1.3.2杨辉三角及二项式系数的性质
二项式系数的性质
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
n
从函数角度看，Cr n 可看 成是以r为自变量的函数f (r ) ,其定义域是： 0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数 问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系 数的性质：对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题. 课外思考: 0 1 2 n n1 1.求证： Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 2 2
二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 C
n 2 取得最大值； n
n 1 2 、 n
C
n 1 2 相等，且同时取得最大值。 n
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C
二项式系数的性质 （3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项
式有关问题的一种重要方法——赋值法。
继续思考1:（2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数
0 即证：n
项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
C C
2 n
n
C C
1 n 3 n
2
n1
证明：在展开式C 0a n
n 0 n
C a
7
例2：赋值法
(3)a1 a3 a5 a7
解 : 设f ( x) (1 2x)
7
已知(1 2 x) 7 a0 a1 x a2 x 2
a6 6 a7 x 7
(4)a0 a2 a4 a6
2(a1 a3 a5 a7 ) f (1) f (1) 7 f (1) f (1) 1 3 a1 a3 a5 a7 2 2 (4)2(a0 a2 a4 a6 ) f (1) f (1)
m n m n 1
m 1 n
例题分析: 例1．证明： （1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数 0 1 2 r n 的和 Cn Cn Cn Cn Cn 2n
令a=b=1，则 2 C C C
n 0 n 1 n 2 n
C
r n
C
n n
启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此
如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;
这就是著名的
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行
1
1 1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 n
1 n1 n
2 n
b
3 n 1 n
C b
n n 中 n
n n n
令a=1，b=－1得
(1 1) C C C C (1) C 0 2 3 即0 C n C n C C n 0 2 1 3 Cn Cn Cn Cn
k n
n k 1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定． k
k n
k 1 n
二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 由：n k 1 1 k n 1
k 2
n 1 可知，当 k 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取 得最大值。
（1）令x 0 7 即f (0) (1 2 0) 1, 展开式右边即为a0 a0 f (0) 1 （2）令x 1
f (1) (1 2 1) 1 a0 a1 a2 a7 a1 a2 ... a7 (a0 a1 a7 ) a0 f (1) f (0) 1 1 2.
n
C , C , C
0 n
1 n
（ 1） C （ 2） C
n n 有如下性质： m nm n n
C
C C n 1 r r 1 （3）当 r 时， Cn Cn 2 n 1 r 1 r 当r 时， Cn Cn 2 0 1 n n （ 4） Cn Cn Cn 2
1答案 2答案
总结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的 值1，-1等来整体得到所求。
已知(1 2 x) a0 a1 x a2 x a6 x a7 x 求： (1)a0 (2)a1 a2 a3 ... a7
7 2 6
例1、赋值法
7
解 : 设f ( x) (1 2 x)7 ,
0
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 1 r n 1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n 1 n n …… … … (a b)n
r r 1 r Cn Cn C 1 n 1
提示 : 设f ( x) (1 x x x )
2 3 4
a0 a1 x a2 x ... a12 x
2
12
f (1) a0 a1 a2 a12 4 f (1) a0 a1a2 a3 a12 0
4
7
思考：
(1 2x) 展开式中求 a1 a2 a3 ... a7 .
