复矩阵和四元数矩阵关于特征值与奇异值的若干不等式

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四元数矩阵的奇异值分解及其应用

四元数矩阵的奇异值分解及其应用引言：奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中一项重要的矩阵分解方法，广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域。

在四元数矩阵的奇异值分解中，我们将探讨如何将四元数矩阵表示为奇异值分解的形式，并介绍其在图像处理和机器学习中的应用。

一、四元数矩阵的奇异值分解1.1 奇异值分解简介奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵乘积的方法，即将一个矩阵A表示为A = UΣV^T的形式，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。

奇异值分解的核心思想是将原始矩阵A通过正交变换分解为一个对角矩阵，对角线上的元素即为奇异值。

1.2 四元数矩阵的表示四元数矩阵是一种特殊的矩阵，可以表示为q = a + bi + cj + dk的形式，其中a、b、c、d是实数。

类似于复数矩阵的表示，我们可以将四元数矩阵表示为Q = A + Bi，其中A和B都是实数矩阵。

1.3 四元数矩阵的奇异值分解对于四元数矩阵Q，我们可以将其进行奇异值分解，即Q = UΣV^T。

不同于复数矩阵的奇异值分解，四元数矩阵的奇异值分解需要考虑其特殊的代数性质。

具体的奇异值分解过程可以参考相关的数学文献。

二、四元数矩阵奇异值分解的应用2.1 图像处理中的应用奇异值分解在图像处理中有广泛的应用。

通过对图像进行奇异值分解，可以实现图像的降噪、压缩和增强等操作。

例如，可以通过保留奇异值较大的部分来实现图像的去噪处理，同时可以利用奇异值分解的低秩性质来实现图像的压缩存储。

2.2 机器学习中的应用奇异值分解在机器学习领域也有重要的应用。

例如，在推荐系统中，可以利用奇异值分解对用户-物品评分矩阵进行分解，从而得到用户和物品的隐含特征表示，进而实现个性化推荐。

此外，奇异值分解还可以用于主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），用于降维和特征提取。

结论：四元数矩阵的奇异值分解是线性代数中一项重要的矩阵分解方法，可以用于图像处理和机器学习等领域。

复矩阵特征值及其最小奇异值的估计

矩阵特征值的分布及其最小奇异值的估计在自然科学等领域有着广泛的应用，直是矩阵分析领域中一
的热门课题．近，Ｏ在文献［］最ＺＵ１中讨论了上述问题，出了如下结果：给
１矩阵特征值的估计
本节给出矩阵特征值分布的一个新定理．了证明方便，给出以下引理：为先
弓ｌ１理设Ａ：（ Ⅱ ）∈ Ｃ，ＥＡ（，：１， … ，贝ＡＡ）ｉ２，ｎ，Ｕ
ｉ＝１
≤ （一（ＩＩａ
有效的．关键词：复方阵；特征值；异值；奇估计，
中图分类号：１１２文献标识码：文章编号：６４—５３（０１０００ — ５０５．１Ａ１７６９２１）６— ０１０
ＥｓｉａｉｎｆｒｔｅＥｉｅｖｌｅｎｈｍａｌｓｉｇｌｒＶａｕｆＣｏｌｘＭａｒｃｓｔｍｔｏｈｇｎａｕｓａｄｔｅＳｌｔＳｎｕａｌｅｏｍｐｅｔｉｅｏｅ
昆明学院学报
２１，３６： — ０１３（）１５
ＣＮ３—１１／ＩＳ１７５２ｌＧ４ＳＮ６４—５３６９
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ＪｕｎｌｏｎｎｉｅｓｔｏｒａｆＫｕｍｉｇＵｎｖｒｉｙ
复矩阵特征值及其最小奇异值的估计
ＨＵＡＮＧｈｕｄ，Ｓｏ — ｅＧＡＯｅ，ＩＹａ — ｎＬｉＬｏｔｇａ

