2014届高考数学(文)一轮练之乐：选修4-5-3几个重要不等式
2021届高考数学一轮练之乐：选修4-5-3几个重要不等式
2021届高考数学一轮练之乐：选修4-5-3几个重要不等式一、选择题1．a、b为非零实数，a＋b＝1，x1，x2∈R＋，M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)，N＝x1x2，则M和N的关系( )A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 答案：A2．已知a、b∈R＋，且a＋b＝1，则4a＋1＋4b＋1的最大值是( ) A．26 B．23 C.6 D．12 答案：B3．已知x，y为实数，且满足3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为( ) A．6 B.6 C．11 D.11 答案：D4．已知x＋y＋z＝1，则μ＝2x2＋3y2＋z2的最小值为( )6A．1 B．6 C．11 D.11答案：D5．设a1、a2、…、an都是正数，b1、b2、…、bn是a1、a2、…、an的任一排列，则a1b1－1＋a2b2－1＋…＋anbn－1的最小值是( ) A．1 B．nC．n2 D．无法确定答案：B6．设a、b、c为正数，且a＋2b＋3c＝13，则3a＋2b＋c的最大值为( ) 16913133A.B. C. D.13 333答案：C 二、填空题7．若a1－b2＋b1－a2＝1，则a2＋b2＝__________. 答案：18．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是__________．答案：a≥4或a≤－2a21a22a220219．设a1，a2，…，a2021都为正数，且a1＋a2＋…＋a2021＝1，则＋＋…＋2＋a12＋a22＋a2021的最小值是__________．1答案： 4023三、解答题10．求函数y＝1－x＋4＋2x的最大值．解析：因为y2＝(1－x＋2・2＋x)2≤[12＋(2)2][1－x＋2＋x]＝3×3，∴y≤3，当且仅当12＝时取“＝”号，即当x＝0时，ymax＝3. 1－x2＋x11．已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a＞0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．解析：由柯西不等式知：?1?2＋?1?2?≥?x＋1×2y＋1×3z?2(当且仅当x＝4y＝9z时取等号)． [x2＋(2y)2＋(3z)2]?12＋3???2??3???2因为x2＋4y2＋9z2＝a(a＞0)，497a7a所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.36667a36因为x＋y＋z的最大值是1，所以＝1，a＝，6493694所以当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值1，49494936所以a的值为.491112．已知a，b，c为实数，且a＋b＋c＝2m－2，a2＋b2＋c2＝1－m.4911a＋b＋c?2(1)求证：a2＋b2＋c2≥；4914(2)求实数m的取值范围．1?1b2＋?c?2](12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2，即解析：(1)证明：由柯西不等式得：[a2＋??2??3??a2＋1b2＋1c2?・14≥(a＋b＋c)2，所以a2＋1b2＋1c2≥a＋b＋c?2，当且仅当|a|＝1|b|＝1|c|时，49??491449取等号．(2)由已知得(a＋b＋c)2＝(2m－2)2，结合(1)的结论可得：14(1－m)≥(2m－2)2，即2m2＋3m5115－5≤0，所以－≤m≤1，又a2＋b2＋c2＝1－m≥0，所以m≤1，故m的取值范围为－≤m≤1.2492感谢您的阅读，祝您生活愉快。
湘教版高中数学选修4-5：不等式选讲-第5章 三个重要不等式 复习课件
谢谢
专题二：利用柯西不等式求最值。
• [考情分析] • 柯西不等式是除平均值不等式外求解含多个变量式
子最值的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一 工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进 行配凑，以保证出现常数结果。高考一般在选考题 中考查。
[高考冲浪]
1．设 x，y，z∈R，且满足 x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝ 14，
解析：由柯西不等式，得 (a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥ (a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36 ∴a2＋4b2＋9c2≥12.故a2＋4b2＋9c2的最小值为12 答案：12
3．已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c 的最 小值为 4.
