不等式及不等式组的提高
成人高考数学题型解析
成人高考数学题型解析一、代数部分1、集合与简易逻辑：这部分试题一般不难，主要是考查考生对简易逻辑的基础知识的掌握程度。
在复习时，应注重对简易逻辑的基础知识的理解和应用，尤其是对“四种命题”及“充要条件”的理解和应用。
2、函数与导数：这部分试题难度一般，主要考查考生对函数的理解和掌握，特别是函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。
在复习时，应注重对函数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对导数的基础知识和应用的理解和掌握。
3、数列：这部分试题难度一般，主要考查考生对数列的基础知识的理解和应用，特别是等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式等。
在复习时，应注重对数列的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对数列的通项公式和前n项和公式的理解和应用。
4、不等式与不等式组：这部分试题难度一般，主要考查考生对不等式的基础知识的理解和应用，特别是不等式的解法、均值不等式等。
在复习时，应注重对不等式的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对不等式的解法和均值不等式的理解和应用。
5、复数：这部分试题难度一般，主要考查考生对复数的基础知识的理解和应用，特别是复数的代数形式、几何意义及复数的运算等。
在复习时，应注重对复数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对复数的几何意义和复数的运算的理解和应用。
二、三角函数部分这部分知识包括正弦函数、余弦函数、正切函数的概念、图像及性质以及简单的三角函数运算。
成人高考对于三角函数的考查主要是以基础知识的考查为主，对于一些复杂的三角函数问题，会以实际应用问题的形式出现。
在复习时，应注重对三角函数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对三角函数的图像和性质的熟悉和掌握。
三、平面解析几何部分这部分知识包括直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的概念、图像及性质以及一些简单的平面解析几何问题。
在复习时，应注重对平面解析几何的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对平面解析几何的图像和性质的熟悉和掌握。
高一知识点不等式题型归纳
高一知识点不等式题型归纳高一阶段，不等式是数学学习中的一个重要知识点。
在不等式题型中，有着不同的形式和结构。
掌握这些题型的特点和解题方法，将有助于我们更好地解决各种不等式问题。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式类型之一。
其一般形式为ax+b>0或ax+b<0。
解一元一次不等式主要有两种方法，一是通过改变不等式的形式，转化为相等关系求解；二是通过解不等式的解集表示法，找到满足不等式的解的范围。
例如，对于不等式2x-3>5，我们可以将其转化为相等关系2x-3=5，得到x=4。
根据不等式的性质，我们知道当x>4时，不等式成立。
因此，解集表示为x>4。
二、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一元二次函数（或二次项）的不等式。
一元二次不等式的解有两种表示方法，一种是解集表示法，另一种是图像表示法。
对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，我们首先可以通过将不等式转化为相等关系，求解一元二次方程，确定二次函数的零点。
然后，我们可以根据函数的凹凸性以及不等式的符号，画出二次函数的图像，进而确定不等式的解的范围。
三、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值函数的不等式。
对于一元绝对值不等式|ax+b|>c，我们可以根据不等式的性质，将其拆解为两个简单的不等式，即ax+b>c和ax+b<-c。
分别求解这两个不等式，找到满足条件的解，再将解集表示为绝对值不等式的解集。
四、分式不等式分式不等式是由分式函数组成的不等式。
解分式不等式的关键在于确定分式函数的定义域和值域，进而确定不等式的解集。
例如，对于不等式(x-2)/(x+1)>0，我们首先需要确定分式函数的定义域，即x≠-1。
然后，我们可以通过分式的分子和分母分别确定函数的符号，找出满足不等式的解的范围，最后表示为不等式的解集。
五、不等式组不等式组是由多个不等式同时组成的一类问题。
高考不等式知识点总结
高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。
下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。
当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。
2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。
3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。
4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。
5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。
二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。
在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。
2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。
求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。
三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。
可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。
2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。
四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。
2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。
将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。
一元一次不等式组(提高) 知识讲
一元一次不等式组（提高）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1．理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．【典型例题】类型一、解一元一次不等式组1.解不等式组3(2)4 121.3x xxx--≤-⎧⎪+⎨>-⎪⎩【思路点拨】按照解不等式组的基本步骤进行求解就可以了．【答案与解析】解：解不等式①，得x≥1解不等式②，得x＜4所以，不等式组的解集是1≤x＜4．【总结升华】求出不等式①、②的解集后，应取其公共部分作为不等式组的解集．举一反三：【变式】解不等式组3(2)423x xa xx--<⎧⎪+⎨≥⎪⎩无解．则a的取值范围是 ( )A．a＜1 B．a≤l C．a＞1 D．a≥1【答案】B2. 不等式组3(2)5(4) 2 (1)562(2)1, (2)32211 (3)23x xxxx x⎧⎪++-<⎪+⎪+≥+⎨⎪++⎪-≤⎪⎩是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由.【思路点拨】解这类问题的第一步是分别求出各个不等式的解集；第二步借助数轴以确定不等式组的公共解集；最后看公共解集中是否存在整数解.【答案与解析】解：解不等式（1），得：x＜2；解不等式（2），得：x≥-3；解不等式（3），得：x≥-2；在数轴上分别表示不等式（1）、（2）、（3）的解集：∴原不等式组的解集为：-2≤x＜2.∴原不等式组的整数解为：-2、-1、0、1.【总结升华】求不等式组的解集就是求不等式组中所有不等式解集的公共部分.对于三个以上的不等式有时不容易得到公共解集，于是常常借助数轴的直观性，这样较容易确定其解集.在数轴上表示点的位置，要注意空心圈与实心圆点的不同用法.举一反三：【变式】（2015•北京）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．【答案】解：，由①得：x≥﹣2；由②得：x ＜，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．3.试确定实数a的取值范围．使不等式组123544(1)33x xax x a+⎧+>⎪⎪⎨+⎪+>++⎪⎩恰好有两个整数解．【思路点拨】先确定其解集，再判断出整数解，最后利用数轴确定a的范围．【答案与解析】解：由不等式123x x++>，去分母得3x+2(x+1)＞0，去括号，合并同类项，系数化为1后得x＞25 -．由不等式544(1)33ax x a++>++去分母得3x+5a+4＞4x+4+3a，可解得x＜2a．所以原不等式组的解集为225x a-<<，因为该不等式组恰有两个整数解：0和l，故有：1＜2a≤2，所以：12a<≤１．【总结升华】此题考查的是一元一次不等式组的解法，得出x的整数解，再根据x的取值范围求出a的值即可．【高清课堂：第二讲一元一次不等式组的解法370096 例6】举一反三：【变式】已知a是自然数，关于x的不等式组≥⎧⎨⎩3x-4a,x-2>0的解集是x＞2，求a的值．【答案】解：解第一个不等式，得解集43ax+≥，解第二个不等式，得解集2x>，∵不等式组的解集为x＞2，∴423a+≤，即2a≤，又a为自然数，∴0a=或1或2．类型二、解特殊的一元一次不等式组4.（2015•黔西南州）求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．请你仿照上述方法解决下列问题：（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．（2）求不等式≥0的解集．