三角函数的证明与求值
4.4 三角函数的求值化简、和证明
2 tan
得 tan( ) 2 tan , tan( ) 1 又 0
4
,0
4
, 0
2
4
规律总结： 本例中,首先由 4 tan
2
1 tan
2
2
的形式
联想倍角公式,求得 tan ,再利用角的交换求
,0
, 且3sin sin
和2 的构造待求式 ，从而可求出 的一个三角函数值，再根据 、 的范 围求 的范围，从而确定角
2
的关系式可求出 的正切值，再根据
【解】
2 1 由4 tan 1 tan 得 tan 2 2 2 2 1 tan 2 由3sin[( ) ] sin[( ) ]
1 cos 20 求 sin10 (cot 5 tan 5 ) 的值. 2sin 20
2007年5月
3 答案: 2
黄冈中学网校达州分校
4 4 2 sin(2 ), 4 tan 1 tan , 求 的值 2 2
【思路分析】
由
【例3】 已知0
2007年5月 黄冈中学网校达州分校
sin 20 2sin 60 cos 20 2 cos 60 sin 20 cos 20
3.
规律总结： 给角求值（无条件求值）的关键是考虑角与 角之间的关系,构造特殊角,或者利用正负相抵消, 分子分母约去公因式等手段达到求值的目的. 变式训练2—1：
30师-三角函数的求值、化简与证明.
三角函数的求值、化简与证明编写教师：伍建明审稿教师：盛世红一、知识梳理1．在三角函数的求值、化简与证明中，除直接应用同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差、二倍角公式外，还要注意公式的变形形式：①，；②，；③，，.2．注意常用角的变形①，；②，；③.3．注意公式中1的妙用二、题型探究探究一：三角函数的求值问题例1已知,求的值.解：，∴ ，..例2在△中，，，求.解：，为锐角，.，，当为锐角时，，此时，；当为钝角时，，此时，，这与矛盾，不成立. 综上，.探究二：三角函数式的化简问题例3 化简.解：原式===.探究三：三角恒等式的证明例4已知求证：.证明：左边=，∵∴，∴.∴左边=，右边==左边，∴等式成立.三、方法提升化简、求值与证明就是对给定的三角函数式，通过适当的三角恒等变形，使之取较简单形式或求出值.三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式.因此，对一下三角公式在实现这种转化过程中的应用应有足够的了解：（1）同角三角函数基本关系-------------可实现函数名称的转化；（2）诱导公式及和、差角的三角函数-----------------可实现角的形式的转化；（3）倍角公式及其变形公式----------可实现三角函数式的升幂或降幂的转化，同时也可以完成角的形式的转化.四、反思感悟五、课时作业一、选择题1．的值为（ B ）（A）（B）（C）（D）2．化简的结果是（ A ）（A）（B）（C）（D）3．若（ C ）（A）（B）（C）-（D）4．已知函数，则（ B ）（A）（B）（C）（D）5．已知，那么（ C ）（A）（B）（C）（D）6．化简（ D ）（A）（B）（C）（D）7．已知，且，则（ D ）（A）（B）（C）（D）二、填空题8．.9．若，，则等于.10．已知，且，则的值是.11．在△中，已知，=，则的值为.三、解答题12．求值：.解：原式=.13.已知，，求的值.答案：.14．已知，，，求的值.解：∵ ，∴∵ ，∴，∴ ，∵ ，∴ ，又, ∴ ，∴ ，∴ ，∴ . ∴.。
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数化简求值的技巧
三角函数化简求值的技巧
一、三角函数的重要性质：
1、正弦函数sin x、余弦函数cos x、正切函数tanx和其逆函数的
关系：
sin x＝1/cos x，cos x＝1/sin x，tan x＝1/cot x，cot x＝1/tan x，cos x＝1/csc x，csc x＝1/cos x。
2、三角函数的基本性质：
sin2x＋cos2x＝1，sin2x＝2sin(x/2)cos(x/2)，cos2x＝cos2(x/2)
－sin2(x/2)，2sin xcos x＝sin2x＋cos2x＝2sin2(x/2)＝2cos2(x/2)。
3、三角函数的对称性：
sin(-x)＝-sin x，cos(-x)＝cos x，tan(-x)＝-tan x，cot(-x)＝-cot x，csc(-x)＝-csc x。
二、用三角函数化简求值的常用方法：
1、用公式和定义：
用三角函数的基本公式来把表达式中的各个项拆分开明确每个项的意义，然后把各个项的值累加求值。
2、用对称性：
