高数
高数难知识点
高数难知识点高等数学中的难知识点包括但不限于以下几个方面：1.函数极限：这是整个高等数学的基础，需要对极限的概念、性质、计算方法和存在性有深入的理解。
特别是当函数在某一点的极限与该点的函数值不一致时，需要理解这种差异的原因和含义。
2.连续性与间断点：函数在某一点连续的定义，以及函数在某一区间内连续的概念，都是重要的知识点。
此外，还需要理解间断点的类型（如可去间断点、跳跃间断点等）以及如何通过函数图像来判断函数的连续性。
3.导数与微分：导数是描述函数在某一点处变化快慢的数学工具，而微分则是描述函数在某一点附近的变化量的线性近似。
需要理解导数的定义、性质、计算方法，以及微分的基本公式和运算法则。
4.不定积分与定积分：不定积分是求原函数的过程，而定积分则是计算函数在某一区间上的积分值。
需要理解积分的概念、性质、计算方法和应用。
此外，还需要掌握牛顿-莱布尼茨公式，以及如何利用定积分求解一些实际问题。
5.多元函数微分学：这是高等数学中比较复杂的部分，需要理解多元函数的概念、偏导数的定义和性质、全微分的概念以及多元函数的极值问题。
此外，还需要掌握一些重要的公式和定理，如链式法则、隐函数定理等。
6.无穷级数：无穷级数是高等数学中的一个重要概念，需要理解级数的收敛性、性质、计算方法以及应用。
此外，还需要掌握一些重要的级数展开公式和定理，如泰勒级数、傅里叶级数等。
7.微分方程：微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程，需要理解微分方程的概念、分类、求解方法以及应用。
此外，还需要掌握一些重要的微分方程求解技巧和定理，如分离变量法、常数变易法等。
以上只是高等数学中的一些难知识点，实际上高等数学还有很多其他的内容需要学习和掌握。
要想学好高等数学，需要不断地练习和思考，加深对概念和定理的理解和应用。
如何学好高数的技巧和方法
如何学好高数的技巧和方法
学好高数的技巧和方法包括以下几点：
1. 理解概念：高数是一门基础性很强的学科，掌握好概念是学好高数的基础。
在学习新概念之前，先预习相关内容，理解其中的定义、定理和公式，弄清楚概念的内涵和外延。
2. 多做题：高数是一门需要实践和积累的学科，通过多做题可以更好地掌握知识点。
选择不同类型的题目进行练习，从基础题开始，逐渐深入，提高解题能力。
3. 疑难点解析：在学习过程中遇到不懂的问题，可以请教老师、同学或者在互联网上搜索相关解析。
及时解决疑难问题，可以避免脑子里的疑问积压不解。
4. 形成思维模式：高数是一门逻辑思维很强的学科，需要培养良好的思维习惯。
在学习高数时，要注意从宏观和微观的角度思考问题，抓住关键信息，运用合适的方法进行分析和求解。
5. 掌握好基础知识：高数的学习是渐进的过程，基础知识对于后续学习的理解和应用至关重要。
要牢固掌握数学基本概念、初等函数的性质和基本运算法则，做到基础扎实。
6. 注重思考和总结：学习高数并不仅仅是死记硬背公式和定理，更重要的是理
解其背后的数学原理和思想。
在学习和解题过程中，要注意总结经验，培养自己独立思考和解决问题的能力。
7. 参考相关资料：高数的教材通常涵盖了丰富的例题和习题，可以通过认真阅读教材中的例题，了解解题思路和方法。
同时，还可以参考其他优质的高数教材、参考书和教学视频，拓宽知识面。
最重要的是，保持积极的学习态度，坚持不懈地进行练习和总结，并善于应用所学的高数知识解决实际问题。
(完整版)高数知识点总结
高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。
例如：||x y =连续但不可导。
6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df •= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f •∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），xy 1=（x=0是函数的无穷间断点） 12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。
高数
三.微分中值定理与导数的应用
费马引理
设函数f(x)在点x0的某临域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U(x0),有f(x)≤f(x0) （或f(x)≥f(x0)），那么f'(x0)=0.
罗尔定理
如果函数f(x)满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导；
一.函数与极限
基本初等函数：1幂函数y=x^μ (μ∈R是常数)；2指数函数y=a^x (a>0且a≠1)；3对数函数y=log(a,x) (a>0且a≠1,当a=e时，记为y=ln x)；4三角函数，如y=sin x, y=cos x, y=tan x等；5反三角函数，如y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x等。
分布积分法 ∫uv'dx=uv-∫u'vdx, ∫udv=uv-∫vdu
有理函数得原函数都是初等函数。u=tan(x/2),dx=2/(1+u^2)du,sinx=2u/(1+u^2),cosx=(1-u^2)/(1+u^2)三角函数有理式的积分。
积分表
五.定积分
定积分中值定理: 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ, 使下式成立：∫(a到b) f(x)dx=f(ξ)(b-a) (a≤ξ≤b).
