1.3.2杨辉三角及二项式系数的性质

二项式系数的性质
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
n
从函数角度看，Cr n 可看 成是以r为自变量的函数f (r ) ,其定义域是： 0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数 问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系 数的性质：对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题. 课外思考: 0 1 2 n n1 1.求证： Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 2 2
二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 C
n 2 取得最大值； n
n 1 2 、 n
C
n 1 2 相等，且同时取得最大值。 n
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C
二项式系数的性质 （3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项
式有关问题的一种重要方法——赋值法。
继续思考1:（2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数
0 即证：n
项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
C C
2 n
n
C C
1 n 3 n
2
n1
证明：在展开式C 0a n
n 0 n
C a
7
例2：赋值法
(3)a1 a3 a5 a7
解 : 设f ( x) (1 2x)
7
已知(1 2 x) 7 a0 a1 x a2 x 2
a6 6 a7 x 7
(4)a0 a2 a4 a6
2(a1 a3 a5 a7 ) f (1) f (1) 7 f (1) f (1) 1 3 a1 a3 a5 a7 2 2 (4)2(a0 a2 a4 a6 ) f (1) f (1)
m n m n 1
m 1 n
例题分析: 例1．证明： （1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数 0 1 2 r n 的和 Cn Cn Cn Cn Cn 2n
令a=b=1，则 2 C C C
n 0 n 1 n 2 n
C
r n
C
n n
启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此
如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;
这就是著名的
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行
1
1 1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 n
1 n1 n
2 n
b
3 n 1 n
C b
n n 中 n
n n n
令a=1，b=－1得
(1 1) C C C C (1) C 0 2 3 即0 C n C n C C n 0 2 1 3 Cn Cn Cn Cn
k n
n k 1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定． k
k n
k 1 n
二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 由：n k 1 1 k n 1
k 2
n 1 可知，当 k 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取 得最大值。
（1）令x 0 7 即f (0) (1 2 0) 1, 展开式右边即为a0 a0 f (0) 1 （2）令x 1
f (1) (1 2 1) 1 a0 a1 a2 a7 a1 a2 ... a7 (a0 a1 a7 ) a0 f (1) f (0) 1 1 2.
n
C , C , C
0 n
1 n
（ 1） C （ 2） C
n n 有如下性质： m nm n n
C
C C n 1 r r 1 （3）当 r 时， Cn Cn 2 n 1 r 1 r 当r 时， Cn Cn 2 0 1 n n （ 4） Cn Cn Cn 2
1答案 2答案
总结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的 值1，-1等来整体得到所求。
已知(1 2 x) a0 a1 x a2 x a6 x a7 x 求： (1)a0 (2)a1 a2 a3 ... a7
7 2 6
例1、赋值法
7
解 : 设f ( x) (1 2 x)7 ,
0
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 1 r n 1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n 1 n n …… … … (a b)n
r r 1 r Cn Cn C 1 n 1
提示 : 设f ( x) (1 x x x )
2 3 4
a0 a1 x a2 x ... a12 x
2
12
f (1) a0 a1 a2 a12 4 f (1) a0 a1a2 a3 a12 0
4
7
思考：
(1 2x) 展开式中求 a1 a2 a3 ... a7 .
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
(a b)n的展开式的各二项式系 这就是说， n 数的和等于： 2
同时由于C0 n 1，上式还可以写成：
C C C C 2 1
1 n 2 n 3 n n n n
这是组合总数公式．
一般地， (a b) 展开式的二项式系数
2.(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是( C )
(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
学习小结:
作业:课本 P43 A 组第 8 题,B 组第 2 题
驶向成功的彼岸
……
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个 表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发 现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代 数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
(3) f (1) a0 a1 a2 a7 ① f (1) a0 a1a2 a3 a7 ②
总结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解. 2 3 4 练习（ : 1 x x x ） 的展开式中奇次项
系数和是 ______
杨辉三角
杨 辉 三 角
点击图片可以演示“杨辉三角”课件
杨 辉 三 角
(a b) 第 0行 1 1 ( a b ) 第 1行 1 1 2 第 2行 1 2 1 6=3+3 (a b) 3 4=1+3 (a b) 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 4 10=6+4 ( a b ) 第 4行 1 4 1 4 6 20=10+10 15=5+10 5 ( a b ) 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 (a b)6
1.3.2(1)
二项定理: 一般地，对于n N*有
0 n 1 n 1 2 n 2 2 ( a b )n C n a Cn a b Cn a b
C a
r n
n r
b
r
C b
n n
n
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数 有什么特点？
杨辉三角
《 九 章 算 术 》
杨 辉
杨辉三角 《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规 n 律 (a b) 展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： 1 1 1 ( a b) 2 (a b) 1 2 1 3 1 3 3 1 (a b) 4 (a b) 1 4 6 4 1 5 (a b) 1 5 10 10 5 1 6 (a b) 1 6 15 20 15 6 1
（1）对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 m nm C n C n 得到．
n 图象的对称轴：r 2
二项式系数的性质 （2）增减性与最大值
n(n 1)(n 2) (n k 1) 由于： C k (k 1)! k 1 n k 1 Cn k