四种命题典型例题
1.1.1四种命题作业12017-2018学年高中数学选修1-1苏教版
1.1.1四种命题作业12017-2018学年高中数学选修1-1苏教版第1章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 四种命题5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.命题“若a＞1,则a＞0”的逆命题是____________，逆否命题是____________.答案：若a＞0，则a＞1 若a≤0，则a≤12.已知a,b都是实数，命题“若a+b＞0,则a,b不全为0”的逆否命题是__________________.（用“若p则q”的形式写出这一逆否命题）答案：若a、b全为0，则a+b≤03.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.以上两个命题中，逆命题为真命题的是____________.（把符合要求的命题序号都填上）答案：②解析：①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面.显然不正确.②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点.为真命题.4.设原命题是“已知a,b,c,d是实数，若a=b,c=d，则a+c=b+d.”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.解：逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a+c=b+d,则a=b,c=d.假命题.否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b且c≠d，则a+c≠b+d.假命题.逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a+c≠b+d,则a≠b或c≠d.真命题.10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的（）A.逆否命题B.逆命题C.否命题D.原命题答案：C解析：设p为“若A，则B”，则r、s、t分别为“若非A，则非B”“若非B，则非A”“若B，则A”，故s是t的否命题.2.当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是（）A.若q,则pB.若非p，则非qC.若非q,则非pD.p且q答案：C解析：因原命题与逆否命题等价，故选C.3.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）A.真命题的个数一定是奇数B.真命题的个数一定是偶数C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D.以上判断均不正确答案：B解析：因“原命题”与“逆否命题”同真假，“逆命题”与“否命题”同真假，故真命题是成对出现的.4.命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A 的等价命题B可以是：底面为正三角形，且____________的三棱锥是正三棱锥.答案：顶点到底面三角形三个顶点距离相等解析：顶点在底面的射影为底面的中心，也就是要求棱锥顶点到正三角形三个顶点的距离相等.所以原命题A的等价命题B是底面为正三角形，且顶点到底面三角形三个顶点距离相等的三棱锥是正三棱锥.5.命题“若A∪B=B，则A B”的否命题是____________，逆否命题是____________.答案：“若A∪B≠B,则A B” “若A B,则A∪B≠B”解析：同时否定原命题的条件和结论,得到否命题;交换原命题的条件和结论,并且同时否定,得到逆否命题.6.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时，判断这些命题的真假.（1）若a＞b，则ac2＞bc2;（2）若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；（3）若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2-4ac＜0,则该二次函数图象与x轴有公共点.解：（1）该命题为假，∵当c=0时，ac2=bc2.逆命题：若ac2＞bc2,则a＞b.为真.否命题：若a≤b,则ac2≤bc2.为真.逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b.为假.（2）该命题为真.逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补.为真.否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.为真.逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补.为真.（3）该命题为假，∵当b2-4ac＜0时，二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，因此二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无公共点.逆命题：若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有公共点，则b2-4ac＜0.为假.否命题：若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2-4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点.为假.逆否命题：若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点，则b2-4ac≥0.