(1)椭圆锥面 x^2/a^2+y^2/b^2=z^2
(2)椭球面 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1
(3)单叶双曲面 x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1
(4)双叶双曲面 x^2/a^2-y^2/b^2-z^2/c^2=1
高数第一章
第一节 函数
一、函数的概念
１.函数的定义 定义 1 设D是一个数集,如果对属于D的每一个数x,按照某个对应关 系f ,都有确定的数值y与之对应,则称y是定义在数集D上的x的函数,记作 y = f(x),x叫作自变量,数集D叫作函数的定义域,当x取遍D中的一切数时, 与它对应的函数值的集合M叫作函数的值域. 当自变量取某一数值x0时, 函数y具有确定的对应值,则称函数在x0有定义.
......
函数y = f(x),当x = x0 D时,对应的函数值可以记为y0 = f(x0 ) .
例2 若f(x)= | x - 2 | ,求f(2), f(-2), f(0), f(a), f(a +b). x=1
解 f(2)=0,f(-2)=|--41| 4, f(0)=|-12| 2, f(a)=|aa-+21|,
x
(b)偶函数
图 1-2 奇函数与偶函数的图形
例3 判断函数f(x)=ln(x+ x2 +1 )的奇偶性.
解 因为f(-x)=ln (-x)+ (-x)2 1 ln( x2 1 x)
=ln ( x2 1 x)( x2 1 x) ln
1
x2 1 x
x2 1 x
单调增加(或单调减少)函数的图形沿 x 轴的正向上升(或下降).
上述定义也适用于其它有限区间和无限区间的情形.
例4 证明f(x)= 1 在区间(0,1) 内是单调减少的函数. x
证 在区间(0,1)内任取两点x1, x2 ,设x1 x2 ,则x1 x2 0.因为
所以
f(x2
)
f(x1
函数y f (x)的图形与其反函数y f 1(x)的图形关于直线y = x对称.
高数符号大全及读法
高数符号大全及读法
高数符号大全及读法如下：
符号：∑(读作西格玛)
含义：求和
符号：∫(读作拉个)
含义：不定积分
符号：dx (读作得克西)
含义：微分
符号：∫(读作拉个)
含义：定积分
符号：d (读作得)
含义：微分
符号：lim (读作林姆)
含义：极限
符号：f(z) (读作fai(z))
含义：关于z的m阶导函数
符号：C(n:m) (读作C艾克斯n:m)
含义：组合数，n中取m
符号：P(n:m) (读作P艾克斯n:m)
含义：排列数m|n m整除n m⊥n m与n互质
符号：a ∈A (读作艾塔属于A)
含义：a属于集合A
符号：#A (读作阿尔法艾塔)
含义：集合A中的元素个数
以上是高数中常用的一些符号及其读法，希望能够帮助到您。
大学高数考试题及答案详解
大学高数考试题及答案详解# 大学高数考试题及答案详解一、选择题1. 题目：函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \( [0, 1] \) 上的定积分是：- A. \( \frac{1}{3} \)- B. \( \frac{1}{2} \)- C. \( \frac{3}{4} \)- D. \( \frac{2}{3} \)答案： C详解：根据定积分的计算公式，\( \int_{0}^{1} x^2 dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \)。
因此，正确答案为 C。
2. 题目：极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是： - A. 1- B. 0- C. \( \frac{1}{2} \)- D. \( \infty \)答案： A详解：利用极限的性质和三角函数的极限，我们有 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。
因此，正确答案为 A。
二、填空题1. 题目：如果 \( \int_{a}^{b} f(x) dx = 4 \)，那么\( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = \) ________。
答案： 8详解：根据定积分的性质，如果 \( c \) 是一个常数，那么\( \int_{a}^{b} cf(x) dx = c \int_{a}^{b} f(x) dx \)。
因此，\( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = 2 \int_{a}^{b} f(x) dx = 2 \times 4 = 8 \)。
2. 题目：函数 \( g(x) = e^x \) 的导数是 \( g'(x) = \)________。
高数公式大全
高等数学公式汇总第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin coscos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限➢常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1n a >=;lim 1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
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D A , a D D B , C . b c
D D D 将A , B , C , a b c
代入所设方程得
x y z 1 平面的截距式方程 a b c
M0 M n 0 必有 M 0 M n
M 0 M { x x 0 , y y0 , z z 0 } A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面的点法式方程 特点: 法向量 n { A, B, C }, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).
例 求过三点 M 1 (1,2,3) 、 M 2 ( 3,4,6), M 3 (4,3,3)的 平面方程. 解: 向量 M 1 M 2 2 ,2 ,3 M 1 M 3 3 , 1 ,0 取 n M1 M 2 M1 M 3 {3, 9,4},
x 轴上截距
y 轴上截距
z 轴上截距
3 两平面的夹角 定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角. （通常取锐角）
n2
n1
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0,
2
2 : A2 x B2 y C 2 z D2 0, n1 { A1 , B1 , C1 }, n2 { A2 , B2 , C 2 }, 1
x 1 y z 1 例 设直线 L : ，平面 2 1 2 : x y 2 z 3，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
sin
| Am Bn Cp | 2 2 2 2 2 2 A B C m n p
0 . 2
sin
| Am Bn Cp | A2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1) L ，相交：夹角公式
L
( 2) L //
A B C . m n p
Am Bn Cp 0.