（1）求 a＋b＋c 的值． （2）求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)．① 同理可证b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．② 综合①②，原不等式成立．
（2）由题设及（1），知 a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)． 由排序不等式，得
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ab(b＋c－a) ＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c －b)＋ca(a－c)，①
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ac(b＋c－a)＋ ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b) ＋cb(b－c)．②
将①和②相加再除以2，得
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.
专题四：贝努利不等式的应用。
∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立， ∴f(x)的最小值等于3，即a＝3. （2）证明：由(1)知p＋q＋r＝3， 又∵p，q，r是正实数， ∴(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9， 即p2＋q2＋r2≥3.
2014高考数学(文)二轮专题复习与测试练习题：选修4-5不等式选讲(全国卷)含解析
选修4－5不等式选讲1．(2013·江苏卷)已知a≥b〉0,求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.2．（2013·福建卷）设不等式|x－2|<a（a∈N*）的解集为A，且错误!∈A，错误!∉A.（1)求a的值;（2)求函数f(x）＝｜x＋a｜＋｜x－2|的最小值．3．设函数f（x)＝|x－1｜＋|x－2|。
（1)画出函数y＝f(x）的图象；(2）若不等式|a＋b｜＋|a－b｜≥｜a|f（x）(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．4．(2013·昆明市调研测试）已知函数f(x)＝｜x＋3|＋|x－a|(a>0)．（1)当a＝4时，已知f（x）＝7，求x的取值范围；(2)若f(x）≥6的解集为{x｜x≤－4或x≥2}，求a的值．5．已知a，b为正实数．(1)求证：错误!＋错误!≥a＋b；(2)利用（1)的结论求函数y＝错误!＋错误!（0〈x〈1）的最小值．6．已知函数f(x)＝2错误!＋错误!.（1)求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；(2)若关于x的不等式f（x)≤｜m－2｜恒成立，求实数m的取值范围．7．（2013·全国卷Ⅰ）已知函数f（x)＝|2x－1｜＋|2x＋a｜，g(x）＝x＋3。
(1)当a＝－2时，求不等式f（x）<g(x)的解集；(2)设a>－1时,且当x∈错误!时，f(x）≤g(x）,求a的取值范围．8．已知函数f(x）和g（x)的图象关于原点对称，且f（x)＝x2＋2x.（1）解关于x的不等式g(x）≥f(x)－|x－1｜；(2)如果对∀x∈R，不等式g(x)＋c≤f(x)－|x－1｜恒成立，求实数c的取值范围．9．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤错误!＋错误!＋xy;（2）1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c。
2014届高三数学高考一轮复习数学（人教A版·理）【配套训练】选修4-5不等式选讲
2014届高三数学高考一轮复习数学（人教A版·理）【配套训练】选修4-5不等式选讲不等式选讲第1讲含有绝对值的不等式及其解法、证明不等式的基本方法1.不等式|2x-1|<3的解集为.【答案】{x|-1<x<2}< p="">【解析】(1)当2x-1≥0,即x≥时,不等式变为2x-1<3,即x<2,所以≤x<2;(2)当2x-1<0,即x<时,不等式变为-(2x-1)<3,即x>-1,所以-1<x<.< p="">综上,原不等式的解集为={x|-1<x<2}.< p="">2.(2012·江西卷,15(2))在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为.【答案】3.若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是.【答案】(-∞,3]【解析】(方法一)∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴使原不等式恒成立的a的取值范围是a≤3.(方法二)∵|x+1|+|x-2|表示数轴上一点A(x)到B(-1)与C(2)的距离之和,而|B C|=3,∴|AB|+|AC|≥3.故a≤3.(方法三)设f(x)=|x+1|+|x-2|=作出函数f(x)的图象如图所示,由图易知f(x)≥3.故a≤3.4.不等式|x-x2-2|>x2-3x-4的解集是.【答案】{x|x>-3}【解析】∵|x-x2-2|=|x2-x+2|,而x2-x+2>0恒成立,∴原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4,即2x>-6,x>-3.故原不等式的解集为{x|x>-3}.5.如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|-1【解析】a>(|x-3|-|x-4|)min,令y=|x-3|-|x-4|,由几何意义得-1≤y≤1,故a>-1.6.若不等式>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是. 【答案】(1,3)【解析】∵≥2,∴|a-2|+1<2,即|a-2|<1,解得1<a<3.< p="">7.已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B=,则集合A∩B=.【答案】{x|-2≤x≤5}【解析】解不等式|x+3|+|x-4|≤9.