一元二次方程
一元二次方程式解法公式
一元二次方程式解法公式一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
解一元二次方程的一种常用方法是使用解法公式，也称为求根公式。
解法公式可以直接计算出方程的解，进而求解方程。
一元二次方程的解法公式可以分为两种情况讨论：当方程有实数根时，以及当方程有复数根时。
1. 当方程有实数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。
在解法公式中，根号下的部分被称为判别式，用Δ表示，即Δ = b^2 - 4ac。
判别式Δ的值决定了方程的根的性质：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，即重根；- 当Δ < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。
2. 当方程有复数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± i√(4ac - b^2)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。
在解法公式中，复数根的虚部用i表示，即i = √(-1)。
与实数根的情况相比，复数根的判别式为4ac - b^2。
当判别式4ac - b^2 > 0时，方程有两个共轭复数根；当判别式4ac - b^2 = 0时，方程有两个相等的复数根，即重根；当判别式4ac - b^2 < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。
通过解法公式，可以直接计算出一元二次方程的解。
根据公式中的系数a、b、c的不同取值，可以得到方程的不同解的情况。
需要注意的是，解法公式只适用于一元二次方程，对于其他类型的方程不适用。
此外，解法公式的使用还需要注意以下几点：1. 在计算解时，需要先计算出判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质。
2. 当判别式的值为0时，仍然需要进行计算，并且在计算过程中需要注意虚部的表示方式。
1元二次方程的解法
1元二次方程的解法1元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 为实数且 a 不为 0。
求解 1 元二次方程的方法主要有以下几种：一、因式分解法当二次项系数 a 为 1 时，若二次方程 ax^2 + bx + c = 0 能够分解成 (x + m)(x + n) = 0 的形式，则方程的解为 x = -m 和x = -n。
二、公式法对于一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其解为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中√(b^2 - 4ac) 称为判别式，它决定了方程的解的个数和性质：若判别式大于 0，则方程有两个不相等的实数解。
若判别式等于 0，则方程有两个相等的实数解。
若判别式小于 0，则方程无实数解，但有 2 个共轭复数解。
三、配方法配方法适用于二次项系数 a 为 1 的情况。
将 x^2 + bx + c = 0 变形为 (x + b/2)^2 = (b^2 - 4c)/4，然后求出 x 的值：x = -b/2 ± √((b^2 - 4c)/4)四、韦达定理法韦达定理适用于二次项系数 a 为 1 的情况。
若方程 x^2 + bx + c = 0 的两个解为 x1 和 x2，则：x1 + x2 = -bx1 x2 = c利用这两个关系式可以求出 x1 和 x2。
举例：求解二次方程 x^2 - 5x + 6 = 0。
使用公式法：x = (-(-5) ±√((-5)^2 - 4(1)(6))) / 2(1)= (5 ± √(25 - 24)) / 2= (5 ± 1) / 2因此，方程的解为 x = 2 和 x = 3。
拓展：除了上述方法外，求解 1 元二次方程还有其他一些方法，例如：图形法：将二次方程转化为抛物线方程，然后通过抛物线的图象求解方程的解。
数值法：使用二分法或牛顿法等数值方法求解方程的近似解。
九年级上册数学二次方程
九年级上册数学二次方程一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
例如方程3x^2-5x + 2=0，这里a = 3，b=-5，c = 2。
2. 判断一个方程是否为一元二次方程。
- 首先看是否是整式方程，分式方程和无理方程不是一元二次方程。
- 然后看是否只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。
例如x^2+y = 5不是一元二次方程，因为它含有两个未知数x和y；x^3-2x + 1 = 0不是一元二次方程，因为未知数x的最高次数是3。
二、一元二次方程的解法。
1. 直接开平方法。
- 对于形如x^2=p(p≥0)或(ax + b)^2=p(p≥0)的方程，可以使用直接开平方法。
- 例如，解方程x^2=9，则x=±3；解方程(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，即x=3或x=-1。
2. 配方法。
- 步骤：- 把方程化为ax^2+bx + c = 0(a≠0)的形式。
- 移项，使方程左边只含有二次项和一次项，即ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 在方程两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2。
- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2，然后用直接开平方法求解。
- 例如，解方程x^2+4x - 1 = 0。
- 移项得x^2+4x=1。
- 配方：x^2+4x + 4 = 1+4，即(x + 2)^2=5。
- 解得x=-2±√(5)。
3. 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
一元二次方程公式
一元二次方程公式
一元二次方程的公式是：x=−b±b2−4ac2a(b2−4ac≥0)。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。
其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程的求解方法
1、公式法
在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△＝b²-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（－b±√（b²-4ac））／2a即刻求出结果；△＝b²-4ac=0时，方程只有一个解x=-b/2a；△＝b²-4ac＜0时，方程无解。
2、配方法
将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。
3、因式分解法
通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。
一元二次方程概念
把实际问题转化为一元二次方程模型.
