数学建模：抢渡长江

抢渡长江摘要：渡河问题在实际生活中十分常见，怎样选择渡河方向以及怎样更多的节省时间，同时又能抵达目的地，那么渡河速度（大小方向）的选择是十分关键的，在此又由于诸多因素的影响（河流的水流速度，运动员体能，风向，水温等）致使要求我们作出合理的规划。

本文通过适当的假设，从不同层次作了多方面分析，排除了一些偶然因素的影响，把游泳者抵达目的地的最小时间作为目标，通过简化的数学模型进行求解抢渡长江这一问题。

主要运用三角函数、运动的等时性、速度的合成与分解、线性关系、解三角形知识、积分知识以及借助MATHEMATICA数学软件进行求解。

最后，我们对模型的优缺点进行了分析，并给出了抢渡长江的推广和运用。

关键词：抢渡长江运动等时性线性关系三角函数 MATHEMATICA 积分求解数学模型问题重述：“渡江”是武汉城市的一张名片。

早从1934年，武汉市就曾举行大型渡江比赛，随后好几年都一直延续这个比赛。

由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。

现就如何根据自身情况最大效率地渡过河建成一个数学模型。

假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000 米，见示意图。

通过数学建模来分析上述情况并回答：1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大 小和方向不变，且竞渡区域每 点的流速 均为 1.89米/秒。

试说明2002 年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。

如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度 能保持在1.5 米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。

2、在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据数学模型说明为什么 1934 年 和2002 年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。

3、若流速沿离岸边距离的分布为 ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<≤≤=米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(y y y y v(设从武昌汉阳门垂直向上为 y 正向) ：游泳者的速度大小（1.5 米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。

4、若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<<≤≤=1160960)1160(20028.296020028.2200020028.2)(y y y y y y v ，，，先判断这个水流分布的正确性，若不正确，再提出自己认为合适的的看法。

5、用简洁明了的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文，帮助其更好地渡江。

6、模型的推广与应用二、模型假设：（1） 人在游泳过程其速度中不受天气和水温的影响； （2） 将人看作是一个质点； （3） 两河岸是相互平行的；（4） 人游泳时的速度大小恒定； （5） 不考虑流体层流动速度的差异； （6） 游泳者改变速度的方向在瞬间完成。

三、符号说明t 为游泳者所用的时间L 为游泳者垂直于河岸的位移 S 为沿河岸的位移θ为问题1中游泳者位移与河岸的夹角 d 为起点和终点之间沿河岸的距离1θ为开始时游泳者的合速度与河岸的夹角2θ为y=200时游泳者的合速度与河岸的夹角人v 为游泳者速度的大小水v 为水流速度的大小1ϕ为开始时游泳者的速度与河岸的夹角 2ϕ为y=200时游泳者的速度与河岸的夹角合v 为游泳者的合速度S 1 为水流速度变化时游泳者的位移之和 S 2 为水流速度不变时游泳者的位移3θ为问题4中y=200时游泳者的合速度与河岸的夹角四、模型建立与求解（一）模型一假设游泳者的速度大小和方向均不随着时间变化,运动途径如图（a ）所示。

此时，水平方向的合速度为u v +θcos ，竖直方向的合速度为θsin v 。

根据运动的同时性可知，一个合运动在各个方向上的分运动具有等时性，故可列出等式：t=θsin 人v L =水人v cos +θv S（1）又根据河岸的长宽关系可以得出：tan θ=L/S （2）将L=1160米，S=1000米，ν=1.89米/秒，T=14分钟8秒=848秒代入目标函数求得θ=118.2o ,v=1.57米/秒 。

第一名运动的方向成θ=118.2o ，大小为1.57米/秒的速度直线运动，最终与水流合成的运动为连接起点和终点的一条线段。

当一个人的速度大小确定为1.5米/秒时，将L=1160米，S=1000米，ν=1.89米/秒，v 水=1.5米/秒代入（1）（2）式子求得θ=121.7o ,t=901秒=15.1分。

故其是沿着于河岸下流方向成θ=121.7o 运动，算得成绩为15.1分。

图（a ）（二）a 、对于问题2，在问题1的假设下用1中所建立的模型假设运动员能渡过河，将L=1160米，S=1000米，人ν=1.89米/秒，θ=90o 代入目标函数t=θsin 人v L =水人v v S+θcos （3）求得t=529秒，v=2.19米/秒。

由于2.19>1.57（1.57米/秒为2002年横渡长江中选手的最大速度），按问题2中所给定的条件，人的速度不可能达到2.19米/秒，故不能到达终点。

b 、1934年和2002年能游到终点的人数百分比差别如此大的原因是：它们的全程不同。

1934年9月9日的那次渡河，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。

而2002年5月1日的渡河起点设在武昌汉阳门码头，终点设在离出发点水平距离1000米的汉阳南岸咀，江面宽约1160米，由勾股定理可算得其直线的距离，远小于5000米。

