反比例函数的图像与性质1
反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有一定的特点。
本文将从图像和性质两个方面进行论述。
一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。
根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。
2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。
二、性质除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。
2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着比值关系。
当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反的变化。
3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它的函数值不为零。
定义域一般为除零点的所有实数。
4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。
5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四象限。
这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。
同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。
在实际问题中，反比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。
通过研究反比例函数的图像和性质，可以更好地理解和应用数学知识。
11.2 反比例函数的图像与性质(1)
【探索活动】 活动一：由数想形 根据反比例函数表达式 y 6 ，可以描述
x
这个函数的图像具有的一些特征.试回答 下列问题：
（2）x、y所取值得符号有什么关系？ 这个函数的图像会在哪几个象限？
【探索活动】
活动一：由数想形
根据反比例函数表达式 y 6 ，可以描述
初中数学
11.2反比例函数的图像与性质（1）
【情境创设】
我们已经知道，一次函数 y kx b
(k、b是常数，k 0 ）的图像是一条直线.
Байду номын сангаас
反比例函数
y
k x
（k、b是常数，k
0
）
的图像是怎样的图形呢？
【探索活动】 活动一：由数想形 根据反比例函数表达式 y 6 ，可以描述
x
这个函数的图像具有的一些特征.试回答 下列问题：
x
这个函数的图像具有的一些特征.试回答 下列问题：
（3）当x＞0时，随着x的增大（减小）， y怎样变化？ 当x＜0，随着x的增大（减小），y怎样 变化？ 这个函数的图像与x轴、y轴的位置关系 有什么特征？
【探索活动】
活动二：描点画图
画出反比例函数 y 6 的图像
x
列表：
x
… -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 …
…
…
描点：以表中各组对应值作为点的坐 标，在直角坐标系内描出相应的点.
连线：用
连结各点
【探索活动】
活动三：尝试
根据反比例函数的表达式
y
6 x
，说出它
的图像具有的特征 ，并在活动二的平面
直角坐标系中画出它的图像.
反比例函数的图象与性质(一)
不同点：
程序
学习内容
补充栏
问
题
序
列
Ⅱ
随堂练习：
１、画出反比例函数 与 的图像。
2、反比例函数与直线相交于点A，A的横坐标为-1，则反比例函数的解析式为__________。
3、已知反比例函数 ，若函数图像位于第一、三象限，则k的取值范围是_________。
4、已知如图的曲线是反比例函数 （m为常数）图像的一支
课题
反比例函数的图象与性质（一）
授课日期
设计人
孙学民
李淑华
沈培玉
学习目标
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象．
2．体会函数的三种表示方法的互相转换，对函数进行认识上的整合．
3．逐步提高从函数图象小获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质
重点
画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并研究反比例函数的主要性质．
反思
作图步骤：
1．列表
2．描点
3．连线
问题２：（1）你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
（2）如果在列表时所选取的数值不同，那么图象的形状是否相同？
（3）连接时能否连成折线？为什么必须用光滑的曲线连接各点？
（4）曲线的发展趋势如何？
问题3：完成课本148页做一做
问题4：观察 和 的图象，它们有什么相同点探究．
课时
1
程序
学习内容
补充栏
问
题
序
列
Ⅰ
旧知回顾：
1．一次函数的图像是怎样的呢？你能画出y=2x—1的图像吗？作函数图像的步骤？
2．什么叫做反比例函数？
3．你所提供一个生活环境来表现反比例函数中两个变量之间的相依关系吗？
反比例函数的像与性质
反比例函数的像与性质反比例函数是数学中常见的一种函数形式，它是指当自变量的取值增加时，函数值会相应地减小，而当自变量的取值减小时，函数值会相应地增大。
