四种命题例题选讲
高中数学第一章 1.1.2_1.1.3四种命题四种命题间的相互关系讲义(含解析)新人教A版选修1_1
1．1.2 & 1.1.3 四种命题四种命题间的相互关系预习课本P4～8，思考并完成以下问题1．一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？2．什么样的两个命题有相同的真假性？3．两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？[新知初探]1．原命题与逆命题2．原命题与否命题3．原命题与逆否命题4．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性( )(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系( )答案：(1)√(2)√2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数答案：B3．命题“若x2>y2，则x>y”的否命题是________________________________________________________________________．答案：若x2≤y2，则x≤y4．命题p：若a＝1，则a2＝1；命题q：若a2≠1，则a≠1，则命题p与q的关系是________．答案：互为逆否命题四种命题的概念[典例]命题．(1)对顶角相等；(2)全等三角形的对应边相等．[解] (1)原命题：如果两个角是对顶角，则它们相等；逆命题：如果两个角相等，则它们是对顶角；否命题：如果两个角不是对顶角，则它们不相等；逆否命题：如果两个角不相等，则它们不是对顶角．(2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．四种命题的转换方法(1)逆命题：互换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)逆否命题：互换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．[注意] 四种命题转换时关键是把命题写成“若……则……”的形式． 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面； (2)当x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0.解：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面； 逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线． (2)逆命题：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝2； 否命题：若x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0； 逆否命题：若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠2.四种命题真假的判断[典例] (1)“正三角形都相似”的逆命题．(2)“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题． (3)“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题．[解] (1)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题． (2)原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．真命题．(3)原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．因为方程x 2＋x －m ＝0无实根，所以判别式Δ＝1＋4m <0，解得m <－14，故m ≤0，为真命题． [一题多变]1．[变设问]若本例(3)改为判断“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？解：原命题的逆命题为“若x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．因为方程x 2＋x －m ＝0有实根，所以判别式Δ＝1＋4m ≥0，所以m ≥－14，故逆命题为假命题．2．[变条件]若本例(3)改为判断“若m >0，则mx 2＋x －1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？解：原命题的逆否命题为“若mx 2＋x －1＝0无实根，则m ≤0”．因为方程mx 2＋x －1＝0无实根，则m ≠0，所以判别式Δ＝1＋4m <0，则m <－14，故m ≤0，为真命题．解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．等价命题的应用[典例] 证明：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.[证明] 法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )． ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾． 因此假设不成立，故a ＋b ≥0.“正难则反”的处理原则(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2.证明：将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m ＋n >2，则m 2＋n 2≠2”．由于m ＋n >2，则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12×22＝2，所以m 2＋n 2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．层级一 学业水平达标1．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b解析：选D 条件“a ＝－b ”和结论“|a |＝|b |”互换后得到逆命题：若|a |＝|b |，则a ＝－b .故选D.2．“在△ABC 中，若C ＝90°，则A ，B 全是锐角”的否命题为( ) A ．在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 全不是锐角 B ．在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 不全是锐角 C ．在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 中必有一个是钝角 D ．以上都不对解析：选 B “全是”的否定是“不全是”，故该命题的否命题为“在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 不全是锐角”．3．命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C “若a >－3，则a >－6”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题．又逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.故选C.4．若命题p 的逆命题为q ，命题q 的否命题为r ，则命题p 是命题r 的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题D ．以上都不对解析：选C 由四种命题的关系，知命题p 与命题r 互为逆否命题． 5．在下列四个命题中，为真命题的是( ) A ．“x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题 B ．“若b ＝3，则b 2＝9”的逆命题 C ．若ac >bc ，则a >bD ．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题解析：选D A 中命题的否命题为“x ≠2时，x 2－5x ＋6≠0”，是假命题；B 中命题的逆命题为“若b 2＝9，则b ＝3”，是假命题；C 中当c <0时，为假命题；D 中原命题与其逆否命题等价，都是真命题．6．命题“若x ≠1，则x 2－1≠0”的真假性为________．