2020届高三一轮数学(理)复习第66讲随机事件的概率、古典概型与几何概型删减版文库素材
随机事件的概率(古典概型、简单的几何概型、抽样方法)
所以该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人， 则该学校阅读过《西游记》的学生人数与
该学校学生总数比值的估计值为：70 0.7．故选C． 100
7.(2018西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析,利用随机 数表法抽取样本时,先将60个同学按01,02,03,…,60进行编号, 然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个 个体是 ( )
(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),共4种,
故所求概率P 4 2. 10 5
3.(2018新课标Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为
0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支
第1节 随机事件的概率（古典概型、简单的几何概型、抽样方法）
付的概率为 ( ) 第三组取的数为(10号)36,第四组取的数为(14号)43,
A .2 3
B .3 5
C .2 5
D .1 5
【答案】 B 【解析】由题意，通过列举可知从这5只兔子中随机取出3只的 所有情况数为10， 恰有2只测量过该指标的所有情况数为6．
所以P 6 3．故选B. 10 5
9.(2019新课标Ⅲ卷,文)两位男同学和两位女同学随机排成一列，
则两位女同学相邻的概率是
表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个个体是 ( )
4.取一根长度为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么所得两
段绳子的长度都不小于2m的概率是
()
A .1 5
B .1 3
C .1 4
D .1 2
【 答 案 】 A 【 解 析 】 记 两 段 绳 子 的 长 度 都 不 小 于 2m为 事 件 A, 则 只 能 在 中 间 1m的 绳 子 上 剪 断 ,所 得 两 段 绳 子 的 长 度 才 都 不 小 于 2m,
2020高三数学总复习随机事件的概率与古典概型PPT课件
所用的时间(天数)
10 11
12 13
通过公路 1 的频率 0.2 0.4 0.2 0.2
通过公路 2 的频率 0.1 0.4 0.4 0.1
设 A1，A2 分别表示汽车 A 在约定日期的前 11 天出发选择公路 1，2 将货物运往城市乙，B1， B2 分别表示汽车 B 在约定日期的前 12 天出发选择公路 1，2 将货物运往城市乙，则
[答案]
1 15
[解析] 开机密码的可能情况 有(M，1)，(M，2)，(M，3)， (M，4)，(M，5)，(I，1)，(I， 2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)， (N，1)，(N，2)，(N，3)，(N， 4)，(N，5)，共 15 种，所以 小敏输入一次密码能够成功
开机的概率是115.
[答案]
1 5
[解析] 从 5 根竹竿中，一次随机地抽取 2 根竹竿的抽法有 2.5 和 2.6，2.5 和 2.7， 2.5 和 2.8，2.5 和 2.9，2.6 和 2.7，2.6 和 2.8，2.6 和 2.9，2.7 和 2.8，2.7 和 2.9，2.8 和 2.9，共 10 种，而满足它们 的长度恰好相差 0.3 m 的抽法有 2.5 和 2.8，2.6 和 2.9 共 2 种，由古典概型得
A(或称事件 A 包含于事件 B)
相等关系
若 B⊇A 且 A⊇B，则称事件 A 与事件 B 相等
并事件 (和事件)
交事件 (积事件)
若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则称此
事件为事件 A 与事件 B 的_并__事___件__(或和事件) 若某事件发生当且仅当___事__件___A_发___生__且
_A_＝___B_
A∪B (或 A＋B)
【学海导航】高考数学一轮总复习 第66讲 随机事件的概率、古典概型与几何概型课件 理 新人教A
(2)(ⅰ)圆心到直线的距离为 d＝ |－32＋254| 2＝5. (ⅱ)当圆 C 上的点到直线 l 的距离是 2 时有两个点为点 B 与点 D，设过这两点的直线方程为 4x＋3y＋a＝0，同时可得到 圆圆的半径为 r＝2 3，可得∠BOD＝60°，由图可知点
【解析】由必然事件，不可能事件和随机事件的含义 判断选项 A、D 是不可能事件，B 是必然事件，而 C 是 随机事件，故选 C.