eigenval解读 -回复

eigenval解读-回复中括号内的内容是“eigenval解读”。

下面将逐步回答这个问题。

为了更好地理解“eigenval解读”，首先需要了解什么是特征值（eigenvalues）。

特征值是线性代数中一个重要的概念，通常用于描述矩阵的特性和性质。

对于一个n阶方阵A，其特征值就是使得下面这个方程成立的数值λ：det(A - λI) = 0其中，det表示求矩阵的行列式，I是单位矩阵。

这个方程被称为特征方程（characteristic equation），解这个方程即可得到矩阵的特征值。

特征值的重要性在于它包含了许多关于矩阵本身的重要信息。

通过对特征值的分析，我们可以了解到矩阵的对称性、奇异性以及一些与矩阵运算相关的特性。

对于给定的矩阵A，我们可以通过特征值来理解该矩阵的各种性质和行为。

具体而言，特征值可以提供以下信息：1. 矩阵的奇异性：如果一个矩阵具有特征值为零的特征值，表示该矩阵是奇异矩阵（singular matrix），即不存在其逆矩阵。

这也意味着矩阵中存在线性相关的列或行。

2. 矩阵的对称性：对称矩阵（symmetric matrix）是指矩阵与其转置矩阵相等的方阵。

对称矩阵具有实数特征值，并且其特征向量构成一个正交基。

3. 矩阵的稳定性：通过特征值的大小可以判断矩阵的稳定性。

如果一个矩阵的所有特征值的实部都小于零，则该矩阵是稳定的。

4. 矩阵的对角化：对称矩阵可以被对角化，即可以写成特征值和特征向量的形式。

这种形式使得矩阵的运算更加简化，特别是在涉及到矩阵乘法和矩阵的高次幂时。

除了以上这些基本的性质，特征值还有很多其他的应用，如图像处理、信号处理和机器学习等领域。

特征值的计算可以通过多种方法来实现，包括特征值分解、QR分解、幂迭代法等。

这些方法的具体细节超出了本文的范围，感兴趣的读者可以进一步阅读相关的专业教材。

总结起来，特征值提供了一种描述矩阵特性和性质的方法。

通过对特征值的计算和解读，我们可以更好地理解矩阵的结构和行为，并且可以在实际应用中利用特征值来解决问题。

四元数矩阵特征值的几个不等式

Ｖｏ．２Ｎｏ４１２．Ａｐ．，０ｒ２０８
四元数矩阵特征值的几个不等式
陈湘赘
（盐城工学院基础教学部，苏盐城２４０）江２０３
摘
要：究四元数体上矩阵的特征值估计问题，到了四元数方阵特征值的估计定理，研得在估计定
∑ｕｕ＝∑Ｎ（ｉＵ）＝１（，，ｎ，ｊ，＝１２…，）
ｉ１＝ｉｌ＝
∑ ｕ＝∑ Ｎ（ｉｕｕ）＝１（＝１２…，）ｊ，ｉ，，ｎ，
由四元数矩阵乘法，我们可以由计算得
（Ａ）＝Ｔ（Ａ）ｒＵＵ．
定理２设Ａ＝（ ∈Ｈ，果Ａ（＝１２，，）４的任意一个特征值，么ａ）如ｉ， … ｎ是那
定义３设Ａ ∈
，称∑口为矩阵Ａ的迹，（）即Ｔ（）＝∑ 口记为Ａ，ｒＡ
ｎｚＮ（一口）（＝１２ … ，）＝｛Ｉｚ ≤尺｝ｉ，，ｎ．
引理１。ＬｔｅＡ∈Ｑ如果Ａ是Ａ＝（／的一个特征值，么它必定位于下列盖尔球中的一个，ａ）ｊ那
Ａ
其中，，Ａ …ＡＡ，， ∈Ｃ因此．
（Ａ）＝∑ＡＵ
由定理１我们有，
（）＝Ｔ（）ＡｒＵＡＵ，
维普资讯
第４期
于是
陈湘赞：四元数矩阵特征值的几个不等式
其中Ｒ＝∑ （．口）
｛主
收稿日期：０８— １４２００ —０作者简介：陈湘贽（９２）女，１７一，江苏盐城人，盐城工学院基础教学部讲师，士，硕主要研究方向：应用数学

