例谈数学知识在物理高考中的应用
数学方法在高中物理中的运用
（ ２ ０ １ ２安徽 理 综 ） 图 １ 是 交 流 发 电 机 模 型 示 意 图 。在 磁 感 应 强 度 为 的 匀 强
在 冗上产 生 的焦耳 热 Ｑ ＝ Ｆ ＲＴ ，其 中
，
磁场 中，有一矩形线圈 ａ ｂ ｃ ｄ可绕线圈平
所以 Ｑ ＝ Ｉ ｒ Ｒ ｗ （
＋ｒ
２ ． 线 圈平面处 于与 中性 面成 ‘ ｐ ０ 夹角 位置开始计时 ， 如图 ３ 所示 ， 试写出 ｔ 时刻 整个线圈中的感应 电动势 ｅ ： 的表达式 ； ３ ． 若线圈 电阻为 ｒ ， 求线 圈每转 动一
周 电 阻 上 产 生 的 焦 耳 热 。（ 其 他 电 阻均
例２ ： （ ２ ０ １ ２广 东 理 综 ， ３ ６ ） 图 ５所 示
０ ０４ ５－０ ４
二、 不等式法在 高中物理 中的应用 例 １ ： （ ２ ０ １ ０高考理综 ） 在一次 国际城 市运 动会 中 ，要求 运动员从高为 日 的平 台上 Ａ点 由静止 出发 。沿着动摩擦 因数
物理学是应用数学方法最充分 、 最成 功的一门学科 ， 数学思想方法是解决物理 问题的重要工具 ， 在高中物理 中时常存在
） ２ ｏ
【 分析与解答 】
（ １ ） ｖ ｏ ＝ Ｖ￣ ｇ （ Ｈ－ ｈ － ｔ ｘ Ｌ ｊ
面内垂 直于磁感线 的轴 Ｏ ０ 转动， 由线
圈引出 的导线 ａ ｅ和 分别 与两个 跟线
圈一起绕 Ｏ ０ 转动的金属环相连接 ， 金属
根据平抛运动 ｘ － ｒ ｏ ｔ
＝
环 又 分 别 与 两 个 固定 的 电刷 保 持 滑 动 接
的装置 中 ， 小物块 Ａ、 Ｂ质 量均为 ｍ， 水平 面上 段长为 １ ，与物块间的动摩擦 因
例谈数学知识在解物理题中的应用
例谈数学知识在解物理题中的应用
数学知识在解物理题中有着重要的作用。
通过数学分析可以把复杂的物理问题简化并提出清晰的模型，从而更好地理解问题的本质，从而更好地探索问题的解决方案。
同时，数学知识也可以帮助我们精确计算物理量，用数值求解物理问题，并且可以查找出物理量之间的内在规律，帮助我们更好的理解物理现象。
因此，数学知识对于解决物理问题具有重要的意义，物理学习者在解决问题时应该充分利用数学知识。
此外，数学知识也可以提高物理问题的解决效率。
通过数学技巧，可以减少计算时间和精度，提高问题的解决速度，同时可以极大地降低计算误差，提高问题的解决准确性。
此外，根据数学模型和数学统计方法，可以更直观地表达物理现象，更方便掌握物理规律，找到更准确的解决方案，从而极大地提高物理解决问题的效率。
因此，要想解决物理问题，除了要学习物理知识，还要学习相关的数学知识，让数学知识高效地服务于物理问题的解决。
此外，有了数学解法，物理问题就可以从一个新的维度得到解释，这种优化解法可以帮助我们更好地避免偏差，使物理问题更加准确，更容易被理解。
而且，有了数学解法，物理问题的推演也可以变得更为方便，可以快速推导出结果，减少错误，大大提高准确率。
此外，数学模型也可以帮助我们更快的把握物理量的特征，更快的进行分析和比较，从而发现问题的特点和解决方法。
总之，数学知识非常重要，可以帮助我们更加有效地解决物理问题。
高中物理解题中数学思想与方法应用举例分析——以“三角函数”为例