为假.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.有下列四个命题，其中真命题是（）①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若b≤0，则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题④“若A∪B=B，则A B”的逆否命题A.①②B.②③C.①③D.②④答案：C2.用反证法证明命题“2+3是无理数”时，假设正确的是（）A.假设2是有理数B.假设3是有理数C.假设2或3是有理数D.假设2+3是有理数答案：D3.已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么命题：（1）M的元素都不是集合P的元素；（2）M中有不属于集合P的元素；（3）M中有集合P的元素；（4）M 的元素不都是集合P的元素,其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：由于“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，从而由条件“非空集合M的元素”推不出结论“都是集合P的元素”，所以（2）、（4）正确.4.给出下列三个命题：（1）若a≥b ＞-1，则a a +1≥bb +1;(2)若正整数m 和n 满足m≤n,则)(m n m -≤2n ;(3)设P （x 1,y 1）为圆O 1：x 2+y 2=9上一点，圆O 2以Q （a,b ）为圆心且半径为1，当(a-x 1)2+(b-y 1)2=1时，圆O 1与圆O 2相切.其中假命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3答案：B解析：由于各个命题内容互不相同，故需对各个命题逐个判定.（1）∵a≥b ＞-1,∴a+1≥b+1＞0,a a +1-b b +1=)1)(1(b a b a ++-≥0.∴a a +1≥b b +1. (2)∵正整数m 和n 满足m≤n, ∴)(m n m -≤2)(m n m -+=2n . (3)圆O 1上的点到圆O 2的圆心的距离为1，两圆不一定相切.5.已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①若α∥β，m ?α,n ?β,则m ∥n;②若m 、n ?α,m ∥β,n ∥β,则α∥β；③若m ⊥α,n ⊥β,m ∥n,则α∥β；④m 、n 是两条异面直线，若m ∥α,m ∥β,n ∥α,n ∥β,则α∥β.上述命题中，真命题的序号是_______________.答案:③④解析：①可能异面，是假命题；②可能相交，是假命题；③真命题；④真命题.6.命题“若a ＞b,则2a ＞2b -1”的否命题是_____________.答案:若a≤b,则2a ≤2b -1解析：该题将不等式和四种命题综合在一起，要注意不等号的方向及等号的取舍.7.把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数f(x)=3+log 2x 的图象与g(x)的图象关于_____________对称，则函数g(x)=_____________.（填上你认为可以成为真命题的一种情况即可）答案:y 轴 3+log 2(-x)解析：该题将函数的图象和性质与命题综合在一起，要综合利用各部分的知识.可能情况有：x 轴，-3-log 2x;y 轴，3+log 2(-x);原点，-3-log 2(-x);直线y=x,2x-3等.8.主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打来电话说：“临时有急事，不能来了.”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来.”张三听了，脸色一沉，起来一声不响地走了，主人愣了片刻，又说了句：“哎，不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.请用逻辑学原理解释二人离去的原因.解:张三走的原因是:“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的；李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“该走的没有走”，李四觉得自己是应该走的，所以二人离去.由此，我们发现逻辑无处不在，要合理应用.9.若m≤0,或n≤0,则m+n≤0.写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.解：逆命题：若m+n≤0,则m≤0,或n≤0.真命题.否命题：若m ＞0,且n ＞0,则m+n ＞0.真命题.逆否命题：若m+n ＞0,则m ＞0,且n ＞0.假命题.。
四种命题的真假关系(含答案)
B. 当 揀 时该命题成立
C. 当 揀 时该命题不成立
D. 当 揀 时该命题成立
25.已知命题“函数 f（x）、g（x）定义在 R 上，h（x）=f（x）•g（x），若 f（x）、g（x）均为奇函数，
ᇮtan 揀
17.下列命题中，假命题的个数为（ ）．
①对所有正数 p， ；
②不存在实数 x，使 x<4 且
揀；
3
③存在实数 x，使得 ᇮ
ᇮ且 䮠 ；
④3>3，
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
18.命题“若 则 ”及其逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数可能是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 都有可能
题中，真命题的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
