重庆一中高2016级13-14学年(上)半期试题——数学[1] 2
重庆市重庆一中2013-2014学年高二上学期期中考试 数学文试题 Word版含答案
2013年重庆一中高2015级高二上期半期考试数 学 试 题 卷（文科）2013.11一、选择题（每个小题5分，共50分，将答案涂写在答题卡的相应位置上）1、若曲线1122=-+my m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）.A 1<m .B 0<m .C 021<<-m .D 121<<m 2、命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）.A 对任意x R ∈,都有20x < .B 不存在x R ∈，使得20x < .C 存在0x R ∈,使得200x ≥ .D 存在0x R ∈,使得200x < 3、圆222430x y x y +-++=的半径为（ ）.A 2 .B 4 .C 6 .D4、设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是( ).A 若α⊆m m l ,//，则α//l .B α⊆⊥m m l ,，则α⊥l .C 若m l l ⊥⊥,α，则α//m .D 若αα//,m l ⊥，则m l ⊥5、“2=m ”是“直线01=-+y mx 和直线024=++my x 互相平行”的（ ）条件.A 充分不必要 .B 必要不充分.C 充分必要 .D 既不充分又不必要6、设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）.A 4π .B 22π- .C 6π .D 44π- 7、当k 变化时，直线30kx y k -+=和圆2216x y +=的位置关系是（ ） .A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 不确定8、已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和C 在双曲线的右支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( ).A 3 .B 32 .C 33 .D 349、（原创）设椭圆13422=+y x 的左右焦点分别为21,F F ,点P 在椭圆上，若2521=⋅−→−−→−PF PF ,则=⋅21PF PF （ ）.A 2 .B 3 .C 27 .D 29 10、（原创）在四面体ABCD 中，已知x AB =, 该四面体的其余五条棱的长度均为2，则下列说法中错误的是（ ）.A 棱长x 的取值范围是：320<<x .B 该四面体一定满足：CD AB ⊥ .C 当22=x 时，该四面体的表面积最大 .D 当2=x 时，该四面体的体积最大二、填空题（每个小题5分，共25分，将答案填写在答题卷的相应位置上） 11、已知直线l 的一个方向向量为)3,2(-=→a ，则直线l 的斜率为12、若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积等于13、某公共汽车站每隔10分钟有一辆公共汽车发往A 地，李磊不定时的到车站等车去A 地，则他最多等3分钟的概率为14、已知双曲线122=-y mx 的一条渐近线和圆03422=+-+x y x 相切，则该双曲线的离心率为15、（原创）已知点),(y x P 在椭圆1222=+y x 上运动，设x y y x d 224422-+-+=，则d 的最小值为三、解答题（本大题共有6个小题，共75分，前三个题每题13分，后三个题每题12分，解答时应在答题卷上写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）212俯视图左视图正视图假设小明的早餐搭配为一杯饮料和一个面食. （1）求小明的早餐价格最多为3元的概率； （2）求小明不喝牛奶且不吃油条的概率.17、如右图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为矩形，且⊥PD 平面ABCD ，且CD PD =， 设点F E ,分别为棱PC PB ,的中点（1）求证：//EF 平面PAD （2）求证：⊥PC 平面DEF18、已知下面两个命题： 命题:p R x ∈∃,使012=+-ax x ； 命题:q R x ∈∀,都有012>+-ax ax若“p ⌝”为真命题，“q p ∨”也是真命题，求实数a 的取值范围.19、已知过点)2,1(P 的直线l 和圆622=+y x 交于B A ,两点. （1）若点P 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程； （2）若52=AB ，求直线l 的方程.20、（原创）如右图，已知ABCD 是边长为2的正方形，⊥EA 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD , 设1=EA ,2=FC （1）证明：平面⊥EAB 平面EAD ；（2）求四面体BDEF 的体积； （3）求点B 到平面DEF 的距离.21、（原创）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，短轴长度为4（1）求椭圆的标准方程；（2）设B A , 为该椭圆上的两个不同点，)0,2(C ，且 90=∠ACB ， 当ABC ∆的周长最大时，求直线AB 的方程.2013年重庆一中高2015级高二上期半期考试数 学 答 案（文科）2013.11一、选择题：BDDDC DACCD 二、填空题：11：23- 12：2 13：10314：332 15：25-三、解答题：16：解：设豆浆，牛奶，粥依次用字母c b a ,,表示，油条，面包，包子依次用字母C B A ,,表示，则小明早晨所有可能的搭配如下：cC cB cA bC bB bA aC aB aA ,,,,,,,,总共有9种不同的搭配方式。
重庆一中高2016级13-14学年(上)10月月考——数学
秘密★启用前2013年重庆一中高2016级高一上期定时练习数学试题卷2013.10★祝你考试成功★数学试题共4页，共21个小题。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一. 选择题.(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.下列说法正确的是（）A. B. C. D.1N2.下列函数中，在区间上必定．．是增函数的为( )A. B. C. D.3.已知集合,，，则的关系（）A.B. C.=D.4.已知A、B均为U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}, A∩={9}，则A=（）A.{1，3}B.{3，7，9}C.{3，5，9}D.{3，9}5.在从集合A到集合B的映射中，下列说法中正确的是（）A.集合B中的某一个元素b的原象可能不止一个B.集合A中的某一个元素a的象可能不止一个C.集合A中的两个不同元素所对应的象必不相同D.集合B中的两个不同元素的原象可能相同6.在下列六组函数中，同组的两个函数是同一函数的有多少组?( )①y =，y=；②y = ，y=；③y = 21(，y=；④y =，y = x；⑤y = x2－2x－1，y = t2－2t－1；⑥y = ，y=.A.1组B.2组C.3组D.4组7.已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.8.有限集合S中元素的个数记做card (S )，设A、B都为有限集合，给出下列论断：①A∩B =的充要条件是card (A∪B) = card (A ) + card (B )；② A B的充要条件是card (A )≤card (B )；③ A B的必要不充分条件是card (A )≤card (B )；④ A = B的充分不必要条件是card (A ) = card (B )；其中正确论断的序号是（）A.③④B.①②C.②④D.①③9.某地一年的气温Q (t)（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如右图所示，已知该年全年的平均气温为10℃，令G (t )表示时间段[0，t]的平均气温，G (t )与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）10.甲、乙、丙、丁是同住一间寝室的四名女生，她们分别在做不同的事，有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，最后一人在听音乐. 现知道: ①甲不在修指甲，也不在看书；②乙不在听音乐，也不在修指甲；③如果甲不在听音乐，那么丙不在修指甲；④丁既不在看书，也不在修指甲；⑤丙不在看书，也不在听音乐．请你判断看书的人是谁？（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁二. 填空题.(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卷相应的位置上。
重庆市重庆一中2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷(解析版)
重庆市重庆一中2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．设i 为虚数单位,则2(1)i -=( )A.2B.1i +C.2i -D.22i - 【答案】C 【解析】试题分析：利用复数的运算法则，2(1)i -=1-2i-1=-2i ． 考点：复数的基本运算2．设0,0a b <<.则下列不等式一定成立的是( ) A.0a b -<B.2|11|(1)(1)204b a a b π+≥--≤--≤> C.||a b ab +≤D.2a b+≤【答案】D 【解析】试题分析：由0,0a b <<得不到0a b -<，故A 错误.利用基本不等式得2b aa b+≥，故B错误；令a=-1,b=-1得|11|(1)(1)--≤--，即21≤，故C 错误；02a b+<0>，故选D.考点：不等式的基本性质；基本不等式。
3．某人将英语单词“apple ”记错字母顺序，他可能犯的错误次数最多是(假定错误不重犯)( )A.60B.59C.58D.57 【答案】B 【解析】试题分析：任意5个不相同的字母可排列成A 55个不同顺序的词，由于本题中出现两个p ，所以总个数应除以2，∴错误个数是12（5×4×3×2×1）-1=59个．故选B ． 考点：排列组合及简单的计数问题4．若一几何体的正视图与侧视图均为边长为1的正方形,且其体积为12.则该几何体的俯视图可以是( )ABCD【答案】C 【解析】试题分析：若俯视图为A ，则V=1；若俯视图为B ，则V=π；若俯视图为C ，则V=12； 若俯视图为D ，则V=4π，根据几何体的体积为12，∴C 正确．故选C ． 考点：简单空间图形的三视图 5．设1212min{,,...,},max{||,||,...,||}(3)n n m x x x M x x x n ==≥,其中(1,2i x R i n ∈=.那么“12...n x x x ===”是“m M =”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】B 【解析】试题分析：令12...n x x x ====-1，则m=-1,M=1，所以12...nx x x ===¿m M =，而m M =，则12...n x x x ===.故选B.考点：充要条件的判断方法.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为340x y +=,则双曲线离心率e =( )A.54 B.53 C.43 D.45【答案】A 【解析】试题分析：：∵双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y=±b x a ，又∵渐近线方程为y=34x -，∴34b a =∴22916b a = ∵222b c a =-，联立得：222916a c a =-，化简得e=54.故选A考点：双曲线的性质及其方程;渐近线方程;离心率 7．若曲线12y x-=在点12(,)a a -处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为18.