高中物理解题中数学思想与方法应用举例分析以 三角函数 为例孙志峰(福建省惠安第一中学ꎬ福建惠安３６２１００)摘㊀要:数学与物理是高中阶段至关重要的两门学科ꎬ两者存在密切联系.因此ꎬ文章以高中物理解题为背景ꎬ简单介绍了高中物理解题中的数学思想ꎬ并以 三角函数 为例ꎬ对高中物理解题中数学思想的应用进行了进一步探究ꎬ希望为高中物理解题教学提供一些参考.关键词:物理解题ꎻ数学思想ꎻ三角函数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２５－０１１０－０３收稿日期:２０２３－０６－０５作者简介:孙志峰(１９８３.１－)ꎬ男ꎬ福建省泉州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.基金项目:本文系泉州市教育科学 十四五 规划(第一批)立项课题 新课程新教材背景下的物理教学与作业设计改革研究 研究阶段性成果(课题编号:ＱＧ１４５１－１８３)㊀㊀新时期ꎬ新的高考物理考试说明进一步明确了考生应用数学方法处理物理问题的能力的要求ꎬ高考生不仅需要在具体物理问题中找出物理量之间的数学关系ꎬ而且需要根据数学的特点与规律进行推导ꎬ并恰当运用几何图形㊁函数图像辅助物理判断㊁得出物理结论.因此ꎬ探究数学思想与方法在高中物理解题中的应用具有非常重要的意义.１高中物理解题中的数学思想在高中物理问题求解中ꎬ可利用的数学思想与方法包括几何法㊁估算法㊁函数法㊁图解法㊁比值法㊁归纳法㊁微元法㊁极限分析法㊁特殊值法㊁分类讨论法㊁极值法等.其中在物理问题求解中应用频率较高的数学思想与方法包括函数图像㊁平面几何㊁数列㊁解三角形㊁不等式㊁微积分初步等[１].２物理解题中的数学 三角函数 思想与方法２.１三角函数定义在高中物理问题求解中的 三角函数 思想与方法本质上是将角㊁比值分别作为自变量㊁函数值的函数ꎬ主要是:设ａ是一个任意角ꎬａ的正弦记为ｓｉｎａꎬａ的余弦记为ｃｏｓａꎬａ的正切记为ｔａｎａꎬａ的余切记为ｃｏｔａꎬａ的正割记为ｓｅｃａꎬａ的余割记为ｃｓｃａ[２].２.２三角函数定理在高中阶段物理问题解析过程中ꎬ常用的三角函数定理主要包括正弦定理㊁余弦定理㊁正切定理等.其中正弦定理是三角函数基本定理ꎬ特指:对于任意一个平面三角形ꎬ其各边与边所对角的正弦值的比为同一数值ꎬ且各边与边所对角的正弦值的比等于外接圆的直径ꎻ余弦定理主要描述三角形中３边长度㊁１个角的余弦值的关系ꎬ即:对于任意一个三角形ꎬ任何１个边的平方等于其他２个边平方的和减去对应两边与其夹角的余弦的积的２倍ꎻ正切定理主要用于描述正切函数ꎬ即:一个三角形内ꎬ任意２条边的和除以第１条边减第２条边的差所得的商㊁两条边的对角的和的１/２的正切除以第１条边对角减第２条边对角的差的一半的正切所得的商是０１１同一个数值.３高中物理解题中数学思想与方法应用举例分析 以 三角函数 为例３.１恒成立问题借助三角函数思想方法解决物理恒成立问题ꎬ需要在分析题目物理过程㊁事物状态的情况下ꎬ根据物理规律列方程ꎬ再在方程中根据函数性质求解.在三角函数思想方法应用于物理问题解决过程中ꎬ最简单的用法是直接利用三角函数的正弦公式(或余弦公式㊁余切公式㊁正切公式求解).