3.下列命题错误的是（ ）
A. 命题“若 m＞0，则方程 x2+x﹣m=0 有实数根”的逆否命题为：“若方程 x2+x﹣m=0 无实数根，则
m≤0”
B. 若 p∨q 为真命题，则 p，q 至少有一个为真命题
C. “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
D. 若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题
4.在命题“若抛物线 揀 ᄂ ܾ 的开口向下，则 䮠ᄂ ܾ
”的逆命题、否命题、逆否命
题中结论成立的是（ ）
A. 都真
B. 都假
C. 否命题真
D. 逆否命题真
5.下列说法正确的是（ ）
A. “若 ᄂ 䮠 ᇮ ，则 ᄂ 䮠 ᇮ ”的否命题是“若 ᄂ 䮠 ᇮ ，则 ᄂ ᇮ ”
A. 3
高一数学上 第一章：1.7.1四种命题
高一数学上第一章：1.7.1四种命题一、导入新课1、两个命题中, 如果第一个命题的条件(或题设) 是第二个命题的结论, 且第一个命题的结论是第二个命题的条件, 那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。
例如, 如果原命题是（1）同位角相等,两直线平行;它的逆命题是(2)两直线平行, 同位角相等.命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题外，是否还可以构成其它形式的命题？(1)同位角相等, 两直线平行;(2)两直线平行, 同位角相等.再看下面两个命题:(3)同位角不相等, 两直线不平行;(4)两直线不相等,同位角不平行.在命题(1)与命题(3)中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.(1)同位角相等, 两直线平行;(4)两直线不相等, 同位角不平行.在命题(1)与命题(4)中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。
一般地, 用p和q分别表示原命题的条件和结论, 用﹁p和﹁q分别表示p和q的否定. 于是四种命题的形式就是:原命题若p则q;逆命题若q则p;否命题若﹁ p则﹁ q;逆否命题若﹁q 则﹁ p;例1 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出它们们的逆命题、否命题与逆否命题：（1）负数的平方是正数；（2）正方形的四条边相等.分析:关键是找出原命题的条件p与结论q.解: (1) 原命题可以写成: 若一个数是负数,则它的平方是正数.逆命题 :若一个数的平方是正数,则它是负数否命题: 若一个数不是负数,则它的平方不是正数.逆否命题: 若一个数的平方不是正数, 则它不是负数.（2）正方形的四条边相等(2) 原命题可以写成: 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等.逆命题 :若一个四边形的四条边相等, 则它是正方形.否命题: 若一个四边形不是正方形, 则它的四条边不相等.逆否命题: 若一个四边形的四条边不相等, 则它不是正方形.课堂练习: 课本第30页二、四种命题的关系画出关系图：（略）练习、写出下列各命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．1、若 a = 0, 则 ab = 0 ．2、负数的立方是负数．3、若 x<0，则x>1．4、质数一定是奇数.总结上例四种命题的真假关系原命题的真假与其他三种命题的真假有什么关系？1．原命题为真，它的逆命题不一定为真．2．原命题为真，它的否命题不一定为真．3．原命题为真，它的逆否命题一定为真．四、四种命题与集合的联系命题：若x>1，则x>0. 语句p： x>1；语句q：x>0令A={x| x>1}； B={x| x>0}；即 A={x| p(x)为真}； B={x| q(x)为真}集合A包含于集合B，集合B不包含于集合A，B的补集包含于A的补集，B的补集不包含于A的补集所以：“若p，则q” 为真命题；“若q ，则p”为假命题；“若﹁ p，则﹁q”为假命题；“若﹁q ，则﹁p”为真命题；课堂练习：课本P32习题1.7 第4题:写出下列命题的其它三种命题,并判断真假.(1)若a+5是无理数, 则a是无理数.(2)矩形的两条对角线相等.课堂小结:1、写出四种命题时,需准确找出原命题的因果关系,即找出条件与结论.将命题写成“若……，则……”的形式；2、互为逆否的两个命题的真假值相同。
命题的四种形式
A.若 ， A.若x ≥1，则x ≥1 或x ≤ −1
2
B.若 B.若−1 < x < 1，则 x < 1
2
C.若x > 1 ，或 < −1，则x >1 x C.若
2 3 2
D.若x ≥1 或 ≤ −1，则x ≥ 1 ， x D.若
2
对任意的 x ∈R, x − x +1 ≤ 0 ”的 否定是（ ） （2）命题“ 命题“ 否定是（C
2）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 （2）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
若一个点在线段的垂直 平 分线上, 则它到这 分线上 条线段两端点的距离相 等。
情景创设
两直线平行。 （1）同位角相等 ， 两直线平行。 ） 同位角相等。 （2）两直线平行 ， 同位角相等。 ） （3）同位角不相等，两直线不平行 ）同位角不相等，两直线不 （4）两直线不平行，同位角不相等 ）两直线不平行，同位角不 原命题 逆命题 否命题 逆否命题
若
【精讲 精讲 点拨】 点拨
种命题的构成及 题型一 四 命题的构成及 种 真假的判断 【例 1】 例 试写出下列命题的 逆命题、否命题、 逆否命题， 逆命题、否命题、 逆否命题，并判断 其真假 ⑴∀ , y ∈R ，如果xy = 0 ，则x = 0； x 为向量， ⑵设a,b 为向量，如果a⊥ b ，则a ⋅b = 0 .