2. 下 列 关 于 随 机 事 件 的 频 率 与 概 率 的 关 系 说 法 正 确 的 是 ()
A．频率就是概率 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定其大小
P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或 体积.
素材2 (1)假设车站每隔10分钟发一班车，若某乘客随机到达车
站，求其等车时间不超过3分钟的概率为 0.3 .
(2)如图，在一个边长为a(a>0)的正方形内画一个半圆，
其半径为r(0<r≤
a 2
)，向该正方形内随机投一点，则所投的点
＝2πar22.
故所投的点落在半圆内部的概率是2πar22.
三 频率估计概率及应用
【例 3】(2011·陕西卷)如图，A 地到火车站共有两条 路径 L1 和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进 行调查，调查结果如下：
(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用的时间落在上表中各时间 段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火 车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计 算说明，他们应如何选择各自的路径．
2020版高考数学一轮复习随机事件的概率、古典概型与几何概型课件理
(1)(2019·武汉模拟)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个
不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率
为( )
3 A.10
B．25
3 C.20
D．14
(2)(2018·石家庄一模)用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，若用a1，a2， a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a1＜a2
2．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：
射击次数
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数
8
19
44
92
178
455
这个射手射击一次，击中靶心的概率约是( )
A．0.80
B．0.85
C．0.90
D．0.99
C [由题意，该射手击中靶心的频率大约在0.9附近上下波动，故其概率 约为0.90.故选C.]
4．古典概型与几何概型
பைடு நூலகம்名称
古典概型
相同点
基本事件发生的可能性相等
不同点
基本事件有有限个
几何概型 基本事件有无限个
计算公式
P(A)＝________________ P(A)＝__________________
[常用结论] 如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如
下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
5．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞 机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击 中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题58 随机事件的概率与古典概型(解析版)
考点58 随机事件的概率与古典概型1．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件【答案】B【解析】因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．2．小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) A.15 B ．25C ．35D ．45【答案】B【解析】语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A 22A 22A 23＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有A 22A 22A 33＝24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A 55＝120种摆放方法．故所求概率为1－48＋24120＝25.故选B. 3．做抛掷两颗骰子的试验，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子正面朝上的点数，y 表示第二颗骰子正面朝上的点数，则x ＋y ＞10的概率是( ) A.25 B ．512C ．16D ．112【答案】D【解析】(x ，y )的所有基本事件共有6×6＝36(个)，事件“x ＋y ＞10”包含(5,6)，(6,5)，(6,6)，共3个基本事件．根据古典概型的概率计算公式可知，x ＋y ＞10的概率是112.故选D.4．某校食堂使用除面值外，大小、手感完全一样的餐票，某同学口袋中有2张一元餐票，3张两元餐票，1张五元餐票，他从口袋中随机摸出2张餐票，则这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为( ) A.715 B ．815C ．35D ．23【答案】B【解析】该同学从口袋中随机摸出2张餐票，总的基本事件数是C 26＝15，若这2张餐票的面值之和不少于4元，则这2张餐票为2张两元的或1张两元的、1张五元的或1张一元的、1张五元的，包含的基本事件数为C 23＋C 13C 11＋C 12C 11＝8，根据古典概型的概率计算公式可知，这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为815. 5．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( ) A.34 B ．58C ．12D ．14【答案】C【解析】由题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.6．一袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从袋中一次性随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为( ) A.35 B ．45C ．23D ．56【答案】D【解析】从袋中一次性随机摸出2只球的所有可能情况有C 24＝6(种)，设“这2只球颜色不同”为事件N ，这2只球颜色可能为1白1红，1白1黄，1红1黄，事件N 包含的情况C 11C 11＋C 11C 12＋C 11C 12＝5(种)，故这2只球颜色不同的概率P (N )＝56.7．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为( ) A.34 B ．710C.45 D ．35【答案】D【解析】设2个红球分别为a ，b,3个白球分别为A ，B ，C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35.8．