2019届高考数学总复习模块五解析几何限时集训十四直线与圆文
2019届高三数学(理)复习题：模块五解析几何第14讲 直线与圆Word版含答案
第讲直线与圆.()[·全国卷Ⅰ]一个圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在轴的正半轴上,则该圆的标准方程为. ()[·全国卷Ⅱ]过三点()()()的圆交轴于两点,则()[试做]命题角度圆的方程()解决圆的方程问题,关键一:通过研究圆的性质求出圆的基本量.关键二:设出圆的一般方程,用待定系数法求解.()圆的常用性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的垂直平分线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线..()[·全国卷Ⅲ]直线分别与轴轴交于两点,点在圆()上,则△面积的取值范围是().[] .[] .[] .[]()[·全国卷Ⅲ]已知直线与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点.若,则.[试做]命题角度直线与圆的问题关键一:求直线被圆所截得的弦长时,一般考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理求解.关键二:弦心距可利用点到直线的距离公式求解.小题直线的方程及应用()已知直线与直线平行,且直线在轴上的截距为,则的值为()()过定点的直线与过定点的直线交于点(异于),则·的最大值为()[听课笔记]【考场点拨】()求直线方程主要有直接法和待定系数法.直接法是选择适当的形式,直接求出直线方程.待定系数法是由条件建立含参数的方程,再据条件代入求参数得方程.()平行与垂直位置关系问题主要依据:已知直线(不同时为)与直线(不同时为),若∥,则且≠或≠;若⊥,则.【自我检测】.命题“”是命题“直线与直线平行”的().充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件.已知直线的斜率为,在轴上的截距为直线的斜率的倒数,则直线的方程为().已知直线经过直线与的交点,且直线的斜率为,则直线的方程是().设两条直线的方程分别为和,已知是关于的方程的两个实根≤≤,则这两条直线间的距离的最大值为()..小题圆的方程及应用()已知一圆的圆心为(),圆的某一条直径的两个端点分别在轴和轴上,则此圆的方程是().()().()().()().()()()已知()(),点在圆()上运动,若△的面积的最小值为,则实数的值为().或或或或[听课笔记]【考场点拨】()由圆心和半径可直接得圆的标准方程;()过不在同一条直线上的三点可确定一个圆;()弦的垂直平分线一定过圆心;()与圆上的点有关的问题常转化为圆心的有关问题去处理.【自我检测】.以()为圆心,且与两条直线和同时相切的圆的标准方程为().()().()().()().若直线始终平分圆,则()()的最小值为().已知两点()和()(>),若在直线上存在点,使得⊥,则实数的取值范围是().() .().[∞) .[∞).若方程表示圆,则的取值范围是.小题直线与圆的位置关系()已知圆,点为直线上一动点,过点向圆引两条切线分别为为切点,则直线经过定点()...()已知直线与圆交于两点为圆外一点,若四边形是平行四边形,则实数的取值范围为.[听课笔记]【考场点拨】直线与圆的问题:()解决直线与圆的位置关系问题主要是利用几何法,即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断;()弦长问题,主要依据弦长的一半、弦心距、半径恰构成一直角三角形的三边进行求解;()经过圆内一点,垂直于过这点的半径的弦最短.【自我检测】.已知△的三边长为,直线与圆相离,则△是 ().直角三角形.锐角三角形.钝角三角形.以上情况都有可能.已知直线与圆相交于两点,且∠°(为坐标原点),则实数的值为()或或.已知圆(>)及圆上的点(),过点的直线交轴于点(),交圆于另一点,若,则直线的斜率为..点()是直线上一动点是圆的两条切线是切点,若四边形的面积的最小值为,则的值为.模块五解析几何第讲直线与圆典型真题研析.()()[解析] ()设圆心为()(>),则半径为,所以(),解得,所以圆的标准方程为.()方法一:设圆的方程为,将点()()()的坐标代入得方程组解得所以圆的方程为,即()(),所以.方法二:因为,所以,所以⊥,所以△为直角三角形,所以△的外接圆圆心为的中点(),半径,所以.方法三:由·得⊥,下同方法二..()()[解析] ()由题意知()().圆心()到直线的距离为.设点到直线的距离为,圆()的半径为,则∈[],即∈[],又△的面积△·,所以△面积的取值范围是[].()直线()过定点(,),又,∴(),解得.直线方程中,当时.又(,),()两点都在圆上,∴直线与圆的两交点为(,)().设过点(,)且与直线垂直的直线为,将(,)代入直线方程,得.令,得,同理得过点且与垂直的直线与轴交点的横坐标为,∴.考点考法探究小题例()()[解析] ()因为直线与直线平行,所以,又因为直线在轴上的截距为,所以,解得,所以,所以,故选.()由题意可知().,即(),则().∵过定点的直线与过定点的直线始终垂直又是两条直线的交点,∴⊥,∴.故·≤,当且仅当时取等号.【自我检测】[解析] 当两直线平行时±,若,则两直线均为;若,则两直线分别为.所以“”是“直线与直线平行”的充要条件,故选.[解析] ∵直线的斜率为,∴直线在轴上的截距为,∴直线的方程为,故选.[解析] 解方程组得所以两直线的交点为().因为直线的斜率为,所以直线的方程为(),即.故选.[解析] 因为是方程的两个实根,所以.两条直线间的距离,所以.因为≤≤,所以≤≤,即∈,所以两条直线间的距离的最大值为,故选.小题例()()[解析] ()设该直径的两个端点分别为()(),则()是线段的中点,所以()(),圆的半径.故圆的方程为()().故选.()直线,即,若△的面积最小,则点到直线的距离最小,又∵△的面积的最小值为,∴××,即,解得或.故选.【自我检测】[解析] 由题易知,圆心在直线上,将点()代入上式可得,即圆心为(),半径,∴圆的标准方程为()().[解析] 由直线始终平分圆,知直线必过圆的圆心,由圆的方程可得圆心为(),代入中,可得.()()表示点()与点()之间的距离的平方.点()到直线的距离,所以()()的最小值为,故选.[解析] 以为直径的圆的方程为()().若在直线上存在点,使得⊥,则直线与圆有公共点,所以≤,解得≥.故选..(∞)[解析] 方程,即()(),由方程表示圆,可得>,解得<,故的取值范围为(∞).小题例()()()∪()[解析] ()设().∵是圆的切线为切点,∴⊥⊥,∴是圆与以为直径的圆的公共弦.易知以为直径的圆的方程为[()]()①,圆的方程为②,①②得直线的方程为×(),即(),∴直线恒过定点,故选.()如图所示,∵四边形是平行四边形,且,∴平行四边形是菱形,∴⊥.设相交于点,则.圆心到直线的距离为,∴.∵点在圆外,点在圆内,∴<<,解得<<或<<,∴实数的取值范围是()∪().[解析] ∵直线与圆相离,∴圆心到直线的距离>,即>,故△是钝角三角形.[解析] 圆的标准方程为(),作⊥于点,由圆的性质可知△为等腰三角形,其中.由∠°,易得,即圆心()到直线的距离,即,即,解得或..或[解析] 由题知,直线的方程为,即,联立直线与圆的方程得,∵,∴,解得或,∴直线的斜率或..±[解析] 根据题意画出图形,如图所示,圆的标准方程为(),由题易得四边形△××·,∴当取得最小值时,四边形的面积取得最小值.而的最小值即为点到直线的距离,.∵,∴,则,解得,即±.[备选理由] 例在直线与圆的位置关系的基础上,考查圆的面积的计算,需要从特殊的等边三角形入手分析;例考查直线与圆的综合问题,涉及圆的方程的确定,点到直线及两点间的距离问题等;例在直线与圆的位置关系的基础上,考查最值问题,理解不难,但运算量大,对培养学生的计算与求解能力有所帮助.例[配例使用]已知直线与圆交于两点,且△为等边三角形,则圆的面积为.[答案] π[解析] 圆的标准方程为()(),则圆心(),半径.∵直线和圆交于两点,且△为等边三角形,∴圆心到直线的距离为°×,又∵圆心到直线的距离,∴×,解得,∴圆的面积为ππ×()π.例[配例使用]已知圆经过原点且圆心在轴正半轴上,经过点()且倾斜角为°的直线与圆相切于点,点在轴上的射影为点,设点为圆上的任意一点,则()[解析] 如图所示,由题可知直线(),即.设圆心()(>),则,得,所以圆的方程为().由图易知,则,则().设(),则,将圆的方程代入得,所以,故选.例[配例使用]直线与圆有公共点(),则的最大值为().[解析] 因为直线与圆有公共点(),所以圆心到直线的距离不大于圆的半径,易知,则≤≤,解得≥.由即得,所以.设,则<≤,则<≤,由二次函数的性质可得当时取得最大值,故选.。
2019届高三数学(文科)复习题五解析几何限时集训(十六)Word版含答案
基础过关1.已知椭圆M与椭圆N:x 29+y25=1有相同的焦点,且椭圆M过点(0,2).(1)求椭圆M的长轴长;(2)设直线y=x+2与椭圆M交于A,B两点(A在B的右侧),O为原点,求证:OA²OB=-43.2.已知点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过点N(5,-2)作不与坐标轴垂直的直线l交抛物线C 于A,B两点.(1)若MN⊥AB,求直线l的方程;(2)求证:点M在以AB为直径的圆上.3.已知椭圆C:x 24+y23=1的左焦点为F,已知M(-4,0),过M作斜率不为0的直线l,与椭圆C交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为B'.(1)求证:直线AB'恒过定点F(椭圆的左焦点);(2)△MAB'的面积记为S,求S的取值范围.4.已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,P(a,0)为x轴上的点.(1)若过点P作直线l与E相切,求切线l的方程;(2)如果存在过点F的直线l'与抛物线交于A,B两点,且直线PA与PB的倾斜角互补,求实数a 的取值范围.能力提升5.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B两点,如图X16-1所示.(1)若直线OA,OB的斜率之积为-14,证明:直线l过定点;(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y=4-14x2(-22<x<22)上,求|AB|的最大值.图X16-16.已知F1,F2分别是椭圆E:x 2a +y2b=1(a>b>0)的左、右焦点,F2恰好与抛物线y2=4x的焦点重合,过椭圆E的左焦点F1且与x轴垂直的直线被椭圆E截得的线段长为3.