与命题（ ） 请观察上面命题中条件和结论与命题（1）中的 条件和结论有什么区别与联系？ 有什么区别与联系？
三个概念
（1）原命题：如果 ，则q ）原命题：如果p， 如果q， （2）条件和结论“换位”得：如果 ，则p，这称 ）条件和结论“换位” ， 为原命题的逆命题； 为原命题的逆命题； 否定得 （3）条件和结论分别否定得： ）条件和结论分别否定 如果非 ， 如果非p，则非q，这称为原命题的否命题； ，这称为原命题的否命题； 分别否定 否定” （4）条件和结论既“换位”又“分别否定” 得： ）条件和结论既“换位” 如果非 ， 如果非q，则非p，这称为原命题的逆否命题。 ，这称为原命题的逆否命题。
2019年高考数学总复习：四种命题的真假
2019 年高考总复习：命题的真假1．下列命题中是假命题的是 ( )A．? x∈R，log2x＝0 B．? x∈R， cosx＝12xC．? x∈R，x2>0 D ．? x∈R，2x>0答案 C解析因为 log 21＝ 0， cos0＝ 1，所以 A 、B 项均为真命题， 02＝ 0， C 项为假命题，2x>0，选项 D 为真命题．2．(2018 ·广东梅州联考 )已知命题 p：? x1，x2∈R，[f(x 1)－f(x2)](x 1－ x2)≥ 0，则非 p 是( ) A．? x1，x2?R，[f(x 1) －f(x 2)](x 1－ x2)<0B．? x1， x2∈ R， [f(x 1)－ f(x 2)](x 1－x2)<0C．? x1，x2?R，[f(x 1)－ f(x 2)](x 1－x2)<0D．? x1，x2∈R，[f(x1)－f(x 2)](x1－x2)<0答案 B解析根据全称命题否定的规则“ 改量词，否结论”，可知选 B.223．已知命题 p：若 x>y ，则－ x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在命题① p∧q；②p∨q；③p∧(非q)；④ (非 p)∨q中，真命题是 ( )A ．①③B ．①④C．②③ D ．②④答案 C解析若 x>y ，则－ x<－y 成立，即命题 p 正确；若 x>y，则 x2>y2不一定成立，即命题x 12 12C．? x∈R，2x≥2且 x2≤x D ．? x0∈R，2x0≥2且 x02≤x0答案 C解析特称命题的否定是全称命题，注意“ 或”的否定为“且”，故选 C.5．已知集合 A＝｛y|y＝x2＋2｝，集合 B＝｛x|y＝lg x － 3｝，则下列命题中真命题的个数是 ( )①? m∈ A， m?B；② ? m∈B，m?A ；③? m∈A，m∈B；④ ? m∈B，m∈A.A ． 4B ． 3C．2 D ．1q 不正确；则非 p是假命题，非 q为真命题，故 p∨q与 p∧(非 q)是真命题，故选 C.124．(2018 ·浙江临安一中模拟 )命题“ ? x0∈R ， 2x0<2或 x02>x0”的否定是 ( )1 2 x 1 2A．? x0∈R， 2x0≥12或 x02≤x0 B．? x∈R，2x≥12或 x2≤x答案 C解析因为 A ＝ {y|y ＝ x 2＋ 2} ，所以 A＝ {y|y ≥ 2} ，因为 B＝{x|y＝lg x－3} ，所以 B ＝ {x|x>3} ，所以 B 是 A 的真子集，所以①④为真，②③为假命题，所以真命题的个数为2，故选 C. 6．命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 ( )A．所有不能被 2 整除的整数都是偶数B．所有能被 2 整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D．存在一个能被 2 整除的整数不是偶数答案 D解析否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选 D.7．已知命题 p：? x0∈R，mx02＋1≤0；命题 q：? x∈R，x2＋mx＋1>0.若 p∨q 为假命题，则实数 m 的取值范围为 ( )A．{m|m ≥2} B．{m|m ≤－ 2}C．{m|m ≤－ 2或 m≥2} D．{m|－2≤m≤2}答案 A解析由 p：? x∈R，mx2＋1≤ 0，可得 m<0；由 q：? x∈R，x2＋mx＋1>0，可得Δ＝m2 －4<0，解得－ 2<m<2. 因为 p∨q 为假命题，所以 p 与 q 都是假命题，若 p 是假命题，则有 m≥0；若 q 是假命题，则有 m≤－2或 m≥ 2，故实数 m 的取值范围为 {m|m ≥ 2} ．故选 A.8．(2018 ·河北保定模拟 )命题“ ? x>0 ，xi >0”的否定是 ( )x0x0>0，－01≤0 或 x0＝1”，即“? x0>0，0≤ x0－1x0≤ 1”，故选 B.9．(2018 ·山东潍坊一模 )已知 p：函数 f(x) ＝(x－a)2在(－∞，－ 1)上是减函数，q：? x>0，a x2＋1≤ x x恒成立，则非 p 是 q 的 ( )xA．充分不必要条件C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 p：函数 f(x)＝(x－a)2在(－∞，－1)上是减函数，所以－ 1≤ a，所以非 p：a<－1.x － 1x0 A．? x0<0，0≤ 0 x0－1x C． ? x>0，≤0x－1答案 B B ．? x0>0， 0≤ x0≤1 D．? x<0 ，0≤ x≤1解析x命题“? x>0，>0”的否定为x－1B．必要不充分条件x2＋ 1 1 1q：因为 x>0，所以x＝x＋x≥ 2 x·x＝2，x x xx＝1 时取等号，所以 a≤2.当且仅当则非 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A.10．已知命题 p1：函数 y＝2x－2－x在R 上为增函数， p2：函数 y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题 q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（非 p1）∨p2和q4：p1∧（非 p2）中，真命题是 ________________________________________________________________________________________答案 q1， q4解析 p1是真命题，则非 p1为假命题； p2是假命题，则非 p2 为真命题．