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
(a b)n的展开式的各二项式系 这就是说， n 数的和等于： 2
同时由于C0 n 1，上式还可以写成：
C C C C 2 1
1 n 2 n 3 n n n n
这是组合总数公式．
一般地， (a b) 展开式的二项式系数
2.(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是( C )
(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
学习小结:
作业:课本 P43 A 组第 8 题,B 组第 2 题
驶向成功的彼岸
……
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个 表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发 现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代 数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
(3) f (1) a0 a1 a2 a7 ① f (1) a0 a1a2 a3 a7 ②
总结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解. 2 3 4 练习（ : 1 x x x ） 的展开式中奇次项
系数和是 ______
杨辉三角
杨 辉 三 角
点击图片可以演示“杨辉三角”课件
杨 辉 三 角
(a b) 第 0行 1 1 ( a b ) 第 1行 1 1 2 第 2行 1 2 1 6=3+3 (a b) 3 4=1+3 (a b) 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 4 10=6+4 ( a b ) 第 4行 1 4 1 4 6 20=10+10 15=5+10 5 ( a b ) 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 (a b)6
1.3.2(1)
二项定理: 一般地，对于n N*有
0 n 1 n 1 2 n 2 2 ( a b )n C n a Cn a b Cn a b
C a
r n
n r
b
r
C b
n n
n
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数 有什么特点？
杨辉三角
《 九 章 算 术 》
杨 辉
杨辉三角 《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规 n 律 (a b) 展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： 1 1 1 ( a b) 2 (a b) 1 2 1 3 1 3 3 1 (a b) 4 (a b) 1 4 6 4 1 5 (a b) 1 5 10 10 5 1 6 (a b) 1 6 15 20 15 6 1
（1）对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 m nm C n C n 得到．
n 图象的对称轴：r 2
二项式系数的性质 （2）增减性与最大值
n(n 1)(n 2) (n k 1) 由于： C k (k 1)! k 1 n k 1 Cn k
人教a版数学【选修2-3】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件
„„
k C n 第 k＋1 类：取 n－k 个 1，k 个 x，共_____种取法；
1 2 n 2n (5)C0 n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝_______ 1 2 2 n n 由(1＋x)n＝C0 ＋ C x ＋ C x ＋„＋ C n n n nx .令 x＝1 得出．
此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式 中系数问题中很有用，应重点体会掌握． (1＋x)n 展开式的组合数解释为：展开式左边是 n 个(1＋x) 的乘积，按照取 x 的个数可以将乘积中的项按 x 的取法分为
k n k－1 n－k＋1 Cn · .
k
第一章
1.3
1.3.2
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所以
k Cn 相对于
n－k＋1 k－1 C n 的增减情况由 决定，故当 k
n－k＋1 n＋1 n－k＋1 增大 >1， 即 k< 2 时， 二项式系数__________ ． 而当 k k n＋1 k 递减 ≤1(即 k≥ 2 )时，Cn 的值转化为__________ ．又因为与首末
相等 两端“等距离”的两项的二项式系数__________ ，所以二项式
系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在
中间 __________ ．
第一章
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当 n 是偶数时，n＋1 是奇数，展开式共有 n＋1 项，所以
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn2．二项式系数的性质题型一、二项式系数与二项展开式中项的系数的区别例1、已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项． [解析] 令x ＝1得，展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n ，∴22n2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x 23 )3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23 )2(3x 2)3＝270x 223 . (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由T k ＋1＝C k 5(x 23 )5－k (3x 2)k ＝3k C k 5x10+4k3， 得⎩⎨⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x 23 )(3x 2)4＝405x 263 .例2、(1)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421展开式中前三项系数成等差数列．则展开式中系数最大的项为________．(2)在(1＋2x )n 的展开式中，末三项的二项式系数和为56，则展开式中系数最大的项为________． [答案] (1)7·x 35 和7·x 74(2)15360x 7 题型二、求展开式中各项系数之和例3、已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)由(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7－1－372＝－1 094.(3)由(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6－1＋372＝1 093.(4)方法一：(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093＋1 094＝2 187.方法二：∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.例4(1)(x ＋a x )·(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40(2)若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．[解析] (1)令x ＝1得，(1＋a )·(2－1)5＝2，∴a ＝1，(2x －1x )5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·25－r C r 5x5－2r. r ＝0、1、2、3、4、5.令5－2r ＝－1得r ＝3，令5－2r ＝1得，r ＝2.∴展开式的常数项为：(－1)3·22C 35＋(－1)2·23C 25＝40. (2)对于(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1得(2＋3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 令x ＝－1得(3－2)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4， 两式相乘得1＝(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2， 故答案为1.题型三、与杨辉三角有关的问题例5、如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 19的值.