矩阵的奇异值分解

非对称矩阵分解
非对称矩阵的特征值分解
对于非对称矩阵，其特征值可能是复数，因此不能直接进行实数域上的特征值分解。但是，可以通过引入复数域上的特征向量和特征值，将非对称矩阵分解为复数域上的特征向量矩阵和特征值矩阵的乘积。
非对称矩阵的奇异值分解
对于任意实非对称矩阵，都可以进行奇异值分解，即$A = USigma V^T$，其中 $U$和$V$是正交矩阵，$Sigma$是对角矩阵，对角线上的元素是$A$的奇异值。非对称矩阵的奇异值分解在数据降维、图像处理等领域有广泛应用。
通信信道均衡策略
信道均衡原理
在通信系统中，信道均衡是一种用于补偿信道失真、提高通信质量的技术。奇异值分解可用于信道均衡中的信道矩阵分解，从而实现对信道特性的准确估计和补偿。
基于奇异值分解的信道均衡算法
利用奇异值分解对信道矩阵进行分解，根据得到的奇异值和左右奇异向量设计均衡器，实现对信道失真的有效补偿。
3
个性化推荐
结合用户历史行为数据和相似度计算结果，为用户推荐与其兴趣相似的物品或服务。
05 奇异值分解在信号处理和通信中应用
信号降噪与重构技术
基于奇异值分解的信号降噪
利用奇异值分解能够将信号分解为多个独立成分的特点，对含噪信号进行降噪处理，提高信号质量。
信号重构技术
通过保留奇异值分解得到的主要成分，对信号进行重构，实现信号的压缩和恢复。
特殊类型矩阵分解
正定矩阵的Cholesky分解
对于正定矩阵，可以进行Cholesky分解，即$A = LL^T$，其中$L$是下三角矩阵。Cholesky分解在求解线性方程组、最优化问题等场景中具有重要作用。
稀疏矩阵的分解
对于稀疏矩阵，可以采用特定的分解方法，如LU分解、QR分解等，以便更有效地进行存储和计算。这些分解方法在数值计算、科学计算等领域有广泛应用。

特征值分解与奇异值分解

特征值：一矩阵A作用与一向量a，结果只相当与该向量乘以一常数λ。

即A*a=λa，则a 为该矩阵A的特征向量，λ为该矩阵A的特征值。

奇异值：设A为m*n阶矩阵，A H A的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。

记(A)为σi上一次写了关于PCA与LDA的文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。

在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。

特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。

而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。

奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。

就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。

在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing）另外在这里抱怨一下，之前在百度里面搜索过SVD，出来的结果都是俄罗斯的一种狙击枪（AK47同时代的），是因为穿越火线这个游戏里面有一把狙击枪叫做 SVD，而在Google上面搜索的时候，出来的都是奇异值分解（英文资料为主）。

想玩玩战争游戏，玩玩COD不是非常好吗，玩山寨的CS有神马意思啊。

国内的网页中的话语权也被这些没有太多营养的帖子所占据。

真心希望国内的气氛能够更浓一点，搞游戏的人真正是喜欢制作游戏，搞Data Mining的人是真正喜欢挖数据的，都不是仅仅为了混口饭吃，这样谈超越别人才有意义，中文文章中，能踏踏实实谈谈技术的太少了，改变这个状况，从我自己做起吧。