∴q1： p1∨ p2 是真命题， q2：p1∧p2 是假命题．∴q3：（非 p1）∨p2 为假命题， q4：p1∧（非 p2）为真命题．∴真命题是 q1， q4.π11．若“ ? x∈[0，4 ]，tanx≤m”是真命题，则实数 m 的最小值为________ ．答案 1π解析∵? x∈[0，4 ]，tanx∈[0，1]．∴m≥1，∴m 的最小值为 1.12．命题“任意 x∈R，存在 m∈Z，m2－m<x2＋x＋1”是 _____ 命题．（填“真”或“假” ）．答案真解析由于任意 x∈R，x2＋x＋1＝（x＋21）2＋43≥ 43，因此只需 m2－m<43，即－12<m< 32，即 0≤m≤1，所以当 m＝0或 m＝1 时，任意 x∈R，存在 m∈ Z ， m2－ m<x 2＋ x ＋1成立，因此该命题是真命题．13．（2018 ·北京朝阳区模拟）已知函数 f（x）＝a2x－2a＋1.若命题“ ? x∈（0，1），f（x）≠0”是假命题，则实数 a 的取值范围是．1答案（21，1）∪（1，＋∞ ）解析已知函数 f（x）＝a2x－2a＋1，命题“? x∈（0，1），f（x）≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“存在实数 x0∈（0，1），使 f（x0）＝0”是真命题，∴ f（1）f（0）<0 ，即（a2－2a＋1）（－2a＋1）<0，21∴（a－1）2（2a－1）>0 ，解得 a>2，且 a≠1，∴实数 a的取值范围是（21，1）∪（1，＋∞）．14．（2018 ·山东青岛模拟）已知命题 p：? x0∈R，使 tanx0＝1；命题 q：x2－3x＋2<0 的解集是 {x|1<x<2} ，现有以下结论：①命题“ p且 q”是真命题；②命题“ p 且非 q”是假命题；③命题“非 p或 q”是真命题；④____________________ 命题“非 p 或非 q”是假命题．其中正确结论的序号为__________________________________ ． (写出所有正确结论的序号 )答案①②③④π解析当 x0＝时， tanx0＝ 1，所以命题 p 为真；不等式 x2－ 3x＋ 2<0 的解集是{x|1<x<2} ， 4所以命题 q也为真，故命题“p且 q”是真命题，①正确；命题“p且非 q”是假命题，②正确；命题“非 p 或 q”是真命题，③正确；命题“非 p 或非 q” 是假命题，④正确．15．(2018 山·东潍坊质检 )已知命题 p：? x>0，2ax－lnx≥0.若命题 p 的否定是真命题，则实数 a 的取值范围是．1答案 (－∞，21e)解析命题 p 的否定是： ? x0>0， 2ax0－lnx 0<0，即不等式 2ax－ lnx<0 有解．而不等式2axlnx lnx 1－ lnx 1 －lnx<0 可化为 2a< x，令 g(x)＝x，则 g′ (x)＝x2 ，可得 g(x)在 x＝e 处取得最大值e，因此要使不等式 2a<lnx有解，只需 2a<1，即 a<1.x e 2e16．若命题“ ? x0∈R，x02＋(a－1)x0＋1≤0”为假命题，则实数 a 的取值范围为 _______ ．答案 (－1， 3)解析由“? x 0∈ R ，x 02＋ (a－ 1)x 0＋ 1≤ 0”为假命题，得“? x ∈R ，x2＋ (a－ 1)x ＋ 1>0” 为真命题，所以Δ＝ (a－ 1)2－ 4<0 ，解得－ 1<a<3，所以 a 的取值范围为 (－1，3)．17．若 f(x) ＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，? x1∈［－1，2］，? x0∈［－1，2］，使 g(x 1) ＝ f(x 0)，则实数 a 的取值范围是．1答案 (0，12］解析由于函数 g(x)在定义域［－ 1，2］内是任意取值的，且必存在 x0∈［－1，2］，使得 g(x1) ＝f(x 0) ，因此问题等价于函数 g(x)的值域是函数 f(x)值域的子集．函数 f(x)的值域是［－1，13］，函数 g(x) 的值域是［2 － a，2＋ 2a］，则有 2－a≥－1 且 2＋2a≤3，即 a≤2.又a>0，故 a 的取值范围是 (0，12］．18． (2017 安·徽毛坦厂中学模拟 )已知命题 p：实数 x 满足 x2－ 4ax＋3a2<0(a>0)，q：实数 x x2－x－6≤ 0，x2＋2x－8>0.满足2(1)若 a＝1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围；(2)若非 p是非 q 的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．答案 (1)(2，3) (2)(1 ，2］22解析 由 x 2－4ax ＋ 3a 2<0(a>0)，得 a<x<3a ，（1）a ＝ 1 时， p ： 1<x<3. 由 p ∧ q 为真，得 p ，q 均为真命题， 1<x<3 ， 则 得 2<x<3. 2<x ≤ 3，所以实数 x 的取值范围为 （2， 3）．（2）令 A ＝｛x|a<x<3a ｝ ， B ＝｛x|2<x ≤3｝． 由题意知， p 是 q 的必要不充分条件，0<a ≤ 2， 所以 所以 1<a ≤ 2. 3a>3，所以实数 a 的取值范围为 （1，2］．1．（2018 衡·中调研卷 ）已知命题 p ：方程 x 2－2ax －1＝0 有两个实数根； 命题 q ：函数 f （x ） ＝x 4＋x 的最小值为 4.给出下列命题：① p ∧q ；② p ∨q ；③p ∧（非 q ）；④ （非 p ）∨（非 q ）．则其中 x 真命题的个数为 （ ） A ．1 C ．3 D ．4答案 C解析 由于 Δ＝4a 2＋4>0，所以方程 x 2－2ax －1＝0 有两个实数根，即命题 p 是真命题；当4x<0 时， f （x ） ＝ x ＋x 4的值为负值，故命题 q 为假，所以 p ∨q ，p ∧ （非 q ），（非 p ）∨（非 q ）是真x 命题，故选 C.