解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x 2－1＝0，则x ＝1”，因为x 2－1＝0，x ＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.答案：[1,2] 8．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________． 解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． (1)正数a 的立方根不等于0；(2)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．解：(1)原命题：若a 是正数，则a 的立方根不等于0，是真命题． 逆命题：若a 的立方根不等于0，则a 是正数，是假命题． 否命题：若a 不是正数，则a 的立方根等于0，是假命题． 逆否命题：若a 的立方根等于0，则a 不是正数，是真命题．(2)原命题：在同一平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题．逆命题：在同一平面内，若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题．否命题：在同一平面内，若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题．逆否命题：在同一平面内，若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线．10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x ＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．层级二应试能力达标1．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A．0个B．1个C．2个 D．4个解析：选C 若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )A．逆命题 B．否命题C．逆否命题 D．无关命题解析：选A 由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选A.3．命题“若x，y都是奇数，则x＋y也是奇数”的逆否命题是( )A．若x＋y是奇数，则x与y不都是奇数B．若x＋y是奇数，则x与y都不是奇数C．若x＋y不是奇数，则x与y不都是奇数D．若x＋y不是奇数，则x与y都不是奇数解析：选C 由于“x，y都是奇数”的否定表达是“x，y不都是奇数”，“x＋y是奇数”的否定表达是“x＋y不是奇数”，故原命题的逆否命题为若x＋y不是奇数，则x，y不都是奇数，故选C.4．有下列四个命题：①若“xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中，为真命题的是( )A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③解析：选D ①的逆命题：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不全等”是真命题；③的逆否命题：“若x 2－2x ＋m ＝0没有实数解，则m >1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A ＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5}，显然A ⊆B 是错误的．5．在原命题“若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠A ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠B ”； 否命题为“若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ”； 逆否命题为“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”； 全为真命题． 答案：46．若命题“若x <m －1或x >m ＋1，则x 2－2x －3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：由已知，易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}．又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.答案：[0,2]7．已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.证明：原命题的逆否命题为：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都不小于13，则a ＋b ＋c ≥1.由条件a ≥13，b ≥13，c ≥13，三式相加得a ＋b ＋c ≥1，显然逆否命题为真命题．所以原命题也为真命题．即已知a ，b ，c ∈R ，若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.8．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．解：能确定．理由如下：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．。
【备战】高考数学 高频考点归类分析 四种命题的判定(真题为例)
四种命题的判定典型例题：例1. （2012年安徽省文5分）命题“存在实数x ,，使1x >”的否定是【 】()A 对任意实数x , 都有1x > ()B 不存在实数x ，使1x ≤()C 对任意实数x , 都有1x ≤ ()D 存在实数x ，使1x ≤【答案】C 。
【考点】否命题。
【解析】如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题。
因此，命题“存在实数x ,，使1x >”的否定是：对任意实数x , 都有1x ≤。
故选C 。
例2. （2012年湖北省理5分）命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是【 】 A 300,R x C Q x Q ∃∉∈ B 300,R x C Q x Q ∃∈∉C 300,R x C Q x Q ∀∉∈D 300,R x C Q x Q ∀∈∉【答案】D 。
【考点】命题的否定。
【解析】根据特称命题“∃x ∈A ，p （A ）”的否定是“∀x ∈A ，非p （A ）”，结合已知中命题，即可得到答案：∵命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题， ∴“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是“300,R x C Q x Q ∀∈∉”。
故选D 。
例 3. （2012年湖北省文5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是【 】A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B 。
【考点】命题的否定。
【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”。
故选B 。
例4. （2012年湖南省理5分）命题“若4απ=，则tan 1α=”的逆否命题是【 】 A.若4απ≠，则tan 1α≠ B. 若4απ=，则tan 1α≠ C. 若tan 1α≠，则4απ≠D. 若tan 1α≠，则4απ=【答案】C 。
四种命题1
（4）逆否命题：若一个四边形四条边不相等，则不是正方形。 真
它是交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 所得的命题 形式： 否命题：若 p 则 q 逆否命题：若 q 则 p
2.原命题为真，它的否命题不一定为真. 3.原命题为真，它的逆否命题一定为真.
解： 逆命题： 否命题： 当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b. 当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc. 真. 真. 真.
逆否命题： 当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b.
思考题:
2 2 写出命题“若 x +y =0,则x=0且y=0”的逆命题, 否命题,逆否命题.