【答案与解析】解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得①或②，解①得不等式组无解；解②得，﹣1＜x＜；（2）根据“同号两数相乘，积为正”可得①，②，解①得，x≥3，解②得，x＜﹣2，故不等式组的解集为：x≥3或x＜﹣2．【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．类型三、一元一次不等式组的应用5.某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．(1)该校初三年级共有多少人参加春游?(2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．【思路点拨】本题的关键语句是：“若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人”．理解这句话，有两层不等关系．(1)租用36座客车x辆的座位数小于租用42座客车(x-1)辆的座位数．(2)租用36座客车x辆的座位数大于租用42座客车(x-2)辆的座位数+30．【答案与解析】解：(1)设租36座的车x辆．据题意得：3642(1)3642(2)30x xx x<-⎧⎨>-+⎩，解得：79 xx>⎧⎨<⎩．由题意x应取8，则春游人数为：36×8＝288(人)．(2)方案①：租36座车8辆的费用：8×400＝3200(元)，方案②：租42座车7辆的费用：7×440＝3080(元)，方案③：因为42×6+36×1＝288，所以租42座车6辆和36座车1辆的总费用：6×440＋1×400＝3040(元) ．所以方案③：租42座车6辆和36座车1辆最省钱．【总结升华】本例不等关系相对隐蔽，需要在审题过程中加以挖掘．举一反三：【变式1】“向阳”中学某班计划用勤工俭学收入的66元，同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲乙丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学．已知购买的乙种纪念品比购买的甲种纪念品多2件，而购买的甲种纪念品不少于10件，且购买甲种纪念品费用不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案，每种方案中购买甲乙丙三种纪念品各多少件？【答案】解：设购买的甲、乙、丙三种纪念品件数分别为x 、y 、z ，由题意得：⎩⎨⎧+==++26623x y z y x 且⎪⎩⎪⎨⎧≤≥266310x x 由方程组得：⎩⎨⎧-=+=xz x y 5622解不等式组得：10≤x≤11∵x 为整数，∴x＝10或x ＝11当x ＝10时，y ＝12，z ＝12当x ＝11时，y ＝13，z ＝7∴可有两种方案购买．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416练习】【变式2】5.12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作． 拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．(1) 设租用甲种汽车x 辆，请你设计所有可能的租车方案；(2) 若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案．【答案】∴有两种租车方案，分别为：方案1：租甲种汽车7辆，乙种汽车1辆；方案2：租甲种汽车8辆，乙种汽车0辆．（2）租车费用分别为：方案1: 8000×7＋6000×1＝62000（元）；方案2：8000×:8＝64000（元）．∴方案1花费最低，所以选择方案1．。
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组(提高卷)(解析版)
《阳光测评》2020-2021学年下学期八年级数学单元提升卷【北师大版】第二章一元一次不等式与一元一次不等式组（提高卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下面给出了6个式子：①3＞0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】不等式就是含有不等号，表示不等关系的式子，据此即可判断．【解答】解：其中是不等式的有：①3＞0；②4x+3y＞0；⑤x+2≤3；⑥2x≠0．共4个．故选：C．【知识点】不等式的定义2.下列不等式的变形中，不正确的是（）A．若a＞b，则a+1＞b+1B．若﹣a＞﹣b，则a＜bC．若﹣x＜y，则x＞﹣3y D．若﹣3x＞a，则x＞﹣a【答案】D【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．【解答】解：∵a＞b，∴a+1＞b+1，∴选项A不符合题意；∵﹣a＞﹣b，∴a＜b，∴选项B不符合题意；∵﹣x＜y，∴x＞﹣3y，∴选项C不符合题意；∵﹣3x＞a，∴x＞﹣a，∴选项D符合题意．故选：D．【知识点】不等式的性质3.不等式5x﹣1≤2x+5的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】不等式移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【解答】解：不等式移项合并得：3x≤6，解得：x≤2，表示在数轴上，如图所示：，故选：D．【知识点】在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式4.如图，L1：y＝x+2与L2：y＝ax+b相交于点P（m，4），则关于x的不等式x+2≥ax+b的解集为（）A．x≥2B．x≤2C．x≤4D．x≥4【答案】A【分析】首先把P（m，4）代入y＝x+2可得m的值，进而得到P点坐标，然后再利用图象写出不等式的解集即可．【解答】解：把P（m，4）代入y＝x+2得：m＝2，则P（2，4），根据图象可得不等式x+2≥ax+b的解集是x≥2，故选：A．【知识点】两条直线相交或平行问题、一次函数与一元一次不等式5.对有理数x，y定义运算：x※y＝ax+by，其中a，b是常数．如果2※（﹣1）＝﹣4，3※2＞1，那么a，b的取值范围是（）A．a＜﹣1，b＞2B．a＞﹣1，b＜2C．a＜﹣1，b＜2D．a＞﹣1，b＞2【答案】D【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：2a﹣b＝﹣4①，3a+2b＞1②由①得：b＝2a+4③∴3a+2（2a+4）＞1，解得a＞﹣1，把a＞﹣1代入得，b＞2，∴a＞﹣1，b＞2故选：D．【知识点】解一元一次不等式、有理数的混合运算6.已知一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），x与y的部分对应值如下表所示，x﹣2﹣10123y3210﹣1﹣2则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜1B．x＞1C．x＞0D．x＜0【答案】B【分析】由表格得到函数的增减性后，再得出y＝0时，对应的x的值即可．【解答】解：当x＝1时，y＝0，根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，故不等式kx+b＜0的解集是x＞1．故选：B．【知识点】一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式7.不等式组的解集为（）A．x≥2B．﹣3≤x≤2C．x＜﹣3D．﹣3＜x≤2【答案】D【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣3，解不等式2﹣x≥0，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2，故选：D．【知识点】解一元一次不等式组8.不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤﹣1B．﹣2＜a≤﹣1C．﹣2≤a＜﹣1D．﹣2＜a＜﹣1【答案】C【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解即可得出答案．【解答】解：∵解不等式①得：x＞a，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集是a＜x＜2，∵不等式组有3个整数解，∴﹣2≤a＜﹣1，故选：C．【知识点】一元一次不等式组的整数解9.对于整数a、b、c、d，符号表示运算ac﹣bd，已知关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为（）A．﹣≤a≤﹣B．﹣3＜a＜﹣C．﹣3≤a≤﹣D．﹣≤a＜﹣【答案】D【分析】先变形，再求出不等式组的解集，再得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：，∵解不等式①得：x＞8，解不等式②得：x＜2﹣4a，∴不等式组的解集是8＜x＜2﹣4a，∵不等式组有4个整数解，∴12＜2﹣4a≤13，解得：﹣≤a＜﹣，故选：D．【知识点】有理数的混合运算、一元一次不等式组的整数解10.小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（）A．5种B．4种C．3种D．2种【答案】C【分析】设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可．【解答】解：设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得，，解得，3＜x≤8，∵x为整数，也为整数，∴x＝4或6或8，∴有3种购买方案．故选：C．【知识点】一元一次不等式组的应用二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11.不等式组有2个整数解，则实数a的取值范围是．【答案】8≤a＜13【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【解答】解：解不等式3x﹣5＞1，得：x＞2，解不等式5x﹣a≤12，得：x≤，∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4≤＜5，解得：8≤a＜13，故答案为：8≤a＜13．【知识点】一元一次不等式组的整数解12.今年4月某天的最高气温为8℃，最低气温为2℃，则这天气温t℃的t的取值范围是．【答案】2≤t≤8【分析】这一天的气温应该大于或等于最低气温而小于或等于最高气温．【解答】解：因为最低气温是2℃，所以2≤t，最高气温是8℃，t≤8，则今天气温t（℃）的范围是2≤t ≤8．