[解析] 由图知，数列的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第18项是C 110，第19项是C 211，∴S 19＝C 22＋C 12＋C 23＋C 13＋…＋C 210＋C 110＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋(C 33＋C 23＋…＋C 211)＝(2＋10)×92＋C 312 ＝54＋12×11×101×2×3＝274.例6、如图所示，满足：①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似杨辉三角，将第n (n ≥2)行的第m 个数记作a (n ，m )，则a (100,2)＝________.1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6…[解析] 由a (n ，m )的定义知，a (100,2)表示表中第100行第2个数，注意观察可以发现，从第三行开始，每一行的第二个数都等于它的上一行肩上两个数字的和，故a (100,2)＝a (99,1)＋a (99,2)＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (98,2) ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋a (97,2)＝…… ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋…＋a (2,1)＋a (2,2) ＝(99＋98＋97＋…＋2)＋2 ＝98×(99＋2)2＋2＝4951. 题型四、求系数最大的项例7、已知(3x ＋x )2n 的展开式的二项式系数的和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数的和大992.求(2x －1x )2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．[解析] 由题意22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)(2x －1x )10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝T 5＋1＝C 510·(2x )5·(－1x )5＝－8 064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大， 则T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·(－1x )r＝(－1)r ·C r 10·210－r ·x 10－2r，∴⎩⎨⎧C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1. ∴⎩⎨⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110.即⎩⎨⎧11－r ≥2r ，2(r ＋1)≥10－r . 解得83≤r ≤113.∵0≤r ≤10，且r ∈N ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，即T 4＝－15360x 4. 例8、已知(1＋2x )n 的展开式所有的二项式系数之和为128. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的系数最大项．[解析] (1)由题意知2n ＝128，所以n ＝7.在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.(2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎨⎧ C r 72r ≥C r －172r －1，C r 72r ≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎨⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5. 例9、已知(2x －1)n 的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小316，求C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n 的值.[正解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，且奇次方项系数和为A ，偶次方项系数和为B ，则依题意可得，A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，且B －A ＝316，令x ＝－1得，f (－1)＝(－3)n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…) ＝B －A ＝316＝(－3)16， ∴n ＝16.从而C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝C 016＋C 216＋C 416＋…＋C 1616＝216－1＝215. ∴C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝215－1.课后作业一、选择题 1．若(3x －1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是( ) A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第6项[答案] C[解析] 令x ＝1，得出(3x －1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n ＝256，解得n ＝8； ∴(3x －1x)8的展开式通项公式为： T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·38－r ·C r 8·x 4－r ， 令4－r ＝0，解得r ＝4.∴展开式的常数项是T r ＋1＝T 5，即第5项．故选C ．2．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为( )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[答案] A[解析] 9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋19n ＋…＋C n －1n ＋192＋C n n ＋19＋C n ＋1n ＋1)－19 ＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数， ∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数．3．若a 为正实数，且(ax －1x)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为( )A ．1x 2016B ．－1x 2016C ．4032x 2014D ．－4032x2014[答案] D[解析]由条件知，(a －1)2016＝1，∴a －1＝±1， ∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2016项为： T 2016＝C 20152016·(2x )·(－1x )2015 ＝－2C 12016·x －2014＝－4032x－2014，故选D ．4．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2B ．54 C ．1 D ．24[答案] C[解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 5．已知(x －ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________.[答案] 1或38[解析] T r ＋1＝C r 8x 8－r(－a x )r ＝(－a )r ·C r 8·x 8－2r，令8－2r ＝0得r ＝4，由条件知，a 4C 48＝1120，∴a ＝±2， 令x ＝1得展开式各项系数的和为1或38.6．在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B＝72，则n ＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3. 7．设(1－2x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017(x ∈R ).(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2017|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…－a 2017＝32017② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2015＋a 2017)＝－1－32017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝－1＋320172.