(1)求椭圆E的方程;(2)已知点P1,32,直线l:x=4,过F2且斜率为k的直线与椭圆E交于A,B两点,与直线l交于M 点,若直线PA,PB,PM的斜率分别是k1,k2,k3,求证:无论k取何值,总满足k3是k1和k2的等差中项.限时集训(十六) 基础过关1.解:(1)由题意设椭圆M的标准方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0),则a2-b2=9-5=4,得c2=4,又椭圆M过点(0,2),所以b=2,所以a2=8,则椭圆M的长轴长为2a=42.(2)证明:椭圆M的方程为x28+y24=1,由y=x+2,x28+y24=1,得3x2+8x=0,解得x1=0,x2=-83,则A(0,2),B -83,-2 3,故OA²OB=(0,2)²-83,-23=-43.2.解:(1)据题意k MN=-1,由于MN⊥AB,则k AB=1,于是直线l的方程为y-(-2)=1²(x-5),即直线l的方程为x-y-7=0.(2)证明:由于点M在抛物线上,所以抛物线方程为y2=4x.设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=m(y+2)+5(m≠0),与抛物线的方程联立,整理得y2-4my-(8m+20)=0,则y1+y2=4m,y1y2=-8m-20,又MA=(x1-1,y1-2),MB=(x2-1,y2-2),于是MA²MB=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=(y1y2)216-m(y1+y2)-4m-10+1+y 1y2-2(y1+y2)+4=(8m+20)216-m²(4m)-4m-10+1-(8m+20)-2³(4m)+4=0,所以∠AMB=90°,即点M在以AB为直径的圆上.3.解:(1)证明:设直线l的方程为x=my-4,代入x 24+y23=1得(3m2+4)y2-24my+36=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则B'(x2,-y2),则Δ=144m 2-576>0,即|m|>2,且y 1+y 2=24m 3m 2+4,y 1y 2=363m 2+4.直线AB':y-y 1=y 1+y2x 1-x 2(x-x 1).令y=0,得x=x 2y 1+x 1y 2y 1+y 2=2m ²y 1y 2y 1+y 2-4=2m32m-4=-1,∴直线AB'过定点F (-1,0).(2)S=12|MF||y 1+y 2|=32³|24m |3m +4=363|m |+4|m |,其中|m|>2.令f (t )=3t+4t,t>2,则f'(t )=3-4t>0(t>2),∴f (t )在(2,+∞)上单调递增,f (t )∈(8,+∞),∴S ∈0,92.4.解:(1)设切点为Q x 0,x 024,由y'=x 2得y' x =x 0=x02.∴抛物线E 在点Q 处的切线方程为y-x 024=x02(x-x 0). ∵直线l 过点P ,∴-x 024=x 02(a-x 0),解得x 0=2a 或x 0=0.当a=0时,切线l 的方程为y=0;当a ≠0时,切线l 的方程为y=0或ax-y-a 2=0.(2)易知直线l'的斜率存在,设直线l'的方程为y=kx+1,代入x 2=4y 得x 2-4kx-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则Δ=16k 2+16>0,x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.由已知得k PA +k PB =y 1x 1-a +y 2x2-a=0,即kx 1+1x 1-a+kx 2+1x 2-a=0,∴2kx 1x 2+(1-ka )(x 1+x 2)-2a=0,∴2ak 2+2k+a=0.①当a=0时,得2k=0,即k=0,满足题意;当a ≠0时,方程①有解,∴Δ=4-8a 2≥0,解得- 22≤a ≤ 22,且a ≠0.综上所述,实数a 的取值范围是- 22≤a ≤ 22.能力提升5.解:(1)证明:由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由x2=4y,y=kx+m得x2-4kx-4m=0,则Δ=16(k2+m)>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,∴k OA²k OB=y1²y2x1²x2=14x12²14x22x1²x2=x1²x216=-m4,又已知k OA²k OB=-14,∴m=1,∴直线l的方程为y=kx+1,直线l过定点(0,1).(2)设M(x0,y0),则x0=x1+x22=2k,y0=kx0+m=2k2+m.将M(x0,y0)代入C2:y=4-14x2(-22<x<22)得2k2+m=4-14³(2k)2,∴m=4-3k2.∵-22<x0<22,∴-22<2k<22,∴-2<k<2.∵Δ=16(k2+m)=16(k2+4-3k2)=32(2-k2)>0,∴-2<k<2,故k的取值范围是(-2,2).|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k216(k2+m),将m=4-3k2代入得|AB|=4(k2+1)(2−k2)≤42²(k2+1)+(2−k2)2=6,当且仅当k2+1=2-k2,即k=±22时取等号,∴|AB|的最大值为6.6.解:(1)由题意知F2(1,0),椭圆上一点的坐标为-1,32,代入椭圆E的方程,得1a2+94b2=1,又a2-b2=1,∴a 2=4,b 2=3,因此椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明:直线AB 的方程为y=k (x-1),代入椭圆E 的方程,并整理得(4k 2+3)x 2-8k 2x+4(k 2-3)=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有x 1+x 2=8k 24k +3,x 1x 2=4(k 2-3)4k +3.把x=4代入直线AB 的方程得M (4,3k ), 从而k 1=y 1-32x 1-1,k 2=y 2-32x 2-1,k 3=3k -324−1=k-12. 又因为A ,F 2,B 三点共线,所以y 1x1-1=y2x 2-1=k , 所以k 1+k 2=y 1-32x1-1+y 2-32x 2-1=y 1x 1-1+y 2x 2-1-321x 1-1+1x 2-1=2k-32²x 1+x 2-2x1x 2-(x 1+x 2)+1=2k-32²8k 24k 2+3-24(k 2-3)4k 2+3-8k 24k 2+3+1=2k-1,又k 3=k-12,所以k 1+k 2=2k 3,即无论k 取何值,总满足k 3是k 1和k 2的等差中项.。
2019高考真题名校模拟(文数) 直线、圆的位置关系(含答案)
9.2 直线、圆的位置关系五年高考A 组统一命题·课标卷题组考点一直线、圆的位置关系1．（2018课标全国|||-8.5分）直线02=++y x 分别与x 轴．y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆2)2(22=+-y x上，则△ABP 面积的取值范围是( )]6,2.[A ]8,4[⋅B ]23,2[⋅C ]23,22.[D2．（2016课标全国II ．6,5分）圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a ( ) 34.A 43.B 3.C 2.D 3．（2015课标II ．7,5分．0.470）已知三点),3,0(),0,1(B A ),3,2(C 则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 ( )35.A 321.B 352.C 34.D4．（2017课标全国m ．11,5分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右顶点分别为,,21A A 且以线段21A A 为直径的圆与直线02=+-ab ay bx 相切，则C 的离心率为( )36.A 33.B 32.C 31.D5．（2014课标II ．12,5分．0.264）设点),1,(0x M 若在圆+2:x O 12=y 上存在点N ，使得,45=∠OMN则0x 的取值范围是( )]1,1[-⋅A ]21,21.[B ]2,2.[-C ]22,22.[D6．（2016课标全国I ．15,5分）设直线a x y 2+=与圆-+22:y x C 022=-ay 相交于A ．B 两点，若,32||=AB 则圆C 的面积为_________7．（2016课标全国Ⅲ．15，5分）已知直线063:=+-y x l 与圆2x 122=+y 交于A ．B 两点，过A ．B 分别作L 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则=||CD _______8．（2014课标1,20,12分．0.068）已知点P(2，2)，圆-+22:γx C ,08=y 过点 P 的动直线L 与圆C 交于A ．B 两点，线段AB 的中点为M ．O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当||||OM OP =时，求L 的方程及△POM 的面积，9（2017课标全国111- 20，12分）在直角坐标系xOy 中，曲线=y 22-+mx x 与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ．C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．10．（2015课标I ．20,12分．0.193）已知过点A(O ，1)且斜率为k 的直线L 与圆1)3()2(:22=-+-y x C 交于M ．N 两点． (1)求南的取值范围；(2)若,12=⋅其中0为坐标原点，求| MN|．考点二圆的弦长问题（2018课标全国I ．15,5分）直线1+=x y 与圆03222=-++y y x 交于A ，B 两点，则｜AB ｜=______B 组 自主命题·省（区、市）卷题组膏点一直线、圆的位置关系1．(2016北京，5，5分）圆2)1(22=++y x 的圆心到直线3+=x y 的 距离为( )1.A2.B 2.C 22.D2（2014北京，7，5分）已知圆1)4()3(:22=-+-y x C 和两点).0)(0,(),0,(>-m m B m A 若圆C 上存在点P ．