π2．（2017 四·川绵阳中学模拟 ）已知命题 p ：? x ∈［0， 2 ］，cos2x ＋cosx －m ＝0为真命题，则 实数 m 的取值范围是 ． 答案 ［－1， 2］2 1 2 9 π即 p 为真命题时， x 2－x －6≤0， 由2x 2＋2x －8>0， 即 q 为真a<x<3a. －2≤x ≤3， 得 x>2 或x<－4，2<x ≤ 3.B ．2解析令 f（x）＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2（cosx＋4）2－8，由于 x∈［0，］，所以 cosx ∈［0 ， 1］．于是 f（x）∈［－1，2］，因此实数 m 的取值范围是2［－1，2］．3．已知 a>0，设命题 p：函数 y＝a x在R 上单调递增；命题 q：不等式 ax2－ ax＋1>0 对? x ∈R 恒成立．若 p 且 q 为假， p 或 q 为真，求实数 a 的取值范围．答案（0， 1]∪[4，＋∞ ）解析∵y＝a x在R上单调递增，∴ p：a>1.又不等式 ax2－ax＋ 1>0 对? x∈ R 恒成立，∴Δ <0，即 a2－4a<0，∴ 0<a<4.∴ q：0<a<4.而命题 p 且 q 为假， p 或 q 为真，那么 p，q 中有且只有一个为真，一个为假．（1）若 p真，q 假，则 a≥4；（2）若 p假，q 真，则 0<a≤1.所以 a的取值范围为（0，1]∪[4，＋∞）．4．已知命题 p：“ ? x∈ [1， 2] ，x2－ a≥ 0”命题 q：“ ? x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“ p∧q”是真命题，求实数 a 的取值范围．答案 a≤－ 2 或 a＝ 1解析由“p∧ q”是真命题，则 p为真命题， q也为真命题，若 p 为真命题， a≤ x2恒成立，∵x∈[1，2]，∴x2∈[1，4]，∴a≤1.若 q为真命题，即 x 2＋ 2ax＋ 2－ a＝ 0有实根，Δ＝ 4a2 －4（2 － a）≥ 0，即 a≥1或 a≤－ 2，综上所求实数 a的取值范围为 a≤－2或a＝1.。
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
命题的四种形式及充分条件与必要条件
命题的四种形式及充分条件与必要条件⑴【典型例题】例1．填空：⑴B A ⊇是(A ∩C )⊇(B ∩C )成立的 条件．⑵在空间四点中，无三点共线是四点共面的 条件．⑶“在△ABC 中，A ＝60°，且 co s B ＋co s C ＝1”是“△ABC 是等边三角形”的 条件．⑷设集合A ＝{长方体}，B ＝{正四棱柱}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的 条件.⑸一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 .⑹命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的条件.⑺已知0>h ，设命题甲为：两个实数b a ,满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数b a , 满足h a <-1且h b <-1，那么甲是乙的 条件.⑻给出下列命题①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ” ；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。
其中正确命题的序号是_______________.【课堂检测】1.设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 条件．2. 以下同个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -= ，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+ 则动点P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点。
高中数学命题的四种形式例题解析
1.3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．(×)3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(√)4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．(√)题型一四种命题的结构形式例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．题型二四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2下列命题中为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④答案 B解析 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数．故为真命题． 故正确的命题为①③④，故选B. 题型三 等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0， 则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”． 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．反思感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假． 解 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，a ≥74⇒a ≥1，所以原命题为真，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．