为5+513②如图3，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH=3k，QH=k．在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，∴202=（3k）2+（10+k）2，整理得：k2+5k-75=0，解得k=−5+5132（舍弃）或k=−5−5132（舍弃），∴OQ=2k=−5+513，此时x的值为-513+5③如图4，作OH⊥PQ于H，设OH=3k，QH=k．在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，∴202=（3k）2+（10-k）2，整理得：k2-5k-75=0，解得k=5+5132或5−5132（舍弃），∴OQ=2k=5+513此时x的值为−5−513．综上所述，满足条件的x的值为5+513或-513+5或−5−513．【解析】（1）由=10π，解得n=90°，即∠POQ=90°，在Rt△POQ中，OP=20，tan∠PQO=tan∠QOB=，即可得出x的值；（2）分PQ在点O的右侧和左侧三种情况讨论求解即可．本题考查弧长计算，勾股定理，一元二次方程解法，锐角三角函数定义以及分类讨论思想．解题的关键是根据PQ的不同位置进行分类讨论．第21页，共21页。