高考二轮复习仿真冲刺试卷：数学理科试卷七答案

cosn0 , n
n0 n n0 n
1
1
7
7， 7
因 为 二 面 角 A B D O是 锐 角 ，
………………7 分 ………………8 分
所 以 二 面 角 A B D O的 余 弦 值 为 7 . 7
……………9 分
（Ⅲ）解：因为 N 是线段 B D 上一个动点，设 N ( x1 , y1 , z1 ) ， B N B D ，
Ai { x, y} { x} 或{ y} ，所以 a xi , a yi 一定是一个 1 一个 0，即第 x 行与第 y 行的第 i 列的
两个数一定不同.
所以由条件②可得数表 M 中任意两行不完全相同.
………………10 分
1
2(n )
S ABC
1 | BC
2
|| AC
|
n (n 1 ) 2 64
，
n
9
………………12 分
设t n 1 2 ， n
则 S 2t 2 3 ，
t2 64
64 t
8
9
9t
………………13 分
当且仅当 t 8 时取等号， 3
所以 ABC 面积的最大值为 3 . 8
方法二：不妨设直线 A B 的方程 x ky m .
………………11 分 ………………12 分
81 1
.
99
………………13 分
16.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）证明：因为点 O 是菱形 A B C D 的对角线的交点，
所以 O 是 A C 的中点.又点 M 是棱 B C 的中点， 所以 O M 是 A B C 的中位线， O M // A B .
20
P(X
3)
C
2 3
C
1 3
33
3
，
C
2 5
C
2 4
10 6
20
P ( X 2) 1 P ( X 0) P ( X 1) P ( X 3) 9 . 20
X 的分布列：
X
0
1
2
3
1
7
9
3
P
20
20
20
20
E(X ) 0
1
1
7
2
9
3
3
17
.
20
20
20
20 10
………………7 分 ………………9 分 ………………10 分 ………………11 分
………………6 分 ………………7 分
由 C A ( x1 3, y1 ), C B ( x2 3, y 2 ) ， 得 ( x1 3)( x2 3) y1 y2 0 . 将 x1 ky1 m , x2 ky2 m 代入上式， 得 (k 2 1) y1 y2 k (m 3)( y1 y2 ) (m 3) 2 0 .
注：11、13、14 题第一问 2 分，第二问 3 分.
11.1 ； 7 5
14. 1 ； (2k 1, 2k ), k N * . 20
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分 标准给分. 15.（本小题满分 13 分）
解 ：（ Ⅰ ） 由 题 意 ，
………………3 分
………………5 分 ………………6 分
所以，所求面积为 1 2 2e 2e . 2
（Ⅱ）因为函数 f ( x) 存在一个极大值点和一个极小值点，
………………7 分
所以，方程 x 2 ax a 0 在 (0, ) 内存在两个不等实根，
………………8 分
则
a2
4a
0,
a 0.
………………9 分
所以 a 4 .
………………10
分
设 x1 , x2 为函数 f ( x ) 的极大值点和极小值点，
则 x1 x2 a ， x1 x2 a ，
………………11 分
因为， f ( x1 ) f ( x2 ) e 5 ，
所以， x1 a e x1 x2 a e x2 e 5 ，
解：（Ⅰ）因为椭圆 M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 6 4 2 ，
所以 2 a 2 c 6 4 2 ，
……………1 分
又椭圆的离心率为 2 2 ，即 c 2 2 ，所以 c 2 2 a ，
3
a3
3
………………2 分
所以 a 3 ，c 2 2 .
………………4 分
所以 b 1 ，椭圆 M 的方程为 x 2 y 2 1 . 9
P(A)
C
2 3
C
2 5
C
2 4
………………3 分
1
1
1
.
10 2 20
（Ⅱ） X 的可能取值为 0,1, 2, 3 .