则a =( )A.64B.32C.16D.8 【答案】A 【解析】试题分析：求导数可得3'212y x -=-，所以在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为：31221322y a x a --=-+，令x=0，得y ＝1232a -；令y=0，得x=3a ．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S ＝1122139318224a a a -⨯⨯==，解得a=64故选A ．考点：导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程.8．设点,A P 为椭圆2212x y +=上两点.点A 关于x 轴对称点为B (异于点P ).若直线,AP BP 分别与x 轴交于点,M N , 则OM ON ⋅=( )【答案】D 【解析】试题分析：如图，取特殊值，令椭圆的上顶点为A ，下顶点为B ，左端点为P ，则A （0，1），B （0，-1），P)，M)，N)，∴()2,0OM ON ==,2OM ON ⋅=,故选：D ．考点：椭圆中向量的数量积的求法，椭圆的简单性质．9．若27270127(1)(2)(2)...(2)x x a a x a x a x ++=+++++++.则2a =( ) A.20 B.19 C.20- D.19- 【答案】C 【解析】试题分析：设t=x+2，则x=t-2，则多项式等价为2723 70123721t t a a t a t a t a t -+-=++++⋯+（）（），则2a 为左边展开式中2t 的系数．由r 1=r n r r n T C a b -+，左边展开式中2t 的系数为1+()5571C -=1-21=20-.故选：C ．考点：二项式定理的应用．二项式定理系数的性质; 利用换元法将多项式转化思想的应用.10．有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有( )625321A.4320B.2880C.1440D.720 【答案】A【解析】试题分析：第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第六个区域有4种不同的涂色方法，第五个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理6543344320⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：A ．考点：乘法原理.二、填空题11．设随机变量2~(10,)5B ξ,则D ξ= . 【答案】125【解析】试题分析：：∵随机变量ξ服从二项分布，且2~(10,)5B ξ，∴D ξ=10×25×（1-25）=125,故答案为：125考点：二项分布的方差，二项分布与n 次独立重复试验的模型． 12．已知正态分布密度曲线22()2()x p x μσ--=,且max ()(20)p x p ==,则方差为 . 【答案】2 【解析】试题分析：正态分布密度曲线22()2()x p x μσ--=可知对称轴为μ=20,所以函数的最大值是(20)p =所以=，即σ2. 考点：正态分布曲线的特点; 正态分布曲线所表示的意义.13．在61(2)x x-展开式中,常数项等于 .【答案】160-【解析】试题分析：由通项公式r 1=r n r rn T C a b -+：设第r+1项为常数，则()6r 161=2rrr T C x x -+⎛⎫- ⎪⎝⎭=()()()66612rr r rrC x x ---，所以6-r=r,即r=3;那么常数项为()()333621160C -=-，故答案为160-.考点：二项式定理系数的性质;二项式定理的应用．14．一大学生毕业找工作,在面试考核中,他共有三次答题机会(每次问题不同).假设他能正确回答每题的概率均为23,规定有两次回答正确即通过面试,那么该生“通过面试”的概率为 . 【答案】2027【解析】试题分析：有已知条件可知分为三类情况：第一次第一次答对的概率为224339⨯=； 第一次答对第二次答错第三次答对的概率为212433327⨯⨯=； 第一次答错第二次答对第三次答对的概率为122433327⨯⨯=；那么该生“通过面试”的概率为444202727927++=，故答案为2027. 考点：相互独立事件的概率. 15．若,(0,1)m n ∈.则(1)()(1)(1)mn m n m n m n --+--的最大值是 .【答案】18【解析】试题分析：只要考虑0＜m ，n ＜1，m+n ＜1的情形即可． 令x=m ，y=n ，z=1-m-n ，则x+y+z=1．(1)()(1)(1)mn m n m n m n --+--=()()()222xyz xyz xy yz xz x y y z x z ≤⋅⋅++⋅=+18 考点：基本不等式；换元法.三、解答题16．已知()|||1|f x x x =-+. (1)求不等式()0f x ≤的解集A;(2)若不等式10mx m +->对任何x A ∈恒成立,求m 的取值范围. 【答案】(1)1[,)2A =-+∞ (2)(2,)+∞ 【解析】试题分析：(1)把不等式()0f x ≤转化为22(1)x x ≤+即可. (2)1,102x mx m ∀≥-+->恒成立转化为11m x >+,即max 1()21m x >=+. (1)22|||1|(1)x x x x ≤+⇔≤+12x ⇔≥-∴1[,)2A =-+∞ (2)1,102x mx m ∀≥-+->恒成立11m x ⇔>+对12x ≥-恒成立.max 1()21m x ⇔>=+∴m 取值范围是(2,)+∞考点：绝对值不等式的解法；简单的不等式恒成立的问题.17．(13分)已知函数2()()4ln(1)f x x t x =+++的图象在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (1)求实数t 的值; (2)求()f x 的极值.【答案】(1)t=-2 (2)极大值为4极小值14ln 2+ 【解析】试题分析：(1)先求'()f x ，然后利用'(1)0f =即可； (2)由（1）知2(1)()(1)1x x f x x x -'=>-+，然后找出极值点，判断出单调区间，进而求出极值.(1)4()2(),1f x x t x '=+++ 由(1)02f t '=⇒=-. (2)∵2(1)()(1)1x x f x x x -'=>-+ 显见10x -<<时, ()0f x '>, 01x <<时, ()0f x '<. 1x >时,()0f x '> ∴()(0)4f x f ==极大值. ()(1)14ln 2f x f ==+极小值.考点：导数的几何意义;函数的单调性与极值. 18．某电视台“挑战60秒”活动规定上台演唱(I)连续达到60秒可转动转盘(转盘为八等分圆盘)一次进行抽奖,达到90秒可转两次,达到120秒可转三次(奖金累加).（2）转盘指针落在I 、II 、III 区依次为一等奖(500元)、二等奖(200元)、三等奖(100元),落在其它区域不奖励.（3）演唱时间从开始到三位评委中至少1人呜啰为止,现有一演唱者演唱时间为100秒. ①求此人中一等奖的概率;②设此人所得奖金为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ.【答案】(1) 1564(2)200 【解析】试题分析：(1)由题意可知转一次奖获得一等奖的概率是18，分成三类情况：①两次都中中一等奖②第一次中一等奖，第二次未中；③第一次未中一等奖，第二次中； (2)分别计算出奖金为ξ每一种情况的概率，然后列出分布列，再计算出期望值即可.解 ①1117711588888864P =⨯+⨯+⨯= ②故12810020064E p ξξ=⋅=⨯=∑ 考点：相互独立事件的概率；离散型随机变量的分布列和数学期望19．如图,四棱柱1111ABCD A BC D -中,1DD ABCD ⊥底面.ABCD 为平行四边形,60DAB ∠=︒, 12 2.3AB AD DD ===, ,EF 分别是AB 与1D E 的中点.C 1CA 1(1)求证CE DF ⊥;(2)求二面角A EF C --的平面角的余弦值. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：(1) 先证明△ADE 为正△，再利用余弦定理可求CE ，然后证明出CE ⊥DE ，CE ⊥DD 1 ，最后得到CE ⊥平面DD 1E, 即可证明出CE ⊥DF. (2)先建立以直线AB, AA 1分别为x 轴,z 轴建立空间直角坐标系,然后根据点坐标求出法向量(0,m =-，(3,n =-，再利用夹角公式求出二面角A EF C --的平面角的余弦值cos θ=. (1)AD=AE, ∠DAB=60° ∴△ADE 为正△ 在△CDE 中,由余弦定理可求又22212+=.由勾股定理逆定理知CE ⊥DE又DD 1⊥平面ABCD, CE ⊂平面ABCD. ∴CE ⊥DD 1 ∴CE ⊥平面DD 1E, 又DF ⊂平面DD 1E. ∴CE ⊥DF.(2)以直线AB, AA 1分别为x 轴,z 轴建立空间直角坐标系,由题设A(0,0,0), E(1,0,0),D 1(1,22), C 5(,,0)22可求平面AEF 的一个法向量为(0,m =-平面CEF 的一个法向量为(3,n =- ∴平面角θ满足||130|cos |13||||m n m n θ⋅==又θ为纯角 ∴cos 13θ=-注本题(1)也可建坐标直接证明.(2)的坐标系建法不唯一.考点：余弦定理；勾股定理逆定理；线面垂直的性质与判定定理；法向量；夹角公式. 20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为12.过点0(,0)A x 01()8x ≥ 作直线l 交抛物线C 与,P Q 两点(P 在第一象限内). (1)若A 与焦点F 重合,且||2PQ =.求直线l 的方程;(2)设Q 关于x 轴的对称点为M .直线PM 交x 轴于B . 且BP BQ ⊥.求点B 到直线l 的距离的取值范围.【答案】(1) 4410x y --=或4410x y +-= ；(2) 1)2d ∈ 【解析】试题分析：(1) 首先求出抛物线2:C y x = 再与1:()4l y k x =- 联立得到关于x 的一元二次方程，最后利用焦半径公式求出斜率即可.(2)先求出1PB k =，进而转换为21212()41y y y y +-=，再由l 与C 联立得200y my x --=，借助于根与系数的关系求出m 的取值范围，然后由点到直线的距离公式得到d 的表达式，最后根据基本不等式求出范围. 由题2:C y x =(1)A 与下重合,则1(,0)4A 设222221:()(1)04216l y k x k k k x x y x ⎫=-⎪⇒-++=⎬⎪=⎭又由焦半径公式有12121||22PQ x x p x x =++=++= 可求21k = ∴1k =±.所求直线l 为4410x y --=或4410x y +-=(2)可求0(,0)B x -.故△BQM 为等腰直角三角形,设1122(,),(,)P x y Q x y1PB k =. 即2121212121211()41y y y y y y y y x x +=⇒-=⇒+-=-.设0202:0l x x my y my x y x -=⎫⇒--=⎬=⎭ ∴201212040m x y y m y y x⎧=+>⎪+=⎨⎪⋅=-⎩ 从而2041m x +=, 即20140m x =->, 又018x ≥. ∴2102m <≤. 点0(,0)B x -到直线0:0l x my x --=的距离为2d ====∴1[)122d ∈ 考点：抛物线的性质；焦半径公式；根与系数的关系；点到直线的距离公式；基本不等式. 21．给定数列{n a (1)判断2a 是否为有理数,证明你的结论;(2)是否存在常数0M >.使n a M <对*n N ∈都成立? 若存在,找出M 的一个值, 并加以证明; 若不存在,说明理由.【答案】(1) 2a 是无理数 (2) 3M =(或4M =等).则对*n N ∀∈,均有3n a <成立.证明略.【解析】试题分析：(1) 设2a 是无理数, 利用反证法推出矛盾即可；(2)先设(1,2,...,)k b n k ==然后得到2n b n =，用放缩法证出1b 12341 (24822)n n n n -+≤+++++，再借助错位相减法得1b <3,即对*n N ∀∈,均有3n a <成立.解(1)2a 是无理数, 若不然,r Q =∈.则21r =21r =-必为有理数,.(2)设1,2,...,)k b k ==则2211, (1,2,...,1),n k k n b a b k b k n b n +==+=-=. 于是21221111222222b b b b ++≤=+=+ 23212123222244b b +≤+⋅=++ 234123123424422488b b +≤++⋅=+++ 523452481616b ≤++++ ...≤11234 (24822)n n n b n --≤+++++ 21112341 (248222)n n n b n --+≤+++++⋅ 12341 (24822)n n n n -+=+++++ 令12341 (24822)n n n n n S -+=+++++. 则3332n n n S +=-<. 从而可取3M =(或4M =等).则对*n N ∀∈,均有3n a <成立.考点：反证法；错位相减法；放缩法.。