对变量进行绝对值化，然后利用三角函数的对称性变换变量或表达式，从而达到化简的目的。
3、用反函数求值：
把表达式中的三角函数换成其对应的反函数，然后利用反函数的性质进行化简，获得原函数的表达式。
四、利用三角函数化简求值的实例：
例1：求Sin(60°)
解：
1、用公式求值：
可以用公式sin 2x＝2sin xcos x来求值。
概述初中数学三角函数值的计算方法
概述初中数学三角函数值的计算方法1三角函数求值的计算方法1.1利用三角函数的定义1.2 三角函数具有六种基本函数：正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y1.3 一些特殊的三角函数值：Sin=1/2; sin=;sin=Cos=;cos=;cos=1/2tan=;tan=1;tan=1.4 三角函数的基本展开公式：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos (A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos (A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2 三角函数求最值最近几年，高考三角函数的题型由原来的恒等式证明改为求值，常见题型有三种：给出一个比较简单的三角函数式的值，求一个比较复杂的三角函数式的值；考察三角变换问题；三角形中的求值问题。
解上述三种类型题应注重四点：要严格讨论角的范围；选择的公式与解题方向必须吻合；要熟悉变换方向；要掌握变换技巧。
三角函数的最值有以下几种求法：利用二次函数求最值，利用三角函数的有界性求最值，换元法求最值。
3 如何学好三角函数数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习等五类。
相应地，数学学法指导的实施亦需分别落实到这五类教学之中。
这里仅就例题教学中如何实施数学学法指导谈几点认识。
3.1根据学习目标和任务精选例题例题的作用是多方面的，最基本的莫过于理解知识、应用知识、巩固知识，莫过于训练数学技能、培养数学能力、发展数学观念。
三角函数求值公式
三角函数求值公式
哎呀，说起三角函数求值公式，这可真是让我这个小学生脑袋都大了一圈！
三角函数，就像是数学世界里的神秘小精灵，它们的求值公式更是像一道道难以破解的密码。
你想想，正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），它们就像是三个调皮的小伙伴，总是在各种数学问题里蹦跶，让我们去寻找它们的价值。
比如说，正弦函数的求值公式，sin A = 对边/ 斜边。
这就好像是我们分糖果，对边是我拿到的糖果数量，斜边是总的糖果数量，那我拿到的糖果占总糖果的比例不就是正弦值嘛！
还有余弦函数，cos A = 邻边/ 斜边。
这就好比是我和小伙伴们排队，邻边就是我旁边小伙伴的人数，斜边是整排的人数，那旁边小伙伴占整排人数的比例不就是余弦值嘛！
正切函数tan A = 对边/ 邻边，这又好像是我和朋友比赛跑步，对边是我跑的距离，邻边是朋友跑的距离，那我跑的距离和朋友跑的距离的比值不就是正切值嘛！
老师在课堂上讲这些的时候，我就拼命地想啊想，这到底是咋回事呢？我同桌小明也一脸懵，还悄悄跟我说：“这也太难懂啦！”我心里也直嘀咕：“可不是嘛，这咋比玩游戏还难！”
后来老师又举了好多例子，带着我们做了好多练习题，慢慢地，好像有点开窍了。
我发现，只要认真去琢磨，这些公式也不是那么可怕。
就像爬山一样，一开始觉得山好高好难爬，但是一步一步地往上走，总能看到更美的风景。
现在想想，三角函数求值公式虽然复杂，但只要我们用心去理解，多练习，也能把它们拿下！这不就跟我们做任何事情一样嘛，只要有决心，有耐心，就没有办不成的事儿！所以呀，别害怕这些公式，勇敢地去挑战它们，说不定会发现其中的乐趣呢！。
特殊三角函数求值计算公式
特殊三角函数求值计算公式三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理、工程等领域中都有着广泛的应用。
在三角函数中，除了常见的正弦、余弦、正切函数外，还有一些特殊的三角函数，比如反正弦、反余弦、反正切等。
这些特殊的三角函数在求解三角形的边长和角度时非常有用，同时也在物理学和工程学中有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍一些特殊三角函数的求值计算公式，以及它们的应用。
一、反正弦函数（arcsin）。
反正弦函数是正弦函数的反函数，它的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