故答案为：2≤t≤8．【知识点】不等式的定义13.非负数a，b，c满足a+b＝9，c﹣a＝3，设y＝a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n＝．【答案】9【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b＝9和c﹣a＝3推出c的最小值与a 的最大值；然后再根据a+b＝9和c﹣a＝3把y＝a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值．【解答】解：∵a，b，c为非负数；∴y＝a+b+c≥0；又∵c﹣a＝3；∴c＝a+3；∴c≥3；∵a+b＝9；∴y＝a+b+c＝9+c；又∵c≥3；∴c＝3时y最小，即y最小＝12，即n＝12；∵a+b＝9；∴a≤9；∴y＝a+b+c＝9+c＝9+a+3＝12+a；∴a＝9时y最大，即y最大＝21，即m＝21；∴m﹣n＝21﹣12＝9，故答案为：9【知识点】不等式的性质14.若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为﹣．【答案】m＞-1.5【分析】求得不等式①和不等式②的解集，然后根据不等式组有解以及不等式组解集的判断口诀求解即可．【解答】解：解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣2m．∵不等式组有解，∴﹣2m＜3．解得：m＞﹣1.5．故答案为：m＞﹣1.5．【知识点】不等式的解集15.关于x的方程3k﹣5x＝9的解是非负数，则k的取值范围是．【答案】k≥3【分析】求出方程的解，根据题意得出≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：3k﹣5x＝﹣9，﹣5x＝﹣9﹣3k，x＝，∵关于x的方程3k﹣5x＝﹣9的解是非负数，∴≥0，解不等式得：k≥3，∴k的取值范围是k≥3．故答案是：k≥3．【知识点】一元一次方程的解、解一元一次不等式16.如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式kx+6＞x+b的解集是．【答案】x＜3【分析】观察函数图象得到当x＜3时，函数y＝kx+6的图象都在y＝x+b的图象上方，所以关于x的不等式kx+6＞x+b的解集为x＜3．【解答】解：当x＜3时，kx+6＞x+b，即不等式kx+6＞x+b的解集为x＜3．故答案为：x＜3．【知识点】一次函数与一元一次不等式三、解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.若关于x、y的方程组的解满足x+y≤6，求k的取值范围．【分析】先把k当作已知表示出x、y的值，再根据x+y≤6列出不等式，求出k的取值范围即可．【解答】解：解方程组得，，∵x+y≤6，∴3k+1﹣k﹣2≤6，解得k≤．∴k的取值范围为k≤．【知识点】二元一次方程组的解、解一元一次不等式18.解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【知识点】在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组19.（1）若x＞y，比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由；（2）若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，求a的取值范围．【分析】（1）先在x＞y的两边同乘以﹣3，变号，再在此基础上同加上5，不变号，即可得出结果；（2）根据题意，在不等式x＜y的两边同时乘以（a﹣3）后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出a﹣3＜0，解此不等式即可求解．【解答】解：（1）∵x＞y，∴不等式两边同时乘以﹣3得：（不等式的基本性质3）﹣3x＜﹣3y，∴不等式两边同时加上5得：5﹣3x＜5﹣3y；（2）∵x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，∴a﹣3＜0，解得a＜3．即a的取值范围是a＜3．【知识点】不等式的性质、整式的加减20.如图，已知直线y＝x+5与x轴交于点A，直线y＝﹣x+b与x轴交于点B（1，0），且这两条直线交于点C．（1）求直线BC的解析式和点C的坐标；（2）直接写出关于x的不等式x+5＞﹣x+b的解集．【分析】（1）将点B的坐标代入y＝﹣x+b即可求得直线BC的解析式，然后联立两个函数求得交点C的坐标即可；（2）根据函数的图象确定不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b与x轴交于点B（1，0），∴﹣1+b＝0 解得：b＝1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1，，解得：，∴C（﹣2，3）（2）∵直线y＝﹣x+b与y＝﹣x+1，交于点C（﹣2，3），∴根据图象得到关于x的不等式x+5＞﹣x+b的解集x＞﹣2．【知识点】一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题21.已知：x，y满足3x﹣4y＝5．（1）用含x的代数式表示y，结果为；（2）若y满足﹣1＜y≤2，求x的取值范围；（3）若x，y满足x+2y＝a，且x＞2y，求a的取值范围．【答案】3x-54【分析】（1）解关于y的方程即可；（2）利用y满足﹣1＜y≤2得到关于x的不等式，然后解不等式即可；（3）解方程组得由x＞2y得不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）y＝；故答案为：；（2）根据题意得﹣1＜≤2，解得＜x≤；（3）解方程组得∵x＞2y，∴＞2×，解得a＜10．【知识点】不等式的性质、列代数式22.（1）解方程组：；（2）解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．【分析】（1）利用加减消元法求解可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（1），①×3+②，得：5x＝10，解得x＝2，将x＝2代入①，得：2+y＝1，解得y＝﹣1，则方程组的解为；（2）解不等式x﹣2（x﹣1）≤3，得：x≥﹣1，解不等式＞x﹣1，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，将解集表示在数轴上如下：【知识点】在数轴上表示不等式的解集、解二元一次方程组、解一元一次不等式组23.如图，直线y＝﹣x+m与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点A，点C为x轴上一点，且已知S△ABC＝4．又直线y＝x+b与直线AB交于点M，M点横坐标为2．（1）求直线AB的解析式；（2）求C点坐标；（3）结合图形写出不等式x+b≥﹣x+m的解集．【分析】（1）先把B点坐标代入y＝﹣x+m求出m的值，从而得到直线AB的解析式为y＝﹣x+4，（2）求出A点坐标，接着利用三角形面积公式计算出BC，即可得到C（2，0）或（6，0）；（3）根据图象即可求得；【解答】解：（1）把B（4，0）代入y＝﹣x+m得﹣4+m＝0，解得m＝4，所以直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（2）当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则A（0，4），∵S△ABC＝4，∴BC•4＝4，解得BC＝2，∴C（2，0）或（6，0）；（3）由图象可知，不等式x+b≥﹣x+m的解集为x≥2．【知识点】待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题、一次函数与一元一次不等式24.在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩岀现热销，某药店售出一批口罩．已知3包儿童口罩和2包成人口罩共26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共40个．（1）求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个？（2）某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包，为使其中口罩总数量不低于26个，且不超过34个，①有哪几种购买方案？②若每包儿童口罩8元，每包成人口罩25元，哪种方案总费用最少？【分析】（1）设儿童口罩每包x个，成人口罩每包y个，根据：“3包儿童口罩和2包成人口罩共26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共40个”列方程组求解即可；（2）①设购买儿童口罩m包，根据“这两种型号的口罩共5包，为使其中口罩总数量不低于26个，且不超过34个”列出不等式组，确定m的取值，进而解决问题；②分别求出每个方案的费用即可解决问题．【解答】解：（1）设儿童口罩每包x个，成人口罩每包y个，根据题意得，，解得，，∴儿童口罩每包2个，成人口罩每包10个；（2）①设购买儿童口罩m包，则购买成人口罩（5﹣m）包，根据题意得，，解得，2≤m≤3，∵m为整数，∴m＝2或m＝3，∴共有两种购买方案：方案一：购买儿童口罩2包，则购买成人口罩3包；方案二：购买儿童口罩3包，则购买成人口罩2包．②方案一的总费用为：2×8+3×25＝91元；方案二的总费用为：3×8+2×25＝74元．∵91＞74，∴方案二的总费用最少．【知识点】一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用25.哈六十九中校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元，且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购买这两种笔记本的总金额不超过320元，求本次乙种笔记本最多购买多少个？【分析】（1）首先设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据题意可得：①20个甲种笔记本的价格+10个乙种笔记本的价格＝110元；②甲种笔记本30个的价格+10＝乙种笔记本20个的价格，根据等量关系列出方程组，再解即可；（2）设乙种笔记本购买a个，由题意得不等关系：3×甲种笔记本的数量+5×乙种笔记本的数量≤320元，根据不等关系列出不等式，再解即可．【解答】解：（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，由题意得：，解得．答：甲种笔记本的单价是3元；乙种笔记本的单价是5元；（2）设乙种笔记本购买a个，由题意得：3（2a﹣10）+5a≤320，解得：，∵a为整数，∴a取31．答：本次乙种笔记本最多购买31个．【知识点】一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用。