(1)当x<-3时,|x+3|+|x-4|=-x-3+4-x≤9,则x≥-4,即-4≤x<-3;(2)当-3≤x≤4时,|x+3|+|x-4|=x+3+4-x≤9恒成立,则-3≤x≤4;(3)当x>4时,|x+3|+|x-4|=x+3+x-4≤9,则x≤5,即4<x≤5.< p="">综上所述,A={x∈R|-4≤x≤5}.∵t∈(0,+∞),∴x=4t+-6≥2-6=-2,当且仅当t=时等号成立.于是B={x∈R|x≥-2}. 故A∩B={x∈R|-4≤x≤5}∩{x∈R|x≥-2}={x∈R|-2≤x≤5}.8.解不等式x+|2x-1|<3.【解】原不等式可化为或解之可得≤x<或-2<x<.< p="">故原不等式的解集是.9.(2012·江苏卷,21D)已知实数x,y满足:|x+y|<,|2x-y|<,求证:|y|<.【证明】因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|<,|2x-y|<,从而3|y|<+=,所以|y|<.10.若n∈N+,n≥2,求证:-<++…+<1-.【证明】∵++…+>++…+=++…+=-,又++…+<++…+=++…+=1-,∴-<++…+<1-.11.若x,y∈{x|x>0,且x+y>2},求证:<2和<2中至少有一个成立.【证明】假设<2和<2都不成立,则有≥2,≥2同时成立.∵x>0,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x同时成立.两式相加,得2+x+y≥2x+2y,即x+y≤2.这与条件x+y>2相矛盾.因此,<2和<2中至少有一个成立.12.(2012·辽宁卷,24)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}.(1)求a的值;(2)若≤k恒成立,求k的取值范围.【解】(1)由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},所以当a≤0时,不合题意.当a>0时,-≤x≤,得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f,则h(x)=从而可知|h(x)|≤1,因此k≥1.拓展延伸13.(2012·课标全国卷,24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围. 【解】(1)当a=-3时,f(x)=当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;< p="">当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;综上,可知f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|4-x-(2-x)≥|x+a|-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].</x<3时,f(x)≥3无解;<></x<.<></x≤5.<></a<3.<></x<2}.<></x<.<></x<2}<>。
(湖南专用)2014届高考数学一轮复习选考部分选修4—5《不等式》选讲学案理
选修4—5 不等式选讲考纲要求1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|a ＋b |≤|a |＋|b |；(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≥c .3．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．1．含____________的不等式叫作绝对值不等式．2．解含有绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)分段讨论：根据|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ，－f x ，f x去掉绝对值符号．(2)利用等价不等式：|ax ＋b |≤c (c ＞0) ________； |ax ＋b |≥c (c ＞0) ___ _______.(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数．．．，再平方，从而去掉绝对值符号．3．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当______时，等号成立． 4．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当__________时，等号成立．5．|x －a |的几何意义：数轴上表示数x 与a 的两点间的______．6．形如|x －a |＋|x －b |≥c (a ≠b )与|x －a |＋|x －b |≤c (a ≠b )的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义； (2)零点分区间讨论法；(3)构造分段函数，结合函数图像求解．7．重要绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤________. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件，即 |a ＋b |＝|a |＋|b |ab ≥0； |a －b |＝|a |＋|b |ab ≤0；|a |－|b |＝|a ＋b |b (a ＋b )≤0； |a |－|b |＝|a －b |b (a －b )≥0；注：|a |－|b |＝|a ＋b ||a |＝|a ＋b |＋|b ||(a ＋b )－b |＝|a ＋b |＋|b |b (a ＋b )≤0. 同理可得|a |－|b |＝|a －b |b (a －b )≥0.1．(2012天津高考)集合A ＝{ x ∈R |}|x －2|≤5中的最小整数为__________． 2．若存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |＜5，则实数m 的取值范围为__________．3．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)．若不等式f (x )≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则a 的值为__________．4．