特别是在物理恒成立问题解析过程中ꎬ引导学生进行正交分解ꎬ联系列出式子直接利用三角函数求解.例１㊀一物体ｍ放置在水平面上ꎬｍ与水平面之间的动摩擦因数为μꎬ现施加一个斜向下的力Ｆ推物体ꎬＦ与水平面之间夹角为φ.在ｍ与水平面之间最大静摩擦力等于滑动摩擦力的情况下ꎬφ至少为(㊀)时ꎬ无论Ｆ多大均无法推动物体ｍ.解析㊀例１是典型的恒成立问题ꎬ因物体自始至终未被斜向下力Ｆ推动ꎬ则可以确定Ｆｃｏｓφɤμｍｇ＋Ｆｓｉｎφ()ꎬ解不等式得Ｆｃｏｓφ－μｓｉｎφ()ɤμｍｇ.此时ꎬ不管斜向下力如何变化ꎬ不等式始终成立ꎬ则ｃｏｓφ－μｓｉｎφɤ０.根据三角函数定理ꎬ可以解得ｔａｎφȡ１μꎬφȡａｒｃｔａｎ１μ.３.２物体的动态平衡问题高中阶段ꎬ物体的动态平衡问题较为常见ꎬ特指物体自始至终处于平衡状态但受力持续发生变化的一类问题[３].一般情况下ꎬ物体的动态平衡问题多为３个力作用下的平衡问题ꎬ部分情况下物体的动态平衡问题也涉及４个力的平衡.解决上述问题一般需要根据平衡条件列出方程ꎬ由所列方程分析物体受力变化ꎬ即函数法ꎬ或者根据平衡条件绘制力的分解图(或合成图)ꎬ在图像中分析力的变化ꎬ即图解法.根据不同方法的应用过程ꎬ教师可以引导高中生选择恰当的三角函数ꎬ辅助解决物体的动态平衡问题.３.２.１函数法解决物体的动态平衡问题高中阶段ꎬ解决平衡问题的基本思路是分析受力ꎬ结合平衡条件(或三角形定则㊁三角函数定理)等知识进行解析.从函数解析视角来看ꎬ物体的动态平衡问题是通过控制特定物理量的变化促使物体整个状态发生缓慢变化ꎬ缓慢变化特指速度极小的变化ꎬ可认定为速度为０ꎬ此时ꎬ物体在变化阶段达到平衡状态.教师可以引导学生分析物体动态平衡条件ꎬ根据条件列方程ꎬ根据方程带领学生探究物体受力变化.例２㊀轻绳两端分别系在质量为ｍ的物体上㊁轻质圆环上ꎬ圆环套在粗糙水平杆ＭＮ上ꎬ此时ꎬ利用水平力Ｆ拉动轻绳上一个节点ꎬ促使物体达到某一位置(图１中实线)ꎬ进而变更水平力Ｆ的大小ꎬ在圆环位置一定的情况下ꎬ促使质量为ｍ的物体连同轻绳下降(图１中虚线)ꎬ在整个过程中ꎬ水平力Ｆ㊁圆环与粗糙水平杆ＭＮ的摩擦力Ｆｍ㊁圆环对粗糙水平杆ＭＮ的压力ＦＮ的变化情况是(㊀㊀).Ａ.Ｆ逐渐增大ꎬＦｍ保持不变ꎬＦＮ逐渐增大ꎻＢ.Ｆ逐渐增大ꎬＦｍ逐渐增大ꎬＦＮ保持不变ꎻＣ.Ｆ逐渐减小ꎬＦｍ逐渐增大ꎬＦＮ逐渐减小ꎻＤ.Ｆ逐渐减小ꎬＦｍ逐渐减小ꎬＦＮ保持不变.图１㊀例２示意图解析㊀上述题目为高中阶段典型的力的动态平衡问题ꎬ可以利用力的合成思想进行求解ꎬ同时需要利用数学知识中的三角函数知识进行解析ꎬ需要高中生熟练了解三角函数定理在物体动态平衡类物理问题中解析的规律[４].答案:Ｄ３.２.２图解法解决物体的动态平衡问题在基于图解法的力学题目解析过程中ꎬ三角函１１１数思想应用的关键在于借助正交分解梳理问题解析思路ꎬ明确物体受力后构建直角坐标系ꎬ完成力的分解.进而根据牛顿运动定律ꎬ完成公式联列[５].在公式联列后ꎬ教师可以带领学生根据三角函数的性质进行问题解析.如例题２中ꎬ质量为ｍ的物体在水平力Ｆ㊁物体重力㊁圆环与粗糙水平杆ＭＮ的摩擦力Ｆｍ的作用下处于平衡状态ꎬ水平力Ｆ与轻质绳的拉力ＦＬ的合力与重力平衡ꎬ表明水平力Ｆ与轻质绳的拉力ＦＬ的合力大小恒定ꎬ方向竖直向上ꎬ且水平力Ｆ的方向维持一定ꎬ根据力的三角形法则ꎬ可以水平力Ｆ与轻质绳的拉力ＦＬ的合力㊁水平力相互垂直ꎬ绘制矢量图(见图３).