[doc]关于矩阵奇异值的一些不等式

关于矩阵奇异值的一些不等式敷学年刊11A:1【l990),128—13乱关于矩阵奇异值的一些不等式陈道琦(浙江大学)提要本文证明了一些关于矩阵奇异值的不等式.对任意正整数n,常若山,…,∈伊分别具有奇异值a》…≥.≥0,=1|…,则矩阵山…4的奇异值以》…≥》O 满足1”r1¨1∑≤∑Ⅱ≤{II∑[口1],1《而≤.●-…J一1J…|JJ]3ellman不等式E3]和半定Hormlt~矩阵乘积迹的不等式是上述不等式的推论.§1引言在本文中,a表示复数域,Re(C)表示复数2的实部;C表示m×阶复矩阵全体,表示矩阵的转置共轭阵,()表示方阵∈cfI的迹即缸)=口1t+啦.+…+-.对任意二个正定Harm~fo阵l也∈伊Be]]mann证明了不等式ltr(A1如)j<{七r()?打(;)}≤去{打(i)+打(;)).对任意多个半正定Hemite阵l,…,且∈作者证明了一个一般的不等式r卅11懦I七r(1...—山)l≤七r于)}≤去七r()?(1)本文对矩阵的奇异值和乘积矩阵的奇异值证明了一些不等式.对任意正整数”和m,若血,…∈a分别具有奇异值≥…≥≥0,J一1,…m,则乘积矩阵一山…的奇异值以≥…≥≥O满足≈mrm1击∑以≤∑Ⅱ【J≤{II∑Eo-,~叶,1≤≤¨.(2)l一1●一1=1U--1●=1J当,…∈cfI都是半正定Hermi~e矩阵时,不等式(2)比不等式(1)强.§2.预备知识若矩阵A∈一具有秩r,则具有个奇异值以》…≥>0和奇异值分解. A…一盯.本文108s年11月21日收到,1989年3月缸日收到修改稿(3)】期陈道琦*于矩阵奇异值的一些不等式129其中矩阵和是U阵Uz=U_.,V一_.,矩阵除了前个对角元为,…,cr,外其他元素全为零.众所周知数1≥…≥>O为的奇异值,当且仅当口;≥…>try>0是An且及A直的全体非零特征值.当∈是半正定Hezmi~e阵时的奇异值和特征值相重,从而cri+…+一().(4)设N>max(m,),若矩阵∈G一定义为～r%,若1≤≤m且1≤≤【0,其它情况.则与=(嘞)∈伊具有完全相同的奇异值.基于此事实,本文将一切矩阵看作方阵且约定任意n阶方阵∈c..有个奇异值l≥…》r>-o-r+1～?一盅o.(5)引理1若.l≥…≥≥o,数.‟Jb‟,1≤≤%蒲足∑lbf≤啦,1≤≤%,(6)则有f∑I≤∑ib‟}≤∑B,1≤≤.(7)I‟1I●一1‟1证只要对≥2证明第二部分即可.利用Ab.换,令母(砷一Jb,I,研(一J■∑嘞1≤≤对任意2≤≤有塾JJ一(6)十(.l—D?+i)(6)≤.()+善(oI—o‟+)鼠()善即”引理霉若U=(哦|)∈0f.是个矩阵芷整数1t≤g≤矩阵一()∈G定义为一』‰若≤≤且≤j≤(8)【其它情况剧￡『的最大奇异值,(),满足以()≤1.(9)证当一时,一,i()l,成立.设<%,令∈伊定义为f若1≤岳≤且十l≤≤10,其它情况.经简单运算得十一(由及都是半正定Hmc阳阵推得不等式(9).对<一Ⅱ的证明是类似的(和J用疗).引理3对任意二个正整数n和m以及常数o{J‟≥O,1≤≤,1≮j≤m有fI.}≤n奎涮,)m.0_0)僖盥.)j≤黔咨倒”)?(如)证令固定.当m一0时,,,‟●/nvnv,aO数学年刊{客).≤{客”{耋}{备碰.;}≤i苫”].j1蓍[.]j是一个熟知的不等式,不等式(10)成立.设不等式(1O)对m一21,…成立,当m一”时,{耋”一信亟嘲”}‟≤{垂耋泓%]};壹{t杰i=i”“j‟U‟1J户1≤妻.从而不等式(1o)对m一2+也成立.由数学归纳法得不等式(抽)对一切m.,k-l?2,…都成立.对一般的正整数m,取充分大,有=啦+啦,≥1,O≤啦<m.