（全程越大能够到达目的地的人越多）。

所以我们给出了能够成功到达终点的条件为：t =θsin 人v L ≤水人v v S+θcos （4）（垂直方向上所用时间小于等于水平方向上所用时间）根据此等式，可以看出y 、v 水是定值当d 的值不同时，v 人和θ对游泳者能否到达目的地起到了决定性的作用。

d 值越大，对v 人、θ的要求越小。

（三）模型二模型二中考虑到了水流速度与离岸边的距离关系，江中部的水流速度一定比靠岸边时的水流速度大一些，因此有了题目中对水流速度u 与距岸边的距离y 做出了如下假设：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<≤≤=米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(y y y y v （5）现拟将游泳者游泳的路线分成三段，如图（b ）所示图（b ）则游泳者垂直河岸的位移为1000，得到如下方程：L =+21cot 760cot 200*2θθ （6）由（6）式可以得到1θ和2θ的关系图（c ） 则）（水人111-sin v sin θϕθ=v （7）图（d ） 同理可得到）（水人222-sin v sin θϕθ=v （8）且时间2211sin 760sin 400θθv v t +=（9）以（6）、（7）、（8）式为限制条件，以（9)式为目标函数，可以利用lingo 软件解得当1θ≈125度，此时时间t 最小约为904s ，此时即为最优解。

(四)模型三模型三进一步完善了模型二，考虑到水流速度与离岸边的距离关系可能更为复杂，因此题目中对模型的假设做了进一步的完善，假设如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<<≤≤=1160960)1160(20028.296020028.2200020028.2)(y y y y y y v ，，，（10）仍将游泳者的路线分成三段。

如图所示：图（e ）当0≤y ≤200时，游泳者速度的方向是时刻发生变化的，一开始时y=0，水流速度为v 人=0米/秒，游泳者v 人的方向与河岸的夹角为1θ；当y=200时，水流速度v 水=2.28，此时，游泳者v 人的方向与河岸的夹角是2θ。

在这个过程中，游泳者速度的方向是不断变化的，此时，图（f ）图（g ）此时，由三角形的正弦定理得：()()3232-sin sin sin v θθθθπ水人合v v ==- （11）由余弦定理得：()水人合水人v v 2v -v cos 2222+=-v θπ （12）将（7）式中的()()322-sin sin θθθπ水合v v =-代入（8）中得：()()水人水水人v v 2-sin v -v v -cos 3222222θθθπ+=（13）{水人人v v v v v x y +==θθcos sin （14）则，由于位移是速度的积分，则可得到如下方程：⎰=21200sin θθθθd v 人（15）0≤y ≤200时，沿河岸的位移为S 1，它与v 有如下的关系：)20028.2cos (2212001⎰⎰+=θθθθydy d v S 人(16)当200≤y ≤960时，水流速度恒定，游泳者速度的大小和方向都是不变的，因此，他做一个匀速直线运动，此时S 2与3θ的关系如下：32cot 760θ=S (17)令210S S S += （18） 联立（11）、（13）、（15）、(16)、(17)、（18）并利用MATHMATICA 软件可求得人v =1.538米/秒时仍然无解，而正常人游泳速度最大约为1.538米/秒所以根据计算，基于这样的假设之下，是没有人可以到达终点的，说明此假设是不合理的，现在在分析判断的基础上做出如下假设：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<<≤≤=1160960)1160(20028.296020028.2200020028.2)(y y y y y y v ，，，再利用原模型求解⎰⎰+=2120020028.2cos 2θθθθdy y d v S 人 （19）21S S S += (20)联立（7）、（9）两式，只要给出一个人的速度，即可得到他一开始游泳的方向。

再联立、（11）、(13)、（15）、(16)即可得到他沿河岸的位移，与1000进行比较，就可以判断他是否可以到达终点。

至于如何选择路线的问题，我们认为，他在游泳过程中速度的在不断的调整自己的方向，而以我们目前所学的知识，我们还无法确定θ与时间t 的关系为什么样的时候是最优的，所以无法得到得到最优路线。

(五) 给有意参加竞渡的游泳爱好者的一份竞渡策略短文在人们物质生活改变的这个社会中，越来越多的人选择了一社会性的竞技活动。

“抢渡长江挑战赛”自开赛以来受到了各界人士的关注，同时由于其挑战人的方面众多，对参加比赛的人员而言，也是一种自我身体和智力的挑战。

通过我们几个同学的讨论研究，得到了一些结论，希望能给竞渡者一些帮助，让他们有更好的发挥。

首先，竞渡者应该做好充分的准备，对当地的人文、气候、风向、水情、水性等因素进行观察、预测，及时掌握相关的变化情况，用心衡量自己的体质、调节好自己的心态，沉着冷静，大胆应战。