从集合A ＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限的概率为( ) A.112B ．16【答案】B【解析】根据题意可知，总的基本事件(k ，b )共有4×3＝12个，直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限，则k ＞0，b ＞0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限的概率P ＝212＝16.故选B.9．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(1，－2)，从6张大小相同，分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x ，y 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b ＞0的概率是( ) A.112 B ．34C ．15D ．16【答案】D【解析】设(x ，y )表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36个．a·b ＞0，即x －2y ＞0，满足x －2y ＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率P ＝636＝16.故选D.10．有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次．事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率是( ) A.3281 B ．512C ．12D ．1645【答案】D【解析】由题意知，这10件产品中有2件次品，8件正品，每次抽取1件，抽检后不放回，共抽2次，共有A 210＝90种情况，其中事件“抽到1件正品，1件次品”包含的情况有A 22C 18C 12＝32种情况，根据古典概型的概率计算公式知，事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率P ＝3290＝1645.11．如图，在A ，B 两点间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条且使每条网线通过最大信息量，则选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的概率是( )A.14B ．13【答案】A【解析】设这6条网线从上到下分别是a ，b ，c ，d ，e ，f ，任取3条有：(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，b ，e )，(a ，b ，f )，(a ，c ，d )，(a ，c ，e )，(a ，c ，f )，(a ，d ，e )，(a ，d ，f )，(a ，e ，f )，(b ，c ，d )，(b ，c ，e )，(b ，c ，f )，(b ，d ，e )，(b ，d ，f )，(b ，e ，f )，(c ，d ，e )，(c ，d ，f )，(c ，e ，f )，(d ，e ，f )，共20个不同的取法，选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的取法有：(a ，b ，f )，(a ，c ，e )，(a ，d ，e )，(b ，c ，e )，(b ，d ，e )，共5个不同的取法，所以选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的概率是14.12．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( ) A.79 B ．13C ．59D ．23【答案】D【解析】对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)＞0，即a ＞b .又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a ＞b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P ＝69＝23.13．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞b ，b ＜c 时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)．若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( ) A.16 B ．524C ．13D ．724【答案】C【解析】由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24(个)．当b ＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b ＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13.14．记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角为α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π4的概率为( ) A.518B ．512【答案】B【解析】由题意知，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，即n ＜m 的(m ，n )可根据n 的具体取值进行分类计数：第一类，当n ＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五类，当n ＝5时，m 有1个取值．因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝512. 15．在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是________． 【答案】23【解析】所有两位数共有90个，其中2的倍数有45个，3的倍数有30个，6的倍数有15个，所以能被2或3整除的共有45＋30－15＝60(个)，所以所求概率是6090＝23.16．在三行三列的方阵⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33中有9个数a ij(i ＝1,2,3，j ＝1,2,3)，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是( )A.37 B ．47C ．114D ．1314【答案】D【解析】从9个数中任取3个数共有C 39＝84种不同的取法．若3个数中有2个数位于同行或同列，则有C 19C 14C 14A 22＝72种不同的取法，若3个数均位于同行或同列，则有6种不同的取法．设事件M 为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M 包含的取法共有72＋6＝78(种)，根据古典概型的概率计算公式得P (M )＝7884＝1314.故选D. 17．