利用丘‟1”丘{…]一)一,1≤《%.,—1J—l及不等式(1o)对m=成立得{客亟,《慎窘M”.},L●-1一lJul●-a即{耋垂.{J,‟《耍客[c(“]¨,|.U|1J-1J,?利用詈o.1～im2~一m及幂函数的连续性,令∞取极限得不等式(o)? §3.关于矩阵奇异值的一些不等式定理l设矩阵AE具有奇异值以≥…≥,U,VEc-为任意二个U阵,若UA Y=B=(bu).则有【b”{≤,l≤≤∞.(11)证利用矩阵奇异值分解(3)和U阵之积仍为盯阵的事实,我们只要对一dj孵t,…,证明不等式㈣即可.在此简单情况下一善%,f『≤善【【.I%【,从其中妒善『‰lI珊『?注意到对任意正整数1《s≤%有塞o;;骞耋f【【【《丢骞砉{【%『+【”《血n(8J,利用引理1印得不等式(11).推论l对任意矩阵AE有m1l嘶.M≤而l期陈道琦美于矩阵奇异值的一些不等式‟a‟J拓)J=J砉%{≤客【%f≤客其中O-≥…≥是矩阵A的奇异值.(12)推论2对任意矩阵AEC…,有max{Be(,E;b”)j一UA V,u一玎_.,一I1},≤≤(1其中≥…≥”是矩阵的奇异值.推论8对任意三个U阵U,V和W6c.I及1<1,,,≤¨有Ref杰壹)≤叫n(I,,,).(14)证令,∈分别定义为注意到r,若1≤≤I及l<y≤J,毗尸10,其它情况;f,若1≤≤,且1≤西≤K,‰一10,其它情况;～f若l《《且l<i<I,“1o,其它情况.砉壹童”一砉客客蓍”“善蓍‰一喜壹客枷一壹砉耋m-=d●=1j|I.■,‟1由引理2和推论3即得不等式(14).,定理2若A,B6伊和O=AB分别具有奇异值k≥…≥,m≥…≥和1≥…≥o则有∑‟≤∑扎t,1≤≤帕.(1证利用矩阵奇异值分解(3)和推论2,只要证明对任意U阵U,V,∈c.I,矩阵一U.djag(h,…,A0?V?diag(,…,_)?矸满足Re(妻)≤客九t,l≤工《n即可.令注意到及推论3给出一砉耋m”,1<I,≤6一壹p砉”,1≤,j《耆一砉耋耋”1<1,,,≤耋=耋m砉耋=奎,≤r,,≤n,砉鲫一奎翥客脚砉,≤≤?量,)《血(j,,,1《,≤n.数学年刊n卷A辑结删理1得Re()≤{,,再次结合引理1得Re(∑如j≤ ≤工≤%.定理3若A…,∈c_分别具有奇异值口≥…≥口一1,…,m则乘积矩阵A=1…A的奇异值以≥…≥满足奎≤壹fi≤{行妻,)]1≤≤.(16)I一1I;dJ-1ld-1●=dJ证根据引理3J只要证明不等式(16)的第一部分∑{≤∑11”,1≤≤rb(17)成立即可.由定理2知不等式(17)对m≤2成立.设不等式c17)对m一2,…,m成立当m—m+1时记A1…Ar的奇异值为q≥…≥.由定理2得∑.≤∑+1‟F,1≤≤”.根据假设有∑≤∑lq口1≤s≤%利用引理1得不等式(17)对*a~qa‟q-i也成立.由数学归纳法得不等式(17)对一切m≥成立.当i,…,∈伊全是半正定l:[ernaife阵时不等式(16)给出了推论‟若1,…,∈伊都是半正定Hermife矩阵,则有A圳≤恒叫-参考文献[1]Hardy,0.H.,L扯日ewood,J.E.andPSlya,G..Ineqnalit 稍.CombridgeuniV ei七yPre拈窖ndEdifion,195S‟.[2:Ben-I~rea]A.&0埘vi】]T.N.E.GeⅡ啦liz日dIngotsThooryandAppllea~ionstWiloy?NowY ork,1974.[3】Bellman,R,SomeInequalitiesforPosi~ivoMrj曲g,(~nerali白qu日g口(ga~konba=h?E?F?Ed)EBirkl~usorV er]ag.1980[4】陈道琦,美于半正定Hermi~e矩阵乘积迹的一个不等式?数学-31:4(19s8),565--569?。