六年级春季班第12讲：一元一次不等式(组)的应用与提高-教师版
本讲在上一讲学习了一元一次不等式（组）的基础上，讲解一元一次不等式（组）的相关应用，以及含字母系数的不等式（组）和含绝对值的不等式．重点是灵活运用不等式的思想解决相关的实际问题，难点是掌握分类讨论的数学思想，用以解决含字母系数的不等式（组）和含绝对值的不等式的问题．1、 一元一次不等式及其解法只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式． 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项；（4）化成ax b >（或ax b <等）的形式（其中0a ≠）；（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．一元一次不等式（组）的应用与提高内容分析知识结构模块一：一元一次不等式的解法及应用知识精讲【例1】()5134y y--≥-的最大整数解是__________．【难度】★【答案】4．【解析】原不等式化为：28y≤，即：4y≤，所以最大整数解是4．【总结】考查不等式的解法，注意题目中求的是最大整数解．【例2】解下列不等式．（1）7341112536x x x x-++--≥-+；（2）()()112335123x x⎡⎤----≥⎢⎥⎣⎦．【难度】★★【答案】（1）3617x≤；（2）23x≤-．【解析】（1）去分母得：15(7)6(34)3010(1)5(1)x x x x--+≥-++-去括号得：10515182430101055x x x x---≥--+-合并同类项得：3472x≤解得：3617x≤；（2）化简得：5(23)23x x---+≥，4(23x--≥，423x-≤-即原不等式的解为：23x≤-．【总结】考查不等式的解法，注意去分母时每一项都要乘以最简公分母．【例3】当a为何值时，不等式31324x a x-->的解集是x > 2．【难度】★★【答案】16．【解析】去分母得：2(31)3x a x->-，去括号化简得：92x a>+所以原不等式的解为：29ax+>，即229a+=，解得：16a=．【总结】本题主要考查对不等式的解集的理解及运用．例题解析【例4】m为何正整数时，关于x的方程5315424x m m-=-的解是非正数？【难度】★★【答案】m为1或2或3．【解析】去分母得：53215x m m-=-，化简得：3x m=-．因为方程的解是非正数，所以30m-≤，解得：3m≤，所以正整数m的值为1、2、3．【总结】考查解一元一次方程与解不等式的综合运用，注意对非正数的理解．【例5】有一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，且这个两位数不大于63，求这个两位数．【难度】★★【答案】63或54或45或36或27或18．【解析】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为(9)x-，则有：10963x x+-≤，解得：6x≤，所以这个两位数可能为：63、54、45、36、27、18．【总结】考查不等式的简单应用．【例6】10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或种乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0．5万元，乙种蔬菜可收入0．8万元，要使总收入不低于15．6万元，则最多能安排几个人种甲种蔬菜？【难度】★★【答案】4人．【解析】设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的人数为（10x-）人，则0.530.82(10)15.6x x⨯+⨯-≥，解得：4x≤，故最多安排4人种甲种蔬菜．【总结】考查不等式在实际生活中的简单应用．【例7】 用含药率15%与40%的同种农药混合成含药率不小于30%的农药100千克，那么含药率40%的农药应不少于多少千克？ 【难度】★★【答案】不少于60千克．【解析】设需含药率15%的农药x 千克，则需含药率40%的农药（100x -）千克， 可列方程：15%40%(100)30x x +-=，解得：40x =，故10060x -=千克． 【总结】考查不等式在实际生活中的简单应用．【例8】 某单位组织旅游，定了若干条游船（不超过10条），如每条游船坐4人，则还余19人没安排；如每条游船坐6人，则有一条船人没坐满．问：该单位定了多少条游船？ 【难度】★★ 【答案】10条．【解析】设该单位定了x 条游船(010)x x <≤，为整数，则0(419)6(1)6x x <+--<，解得：9.510x <≤， 所以10x =，即该单位定了10条游船． 【总结】考查不等式的简单应用．【例9】 某班班主任组织优秀班干部去旅游，甲旅行社说：“如果班主任买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括班主任在内全部按全票价的6折优惠．”全票价为24元/张，就学生数讨论哪家旅行社更优惠． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】设旅行社收的费用为y 元，学生数有x 人，根据题意得：24024050%120240(1)24060%144144y x x y x x =+⨯⨯=+=+⨯⨯=+甲乙，当y y =甲乙时，解得4x =，即当学生数为4时，两家旅行社收费一样多； 所以可得：当4x >时，y y <甲乙；当4x <时，y y >甲乙．因此学生数多于4人时，选甲旅行社；当学生数少于4人时，选乙旅行社． 【总结】考查不等式的应用，注意对两种方案的选择．【例10】 已知A 市和B 市库存某种机器12台和6台，现决定支援C 市10台，D 市8台，已知从A 市调运一台机器到C 市、D 市的运费分别为400元和800元；从B 市调运一台机器到C 市、D 市运费分别300元和500元，要求运费不超过9000元，问共有几种调运方案． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】设B 市到C 市运x 台，则B 市到D 市运（6x -）台，A 市到C 市运（10x -）台， A 市到D 市运（12(10)x --）台，总运费为ω元，则 300500(6)400(10)800[12(10)]x x x x xω=+-+-+--=+，令9000ω≤，即20086009000+≤，解得：2x ≤． 所以共有三种调运方案：①B 市往C 市运0台，B 市往D 市运6台，A 市往C 市运10台，A 市往D 市运2台； ②B 市往C 市运1台，B 市往D 市运5台，A 市往C 市运9台，A 市往D 市运3台； ③B 市往C 市运2台，B 市往D 市运4台，A 市往C 市运8台，A 市往D 市运4台． 【总结】考查不等式的应用，注意对方案的选择．【例11】 解不等式：34312xx->-． 【难度】★★★【答案】102x <<．【解析】移项得：343012x x -->-，通分得：343(12)012x x x --->-，即2012xx>-． 1． 当0120x x >->，且时，解得：102x <<； 2．当0120x x <-<且时，不等式无解． 综上原不等式的解集为：102x <<． 【总结】本题综合性较强，注意分类讨论，切忌直接去分母．1、 解一元一次不等式组的一般步骤（1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．【例12】 不等式3941x -<-<的解集是__________． 【难度】★ 【答案】23x <<．【解析】移项：39419x --<-<-，两边同时除以-4：1248x -<-<-，解得：23x <<． 【总结】考查不等式组的解法．【例13】 同时满足不等式23104x-+≥和()225x -≥-的整数解是______________． 【难度】★★ 【答案】0、1、2．【解析】由第一个不等式可得：2340x -+≥，解得：2x ≤，由第二个不等式可得：245x -≥-，解得：12x ≥-，所以：122x -≤≤，故满足不等式组的整数解是：0、1、2．【总结】考查不等式组的解法及应用，注意对整数解的确定．模块二：一元一次不等式组的解法与应用知识精讲例题解析【例14】 x 的2倍与5的和的一半大于3-且不大于7，列出不等式（组）为____________，x 的取值范围为__________________． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】根据题意得：25372x +-<≤，解得：11922x -<≤． 【总结】考查不等式组的应用及解法．【例15】 不等式组()12143x ax x +<⎧⎪⎨->-⎪⎩的解集为一切负数，求a 的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由①得：1x a <-，由②得：112x <，因为不等式组的解集为一切负数， 所以1x a <-，且101a a -==，解得：． 【总结】考查对不等式组的解集的理解及简单应用．【例16】 解下列不等式组： （1）1032752532x x x x x --⎧+-<-⎪⎪⎨⎪+>+⎪⎩；（2）()()22132237223x x x x x x ⎧+≤+⎪->+⎨⎪-≥+⎩．【难度】★★． 【答案】见解析【解析】（1）由①得：10(2)2(10)705(3)x x x +--<--，化简得：1345x <，解得：4513x <，由②得：4x >-， 所以原不等式组的解集为：45413x -<<； （2）由①得：1x ≥，由②得：5x >，由③得：4x ≥，所以原不等式组的解为：5x >．【总结】考查不等式组的解法：同大取大，同小取小，小大大小取中间，大大小小是空集．【例17】 一件商品售价为120元，若按售价九折出售，获利不超过20%；若按售价七折出售，则出现亏本．求商品成本价的范围．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】设商品成本价为x 元，由题意可得：12090%120%12070%x x ⨯≤+⎧⎨⨯<⎩，解得：9084x x ≥⎧⎨>⎩， 所以原不等式组的解集为：90x ≥．【总结】考查不等式组在实际问题中的简单应用．