2015-2016学年重庆市重庆一中高一上学期期末考试数学试题 word版
秘密★启用前2016年重庆一中高2018级高一上期期末考试数 学 试 题 卷 2016.1数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题 12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。
1.已知集合{}{}2,3,4,2,4,6A B ==，则AB =（ ）A.{}2B.{}2,4C.{}2,4,6D.{}2,3,4,6 2.已知扇形的中心角为3π，半径为2，则其面积为（ ）A.6πB.43π C.3π D.23π 3.已知1tan 3α=，则222cos 2sin cos ααα-=（ ） A.79 B.13- C.13 D.79- 4.三个数20.320.3,log 0.3,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A.a b c << B.a c b << C.b a c <<D.b c a <<5.已知在映射f 下，(,)x y 的象是(,)x y x y +-，其中,x R y R ∈∈。
则元素(3,1)的原象．．为（ ）A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)-D.(2,1)--6.已知函数2sin()(0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则此函数的解析式为（ ）A.2sin()26x y π=-B.2sin(4)4y x π=+ C.2sin()26x y π=+ D.2sin(4)6y x π=+7.已知幂函数1()m f x x-=（,m Z ∈其中Z 为整数集）是奇函数。
重庆市重庆一中高三数学上学期期中试题 文 湘教版
2013年重庆一中高2014级高三上期半期考试数 学 试 题 卷（文科）2013.11一、选择题（每小题5分，共50分）1.已知命题p ：020,log 1x R x +∃∈=，则p ⌝是（ ） A ． 2,log 1x R x +∀∈≠B ．2,log 1x R x +∀∉≠C ．1log ,020≠∈∃+x R xD ．1log ,020≠∉∃+x R x2．集合*{|}ni n N ∈（其中i 是虚数单位）中元素的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 4D ． 无穷多个3．在]3,2[-上随机取一个数x ，则0)3)(1(≤-+x x 的概率为（ ）A ．52 B ．41 C ．53 D ．54 4. 购物大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 5．已知1tan()2πα+=，则sin cos 2sin cos αααα-+=（ ） A ．41B ．21C ．41-D ．21-6.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )A ．63π+B ．π343+C ．π3433+D ．633π+7．要得到函数sin 2y x =的图象，可以把函数22cos 2)y x x =-的图象（ ） A. 向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位C. 向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 8．实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥,0),1(,1y x a a y x 若目标函数y x z +=取得最大值4，则实数a 的值为( )A ．2-B ．2C ．1D ．1-9．设数列{}n a 满足6,1421=+=a a a ,且对任意*n N ∈,函数x a x a x a a a x f n n n n n sin cos )()(2121++++-⋅++-= 满足'()02f π=若na n n a c 21+=则数列{}n c 的前n 项和n S 为( )（原创）A.n n n 2122-+ B. 122124--++n n n C.n n n 21222-++ D. n n n 21242-++ 10． 函数{}()min 2,2f x x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（每小题5分，共25分）11．一组样本数据的茎叶图如右：3216433104，则这组数据的平均数等于 .12．若向量),4(),2,1(y b x a =-=相互垂直，则点（2，3）到点（x,y ）的距离的最小值为 . （原创）13. 执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出的n= . 14.已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数31)('>x f ，则0323)(>--x x f 的解集为____________(原创)15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e _____________三、解答题(共75分)16. （本小题满分13分,第(Ⅰ)问6分，第(Ⅱ)问7分） 已知等差数列{}n a 中，12,5142-==a a a . (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 当n S 取最大值时求n 的值.（原创）17. （本小题满分13分,第(Ⅰ)问6分，第(Ⅱ)问7分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？(Ⅱ) 在（1）的条件下，该市决定在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.18．（本小题满分13分,第(Ⅰ)问6分，第(Ⅱ)问7分） 设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，CA Bc b c a sin sin sin +=-- （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）求函数32cos 322cos 2sin 2)(2-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=A x A x A x x f 的单调递增区间. 19.（本小题满分12分,第(Ⅰ)问6分，第(Ⅱ)问6分） 如右图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥底面ABCD ,1AD =,2CD =,60DCB ∠=︒．(Ⅰ)求证:平面11A BCD ⊥平面11BDD B ； (Ⅱ)若1D D BD =,求四棱锥11D A BCD -的体积．20. （本小题满分12分第(Ⅰ)问5分，第(Ⅱ)问7分）如图是某重点中学学校运动场平面图，运动场总面积15000平方米，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成，塑胶跑道宽8米，已知塑胶跑道每平方米造价为150元，其它部分造价每平方米80元，（Ⅰ）设半圆的半径r OA =（米），写出塑胶跑道面积S 与r 的函数关系式)(r S ；（Ⅱ）由于受运动场两侧看台限制，r 的范围为[]4530，∈r ，问当r 为何值时，运动场造价最低（第2问π取3近似计算）.21. （本小题满分12分, 第（Ⅰ）问4分，第（Ⅱ）问4分,第(3)问4分） 已知圆,54:221=+y x C 直线)0(:>+=m m x y l 与圆1C 相切，且交椭圆 )0(1:22222>>=+b a by a x C 于11,B A 两点，c 是椭圆的半焦距，b c 3=，（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）O 为坐标原点，若,11OB OA ⊥求椭圆2C 的方程；(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，设椭圆2C 的左右顶点分别为A,B ，动点)0(),(1211>∈y C y x S ，直线AS,BS 与直线1534=x 分别交于M,N 两点，求线段MN 的长度的最小值.2013年重庆一中高2014级高三上期半期考试数 学 答 案（文科）2013.11一、选择题：1—5 ACDBC 6-10 DABCA 二、填空题:11． 23 12． 5 13. 4 14. (1,)+∞ 15. 225- 三、解答题16解: （Ⅰ）由n d n a a d d a a n 413)2(4123214-=-+=⇒-=⇒-==-…6分 (Ⅱ) 因为n n d n n na S a d a a n 1122)1(,921112+-=++==⇒+= 对称轴为3,411=∴=n n 时n S 取最大值15. …………13分 17解: （Ⅰ） 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:1060×6=1. 所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分(Ⅱ) 记第3组的3名志愿者为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者为B 1,B 2,.则从5名志愿者中抽取2名志愿者有:(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),,(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2)共有10种. …………9分 其中第4组的2名志愿者B 1,B 2至少有一名志愿者被抽中的有:(A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 2,B 1), (A 2,B 2), (A 3,B 1), (A 3,B 2), (B 1,B 2),共有7种 …………11分 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为107. …………13分 18解: （Ⅰ）由题………………6分32cos 322cos 2sin 2)(2-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=A x A x A x x f（Ⅱ）)322sin(2)32sin(2)2cos(3)2sin(3)1)2(cos(3)2sin(ππ+=++=+++=-++++=x A x A x A x A x A x由)(121272232222Z k k x k k x k ∈-≤≤-⇒+≤+≤-πππππππππ 所以函数)(x f 的单增区间为:)(12,127Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ππππ ………………13分 19解：（Ⅰ）证明：在ABD ∆中,由余弦定理得：BD =，所以222AD BD AB +=,所以90ADB ∠=︒,即AD BD ⊥， …………3分又四边形ABCD 为平行四边形,所以BC BD ⊥，又1D D ⊥底面ABCD ,BC ⊂底面ABCD ,所以1D D BC ⊥，又1D DBD D =,所以BC ⊥平面11BDD B , …… ……………………5分又BC ⊂平面11A BCD ,所以平面11A BCD ⊥平面11BDD B ． ……………………6分 (Ⅱ)法一：连结1BD，∵1DD BD ==，∴1BD =∵BC ⊥平面11BDD B ，所以1BC BD ⊥， ……………………………8分 所以四边形11A BCD的面积111122A BCD S BC BD =⨯⋅⋅= …………10分 取1BD 的中点M ，连结DM ，则1DM BD ⊥，且DM =，又平面11A BCD ⊥平面1BDD ,平面11A BCD 平面1BDD 1BD =，所以DM ⊥平面11A BCD ，D C AA 1B 1C 1D 1M3cos 212sin sin sin 222222π=⇒==-+⇒-=-⇒+=+=--A A bc a c b c a bc b ca bC A B c b c a所以四棱锥11D A BCD -的体积：11113A BCD V S DM =⋅⋅=． ……12分 法二: 四棱锥11D A BCD -的体积111D A BD D BCD V V V --=+，……………8分 而三棱锥11D A BD -与三棱锥1D BCD -底面积和高均相等，……………10分 所以11112D A BD D BCD D BCD V V V V ---=+=1112213D BCD BCD V S DD -==⨯⋅⋅=．