线性代数中的奇异值特征值关系

线性代数中的奇异值特征值关系在线性代数中，奇异值和特征值是两个非常重要的概念。

它们之间存在着一定的关系，通过研究和理解这种关系，可以帮助我们更好地理解线性代数的基本原理和应用。

奇异值和特征值都是矩阵的性质，但它们描述了不同的方面。

特征值是矩阵在一个向量方向上的影响力大小，而奇异值则表示了矩阵在整个向量空间上的变化情况。

首先，让我们先来了解一下特征值。

给定一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个复数，那么我们称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。

特征向量表示了在变换A 的过程中，保持在同一个方向或者方向相似的向量。

特征值则表示了在这个方向上的缩放倍数。

特征值和特征向量是通过求解方程det(A-λI)=0来得到的，其中I是单位矩阵。

求解这个方程可以得到矩阵A的所有特征值λ1, λ2, ..., λn。

每一个特征值都有对应的特征向量v1, v2, ..., vn。

接下来，我们来看奇异值。

对于一个m×n的矩阵A，它的奇异值分解可以写为A=UΣV^T，其中U是一个m×m的酉矩阵，V是一个n×n 的酉矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵。

对角线上的元素称为奇异值，通常用σ1, σ2, ..., σr来表示（r=min(m,n)）。

奇异值表示了矩阵A变换后在每个方向上的缩放倍数。

与特征值不同的是，奇异值并不是通过求解方程来得到的，而是通过奇异值分解得到的。

奇异值分解可以将矩阵A分解成三个矩阵的乘积，其中U和V是酉矩阵，Σ是对角矩阵。

那么奇异值与特征值之间有什么关系呢？首先，需要明确的是奇异值和特征值的个数是相同的，都是矩阵的秩。

另外，奇异值和特征值的平方根之间存在着一定的联系。

如果σ是奇异值，那么σ^2就是对应的特征值。

在奇异值分解中，矩阵U和V的列向量分别是矩阵A的左奇异向量和右奇异向量。

而特征值和特征向量则是矩阵A的右特征向量和左特征向量。

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自共轭阵集合，然ＳＱ）ＣＱ．显Ｃ（
１５９３年，ＯＦＭＮＡＪＷＩＬＮＴＨＷ给出了如下２ＨＦＡＡ和ＥＡＤ个矩阵差的特征值关系的著名定理：］设Ｂ＝Ａ，曰，Ｃ— Ａ，Ｃ均为，× 实对称阵，ｌｎ它们的特征值分别为， … ≥ｎ，。 … ≥ ，。 ≥ ≥ ｙ≥ Ｔ …≥ｙ，Ａ，ｃ的特征值之间有下列关系成立：则，
Ｊ２＝ｌ２・ｌ２ｌ＝ｌ２・ｌ２ ≤（）（Ｉ“ Ｃｌ “ ｌ，ＩＣ）ｌ（ＩＣ）ＣＣ（Ｉ２・ＩＩＣｌ
ＪｌＪ１
）＝［２ ≤（ｃｌ， “ ｌＣ１ｌＩ￣）
Ｊ＝ｌ
而由引理１得
ｔＡＡ＋（）２（）ｔＡＡ＋（）２ｒ）ｔＣｃ＋ｔＡｃ ≤ｒ）ｔＣｃ＋ ∑ （）ｊ）（ｒｒ（ｒＡｏ（＝∑ （Ａ＋（），－Ｃ（）ｃ）