【例18】 一种灭虫药粉40千克，含药率是15%，现在要用含药率较高的同样的灭虫药粉50千克与它混合，使混合后的含药率在25%与30%之间（不包括25%和30%），求所用药粉的含药率的范围． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】设所用药粉的含药率为x ，由题意可得：4015%5025%30%4050x ⨯+<<+，解得：33%42%x <<， 即所用药粉的含药率在33%到42%之间．【总结】考查不等式组的简单应用，注意对含药率的准确理解．【例19】 某初三毕业班若干名同学合影留念，需交照相费40元（含两张照片），若另外加洗一张照片收费5元，预定平均每人交钱大于6元而少于8元，问：至少有多少学生参加照相，才能保证一人一张照片？ 【难度】★★ 【答案】11．【解析】设有x 名学生参加照相，由题意可得：6405(2)8x x x <+-<，解得：1030x <<，因为学生数为整数，所以至少有11名同学．【总结】考查不等式组在实际问题中的简单应用，注意学生数只能取整数．【例20】 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件，已知生产一件A 种产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，出售后可获利700元；生产一件B 种产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，出售后可获利1200元．按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】设生产A 种产品x 件，则有：94(50)360310(50)290x x x x +-≤⎧⎨+-≤⎩，解得：3032x ≤≤，所以有三种方案：①生产A 种产品30件，B 种产品20件；此时获利：7003012002045000⨯+⨯=元； ②生产A 种产品31件，B 种产品19件；此时获利：7003112001944500⨯+⨯=元； ③生产A 种产品32件，B 种产品18件；此时获利：7003212001844000⨯+⨯=元， 所以采用方案①所获利润最大，为45000元．【总结】本题综合性较强，主要考查不等式组在实际问题中的应用．【例21】 某厂2016年12月在制定2017年某种化肥的生产计划时，收集到了如下信息： 生产该化肥的工人数不能超过200人；每个工人全年工时数不得多于2100个；预计2017 年该化肥至少可销售80000袋；每生产一袋该化肥需要4个工时；每袋该化肥需要原料 20千克；现库存原料800吨，本月还需要200吨，2017年可补充1200吨． 请你根据以上数据确定2017年该种化肥的生产袋数的范围． 【难度】★★★【答案】8000090000x ≤≤．【解析】设2017年该种化肥的生产袋数为x ，则根据题意，可得：4210020020(8002001200)10008000x x x ≤⨯⎧⎪≤-+⨯⎨⎪≥⎩由①得：105000x ≤， 由②得：90000x ≤所以8000090000x ≤≤，即2017年生产袋数范围是8000090000x ≤≤． 【总结】本题综合性较强，主要考查不等式组在实际问题中的应用．【例22】甲、乙两人到某折扣店买商品，商店的商品只剩两种，单价为32元和36，已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了688元，求两人共购买两种商品各多少件？【难度】★★★【答案】8、12．【解析】设单价为32元的购买x件，36元的y件，则3236688x y+=，化简得：8()172x y y++=，因为x、y均为整数，所以解得812xy=⎧⎨=⎩，即两人共购买甲商品8件，乙商品12件．【总结】本题综合性较强，主要考查不等式组在实际问题中的应用．【例23】已知a、b、c为三个非负数，且满足325a b c++=，231a b c+-=，若39S a b c=+-，则S的最大值与最小值为多少？【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由325231a b ca b c++=⎧⎨+-=⎩①②，得73711a cb c=-⎧⎨=-⎩③④，所以393(73)71192 s a b c c c c c=+-=-+--=-．因为a、b、c为三个非负数，故由③得：730a c=-≥，37c≥，由④得：7110b c=-≥，711c≤，所以37711c≤≤，则当711c=时，s值最大，为1511-；当37c=时，s值最小，为137-．【总结】本题较复杂，主要考查不等式组的应用，注意用一个未知量去表示另一个未知量．1、 含字母系数的不等式根据不等式的性质3可知：对于不等式1ax >，若0a >，则1x a >；若0a <，则1x a<．【例24】 解关于x 的不等式()120a x a --+>（其中a > 1）． 【难度】★ 【答案】21a x a ->-． 【解析】由题意可得：(1)2a x a ->-，因为a > 1，所以10a ->，所以21a x a ->-． 【总结】考查不等式的解法，注意对字母系数的正负的判定．【例25】 讨论关于x 的不等式ax < b （0a ≠）的解的情况． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】当0a >时，b x a <； 当0a <时，bx a>． 【总结】考查解含字母系数的不等式，注意分类讨论．【例26】 设a < 1，解不等式1ax a x +-<． 【难度】★★ 【答案】1x >-．【解析】由题意可得：(1)1a x a -<-，因为a < 1，所以10a -<， 所以原不等式的解为1x >-．【总结】考查不等式的解法，注意对字母系数的正负的判定．模块三：含字母系数的不等式（组）知识精讲例题解析【例27】 解关于x 的不等式2m x n x ->+． 【难度】★★ 【答案】21nx m <-+． 【解析】由题意可得：2m x x n -->，即2(1)m x n -+>， 因为2(1)0m x -+<，所以原不等式的解为21nx m <-+． 【总结】考查不等式的解法，注意对字母系数的正负的判定．【例28】 已知关于x 的不等式()3223a x a -<-的解集是1x >-，求a 的取值范围． 【难度】★★★【答案】23a <．【解析】由题意可得：320a -<，解得：23a <． 【总结】考查对不等式的解集的理解及应用．【例29】 设不等式()()230a b x a b ++-<的解集是13x <-，解关于x 的不等式()32a b x a b ->-．【难度】★★★ 【答案】3x <-．【解析】由题意可得：不等式的解集为：32b ax a b-<+， 3213b a a b -∴=-+，解得2a b =，代入()32a b x a b ->-，得：3bx b ->． 0320200a b b a a b a b +>-<=∴>>，且，，，()323x a b x a b x ∴->-<-的解集的式为：关于不等．【总结】本题综合性较强，要先根据第一个不等式的解集，求出a 、b 之间的关系，从而再求出第二个不等式的解集，注意要根据已知条件判断系数的符号．1、 ax b c +>（0c >）的解法是：先化为不等式组ax b c +>或ax b c +<-，再由不等式的性质求出原不等式的解集． 2、 ax b c +<（0c >）的解法是：先化为不等式c ax b c -<+<，再由不等式的性质求出原不等式的解集．【例30】 下列不等式中，解集为一切实数的是（ ）A ．21x +>B ．211x ++>C ．()2781x ->-D ．()27810x -->【难度】★ 【答案】C【解析】A 、B 选项当x 取-2时不成立； C 选项()2780x -≥所以不论取何值时都是成立的； D 选项当x 取78时不成立． 【总结】考查绝对值的非负性的运用．【例31】 解绝对值不等式． （1）23x -≤；（2）23x ->．【难度】★★【答案】（1）15x -≤≤；（2）51x x ><-或． 【解析】（1）323x -≤-≤，解得：15x -≤≤； （2）23x ->或23x -<-，解得：51x x ><-或． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法．模块四：含绝对值符号的不等式知识精讲例题解析【例32】 解不等式125x -<． 【难度】★★ 【答案】23x -<<．【解析】由题意得：5125x -<-<，即：624x -<-<，解得：23x -<<． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法．【例33】 不等式组1122210x x ⎧-≥⎪⎨⎪-<⎩的解集为____________．【难度】★★ 【答案】82x -<≤-．【解析】由题意：由①得：2x ≤-；由②得：812x -<<，所以不等式组的解集为：82x -<≤-． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法．【例34】 解不等式组：431013x ≤-<． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】由题意可得：1331013x -<-<、31043104x x -≥-≤-或，解得：2313x -<<；1423x x ≤≥或，所以原不等式组的解为：14231233x x -<≤≤<或． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法，注意解集取公共部分．【例35】 解不等式：211x x +>+． 【难度】★★★【答案】23x <-或0x >．【解析】①若210x +≥，即12x ≥-时，有211x x +>+，解得：0x >，②若210x +<，即12x <-时，有211x x -->+，解得：23x <-，综上，不等式的解集为：23x <-或0x >．【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法，注意分类讨论．【例36】 解不等式：211x x -+>． 【难度】★★★ 【答案】203x x ><-或． 【解析】由题意，不等式可化为：211211x x x x -+>-+<-或， 整理得：211211x x x x +<-+>+或，由①可得：210210211211x x x x x x +>+<⎧⎧⎨⎨+<---<+⎩⎩或，此时无解，由②得：210210211211x x x x x x +>+<⎧⎧⎨⎨+>+-->+⎩⎩或，解得：203x x ><-或，综上原不等式的解集为：203x x ><-或． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法，注意分类讨论．