…12分20解： （Ⅰ）)150008(64120000821500028])8([)(222πππππ<<-+=-⨯⨯+--=r r r rr r r r S…………………………5分（Ⅱ）总造价)15000(80150S S y -+=]4530[)24150003(560120000)815000(56012000070120000，∈-++=-++=+=r r r r r Sππ…………………………8分令r r t 150003+=，则01500032<-='r t ∴rr t 150003+=在区间[]4530，∈r 上单调递减 故当45=r 时，总造价最低. ………………………………12分 21解: （Ⅰ）直线m x y l +=:与圆54:221=+y x C 相切,所以5102.542==m m ……………4分(Ⅱ) 将5102:+=x y l 代入得 1:22222=+by a x C 得:0585104)(2222222=-+++b a a x a x a b ①设),,(),,(221111y x B y x A 则)(252540)5102)(5102(;)(558,)(5104222222121222222122221b a b a b x x y y a b b a a x x a b a x x +-=++=+-=+-=+②因为05)(4,222211=-+⇒⊥b a b a OB OA由已知224,3b a b c ==代人（2）4,10)1(2222==⇒=-a b b b所以椭圆2C 的方程为1422=+y x ……………8分 (Ⅲ)显然直线AS 的斜率存在，设为k 且0>k 则)2(:+=x k y AS依题意)1564,1534(k M ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得：041616)41(2222=-+++k x k x k 设),(00y x S 则)2(,418241416)2(00220220+=+-=⇒+-=-⋅x k y k k x k k x 即 )414,4182(222k k k k S ++-，又B （2，0）所以,41200k x y k BS-=-= BS ：)2(41--=x ky 由15161511564215115640),151,1534(1534)2(41=⋅≥+=⇒>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=k k k k MN k k N x x ky所以81-=k 时：1516min =MN ……………12分。
重庆市重庆一中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷(带解析)
重庆市重庆一中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷（带解析）1．已知向量()()2,,,1m b m a ==，若b a //，则实数m 等于( )A ．0 【答案】C 【解析】试题分析：∵//a b ，∴2120,m m ⋅-== 考点：平面向量共线的坐标表示． 2．不等式1213-≤--x x 的解集是（ ） A ．324xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．324x x x ⎧⎫>≤⎨⎬⎩⎭或 D ．{}2x x < 【答案】B 【解析】试题分析：∵1213-≤--x x ，∴31102x x -+≤-，即(43)(2)043022x x x x x --≤⎧-≤⇒⎨≠-⎩，∴不等式的解集为324xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭． 考点：分式不等式转化为一元二次不等式．3．执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，那么输出的a 值为（ ）A ．4B ．16C ．256D ．3log 16 【答案】C 【解析】试题分析：根据程序框图的描述，是求使*3log 4,2()n a a n N >=∈成立的最小a 值，故选C ．考点：程序框图．4．等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，若2=AB ，则AD BA ⋅=( ) A ．2- B ．2 C ．3 D ．3- 【答案】A 【解析】试题分析：如图建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0),C(0,2),又∵D 是BC 的中点，∴D(1,1),∴(2,0),(1,1),21012BA AD BA AD =-=⋅=-⋅+⋅=-．考点：平面向量数量积的坐标表示． 5．下列命题正确的是（ ） A ．ac bc a b <⇒< B ．ba ab b a ><<则若,0 C ．当0x >且1x ≠时，1lg lg x x+2≥D a b < 【答案】D 【解析】 试题分析：A:当c<0时，错误；B ：22()()()(),00b a b a b a b a b a b a a b a b ab ab ab-+-+--==<<∴<，，∴b aa b<；C:当01x <<即lg 1x <时不成立；D ：正确． 考点：不等式的性质．6．若变量x ，y 满足约束条件82400x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z ＝5y －x 的最大值是( )A ．16B ．30C ．24D ．8【答案】A 【解析】试题分析：画出如下图可行域，易得A(4,4),B(0,2),C(8,0),又∵z=5y-x ，即55x z y =+，∴问题等价于求直线55x zy =+在可行域内在y 轴上的最大截距，显然当x=4，y=4时，max 54416z =⋅-=．考点：线性规划求目标函数最值．7．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 【答案】B 【解析】试题分析：∵cos cos sin b C c B a A +=，由正弦定理，∴2sin cos sin cos sin B C C B A +=，即2sin()sin B C A +=，又∵A B C π++=,∴2sin sin ,sin 1A A A ==，∴△ABC 是直角三角形．考点：1、正弦定理；2、三角恒等变形．8．已知2121,,,b b a a 均为非零实数，不等式011<+b x a 与不等式022<+b x a 的解集分别为集合M 和集合N ，那么“2121b b a a =”是“N M =”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．既非充分又非必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 【答案】D 【解析】试题分析：取11221,1a b a b ====-，则可得M=(,1)-∞-，N=(1,)-+∞，因此不是充分条件，而由M=N,显然可以得到2121b b a a =，∴是必要条件． 考点：1、不等式的基本性质；2、简易逻辑．9．在c b a ABC ,,,中∆分别是角A 、B 、C 的对边,若b c C a 2cos 2,1=+=且,则ABC ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(]3,1 B ．[2,4] C ．(]3,2 D ．[3,5] 【答案】C 【解析】试题分析：∵222221cos 22a b c b c C ab b +-+-==，∴221222b c c b b +-⋅+=，化简后可得：22()()13134b c b c bc ++=+≤+⋅，∴2b c +≤，又∵1b c a +>=，∴23a b c <++≤，即周长的范围为(]3,2．考点：1、余弦定理；2、基本不等式．10．对任意正数x ，y 不等式xy ky x k 221≥+⎪⎭⎫⎝⎛-恒成立，则实数k 的最小值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：∵xyky x k 221≥+⎪⎭⎫⎝⎛-1()2k -≥，要使不等式恒成立，则12k >，min 1[()2k -==≥，∴1k ≥，∴k 的最小值是1．考点：基本不等式．11．已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=___________． 【答案】6 【解析】试题分析：∵等差数列{}n a 的前15项的和1530S =,∴1151151530,42a a a a +⋅=+=，而1158818152,2,6a a a a a a a +=∴=++=．考点：等差数列的性质．12．下面框图所给的程序运行结果为S ＝28，如果判断框中应填入的条件是 “a k >”,则整数=a _______．【答案】7 【解析】试题分析：∵程序运行结果为S=28,而1+10+9+8=28，∴程序应该运行到k=7的时候停止，因此整数a=7． 考点：程序框图．13．已知非零向量b a,满足a b a b a 332=-=+，则向量b a +与b a -的夹角为 ． 【答案】3π 【解析】试题分析：∵||||a b a b +=-，∴22()()0a b a b a b +=-⇒⋅=，又∵23||||3a b a +=，∴22233()||||a b a b a +=⇒=，∴222222()()||||||3a b a b a b a b a +⋅-=-=-=，∴2222342||||cos (||)cos ||cos ||33a b a b a a a θθθ+⋅-⋅=⋅=⋅=，∴1cos ,23πθθ==．考点：平面向量的数量积．14．已知数集},,,,{321n a a a a A =，记和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数为)(A M ．如当}4,3,2,1{=A 时，由321=+，431=+，53241=+=+，642=+，743=+，得5)(=A M ．若{1,2,3,,}A n =， 则)(A M = ．【答案】2n-3【解析】试题分析：根据题意分析，A 中最小的两个不同元素的和为1+2=3，最大的为n-1+n=2n-1，显然可以取遍从3到2n-1的所有整数，∴M(A)=2N-3． 考点：新定义问题15．设实数d c b a ,,,满足：1001≤≤≤≤≤d c b a ,则dcb a +取得最小值时，=+++dc b a ．【答案】121 【解析】 试题分析：∵1001≤≤≤≤≤d c b a ，∴111122005a c ab b d b bdd+≥++≥⋅=≥=， 上述等号成立的条件依次为：2,1,,100b c a d b d ====，∴a=1，b=c=10，d=100，a+b+c+d=121．考点：1、基本不等式；2、不等式的放缩．16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足53cos =A ，3AB AC ⋅=． (1)求ABC ∆的面积；(2)若6b c +=，求a 的值．【答案】（1）=2ABC S △；（2）a = 【解析】试题分析：（1）根据满足53cos =A ，3AB AC ⋅=，可以求得bc=5，sinA=45，利用三角形的面积计算公式可得1=sin 22ABC S bc A =△；（2）由（1），bc=5，结合b+c=6，易得b=1，c=5或b=5，c=1，从而根据余弦定理2222cos 20a b c bc A =+-=,即可求得a =．