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则“出现奇数点或2点”的概率为________． 【答案】23【解析】因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.18．为了庆祝五四青年节，某书店制作了3种不同的精美卡片，每本书中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现某人购买了5本书，则其获奖的概率为________． 【答案】5081【解析】“获奖”即每种卡片至少一张，而5＝1＋1＋3＝1＋2＋2，有3种卡片，购买5本书，基本事件总数为35，故所求概率为3C 15C 14C 33＋3C 15C 24C 2235＝5081.19．同时掷两枚质地均匀的骰子． (1)向上的点数相同的概率为________； (2)向上的点数之和小于5的概率为________． 【答案】(1)16 (2)16【解析】(1)同时掷两枚骰子共有36种情况，其中向上点数相同的有6种情况，其概率为636＝16；(2)向上点数之和小于5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种情况，其概率为636＝16.20．高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班的男生人数为________．【答案】33【解析】由题意可设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63－x 63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63－x 63＝1011×x63，解得x ＝33，故这个班的男生人数为33. 21．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________． 【答案】35 1315【解析】“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.22．从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，求抽出的书是同一学科的概率．【解析】从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书共有6种不同的取法，其中抽出的书是同一学科的取法共有2种，因此所求的概率等于26＝13.23．(2018郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率； (2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？【解析】用(x ，y )(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．则P (A )＝1025＝25.(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C .事件B 所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个． 则P (B )＝1025＝25，所以P (C )＝1－P (B )＝35.因为P (B )≠P (C )，所以这样规定不公平．。
2020年浙江高三数学总复习：随机事件的概率与古典概型 复习讲义
第四节随机事件的概率与古典概型一、事件的概念与性质1.事件的相关概念(1)必然事件:在一定条件下,一定会发生的事件;(2)不可能事件:在一定条件下,一定不会发生的事件;(3)随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.2.频率与概率(1)频率在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数,称事件A出现的比例为事件A出现的频率.f n(A)=A nn(2)概率对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率f n(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.3.事件的关系与运算4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)=1.(3)不可能事件的概率P(F)=0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).1.概念理解(1)随机试验的所有结果是明确可知的,但不止一个,每次试验总是出现这些结果中的一个.(2)频率是随机的,而概率是一个确定的值,概率是大量重复试验事件发生频率的期望值,常常通过做大量重复试验用频率来估计概率. (3)互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的.在一次试验中,两个互斥的事件有可能都不发生,也可能有一个发生;而两个对立的事件则必有一个发生,但不可能同时发生.所以,两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥.也就是说,两事件对立是两事件互斥的一种特殊情况.(4)并(和)事件包含三种情况:①事件A 发生,事件B 不发生;②事件A 不发生,事件B 发生;③事件A,B 都发生. 2.概率加法公式的推广 若事件A 1,A 2,…,A n 彼此互斥,则(1)P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ); (2)P(12nAA A )=1-P(A 1)-P(A 2)-…-P(A n ).二、古典概型 1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型.①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个基本事件出现的可能性相等. (2)计算公式:P(A)=A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.概念理解(1)判断一个试验是否是古典概型,关键看这个试验是否具有有限性和等可能性两个特征.(2)使用古典概型概率公式时,首先判断是否为古典概型,再计算.1.有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,任意两人不能同一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是( A )(A)互斥但非对立事件(B)对立事件(C)相互独立事件 (D)以上都不对解析:由于任意两人不能同一个方向,故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的,故是互斥事件,但不是对立事件.故选A.2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,两人下成和棋的概率为50%,那么乙不输的概率是( B )(A)20% (B)70% (C)80% (D)30%3.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b≥a的概率是( C )(A)45(B)35(C)25(D)15解析:所有的选法共有5×3=15种,其中满足b≥a的选法有1+2+3=6种,故b≥a的概率是615=25.4.