使得=∠APB ,90则m 的最大值为( )7.A 6.B 5.C 4.D3.（2015安徽．8，5分）直线b y x =+43与圆012222=+--+y x y x 相切，则b 的值是( )122.或-A 122.-或B 122.--或C 122.或D4(2014浙江，5，5分)已知圆02222=+-++a y x y x 截直线2++y x 0=所得弦的长度为4．则实数a 的值是( )2.-A 4.-B 6.-C 8.-D 5．（2018江苏．12.5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线L:y= 2x 上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线L 交于另一点D ．若,0.=则点A 的横坐标为________6．（2015重庆．12,5分）若点P(l ，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为_______7．（2015湖南．13,5分）若直线0543=+-y x 与圆>=+r r y x (222)0相交于A ．B 两点，且120=∠AOB(O 为坐标原点），则r=__________8．（2014重庆．14,5分）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆2x 04422=--++y x y 相交于A ．B 两点，且AC⊥BC，则实数a 的值为__________突破方法方法1 有关圆的切线问题的解法例1（2017吉林长春模拟）过点(3，1)作圆222)1(r y x =+-的切线有且只有一条，则该切线的方程为 ( )052.=-+y x A 072.=-+y x B 052.=--y x C 072.=--y x D1-1（2017福建福州模拟）过点P(l ，-2)作圆2)1(:-x C 12=+y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )43=⋅y A 21=⋅y B 23=⋅y C 41=⋅y D1-2（2017贵州贵阳一模）由直线y=x+l 上的一点向圆1)3(22=+-y x 引切线，则切线长的最小值为____方法2有关圆的弦长问题的解法例2（2017辽宁锦州质量检测（二））直线04:=++y kx m )(R k ∈是圆0644:22=+-++y x y x C的一条对称轴，过点A(O ，k)作斜率为1的直线n ，则直线n 被圆C 所截得的弦长为( )14.A 2.B 6.C 62.D2-1（2018湖北荆州中学、宜昌一中等七校联考）若圆5:221=+y x O 与圆20)(:222=++y m x O 相交于A ．B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ( )3.A4.B 32.C 8.D2-2过坐标原点0作圆0208622=+--+y x y x 的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长度为________2-3过点(3，1)作圆4)2()2(22=-+-y x 的弦，其中最短弦的长为________三年模拟A 组2016-2018年高考模拟·基础题组考点一直线、圆的位直关系1．（2018甘肃兰州一诊）已知直线0343=++y x 与直线-+my x 6014=平行，则它们之间的距离是( )2.A 8.B 517.C 1017.D2．（2018黑龙江齐齐哈尔一模）圆034222=+--+y x y x 的圆心到直线01=+-ay x 的距离为2．则=a ( )1.-A 0.B 1.C2.D3．（2017甘肃二诊）圆心为(4，0)且与直线03=-y x 相切的圆的方程为( )1)4.(22=+-y x A 12)4(22=+-⋅y x B 6)4.(22=+-y x C 9)4(22=++⋅y x D4．（2017北京海淀月考）圆心为(0，1)且与直线y=2相切的圆的方程为 ( )1)1(22=+-⋅y x A 1)1.(22=++y x B 1)1(.22=-+y x C 1)1(.22=++y x D5．（2017宁夏银川二模）已知圆,4:221=+y x C 圆-++x y x C 6:222,0168=+y 则圆1C 和圆2C的位置关系是 ( )A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切6．（2017辽宁辽南协作校一模）圆0104422=---+y x y x 上的点到直线08=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 ( )18.A 26.B 25.C 24.D考点二圆的弦长问题1．（2018甘肃一诊）在平面直角坐标系中，圆1:22=+y x O 被直线)0(>+=k b kx y 截得的弦长为,2角α的始边是x 轴的非负半轴，终边过点αtan ),,(2则b k P 的最小值为 ( )22.A 1.B 2.C 2.D 2．（2017辽宁大连一模）直线034=-y x 与圆=-+-22)3()1(y x 10相交所得弦长为( )6.A 3.B 26.C 23.D3．（2016重庆一中模拟．8）已知圆y y x C ⋅=-+-2)2()1(:22轴被圆C 截得的弦长与直线b x y +=2 被圆C 截得的弦长相等，则=b ( )6.-A 6.±B 5.-C 5.±D4．（2017陕西黄陵中学（重点班）考前模拟（一））在圆=+22:y x C x 5内，过点)23,25(A 有n 条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项,1a 最长的弦长为,n a 若公差],31,61(∈d 那么n 的取值集合为( )}6,5,4{⋅A }9,8,7,6{⋅B }5,4,3{⋅C }6,5,4,3{⋅D5．（2017黑龙江双鸭山一中四模）已知直线1:=-y x l 与圆2:x M 01222=-+-+y x y 相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧．则四边形ABCD 面积的最大值为________B 组2016-2018年高考模拟·综合题组一、选择题（每题5分，共45分）1．（2018宁夏吴忠模拟）与直线04=--y x 和圆02222=-++y x y x 都相切的半径最小的圆的方程是 ( )2)1()1.(22=+++y x A 4)1()1.(22=++-y x B 2)1()1.(22=++-y x C 4)1()1.(22=+++y x D2．（2018重庆4月调研（二诊））设集合2)sin 3(|),{(α+=x y x A ,1)cos 3(2=++αy },R ∈α},01043|),{(=++=y x y x B 记AP =,B 则点集P 所表示的轨迹长度为( )52.A 72.B 24.C 34.D3．（2018陕西咸阳二模）圆2)1()1(22=-+-y x 关于直线+=kx y 3对称，则k 的值是( )2.A 2.-B 1.C 1.-D4．（2016吉林松原实验高级中学等三校联考）已知条件=k p :,3-条件q:直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2017甘肃河西联考）直线0552=+-+y x 被圆y x y x 4222--+0=截得的弦长为( )32.A 62.B 4.C 64.D6．（2017黑龙江哈尔滨师大附中三模）直线)0(2>=+m m y x 与⊙5:022=+y x 交于A ，B 两点，若|,|2||>+则m 的取值范围是( ))52,5(⋅A )5,52(⋅B )5,5(⋅C )5,2.(D7．（2017陕西渭南二模）直线0=+-m y x 与圆01222=--+x y x 有两个不同交点的一个充分不必要条件是 ( )10.<<m A 04.<<-m B 1.<m C 13.<<-m D8．（2016辽宁抚顺二模．7）已知直线)(02:R k y kx l ∈=-+是圆0926:22=++-+y x y x C 的对称轴，过点A （0，k 作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为 ( )2.A 22.B3.C 32.D9．（2017内蒙古包头十校联考）在平面直角坐标系xOy 中，直线,42:-=x y l 圆C 的半径为1，圆心在直线L 上，若圆C 上存在点M ．且M 在圆4)1(:22=++y x D 上，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )]2,53.[A ]512,0.[B ]5522,5522.[+C ]4,5522[]5522,0.[+ D 二、填空题（共5分）10.（2018甘肃张掖第三次诊断）过点P （-3，0）作直线x b a )2(+b a b a y b a ,(043)(=--+-不同时为零）的垂线，垂足为M ．已知点N(2，3)，则IMNl 的取值范围是________答 案。
2019届全国卷高三数学艺体生、学困生补习资料,专题复习资料：必修2直线与圆复习资料(含知识点和典例分析
高中数学必修2——直线与圆复习知识点一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即tan k α=。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
2019年高考数学真题分类汇编：专题(08)直线与圆(文科)及答案