（1）∵53c o s =A ，∴54cos 1sin 2=-=A A ， 又由3A BA C ⋅=,得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴==；（2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=．考点：1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算；3、余弦定理．17．已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集为{}b x x x ><或1|．(1)．求实数a ，b 的值； (2)．解关于x 的不等式0>--bax cx (c 为常数）． 【答案】（1）a=1，b=2；（2）当c>2时解集为{x|x>c 或x<2}；当c ＝2时解集为{x|x≠2，x ∈R}；当c<2时解集为{x|x>2或x<c}． 【解析】 试题分析：（1）根据一元二次方程与一元二次不等式的关系，根据题意可以得到1，b 为方程2320ax x -+=的两根且a>0，根据韦达定理可以得到方程组231b a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而求得a=1，b=2；（2）原不等式等价于(x －c)(x －2)>0，根据一元二次不等式的解法，对c 进行分类讨论，即可得到当c>2时解集为{x|x>c 或x<2}；当c ＝2时解集为{x|x≠2，x ∈R}；当c<2时解集为{x|x>2或x<c}．（1）由题知1，b 为方程2320ax x -+=的两根且a>0，即231b a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， ∴a ＝1，b ＝2；（2）不等式等价于(x －c)(x －2)>0，∴当c>2时解集为{x|x>c 或x<2}；当c ＝2时解集为{x|x≠2，x ∈R}；当c<2时解集为{x|x>2或x<c}．考点：1、一元二次不等式；2、分式不等式转化为一元二次不等式．18．在c b a ABC ,,,中∆分别是角A 、B 、C 的对边，()()B C n c a b m cos ,cos ,2,-=-=，且n m ⊥．(1)．求角B 的大小；(2)．求sin A ＋sin C 的取值范围． 【答案】（1）B=3π；（2）]3,23(． 【解析】试题分析：（1）由m n ⊥，可得bcos (2)cos C a c B =-，等式中边角混在了一起，需要进行边角的统一，根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，进一步变形化简可得1cos 2B =，∴B 3π=；（2）由（1）可得π32=+C A ，即23C A π=-，因此可以将sinA+sinC进行三角恒等变形转化为关于A的函数，即A A A A C A c o s 23s i n 23)32s i n (s i n s i n s i n +=-+=+π)6(s i n 3π+=A，从而可以得到sinA+sinC 取值范围是]3,23(． （1） 由m n ⊥，得,cos )2(cos B c a C b -=.cos 2cos cos B a B c C b =+∴ 由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，.cos sin 2)sin(B A C B =+∴又,A C B -=+π.cos sin 2sin B A A =∴又.21cos ,0sin =∴≠B A 又.3),,0(ππ=∴∈B B ；∵π=++C B A ，∴π32=+C A ，∴A A A A C A cos 23sin 23)32sin(sin sin sin +=-+=+π)6(sin 3π+=A ，∵320π<<A ，∴πππ6566<+<A ，∴1)6(sin 21≤+<πA ，∴3sin sin 23≤+<C A ． 故sin A ＋sin C 的取值范围是]3,23(． 考点：1、平面向量垂直的坐标表示；2、三角恒等变形．19．已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1==q a a n ，设数列{}n b 满足*)(log 3241N n a b n n ∈=+．(1)求数列{}n n b a +的前n 项和为n S ；(2)若数列n n n n b a c c ⋅=满足}{，若1412-+≤m m c n 对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()2133)41(1-+-=n n S nn ；（2）1≥m 或5-≤m ． 【解析】试题分析：（1）根据题意可以得到等比数列}{n a 的通项公式为)()41(*N n a n n ∈=，∵2log 341-=n n a b ，∴23-=n b n ，因此}{n b 是1为首项3为公差的等差数列，从而可以求得}{n n b a +的前n 项和n S ；（2）1412-+≤m m c n 对一切正整数n 恒成立，等价于141)(2max -+≤m m c n ，可以得到数列}{n c 从第二项起是递减的，而4112==c c ，因此问题等价于求使不等式141412-+≤m m 成立的m 的取值范围，从而得到1≥m 或5-≤m ． （1）由题意知，)()41(*N n a n n ∈=，又∵2log 341-=n n a b ，∴23-=n b n∴()23)41(-+=+n b a n n n ，∴()2133)41(1-+-=n n S n n ； （2）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n n n ∈-==*)(,)41()23(N n n c nn ∈⨯-=∴n n n n n n c c )41()23()41()13(11⋅--⋅+=-++ *)(,)41()1(91N n n n ∈⋅-=+∴当n=1时，4112==c c ；当2n ≥时，n n c c <+1，即n c c c c c <⋯<<=4321；∴当n=1时，n c 取最大值是41．又1412-+≤m m c n 对一切正整数恒成立，∴141412-+≤m m ； 即510542-≤≥≥-+m m m m 或得 ．考点：1、等差、等比数列的前n 项和；2、数列单调性的判断；3、恒成立问题的处理方法．20．如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪， 图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上． (1)．设AD=x （x≥0），DE=y ，求用x 表示y 的函数关系式,并求函数的定义域；(2)．如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予证明．【答案】（1）[]()2,1,2422∈-+=x xx y ；（2）如果DE 是水管，DE 的位置在AD=AE=2处，如果DE 是参观路线，则DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长，证明过程详见解析． 【解析】试题分析：（1）在△ADE 中，利用余弦定理可得AE x AE x y ⋅-+=222，又根据面积公式可得2=⋅AE x ，消去AE 后即可得到y 与x 的函数关系式，又根据⎩⎨⎧≤≤≤≤2020AE AD 可以得到x的取值范围；（2）如果DE 是水管，则问题等价于当]2,1[∈x 时，求2422-+=xx y 的最小值，利用基本不等式22222422=-⋅≥-+xx 即可求得当2=x 时，y 有最小值为2，如果DE 是参观路线，则问题等价于问题等价于当]2,1[∈x 时，求2422-+=x x y 的最小值，根据函数2422-+=xx y 在[1,2]上的单调性，可得当x=1或2时，y 有最小值3．（1）在△ADE 中，由余弦定理：60cos 2222⋅⋅-+=AE x AE x y ⇒AE x AE x y ⋅-+=222①又∵ 60sin 212321⋅⋅===∆∆AE x S S ABC ADE ⇒2=⋅AE x ② ②代入①得2)2(222-+=xx y （y ＞0）, ∴2422-+=xx y ， 由题意可知212020≤≤⇒⎩⎨⎧≤≤≤≤x AE AD ，所以函数的定义域是[]2,1，C[]()2,1,2422∈-+=∴x xx y ； （2）如果DE 是水管=y 22222422=-⋅≥-+x x , 当且仅当224x x =，即x ＝2时“＝”成立，故DE ∥BC ，且DE ＝2． 如果DE 是参观线路，记()224xx x f +=，可知函数在[1，2]上递减，在[2，2]上递增， 故()()()521max ===f f x f ∴y max=DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长．考点：1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算．21．设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，向量()()2,1,1,+==n n a b s a ，（*N n ∈）满足b a //．(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)设数列}{n b 的通项公式为n b n n a a t =+（*N t ∈），若1b ，2b ，m b （*,3N m m ∈≥）成等差数列，求t 和m 的值；(3)．如果等比数列{}n c 满足11a c =，公比q 满足102q <<，且对任意正整数k ，()21+++-k k k c c c 仍是该数列中的某一项，求公比q 的取值范围．【答案】（1）12-=n a n ；（2）⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4m 5t 5m 3t 7m 2t ，，；（3）12-=q ． 【解析】试题分析：（1）由//可以得到12+=n n a S ，即2n )1(4+=n a S ，利用⎩⎨⎧=≥-=-)1()2(11n S n S S a n n n ，可得)2(21≥=--n a a n n ，即}{n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，从而求得通项公式12-=n a n ；（2）由)3(,,21≥m b b b m 是等差数列可得m b b b +=122，即t m m t t +--++=+⨯121211332，整理得143-+=t m ，根据m,t 是正整数，所以t-1只可能是1,2,4，从而解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4m 5t 5m 3t 7m 2t ，，； （3）易知1-=n n q c ，因为()21+++-k k k c c c 仍是该数列中的某一项，所以()()21111q q q q q q k k k k --=+--+-是该数列中的某一项，又n c 是q 的几次方的形式，所以21q q --也是q 的几次方的形式，而210<<q ，所以11412<--<q q ，所 以21q q --只有可能是q ，⎪⎭⎫ ⎝⎛<412q ，所以q q q =--21，所以12-=q ． （1）∵b a //，∴12+=n n a S ，∴2)1(4+=n n a S ①当n=1，有()2111122+==a a S ，}{n a 是正项数列，∴0>n a ∴11=a 当2≥n ，有()21114+=--n n a S ②， ①-②，得()()0211=--+--n n n n a a a a ， 0>n a ，∴21=--n n a a ， ∴数列}{n a 以11=a ，公差为2的等差数列，12)1(21-=-+=n n a n ；（2）易知tn n b n +--=1212，∵)3(,,21≥m b b b m 是等差数列， 即m b b b +=122，∴t m m t t +--++=+⨯121211332，整理得143-+=t m ， ∵m,t 是正整数，所以t 只可能是2,3,5，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4m 5t 5m 3t 7m 2t ，，； 易知1-=n n q c ，∵()21+++-k k k c c c ()()21111q q q q q qk k k k --=+-=-+-仍是该数列中的某一项，记为第t 项)(*N t ∈，∴()1211--=--t k q q q q，即k 21-=--t q q q ，∵210<<q ，∴11412<--<q q ， 141<<-k t q ，又∵210<<q ，∴只有t-k=1，即q q q =--21，解得1-2q = 考点：1、数列的通项公式；2、数列综合．。