若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人,这5人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( D )(A)23(B)25(C)35(D)910解析:甲、乙都未被录用的概率为3335C C =110,所以甲或乙被录用的概率为1-110=910.5.下列说法正确的是( C ) (A)任一事件的概率总在(0,1)内 (B)不可能事件的概率不一定为0 (C)必然事件的概率一定为1 (D)以上均不对解析:任一事件的概率总在[0,1]内,所以A 错. 不可能事件的概率一定为0,所以B 错. 必然事件的概率一定为1,C 正确. 故选C.6.(2018·江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 解析:设2名男生为a,b,3名女生为A,B,C,从中选出2人的情况有(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种,而都是女生的情况有(A,B),(A,C),(B,C),共3种,故所求概率为310. 答案:3107.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率为0.42,摸出白球的概率为0.28,若红球有21个,则黑球有 个. 答案:15考点一随机事件的关系判断【例1】从6件正品与3件次品中任取3件.观察正品件数与次品件数,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”;(2)“至少有1件次品”和“全是次品”;(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”.解:从6件正品与3件次品中任取3件共有4种情况:①3件全是正品,②2件正品1件次品,③1件正品2件次品,④3件全是次品.(1)“恰好有1件次品”即②;“恰好有2件次品”即③,它们是互斥事件但不是对立事件,(2)“至少有1件次品”包括②,③,④,“全是次品”即④,所以它们不是互斥事件.(3)“至少有2件次品”包括③,④;“至多有1件次品”包括①,②,它们是互斥事件且是对立事件.判断是否为互斥事件的关键是看两个事件能否同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件.具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而判断出所给事件的关系.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:①至少有1个白球与至少有1个黄球;②至少有1个黄球与都是黄球;③恰有1个白球与恰有1个黄球;④恰有1个白球与都是黄球.其中互斥而不对立的事件共有( B )(A)0组(B)1组(C)2组(D)3组解析:①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生,如恰好1个白球和1个黄球,故两个事件不是互斥事件;②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球,故两个事件不互斥;③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”都是指有1个白球和1个黄球,故两个事件是同一事件;④中两事件不能同时发生,也可能都不发生,因此两事件是互斥事件,但不是对立事件,故选B.考点二互斥事件与对立事件的概率【例2】某战士射击一次,问:(1)若中靶的概率为0.95,则不中靶的概率为多少?(2)若命中10环的概率是0.27,命中9环的概率为0.21,命中8环的概率为0.24,则至少命中8环的概率为多少?不够9环的概率为多少?解:(1)设中靶为事件A,则不中靶为A.则由对立事件的概率公式可得,P(A)=1-P(A)=1-0.95=0.05.(2)设命中10环为事件B,命中9环为事件C,命中8环为事件D,由题意知P(B)=0.27,P(C)=0.21,P(D)=0.24.记至少命中8环为事件E,则P(E)=P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.27+0.21+0.24=0.72.记至少命中9环为事件F,则P(F)=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.27+0.21=0.48.故不够9环为F,则P(F)=1-P(F)=1-0.48=0.52.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法(1)直接求法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算.(2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(A),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就显得较简便.某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解:(1)P(A)=11000,P(B)=101000=1100, P(C)=501000=120.故事件A,B,C 的概率分别为11000,1100,120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖. 设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A ∪B ∪C. 因为A,B,C 两两互斥,所以P(M)=P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=110501000++=611000. 故1张奖券的中奖概率为611000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A ∪B)=1-(11000+1100)=9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.考点三 简单古典概型【例3】 (1)无重复数字的五位数a 1a 2a 3a 4a 5,当a 1<a 2,a 2>a 3,a 3<a 4,a 4>a 5时称为波形数,则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是 ;(2)从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n= .解析:(1)因为a 2>a 1,a 2>a 3,a 4>a 3,a 4>a 5,所以a 2只能是3,4,5中的一个. ①若a 2=3,则a 4=5,a 5=4,a 1与a 3是1或2,这时共有22A =2(个)符合条件的五位数.②若a 2=4,则a 4=5,a 1,a 3,a 5可以是1,2,3,共有33A =6(个)符合条件的五位数.③若a 2=5,则a 4=3或4,此时分别与①②中的个数相同. 所以满足条件的五位数有2(22A +33A )=16(个).又由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数有55A =120(个),故所求概率为16120=215.