【习题1】 解下列不等式．（1）14153328x x ++≥--； （2）0.30.20.050.010.70.120.40.020.3x x x ++--≤-． 【难度】★★ 【答案】（1）394x ≥-；（2）4x ≤． 【解析】（1）由题意，去分母得：120884123x x -≥--，整理得：439x ≥-，解得：394x ≥-； （2）由题意化简得：3251712423x x x ++--≤-， 去分母得：9630624-284x x x +--≤+，整理得：728x ≤， 解得：4x ≤．【总结】考查不等式的解法，注意去分母时每一项都要乘以最简公分母．随堂检测【习题2】 解不等式组：（1）()()11373113365221038127x x x xx x x ⎧----<-⎪⎪⎨--⎪-<-⎪⎩；（2）342534127232310.54x xx x x x x x +<+⎧⎪-<-⎪⎪+⎨+<--⎪⎪-->⎪⎩．【难度】★★ 【答案】（1）613x >；（2）11x -<<． 【解析】（1）由①得：7055(3)18615(13)x x x x --<---， 整理得：18366x >，解得：613x >； 由②得：147(38)4(10)14x x x --<--，整理得：756264x x -+<-，解得：10x >， 所以原不等式组的解集是：613x >； （2）由①得：1x >-；由②得：2x <；由③得：1x <；由④得：2x >-， 所以原不等式组的解集是：11x -<<． 【总结】考查解不等式组的简单应用．【习题3】 若代数式32353x x -+-的值是非负数，则x 的取值范围是_______． 【难度】★★【答案】214x ≥．【解析】由题意可得：323053x x -+-≥，化简得：965150x x ---≥，解得：214x ≥． 【总结】考查不等式的简单应用，注意对非负数的准确理解．【习题4】 三个连续的正偶数的和不超过30，求这三个数． 【难度】★★． 【答案】见解析．【解析】由题意得：2222230n n n -+++≤，即6305n n ≤≤，，所以2345n =、、、， 所以这三个数为2、4、6或4、6、8或6、8、10或8、10、12． 【总结】考查不等式在实际问题中的简单应用．【习题5】公园门票，普通票每位10元，如买20人以上（含20人）的团体票则可8折优惠．现有18位游客买了20人的团体票，问比买普通票省了多少钱？如果不足20人，至少多少人买20人的团体票比买普通票省钱？【难度】★★【答案】省了20元；至少17人．【解析】（1）18位游客买20人的团体票所需费用为：20×10×80%=160元，这18为游客若买普通票则需要费用为18×10=180元，所以便宜180-160=20元；（2）设至少有x人，则：20 1020100.8xx<⎧⎨>⨯⨯⎩解得：1620x<<，所以至少17人．【总结】考查不等式的简单应用，解题时注意认真分析题意．【习题6】在爆破时，如果导火线燃烧的速度是0.8厘米/秒，人跑开的速度是5米每秒，那么点燃导火线的人要在爆破时能跑到100米以外的安全区域，导火线的长度应不小于多少米？【难度】★★【答案】0.16米．【解析】设导火线应该是x厘米．由题意得：0.81005x÷≥÷，解得：16x≥经检验符合题意，所以导火线的长度至少16厘米，即0.16米．【总结】考查不等式的简单应用，注意单位的统一．【习题7】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？【难度】★★【答案】见解析．【解析】设购买甲种机器x 台（0x ≥），则购买乙种机器(6)x -台，由题意得：75(6)34x x +-≤，解得：2x ≤，即可以取0、1、2三个值．所以有以下方案：方案①：不买甲，买乙6台，需资金6×5=30万元，日生产能力为6×60-360个， 方案②：买甲1台，买乙5台，需资金1×7+5×5=32万元， 生产能力为100+5×60=400个，方案③：买甲2台，买乙4台，需资金2×7+4×5=34万元，生产能力为2×100+4×60=440， 因此，选择方案②，既能达到生产能力又比方案③节约． 【总结】考查不等式的简单应用，注意对最优方案的选择．【习题8】 今有浓度5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制7%的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？【难度】★★★【答案】甲种盐水最多取49克，最少取35克．【解析】设甲乙丙盐水分别各取x 克、y 克、z 克，配成浓度为7%的盐水100克， 则有1005897%100x y z x y z ++=⎧⎨++=⨯⎩①②，其中060060047x y z ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩③④⑤由①②得：20043100y x z x =-=-，，于是由④有：0200460x ≤-≤，解得：3550x ≤≤， 由⑤得：0310047x ≤-≤，解得：100493x ≤≤， 综上：3549x ≤≤，所以甲种盐水最多取49克，最少取35克． 【总结】考查不等式在实际问题中的应用，综合性较强，注意进行分析．【习题9】 解不等式：3315x -≥． 【难度】★★【答案】64x x ≥≤-或．【解析】由题意得：33153315x x -≥-≤-或，解得：64x x ≥≤-或． 【总结】考查含绝对值的不等式的解法．【习题10】 解关于x 的不等式ax b cx d +>+． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】由题意得：()a c x d b ->-，分类讨论如下：①当0a c ->时，原不等式的解为：d bx a c ->-； ②当0a c -<时，原不等式的解为：d bx a c-<-； ③当0a c -=，0d b -<时，原不等式有无数解； ④当0a c -=，0d b -≥时，原不等式无解．【总结】考查含字母系数的不等式的解法，注意分类讨论．【习题11】 如果不等式()312x a --≤的正整数解是1、2，求a 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】14a ≤<．【解析】由题意整理得：31x a ≤-，解得：13ax -≤， 因为原不等式的正整数解是1、2，则1233a-≤<，解得：14a ≤<． 【总结】考查不等式的应用，注意对解得取值范围的准确判定．【习题12】 已知关于x 的不等式()432a b x b a ->-的解集是49x <，求ax b >的解集． 【难度】★★★【答案】56x <．【解析】由题意得：430a b -<，24439b a x a b -<=-，得56b a =，即56ab =， 代入430a b -<，得0a <， 所以不等式ax b >的解集为：b x a<，即56x <．【总结】考查不等式的简单应用，注意对字母的正负进行判定．【作业1】 解下列不等式（组）．（1）31362232x x xx +--+≤-； （2）()()3116.5 5.52184y y y +--<-++； （3）427336452335x x x x x x +≥+⎧⎪+>+⎨⎪-≤-⎩．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）化简得：31226(2x x x x ++-≤--，整理得31452x x x +-≤+， 解得原不等式的解集为：2513x ≥； （2）去分母得：523(1)442(1)16(1)y y y -+<--++，整理得：1713y >-， 解得原不等式的解集为：1317y >-； （3）由①得：15x ≤；由②得：592x >-；由③得：2x ≥， 可画图发现原不等式组无解． 【总结】考查解不等式的简单应用．【作业2】 下面四个结论中，正确的个数有（ ）（1）ax b =，当0a ≠时，解为b x a =； （2）ax b <，当0a ≠时，解集为bx a<；（3）ax b ->，当0a <，解集为b x a >-； （4）()21a x b +>-的解集为21bx a <-+．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】B【解析】（1）正确；（2）错误，本题需分类讨论；（3）正确；（4）错误，21bx a >-+，综上可得只有（1）、（3）正确，故选B ．【总结】考查不等式的解法，注意对字母系数的正负进行判定．课后作业【作业3】 已知不等式组212x a x a >+⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-B ．3a <-C ．3a ≥-D ．3a >-【难度】★★【答案】C 【解析】由题意可得212a a +≥-，即3a ≥-，故选C ．【总结】考查不等式组的解法：大大小小是空集．【作业4】 a 的3倍与5的和不大于16与a 的差，求正整数a ．【难度】★★【答案】1或2．【解析】根据题意可得：3516a a +≤-，解得：114a ≤，所以正整数a 可能是1或2． 【总结】考查不等式的应用及解法．【作业5】 求使代数式23375x x ---的值不大于1的最大整数x ． 【难度】★★【答案】9．【解析】由题意可得：233175x x ---≤，去分母得5(23)7(3)35x x ---≤， 化简得：329x ≤，解得：293x ≤，所以x 的最大整数解为9． 【总结】考查不等式的简单应用．【作业6】 如果方程组42533x y k y x +=-⎧⎨-=⎩的解同号，求k 的取值范围． 【难度】★★【答案】732k k <->或． 【解析】由题意可得方程组的解为：618132713k x k y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，因为方程组的解同号， 得：6182701313k k -+⋅>，即(3)(27)0k k -+>，解得732k k <->或 【总结】本题主要考查不等式组与方程组的综合应用，注意“同号得正”的运用．【作业7】 把一箱苹果分给若干个小孩，如果每人分2个，还剩37个；如果每人分6个，那么最后一个小孩少于6个，求共有多少个小孩？【难度】★★【答案】10个．【解析】设有x 个小孩，由题意可得：662376x x x -<+<，解得：374344x <<，因为人数为整数，所以有10个小孩． 【总结】考查不等式在实际生活中的的简单应用．【作业8】 工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前2天超额完成，问后几天每天平均至少完成多少土方？【难度】★★【答案】80．【解析】设后几天平均每天完成x 土方．