图３㊀例２矢量图３.３运动规律问题高中物理题目中ꎬ运动规律问题涉及了简谐运动㊁机械波运动等.在运动规律问题解析中需要运用三角函数的相关知识ꎬ如求解简谐运动的振动方程可以转化为利用三角函数图像求解三角函数解析式[６].３.４物理最值问题作为函数的一种ꎬ三角函数在物理问题解析中的应用与一般函数类似ꎬ求解物理最值是三角函数应用的主要方面[７].例３㊀在水平面上ꎬ重力为Ｇ的物体在拉力Ｆ作用下开展匀速直线运动ꎬ设定物体与地面之间的动摩擦因数μ＝３３ꎬ则作用在物体上的最小拉力Ｆ是(㊀㊀).解析㊀根据已知条件ꎬ教师可以引导学生判定重力为Ｇ的物体受力平衡ꎬ作用在物体上的拉力与水平方向的夹角为φꎬ根据平衡条件ꎬ可以得出水平方向上Ｆｃｏｓφ＝μＮꎬ竖直方向上Ｎ＋Ｆｓｉｎφ＝Ｇꎬ解得:Ｆ＝μＧｃｏｓφ＋μｓｉｎφ.列出式子后ꎬ教师可以鼓励学生利用三角函数中的辅助角公式进行解决.即:ｆφ()＝ａｓｉｎφ＋ｂｃｏｓφ＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎφ＋θ()其中θ满足ｓｉｎθ＝ｂａ２＋ｂ２ꎬｃｏｓθ＝ａａ２＋ｂ２ꎬｔａｎθ＝ｂａ.其中－ａ２＋ｂ２ɤｆφ()ɤａ２＋ｂ２.在ｃｏｓφ＋μｓｉｎφ最大时ꎬＦ最小.根据三角函数的辅助角公式可以解得θ＝３０ʎ时ꎬＦ最小值为Ｇ２.综上所述ꎬ函数思想特指利用函数表示某一物理问题ꎬ借助函数的概念㊁性质进行物理问题的分析㊁转化与求解ꎬ并探明相关类型的一般规律.三角函数思想是重要的函数思想ꎬ教师应根据物理最值㊁恒成立㊁动态平衡等问题内容ꎬ带领学生借助三角函数思想逐步分析㊁求解ꎬ在帮助学生顺利解决物理问题的同时ꎬ提高学生跨学科学习能力.参考文献:[１]虞小琳.数学知识在高中物理解题中的运用[Ｊ].高考ꎬ２０２２(０１):２７－２９.[２]何昭洋.浅议函数知识在高中物理解题中的运用[Ｊ].试题与研究ꎬ２０１９(０２):１４０－１４０.[３]朱贤贤.三角函数在物理情境中的应用[Ｊ].中学生理科应试ꎬ２０２２(１２):２８－２９.[４]陈俊琦.应用数学思想ꎬ优化高中物理解题[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１９(Ｚ１):９７.[５]俞立硕.高中物理教学中数学思想方法的渗透[Ｊ].新课程研究ꎬ２０１９(２４):１０６－１０７.[６]季节.高中物理解题中三角形的有效应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(１０):８１－８３.[７]徐同苗.三角函数在物理解题中的应用[Ｊ].中学物理教学参考ꎬ２０１９(１４):９２－９３.[责任编辑:李㊀璟]２１１。
浅谈导数在物理中的应用
浅谈导数在物理中的应用高中物理教学大纲中明确指出“应用数学处理物理问题的能力”是物理教学的一项重要内容,是高考能力考查的重要组成部分。
高中数学教材(《人教版选修2～2》下同)中的《导数及其应用》已列入高中数学教学大纲,导数初步知识在物理中的应用,也越来越被广大高中物理教师关注。
1 利用导数求瞬时速度、加速度数学教材P6内容体现“瞬时速度就是位移s对时间t的导数”。