，ｌＪＩ
ｎｎｎ
了估计，并给出了复矩阵和四元数矩阵特征值与奇异值的若干不等式．
关键词：特征值；奇异值；自共轭四元数矩阵；Ｆｏｅｉｓｒｂｎｕ范数；广义Ｆ一范数中图分类号：Ｏ１１２５．１文献标志码：Ａ
本文约定．表示ｍ×ｎ阶复矩阵的集合， “ Ｑ为四元数ｍ × ｎ阶矩阵集合，ｃ（）ｎｓＱ为阶四元数
引理６纠设Ａ，（为半正定Ｈｒｉ矩阵，和ｙ为收缩矩阵， ¨ ＢＥＭＣ）ｅｍｔｅ则
ｔＡ— ）ｒＡ— Ｂ ≤ｔＡ＋，中ＩＩ “ ．ｒ（Ｂ ≤ｔ１ＵＶＩｒ（Ｂ）其＝（）
引理７设Ａ， ∈ （）ＭＣ为半正定矩阵，则对所有酉不变范数满足４ＩＢｌ≤ ｌＡ＋ＩＡＩＩ（曰）Ｉ．
复矩阵和四元数矩阵关于特征值与奇异值的若干不等式
郑浩，张传林，张月芹．
（暨南大学数学系，广东广州５０３１６２）
摘
要：分别利用Ｆｏｅｉ范数和广义，一ｒｎｓｂｕ范数对复矩阵及四元数矩阵和与差的奇异值的上界与下界进行
【（ｙ）（）】成立． ∑ ｔ（＋ｃ） “ ｒＡ
Ｊ１
证明证明欲结论成即 ∑ （）≤∑ （Ａ＋ｃ）成立，证曰（）（）立．
Ｊ１Ｊ。ｌ
∑ （）＝（）ｔＡＡ－ｒ）２（）曰ｔＢ曰＝（）－（ｃ＋ｔＡｃ，ｒｒ４Ｃｔｒ
该定理给出了．上两矩阵之差的Ｆｏｅｉｓｒｂｎｕ范数的一个下界，即
ｌ一ｌ≥［（Ａ一（）】．Ｊ曰ｌＡ， ∑ （）曰） “
定理３设Ａ，Ｃ∈ ，
１
设它们的奇异值从大到小排列为ｏ（ ≥ （ ≥… ≥ （ ≥０ｒＡ）：Ａ）。Ａ），
（ ≥… ｏ（ｉ０ｏ（ ≥ Ａ）＞Ｉ－Ａ），ｒＢ）＞ｌ
（ ≥…≥ （Ｉ０ｌＣ＞ｏ（ ≥… １ｏ（ｉ０且Ｃ＝－则Ｆｏｅｉｓ数不等式ｆＢ）Ｂ），（）＇）＞Ｉ２＞－Ｃ）＞ＡＢ，ｒｂｎｕ范ｌＣ
≥
【（Ａ一（）成立． ∑ （））】
第２年第期２１９９月３０卷１
Ｎ１ＩｌＡＩＳ海ＮＣＥＯＵＲＮＡＬ然ＨＡ版ＪＶ勰Ｓ１Ｙ．ｔ，Ｃｍ南大学学报自科学７Ｊ０ＦＩＮｒＩ．
Ｖ１２ｏ３０．９Ｎ．
Ｓｐ２１ｅ．０１
文章编号：０４—１２（０１００９０１０７９２１）３－１９— ６
ＪＪ
∑ （Ａ）＋∑ （ｊ）一（）ｃＢ）２∑ｏ（）ｊ）ｒ（＇ＡｏＢ＝∑ （Ａ一），ｙ－（（）（
Ｊ＝１，＝１Ｊ＝１，１
也（ｃ）（Ａ一ｙ），Ｉ， ∑ （Ａ一（）】就是（） ≥ （）ｃ（）即ＩＩ≥【（）Ｂ）．ｒＢ１ｃ
ＭＮ定理的对称形式推广到四元数体上，Ａ得到了自共轭矩阵二项式的广义Ｆ一范数估计定理和一个幂迹定理．本文在此基础上，分别利用Ｆｏｅｉ范数和广义Ｆ一ｒｎｓｂｕ范数对复矩阵及四元数矩阵和与差的奇异值的上界与下界进行了估计，得到了复矩阵和四元数矩阵关于特征值和奇异值的若干不等式定理．近几年来，基于线性矩阵不等式的应用研究也是越来越多，主要分为２：１，类第类应用线性矩阵不等式解决控制系统中的问题，如模糊静态输出反馈控制¨ 转子系统振动主动控制链式系统跟踪控制律设计ｎ，引，引，
定义１一对Ｖ＝（）Ｍ称Ｅ
Ｉ（）｛Ｉｘ善＝ｒｔ（
收稿日期：０１３一ｌ２１ —０３
＝ｒｘ＝．（｛ｘ’ （ｔ（／主
ｉｆｔ
为Ｘ的Ｆｂｎｓｒｅｉ范数，中（为Ｘ的奇异值．ｏｕ其）容易验证ＩＩ・