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＞|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是__________．5．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|，f (x )＞2的解集为__________；若不等式a ＞f (x )有解，则实数a 的取值范围是__________．一、含有一个绝对值的不等式的解法【例1】已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则a ＝__________；若⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，则k 的取值范围是__________． 方法提炼1．解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号．对于只含有一个绝对值的不等式，可先将其转化成形如|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 的形式，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)求解；也可利用绝对值的几何意义或函数图像法求解．2．已知不等式的解集求字母的值，可先用字母表示解集，再与原解集对比即得字母的值． 请做演练巩固提升1二、含有两个绝对值的不等式的解法【例2】 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，若a ＝－1，则不等式f (x )≥3的解集为__________；若f (x )≥2，则a 的取值范围是__________．方法提炼1．解含两个绝对值符号的不等式，可先将其转化为|x －a |＋|x －b |≥c 的形式，对于这种绝对值符号里是一次式的不等式，一般有三种解法，分别是“零点划分法”“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图像法”．此外，有时还可采用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用．2．绝对值不等式|x －a |≥c (c ＞0)表示数轴上到点a 的距离不小于c 的点的集合；反之，绝对值|x －a |＜c (c ＞0)表示数轴上到点a 的距离小于c 的点的集合．3．“零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n 个根把数轴分为n ＋1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．请做演练巩固提升2三、利用绝对值的几何意义或含绝对值的函数图像解不等式【例3】 已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|，则不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为_______．方法提炼1．不等式|x －a |＋|x －b |≥c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和不小于c 的点的集合；反之，不等式|x －a |＋|x －b |＜c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和小于c 的点的集合．2．构造形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |的函数，通过去掉绝对值，将其转化成分段函数，利用其图像求解不等式，体现了函数与方程的思想．请做演练巩固提升3等价转化思想在解含绝对值不等式中的应用【典例】 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，不等式f (x )≥3的解集为__________；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，则a 的取值范围为__________．解析：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4||x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | 4－x －(2－x )≥|x ＋a |－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．答案：(1){x|x≤1或x≥4}(2)[－3,0]答题指导：1.本题第(1)问较简单，一般用零点划分法就可以转化，第(2)问容易犯直接求解f(x)≤|x－4|的解集的错误，应该是利用[1,2]是其解集而将绝对值先去掉再转化为[1,2] [－2－a,2－a]这一问题，注意不要弄反．2．等价转化思想在数学中是一重要的数学思想方法之一，应用其思想的关键是强调“等价”两字，转化的目的是使问题简单化．1．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若AB，则实数a，b满足的绝对值不等式是__________．2．(2012陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是______________．3．对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．4．设不等式|2x－1|＜1的解集为M，则集合M＝__________，若a，b∈M，则ab＋1与a ＋b的大小关系是__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．绝对值符号2．(2)－c ≤ax ＋b ≤c ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c 3．ab ≥04．(a －b )(b －c )≥0 5．距离 7．|a |＋|b | 基础自测1．－3 解析：∵|x －2|≤5， ∴－5≤x －2≤5，∴－3≤x ≤7，∴集合A 中的最小整数为－3.2．(－2,8) 解析：存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |＜5 (|x －3|＋|x －m |)min ＜5，即|m －3|＜5，解得－2＜m ＜8.3．