反正弦函数的求值计算公式如下：arcsin(x) = sin^(-1)(x)。
其中，sin^(-1)表示反正弦函数，x为正弦函数的值。
反正弦函数在求解三角形的角度时非常有用。
例如，当我们知道一个直角三角形的斜边长和一个锐角的正弦值时，可以使用反正弦函数来求解这个角度。
二、反余弦函数（arccos）。
反余弦函数是余弦函数的反函数，它的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
反余弦函数的求值计算公式如下：arccos(x) = cos^(-1)(x)。
其中，cos^(-1)表示反余弦函数，x为余弦函数的值。
反余弦函数在求解三角形的角度时也非常有用。
例如，当我们知道一个直角三角形的斜边长和一个锐角的余弦值时，可以使用反余弦函数来求解这个角度。
三、反正切函数（arctan）。
反正切函数是正切函数的反函数，它的定义域为实数集，值域为(-π/2,π/2)。
反正切函数的求值计算公式如下：arctan(x) = tan^(-1)(x)。
其中，tan^(-1)表示反正切函数，x为正切函数的值。
反正切函数在求解三角形的角度时同样非常有用。
例如，当我们知道一个直角三角形的两条直角边的长度比时，可以使用反正切函数来求解这个角度。
除了在三角形的求解中，特殊三角函数还在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，反正弦函数常常用于求解杠杆的角度；在电路分析中，反正切函数常常用于求解交流电路中的相位差等。
三角函数求值的几种方法
三角函数求值的几种方法三角函数是数学中重要的一部分，它与圆的关系密切。
三角函数的求值是在给定一个角度时，计算其正弦、余弦、正切等函数值的过程。
本文将介绍三角函数求值的几种常见方法。
一、定义法三角函数的定义法是最基本的方法，它直接使用三角函数的定义公式进行计算。
例如，正弦函数的定义为sin(x) = b/c，其中b和c分别为角x所对应直角三角形的对边和斜边的长度。
通过观察角度对应的三角形特点，可以求出函数值。
二、图表法三角函数图表法是通过查阅三角函数表格，根据给定的角度，在表格中查找对应的函数值。
例如，可以查阅三角函数表格得到30°的正弦函数值为0.5三、计算器法计算器法是利用现代科技设备来进行三角函数求值的方法。
几乎所有的计算器都内置了三角函数求值功能，只需输入角度值，即可得到相应的函数值。
四、迭代法迭代法是一种数值计算方法，通过连续迭代计算来逼近精确解。
使用迭代法计算三角函数值时，可以使用泰勒级数展开式或欧拉公式来逼近函数值。
例如，sin(x)可以展开为无穷级数：sin(x) = x - x^3/3! +x^5/5! - x^7/7! + ...，通过截取有限项和进行计算，可以得到近似的函数值。
五、差值法差值法是一种数值逼近方法，通过已知点的函数值来估计其它点的函数值。
三角函数的差值法是利用已知的函数值，通过插值公式逼近所求函数值。
例如，当已知sin(30°) = 0.5，sin(45°) = 0.7071时，可以使用线性插值的方法来估计sin(40°)的值。
六、三角恒等式法三角函数有很多恒等式，可以用于简化三角函数的计算。
例如，利用和差角公式sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，可以将复杂角度的三角函数值转化为已知角度的三角函数值来计算。
总结：本文介绍了三角函数求值的几种常见方法，包括定义法、图表法、计算器法、迭代法、差值法和三角恒等式法。
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三角函数的证明与求值（高三第一轮练习）
一.选择题
(1)sin600°的值是 ( )
A
21 B -2
1
C 23 D-23
(2)已知sin α=54
, 并且α是第二象限角, 那么tan α的值为 ( )
A -34
B -43
C 43
D 3
4
(3)sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是 ( )
A
41 B 23 C 21 D 43
(4)若函数f(x)=3sin 21x, x ∈[0, 3
π
], 则函数f(x)的最大值是 ( )
A 21
B 3
2
C 22
D 23
(5) 10sin 1+等于 ( )
A cos5+sin5
B - cos5-sin5
C 2cos5
D cos5-sin5 (6)sin15°cos30°sin75°的值等于 ( )
A
43 B 83 C 81 D 4
1
(7)(1+tan25°)(1+tan20°)的值是 ( ) A -2 B 2 C 1 D -1