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
课件展示：教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识．
1．回顾一元一次方程的概念；一元一次方程中的“一元”是指？“一次”是指？
2．一元一次方程的一般形式是ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．
3．什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝－3.
A．ax2＋bx＋c＝0B．(m－3)x2－2x＝0
C．(a－1)xa2－1－x＋2＝0D．(m2＋1)x2＋2x－5＝0
2．已知b(b≠0)为方程x2＋ax－b＝0的一个根，则下列正确的是(A)
A．a＋b＝1B．a－b＝1
C．a＋b＝－1D．a－b＝－1
通过练习，可巩固和加深对新知的理解，培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力.
(2)是一元二次方程？
解：(1)当k－5＝0且k＋2≠0时，方程为一元一次方程，即k＝5.
所以当k＝5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元一次方程．
(2)当k－5≠0时，方程为一元二次方程，即k≠5.
所以当k≠5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元二次方程．
【变式训练】
1．下列方程中一定是一元二次方程的是(D)
(试一试)指出下列各方程的二次项、一次项和常数项．
①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③ ＝0.
问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？
师生共同小结(板书)：
一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
一元二次方程式
四、一元二次方程式就一般而言，凡是使得方程式等号成立的数称之为方程式的解；而使得多项式的值为零的数称之为多项式的根。
因此，一元二次方程式的解就是所对应的二次多项式的根。
所以，我们也称此类方程式的解为根。
我们将首先介绍常见的一元二次方程式的三种解法：因式分解法、配方法和公式解。
然后，利用判别式来探讨两根的特性，最后再讨论根与系数之间的关系。
4-1 一元二次方程式的解法【因式分解法】因为一元二次方程式20ax bx c ++=（a 、b 和c 为实数且a ≠0）的左式为二次多项式，如果我们能将这个多项式因式分解成两个一次多项式的乘积，就很容易求得方程式的解。
我们以下面的例子来说明这种解法。
【范例1】求22151x x +=-的解。
【解】 利用移项可把原方程式改写为 2252x x -+= 0。
由因式分解，可得2252x x -+= (21)(2)x x -- 因此，原方程式改写为(21)(2)x x --= 0 所以，可得210x -=或20x -= 即12x =或2x =。
【类题练习1】求231030x x ++=的解。
【配方法】我们也可以利用平方根的概念来解方程式，例如将2420x x -+=改写为2(2)2x -=的形式，进而解得2x =2420x x -+=⇒242x x -=-两边同加22 ⇒22222222x x -⋅⋅+=-+左式可写成完全平方式 ⇒ 2(2)2x -=∵右式为正，两边开平方 ⇒ 2x -=⇒ 2x =上面的例子是利用配成完全平方式的方法，先将方程式改写成 (x －h )2＝k 的形式。
当0≥k 时，我们就可以利用平方根的概念来解题： 即 2()0x h k -=≥两边同时开方 ⇒ x -h =移项 ⇒ x = h注：x = h ±表示x = h x = h我们将这个方法称为配方法，也就是配成完全平方的意思。
以下的例题继续来说明这种解法。
【范例2】求下列各方程式的解：(1) 2680x x -+= (2) 22460x x +-=【解】 (1) 2680x x -+=⇒2238x x -⋅⋅=-⇒22223383x x -⋅⋅+=-+⇒ 2(3)1x -=⇒31x -=±⇒ x -3 = 1或x -3 =-1⇒ x = 2或x = 4(2) 22460x x +-=⇒2230x x +-=⇒223x x +=⇒22221131x x +⋅⋅+=+⇒2(1)4x +=⇒12x +=±⇒12x +=或12x +=-⇒1x =或3x =-在上例中，我们当然也可用十字交乘法来做因式分解。