2019年高考数学真题分类汇编 专题08 直线与圆 文1.【2018高考北京，文2】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r =，则圆的标准方程为()()22112x y -+-=，故选D.【考点定位】圆的标准方程.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心(),a b ，半径为r 的圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=．2.【2018高考四川，文10】设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x ＝ty ＋m ，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t ＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r 取值范围即可.属于难题.3.【2018高考湖南，文13】若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120oAOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____. 【答案】【解析】如图直线3450x y -+=与圆2220x y r r +=（＞） 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且120o AOB ∠=，则圆心（0，0）到直线3450x y -+=的距离为12r 12r r =∴，=2 .故答案为2.【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】涉及圆的弦长的常用方法为几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则222().2lr d =-本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再根据点到直线距离公式列等量关系. 4.【2018高考安徽，文8】直线3x+4y=b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b=（ ） （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 【答案】D【解析】∵直线b y x =+43与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴224343+-+b ＝1⇒2=b 或12,故选D.【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.【名师点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元，得到关于x （或y ）的一元二次方程，通过判断0;0;0<∆=∆>∆来确定直线与圆的位置关系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，然后再将d 与圆的半径r 进行判断，若r d >则相离；若r d =则相切；若r d <则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算能力.5.【2018高考重庆，文12】若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________. 【答案】250x y +-=【解析】由点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y +=，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y ⨯+⨯=即250x y +-=，故填：250x y +-=. 【考点定位】圆的切线.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.6.【2018高考湖北，文16】如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+-=；（Ⅱ）1--.【解析】设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T1=，半 径0r y =.又因为2AB =，所以22211y +=，即0y r ==，所以圆C 的标准方程为22(1)(2x y -+=，令0x =得：1)B +.设圆C 在点B 处的切线方程为1)kx y -+=，则圆心C 到其距离为：d ，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x 1)y =+，于是令0y =可得x 1=-，即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为1-，故应填22(1)(2x y -+-=和1-【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数C 的横坐标.7.【2018高考广东，文20】（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围； 若不存在，说明理由．第16题图【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34k =±． 【解析】试题分析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程可得圆1C 的圆心坐标；（2）先设线段AB 的中点M 的坐标和直线l 的方程，再由圆的性质可得点M 满足的方程，进而利用动直线l 与圆1C 相交可得0x 的取值范围，即可得线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）先说明直线L 的方程和曲线C 的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围，进而可得存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．试题解析：（1）圆1C :22650x y x +-+=化为()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0（2）设线段AB 的中点00(,)x y M ，由圆的性质可得1C M 垂直于直线l .设直线l 的方程为mx y =（易知直线l 的斜率存在），所以1C 1k m M ⋅=-，00mx y =，所以130000-=⋅-x yx y ，所以032020=+-y x x ，即49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x .因为动直线l 与圆1C 相交，所以2132<+m m ，所以542<m . 所以202022054x x m y <=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以3350≤<x . 所以),(00y x M 满足49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x .（3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线.结合图形，492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x 表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭⎫⎝⎛352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧.设P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-352,35，则752354352=-=PT k ，而当直线L 与轨迹C 相切时，2314232=+-k k k，解得43±=k .在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <.结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当0k ≤≤或34k =时，直线L 与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当0k ≤<或34k =-时，直线L 与x 轴对称上方的圆弧有且只有一个交点. 综上所述，当752752≤≤-k 或34k =±时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程、直线与圆的位置关系，属于难题．解题时一定要注意关键条件“直线l 与圆1C 相交于不同的两点A ，B ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程和直线与圆的位置关系，即圆22D F 0x y x y +++E +=的圆心D ,22E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线与圆相交⇔d r <（d 是圆心到直线的距离），直线与圆相切⇔d r =（d 是圆心到直线的距离）．8.【2018高考新课标1，文20】（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .【答案】（I ）（II ）2L（II ）设1122(,),(,)M x y N x y .将1y kx =+代入方程()()22231x y -+-=,整理得22(1)-4(1)70k x k x +++=,所以1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++21212121224(1)1181k k OM ON x x y y k x x k x x k+?+=++++=++, 由题设可得24(1)8=121k k k+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+. 故圆心在直线l 上，所以||2MN =.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于x 的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将1212,x x y y 用k 表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题.。
2019年高考数学课时24直线与圆圆与圆的位置关系单元滚动精准测试卷文【优选】