命题的等价性典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．解 张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．[素养评析] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释．1．命题“如果a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A ．如果a ∉A ，则b ∉B B ．如果a ∈A ，则b ∉B C ．如果b ∈B ，则a ∉A D ．如果b ∉B ，则a ∉A答案 B解析 命题“如果p ，则q ”的否命题是“如果綈p ，则綈q ”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若綈p ，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则綈q B ．若綈q ，则綈p C ．若綈q ，则p D ．若q ，则p 答案 C3．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、选择题1．“如果x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A．如果x≤y，则x2≤y2B．如果x>y，则x2<y2C．如果x2≤y2，则x≤y D．如果x<y，则x2<y2答案 C解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“如果a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“如果a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．3．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角D．以上都不对答案 B解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确答案 A解析设p为“如果A，则B”，那么q为“如果綈A，则綈B”，r为“如果綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．有下列四个命题：①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“如果q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C解析 命题①：“如果x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“如果x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ≤1”是真命题；命题④是假命题．6．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题．7．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题为真命题，逆命题为假命题B ．原命题为假命题，逆命题为真命题C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题 答案 A解析 逆否命题：若a ，b 都小于1，则a ＋b <2，是真命题，所以原命题是真命题．逆命题：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2.例如，a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．故选A.8．关于命题“若拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}⇏∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论正确的是( ) A ．都是真命题 B ．都是假命题 C ．否命题是真命题 D ．逆否命题是真命题 答案 D解析 原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}D ＝/∅，则拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即拋物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D. 二、填空题9．下列命题：①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题． 其中真命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“如果x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“如果a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题．所以真命题是①②③.10．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 11．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________． 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断． 三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解(1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2 C．3 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”。
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四种命题·典型例题
能力素质