本文将探讨反比例函数的图像特征以及其一些常见的性质。
1. 反比例函数的定义反比例函数的一般形式可以表示为y = k/x，其中k是比例系数。
这里需要注意的是，反比例函数中自变量x不能为0，因为除数不能为0。
2. 反比例函数的图像特征反比例函数的图像是一个曲线，具有以下特点：- 原点：反比例函数的图像必然通过原点(0,0)。
- 渐近线：反比例函数的图像与x轴和y轴有两条渐近线。
当自变量x趋于正无穷大或负无穷大时，函数值趋于0；当自变量x趋于0时，函数值趋于正无穷大或负无穷大。
- 反比例函数的图像是关于y轴和x轴的一个对称图形。
3. 反比例函数的性质反比例函数具有一些重要的性质：- 单调性：反比例函数在其定义域内是单调递减的。
当自变量的取值越大，函数值越小，反之亦然。
- 零点：反比例函数在定义域内没有零点，因为除非自变量等于0，否则函数值不可能为0。
- 大小比较：若x1和x2是反比例函数的定义域内的两个不同的值且x1<x2，则f(x1)>f(x2)。
- 图像位置：当比例系数k为正数时，反比例函数的图像在第一象限和第三象限，当k为负数时，图像在第二象限和第四象限。
4. 反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有广泛的应用。
例如：- 电阻与电流的关系：欧姆定律指出，电阻与电流之间的关系是反比例的。
较大的电阻会导致较小的电流通过电路，反之亦然。
- 速度与时间的关系：在匀速行驶的情况下，速度与时间之间的关系也是反比例的。
当时间增加，速度减小；当时间减小，速度增加。
- 物体质量与重力加速度的关系：根据牛顿第二定律，物体的质量与其所受的重力加速度成反比。
质量越大，重力加速度越小。
总结：反比例函数是一种重要的函数形式，具有独特的图像特征和性质。
了解反比例函数的图像特征和性质，有助于我们在实际问题中应用数学知识进行分析和解决。
九年级数学反比例函数的图象与性质1
二 四 （2）当k＜0时，函数图象在第______ 、_______
象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就
增加 是在每个象限内y随x的增加而___________ 。
k 如果反比例函数y= x
函数的图象应在（ A第一、三象限 C第二、四象限
c
的图象过点（3，－4），那么 ） B第一、二象限 D第三、四象限
k x
B y=
x C y= 2
2 3x
5 D y= 1 x
m( m3) 函数Y= 是反比例函数 , 则 m x
m≠0且m≠3 须满足______
3.比较函数 y = 6 x 然后讨论：
和y =
k x
6 x
的图象，
（1）这两个函数的图象分别在哪些象限？ （2）反比例函数 y = 个象限？由什么确定? 的图象在哪两
反比例函数的图象和性质
1.什么是反比例函数？
例如Y= k (K≠0,K是常数） x 的函数叫做反比例函数
2.反比例函数的定义要注意什么？
（1）常数K称为比例系数，K是非零常数。 （2）自变量X次数是－1，X与Y 之积为非零 常数。 （3）不含其他项。
下列关系中，是反比例函数的是 （ C ） A y=
反比例函数y = k
x
（k≠0），当k＜0时，函数的图象的两
个分支分别应在（ C
）
A第一、三象限 C第二、四象限
B第一、二象限 D第三、四象限
反比例函数y =
4 x
的图象大致是（
A
）
A
B
C
D
已知反比例函数的图象经过点（a ,b )，则它的图象 一定经过（
ALeabharlann ）A（－a，－b)
反比例函数
2.在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致为( )．
A． B． C． D．
3．如图，一次函数y1＝k1+b(k1≠0)的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，与反比例函数 的图象交于C(﹣4，-2)，D(2，4)．当x为()时， ．
A．x＞﹣2B．x＜﹣4
C．x＜﹣4或0＜x＜2D．﹣2＜x＜2
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)根据图像，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出这一函数的表达式；
(2)当气体体积为 时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于 时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
反比例函数
反比例函数图象与性质
知识点
1.反比例函数的概念：一般地， (k为常数，k≠0)叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。(x为自变量，y为因变量，其中x不能为零)
2.反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数←→ ←→ ←→ ←→变量y与x成反比例，比例系数为k.
3.判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即 >。(通常第二种方法更适用)
【例5】图，点 是双曲线 ： ( )上的一点，过点 作 轴的垂线交直线 ： 于点 ，连结 ， .当点 在曲线 上运动,且点 在 的上方时，△ 面积的最大值是______.