一般的问题,没有必要应用导数求瞬时速度,但复杂一点的问题,写出位移的函数式后再求导来求得瞬时速度,非常方便简捷。
例1、一质点做直线运动,位移与时间的关系为x=15t+t3(m),求当t=2s时的速度、加速度。
解析:瞬时速度等于位移对时间的一阶导数,即v=■=15+3t2,当t=2s 时,v=15+3×22=27(m/s)。
加速度等于位移对时间的二阶导数或速度对时间的一阶导数,即a=■=■=6t,当t=2s时,a=6×2=12m/s2。
形如x=v0t+■t2位移与时间关系是一元二次方程的,用待定系数法就能确定质点的速度、加速度,但是对于位移与时间的关系是三次方的就无法用待定系数法了,我们用导数很方便地就解决了。
例2、一质点简谐运动的图像如图所示,判断质点在0.7s、1.0s、2.0s、2.2s 四个时刻的运动方向。
数学教材P11内容体现导数的几何意义:图像上某点的导数即瞬时速度表示图像在该点的切线的斜率。
解析:根据导数的几何意义,画出各时刻对应的图像上各点的切线,斜率为正则速度方向沿+x,反之为-x,斜率为零则无运动方向。
质点在0.7s时图像斜率为正,所以速度方向为+x;在2.0s、2.2s时图像斜率为负,所以速度方向为-x;在1.0s时图像斜率为零,所以无运动方向。
若根据图像确定质点在该时刻之后的一小段时间内位移的变化(位移的方向、增减),然后确定质点的运动方向。
质点在1.0s时刻,学生根据位移的变化判断速度方向可能为-x。
数学知识在物理解题中的应用(用高考题来讲解)1
力 学
几何图形法
a b
高考试题剖析 通过做辅助线连接ab 通过做辅助线连接ab 与ac,应用几何图形法, ac,应用几何图形法, 应用几何图形法 根据圆的知识解得
c d
R t1=t2=t3= 2 g
力 学
高考试题剖析
例3.一电场的电场强度随时间变化的图像如 图所示,此电场中有一个带电粒子, 图所示,此电场中有一个带电粒子,在t=0 时刻由静止释放, 时刻由静止释放,若带电粒子只受电场力 作用,则下列判断正确的是( 作用,则下列判断正确的是(D) E/(V/m) A.带电粒子将向一个方向运动 A.带电粒子将向一个方向运动 40 B.1～3s内 B.1～3s内,电场力的功率为零 C.3s末带电粒子的速度最大 C.3s末带电粒子的速度最大 20 4s内 D.2～4s内,电场力的做功等于零
一.关注《考试大纲》对能力 关注《考试大纲》 要求的变化
应用数学处理物理问题的能力是指 应用数学处理物理问题的能力是指 能够根据具体问题列出物理量之间的关 系式,进行推导和求解, 系式,进行推导和求解,并根据结果得 出物理结论;必要时能运用几何图形, 几何图形 出物理结论;必要时能运用几何图形, 函数图像进行表达,求解. 函数图像进行表达,求解. 进行表达
1 -13.61eV
原子 物理
排列组合法
5 4 3 2
高考试题剖析
-0.54eV -0.85eV -1.51eV -3.4eV -13.61eV
1
三.高考试题中常见的数学 思想与方法
1.光学, 1.光学,近代物理学试题中常见的 光学 数学思想与方法. 数学思想与方法. 2.力学高考试题中常见的数学思想 与方法. 与方法.