课时24 直线与圆、圆与圆的位置关系模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0【答案】A2．已知圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．4x －4y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＝0 D ．x －y －2＝0【答案】D【解析】由于两圆的圆心分别为(0,0)与(2，－2)，则可知两圆圆心所在直线的中垂线方程为y ＋1＝x －1⇒y ＝x －2，即直线l 的方程为x －y －2＝0.3与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4【答案】 A【解析】如图当两圆圆心的连线与已知直线垂直时，所求圆的半径最小，易知所求圆C 的圆心在直线y ＝－x 上，故设其坐标为C (c ，－c )，又圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，∴A (－1,1)，则点A 到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－1－1－4|2＝3 2.设圆C 的半径为r ，则2r ＝32－2＝22，∴r ＝ 2.即点C (c ，－c )到直线x －y －4＝0的距离等于 2.故有|2c －4|2＝2，∴c ＝3或c＝1.结合图形知当c ＝3时，圆C 在直线x －y －4＝0下方，不合题意，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4．夹在两平行直线l 1：3x －4y ＝0与l 2：3x －4y －20＝0之间的圆的最大面积等于( ) A ．2π B ．4π C ．8πD ．12π【答案】B【解析】圆的最大直径即为两条平行直线间的距离d ＝205＝4，所以r ＝2，故最大面积为π·22＝4π.5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6【答案】B【失分点分析】注意利用圆的性质解题，可以简化计算.例如，求圆外一点到圆上任意一点的最小距离或最大 距离利用两点的距离减去或加圆半径就很简便.6．对于a ∈R ，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，以5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0【答案】C【解析】直线方程可化为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0，易得直线恒过定点(－1,2)．故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.7．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________． 【答案】x ＋3y ＝0【解析】圆的方程(x －1)2＋(y －3)2＝20可化为x 2＋y 2－2x －6y ＝10， ①又x 2＋y 2＝10，②①－②得2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0.[知识拓展]若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.8．将圆x 2＋y 2＝1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ，则圆C 的方程是________________；若过点(3,0)的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率是________．【答案】(x －1)2＋y 2＝133或－33【解析】因为圆平移后半径不变，圆心变化，所以圆心(0,0)向右平移1个单位后得到点(1,0)，即平移后的圆心C .所以圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.设l 的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0. 则|k －3k | 1＋k2＝1，∴k ＝±33. 9．已知曲线C ：x 2＋y 2－4ax ＋2ay －20＋20a ＝0， (1)证明不论a 取何实数，曲线C 必过定点；(2)当a ≠2时，证明曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上； (3)若曲线C 与x 轴相切，求a 的值．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．【解析】(1)圆(x －6)2＋y 2＝4的圆心Q (6,0)，半径r ＝2，设过P 点的直线方程为y ＝kx ＋2， 根据题意得|6k ＋2|1＋k2<2，∴4k 2＋3k <0，∴－34<k <0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，[新题训练] （分值：10分 建议用时：10分钟）13．（5分）已知集合A ＝{}(x ，y )|y －3x ≤0，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －a )2≤1}，若A ∩B＝B ，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．[－2,2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 【答案】B【解析】只有当圆心(0，a )到直线y ＝3x 的距离d ≥r ＝1且在y ＝3x 右下方，方能使A ∩B ＝B ，即|a |2≥1，即a ≥2或a ≤－2，又点(0，a )需在y ＝3x 右下方，所以a ≤－2.14．（5分）定义：若平面点集A 中的任一个点(x 0，y 0)，总存在正实数r ，使得集合{(x ，y )|(x －x 0)2＋(y －y 0)2＜r }⊆A ，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}； ②{(x ，y )|x ＋y ＋2＞0}； ③{(x ，y )||x ＋y |≤6}；④{(x ，y )|0＜x 2＋(y －2)2＜1}．其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号) 【答案】 ②④【解析】集合{(x ，y )|(x －x 0)2＋(y －y 0)2＜r }表示以(x 0，y 0)为圆心，以r 为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A 应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．。
2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第一讲 直线与圆能力训练 理
第一讲 直线与圆一、选择题1．“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b2，可得ab ＝4，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C.答案：C2．已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2，故选A.答案：A3．(2018·临沂模拟)已知直线3x ＋ay ＝0(a ＞0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2 2D ．2 3解析：由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a2＝3，得a ＝ 3.答案：B4．(2018·济宁模拟)已知圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，且圆心C 在直线x ＋y ＝4上，若直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，则t 的值为( )A ．－6±2 5B ．6±2 5C ．25±6D ．6±4 5解析：因为圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝x 上，又圆心C在直线x ＋y ＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xx ＋y ＝4，解得x ＝y ＝2，即圆心C (2,2)，圆C 的半径r ＝－2＋－2＝2.又直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，所以|2＋4－t |5＝2，解得t ＝6±2 5.答案：B5．(2018·南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )A.510 B ．－510C.910D ．－910解析：因为圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为2，所以圆心O 到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－2＝15，所以弦长|AB |＝222－⎝⎛⎭⎪⎫152＝2195. 在△AOB 中，由余弦定理得cos ∠AOB ＝|OA |2＋|OB |2－|AB |22|OA |·|OB |＝4＋4－4×1952×2×2＝－910.答案：D6．(2018·合肥第一次教学质量检测)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：当直线l 的斜率不存在时，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34 ，综上，直线l 的方程为x ＝0或3x＋4y －12＝0，故选B.答案：B7．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．(12，14)B ．(14，12)C ．(34，0) D ．(0，34) 解析：因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是(2－m ，m2)，且半径的平方r 2＝－2m2＋m24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋(y －m2)2＝－2m 2＋m24，①又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点(14，12)．故选B.答案：B8．