2 解析：由题意，知f (－2)＝f (3)＝5，即1＋|2＋a |＝4＋|3－a |＝5，解得a ＝2.4．(1,3) 解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1＜2，即|a －2|＜1，解得1＜a ＜3.5.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－7或x >53 a ＞－92解析：原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－(2x ＋1)＋(x －4)>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x ≤4，(2x ＋1)＋(x －4)>2或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，(2x ＋1)－(x －4)>2.解得x ＜－7或53＜x ≤4或x ＞4.所以原不等式的解集为{x |x ＜－7或x ＞53}．由题意知a ＞f (x )min ，又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ≤－12，3x －3，－12<x ≤4，x ＋5，x >4.所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－92. 所以a ＞－92.考点探究突破【例1】 2 k ≥1 解析：由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1. 【例2】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析：当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，(方法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32.(方法二)不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≥3.所以不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32.若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件； 若a ＜1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a ＞1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a .f (x )的最小值为a －1.所以对于任意的x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．【例3】 {x |x ＜5} 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x >8.图像如下：不等式|x －8|－|x －4|＞2，即f (x )＞2，由－2x ＋12＝2得x ＝5.由函数f (x )的图像可知，原不等式的解集为{x |x ＜5}． 演练巩固提升1．|a －b |≥3 解析：由题意可得集合A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}，集合B ＝{x |x ＜b －2，或x ＞b ＋2}，又因为AB ，所以有a ＋1≤b －2，或b ＋2≤a －1，即a －b ≤－3，或a －b ≥3，即|a －b |≥3.2．－2≤a ≤4 解析：由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点x 到a 点与1点的距离的和小于等于3.由图可得－2≤a ≤4.3．{x |x ≥0} 解析：令y ＝|x ＋10|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－12， x ≤－10，2x ＋8，－10<x <2，12， x ≥2.则可画出其函数图像如图所示：由图像可以观察出使y ≥8的x 的取值范围为[0，＋∞)． ∴|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为{x |x ≥0}． 4．{x |0＜x ＜1} ab ＋1＞a ＋b解析：由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1. 所以M ＝{x |0＜x ＜1}．由a ，b ∈M ，得0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0. 故ab ＋1＞a ＋b .。
高中数学高考高三理科一轮复习资料选修4-5-3 几个重要不等式
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.平均值不等式 a1，a2，„an∈R＋ a1＋a2＋„＋an 1 ≥①________________≥ 1 1 n 1. ＋ ＋„＋ a1 a2 an 2．贝努利不等式 若 x∈R，且 x＞－1，x≠0，n＞1，n∈N，则(1＋x)n＞1 ＋②__________.
5．排序不等式(排序原理) 设 a1≤a2≤„≤an， b1≤b2≤„≤bn 为两组实数， c1， c2， „， cn 是 b1 ， b2 ，„， bn 的任一排列，则 ⑰ ____________≤ ⑱ ______________≤⑲_____________， 当且仅当⑳________时， 21 __________≤ ○ 22 反序和等于顺序和，此不等式简记为○ 23__________. __________≤○
说考点
3．柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式 ①代数形式 若 a， b， c， d 都是实数， 则(a2＋b2)(c2＋d2)≥③__________， 当且仅当④__________时，等号成立． ②向量形式 设 α，β 是两个向量，则|α·β|≤⑤__________，当且仅当⑥ __________，或⑦__________时，等号成立． ③三角形式 2 2 2 设 x1 ， y1 ， x2 ， y2 ∈ R ， 那 么 x1 ＋y2 ＋ x ＋ y 1 2 2 ≥ x1－x22＋y1－y22.