(2)由题意知n>4,取出的两数之和等于5的有两种情况:1+4,2+3. 从n 个数中取出两数,不同的结果为2C n.所以取出两数之和等于5的概率为P=22C n=114.即2C n=28,解得n=8.答案:(1)215 (2)8有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出. (2)基本事件总数较多时,常利用排列、组合以及计数原理求基本事件数.提醒:使用古典概型概率公式时,每个基本事件发生必须是等可能的.1.柜子里有3双不同的鞋,随机取出2只,则取出的鞋一只是左脚的,一只是右脚的,且不成对的概率是( B ) (A)15(B)25(C)35(D)310解析:从6只中随机取出两只共有26C =15种不同的取法,取出的鞋一只是左脚的,一只是右脚的,且不成对的取法有23C 12C =6,其概率为P=615=25,故选B.2.在集合{1,2,3,4}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量m=(a,b),从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,则平行四边形的面积等于2的概率为 .解析:因为a 的取法有2种,b 的取法有2种, 所以向量m=(a,b)有4个,分别为m 1=(2,1),m 2=(2,3),m 3=(4,1),m 4=(4,3),从中任取两个向量,共24C =6(种)取法.设选取的两个向量为a,b,它们的夹角为θ,则cos θ=||||a ba b ⋅,所以以a,b 为邻边的平行四边形的面积S=2×|a|·|b|sin θ,若S=2,则(|a|·|b|)2-(a ·b)2=4.当a=(2,1),b=(4,1)时,满足条件,当a=(2,1),b=(4,3)时,满足条件,所以满足条件的向量有2组,所以所求概率P=13. 答案:13考点四 复杂的古典概型的概率【例4】现有一个质地均匀的正四面体骰子,每个面上分别标有数字1,2,3,4,将这个骰子连续投掷两次,朝下一面的数字分别记为a,b,试计算下列事件的概率:(1)事件A:a=b;(2)事件B:函数f(x)=12ax2-bx+1在区间[34,+∞)上为增函数.解:将骰子投掷一次有4种结果,所以投掷两次有16种结果.(1)事件A包含4种结果.由古典概型的概率计算公式可得P(A)= 14.(2)因为函数f(x)=12ax2-bx+1在区间[34,+∞)上为增函数,所以0,3,4aba>⎧⎪⎨≤⎪⎩即b≤34a(a>0).所以记投掷结果为(a,b),事件B包含6种结果:(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3).由古典概型的概率计算公式可得P(B)= 38.(1)当所求事件情况较复杂时,常把所求事件转化为彼此互斥事件的和,或考虑其对立事件求解.(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时,通常考虑用对立事件的概率加法公式P(A)=1-P(A)求解.。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：12.1 随机事件的概率 .pdf
知识梳理 考点自诊
-2-
1.事件的分类
可能发生也可能不发生
知识梳理 考点自诊
-3-
2.频率与概率
(1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是
否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 频 数 ,
称事件A出现的比例
为事件A出现的 频 率 .
考点1
考点2
考点3
-11-
对点训练1(2018河北石家庄模拟,7)“辽宁舰”是中国人民解放军 海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,在“辽宁舰”的飞行甲 板后部有四条拦阻索,降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条,则为 “成功着陆”,舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%,挂住第二 条、第三条拦阻索的概率为62%,捕捉钩未挂住拦阻索需拉起复飞 的概率约为5%.现有一架歼-15战机白天着舰演练20次,则其被第四 条拦阻索挂住的次数约为( B )
A.5 B.3 C.1 D.4 解析:由题意可知舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为1-18%-
62%-5%=15%,故其被第四条拦阻索挂住的次数约为20×0.15=3.
考点1
考点2
考点3
-12-
随机事件的频率与概率 例2某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称 为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
件的概率公式知C正确.
4.(2018陕西榆林模拟,4)一箱产品中有一、二等品和次品,现从中
随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事
件C={抽到次品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.3,则事件“抽到的产品不
是次品”的概率为 ( A )
江苏省2020版高考数学一轮复习第十二章算法、统计与概率第66课互斥事件的概率课件苏教版
【高频考点·题组强化】 1. 若一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为 0.2，目标未受损的概率为 0.4， 则目标受损但未完全击毁的概率为___0_.4____．
【解析】由题知，目标受损的概率为 1－0.4＝0.6，所以目标受损但未完全击毁 的概率为 0.6－0.2＝0.4.
2. 某口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，已知摸 出红球的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黑球的概率是___0_._3___．
【解析】因为口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球， 在口袋中摸球，摸到红球、摸到黑球、摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概 率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，因为摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件， 所以摸出黑球的概率是 1－0.42－0.28＝0.3.
3. 在一次数学考试中，小明的成绩在 90 分及以上的概率是 0.18，在 80～89 分 的概率是 0.51，在 70～79 分的概率是 0.15，在 60～69 分的概率是 0.09，则小明在这 次数学考试中取得 80 分及以上成绩的概率和小明考试不及格(低于 60 分)的概率分别 为___0_.6_9___和___0_._0_7__．
【解析】由题知，所求的概率为 P＝1－13×12＝56.