一元二次方程拆分
一元二次方程拆分摘要：一、一元二次方程的概念1.一元二次方程的定义2.一元二次方程的标准形式二、一元二次方程的拆分方法1.因式分解法2.完全平方公式法3.十字相乘法三、拆分一元二次方程的实例1.因式分解法实例2.完全平方公式法实例3.十字相乘法实例四、总结与拓展1.拆分一元二次方程的意义2.不同拆分方法的特点与适用范围3.一元二次方程在其他领域的应用正文：一元二次方程是中学数学中的一个重要概念，通常形式为ax+bx+c=0（a≠0）。
在解决实际问题时，我们常常需要将一元二次方程进行拆分，将其化为更简单的形式，以便于求解。
一、一元二次方程的概念一元二次方程是一个包含两个未知数（通常为x）的二次方程。
它的标准形式为ax+bx+c=0（a≠0），其中a、b、c 为常数，分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次方程的拆分方法拆分一元二次方程的方法有多种，这里我们介绍三种常用的方法：因式分解法、完全平方公式法和十字相乘法。
1.因式分解法：通过找到两个数，使得它们的乘积等于方程的常数项，再找到一个数，使得它与方程的一次项系数的和等于这两个数的和。
然后，将方程分解为两个一次方程的乘积，从而简化方程。
2.完全平方公式法：利用完全平方公式(a+b)=a+2ab+b，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而简化方程。
3.十字相乘法：通过交叉相乘的方法，将方程的常数项分解为两个数的乘积，再将这两个数分别代入方程的一次项系数，求得两个解，从而简化方程。
三、拆分一元二次方程的实例下面我们通过实例来具体讲解这三种拆分方法。
1.因式分解法实例：假设我们有一个一元二次方程3x-6x-10=0，首先我们可以找到两个数的乘积等于-10（如-2 和5），然后找到一个数，使得它与方程的一次项系数的和等于这两个数的和（如-6=-2-5）。
于是，我们可以将方程分解为(3x-2)(x-5)=0，从而求得解x=2/3 和x=5。
2.完全平方公式法实例：假设我们有一个一元二次方程x-6x+9=0，我们可以发现这个方程已经是完全平方的形式，即(x-3)=0，从而求得解x=3。
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一、选择题
1. （2015河北省，12，2分）若关于x 的方程2
20x x a ++=不存在实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．1a <
B ．1a >
C ．1a ≤
D ．1a ≥ 【答案】B 【解析】解：∵方程不存在实数根，∴440a ∆=-<，解得：1a >，∴B 正确，故选B ．
2. （2015四川省攀枝花市，9，3分）关于x 的一元二次方程（m -2）x 2+(2m +1)x +m -2 =0有两个不相等的正实
数根，则m 的取值范围是( )
A ．m >
43 B. m >4
3且m ≠2 C ．21-<m <2 D ．43<m <2 【答案】D
3. （2015四川省雅安市，9，3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2-4x +3=0的根，则该三
角形的周长可以是（ ）
A .5
B .7
C .5或7
D .10
【答案】B
【解析】解：解一元二次方程x 2-4x +3=0的根为1、3，构成的等腰三角形三边可能为1、1、3或1、3、3，其中
1、1、3不能构成三角形，应舍去.故边长为1、3、3，周长等于7,. 故选B .
4. （2015哈尔滨市，8，3分）
今年我市计划扩大城区绿地面积，.现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m,若将短边增大
到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600时.设扩大后的正方形绿地边长为xm ，下面所列方程正确的是( ).