【例6】如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0,4)，B(6，0)，若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为___.
反比例函数的图象与性质定
奇偶性
反比例函数是奇函数，因为对于所 有 x，都有 f(-x) = -f(x)。
无界性
由于反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象在 x = 0 处无 界。
反比例函数的性质
01
02
03
分母不为零
反比例函数的分母不能为 零，因此其定义域为 x ≠ 0。
无界性
反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象 在 x = 0 处无界。
当$x<0$时，反比例函数的图象位于 第三象限，与直线$y=kx+b$相交于 一点，这一点也是它们的切点。
与二次函数的关系
二次函数是形如 $y=ax^2+bx+c$的函数，其 中$a, b, c$是常数且$a neq 0$
。
反比例函数的图象是一个双曲 线，分布在第一和第三象限。
二次函数的图象是一个抛物线 ，可以开口向上或向下。
反比例函数的图象与性质
目 录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象特点 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他函数的关系 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
反比例函数的值域
反比例函数是一种数学函数，其定义 为 f(x) = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。
磁场强度与电流
在电磁学中，磁场强度与电流之间的关系可以用反比例函数 描述，通过分析反比例函数的特性，可以研究电磁感应和电 磁波的传播。
与其他数学知识的结合
代数方程
反比例函数可以与其他代数方程 结合，用于解决代数问题，例如 求解代数方程的根或解决代数不 等式问题。
反比例函数图像和性质
VS
化学反应中的浓度问题
在某些化学反应中，反应物的浓度与反应 时间可能成反比例关系。可以利用反比例 函数来分析这种关系，并求解相关问题， 如反应速率、反应时间等。
05
反比例函数与其他类型函数关系探讨
与一次函数关系
反比例函数与一次函数的交点
在某些特定条件下，反比例函数和一次函数可能会有交点。这些交点可以通过解方程组 来找到。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
反比例函数定义：形如 $y = frac{k}{x}$ （$k$ 为常数 ，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
反比例函数性质
当 $k < 0$ 时，在每个象限内，随着 $x$ 的增大， $y$ 值逐渐增大。
反比例函数图像：反比例函数的图像是双曲线，且以原 点为对称中心。当 $k > 0$ 时，双曲线位于第一、三 象限；当 $k < 0$ 时，双曲线位于第二、四象限。
图像法
通过观察反比例函数的图像，可以发 现其关于原点对称，这也是奇函数的 一个特征。
周期性讨论
周期性定义
周期函数是指函数在某个特定的非零周期长度内重复出现的性质。对于反比例函数，由于其图像不呈 现周期性变化，因此不是周期函数。
非周期性证明
可以通过反证法证明反比例函数的非周期性。假设反比例函数是周期函数，那么在其周期内应该存在 两个相同的点，但是根据反比例函数的定义和性质，这是不可能的。因此，反比例函数不是周期函数 。
变速直线运动
在某些情况下，物体做变速直线运动时，其速度与时间也可能成反比例关系。同样可以利用反比例函数来进行分 析和求解。
浓度问题建模与求解
溶液稀释问题
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶液 的体积成反比例关系。可以通过反比例 函数来描述这种关系，并求解相关问题 ，如稀释后的浓度、所需溶质的质量等 。
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6 4 5 y=— x 4 . 3 6 4 5 y =－ — x .4 3 . ． 2 1 ． ． -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x . -1 .． -2 -4 3 ． -5 -6
k （k为常数，k≠0）的图 x
四、强化训练
1、如图，这是下列四个函数中哪一个函数的 图象？（ C） (A)y = 5x
(B) y = 2x+3
(C)y =
3 x 4 x
(D) y = -
四、强化训练
2、请指出下面的图象 中哪一个是反比例函 数的图象（ D ）
四、强化训练
3、如果点(1，－2)在某双曲线上，那么该双 曲线的解析式为
4 2
4 3
． .
-2 -4 -8 … 8
1
1 2
． ．．
1 2 3 4 5 6
-8
.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
． ． ． .
