2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北文)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(文史类)本试题卷共22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,5,6}，则∁U A ＝( ) A ．{1,3,5,6} B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ．{2,5,7}2.i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 3．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A ．∀x ∉R ，x 2≠xB.∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x 4.若变量x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0， 则 2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．4C ．7D ．85．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1 ，点数之和大于5的概率记为p 2 ，点数之和为偶数的概率记为p 3 ，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 1<p 3C ．p 1<p 3<p 2D ．p 3<p 1<p 2 6.根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b <0 B ．a >0，b >0 C.a <0，b <0 D ．a <0，b >07. 在如图所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8．设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0 的两个不等实根，则过 A (a ，a 2)，B (b ，b 2) 两点的直线与双曲线x 2cos 2θ －y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39．已知f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当x ≥0 时， f (x )＝x 2－3x . 则函数g (x )＝f (x )－x ＋3 的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3}10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．1213．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝ ________.14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为________ .15.如图所示，函数 y ＝f (x )的图象由两条射线和三条线段组成．若∀x ∈R ，f (x )>f (x －1) ，则正实数a 的取值范围为________．16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(Ⅰ)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(Ⅱ)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加________辆/小时． 17．已知圆O ：x 2＋y 2＝1 和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2) 和常数 λ满足：对圆 O 上任意一点 M ，都有|MB |＝λ|MA |，则(Ⅰ)b ＝________ ； (Ⅱ)λ＝________ .三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分12分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t, t ∈[0,24)．(Ⅰ)求实验室这一天上午8时的温度； (Ⅱ)求实验室这一天的最大温差. 19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且 a 1，a 2 ，a 5 成等比数列． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)记 S n 为数列{a n }的前 n 项和，是否存在正整数n ，使得 S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.20．(本小题满分13分) 如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1 ，BB 1 ，A 1B 1 ，A 1D 1 的中点. 求证：(Ⅰ)直线BC 1 ∥平面EFPQ ； (Ⅱ)直线 AC 1⊥平面 PQMN . 21．(本小题满分14分)π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (Ⅰ)求函数f (x )＝ln xx的单调区间；(Ⅱ)求 e 3,3e ，e π ，πe,3π ，π3 这6个数中的最大数与最小数． 22．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，点 M 到点 F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(Ⅰ)求轨迹C 的方程；(Ⅱ)设斜率为 k 的直线 l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.答案1．解析：选C 由题意知∁U A ＝{2,4,7}，选C.2.解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1，选B.3．解析：选D 全称命题的否定是特称命题：∃x ∈R ，x 2＝x ，选D.4.解析：选C 由题意作出可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2⇒A (3,1)．故2x ＋y 的最大值为7.5．解析：选C 总的基本事件个数为36，向上的点数之和不超过5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个，则向上的点数之和不超过5的概率p 1＝1036＝518；向上的点数之和大于5的概率p 2＝1－518＝1318；向上的点数之和为偶数与向上的点数之和为奇数的个数相等，故向上的点数之和为偶数的概率p 3＝12.即p 1<p 3<p 2，选C.6.解析：选A由散点图可知b <0，a >0，选A.7. 解析：选D 在空间直角坐标系O -xyz 中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯视图为②.选D.8．解析：选A 关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根为0，－tan θ(tan θ≠0)，则过A ，B 两点的直线方程为y ＝－x tan θ，双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的渐近线为y ＝±x tan θ，所以直线y ＝－x tan θ与双曲线没有公共点．故选A.9．解析：选D 当x ≥0时，函数g (x )的零点即方程f (x )＝x －3的根，由x 2－3x ＝x －3，解得x ＝1或3；当x <0时，由f (x )是奇函数得－f (x )＝f (－x )＝x 2－3(－x )，即f (x )＝－x 2－3x .由f (x )＝x －3得x ＝－2－7(正根舍去)．选D.10．解析：选B V ≈275L 2h ＝13πr 2h ⇒275L 2＝13πr 2，而L ＝2πr ，则π＝258.选B.11.解析：分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件．答案：1 800 12答案：2 513．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝32，又B ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π3. 答案：π3或2π314.解析：S ＝(21＋22＋…＋29)＋(1＋2＋…＋9)＝210－2＋45＝1 024＋43＝1 067. 答案：1 06715.解析：由题中图象知f (x )为奇函数，当x ≤－2a 或x ≥2a 时，f (x )为增函数，f (x )>f (x －1)恒成立；又∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)，且f (4a )＝f (－2a )＝a ，故只需4a －(－2a )<1，即a <16，又a 为正实数，故a ∈⎝⎛⎭⎫0，16. 答案：⎝⎛⎭⎫0，16 16．解析：(Ⅰ)F ＝76 000v ＋20×6.05v ＋18≤76 0002121＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时等号成立．(Ⅱ)F ＝76 000v ＋20×5v ＋18≤76 0002100＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.答案：1 900 10017．解析：设M (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，y 2＝1－x 2，λ2＝|MB |2|MA |2＝(x －b )2＋y2(x ＋2)2＋y 2＝x 2－2bx ＋b 2＋1－x 2x 2＋4x ＋4＋1－x 2＝b 2＋1－2bx 5＋4x ＝－b2＋b 2＋52b ＋15＋4x. ∵λ为常数，∴b 2＋52b ＋1＝0，解得b ＝－12或b ＝－2(舍去)．∴λ2＝－b 2＝14，解得λ＝12或λ＝－12(舍去)．答案：－12 1218．解：(Ⅰ)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃. (Ⅱ)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．解：(Ⅰ)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(Ⅱ)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41.综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.20解：(Ⅰ)连接AD 1，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，知AD 1∥BC 1，因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1.从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(Ⅱ)如图，连接AC ，BD ，则AC ⊥BD .由CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得CC 1⊥BD . 又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1. 而AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1.连接B 1D 1，因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，所以MN ∥B 1D 1，故MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1.同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN .21．解：(Ⅰ)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2. 当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． (Ⅱ)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π. 故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中． 由e<3<π及(Ⅰ)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln 33<ln ee .由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln 3π，所以3π>π3； 由ln 33<ln ee，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .22．解：(Ⅰ)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(Ⅱ)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0. ①(1)当k ＝0时，此时y ＝1.把代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. (2)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k. ③(ⅰ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1，或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ⅱ)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． (ⅲ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12，或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合(1)(2)可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．。