(A) x(x-60)=1600 (B) x(x+60)=1600 (C) 60(x+60)=1600 (D) 60(x-60)=1600
【答案】
A
【解析】
设扩大后的正方形绿地边长为xm,则长方形的长为xm ，则长方形的宽为（60-x ）m
根据矩形的面积公式可知：x(x-60)=1600
5. （2015广西省河池市，7，3分）
下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A ． x 2+x +1=0
B ． 4x 2+x +1=0
C ． x 2+12x +36=0
D ．x 2+x -2=0
【答案】C
【解析】一元二次方程有无实数根，实数根相等与否，决定因素是判别式：当判别式大于零时有两个不相等的
实数根；等于零时有两个相等实数根；小于零时没有实数根．计算易得C 中方程判别式等于零，∴所以选
C ．
6.(2015年山西省)我们解一元二次方程0632=-x x 时，可以运用因式分解法，将此方程化为()023=-x x ，从而得到两个一元一次方程：03=x 或02=-x ，从而得到原方程的解为01=x ，22=x 这种解法体现的数学思想是（ ）
A.转化思想
B.函数思想
C.数形结合思想
D.公理化思想
答案：A
7. (2015湖北随州市，3，3分)用配方法解一元二次方程2640x x --=，下列变形正确的是
A.()26436x -=-+
B.()26436x -=+
C.()2349x -=-+
D.()2349x -=+
【答案】D
【解析】先将常数项移项到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，即264x x -=，26949x x -+=+，()2349x -=+，故选D ．
8. (2015广东省，8，3分)若关于x 的方程2904
x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 A ．a ≥2 B 。
a ≤2 C 。
a ＞2 D 。
a ＜2
【答案】C
【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元一次不等式的解法。
根据条件“有两个不相等的实数根”可得b 2-4ac =1－4（94
a -+
）＞0，即1+4a －9＞0，解得a ＞2，因此，本题应该选C 。
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二、填空题
1. （2015湖南省邵阳市，16题，3分）关于x 的方程2
20x x m +-=有两个相等的实数根，则m =_____________.
【答案】－1
【解析】关于x 的方程220x x m +-=有两个相等的实数根，所以2241()0m -⨯⨯-=，解得m =－1
2. （2015江苏徐州，13，3分）已知关于x 的方程20x k --=有两个相等的实数根，则k 的值为______________.
【答案】-3
【解析】：∵关于x 的方程20x k --=有两个相等的实数根，∴△=241()k -⨯⨯-（=0，解得3k =-.故答案为3-.
3. （2015福建漳州，1，4分）若关于x 的一元二次方程ax 2+3x -1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围
是 ．
【答案】a ＞94
-且a≠0． 【解析】解：由题意得：a ≠0且△=32-4a × (-1)=9+4a ＞0，解得：a ＞94-
且a ≠0．故答案为a ＞94-且a ≠0．
4. （2015福建省厦门市，12，4分）方程x ²+x =0的解是________________.
【答案】120,1x x ==-
【解析】x ²+x =0可知x （x +1）=0，故答案为
120,1x x ==-
5. （2015北京，14，3分）关于x 的一元二次方程ax 2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实
数a ，b 的值：a =______，b =______．
【答案】 答案不唯一．如
【解析】解：满足b 2=a ，a ≠0即可，答案不唯一．故答案为 等 .
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三、解答题
1. （2015湖北省咸宁市，19，8分）已知关于x 的一元二次方程2
(2)20mx m x -++=.
（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；
（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.
【答案】（1）证明：2[(2)]8m m ∆=-+-=244m m -+=22)m -（. ∵不论m 为何值时，22)0m -≥（,即△≥0,所以方程总有实数根.
a =1
b =1
（2）1m =时，方程有两个不相等的正整数根.
【解析】（1）证明：2[(2)]8m m ∆=-+-=244m m -+=22)m -（. ∵不论m 为何值时，22)0m -≥（,即△≥0,
所以方程总有实数根.
（2）解关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x -++=, 得：22m x m +==2(2)2m m m +±-, ∴12x m =
,21x =.∵方程的两个根都是正整数，∴2m 是正整数，∴1m =或 2.∵两根不相等，∴2m ≠,∴1m =.
2. (2015江苏徐州，20（1），5分)解方程：2230x x --=；
【答案】1213x x =-=，
【解析】：∵2230x x --=，
∴(1)(3)0x x +-=，
∴10x +=或30x -=，
∴1213x x =-=，.
3. （2015河南省，19，9分）已知关于x 的一元二次方程(3)(2)x x m --=.
（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一根.
【答案】解：（1）解：原方程可化为2
=25-24+414m m m =+x -5x+6-=0,△，∵0m ≥ ，∴140m +＞，即0△＞，∴对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根.
（2）当x=1时，代入原方程得，2m =，∴m=±2；当2m =时，原方程可化为2540x x -+=，解之得，121,4,x x ==，所以另一个根是4.
4. (2015广东省，17，6分)解方程：2320x x -+=.
【答案】(1)(2)0x x --=
∴10x -=或20x -=
∴11x =，22x =
【解析】本题考查不一元二次方程的解法的掌握。
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