2017-2018学年宁夏育才中学勤行学区高二(上)入学数学试卷(解析版)

2017-2018学年宁夏育才中学勤行学区高二（上）入学数学试卷一．选择题（124＝48分）1．（4分）下列说法正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角C．第三象限的角大于第二象限的角D．角α与角β的终边相同，角α与角β可能不相等2．（4分）已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．﹣D．3．（4分）如图，为互相垂直的单位向量，向量可表示为（）A．2B．3C．2D．34．（4分）在△ABC中，a＝2，b＝，A＝，则角B等于（）A．B．C．D．5．（4分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．6．（4分）已知函数f（x）＝（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数7．（4分）若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x＝﹣（k∈Z）B．x＝+（k∈Z）C．x＝﹣（k∈Z）D．x＝+（k∈Z）8．（4分）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（）A．5B．C．2D．19．（4分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝（）A．B．C．D．210．（4分）在△ABC中，若（a+b+c）（b+c﹣a）＝3bc，且sin A＝2sin B cos C，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形11．（4分）△ABC中，，，若，则m+n＝（）A．B．C．D．112．（4分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．﹣1二．填空题（44＝16分）13．（4分）已知||＝3，||＝5，＝12，则在方向上的投影为．14．（4分）在△ABC中，若a2＝b2+c2+bc，则∠A为．15．（4分）已知＝（3，1），＝（sinα，cosα），且∥，则＝．16．（4分）函数f（x）＝sin2x+cos x﹣（x∈[0，]）的最大值是．三.解答题（共56分）17．（8分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2﹣2x+2＝0的两个根，且2cos （A+B）＝1．求：（1）角C的度数；（2）边AB的长．18．（8分）如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求的值．19．（10分）已知函数（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y＝f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．20．（10分）已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），|﹣|＝．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ＝﹣，求sinα的值．21．（10分）已知函数f（x）＝sin2ωx+sinωx sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．22．（10分）如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时矩形ABCD面积最大？并求最大面积．2017-2018学年宁夏育才中学勤行学区高二（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（124＝48分）1．【解答】解：对于A，小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，A不正确．对于B，钝角是第二象限的角，正确，451°角是第二象限角但不是钝角，对于C，如：480°是第二象限角，210°是第三象限角，显然判断是不正确的．若角α与角β的终边相同，那么α＝β+2kπ，k∈Z，可得角α与角β可能不相等，D正确．故选：D．2．【解答】解：∵已知，，向量与垂直，∴（）•（）＝0，即：（﹣3λ﹣1，2λ）•（﹣1，2）＝0，∴3λ+1+4λ＝0，∴λ＝﹣．故选：A．3．【解答】解：观察图形知：，＝，，∴＝（）+（）+（）＝．故选：C．4．【解答】解：在△ABC中，a＝2，b＝，A＝，a＞b，则A＞B，B为锐角．由正弦定理，得：sin B＝＝＝，可得：B＝；故选：A．5．【解答】解：∵，∴，故选：C．6．【解答】解：∵f（x）＝（1+cos2x）sin2x＝2cos2x sin2x＝sin22x＝＝，故选：D．7．【解答】解：将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝2sin2（x+）＝2sin（2x+），由2x+＝kπ+（k∈Z）得：x＝+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x＝+（k∈Z），故选：B．8．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB＝c＝1，BC＝a＝，∴S＝ac sin B＝，即sin B＝，当B为钝角时，cos B＝﹣＝﹣，利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos B＝1+2+2＝5，即AC＝，当B为锐角时，cos B＝＝，利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos B＝1+2﹣2＝1，即AC＝1，此时AB2+AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC＝．故选：B．9．【解答】解：由题意可得：，∴，由正弦定理可得：．故选：A．10．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）＝3bc∴[（b+c）+a][（b+c）﹣a]＝3bc∴（b+c）2﹣a2＝3bcb2+2bc+c2﹣a2＝3bcb2﹣bc+c2＝a2根据余弦定理有a2＝b2+c2﹣2bc cos A∴b2﹣bc+c2＝a2＝b2+c2﹣2bc cos Abc＝2bc cos Acos A＝∴A＝60°sin A＝2sin B cos Csin（B+C）＝2sin B cos C∴sin（B﹣C）＝0B＝C，∵A＝60°，∴B＝C＝60°∴△ABC是等边三角形故选：D．11．【解答】解：∵，，∴，⇒，∵，∴＝＝，∴，∴．∴．故选：B．12．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（﹣1﹣x，﹣y），＝（1﹣x，﹣y），则•（+）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x＝0，y＝时，取得最小值2×（﹣）＝﹣，故选：B．二．填空题（44＝16分）13．【解答】解：∵．故答案为：．14．【解答】解：∵在△ABC中，a2＝b2+c2+bc，∴b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴cos A＝＝＝﹣，∵∠A是△ABC的内角，∴∠A＝150°．故答案为：150°．15．【解答】解：∵∥∴3cosα＝sinα，即tanα＝3，∴．故答案为：16．【解答】解：f（x）＝sin2x+cos x﹣＝1﹣cos2x+cos x﹣，令cos x＝t且t∈[0，1]，则y＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣）2+1，当t＝时，f（t）max＝1，即f（x）的最大值为1，故答案为：1三.解答题（共56分）17．【解答】解：（1）∴C＝120°（2）由题设：∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC cos C＝a2+b2﹣2ab cos120°＝∴18．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设AB＝2，则AD＝4．B（0，0）．∵∠ABC＝60°，∴A（1，），D（5，），C（4，0）．设E（x，0）．＝（x﹣1，﹣），＝（5，）∵AE⊥BD，∴•＝5（x﹣1）+3＝0，解得x＝．∴＝＝．19．【解答】解：（Ⅰ）＝＝．∵f（x）为偶函数，∴对x∈R，f（﹣x）＝f（x）恒成立，∴．即，整理得．∵ω＞0，且x∈R，所以．又∵0＜φ＜π，故．∴．由题意得，所以ω＝2．故f（x）＝2cos2x．∴．（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．∴．当（k∈Z），即（k∈Z）时，g（x）单调递减，因此g（x）的单调递减区间为（k∈Z）．20．【解答】解：（1）因为向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），|﹣|＝＝＝，所以2﹣2cos（α﹣β）＝，所以cos（α﹣β）＝；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，所以0＜α﹣β＜π，因为cos（α﹣β）＝，所以sin （α﹣β）＝且sinβ＝﹣，cosβ＝，所以，sinα＝sin（α﹣β+β）＝sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ＝＝21．【解答】解：（Ⅰ）＝＝．∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．∵，∴，∴．∴，即f（x）的取值范围为．22．【解答】解：BC＝2OC•sinα＝2sinα，．由对称性可得：△OAD为等边三角形，设OE∩AD＝F，则F为AD的中点．∴OF＝BC＝sinα．∴DC＝OC cosα﹣OF＝cosα﹣sinα．∴矩形ABCD面积S＝BC•DC＝2sinα（cosα﹣sinα）＝sin2α﹣（1﹣cos2α）＝2sin﹣．∴当2＝，即时，S取得最大值2﹣．第11页（共11页）。