4. 抛掷一枚质地均匀的骰子． (1) 求落地时向上的数不小于 5 的概率； 【解答】设事件 Ai 表示“骰子落地时向上的数为 i(i＝1,2,3,4,5,6)”，则 P(Ai)＝16. 设事件 C 表示“落地时向上的数不小于 5”， 则 P(C)＝P(A5＋A6)＝16＋16＝13.
由题知，P(A1)＝1590，P(A2)＝2530. 因为当事件 A1，A2 之一发生时，事件 A 发生， 所以 P(A)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝1590＋2530＝2215.
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1.(2013·重庆卷)如图是某公司 10 个销售店某月销售某 产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的
概率为( B )
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
解析：由茎叶图 10 个原始数据，数据落在区间[22,30) 内的共有 4 个，则数据落在区间[22,30)内的概率为140＝0.4， 故选 B.
2.(2013·江西卷)集合 A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从 A，B 中
各取任意一个数，则这两数之和等于 4 的概率是( C )
2
1
A.3
B.2
C.13
D.16
解析：从 A，B 中各取任意一个数共有 2×3＝6 种取法， 而两数之和为 4 的有(2,2)，(3,1)两种取法，故所求的概率 为26＝13.故选 C.
三 频率估计概率及应用
【例 3】如图，A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2，现 随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进行调查，调查结果如 下：
(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用的时间落在上表中各时 间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶 往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试 通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
【拓展演练 1】 现有 7 名数理化成绩优秀者，其中 A1，A2，A3 的数学 成绩优秀，B1，B2 的物理成绩优秀，C1，C2 的化学成绩优 秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各一名，组成 一个小组代表学校参加竞赛． (1)求 C1 被选中的概率； (2)求 A1 和 B1 不全被选中的概率．
431,257,392,023,551,488,731,752,534,989 据此估计该运动员射击三次恰好有两次命中 9 环以上 的概率为 .
解析：表示恰好两次命中 9 环以上的随机数组有： 431,392,731，共三组，因此射击三次恰有两次命中 9 环以上 的概率 P＝130＝0.3.
4．(2012·嘉兴市质量检测)同时抛掷两个骰子一次，两
点数和为 6 的概率为( A )
5
5
A.36
B.18
1
1
C.9
D.6
解析：同时抛掷两个骰子一次，结果共有 36 种，其中 点数之和为 6 的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共 5 种， 所以所求概率为356，故选 A.
5．(2012·南通市教研室全真模拟)在区间[－1,2]内随机 选取一个实数，则该数为正数的概率是 .
3.(2012·辽宁卷)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点
C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该
矩形面积小于 32 cm2 的概率为( C )
1
1
A.6
B.3
2
4
C.3
D.5
解析：设线段 AC 的长为 x cm， 则线段 CB 的长为(12－x)cm， 那么矩形的面积为 x(12－x)cm2， 由 x(12－x)<32，解得 x<4 或 x>8，又 0<x<12， 所以该矩形面积小于 32 cm2 的概率为23，故选 C.
5.(2012·广东卷)从个位数与十位数之和为奇数的两位
(1)请估计该次高考成绩在[350,670)内文科考生的平均 分(精确到 0.1)；
(2)考生 A 填报志愿后，得知另外有 4 名同分数考生也 填报了该志愿．若该志愿计划录取 2 人，并在同分数考生中 随机录取，求考生 A 被该志愿录取的概率．
( 参 考 数 据 ：610×0.061 ＋ 570×0.154 ＋ 530×0.193 ＋ 490×0.183＋450×0.161＋410×0.133＝443.93)
【拓展演练 2】
(1)假设车站每隔 10 分钟发一班车，若某乘客随机到达
车站，求其等车时间不超过 3 分钟的概率为 0.3 .
(2)(2012·北
京卷
)设不等式
组
0≤x≤2 0≤y≤2
表示的平面区
域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的
距离大于 2 的概率是( π
A.4
) π－2
B. 2
故 P＝AS的的长长度度＝130＝0.3.
(2)题目中00≤≤xy≤≤22 表示的区域如图正方形所示，而 动点 D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面 积部分，因此 P＝2×22－×142π×22＝4－4 π，故选 D.