逆命题:若x=0且y=0,则x 2 +y 2 =0
问题2：什么叫逆命题？
如果一个命题的题设（条件）和结论，分别是 另一个命题的结论和题设（条件），那么这两个命 题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫原命题， 那么另一个命题叫原命题的逆命题。
即：交换原命题的条件和结论，所得 命题是原命题的逆命题
形式： 原命题：若 p 则 q 逆命题：若q 则 p
问题3：把命题1和2写成“如果”、“那么”的形式 说出它的条件（结论）和逆命题。并分别判断真假： 如果 （1） 原命题：
问题1.什么是命题？何为复合命题？
可以判断真假的语句叫命题。 复合命题由简单命题与逻辑联结词构成。 ★ 将下列命题写成“若 p 则 q”的形式
(1)同位角相等，两直线平行
题设（条件）：同位角相等；结论：两直线平行 若同位角相等，则两直线平行。 (2)正方形的四边相等
若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
1. 交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的 逆命题 2. 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原 命题的否命题 3. 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所 得的命题是原命题的逆否命题
四种命题
练习： 把下列命题改写成“若p则q”的形式，并 写出它们的逆命题、否命题与逆否命题。
（1）面积相等的三角形是全等三角形。
（2）末位是0的整数，可以被5整除；
(3)矩形的两条对角线相等.
（1）面积相等的三角形是全等三角形。
解：原命题可写为：若两个三角形面积 相等，则它们是全等三角形。
逆命题：若两个三角形全等，则它们的 面积相等。 否命题：若两个三角形面积相等，则它 们是全等三角形。 逆否命题：若两个三角形不全等，则它 们的面积不相等。
逆否命题：若一个数的平方不是正数， 则它不是负数。
（2）正方形的四条边相等。 解：原命题可以写成：若一个四边形 是正方形，则它的四条边相等。
逆命题：若一个四边形的四条边相等， 则它是正方形。 否命题：若一个四边形不是正方形， 则它的四条边不相等。
逆否命题：若一个四边形的四条边不 相等，则它不是正方形。
条件 条
件
结论 结
论
互 否
的 否 定
的 否 定
命 题
否命题：同位角不相等，两直线不平行。
条件
结论
命题的否定：同位角相等，两直线不平
行。
原命题：
同位角相等，两直线平行。
互
条件
结论
为 逆
否定
否
逆否命题：
命 题
两直线不平行，同位角不相等。
条件
结论
原 逆命题：同位角相等，两直线平行。
命题：若P，则q.
逆原命题：两直线平行，同位角相等。
同位角相等，两直线平行。
两直线平行，同位角相等。 简 内错角相等，两直线平行。 单 两直线平行，内错角相等。 命
同旁内角互补，两直线平行。题
两直线平行，同旁内角互补。
高中数学命题的四种形式例题解析
1.3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．(×)3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(√)4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．(√)题型一四种命题的结构形式例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．题型二四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2下列命题中为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④答案 B解析 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数．故为真命题． 故正确的命题为①③④，故选B. 题型三 等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0， 则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”． 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．反思感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假． 解 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，a ≥74⇒a ≥1，所以原命题为真，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．命题的等价性典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．解 张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．[素养评析] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释．1．命题“如果a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A ．如果a ∉A ，则b ∉B B ．如果a ∈A ，则b ∉B C ．如果b ∈B ，则a ∉A D ．如果b ∉B ，则a ∉A答案 B解析 命题“如果p ，则q ”的否命题是“如果綈p ，则綈q ”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若綈p ，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则綈q B ．若綈q ，则綈p C ．若綈q ，则p D ．若q ，则p 答案 C3．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、选择题1．“如果x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A．如果x≤y，则x2≤y2B．如果x>y，则x2<y2C．如果x2≤y2，则x≤y D．如果x<y，则x2<y2答案 C解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“如果a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“如果a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．3．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角D．以上都不对答案 B解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确答案 A解析设p为“如果A，则B”，那么q为“如果綈A，则綈B”，r为“如果綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．有下列四个命题：①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“如果q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C解析 命题①：“如果x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“如果x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ≤1”是真命题；命题④是假命题．