若过点A (1,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，l 与直线x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，则|AM |·|AN |的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：圆C 的方程化成标准方程可得(x －3)2＋(y －4)2＝4，故圆心为C (3,4)，半径为2，则可设直线l 的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，又直线CM 与l 垂直，得直线CM 的方程为y －4＝－1k(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝－1k x －，kx －y －k ＝0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1，则|AM |·|AN | ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k k 2＋12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 2×1＋k 2×31＋k 2|2k ＋1|＝6.故选B. 答案：B 二、填空题9．(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4. ∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.答案：2 210．(2018·江苏三市三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则|PB ||PA |的最大值是________．解析：设动点P (x ，y )，令|PB ||PA |＝t (t ＞0)，则－x 2＋－1－y 2－x 2＋－2－y2＝t 2，整理得，(1－t 2)x 2＋(1－t 2)y 2－2x ＋(2－4t 2)y ＋2－4t 2＝0，(*)易知当1－t 2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P 在该圆上，又点P 在圆x 2＋y 2＝2上，所以点P 为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l 的方程为x －(1－2t 2)y －2＋3t 2＝0，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2＋3t 2|1＋－2t22≤2，解得0＜t ≤2，所以|PB ||PA |的最大值为2.答案：2 三、解答题11．已知圆C 过点P (1,1)，且圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解析：(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2， PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2，令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，则PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2，所以PQ →·MQ →的最小值为－4.12．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标．解析：(1)圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为y ＝kx ， 由|k ＋2|1＋k2＝2，得k ＝2±6，∴此切线方程为y ＝(2±6)x .②当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为x ＋y －a ＝0，由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3. ∴此切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，此切线方程为y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由|PO |＝|PM |，得|PO |2＝|PM |2＝|PC |2－|CM |2，即x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，整理得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x ＋4y ＋3＝0上，当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ，∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故使|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.13．已知过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝92.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 的准线为l ，焦点为F ，点P 为直线m ：x ＋y －2＝0上的动点，且点P 的横坐标为a ，试讨论当a 取不同的值时，圆心在抛物线C 上，与直线l 相切，且过点P 的圆的个数．解析：(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，代入y 2＝2px ，得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9p 4＝92，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程是y 2＝4x .(2)法一：由(1)知l ：x ＝－1，F (1,0)．∵所求圆的圆心在抛物线上，且与l 相切，则圆过焦点F ，又圆过点P ，∴圆心在PF 的中垂线上，设P (a,2－a )，则PF 的中点坐标为(a ＋12，2－a2)，当a ≠1，a ≠2时k PF ＝2－aa －1，∴PF 的中垂线方程为y ＝a －1a －2(x －a ＋12)＋2－a 2，化简得y ＝a －1a －2x ＋－2a 2＋4a －3a －①.圆的个数即中垂线与抛物线的交点个数，将x ＝y 24代入①得a －1a －y 2－y ＋－2a 2＋4a －3a －＝0，Δ＝1－4·a －1a －·－2a 2＋4a －3a －＝1＋a －a 2－4a ＋a －2＝a －2＋2a 3－6a 2＋7a －3a －2＝2a 3－4a 2－a ＋5a －2＝a ＋a 2－6a ＋a －2.∴当a ＝－1时，交点有1个，圆有1个； 当a ＜－1时，交点有0个，圆有0个；当a ＞－1，且a ≠1，a ≠2时，交点有2个，圆有2个．而当a ＝2时，易验证有2个交点，圆有2个；当a ＝1时，易知交点有1个，圆有1个．综上所述，当a ＜－1时，圆有0个； 当a ＝±1时，圆有1个；当a ＞－1，且a ≠1时，圆有2个．法二：设圆心Q (x 0，y 0)(y 20＝4x 0)，P (a,2－a )，由于准线l ：x ＝－1， 故若存在圆Q 满足条件，则r ＝|PQ |＝x 0－a2＋y 0＋a －2，且r ＝x 0＋1，∴(x 0－a )2＋(y 0＋a －2)2＝(x 0＋1)2，即a 2＋y 2＋2(a －2)y 0＋(a －2)2＝(2＋2a )x 0＋1＝(2＋2a )y 204－1，整理得(1－a )y 20＋(4a －8)y 0＋4a 2－8a ＋6＝0 (*)， 当a ＝1时，(*)式即－4y 0＋2＝0，有1个解．当a ≠1时，(*)式中Δ＝(4a －8)2－4(1－a )(4a 2－8a ＋6)＝16a 3－32a 2－8a ＋40＝8(a ＋1)(2a 2－6a ＋5)，∵2a 2－6a ＋5＝2(a －32)2＋12＞0，∴当a ＞－1且a ≠1时，Δ＞0，(*)式有2个解； 当a ＝－1时，Δ＝0，(*)式有1个解； 当a ＜－1时，Δ＜0，(*)式无解． 综上，当a ＜－1时，圆有0个； 当a ＝±1时，圆有1个；当a ＞－1，且a ≠1时，圆有2个．。
2019年高考数学二轮复习试题：专题五 第1讲 直线与圆(含解析)
第1讲 直线与圆选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B直线及其方程1,4,10两条直线的位置关系2,84,9,15点到直线的距离16圆的方程3,5,1413直线与圆、圆与6,9,11,15,162,6,11,12圆的位置关系圆的弦长131,5,10,14综合问题7,12,173,7,8,16巩固提高A一、选择题1.过点(2,1)且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是( A )(A)x=2(B)y=1(C)x=1(D)y=2解析:因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为,依题意,所求直线的倾斜角为-=,所以斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.2.(2017·金丽衢十二校)设两直线l1:(3+m)x+4y=5-3m与l2:2x+(5+m)y=8,则“l1∥l2”是“m<-1”的( A )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若l1∥l2,则(3+m)(5+m)=4×2,解得m=-7或m=-1,当m=-1时,两直线重合,当m=-7时l1∥l2,所以“l1∥l2”是“m<-1”的充分不必要条件.故选A.3.方程|y|-1=表示的曲线是( D )(A)一个椭圆(B)一个圆(C)两个圆(D)两个半圆解析:由题意知|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1) 2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆;当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆,选D.4.直线l过点P(-1,2)且与以点M(-3,-2),N(4,0)为端点的线段恒相交,则l的斜率取值范围是( D )(A)[-,5](B)[-,0)∪(0,2](C)(-∞,-)∪[5,+∞)(D)(-∞,-]∪[2,+∞)解析:如图,因为P(-1,2),M(-3,-2),N(4,0),所以k PM==2,k PN= =-.由图可知,使直线l与线段MN相交的l的斜率取值范围是(-∞,-]∪[2,+∞).