(3)∵T r ＋1＝C r 2017·12017－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2017·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2016－a 2017 ＝320178．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.9．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则(1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝________； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝________. [答案] (1)255 (2)32896 [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.10．在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．[解析] 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*) 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.11．在二项式(x ＋12x)n的展开式中，前三项系数成等差数列.(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)二项式(x ＋12x )n 的展开式中，前三项系数分别为1，n 2，n (n －1)8，再根据前三项系数成等差数列，可得n ＝1＋n (n －1)8，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式(x ＋12x)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r . 令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式的常数项为T 5＝C 48·(12)4＝358. (2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧C r 8·(12)r ≥C r ＋18·(12)r ＋1C r 8·(12)r≥C r －18·(12)r －1，求得2≤r ≤3，因为r ∈Z ，所以r ＝2或r ＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T 3＝7x 2，T 4＝7x .。
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
“杨辉三角与二项式系数的性质”说课一、教材分析：二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推广过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力。
结合二项式定理介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。
二项式定理是组合知识与多项式知识的结合，教学时应特别注意让学生掌握二项展开式的通项公式。
二项展开式的性质有比较广泛的应用，尤其要注意赋值法在证明组和数等式时的应用。
发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力。
二项展开式的性质运用涉及项、项数、系数、二项式系数等容易混淆的一些概念，还由于a,b 的变化使得计算比较复杂，教学时要抓住通项公式，并结合具体问题加以分析、比较，避免产生误解。
二、教学过程： 复习回顾：［引入］计算(a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表:师：通过计算填表，你发现了什么？大家思考一下如何迅速准确地写出二项式系数？生：写出二项展开式的系数运用计算器，或者组和数公式。
每一行的系数具有对称性。
师：除此以外还有什么规律呢?上表写成如下形式:能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? ［稍让学生思考］师：(首先从横向观察，启发学生发现规律1，纠正表达错误) 规律1：首末两项系数为1，与首末两项等距离的系数相等。
(再从上、下两行系数观察，画出斜线寻找规律2)规律2：除首末两项系数外，每一个数都等于它肩上两个数和。
师：再提问()7b a +=7652433425677213535217b ab b a b a b a b a b a a +++++++［由此类比、归纳提问学生，并一同写出()7a b +二项式系数(1，7，21，35，35，21，7，1)］ 师：[归纳小结]启用观察、类比、归纳的方法我们得到二项式系数的两个规律，可见应用观察、分析、类比、归纳的方法是我们获得新知识的重要途径。
“杨辉三角”与二项式系数的性质
C C C C C C C C C
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2
8 8
=1107
240 例7. ( x 3x 2) 的展开式中 x 的系数是 ___________
2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)
3(r 1) 2(20 r ) 2(21 r ) 3r
37 42 r 5 5
r 8
所以当 r 8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
8 20 12 8 12
8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最 大的项，则有
Tr 1 Tr Tr 1 Tr 2
1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n
n 2
b
2
r n r r Cn a b
n n Cn b
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
20 ( 3 x 2 y ) 例 5 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C 20 3 2 C 20 3 2
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
1.3.2杨辉三角与二项式系数性质
:1 练习（ + x + x + x ） 的展开式中奇次项
2 3 4
系数和是 ______
2
提示: 设f (x) = (1+ x + x + x )
2 12
3 4
= a0 + a1x + a2 x + ...+ a12x 4 f (1) = a0 + a1 + a2 +⋯+ a12 = 4
思考： 思考：
n n
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 二项展开式中的二项式系数指的是那些？ 有多少个？ 有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时 杨辉三角观察 为特殊值时， 们先通过杨辉三角观察 为特殊值时，二项式系数 有什么特点？ 有什么特点？
1答案 答案 2答案 答案
赋值法
已知(1 − 2 x) = a0 + a1 x + a2 x + ⋯ + a6 x + a7 x
7 2 6
7
求：)a0 (1
(2)a1 + a2 + a3 + ...+ a7
7
7
（1）令 x = 0
解: 设f (x) = (1− 2x)
即f (0) = (1 − 2 × 0) = 1, 展开式右边即为a0
5
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
( a + b) 6
杨辉三角
点击图片可以演示“杨辉三角”课件
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【学习目标】
1．结合“杨辉三角”体会二项式系数的性质． 2．会求二项展开式中二项式系数最大的项． 3. 会对n
b a )(+中的b a ,赋值解决和的问题.
【复习】
1. 二项式定理：
2. 二项展开式的通项： 公式中的r n
C 叫做 【探究活动与知识点梳理】
（三）、二项式系数的性质：
①性质1： ，即
直线 将函数r n
C r f =)( ,},,2,1,0{n r ∈的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. ②性质2：
当 时，二项式系数是逐渐增大的；
当 时，二项式系数是逐渐减小的；
当n 是偶数时，第 项的二项式系数最大；
当n 是奇数时，第 项的二项式系数最大.
③性质3： ， 即
④ ，
即
【例题及练习】
例1. 画出函数r
C r f 6)(= ,}6,543,2,1,0{，，r ∈的图象.