[ ] 分析条件及结论同时否定，位置不变．
答选D．
例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p则q”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________．分析只要确定了“p”和“q”，则四种命题形式都好写了．
解若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．
例3 “若P＝{x|x|＜1}，则0∈P”的等价命题是________．
分析等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题．
≠{x||x|＜1}”
例4 分别写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的逆命题、否命题
和逆否命题．
分析根据命题的四种形式的结构确定．
解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0；
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；
逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0．
说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y 不全为0”，这要特别小心．
例5 有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
[ ] A．①②B．②③
C．①③D．③④
分析应用相应知识分别验证．
解写出相应命题并判定真假
①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；
②“不相似三角形周长不相等”为假命题；
③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题；
选C．
点击思维
例6 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．
①内接于圆的四边形的对角互补；
②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；
分析首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．
解对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；
逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；
否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；
逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．
对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c ＝b＋d”是结论．所以：
逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；
否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；
逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”
说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．
例7 已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2
＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
分析如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a范围比较简单．
说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性．
学科渗透
例8 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
②当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0．
分析改造原命题成“若p则q形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题．在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律．
命题；
②原命题；“若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0”，是真命题；
逆命题：“若a＝0或b＝0或c＝0，则abc＝0”是真命题；
否命题：“若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0”，是真命题；(注意：“a＝0或b＝0或c＝0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0”
逆否命题：“若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0”，是真命题．
说明：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性．
分析如果直接从条件推证，方向不明，过程不可预测，较难，可以使用反证法．
解设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则有a＋b＋c≤0，而
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)
∴a＋b＋c＞0这与a＋b＋c≤0矛盾．
因此a、b、c中至少有一个大于0．
说明：如下表，我们给出一些常见词语的否定．。