重庆一中2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（）A．53B．35C．A53D．C533．对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A．相切B．相交且直线过圆心C．相交且直线不过圆心D．相离4．已知椭圆方程为的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．12 B．9 C．6 D．45．若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）A．m＜1 B．m＜0 C．D．6．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若=，则||•||=（）A．2 B．3 C．D．7．在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（）A．960 B．﹣160 C．﹣560 D．﹣9608．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．9．P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆x2+y2+10x+21=0和x2+y2﹣10x+24=0上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．910．4个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有（）A．576种B．504种C．288种D．252种11．已知点P（x，y）在椭圆上运动，设，则d 的最小值为（）A．B． C．D．12．已知直线l与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=r2，若直线l和圆C相切，且满足条件的直线l恰好有三条，则圆的半径r的取值集合为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为．14．已知，则x2+y2的最小值是．15．将编号1，2，3，4，5的小球放入编号1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子放一个小球，则至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有种．16．已知双曲线C的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B，且A、B两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l有且仅有两条，则双曲线C 的离心率的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，点A（1，2），B（﹣1，3），C（3，﹣3）．（1）求AC边上的高所在直线的方程；（2）求AB边上的中线的长度．18．已知（2x2﹣x+1）（1﹣2x）6=a0+a1x+a2x2+…+a8x8．（1）求a2；（2）求（a2+a4+a6+a8）2﹣（a1+a3+a5+a7）2．19．已知过点P（1，2）的直线l和圆x2+y2=6交于A，B两点．（1）若点P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程；（2）若，求直线l的方程．20．设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为线段PD上一点，且．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线交轨迹C于A，B两点，若点F（﹣3，0），△ABF求的面积．21．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线，若抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2．（1）求抛物线C的方程；（2）在抛物线C上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．22．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，动点P在椭圆上运动，|PF1|•|PF2|的最大值为25，且点P到F1的距离的最小值为1．（1）求椭圆T的方程；（2）直线l与椭圆T有且仅有一个交点A，且l切圆M：x2+y2=R2（其中（3＜R ＜5））于点B，求A、B两点间的距离|AB|的最大值；（3）当过点C（10，1）的动直线与椭圆T相交于两不同点G、H时，在线段GH上取一点D，满足，求证：点D在定直线上．2016-2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角．【解答】解：将已知直线化为y=，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为150°，故选：D．2．3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（）A．53B．35C．A53D．C53【考点】计数原理的应用．【分析】每班从5个风景点中选择一处游览，每班都有5种选择，根据乘法原理，即可得到结论【解答】解：∵共3个班，每班从5个风景点中选择一处游览，∴每班都有5种选择，∴不同的选法共有53，故选：A．3．对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A．相切B．相交且直线过圆心C．相交且直线不过圆心D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【分析】对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在，判断（0，1）在圆x2+y2=4的关系，可得结论．【解答】解：对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=4内，圆心坐标（0，0）不满足y=mx+1，所以直线不经过圆的圆心，∴对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选：C．4．已知椭圆方程为的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．12 B．9 C．6 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程为焦点在x轴上，a=3，根据椭圆的定义可知：椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=2a=6，|BF1|+|BF2|=2a=6，则△ABF2的周长（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=12．【解答】解：椭圆方程为焦点在x轴上，a=3，b=2，c=，由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=2a=6，|BF1|+|BF2|=2a=6，则△ABF2的周长（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12，∴△ABF2的周长12，故选A．5．若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）A．m＜1 B．m＜0 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将曲线化成焦点在y轴上双曲线的标准方程，得，由此建立关于m的不等式组，解之可得m＜0．【解答】解：∵曲线表示焦点在y轴上的双曲线，∴将曲线化成标准方程，得，由此可得1﹣m＞0且﹣m＞0，解得m＜0．故选：B6．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若=，则||•||=（）A．2 B．3 C．D．【考点】椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】设|PF1|=m、|PF2|=n，根据椭圆的定义得到m+n=4．在△F1PF2中利用余弦定理，得4=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，结合=算出m2+n2=9，两式联解得出mn=，即得||•||的值．【解答】解：椭圆中，a=2，b=，可得c==1，焦距|F1F2|=2．设|PF1|=m、|PF2|=n，根据椭圆的定义，可得m+n=2a=4，平方得m2+2mn+n2=16…①．△F1PF2中，根据余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2，即4=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，…②∵=，∴cos∠F1PF2=mncos∠F1PF2=，代入②并整理，可得m2+n2=9…③，用①减去③，可得2mn=7，解得mn=，即||•||=．故选：C7．在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（）A．960 B．﹣160 C．﹣560 D．﹣960【考点】二项式定理的应用．【分析】先求得n=6，再利用二项展开式的通项公式，求得的二项展开式中的常数项．）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系【解答】解：在（x﹣1）n（n∈N+数最大，则n=6，=•26﹣r•（﹣1）则=的二项展开式的通项公式为T r+1r•x3﹣r，令3﹣r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项为•23•（﹣1）=﹣160，故选：B．8．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选C．9．P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆x2+y2+10x+21=0和x2+y2﹣10x+24=0上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设通过双曲线的定义推出|PF1|﹣|PF2|=6，利用|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，推出|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|，求出最大值．【解答】解：双曲线双曲线，如图：∵a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0），∵x2+y2+10x+21=0，x2+y2﹣10x+24=0，∴（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1，∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|+|NF2|=6+1+2=9．故选D10．4个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有（）A．576种B．504种C．288种D．252种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】把男生甲与女生乙排在一起作为一个元素，剩余3个男生与3个女生，按照男生、女生不相邻的插空排法共有•不同的站法；再把男生甲与女生乙放入，符合条件的是••种不同的站法．