故选D.5.抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A,B两点,其准线与x轴的交点为M,则过M,A,B三点的圆的标准方程是( D )(A)x2+y2=5 (B)(x-1)2+y2=1(C)(x-1)2+y2=2(D)(x-1)2+y2=4解析:由抛物线方程及题意知A(1,2),B(1,-2),M(-1,0),设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以解得从而所求方程为x2+y2-2x-3=0,即圆的标准方程为(x-1)2+y2=4.故选D.6.直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为( B )(A)(B)2 (C)(D)解析:由已知可得圆心到直线的距离为d=,所以|EF|=4,所以S△ECF=×4×=2.故选B.7.已知平面上两点A(-a,0),B(a,0)(a>0),若圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上存在点P,使得∠APB=90°,则a的取值范围是( C )(A)[3,6](B)[3,7](C)[4,6](D)[0,7]解析:因为圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C(3,4),半径r=1;设点P(m,n)在圆C上,则=(a+m,n),=(m-a,n);因为∠APB=90°,所以⊥,所以(m+a)(m-a)+n2=0,即a2=m2+n2,又|OP|=,|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4,所以a的取值范围是[4,6].故选C.8.已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为( C )(A)5(B)4(C)2(D)1解析:由题意得a2b+[-(a2+1)]=0,所以b=,所以|ab|=|a×|=|a+|=|a|+||≥2.当且仅当|a|=1时等号成立.故选C.二、填空题9.直线l:x=my+2与圆M:x2+2x+y2+2y=0相切,则m的值等于 .解析:圆心M(-1,-1),圆半径为.由直线与圆相切得d==,得m=-7或m=1.答案:-7或110.过点(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .解析:若直线过原点,则直线方程为3x+2y=0;若直线不过原点,则斜率为1,方程为y+3=x-2,即为x-y-5=0,故所求直线方程为3x+2y=0或x-y-5=0.答案:3x+2y=0或x-y-5=011.动直线l:y=kx-k+1(k∈R)经过的定点坐标为 ,若l和圆C:x2+y2=r2恒有公共点,则半径r的最小值是 .解析:当x=1时,y恒为1,故定点为(1,1),要直线和圆恒有公共点,则需(1,1)在圆内,即12+12≤r2,r≥.答案:(1,1) 12.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1) x+2的倾斜角α= .解析:由题意可知,圆的半径r==≤1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan α=-1,又α∈[0,π),故α=.答案:13.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a= .解析:两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y=,如图,由已知得|AC|=,|OA|=2,所以|OC|==1,所以a=1.答案:114.C的圆心在y轴正半轴上,且与x轴相切,被双曲线x2-=1的渐近线截得的弦长为,则圆C的方程为 .解析:依题意得,题中的双曲线的一条渐近线的斜率为,倾斜角为60°,结合图形(图略)可知,所求的圆C的圆心坐标是(0,1)、半径是1,因此其方程是x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=115.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是 .解析:当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,且另一个交点在第一象限,此时m=1;当直线与圆相切时,圆心到直线的距离d==1,解得m=(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<.答案:(1,)16.当正实数m变化时,斜率不为0的定直线始终与圆(x-2m)2+(y+m)2=m2相切,则直线的方程为 .解析:设定直线的方程为y=kx+b,则=m,即(3k2+4k)m2+2b(2k+1) m+b2=0,因为该等式对任意m>0成立,故3k2+4k=0,2b(2k+1)=0,b2=0,即k=-,b=0,则直线的方程为y=-x.答案:y=-x三、解答题17.已知点G(5,4),圆C1:(x-1)2+(y-4)2=25,过点G的动直线l与圆C1相交于E,F两点,线段EF的中点为C,且C在圆C2上.(1)若直线mx+ny-1=0(mn>0)经过点G,求mn的最大值;(2)求圆C2的方程;(3)若过点A(1,0)的直线l1与圆C2相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M.l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:|AM|·|AN|为定值.解:(1)因为点G(5,4)在直线mx+ny-1=0上,所以5m+4n=1,5m+4n≥2(当且仅当5m=4n时取等号),所以1≥80mn,即mn≤,所以(mn)max=.(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4),半径为5,设C(x,y),则=(x-1,y-4),=(5-x,4-y),由题设知·=0,所以(x-1)(5-x)+(y-4)(4-y)=0,即(x-3)2+(y-4)2=4,所以C2的方程是(x-3)2+(y-4)2=4.(3)证明:当直线l1的斜率不存在时,直线l1与圆C2相切,当直线l1的斜率为0时,直线l1与圆C2相离,故设直线l1的方程为kx-y-k=0(k≠0).由直线l1与圆C2相交,得<2,解得k>.由得N(,-),又直线C2M与l1垂直,由得M(,),所以|AM|·|AN|=·=··=6(定值).巩固提高B一、选择题1.若过点M(1,1)的直线l与圆(x-2)2+y2=4相交于两点A,B,且M为弦AB的中点,则|AB|为( A )(A)2 (B)4 (C) (D)2解析:圆心坐标为(2,0),半径为2,因为[]2+()2=22,所以|AB|=2.故选A.2.已知圆x2+y2=4与直线x+y-t=0,则“t=2”是“直线与圆相切”的( A )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由已知,令=2,所以t=±2.故选A.3.若圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最大值为( D )(A)-3(B)-3 (C)3(D)3解析:由已知得两圆外切,则|C1C2|=r1+r2,C1(-a,0),C2(0,b),所以a2+b2=9,因为()2≤,所以a+b≤3.故选D.4.已知点A在直线x+2y-1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0>x0+2,则的取值范围为( A )(A)(-,-)(B)(-∞,-](C)(-,-](D)(-,0)解析:设A(x1,y1),=k,则y0=kx0,因为AB的中点为P(x0,y0),所以B(2x0-x1,2y0-y1).因为A,B分别在直线x+2y-1=0和x+2y+3=0上,所以x1+2y1-1=0,2x0-x1+2(2y0-y1)+3=0,所以2x0+4y0+2=0,即x0+2y0+1=0.因为y0=kx0,所以x0+2kx0+1=0,即x0=-.又y0>x0+2,所以kx0>x0+2,即(k-1)x0>2,即(k-1)(-)>2,即<0,解得-<k<-.故选A.5.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1),以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点,则圆的方程为( D )(A)x2+y2=1(B)x2+y2=4(C)x2+y2=(D)x2+y2=1或x2+y2=37解析:如图所示,因为A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1).所以过A,C的直线方程为=,化为一般式为x+2y-4=0.点O到直线x+2y-4=0的距离d==>1,又|OA|==,|OB|==,|OC|==.所以以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点,则公共点为(0,-1)或(6,-1),所以圆的半径分别为1或,则圆的方程为x2+y2=1或x2+y2=37.6.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2与y轴在第二象限所围成区域的面积为S,直线y=2x+b分圆C的内部为两部分,其中一部分的面积也为S,则b等于( D )(A)(B)±(C)-(D)±解析:圆心(1,2)到y轴的距离为1,由题意知,圆心(1,2)到直线y=2x+b的距离也为1,即=1,解得b=±.故选D.7.已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果M,N关于直线x-y-1=0对称,那么△PAB面积的最大值是( C )(A)3-(B)4(C)3+(D)6解析:依题意得圆x2+y2+kx=0的圆心(-,0)位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2,直线AB的方程是+=1,即x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离等于=,点P到直线AB的距离的最大值是+1,所以△PAB面积的最大值为×2×=3+,故选C.8.