例2. 试证明：在n
b a )(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
练习：
1. 当n 为偶数时，n
b a )(+的二项式系数的最大值是
当n 为奇数时，n
b a )(+的二项式系数的最大值是
2. =+++1111311111C C C
3. =+++++++++++++1
1
221101210n n n n n n
n
n n n C C C C C C C C
4. =++++n n n n n C C C C 420。
1.3.2杨辉三角和二项式系数的性质
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
n
系数 C
2 n
取得最大值；
n 1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C n 2 、
n 1
C
2 n
相等，且同时取得最大值。
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二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 ab1，则：
C 0 n C 1 n C n 2 C n n2 n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2 n
同时由于C0n 1，上式还可以写成： C 1 n C 2 n C 3 n C n n 2 n 1
这是组合总数公式．精品课件
例1 证明在 (a b)n的展开式中，奇 数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和．
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例2
已知 (3 x 2 )n 的展开式中，第
x
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项．
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内容小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
1.3.2杨辉三角和二项式系数性 质
精品课件
杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
精品课件
杨辉三角
《
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
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杨辉三角
高中数学选修2(新课标)课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
答案：C
2．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )
－1，可解出 a0＋a2＋a4＋…＋a12. (2)令 x＝1，由各项系数和先求出 n，再求常数项．
方法归纳
二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可； 对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只 需令 x＝y＝1 即可． (2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中 各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
解析：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. (2)令 x＝－1，得
a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ①＋②得
2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 018)＝1＋32 018，
所以
a0＋a22.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
知识点一 杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是____1____，与这两个 1 等距离的 数___相__等___．
(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的____和____，即 Cnr＋1＝Crn－1＋Crn.
2017-2018学年高中数学选修2-3教材用书：第一章计数原理1.3-2“杨辉三角”与二项式
2017-2018学年⾼中数学选修2-3教材⽤书：第⼀章计数原理1.3-2“杨辉三⾓”与⼆项式1．3.2 “杨辉三⾓”与⼆项式系数的性质(a＋b)n的展开式的⼆次项系数，当n取正整数时可以表⽰成如下形式：问题1：从上⾯的表⽰形式可以直观地看出什么规律？提⽰：在同⼀⾏中，每⾏两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两⾏中，除1以外的每⼀个数都等于它“肩上”两个数的和．问题2：计算每⼀⾏的系数和，你⼜能看出什么规律？提⽰：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n问题3：⼆项式系数的最⼤值有何规律？提⽰：n＝2,4,6时，中间⼀项最⼤；n＝3,5时，中间两项最⼤．⼆项式系数的性质1．求⼆项式系数最⼤的项时，要特别注意n的奇偶性，n为奇数时，中间两项的⼆项式系数最⼤；n为偶数时，中间⼀项的⼆项式系数最⼤．2．奇数项的⼆项式系数和与偶数项的⼆项式系数和相等，但这并不意味着等号两边⼆项式系数的个数相同．当n为偶数时，奇数项的⼆项式系数多⼀个；当n为奇数时，奇数项的⼆项式系数与偶数项的⼆项式系数个数相同.如图所⽰，在“杨辉三⾓”中，从1开始箭头所指数字组成⼀个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为S n，求S19的值．S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝＋2＋220＝274.解决与“杨辉三⾓”有关问题的⼀般思路如图，在由⼆项式系数所构成的“杨辉三⾓”中，第________⾏中从左到右第14与第15个数的⽐为2∶3.第0⾏ 1第1⾏ 1 1第2⾏ 1 2 1第3⾏ 1 3 3 1第4⾏ 1 4 6 4 1第5⾏ 1 5 10 10 5 1……解析：由“杨辉三⾓”知，第1⾏中的数是C01，C11；第2⾏中的数是C02，C12，C22；第3⾏中的数是C03，C13，C23，C33；…；第n⾏中的数是C0n，C1n，C2n，…，C n n.设第n⾏中从左到右第14与第15个数的⽐为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3，解得n＝34.答案：34设(1－2x)5012345求：(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值；(2)a1＋a3＋a5的值；(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值．记f(x)＝(1－2x)5.