( M + m)V1′ mu V2= M +m
浅谈数学方法在解决物理问题中的灵活应用
参考 文 献
［】 理 教 学 探 讨【 】 １物 Ｚ．
图 ５
中国科教创新导刊 Ｃ ｉａ Ｅ ｕ ａｉｎ Ｉ ｏ ａ ｉｎ Ｈ ｒ ｌ ｈ ｄ ｃ ｔ ｎ ｖ ｔ ｅ ａｄ ｎ ｏ ｎ ｏ ２５ ０ 来自方法三 ： Ｇ
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浅谈数学方法在解决物理问题中的应用
浅谈数学方法在解决物理问题中的应用[摘要] 物理和数学有着紧密的联系，解决物理问题离不开数学。
数学是物理最重要的解题工具，题目越复杂，用到的数学知识就越多，所以要想学好物理就必须有扎实的数学基础做后盾。
尽管如此，应用数学方法解题时也需要注意一些问题。
应用数学知识处理物理问题的能力，是高考要求学生必须具备并重点考查的五种基本能力之一。
物理是一门精确的科学，与数学有密切的关系。
在应用物理知识解决实际问题时，一般地或多或少总要运用到数学运算进行推理，而且处理的问题愈高深，应用的数学也愈多。
所以能熟练地运用数学处理物理问题，是学好物理的必要条件。
对此，《考试说明》中有明确的阐述，要求学生能根据具体问题列出物理量间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图象进行表达、分析，能进行正确的数学运算，其中既要重视定量的计算，也要重视定性和半定量的分析和推理。
一些典型的数学方法的应用，既丰富了物理问题的分析思路，更为物理问题的处理提供了方便。
熟练地掌握和应用一些典型的数学方法，对提高物理成绩是大有帮助的。
那么，如何利用数学方法来解决高中物理问题呢？笔者认为在教学过程中应注意以下几个方面。
一、正确认识数学方法在物理教学中的作用数学方法在高中物理教学中的作用，主要有：1、数学方法是研究和分析、解决物理问题的重要工具；2、培养学生运用数学表达式或图像来描述、表达物理概念和规律的能力；3.培养学生应用数学知识进行定量分析、判断、推理、论证和变换来解决物理问题的能力。
二、运用数学方法来分析、解决高中物理问题时应该注意的问题1.在物理公式中运用数学知识时，一定要使学生弄清物理公式或图像所表示的物理意义，不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题，要防止单纯从数学的观点出发将物理公式“纯数学化”的倾向。
2.表达物理概念或规律的公式都是在一定条件下成立的，在运用数学解决物理问题时，一定要使学生弄清物理公式的适用条件和应用范围。
微积分在高中物理教学及高考中的应用
微积分在高中物理教学及高考中的应用
微积分是一门重要的数学课程，在高中物理教学及高考中有重要的应用。
首先，在高中物理教学中，微积分可以帮助学生理解物理学的深层次的概念和原理。
例如，在力学和弹性中，知道力和位移之间的关系，学生需要用到微积分，例如需要用到曲率来计算曲线上力的变化情况，或者用梯度和位移之间的关系来分析影响力的改变等。
此外，散度和积分也在物理学中有实际的应用，例如在电动力学中，学生可以运用微积分的知识确定电流的变化情况。
其次，在高考中，微积分也是非常重要的科目之一，它不但是数学竞赛中的重要科目，而且也在高考的多项科目中得到了普遍的应用。
例如，在物理学中，考生可以利用提高后的微积分知识分析曲线上的力、磁力场和重力场等问题；在电动力学中，考生可以运用微积分知识计算电势和电压；在力学中，考生可以利用微积分知识求出运动弹性曲线；在热力学中，考生可以利用梯度来分析热力学问题；而在化学中，考生可以利用积分来分析反应的反应速率等。
总之，在高考中，微积分的应用是不可分割的部分。
最后，微积分在高中物理教学及高考中的应用，不仅可以扩大学生们在物理学和化学中的知识面，而且可以提高学生的数学水平，从而增强学生的理解和解决问题的能力。
因此，在高中物理教学及高考中，加强对微积分的学习和学术研究是非常有必要的。
综上所述，在高中物理教学及高考中，微积分有着重要的应用，它可以帮助学生更深入地理解物理学和化学中的问题，同时提高学生
的数学水平，从而增强学生的理解和解决问题的能力。
因此，加强对微积分的学习及学术研究，有助于提高高中物理教学及高考中的教学水平。
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我们为祖国服 务， 也不能都采 用同一方式 ， 每个人应该按照资禀， 各尽 所能