2020年高三专题提高训练：与斜面相关联的平抛运动

高三专题提高训练：与斜面相关联的平抛运动常见模型【例1】(2019·河南信阳一模)如图7所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点。

已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)。

则运动员落到斜坡上时速度方向与水平方向的夹角φ满足()A.tan φ＝1.33B.tan φ＝1.44C.tan φ＝1.50D.tan φ＝2.00【变式】在【例1】中，若运动员从O点飞出的初速度为20 m/s，则运动员离开O点后离斜坡的最远距离为()A.30 mB.15 mC.18 mD.9 m例1、解析运动员落到斜坡上的瞬间，对其速度进行分解，如图所示。

竖直分速度v y＝gt，与水平分速度v0的比值tan φ＝v yv0＝gtv0；竖直分位移y＝12gt2，与水平分位移x＝v0t的比值tan θ＝yx＝gt2v0，可见tan φ＝2tan θ＝1.50，选项C正确。

答案 C变式解析将运动员的初速度v0和加速度g分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向进行分解，如图所示，初速度v0沿垂直斜面方向上的分量为v1＝v0sin θ，加速度g在垂直于斜面方向上的分量为a1＝g cos θ，根据分运动各自独立的原理可知，离斜面的最大距离仅由v1和a1决定，当垂直于斜面的分速度的大小减为零时，运动员离斜面的距离最大，最大距离d＝v212a1＝v20sin2θ2g cos θ＝9 m。

选项D正确。

练习1：如图所示，在斜面顶端A以速度v水平抛出一小球，经过时间t1恰好落在斜面的中点P；若在A点以速度2v水平抛出小球，经过时间t2落地完成平抛运动。

不计空气阻力，则：（）A．t2>2t1B．t2=2t1C．t2<2t1D．落在B点例2：（多选）如图所示，以v0＝10 m/s的速度水平抛出的小球，飞行一段时间垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上，按g＝10 m/s2考虑，以下结论中不正确的是：（）A．物体飞行时间是sB．物体撞击斜面时的速度大小为20 m/sC．物体飞行的时间是2 s D．物体下降的距离是10m 例2、解析：小球垂直落在斜面上，对其速度进行分解，如图所示。

3竖直分速度v y ＝gt ，与水平分速度v 0的比值tan 60O＝v y v 0＝gtv 0；已知v 0＝10 m/s ，可求v y ＝１０ m/s 和时间t ＝ｓ，A 正确，Ｃ错误；再利用三角函数，可求此时的合速度，B 正确。

又因为竖直分位移y ＝12gt 2，可求下落高度y ＝１５ｍ，D 错误。

答案：ＣＤ例３、（多选）如图，倾角为30o 和45o 的两个斜面底端紧靠在一起，固定在水平面上。

纸面所在的竖直平面内，将两个小球a 和b ，从左侧斜面上的A 点以不同的初速度向右平抛，下落相同高度，a 落在左侧的斜面上，b 恰好垂直击中右侧斜面，忽略空气阻力，则（ ）A ． ａ、ｂ运动的水平位移之比为√３：２B ． ａ、ｂ运动的水平位移之比为１：√３C ． ａ、ｂ击中斜面时的速率之比为√１４：４D ． 若减小初速度，ａ球落到斜面时速度方向不变。

解析：这道题是平抛运动与两种斜面的结合题，正确求解是将ａ球ｂ球的运动分割开，各自独立处理。

对ａ球，已知位移的方向，分解位移；对ｂ球，已知速度的方向，分解速度。

对ａ球，ｔａｎ３０ｏ＝ｙｘａ＝１２ｇｔ２ｖａｔ＝√３３（１） 且２ｔａｎ３０ｏ＝ｖｙｖａ（２）对ｂ球，ｔａｎ４５ｏ＝ｖｙｖｂ（３） 且ｔａｎ４５ｏ＝２ｙｘｂ（４）根据题目索格条件，已知高度ｙ相同，则联立（１）（４）式可求解，ａ、ｂ水平位移之比ｘａ：ｘｂ＝３：２√３，ＡB 错误。

两者ｖｙ也相同，联立（２）（３）式可求解，ａ、ｂ末速度速度之比＝√１４：４，Ｃ 正确。

由于ａ球减速后，将落在同一斜面上，位移方向不变，其速度方向也不变，D 正确。

答案：ＣＤ．33与斜面相关联的平抛运动的分解方法与技巧(1)如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度。

(2)如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移。

(3)如果已知速度的大小或方向，求解位移相关量；或反过来，已知位移的大小或方向，求解速度相关量。

则通常用到关系式：2tanθ=tanα（4）两种分解方法①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；②沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动。