【解答】解：4个男生4个女生站成一排，把男生甲与女生乙排在一起作为一个元素，剩余3个男生与3个女生，按照男生、女生不相邻的插空排法，有•=6×24=144种不同的站法；现在有7个位置把男生甲与女生乙放入，符合条件的是：••=×7×144=504．故选：B．11．已知点P（x，y）在椭圆上运动，设，则d 的最小值为（）A．B． C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由设P（2cosα，sinα），则设=﹣cosα=﹣cosα，当sinα=0，cosα=1时，d的最小值．【解答】解：椭圆焦点在x轴上，由点P（x，y）在椭圆上，设P（2cosα，sinα），则设=﹣cosα，=﹣cosα，当sinα=0，cosα=1时，d的最小值为=﹣1=2﹣1，d的最小值2﹣1，故选B．12．已知直线l与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=r2，若直线l和圆C相切，且满足条件的直线l恰好有三条，则圆的半径r的取值集合为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】当r=1，2时，符合题意，排除B，A，C，即可得出结论．【解答】解：由题意，r=1时，直线过原点，方程x=0，与x轴垂直，另外一条与圆C相切；斜率为﹣1，与圆C相切，有两条，符合题意，排除B．r=2时，直线过原点，方程y=0，与y轴垂直，另外一条与圆C相切；斜率为﹣1，与圆C相切，有两条，符合题意，排除A，C．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为1．【考点】抛物线的标准方程．【分析】利用抛物线的标准方程可得p=1，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果．【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=1，故答案是：1．14．已知，则x2+y2的最小值是5．【考点】简单线性规划．【分析】（1）画可行域；（2）设目标函数z=x2+y2z为以（0，0）为圆心的圆半径平方（也可以理解为可行域内点到（0，0）点距离平方）；（3）利用目标函数几何意义求最值．【解答】解：已知，如图画出可行域，得交点A（1，2），B（3，4），令z=x2+y2，z为以（0，0）为圆心的圆半径平方（也可以理解为可行域内点到（0，0）点距离平方），因此点A（1，2），使z最小代入得z=1+4=5则x2+y2的最小值是5．15．将编号1，2，3，4，5的小球放入编号1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子放一个小球，则至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有109种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】利用间接法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：5个球全排列为A55=120种情况3个球的编号与盒子的相同，先选出3个小球，放到对应序号的盒子里，有C53=10种情况，另外2个球，有1种不同的放法，故10种情况4个球的编号与盒子的相同，有1种不同的放法，故至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有120﹣10﹣1=109种不同的放法，故答案为：109．16．已知双曲线C的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B，且A、B两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l有且仅有两条，则双曲线C的离心率的取值范围为（1，）∪（2，+∞）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】讨论当A，B均在右支上，可得c＞，当A，B在左右两支上，可得c＞2a，运用离心率公式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：当A，B均在右支上，可得c＞，即有2b2＜ac，即2c2﹣ac﹣2a2＜0，即为2e2﹣e﹣2＜0，解得1＜e＜；当A，B在左右两支上，可得c＞2a，即有e＞2．故答案为：（1，）∪（2，+∞）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，点A（1，2），B（﹣1，3），C（3，﹣3）．（1）求AC边上的高所在直线的方程；（2）求AB边上的中线的长度．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）由斜率公式易知k AC，由垂直关系可得AC边上的高所在的直线方程的斜率k，代入点斜式易得；（2）求得线段AB的中点坐标为M（0，），然后利用两点间的距离公式进行解答．【解答】解：（1）由斜率公式易知k AC=﹣=﹣，∴AC边上的高所在的直线的斜率k=，又AC 边上的高所在的直线过点B （﹣1，3），代入点斜式易得y ﹣3=（x +1）， 整理，得：2x ﹣5y +17=0．（2）由A （1，2），B （﹣1，3）得到AB 边的中点坐标M 是（0，），故中线长|CM |==．18．已知（2x 2﹣x +1）（1﹣2x ）6=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8． （1）求a 2；（2）求（a 2+a 4+a 6+a 8）2﹣（a 1+a 3+a 5+a 7）2． 【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 【分析】（1）利用展开式的通项公式，求得a 2的值．（2）令x=0，可得a 0 =1，再分别令x=1、x=﹣1，可得两个式子，化简这2个式子，可得要求式子的值．【解答】解：（1）分析项的构成，知：．（2）原式=（a 1+a 2+a 3+…+a 8）（﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6﹣a 7+a 8）， 令x=0，得a 0=1，令x=1，得a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 8=2⇒a 1+a 2+a 3+…+a 8=1，令x=﹣1，得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6﹣a 7+a 8=2916⇒﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6﹣a 7+a 8=2915 从而原式=2915．19．已知过点P （1，2）的直线l 和圆x 2+y 2=6交于A ，B 两点． （1）若点P 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程； （2）若，求直线l 的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）圆心为原点O ，由已知OP ⊥l ，求出l 的斜率，可得直线l 的方程；（2）分类讨论，利用垂径定理，求出直线的斜率，即可求出直线l 的方程． 【解答】解：（1）易知圆心为原点O ，由已知OP ⊥l ，所以k OP •k l =﹣1，而k OP =2，解出，由点斜式可得直线的方程为：x+2y﹣5=0；（2）当直线l的斜率不存在时，刚好满足，此时直线方程为x=1；若直线斜率存在，设为y﹣2=k（x﹣1），整理为kx﹣y+（2﹣k）=0．由垂径定理，可得圆心到直线的距离，所以，解出，此时直线的方程为3x﹣4y+5=0．综上可知满足条件的直线方程为：x=1或者3x﹣4y+5=0．20．设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为线段PD上一点，且．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线交轨迹C于A，B两点，若点F（﹣3，0），△ABF求的面积．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则，解得：，代入x'2+y'2=25，整理得点M的轨迹C的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，利用弦长公式求出丨AB丨，求出点F到AB的距离，即可求△ABF的面积．【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），由，解得：，∵P在圆上，∴x'2+y'2=25，即x2+（y）2=25，整理得．（2）直线，代入C的方程，整理得：x2﹣3x﹣8=0∴由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，∴线段AB的长度为，点F到AB的距离为，故．21．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线，若抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2．（1）求抛物线C的方程；（2）在抛物线C上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由抛物线的定义知：P到直线的距离等等于P到焦点的距离，则P距离之和的最小值为点F到直线l1的距离，利用点到直线的距离公式，即可求得p的值，求得抛物线C的方程；（2）可设直线AB：x=﹣ky+m．代入抛物线方程，由韦达定理及中点坐标公式可知：．又AB与抛物线有两个不同的交点，故△=16k2+16m＞0．代入即可求得k的取值范围．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）焦点在x轴上，焦点F（，0），由抛物线的定义知：P到直线的距离等等于P到焦点的距离，∴P到两直线的距离之和的最小值为点F到直线l1的距离，由点到直线的距离公式可知：=2，解得：p=2，∴抛物线的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），关于直线y=kx+3对称，故可设直线AB：x=﹣ky+m．，整理得：y2+4ky﹣4m=0．由韦达定理可知：y1+y2=﹣4m，则，∴．∵点M（x0，y0）在y=kx+3上，则﹣2k=k（2k2+m）+3．即．又AB与抛物线有两个不同的交点，故△=16k2+16m＞0．将m代入上式得：，即k（k+1）（k2﹣k+3）＜0，k2﹣k+3＞0恒成立，∴解得：﹣1＜k＜0，由故k的取值范围为（﹣1，0）．22．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，动点P在椭圆上运动，|PF1|•|PF2|的最大值为25，且点P到F1的距离的最小值为1．（1）求椭圆T的方程；（2）直线l与椭圆T有且仅有一个交点A，且l切圆M：x2+y2=R2（其中（3＜R ＜5））于点B，求A、B两点间的距离|AB|的最大值；（3）当过点C（10，1）的动直线与椭圆T相交于两不同点G、H时，在线段GH上取一点D，满足，求证：点D在定直线上．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由于，则|PF1|•|PF2|的最大值为a2，a2=25，a﹣c=1，c=4，即可求得b的值，求得椭圆T的方程；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由直线与圆相切代入即可求得A，B坐标，由两点之间的距离公式，利用韦达定理即可求得A、B两点间的距离|AB|的最大值；（3）设G、H、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x，y），由题设知，于是且．从而．又G、H在椭圆上，则，化简整理得点D在定直线18x+5y﹣45=0上．【解答】解：（1）由于，所以|PF1|•|PF2|的最大值为a2，当|PF1|=|PF2|时取等号，由已知可得a2=25，即a=5，又a﹣c=1，c=4，所以b2=a2﹣c2=9，故椭圆的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，设直线AB的方程为y=kx+m．因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有，消y得（25k2+9）x2+50kmx+25（m2﹣9）=0．由于直线与椭圆相切，故，△=（50km）2﹣4（25k2+9）×25（m2﹣9）=0，从而可得m2=9+25k2①，且②．由，消y得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣R2=0．由于直线与椭圆相切，得m2=R2（1+k2）③，且④．由①③得，故，=，，即|AB|≤2．当且仅当时取等号，所以|AB|的最大值为2．（3）证明：设G、H、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x，y），由题设知，均不为零，记，则λ＞0且λ≠1，又C、G、D、H四点共线，则．于是且．从而．又G、H在椭圆上，则，消去x1，y1，x2，y2得90x+25y=9×25，即点D在定直线18x+5y﹣45=0上．2017年1月14日。