(3)随机向正方形内投入 200 粒芝麻，恰有 60 粒落入 阴影部分，则样本估计为26000＝130，由此可以估计不规则图 形的面积为130×22＝65，故选 C.
由(2)知 P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6； P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，则 P(A1)>P(A2)， 故甲应选择 L1； 因为 P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，则 P(B2)＞P(B1)， 所以乙应选择 L2.
【拓展演练 3】 (2012·广东省江门市第一次模拟)某年某省有 23 万多文 科考生参加高考，除去成绩为 670 分(含 670 分)以上的 6 人 与成绩 350 分(不含 350 分)以下的 38390 人，还有约 19.4 万 文科考生的成绩集中在[350,670)内，其成绩的频率分布如下 表所示：
π
4－π
C.6
D. 4
(3)(2012·威海市高考模拟)如图，边长为 2 的正方形内
有一不规则阴影部分，随机向正方形内投入 200 粒芝麻，恰
有 60 粒落入阴影部分，则不规则图形的面积为( )
3
4
A.5
B.5
6
3
C.5
D.2
解析：(1)要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的 时刻应该是下图中 A 包含的时间点．
解析：(1)因为 S△ABE＝12|AB|·|BC|，S 矩形＝|AB|·|BC|，则 点 Q 取自△ABE 内部的概率 P＝SS△矩A形BE＝12，故选 C.
(2)(ⅰ)圆心到直线的距离为 d＝ |－32＋254| 2＝5. (ⅱ)当圆 C 上的点到直线 l 的距离是 2 时有两个点为 点 B 与点 D，设过这两点的直线方程为 4x＋3y＋a＝0，同 时可得到圆心到直线 4x＋3y＋a＝0 的距离为 OC＝3.
解析：(1)从甲校和乙校报名的教师中各选 1 名共有 C13·C13＝9 种，其中选出的 2 名教师性别相同，共 C21C11＋C11·C12 ＝4 种结果，故所求事件的概率为 P1＝49.
(2)从报名的 6 名教师中任选 2 名，共有 C62＝15 种结果， 其中选出的 2 名教师来自同一学校有 C23＋C23＝6 种结果，故 所求事件的概率 P2＝165＝25.
第66讲 随机事件的概率、 古典概型与几何概型
1．(改编)下列事件不是随机事件的是( C )
A．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中 B．A、B 两名国际象棋选手将在一次比赛中对局，B 胜 C．在常温下，水蒸发 D．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于 4.8 g
解析：在任何温度下水都可以蒸发，因此“在常温下， 水蒸发”是必然事件，故选 C.
处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区
域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，
基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该
地点无信号的概率是( A )
A．1－π4
B.π2－1
C．2－π2
π D.4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析：由题设可知矩形 ABCD 的面积为 2，曲边形 DEBF 的面积为 2－π2，故所求概率为2－2 2π＝1－π4，选 A.
(2)设另外 4 名考生分别为 b、c、d、e，则基本事件有： (A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)， (c，d)，(c，e)，(d，e)．
考生 A 被录取的事件有(A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，e) 共 4 种，
所以考生 A 被录取的概率是 P＝140＝0.4.
解析：(1)由所给的数据估计该年该省文科考生成绩在 [350,670)内的平均分为
650×0.007 ＋ 610×0.061 ＋ 570×0.154 ＋ 530×0.193 ＋ 490×0.183 ＋ 450×0.161 ＋ 410×0.133 ＋ 370×0.108 ＝ 488.44≈488.4.
4.(2013·陕西卷)如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点 处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区 域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源， 基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该 地点无信号的概率是( )
4.(2013·陕西卷)如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点
解析：(1)由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不 能赶到火车站的有 12＋12＋16＋4＝44 人，
用频率估计相应的概率为 0.44.
(2)选择 L1 的有 60 人，选择 L2 的有 40 人， 故由调查结果得频率为：
(3)A1，A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时，在 40 分钟内赶 到火车站；B1，B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时，在 50 分钟内 赶到火车站．
解析：由题意知正数的取值区间长度是 2，总长度是 3， 由几何概型的概率计算公式得所求概率为23.
一 古典概型
【例 1】甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，求选出 的 2 名教师性别相同的概率；