(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝f(1)－f(0)＝－2.(2)f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，所以a1＋a3＋a5＝12＝12(－1－35)＝－122.(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝f(－1)－f(0)＝35－1＝242.“赋值法”是解决⼆项式系数问题常⽤的⽅法，根据题⽬要求，灵活赋予字母所取的不同值．⼀般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10.(1)求a0＋a1＋…＋a10；(2)求a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10.解：(1)令x＋1＝1，即令x＝0，得0＝a0＋a1×1＋…＋a10×110，得a0＋a1＋…＋a10＝0.(2)令x＋1＝－1，即令x＝－2，得(－2)3＋(－2)10＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10＝1 016.已知x 23＋3x 2n 的展开式中，各项系数和与它的⼆项式系数和的⽐为32.(1)求展开式中⼆项式系数最⼤的项； (2)求展开式中系数最⼤的项．令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. ⼜展开式中⼆项式系数和为2n，∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴⼆项式系数最⼤的项为第3,4两项，∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第k ＋1项的系数最⼤，则由T k ＋1＝C k5(x 23)5－k(3x 2)k ＝3k C k5x1043k +，得3k C k5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，k ∈N ，∴72≤k ≤92，∴k ＝4，即展开式中系数最⼤的项为T 5＝C 45x 23·(3x 2)4＝405x263.1．求⼆项式系数最⼤的项，根据⼆项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的⼆项式系数最⼤；当n 为偶数时，中间⼀项的⼆项式系数最⼤．2．求展开式中系数最⼤项与⼆项式系数最⼤项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，⼀般采⽤列不等式组、解不等式的⽅法求得．x －2x 28的展开式中：(1)求⼆项式系数最⼤的项． (2)系数的绝对值最⼤的项是第⼏项？解：(1)⼆项式系数最⼤的项为中间项，即为第5项．故T 5＝C 4 8·24·x2－8＝1 120x －6.(2)因T k ＋1＝C k 8·(x )8－k－2x 2k ＝(－1)k ·C k 8·2k ·x 4－5k 2.设第k ＋1项系数的绝对值最⼤，则?C k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1，C k 8·2k ≥C k －18·2k －1，即18－k ≥2k ＋1，2k ≥19－k .整理得k ≥5，k ≤6.于是k ＝5或6.故系数的绝对值最⼤的项是第6项和第7项．4.混淆展开式中的奇偶次项与奇偶数项已知(2x －1)n的展开式中，奇次项系数的和⽐偶次项系数的和⼩38，求C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值．设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B .则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…，由已知得B －A ＝38令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n，即(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n ，即B －A ＝(－3)n，所以(－3)n ＝38＝(－3)8，所以n ＝8，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1＝255.1．求解本题易犯下列问题：⼀是误把奇次项、偶次项看成是奇数项、偶数项．⼆是错误地认为－38＝(－3)8.三是把C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 看成⼆项展开式各项⼆项式系数和，忽略了C 0n .2．解答此类问题应掌握(a ＋b )n 的展开式的各个⼆项式系数的和为2n，且奇数项⼆项式系数的和与偶数项⼆项式系数的和都等于2n －1.已知(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)的值等于________．解析：依题可得a 0＋a 2＋a 4＝－(a 1＋a 3＋a 5)＝16，则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)＝－256.答案：－2561．(1＋x)2n＋1的展开式中，⼆项式系数最⼤的项所在项数是( )A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3解析：选C 该式展开共2n＋2项，中间有两项，第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为⼆项式系数最⼤的项．2．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于( )A．64 B．32C．63 D．31解析：选B C0n＋2C1n＋…＋2n C n n＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C16＋C36＋C56＝32.3．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝( ) A．32 B．1C．－243 D．1或－243解析：选B (a－x)5展开式的通项为T k＋1＝(－1)k·C k5a5－k x k，令k＝2，得a2＝(－1)2C25 a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.4．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中⼆项式系数的和，则n的值为________．解析：(7a＋b)10的展开式中⼆项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x ＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.答案：55．求(1－x)8的展开式中：(1)⼆项式系数最⼤的项；(2)系数最⼩的项．解：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，由⼆项式系数的性质，知(1－x)8的展开式中间⼀项(即第5项)的⼆项式系数最⼤．该项为T5＝C48(－x)4＝70x4.(2)⼆项展开式系数的最⼩值应在各负项中确定最⼩者，即第4项和第6项系数相等且最⼩，分别为T4＝C38(－x)3＝－56x3，T6＝C58(－x)5＝－56x5.