§5 平面及其方程 1 平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于 一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量．
x
z
n
M0
M
o
y
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n { A, B, C }, M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
所求平面方程为 3( x 1) 9( y 2) 4( z 3) 0,
例 求过点(1,1,1)， 且垂直于平面 x y z 7 和 3 x 2 y 12 z 5 0 的平面方程.
解: n1 {1,1, 1},
n2 {3, 2,12} 取法向量 n n1 n2 {10, 15, 5},
向 量 的 方 向 余 弦
方向余弦通常用来表示向量的方向.
M1 M 2 M1 P M1Q M1 R
2 2 2
2 2 2 | a | a x a y a z 向量模长的坐标表示式
向量方向余弦的坐标表示式
cos 当 a x a y a z 0 时，
2 2 2
7 | 1 2 ( 1) ( 1) 2 2 | . 3 6 6 9
4 方向余弦的坐标表示式
非零向量 a 的方向角： 、 、
与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. z
0 ,
0 , 0 .
M2 M1
o
x
y
z
R
M1
由图分析可知
M2
Q
P
o
x
y
a x | a | cos a y | a | cos a z | a | cos 第三章
几何向量及其应用
§1 空间直角坐标系
§2 向量及其线性运算
§3 数量积、向量积与混合积 §4 向量的坐标 §5 平面及其方程 §6 空间直线及其方程
例 直的单位向量.
求与 a 3i 2 j 4k ， b i j 2k 都垂
D
Ax By Cz D 0
法向量
n { A, B, C }.
平面的一般 方程
平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D 0,
平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x 轴； ( 2) A 0, D 0, 平面平行于 x 轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
1 1 cos 两平面相交，夹角 arccos . 60 60
( 2) n1 {2,1, 1},
n2 {4, 2,2}
2 1 1 , 两平面平行 4 2 2 M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
两平面平行但不重合．
解
c a b ax bx
i
j ay by
k bz
i 1
j 1
k
az 3 2
4 10 j 5k ,
2
2 2 | c | 10 5 5 5 , 0 c 2 1 c j k . |c | 5 5
两平面夹角 按照两向量夹角余弦公式有 余弦公式 n1 n2 | A1 A2 B1 B2 C1C 2 | cos n1 n2 A12 B12 C12 A2 2 B2 2 C 2 2
两平面位置特征：
n1 n2 (1) 1， 2 相交，cos n1 n2
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
2 2 2 2 2 2
直线 L1 : 直线 L2 :
cos( L^L ) ,
1 2
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
( 一)
L1 , L2 共面 [ s1 s2 M1 M 2 ] 0,
2 1 1 ( 3) , 两平面平行 4 2 2 M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
两平面重合.
§6 空间直线及其方程 1 空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量的定义： z 如果一非零向量平行于一 s 条已知直线，这个向量称 M 为这条直线的方向向量． M0
L
y M 0 ( x0 , y0 , z0 ), M ( x , y , z ), o x M 0 M // s M L, s {m , n, p}, M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 }
x x 0 y y0 z z 0 m n p
例如，直线 L1 : s1 {1,4, 0}, 直线 L2 : s2 {0,0,1},
即 L1 L2 .
例 求 过 点 (3, 2, 5) 且 与 两 平 面 x 4z 3 和 2 x y 5 z 1的交线平行的直线方程.
解: 设所求直线的方向向量为 s {m , n, p}, 根据题意知 s n1 , s n2 , 取 s n1 n2 {4,3,1},
1 2 A1 A2 B1 B2 C1C 2 0;
A1 B1 C1 d 1 ( 2) 1 // 2 A2 B2 C 2 d 2 A1 B1 C1 d1 (3) 1 , 2重合 d2 A2 B2 C 2
例 研究以下各组里两平面的位置关系：
L
1
2
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0
o
y
x
空间直线的一般方程
3 两直线的夹角 定义 两直线的方向向量的夹角.（锐角）
x x1 y y1 z z1 , m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 , m2 n2 p2
x x 0 y y0 z z 0 t 令 m n p
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
直线的对 称式方程
直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
直线的参数方程
2 空间直线的一般方程
z
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 2 : A2 x B2 y C 2 z D2 0
ax a x a y az az
2 2 2
,
cos
ay a x a y az
2 2 2
,
cos
a x a y az
2 2
2
.
方向余弦的特征： cos 2 cos 2 cos 2 1
特殊地：单位向量的方向余弦为
a 0 a (cos , cos , cos ). |a |
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5( z 1) 0,
化简得 2 x 3 y z 6 0.
2 平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz 0 ) 0
( 3) A B 0, 平面平行于 xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
例 设平面与 x, y, z 三轴分别交于 P (a ,0,0) 、 （其中 a 0 ， 0， 0） ， Q(0, b,0) 、 (0,0, c ) R c b 求此平面方程. 解 设平面为 Ax By Cz D 0,