(2)三维形式的柯西不等式 2 2 2 2 2 设 a1， a2， a3， b1， b2 ， b3∈R， 则(a1 ＋a2 ＋ a )( b ＋ b ＋ b 2 3 1 2 3) ≥ ⑧ ________________. 当 且 仅 当 ⑨ ____________ 或 ⑩ ______________________时，等号成立． (3)一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，„，an，b1，b2，b3，„，bn 是实数，则(a2 1 2 2 2 2 2 2 ＋a2 2 ＋ a 3 ＋ „ ＋ a n )(b 1 ＋ b 2 ＋ b 3 ＋ „ ＋ b n )≥ ⑪ __________________________ ， 当 且 仅 当 ⑫ __________________或⑬__________________________时， 等 号成立．
高考数学选修4-5复习《几个重要不等式》
【证明】 由于不等式关于 a，b，c 对称，可设 a≥b≥c>0. 于是 a2≥b2≥c2，1c≥1b≥1a. 由排序不等式，得 a2·1a＋b2·1b＋c2·1c(逆序和)≤a2·1b＋b2·1c＋c2·1a(乱序和)， 及 a2·1a＋b2·1b＋c2·1c≤a2·1c＋b2·1a＋c2·1b. 以上两个同向不等式相加再除以 2，即得原式中的不等 式.
应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构 造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观 察分析，再给出适当的数组．
已知 a，b，c 为正实数，求证： a＋b＋c≤a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2. 【思路点拨】 应先将 a，b，c 三个数不失一般性地规 定为 a≥b≥c>0，以便构造数组来证题．
柯西不等式的应用
柯西不等式形式优美，结构易证，因此在解题时，根据 题目特征，灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．
已知 a，b，c 是实数，且 a＋b＋c＝1，求证： 13a＋1＋ 13b＋1＋ 13c＋1≤4 3.
【证明】 因为 a，b，c 是实数，且 a＋b＋c＝1，令 m＝( 13a＋1， 13b＋1， 13c＋1)，n＝(1,1,1)． 则|m·n|2＝( 13a＋1＋ 13b＋1＋ 13c＋1)2， |m|2·|n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)] ＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48. ∵|m·n|2≤|m|2·|n|2， ∴( 13a＋1＋ 13b＋1＋ 13c＋1)2≤48. ∴ 13a＋1＋ 13b＋1＋ 13c＋1≤4 3.
因为 x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，
所以4396a≥(x＋y＋z)2，
即－7
6
a≤x＋y＋z≤7 6
【优化指导】2014高考数学总复习 第3节 三个重要的不等式课时演练 新人教A版选修4-5
活页作业三个重要的不等式一、选择题1．设a，b∈R，若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为( )A．2 B．3C．4 D．53．函数y＝3x－5＋46－x的最大值为( )A．3 B．4 C．5 D．6解析：函数的定义域为[5,6]，且y>0，故y＝3x－5＋46－x≤32＋42×x－52＋6－x2＝5，所以y max＝5.答案：C4．x，y∈R，且x2＋y2＝10，则2x－y的取值范围为( )A．[－52，52] B．(－52，52)C．(－∞，52] D．(52，＋∞)解析：∵(x2＋y2)[22＋(－1)2]≥(2x－y)2，∴－52≤2x－y≤5 2.答案：A5．已知a＞0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是( )A．M≥N B．M＞NC．M≤N D．M<N解析：取两组数：a ，a ＋1，a ＋2与a 2，(a ＋1)2，(a ＋2)2，显然a 3＋(a ＋1)3＋(a ＋2)3是顺序和；而a 2(a ＋1)＋(a ＋1)2(a ＋2)＋a (a ＋2)2是乱序和，由排序不等式易知此题中，“顺序和”大于“乱序和”．故应选B.答案：B6．已知x ＋y ＋z ＝1，则μ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．11D.611二、填空题7．已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x 、y 、z ，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．解析：由三角形面积相等知：12(x ＋y ＋z )×23＝12×23×3⇒x ＋y ＋z ＝3， 由柯西不等式知：(x 2＋y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋y ＋z )2＝9⇒x 2＋y 2＋z 2≥3，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号． 答案：38．