具根据题意有：60(612)30x +--≥，解得：80x ≥，即后几天平均每天至少完成80土方．【总结】考查不等式在实际生活中的的简单应用．【作业9】 某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装300套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性，按照完成完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资900元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．（1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于1260元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元？（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于2000元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？【难度】★★★【答案】（1）2元；（2）220套．【解析】（1）设企业每套奖励x 元，则90060%3001260x +⋅≥，解得：2x ≥；（2）设小张在六月份加工y 套，则90052000y +≥，解得：220y ≥，故工人每加工1套童装企业至少应奖励2元；小张在六月份应至少加工220套童装．【总结】考查不等式在实际问题中的简单应用，注意认真分析题目中的条件．【作业10】 解关于x 的不等式()()11ax x a a >++-．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由题意可得：(1)(1)(1)a x a a ->+-当10a ->时，解得：1x a >+；当10a -<时，解得：1x a <+．【总结】考查解含字母系数的不等式，注意分类讨论．【作业11】 解不等式组：2539x ≤-<． 【难度】★★★【答案】413x -<≤或71433x ≤<． 【解析】由题意：539532x x ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩①②，由①得：9539x -<-<，解得：41433x -<<； 由②得：532532x x -≥-≤-或，解得：713x x ≤≥或； 综上，原不等式组的解为413x -<≤或71433x ≤<． 【总结】本题综合性较强，主要考查含绝对值的不等式组的解法，最后注意引导学生用画图的方法帮助确定不等式组的取值范围．。
人教版初一数学下册：不等式及其性质(提高)知识讲解
不等式及其性质（提高）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】知识点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【高清课堂：一元一次不等式370042不等式的基本性质】知识点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是()【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．【答案】D【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于163克．故A选项错；两个糖果的重量小于3221033=克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于16641421 333⨯==克故D选项对．【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．举一反三：【变式】【答案】类型二、不等式的解及解集2.若关于x的不等式x≤a只有三个正整数解，求a的取值范围.【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围．【答案】3≤a＜4【解析】解：∵不等式x≤a只有三个正整数解，∴三个正整数解为：1，2，3，∴3≤a＜4，【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解．3.（2015春•安县期末）如图所示，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是( )A．-3≤x＜2 B．-3＜x≤2 C．-3≤x≤2 D．-3＜x＜2【思路点拨】x表示-3右边的数，即大于-3，并且是2以及2左边的数，即小于或等于2的数．【答案】B【解析】解： A、因为-3≤x＜2，在数轴上-3的点应该是实心的圆点；C、因为-3≤x≤2，在数轴上-3和2的点应该都是实心的圆点；D、因为-3＜x＜2，在数轴上-3和2的点应该都是空心的圆点；故选B．【总结升华】在数轴上表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，“＞”，“≥”向右画；“＜”，“≤”向左画．举一反三：【变式】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为________．【答案】4提示：由程序图可知，计算求值时所使用的数学表达式为224y x =-．把x ＝1输入求值，若求得的结果大于0，则直接得到输出值y ；若求得的结果小于0，则需要把得到的结果作为输入值再代入计算，循环往复，直到使最终的结果大于0为止． 类型三、不等式的基本性质4.若关于x 、y 的二元一次方程组3133x y ax y +=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y ＜2，则a 的取值范围是________．【思路点拨】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出x+y 的值．因为x+y ＜2，故可以构建关于a 的不等式．然后利用不等式的性质就能求出a 的取值范围． 【答案】a ＜4 【解析】解：将两方程相加得：4x+4y ＝4+a ． 将方程的两边同除以4得 44ax y ++=． 依题意：424a+<． 将不等式的两边同乘以4得4+a ＜8． 将不等式的两边同时减去4得a ＜4． 故a 的取值范围是a ＜4．【总结升华】解关于x 的一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为x ＞a 或x ＜a 的形式，化简的依据是不等式的性质． 举一反三：【变式1】（2015春•沙河市期末）若关于x 的不等式（1﹣a ）x ＞3可化为，则a的取值范围是 ． 【答案】a ＞1．解：关于x 的不等式（1﹣a ）x ＞3可化为，1﹣a ＜0，a ＞1.【高清课堂：一元一次不等式370042 练习3】【变式2】a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2；B ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若a ≠b ，则｜a ｜≠|b|D ．若｜a ｜≠|b|，则a ≠b【答案】D附录资料：一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x 必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系． 【答案与解析】 解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲 一元一次不等式组的解法370096 例2】 举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1) 313112123x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x +>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集． 【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x ＜-2解不等式②，得x ≥-5故原不等式组的解集为-5≤x ＜-2． 其解集在数轴上表示如图所示．（2）原不等式可变为：213(1)3(1)4x xx x+>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x<解②得：12 x≥-故原不等式组的解集为14 2x-≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组． 【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121； 不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121， 因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？ 【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． （1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可； （2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可． 【答案与解析】 解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本； 方案二：文学名著27本，动漫书47本； 方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？ 【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7， ∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆； 方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆； 方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆． （2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）； 方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）； 方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）． ∴方案1运费最少，应选方案1．。