(8)已知sin θ- cos θ=
2
1
, 则sin 3θ- cos 3θ的值为 ( ) A 167 B -1611 C 1611 D -167
(9)若cos θ=
41, 则12cos θ²cos(3π+θ)cos(3π
-θ)的值是 ( ) A 43 B 41 C -41
D -4
3
(10)设α、β是一个钝角三角形的两个锐角, 下列四个不等式中不正确的是 ( )
A tan αtan β<1
B sin α+sin β<2
C cos α+cos β>1 D
21tan(α+β)<tan 2
β
α+ 二.填空题
(11)函数f(x)=cos2x-23sinxcosx 的最小正周期是 . (12)已知θ是第三象限角, 且sin 4θ+ cos 4θ=9
5
, 那么sin2θ= . (13)
10
cos 3
10sin 1-的值为 .
(14) cos 275°+ cos 215°+ cos75°cos15°的值等于 . 三.解答题 (15)求sin 220°-sin 225°sin20°+cos 250+cos 225°sin20°的值.
(16) （已知),2
,4(,41)24sin()24sin(
π
πππ
∈=-⋅+a a a 求1cot tan sin 22
--+a a a 的值.
(17) 在△ABC 中，sinA+cosA=2
2
，AC=2，AB=3，求tgA 的值和△ABC 的面积.
(18)设关于x 的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β. (Ⅰ)求α的取值范围; (Ⅱ)求tan(α+β)的值.
参考答案
一选择题: 1.B 2.A 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B 8.C 9.A 10.D 二填空题: 11.π, 12.
322, 13. 4, 14. 4
5
. 三解答题(15)解:原式=sin 220°+sin20°(cos 225°-sin 225°)+cos 250°=sin 220°+sin20°cos50°
+cos 250°=21(1- cos40°)+ 21(1+ cos100°)+ 21( sin70°-sin30°)=43+ 2
1
( cos100° - cos40°+sin70°)= 43+ 21(-2 sin70°sin30°+sin70°)= 4
3
.
(16) 解: 由)24sin()24sin(
a a -⋅+ππ= )24
cos()24sin(a a +⋅+π
π =,414cos 21)42sin(21==+a a π得.214cos =a 又)2,4(ππ∈a ,所以12
5π=a . 于是α
αααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222
-+-=-+-=--+
==)6
5cot 265(cos π
π+-=325)3223(=--- (17)解：∵sinA+cosA=2cos(A －45°)=22， ∴cos(A －45°)= 2
1
.
又0°<A<180°, ∴A －45°=60°，A=105°. ∴tgA=tg(45°+60°)=3
13
1-+=－2－3.
∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=4
6
2+. ∴S ABC =
21AC ²AbsinA=21
·2²3²462+=43(2+6).
(18)解: (Ⅰ)∵sinx+3cosx=2(21sinx+23cosx)=2 sin(x+3π), ∴方程化为sin(x+3
π
)=
-2a . ∵方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解, ∴sin(x+3π)≠sin 3π
=2
3 . 又sin(x+3
π
)≠±1 (∵当等于23和±1时仅有一解), ∴|-2a |<1 . 且-2a ≠23. 即|a |<2
且a ≠-3. ∴ a 的取值范围是(-2, -3)∪(-3, 2). (Ⅱ) ∵α、 β是方程的相
异解, ∴sin α+3cos α+a=0 ①. sin β+3cos β+a=0 ②. ①-②得(sin α- sin β)+3( cos α- cos β)=0. ∴ 2sin
2
β
α-cos
2
β
α+-23sin
2
β
α+
sin
2
β
α-=0, 又sin
2
β
α+≠0, ∴tan
2
β
α+=
3
3
. ∴tan(α+β)=2
tan
22
tan
22β
αβ
α+-+=3.。