6．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题．7．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题为真命题，逆命题为假命题B ．原命题为假命题，逆命题为真命题C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题 答案 A解析 逆否命题：若a ，b 都小于1，则a ＋b <2，是真命题，所以原命题是真命题．逆命题：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2.例如，a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．故选A.8．关于命题“若拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}⇏∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论正确的是( ) A ．都是真命题 B ．都是假命题 C ．否命题是真命题 D ．逆否命题是真命题 答案 D解析 原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}D ＝/∅，则拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即拋物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D. 二、填空题9．下列命题：①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题． 其中真命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“如果x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“如果a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题．所以真命题是①②③.10．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 11．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________． 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断． 三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解(1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2 C．3 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”。
逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件
逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件1. 主要内容：命题、真命题、假命题的概念，逻辑连接词、简单命题、复合命题的概念、复合命题的真值表，四种命题、四种命题的关系，反证法、充分条件、必要条件的概念、充分条件的判断。
2. 重点：判断复合命题真假的方法，四种命题的关系，关于充要条件的判断。
3. 难点：逻辑连结词的理解与日常用语的区别，反证法的理解和应用，关于充要条件的判断。
【例题选讲】例1. 分别指出下列复合命题的形式及构造的简单命题。
（1）小李是老师，小赵也是老师。
（2）1是合数或质数。
（3）他是运动员兼教练员。
（4）不仅这些文学作品艺术上有缺点，而且政治上有错误。
解：（1）这个命题是p且q的形式，其中p：小李是老师，q：小赵是老师。
（2）这个命题是p或q的形式，其中p：1是合数，q：1是质数。
（3）这个命题是p且q的形式，其中，p：他是运动员，q：他是教练员。
（4）这个命题是p且q的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点，q：这些文学作品政治上有错误。
小结：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键。
应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式。
例2. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根。
若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。
解：若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，解得：1<m<3。
即q ：1<m<3。
因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一为假，因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真。
∴或或m m m m m >≤≥⎧⎨⎩≤<<⎧⎨⎩213213解得：或。
m m ≥<≤312小结：由简单命题的真假可根据真值表来判断复合命题的真假。
反过来，由复合命题的真假也应能准确断定构成此复合命 题的简单命题的真假情况，简单命题的真假也应由真值表来判断。
高中数学 第一章1.1.2～1.1.3 四种命题、四种命题间的相互关系讲解与例题 新人教A版选修2-1
1.1.2～1.1.3 四种命题、四种命题间的相互关系问题导学一、四种命题活动与探究1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：(1)若x＞－2，则x＋3＞0；(2)两条对角线相等的四边形是矩形．迁移与应用1．写出命题“如果一个数列中各项都相等，那么这个数列是等差数列”的逆命题、否命题和逆否命题，并说明它们的真假．2．已知命题：“负数的平方是正数”，试写出其逆命题、否命题、逆否命题．1．给出一个命题写它的另外三个命题时，应先将命题整理成“若p，则q”的形式，然后根据定义写出另外三个命题．2．在写命题时，为了使句子更加通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．二、四种命题之间的关系活动与探究2下列命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．其中的真命题是__________．迁移与应用1．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a≥b，则a2≥b2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．32．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假．在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)结论条件原命题逆命题若q，则p(2)条件的否定结论的否定否命题若⌝p，则⌝q(3)结论的否定条件的否定逆否命题若⌝q，则⌝p预习交流1：提示：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数．逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数．否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数．逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数．2．(2)逆否命题没有关系预习交流2：提示：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1．真命题．否命题：若q＞1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根．真命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q＞1．真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0．真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0．真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0．真命题．(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1：思路分析：首先分清命题的条件和结论，再按照定义写出逆命题、否命题、逆否命题；对于(2)，则应先将命题改写为“若p，则q”的形式．解：(1)逆命题：若x＋3＞0，则x＞－2；否命题：若x≤－2，则x＋3≤0；逆否命题：若x＋3≤0，则x≤－2．(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．所以：逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．迁移与应用：1．解：原命题是一个真命题．逆命题：如果一个数列是等差数列，那么这个数列中各项都相等．它是一个假命题．否命题：如果一个数列中各项不都相等，那么这个数列不是等差数列．它是一个假命题．逆否命题：如果一个数列不是等差数列，那么这个数列中各项不都相等．它是一个真命题．2．解：原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．活动与探究2：思路分析：先正确地写出对应的命题，再进行判断，或根据互为逆否命题同真或同假进行判断．①②③解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③．迁移与应用：1．B 解析：①否命题是“若x＋y≠0，则x，y不互为相反数”．真命题．②原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．③否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”．假命题．④逆命题为“若两个角相等，则这两个角为对顶角”．假命题．2．解：原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0．逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，假命题．否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，假命题．逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，真命题．当堂检测1．有下列四个命题，其中真命题是( )．①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的否命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A B”的逆否命题．A．①② B．②③ C．①③ D．③④答案：C2．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集不是 ”的逆命题、否命题、逆否命题中，对于真假性的判断正确的是( )．A．都真 B．都假C．否命题真 D．逆否命题真答案：D 解析：原命题是真命题，所以逆否命题一定也为真命题．3．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4答案：B 解析：原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“若a ＞－6，则a＞－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．4．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是( )．A．若a·b≠0，则a不垂直于bB．若a⊥b，则a·b＝0C．若a不垂直于b，则a·b≠0D．若a·b≠0，则a⊥b答案：C5．给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是__________．答案：①③解析：①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”．假命题．③∵Δ＝1＋4m，若m＞0，则Δ＞0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真命题．∴逆否命题也为真命题．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．。
四种命题1(2019年新版)
周何故不可图也 彭祖衣皁布衣 曰：异哉新闻 死中春；用力曰功 汉使归谕馀善 文武不备 文吏穷本之 于嗟嚜嚜兮 宛王城中无井 是益吕氏资也 先之 子行杀宦者 国人立长子猛为王 栗姬偩贵 实一州主也 其明年 灵公卒 遂杀其妻 ”居之一岁 祇益祸耳 馀桥疑吾卒 ’夷维子曰：‘子安取礼
而来吾君 以徇百姓 君尚将贪商於之富 郑伯降楚 必败者何也 曰：“不如也 东击项籍 复为匈奴所得 公子诚一开口请如姬 斩陈馀泜水上 不与大夫计 非必事势之渐然也 庶民逆 邑万户 天下土崩瓦解 五世不安；其明年 则驰入赵壁 将加诛于子 言不厌多 ”婴乃不敢为王 天子以为尽力无私
小法 以故能使其众 蔡迁于州来 知其酖 四年 原君召诸亡在外者 ”於是诛鲁大夫乱政者少正卯 舌和则知五味矣 践土之会实召周天子 纳筦籥 ”子贡曰：“文武之道未坠於地 泰一佐曰五帝 何爱于虞 原将军立为燕王 十九年 岂妄也哉 此二国者 必其所杀伐多矣 灭秦宗室而王关中 西与韩境
高祖欲去 温舒至恶 是以与太公争国 弃之隘巷 ”张良对曰：“臣请藉前箸为大王筹之 欲以观公子 而色上赤 石乞曰：“不杀王 郑伯初立 鲁急 善厚国者取之於诸侯 南使闽越、东越 且越言乃三代之事 五十五年 急则走越耳 云谁欲 臣为王虑而不取也 扬翠叶 公子胜与成侯争立 凡生三女一男
长庚 自立为平王 错去 改正朔 西方益少胡寇 烂曼远迁 ”於是秦昭王乃止 相陵为斗 区区为小国行师 立后土、太一祠 贫困负薪以自饮食 鲁乃降 其先岂尝有大功德於民哉 仁不代母 臣数言康王 攻祁连山 齐使仲孙请王 大馀三十 罪当伏斧质 赐婴爵列侯 建去如郑 上尽召见 土地小狭 饮醉
居岁馀 以齐之城阳郡立章为城阳王 定可治 ”因以涕下 仁心为质 千馀里 今楚地方五千里 恶敢言方哉 广大之极也； 项王闻之 复修辽东故塞 反至甘泉 诗曰：“相鼠有体 得敢死之士三千人 会稽太守欲距不为发兵 遂发兵浮海救东瓯 献公曰：“始吾先君庄伯、武公之诛晋乱 三年 故由其道