初中数学不等式与不等式组学习技巧
初中数学不等式与不等式组学习技巧学习初中数学不等式与不等式组时，以下是一些有效的学习技巧：1.理解定义和基本概念：首先确保你清楚不等式与不等式组的定义和基本概念。
不等式是用不等号（如大于、小于、大于等于、小于等于、不等于）连接两个数学表达式，而不等式组则是由多个不等式组成的集合。
2.学习不等式的解法：掌握解一元一次不等式的基本步骤和方法。
了解如何移项、合并同类项、去括号等基本操作，并注意在处理不等号时的方向变化。
3.学习不等式组的解法：不等式组的解集是所有不等式解集的交集。
学习如何求解不等式组，包括找出每个不等式的解集，然后找出它们的公共解集。
4.利用数轴表示解集：不等式和不等式组的解集可以在数轴上表示。
学会在数轴上标出不等式的解集，通过观察数轴上的区间来找出不等式组的解集。
5.进行大量的练习：通过做大量的练习题来巩固对不等式与不等式组概念和解法的理解。
从简单的题目开始，逐步挑战更复杂的题目，提升自己的解题能力。
6.关联和对比：将不等式与等式、方程进行对比和关联，理解它们之间的联系和区别。
同时，比较一元一次不等式与一元一次方程的解法，找出它们的相似之处和差异。
7.掌握实际问题的建模：不等式与不等式组常用于解决实际问题。
学会将实际问题转化为数学模型（即不等式或不等式组），然后求解。
8.总结归纳：将学习到的不等式与不等式组的知识和技巧进行归纳整理，形成自己的知识体系。
这样可以帮助你更好地记忆和应用这些知识。
9.参加讨论和求助：与同学或老师讨论不等式与不等式组相关的问题，通过交流和分享来加深对它们的理解。
遇到难以解决的问题时，及时向老师或同学求助。
10.持续复习：定期复习不等式与不等式组的概念和解法，确保你能够长期记忆和应用它们。
在复习过程中，可以不断回顾和巩固之前学过的知识，形成更加完整的知识体系。
遵循这些学习技巧，你将能够更好地掌握初中数学中的不等式与不等式组知识，提高解题能力。
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不等式及不等式组的提高
知识要点
1．不等式：用不等号“＞”、“＜”、“≤”、“≥”、“≠”，把两个代数式连接起来的式子叫不等式.
2．不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集.
3．一元一次不等式：含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式；注意：它的标准形式是ax+b＞0或ax+b＜0，(a≠0).
4．不等式的性质：
不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
不等式的性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变.
5．一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起，叫做一元一次不等式组；6．不等式组的解集与解法：几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集；
7．一元一次不等式组的解集的四种类型：设a＞b
典型例题
一、巧用不等式的性质
1、 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A.0＜a ＜1 B. a ＞1 C.－1＜a ＜0 D. a ＜－1
2、 已知6＜a ＜10，2
a
≤b ≤a 2，b a c +=，则c 的取值范围是 。
二、含参数的不等式
1、若关于x 的不等式(2n －3)x ＜5的解集为x ＞－3
1
，则n ＝ 2、不等式
12
x
x ->与65ax x ->的解集相同，则a =______. 3、若不等式组21
23x a x b -<⎧⎨->⎩
的解集为－1＜x ＜1，那么（a ＋1）（b －1）的值等于________.
4、若不等式组⎩⎨
⎧->+<1
21
m x m x 无解，则m 的取值范围是 ．
5、若不等式组
1
2{
x a x >+<无解，则a 的取值范围
6、若不等式组
41{
x m x x n +≤-≥的解集为3x ≥，则n 的取值范围
7、若关于x 的不等式x －1≤a 有四个非负整数解，则整数a 的值为
8、若关于x 的方程组⎩
⎨⎧-=++=+1341
23p y x p y x 的解满足x >y ，求p 的取值范围.
9、若关于x 、y 的二元一次方程组5
33
x y m x y m -=-⎧⎨+=+⎩中，x 的值为负数，y 的值为正数，求m 的取值范围.
三、由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围
x b +
x
1、 若关于x 的不等式组
⎪⎩⎪⎨⎧+++②m ＜x ①
x ＞x 0
14
56的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 。
2、若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是4
9
x ＞
，则不等式 的解集是0324b ＞a x b a -+-)( 。
四、利用不等式求代数式的最大值
1、设7321x x x x ,,,, 均为自然数，且76321x x x x x <<<<< ，又159721=+++x x x ，则
321x x x ++的最大值是 。
2、 在满足32≤+y x ，00≥≥y x ，的条件下，y x +2 能达到的最大值是 。
五、数形结合求不等式取值范围
1、已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像，如图所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ •） A 、y ＞0 B 、y ＜0 C 、－2＜y ＜0 D 、y ＜－2
2、直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式12k x b k x +>的解为（ ）
A 、x ＞－1
B 、x ＜－1
C 、x ＜－2
D 、无法确定
3、若方程组31
33x y k x y +=+⎧⎨+=⎩
的解为x 、y ，且x ＋y ＞0，则k 的取值范围是（ A 、k ＞4 B 、k ＞－4 C 、k ＜4 D 、k ＜－4
ax －3
4、如图，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b
＞ax －3的解集是_______________。
六、应用题
1、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
2、 某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元； （1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？
习题精选
一、填空题
1．不等式2(x + 1) -
12
732-≤-x
x 的解集为_____________。
2．同时满足不等式7x + 4≥5x – 8和5
23x
x -<的整解为______________。
3．如果不等式
3
3
131++>+x mx 的解集为x >5，则m 值为___________。
4．不等式22)(7)1(3)12(k x x x x ++<--+的解集为_____________。
5．关于x 的不等式(5 – 2m)x > -3的解是正数，那么m 所能取的最小整数是__________。
6．关于x 的不等式组⎩⎨
⎧<->+2
53
32b x x 的解集为-1<x <1，则ab____________。
7．能够使不等式(|x| - x )(1 + x ) <0成立的x 的取值范围是_________。
8．不等式2<|x - 4| <3的解集为_____________。
9．已知a,b 和c 满足a ≤2,b ≤2,c ≤2,且a + b + c = 6，则abc=______________。
10．不等式2|43|2+>--x x x 的解集是_____________。
11．不等式|x| + |y| < 100有_________组整数解。
12．若x,y,z 为正整数，且满足不等式⎪⎩⎪
⎨⎧≥+≥≥1997213z y y z x 则x 的最小值为_______________。
13．已知M=1
21
2,12122000199919991998++=++N ，那么M ，N 的大小关系是__________。
（填“>”或“<”）
14．设a, a + 1, a + 2为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是______________。
二、选择题
1．满足不等式
4314
||3<--x x 的x 的取值范围是（ ）
A ．x>3
B ．x<72-
C ．x>3或x<7
2
- D ．无法确定
2．不等式x – 1 < (x - 1) 2
< 3x + 7的整数解的个数（ ） A ．等于4 B ．小于4 C ．大于5 D ．等于5
3．已知关于x 的不等式mx x >-
2
3
的解是4<x<n ，则实数m,n 的值分别是（ ） A ．m = 41, n = 32 B ．m = 61, n = 34 C ．m = 101, n = 38 D ．m = 8
1
, n = 36
4．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--0
5)25(20
222k x k x x x 的整数解只有x = -2，求实数k 的取值范围。
5.某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m 本课外读物,有x 名学生获奖,请解答下列问题:(1)用含x 的代数式表示m; (2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.
6.现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂在A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元.
（1）设运送这批货物的总费用为y 万元，这列货车挂A 型车厢x 节，试定出用车厢节数x 表示总费用y （2）如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B 型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？。