⼀、选择题1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于( )A．180 B．－180C．45 D．－45解析：选A a8＝C810·22＝180.2．在(a－b)20的⼆项展开式中，⼆项式系数与第6项的⼆项式系数相同的项是( ) A．第15项 B．第16项C．第17项 D．第18项解析：选B 第6项的⼆项式系数为C520，⼜C1520＝C520，所以第16项符合条件．3．“杨辉三⾓”如图所⽰，“杨辉三⾓”中的第5⾏除两端数字1外，均能被 5整除，则具有类似性质的⾏是( )1第1⾏ 1 1第2⾏ 1 2 1第3⾏ 1 3 3 1第4⾏ 1 4 6 4 1第5⾏ 1 5 10 10 5 1……A．第6⾏ B．第7⾏C．第8⾏ D．第9⾏解析：选B 由题意，第6⾏为1 6 15 20 156 1，第7⾏为17 21 35 35 21 7 1，故第7⾏除去两端数字1外，均能被7整除．4．关于(a－b)10的说法，错误的是( )A．展开式中的⼆项式系数之和为1 024B．展开式中的第6项的⼆项式系数最⼤C．展开式中第5项或第7项的⼆项式系数最⼤D．展开式中第6项的系数最⼩解析：选C 根据⼆项式系数的性质进⾏判断，由⼆项式系数的性质知：⼆项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，⼆项式系数最⼤的项是中间⼀项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最⼩的．5．在(x－2)2 016的⼆项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝2时，S 等于( )A．23 023B．－23 023C ．23 024D ．－23 024解析：选B 因为S ＝x －2 2 016－x ＋22 0162，当x ＝2时，S ＝－23 0242＝－23 023.⼆、填空题6．在(1＋2x )7的展开式中，C 27是第________项的⼆项式系数，第3项的系数是________．解析：由⼆项式系数的定义知C k n 为第k ＋1项的系数，∴C 2 7为第3项的⼆项式系数．∵T 2＋1＝C 27·(2x )2＝22·C 27x 2，∴第3项的系数为22·C 27＝84. 答案：3 847．(1－3a ＋2b )5的展开式中不含b 的项的系数之和是________．解析：令a ＝1，b ＝0，即得不含b 的项的系数和为(1－3)5＝－32. 答案：－328．设(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )50＝a 0＋a 1·x ＋a 2·x 2＋…＋a 50·x 50，则a 3等于________．解析：a 3＝C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 350＝C 44＋C 34＋…＋C 350＝C 45＋C 35＋…＋C 350＝C 451. 答案：C 451 三、解答题9．(1＋2x )n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中⼆项式系数最⼤的项和系数最⼤的项．解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26n ＝8.∴(1＋2x )n的展开式中，⼆项式系数最⼤的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第k ＋1项系数最⼤，则有?C k 82k≥C k －182k －1，C k 82k ≥C k ＋182k ＋1.∴5≤k ≤6.⼜∵k ∈{0,1,2，…，8}，∴k ＝5或k ＝6. ∴系数最⼤的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. 10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n.(1)当m ＝n ＝7时，f (x )＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (2)当m ＝n 时，f (x )展开式中x 2的系数是20，求n 的值；(3)f (x )展开式中x 的系数是19，当m ，n 变化时，求x 2系数的最⼩值．解：(1)赋值法：分别令x ＝1，x ＝－1，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝128. (2)T 3＝2C 2n x 2＝20x 2，∴n ＝5.(3)m ＋n ＝19，x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12m (m －1)＋12n ·(n －1)＝12＝171－mn ＝171－(19－n )n ＝? ????n －1922＋3234，所以，当n ＝10或n ＝9时，f (x )展开式中x 2的系数最⼩值为81.11．(2x －3y )9展开式中，求： (1)⼆项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)⼆项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)令x ＝1，y ＝1，得各项系数之和a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59，⼜a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，故所有奇数项系数之和为59－12.(4)∵T k ＋1＝C k9(2x )9－k(－3y )k＝(－1)k 29－k·3k C k 9x9－k·y k，∴a 1<0，a 3<0，a 5<0，a 7<0，a 9<0.∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59.。
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(2)
【解析】令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1① 令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝ 37 ②
1 99 100
是星期几？
r 100 r 100
C 7 C 7
99 1 100 100 100 99 100
C 7 C
0 99 100
1 （ 7 C 7 C ）
余数是1， 所以是星期六
3
1000
3
2
500
9
500
(7 2)
499 1
500
C 7
11．在(2x－3y)10 的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和．
【解】设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)， 各项系数和即为 a0＋a1＋…＋a10， 奇数项系数和为 a0＋a2＋…＋a10， 偶数项系数和为 a1＋a3＋a5＋…＋a9， x 的奇次项系数和为 a1＋a3＋a5＋…＋a9， x 的偶次项系数和为 a0＋a2＋a4＋…＋a10. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和． (1)二项式系数和为