1.(2019·佛山高三教学质检)如图1所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB 为 2 m，倾角为θ＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出相同的小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为()图1A.34 mB.23 mC.22 mD.43 m2.(多选)如图2，小球在倾角为θ的斜面上方O 点处以速度v 0水平抛出，落在斜面上的A 点时速度的方向与斜面垂直，重力加速度为g ，根据上述条件可以求出( )图2A.小球由O 点到A 点的时间B.O 点距离地面的高度C.小球在A 点速度的大小D.小球从O 点到A 点的水平距离 3.如图3所示，甲、乙两小球从竖直平面内的半圆轨道的左端A 开始做平抛运动，甲球落在轨道最低点D ，乙球落在D 点右侧的轨道上。

设甲、乙两球的初速度分别为v 甲、v 乙，在空中运动的时间分别为t 甲、t 乙，则下列判断正确的是( )图3A.t甲＝t乙B.t甲＜t乙C.v甲＞v乙D.v甲＜v乙4.(2019·广西河池模拟)A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高，从E点水平抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程，下列说法正确的是()图4A.球1和球2运动的时间之比为2∶1B.球1和球2动能增加量之比为1∶3C.球1和球2抛出时初速度之比为22∶1D.球1和球2运动时的加速度之比为1∶25.(多选)如图5所示，一高度为h的光滑水平面与一倾角为θ的斜面连接，一小球以速度v从平面的右端P点向右水平抛出，则小球在空中运动的时间t()图5A.一定与v的大小有关B.一定与v的大小无关C.当v大于gh21 tan θ，t与v无关D.当v小于gh21tan θ，t与v有关6、如图6所示，在斜面顶端a处以速度v a水平抛出一小球，经过时间t a恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度v b水平抛出另一小球，经过时间t b恰好落在斜面的中点处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是()A．v a＝v b B．v a＝2v bC．t a＝t b D．t a＝2t b7、如图7所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比v1v2为()图6A ．tan αB ．cos αC ．tan αtan αD ．cos αcos α 答案1、解析 设AB 高为h ，落地点到C 点的距离为x ，由v 0＝xt 和题意知htan θ＋x2hg ＝h2tan θ＋xhg，解得x ＝43 m ，D 正确。

答案 D2、解析 小球速度方向与斜面垂直，根据平行四边形定则知，tan θ＝v 0gt，故t ＝v 0g tan θ，选项A 正确；由时间t 可根据y ＝12gt 2求得小球下降高度，而计算不出O 点离地面高度，选项B 错误；由平行四边形定则知v A ＝v 0sin θ，选项C 正确；小球从O 点到A 点的水平距离x ＝v 0t ＝v 20g tan θ，选项D 正确。

答案 ACD3、解析 根据平抛运动规律，小球在空中运动的时间仅由下落高度决定，乙球下落高度小于甲，故t 乙＜t 甲，选项A 、B 错误；水平位移x ＝vt ，而x 乙＞x 甲，t 乙＜t 甲，所以v 甲＜v 乙，选项D 正确，C 错误。

答案 D4、解析 因为AC ＝2AB ，则A 、C 的高度差是A 、B 高度差的2倍，根据h ＝12gt 2得t ＝2hg，解得球1和球2运动的时间之比为1∶2，故A 错误；根据动能定理得mgh ＝ΔE k ，知球1和球2动能增加量之比为1∶2，故B 错误；球1的水平距离是球2的水图7平距离的2倍，结合x ＝v 0t ，解得初速度之比为22∶1，故C 正确；平抛运动的物体只受重力，加速度为g ，故两球的加速度相同，故D 错误。

答案 C5、解析 球有可能落在斜面上，也有可能落在水平面上，可用临界法求解，如果小球恰好落在斜面与水平面的交点处，则满足h tan θ＝vt ，h ＝12gt 2，联立可得v ＝gh21tan θ，故当v 大于gh21tan θ时，小球落在水平面上，下落时间t ＝2hg，与v 无关；当v 小于gh21tan θ时，小球落在斜面上，x ＝vt ，y ＝12gt 2，yx＝tan θ，联立可得t ＝2v tan θg，即与v 有关，故选项C 、D 正确。

答案 CD6、BD 解析：做平抛运动的物体运动时间由竖直方向的高度决定t ＝2hg，a 物体下落的高度是b 的2倍，有t a ＝2t b ，D 正确；水平方向的距离由高度和初速度决定x ＝v 02hg，由题意得a 的水平位移是b 的2倍，可知v a ＝2v b ，B 正确．7、C 解析：两小球被抛出后都做平抛运动，设容器半径为R ，两小球运动时间分别为t A 、t B ，对A 球：R sin α＝v A t A ，R cos α＝12at 2A ；对B 球：R cos α＝v B t B ，R sin α＝12at 2B ，解四式可得：v 1v 2＝tan αtan α，C 项正确．。