.
7 8
x
.
… -8 -4 -3 -2 -1 … 1 2 3 4 8 3． x 连 y 4 … 1 -1 4 -2 -4 -8 … 8 -4 2 4 1 1 x 2 3 3 2 线
解： 1．列表：
x
y 4 x
… -8 -4 -3 -2 -1 …
1 2
1
4 3
1 2
…
1 2
1 2 3 4 8
4 3
2
4
8 … -8 -4 -2
-1
1 2
2．描点：
3．连线：
x
y 4 x
… -8 -4 -3 -2 -1 …
1 2
1
4 3
1 2
…
1 2
1 2 3 4 8 …
4 3
y 2 x
．
4、下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而 减小的是( B )． (A) y＝x
1 (B) y x
(D) y＝2x
1 (C) y x
2
.
4
y
-8 … -8 -4 -2
-1
1 2
…
6 5 . 4 4 y =－ — 3 x . 2 ． ． 1 ． -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
． 1 2 3 4 5 6 x . . ．
.
．．Βιβλιοθήκη 2．讨论与交流：4 1)．y= 函数的图象在哪两个象限？和函数 y = 4 — 的图象 x x
8 7 6 5 4 3 2 1
-8 . -7 -6 -5 ． -4 -3 -2 -1 0 ． -1 4 ． -2 y=— x -3 . -4 -5 -6 -7
1 2
1 2
y 思考：1、你认为作反 比例函数图象时应注 意哪些问题？ ． ．．
1 2 3 4 5 6
.
与同伴交流
.
7 8
x
.
三、
4 的图象。 1．画出函数 y =－— x
一、复习旧知、引人新课：
1．什么是反比例函数？ k 一般地，形如 y = — ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 x 2．反比例函数的定义中需要注意什么？ （1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）自变量 x 次数不是 1; x 与 y 的积是非零常数，
即 xy = k，k = 0；
（3) 图像的两个分支都无限接近于X轴和 y 轴,但不会与X轴和y 轴相交。 k (4)反比例函数y= — x (k≠0) 的图象关于直角坐 标系的原点成中心对称.
归纳小结
1、反比例函数y= 象是 （ 双曲线） 2、当k>0时，双曲线的两支分别位于第 一、三 __________ 象限，在每个象限内，y• 值 减小 随x值的增大而____________ 3、当k<0时，双曲线的两支分别位于第 二、四 __________ 象限，在每个象限内，y• 值 增大 ． 随x值的增大_____
x
y 4 x
… -8 -4 -3 -2 -1 …
1 2
-1
4 3
1 2
…
1 2
1 2 3 4 8 4 2
4 3
-2 -4 -8 … 8
1
1 2
2．描点：
x
y 4 x
… -8 -4 -3 -2 -1 …
1 2
-1
y8
7 6 5 4 3 2 1
4 3
1 2
…
1 2
1 2 3 4 8
（3）除 k、x 、y三项以外，不含其他项。
自变量x≠0.
如何作反比例函数y=
4
X
和 y= –
4
X
的图象
在八年级上册中，我们已经学习过函数图象的 画法。你还记得函数图象的基本画法是什么吗？ 基本步骤怎样？
(1)列表 (2)描点 (3)连线
例题精讲：
4 例1．画出函数 y = — x 的图象。 思考： （1）这个函数中自变量的取值范围是什么？ 因为分母不能为零，所以 x≠0 （2）画函数图象的三个步骤是什么？ 列表、描点、连线。 解：1．列表：
.
1 . -4-3-2-10 1 2 3 4 5 6 x -6-5． ． ． 1 2 . 3 4 5 6
． ． ．
．
反比例函数y= k — (k≠0) 图象的性质： x 它的图象是由两个分支组成的曲线叫做双曲线 (1)当 k﹥0时,函数图像的两个分支分别 在第一﹑三象限内,在每个象限内,自变 量X逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小。 （2)当 k﹤0时,函数图像的两个分支分别在第 二﹑四象限内，在每个象限内，自变量X 逐渐增大时， y的值也随着逐渐增大。