………………5 分 ………………6 分
P(X 0)
C
2 3
3
1，
C
2 5
C
2 4
10 6
20
P(X
1C
1 3
233 3
7
，
C
2 5
C
2 4
10 6
所以集合组 A1 , A2 , , At 满足条件①和②，
由条件①： A1 A2
At A ，
可得对任意 x A ，都存在 i {1, 2, 3, , t} 有 x Ai ，
所以 a xi 1 ，即第 x 行不全为 0，
所以由条件①可知数表 M 中任意一行不全为 0.
………………9 分
由 条 件 ② 知 ， 对 任 意 的 { x, y} A ， 都 至 少 存 在 一 个 i {1, 2, 3, , t} ， 使
00 1
集合组 2 不具有性质 P .
………………1 分
……………3 分 ………………4 分
因为存在{2, 3} 1, 2, 3, 4} ，
有{2, 3} A1 {2, 3} , {2, 3} A2 {2, 3} , {2, 3} A3 ， 与对任意的{ x, y} A ，都至少存在一个 i {1, 2, 3} ，有 Ai {x, y} {x} 或{ y} 矛盾， 所以集合组 A1 {2, 3, 4}, A2 {2, 3}, A3 {1, 4} 不具有性质 P . ………………5 分 （Ⅱ）
………………1 分
因为 O M 平 面 ABD , A B 平 面 ABD , 所 以 OM // 平 面 ABD . （Ⅱ）解：由题意， O B O D 3 ，
因为 B D 3 2 ，
………………3 分
所以 B O D 90 ， O B O D . ………………4 分 又因为菱形 A B C D ，所以 O B A C ， O D A C . 建立空间直角坐标系 O xyz ，如图所示.
x1
x2
………………12 分
即 x1 x2 a ( x1 x2 ) a 2 e x1 x2 e 5 ， a a 2 a 2 e a e 5 ， e a e 5 ，
x1 x2
a
解得， a 5 ，此时 f ( x ) 有两个极值点，
所以 a 5 .
………………14 分
19.（本小题满分 14 分）
A(3 3, 0, 0), D (0, 3, 0), B (0, 0, 3) . 所以
z B
M
A
x
O
C
AB (3 3, 0, 3), AD (3 3, 3, 0), ………………6 分
设平面 ABD 的法向量为 n ( x, y, z ) ，
Dy
则有
AB
n
0,
即：
3
3x 3z 0,
A D n 0
解得 1 或 2 ，
3
3
所以 N 点的坐标为 (0, 2,1) 或 (0,1, 2) .
……………12 分 ……………13 分
（也可以答是线段 B D 的三等分点， B N 2 N D 或 2 B N N D ） 17.（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）事件 A 表示“选出的 4 名选手均为男选手”.由题意知
………………5 分
（Ⅱ）方法一：不妨设 BC
的方程 y
n(x 3), (n
0) ，则 AC
的方程为 y
1
(x 3) .
n
y n(x 3),
由
x2 9
y2
1
得(1 n2 )x2 6n2 x 9n2 1 0 ， 9
设 A( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y 2 ) ，
3 3 x 3 y 0
令 x 1 ，则 y 3 , z 3 ，所以 n (1, 3 , 3 ) . 因为 AC O B , AC O D ,所以 A C 平面 B O D . 平面 B O D 的法向量与 A C 平行， 所以平面 B O D 的法向量为 n0 (1, 0, 0) .
sin( x
)
0
，
4
所 以 x k(k Z) ， 4
所 以 x k (k Z) ， 4
函数
f (x) 的定义域为 {x
x
k
,k Z}
.
4
（ Ⅱ ） f ( x ) c o s 2x
c o sx 2
sin(x ) sin x cos cos x sin
4
4
4
………………2 分 ………………3 分 ………………4 分 ………………5 分 ………………7 分
………………14 分
x ky m,
由
x2
y2
1,
消去 x 得 (k 2 9) y 2 2km y m 2 9 0 ，
9
设 A( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y 2 ) ，