重庆市第一中学2016-2017学年高一上学期数学期中试题及答案
重庆市第一中学2016-2017学年高一数学上学期期中试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1. 设全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}4,2,4,3,1==B A ，则()U C A B ⋂=（ ） A ．{}2B ．{}4,2C ．{}4,2,1 D ．φ2. 函数()()1011≠>-=-a a a x f x 且的图象必经过定点（ ）A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()0,1-D ．()0,13. 在0到π2范围内，与角34π-终边相同的角是（ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．34π4. 函数()()2lg 231++-=x xx f 的定义域是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-232， B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-232， C ．()∞+-，2 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，23 5. 已知3.0log 24.053.01.2===c b a ，，，则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．a b c << D ．bc a <<6. 函数()xx x f 1ln -=的零点所在的大致区间是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1eB ．()e ,1C ．()2,e e D ．()32,e e7. 已知函数()(),03)0(log 2⎩⎨⎧≤>=x x x x f x则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛81f f 的值是（ ） A ．27-B ．271-C ．27D ．2718. 函数xx y xe ⋅=的图像的大致形状是（ ）A B C D9. 已知函数()()53log 221+-=ax x x f 在[)∞+-，1上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]6,-∞- B ．[)68，- C ．(]68--，D ．[)+∞-,8 10. （原创）已知关于x 的方程12=-m x 有两个不等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ． (]1,-∞-B ．()1,-∞-C ．[)∞+，1 D ．()∞+，1 11.（原创）已知函数()()()1011ln2≠>-+++=a a a a x x x f xx且，若()()313log lg 2=f ，则()()=2log lg 3f （ ）A ．0B ．31C ．32D ． 1 12. 设函数()a x e x f x-+=2（e R a ,∈为自然对数的底数），若存在实数[]1,0∈b 使()()b b f f =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]e ，0B ．[]e 1,1+C ． []e +2,1D ．[]1,0第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上. 13. 幂函数()()3221-+--=m mx m m x f 在()∞+，0上为增函数，则实数m =______. 14. 扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为____2cm .15. 已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，()x x x f 22+=，则当0<x 时，()x f =__________.16. 已知函数()3||log )(31+-=x x f 的定义域是[]b a ,()Z b a ∈,，值域是[]0,1-，则满足条件的整数对()b a ,有________对．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）（原创）化简：（1）()7112log 4231123log 743π⎛⎫--++ ⎪⎝⎭；（2）()5262512lg 20lg 5lg 2--+++⋅.18.（12分）(原创）已知集合A 为函数()[]2,1,122∈-+=x x x x f 的值域，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=014x x xB ，则（1）求A B I ；（2）若集合{}1+<<=a x a x C ，C C A =⋂，求实数a 的取值范围.19. （12分）（原创）已知函数()x f y =为二次函数，()40=f ，且关于x 的不等式()02<-x f 解集为{}21<<x x ，（1）求函数()x f 的解析式；（2）若关于x 的方程()0=-a x f 有一实根大于1，一实根小于1，求实数a 的取值范围.20. （12分）（原创）已知函数()xx xx a x f --+⋅-=2222是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值，并求函数()x f 的值域；（2）判断函数()x f y =的单调性（不需要说明理由），并解关于x 的不等式()03125≥-+x f .21. （12分）（原创）已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤⎪⎭⎫⎝⎛-=0,1210,2122x x x x x f x，（1）画出函数()x f 的草图并由图像写出该函数的单调区间；（2）若()a x g xx -=-23，对于任意的[]1,11-∈x ，存在[]1,12-∈x ，使得()()21x g x f ≤成立，求实数a的取值范围.22. （12分）对于在区间],[n m 上有意义的函数)(x f ，若满足对任意的21,x x ],[n m ∈，有|)()(|21x f x f -1≤恒成立，则称)(x f 在],[n m 上是“友好”的，否则就称)(x f 在],[n m 上是“不友好”的．现有函数()xaxx f +=1log 3， （1）若函数)(x f 在区间]1,[+m m ()21≤≤m 上是 “友好”的，求实数a 的取值范围； （2）若关于x 的方程()[]1423log )(3=-+-a x a x f 的解集中有且只有一个元素，求实数a 的取值范围．2016年重庆一中高2019级高一上期半期考试数 学 答 案2016.12一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) ADCAA BDBCD CB二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13. 2 14.4 15. x x 22+- 16.5三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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秘密★启用前
2013年重庆一中高2016级高一上期半期考试
数学试题卷2013.11
一、选择题.( 本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 已知映射，在映射下的原象是（）
(A) (B) (C) (D)
2．设集合，则中的元素个数是
（）
（A）15 （B）16 （C）10 （D）11
3.“成立”是“成立”的( )
(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
4.下列函数中是奇函数的是（）
(A)(B)(C)(D)
5．已知，那么的值是（）
（A）（B）（C）（D）
6. 函数在下列区间内一定有零点的是( )
(A)[0,1] (B)[2,3] (C)[1,2] (D)[3,4]
7．已知不等式的解集为，则实数的取值范围（）
（A）（B）（C）（D）
8.已知定义在上的函数的图象关于轴对称，且满足，
，则的值为（）
（A）1 （B）2 （C）（D）
9(原创).已知函数若a,b,c互不相等，且，则
的取值范围是（）
（A）（1,10）（B）（5,6）（C）（10,12）（D）（20,24）
10. (原创)若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为
（A）（0，1）（B）(,1) （C）(,) （D）(1, )
二.填空题(每小题5分,共25分)
11．已知,则= .
12.函数的单调递增区间为.
13.函数的定义域为R，那么的取值范围是________
14．已知，且，则
15.(原创)设定义在上的单调函数，若函数与的定义域与值域都相同，则实数m的取值范围为_________
三.解答题.( 本大题共6小题,共75分.)
16.(13分) 计算：
（1）
（2）
17.(13分)
已知集合，若
，，
（1）用列举法表示集合和集合
（2）试求的值。
18、(13分)已知是定义在上的偶函数，当时，
（1）求的解析式；
（2）画出的图象；
（3）若方程有2个解，求的范围。
19.(12分)已知定义域为的函数是奇函数
（1）求值,并判断的单调性（不需证明）。
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
20.（原创）(12分)设。
（1）求在上的值域；
（2）若对于任意，总存在,使得成立,求的取值范围。
21．(原创) (12分)已知函数()是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；
(3)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
命题人：朱海军
审题人：李华
秘密★启用前
2013重庆一中高2016级高一上期半期考试
数学试题答案2013.11
一、选择题
DBABA BBBCC
二.填空题
11, 12, 13, 14,-36 15,
三.解答题
16(1) -3
(2)
17,（1）由题意：
（2）∵，由
∴代入得：
18,解：设，则由已知得：
又∴
（2）图象如图：
（3）方程有2个解，由图可知：或
19,解：（1）由题设，需，
经验证，为奇函数，，减函数
（2）由得，
是奇函数，由（1），是减函数
原问题转化为，
即对任意恒成立
得即为所求
20,解：用双勾函数求值域. 值域[0,1]。
(2)值域[0,1]，在上的值域. 由条件,只
须，∴.
21,解:(1)因为为偶函数，
所以，
即对于恒成立.
于是恒成立,
而x不恒为零，所以.
(2)由题意知方程即方程无解.
令，则函数的图象与直线无交点.
因为
任取、R，且，则，从而.
于是，即，
所以在上是单调减函数.
因为，所以.
所以b的取值范围是
(3)由题意知方程有且只有一个实数根．
令，则关于t的方程(记为(*))有且只有一个正根. 若a=1，则，不合, 舍去；
若，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.
由或－3；但，不合，舍去；而；
方程(*)的两根异号
综上所述，实数的取值范围是．。