过点P(-3,0)作直线2ax+(a+b)y+2b=0(a,b不同时为零)的垂线,垂足为M,已知点N(2,3),则当a,b变化时,|MN|的取值范围是( A )(A)[5-,5+](B)[5-,5](C)[5,5+](D)[0,5+]解析:直线2ax+(a+b)y+2b=0,整理为a(2x+y)+b(y+2)=0,从而可得直线过定点Q(1,-2),如图,∠PMQ=90°或者M与P,Q之一重合,PQ=2,故点M在以PQ为直径的圆上运动,设该圆的圆心为F,则线段MN确定的范围为|FN|-≤|MN|≤|FN|+,所以|MN|的取值范围是[5-,5+].故选A.二、填空题9.若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么+的最小值等于 .解析:设点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(a,b),则解得则(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(1-n,1+m),则1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2.于是+=(m+n)(+)=×(5++)≥×(5+2×2)=,当且仅当m=,n=时等号成立.答案:10.直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为 .解析:由l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴知,其必过圆心(-2,2),因此k=3,则过点A(0,k)斜率为1的直线m的方程为y=x+3,圆心到其距离d==,所以弦长等于2=2=.答案:11.已知圆C1:x2+y2=4和圆C2:(x-2)2+(y-2)2=4,若点P(a,b)(a>0,b>0)在两圆的公共弦上,则+的最小值为 .解析:由题意,两圆的方程相减,可得公共弦方程为x+y=2,因为点P(a,b)(a>0,b>0)在两圆的公共弦上,所以a+b=2,所以+=(+)(a+b)=(10++)≥(10+6)=8,当且仅当b=3a=时,取等号,+的最小值为8.答案:812.过x轴上一点P向圆C:x2+(y-2)2=1作切线,切点分别为A,B,则△PAB 面积的最小值是 .解析:因为圆的方程为x2+(y-2)2=1,所以圆心C(0,2),半径r为1,设点P(a,0),则|PC|=,|PA|=|PB|=,sin∠APB=2×=,所以S△PAB=|PA|·|PB|sin∠APB=,令=t,t≥,所以S△PAB==在[,+∞)上单调递增,所以当t=时,△PAB面积有最小值为.答案:13.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为 .解析:设所求圆的半径为r,依题意得,抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),则圆C的圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d==1,则r2=d2+()2=10,故圆C的方程为x2+(y-1)2=10.答案:x2+(y-1)2=1014.过点P(1,)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A和B,则弦长|AB|= .解析:如图所示,因为PA,PB分别为圆O:x2+y2=1的切线,所以OA⊥AP,|AB|=2|AC|.因为P(1,),O(0,0),所以|OP|==2,又因为|OA|=1,所以∠AOP=60°,所以|AB|=2|AC|=2|AO|sin ∠AOP=.答案:15.已知曲线-=1与直线y=2x+m有两个交点,则m的取值范围是 .解析:当x≥0,y≥0时,得曲线-=1.当x>0,y<0时,得曲线+=1.当x<0,y<0时,得曲线-+=1.当x<0,y>0时,得曲线--=1.得-=1的大致图象如图所示,当y=2x+m过(-2,0)时,m=4,过(2,0)时,m=-4,所以若有两个交点,可得m>4或m<-4.答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)三、解答题16.(2017·全国Ⅲ卷)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B 两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=.故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·==-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)解:由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为(,-),圆M的半径为,圆M的方程为(x-)2+(y+)2=.。
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限时集训（十四）直线与圆
基础过关
1.与直线2x+y-3=0平行,且距离为的直线的方程为()
A.2x+y+2=0
B.2x+y-8=0
C.2x+y+2=0或2x+y-8=0
D.2x+y-2=0或2x+y+8=0
2.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()
A.4
B.
C.D.
3.已知p:k=,q:直线y=kx+1(k∈R)与圆x2+y2+2y=0相切,则p是q的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.不论实数m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点()
A.1,-
B.(-2,0)
C.(2,3)
D.(9,-4)
5.圆x2+y2+4x-2y+a=0截直线x+y+5=0所得弦的长为2,则实数a=()
A.-4
B.-2
C.4
D.2
6.直线l经过点(0,-1),且通过第二、三、四象限,并与坐标轴围成的三角形的面积为2的直线方程为()
A.x+y+4=0
B.x+4y+4=0
C.4x+y+16=0
D.x+y-4=0
7.若点(5,b)在两条平行直线6x-8y+1=0与3x-4y+5=0之间,则整数b的值为()
A.5
B.-5
C.4
D.-4
8.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为()
A.2x+y-3=0
B.2x-y+3=0
C.x-2y-3=0
D.x-2y+3=0
9.若过点(2,0)有两条直线与圆x2+y2-2x+2y+m+1=0相切,则实数m的取值范围是.
10.若直线l:mx-y=1(m∈R),则直线l被圆x2+2x+y2-24=0截得的弦长的最小值为.
11.已知直线l平分圆(x+2)2+(y-1)2=4的面积,且原点O到直线l的距离为2,则直线l的方程为.
12.已知直线l:x+y=3与圆C:(x-a)2+(y-5)2=10(a∈R)交于A,B两点,圆C在点A,B处的切线l1,l2相交于点P-,,则四边形ACBP的面积为.
能力提升
13.设直线l:x+4y=2与圆C:x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的倾斜角分别为α,β,则cosα+cosβ=()
A.B.-
C.-
D.
14.已知圆O:x2+y2=1,若A,B是圆O上不同的两点,以AB为边作等边三角形ABC,则|OC|的最大值是()
A.B.
C.2
D.+1
15.已知直线x-2y+a=0(a∈R)与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),则“a=”是“·=0”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
16.从圆x2+y2=4内任意取一点P,则点P到直线x+y=1的距离小于的概率为.
17.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C有公共点,则实数k的最小值是.
18.已知AC,BD是圆x2+y2=4内互相垂直的两条弦,垂足为M(1,),四边形ABCD面积的最大值为m,最小值为n,则m-n的值为.
限时集训(十四)
基础过关
1.C[解析] 设与直线2x+y-3=0平行的直线的方程为2x+y+c=0,∵两平行直线之间的距离为,∴=,∴c=2或c=-8,∴与直线2x+y-3=0平行且距离为的直线的方程为2x+y+2=0或
2x+y-8=0,故选C.
2.D[解析] 把3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,则所求距离d==,故选D.
3.A[解析] 圆的标准方程为x2+(y+1)2=1,因为直线与圆相切,所以圆心(0,-1)到直线
kx-y+1=0(k∈R)的距离为1,即=1,解得k=±,据此可得p是q的充分不必要条件,故选A. 4.D[解析]∵直线方程为(m-1)x+(2m-1)y=m-5,
∴直线方程可化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0.∵不论实数m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点,∴解得故选D.
5.A[解析] 圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=5-a,a<5,所以圆心为(-2,1),r2=5-a.易知圆心到直线的距离d==2,因为弦长为2,所以2=2,解得a=-4,故选A.
6.B[解析]∵直线经过点(0,-1),且通过第二、三、四象限,∴直线的斜率小于0.设直线与x 轴的交点坐标是(a,0),且a<0,∵直线与坐标轴围成三角形的面积为
2,∴×(-a)×1=2,∴a=-4,
∴直线的方程为+=1,即x+4y+4=0,故选B.
7.C[解析] 设过点(5,b)且与两直线平行的直线的方程为3x-4y+c=0,则15-4b+c=0,
∴过点(5,b)且与两直线平行的直线的方程为3x-4y+4b-15=0,∴直线3x-4y+4b-15=0在y轴上的截距为.∵直线3x-4y+4b-15=0在两条平行直线之间,∴<<,∴<b<5,∵b是整数,∴b=4,故选C.
8.D[解析] 线段AB的中点为(1,2),k AB=-2,∴线段AB的垂直平分线为y-2=(x-1),
即x-2y+3=0.∵AC=BC,∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,
∴△ABC的欧拉线方程为x-2y+3=0,故选D.。