又由理１ｒ）Ａ）≤∑ （））引知ｔＡ ≤Ｉ（ｌＡ（，（ｔｒ从而一ｔＡ曰 ≥－ ∑ （）ｉ）２（ ’ ）２Ａｏ（最后ｒ－Ｂ
Ｊ１Ｊｉ
得到
∑ （）＝ｒ）ｔＢ曰一ｔＡ）ｃｔＡＡ＋（）２（ ≥ （ｒｒ
为矩阵范数．
基金项目：国家自然科学基金项目（１７１５；６００６）广东省科技计划项目（０９３１８００２０１００３）０作者简介：郑浩（９４一）男，１８，河南信阳人，暨南大学数学系２００９级硕士研究生．
海南大学学报自然科学版
即∑ （） ≤
／＝１
（ｙＡ）＋ｃ）从而ｔ（（），得到『Ｉｒｔ。Ｉ， ∑ （ｒｊ（）＋（）】．曰『≤【ｃ）Ａ
…
１２／
定理２设Ａ，ＣＥＭ它们的奇异值从大到小排列为ｌＡ），（ ≥
２
Ｉ） ≤［（ｉ）（）．Ｉ（Ａ＋ “ ∑ ｏ（＋）ｒ－Ａ
证明注意到ＣＡ＋）仍为－＝（２ “
ｌｌ，ＩＩ则，
．
上ｎ× ｎ阶矩阵，明过程中反复应用Ｆｏｅｉ范数满足证ｒｎｓｂｕ
ＩＢＩ ≤ ｌＡｌＡ
（ ≥ （ ≥… ≥ （）０ｌＣ ≥ （ ≥… ≥ （）Ｂ）２Ｂ）丑 ≥ ，（）２Ｃ）Ｃ ≥０且Ｃ＝Ａ＋则Ｆｏｅｉｓ丑，ｒｂｎ范数不等ｕ
式ｌ “ ， ∑ （Ａ十（）ｒ成立Ｉｌ≤【（））Ｉ．
该结论给出了．上两矩阵和的２次多项式的Ｆｏｅｉｓｒｂｎｕ范数的一个上界估计，即
，
转置矩阵．
引理２］ｃ
设ＡＥ，ｅｔ）Ｑ “ 则Ｒ（Ａ ≤ＩＩｒｔ ≤∑ｏ（）ｒＡｒＡ．。
ｋｋ
引理３７设Ａ，，］ＥＢＥＱ则
∑ｏ（）（）ｒＡ一 ≤∑ｏ（丑 ≤ ∑ （）。，后ｎ＋ｒＡ）Ａｔ（１ ≤ ．ｒ） ≤
ｎｎ
≥
（一０）．［ｔ
文献［］２对上述定理进行了扩展，给出了ＨＦＡＡ和ＷＩＬＮＴＨＷ定理的一种对称形式和ＯＦＭＮＡＪＥＡＤ几个范数不等式，描述了实对称矩阵和与差的相关特征量的上界与下界．文献［］ＷＩＬＮＴＨＦＡ３将ＥＡＤ．ＯＦ．
Ｊｌ
证明
【＝∑ （ｃ）＝∑ （ｊ）＝ｒ（）（）：（）ｔＢ）２（）ｌＩＩＣ；（）ｔＡ一）ｔＡ— Ａ— ］ｔＡＡ＋ｒ一ｔＡ，ｒ（［ｒ（ｒ
第３期
郑
浩等：复矩阵和四元数矩阵关于特征值与奇异值的若干不等式
广，范依满ＩＩ √ △ ：ｒ’｝＝ｒ．＝（）其义一数然足，Ｉｌ｛Ｂ）｛Ｂ）（Ｂ中ＢｔＢｔＢ｝），（（
（）Ｂ的奇异值．Ｂ为
引理１设４ＢＥ …，：ｉ｛，｝则ＩＡ曰ｌ ∑ （）（）其中Ａ㈨，Ｍｑｍｎｍｎ，忱 ’ ≤ ｑＡ丑表示Ａ的复共轭
引理５设Ａ，（） … Ｂ∈ ｃ为半正定Ｈｒｉ矩阵，ｅｍｔｅ如果１＜… ＜， ≤１ｉ ≤ｎ那么
ｋｋ
∑Ａ（）＋）ｉＡＡ。 ≤∑Ａ（曰 ≤∑Ａ（））。（Ａ）ＡＡ（．曰
‘ １＝Ｉ＝１ｔ＝１
引理４１设Ａ，（为半正定Ｈｅｉ矩阵，么［］ｏＢＥＣ）ｒｔｍｅ那
ｔ（Ｂ）￣ｔ（， ≥１ｔ（Ｂ）ｒＡＢ）ＩＩ，ｒＡ “ ｒＡＢ）ＩＩ；Ａ ≥ｔ（，Ｏ ≤１ｒｔ
且等号成立的充要条件是Ｏ＝一１０１或者Ａｔ，，Ｂ＝ＢＡ．
２主要结果
定理１设Ａ，Ｃ∈ ，它们的奇异值从大到小排列为ｏ（Ｉ０（ ≥…≥ （ｉ０ｏ（）ｒＡ）－（ ≥…＞ｏ（＞０ｏ（Ｉｏ（ ≥… ≥ （）０且Ｂ＝Ａ，ＦｏｅｉｓｒＢ）２１－Ｂ），】Ｃ）－Ｃ）１ｒ＞２ＣＩ＞Ｃ＋则ｒｂｎ范数不等式Ｉ ≤ ｕｌ曰