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，则3x ＋2y ＋z 的最小值为________．解析：∵(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132]≥⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2，当且仅当x ＝3y ＝9z 时等号成立． ∴(3x ＋2y ＋z )2≤12，11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，比较a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小．解：由a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的对称性，不妨设a≥b≥c>0，有a2≥b2≥c2>0，显然a3＋b3＋c3是顺序和，a2b＋b2c＋c2a是乱序和，所以a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.12.等腰直角三角形AOB的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及取到最小值时P的位置．。
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一、选择题
1．a 、b 为非零实数，a ＋b ＝1，x1，x2∈R ＋，M ＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)，N ＝x1x2，则M 和N 的关系( )
A ．M ≥N
B ．M ＞N
C ．M ≤N
D ．M ＜N
答案：A
2．已知a 、b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则4a ＋1＋4b ＋1的最大值是( )
A ．2 6
B ．2 3 C. 6 D ．12
答案：B
3．已知x ，y 为实数，且满足3x2＋2y2≤6，则2x ＋y 的最大值为( )
A ．6 B. 6 C ．11 D.11
答案：D
4．已知x ＋y ＋z ＝1，则μ＝2x2＋3y2＋z2的最小值为( )
A ．1
B ．6
C ．11 D.611
答案：D
5．设a1、a2、…、an 都是正数，b1、b2、…、bn 是a1、a2、…、an 的任一排列，则a1b －11＋a2b －12＋…＋anb －1n 的最小值是( )
A ．1
B ．n
C ．n2
D ．无法确定
答案：B
6．设a 、b 、c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为( )
A.1693
B.133
C.1333
D.13 答案：C 二、填空题
7．若a 1－b2＋b 1－a2＝1，则a2＋b2＝__________.
答案：1
8．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋2z ，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x 、y 、z 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
答案：a ≥4或a ≤－2
9．设a1，a2，…，a2011都为正数，且a1＋a2＋…＋a2011＝1，则a212＋a1＋a222＋a2＋…＋a220112＋a2011
的最小值是__________．
答案：14023
三、解答题
10．求函数y ＝1－x ＋4＋2x 的最大值．
解析：因为y2＝(1－x ＋2·2＋x)2≤[12＋(2)2][1－x ＋2＋x]＝3×3，∴y ≤3，当且仅当11－x ＝22＋x
时取“＝”号，即当x ＝0时，ymax ＝3. 11．已知实数x 、y 、z 满足x2＋4y2＋9z2＝a(a ＞0)，且x ＋y ＋z 的最大值是1，求a 的值．
解析：由柯西不等式知：
[x2＋(2y)2＋(3z)2]⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫132≥⎝⎛⎭⎫x ＋12
×2y ＋13×3z 2(当且仅当x ＝4y ＝9z 时取等号)． 因为x2＋4y2＋9z2＝a(a ＞0)，
所以4936a ≥(x ＋y ＋z)2，即－7a 6≤x ＋y ＋z ≤7a 6
. 因为x ＋y ＋z 的最大值是1，所以7a 6＝1，a ＝3649
， 所以当x ＝3649，y ＝949，z ＝449
时，x ＋y ＋z 取最大值1， 所以a 的值为3649
. 12．已知a ，b ，c 为实数，且a ＋b ＋c ＝2m －2，a2＋14b2＋19
c2＝1－m. (1)求证：a2＋14b2＋19c2≥a ＋b ＋c 214
； (2)求实数m 的取值范围．
解析：(1)证明：由柯西不等式得：[a2＋⎝⎛⎭⎫12b 2＋⎝⎛⎭⎫13c 2](12＋22＋32)≥(a ＋b ＋c)2，即⎝⎛⎭⎫a2＋14b2＋19c2·14≥(a ＋b ＋c)2，所以a2＋14b2＋19c2≥a ＋b ＋c 214，当且仅当|a|＝14|b|＝19
|c|时，取等号．
(2)由已知得(a ＋b ＋c)2＝(2m －2)2，结合(1)的结论可得：14(1－m)≥(2m －2)2，即2m2＋3m
－5≤0，所以－52≤m ≤1，又a2＋14b2＋19c2＝1－m ≥0，所以m ≤1，故m 的取值范围为－52
≤m ≤1.。