【高中数学选修二】2.3.2双曲线的简单几何性质 ((公开课同课异构)

[点评]本题主要考查双曲线的定义，注意本题中的点 P 既可能在双曲线的左支上，也可能在双曲线的右支上，从而 可得|PF2|有两个值． 但还要注意不能盲目地认为点 P 在任何 情况下都可能在双曲线的两支上，如本题中若给定|PF1|＝5， 那么点 P 就只能在双曲线的左支上了.
例2
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
32m－9n＝1， 1 1 令 m＝ 2，n＝ 2，则方程组化为： 81 a b 25m－ n＝1. 16
m＝ 1 ， 16 解这个方程组得 1 n＝ . 9
2 2 y x 即 a2＝16，b2＝9，所以所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 16 9
x2 y2 若焦点在 x 轴上，设所求双曲线方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)， a b
x2 y2 [解析] (1)设双曲线方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意 a b
25 4 2 － 2＝1， 得 a b 2 2 a ＋b ＝6.
解之得 a2＝5，b2＝1，
x2 2 故所求双曲线方程为 －y ＝1. 5
(2)解法一：若曲线的焦点在 y 轴上，设所求双曲线的 y2 x2 标准方程为： 2－ 2＝1(a>0，b>0) a b 9 32 2 － 2＝1， b a 依题意得 81 25 － ＝1. a2 16b2
注意：方程 mx2＋ny2＝1(mn<0)表示的曲线为双曲线， 它包含焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情形，当 m>0，n<0 x2 y2 时，方程为 － ＝1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，此时 1 1 － m n a＝ 1 ，b＝ m 1 － ； n
y2 x2 当 m<0，n>0 时，方程为 － ＝1 表示焦点在 y 轴 1 1 － n m 上的双曲线，此时 a＝ 1 ，b＝ n 1 － . m
第二章 圆锥曲线与方程
§2.3.1
双曲线及其标准方程
目标解读
1．了解双曲线的定义，并能根据双曲线定义恰当地 选择坐标系，建立及推导双曲线的标准方程． 2．通过与椭圆的类比、对照，了解双曲线的标准方 程，并培养学生分析、归纳、推理等能力． 3． 掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的 a、 b、 c； 能根据条件确定双曲线的标准方程．
两条射线 ；若 2a>|F1F2|则动点的 ＝|F1F2|，则动点的轨迹是___________ 不存在 ． 轨迹_________
绝对值 ”，若去掉 3．双曲线定义中应注意关键词 “________ 绝对值 ” 三 个 字 ， 动 点 轨 迹 只 能 是 定 义 中 “________ 双曲线一支 ． ____________
双曲线 定义|MF1|－|MF2|＝± 2a 因为 0<a<c， 所以令 c2－a2＝b2(b>0) x2 y2 y2 x2 － ＝1 或 2－ 2＝1 a2 b2 a b (a>0，b>0，a 不一定大于 b)
7.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点 A(－5，6)． x2 y2 (2)与椭圆 ＋ ＝1 共焦点，且过点(－2， 10)． 16 25 x2 y2 (3)与双曲线 － ＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)． 16 4
[分析] (1)由焦点坐标可知 c，结合 a、b、c 的关系及经过点 A(－5,6)可列出关于 a、b 的方程组求解． (2)由椭圆方程可求焦点，可知与(1)解法同． (3)可先求出双曲线焦点，以下与(1)解法同；也可先由共焦点 的双曲线特征设出双曲线方程，代入已知点求出待定系数．
解：(1)解法一：由已知得，c＝6，且焦点在 y 轴上，则另一焦 点坐标是(0,6)． 因为点 A(－5,6)在双曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的差的 绝对值是常数 2a，即 2a＝| (－5)2＋(6＋6)2－ (－5)2＋(6－6)2| ＝|13－5|＝8， 得 a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. y2 x 2 因此，所求的双曲线标准方程是 － ＝1. 16 20
[点评](1)利用待定系数法求双曲线的方程，先定型再定 量，不能确定焦点在哪个轴上时，可分类讨论，也可设方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． x2 y2 x2 (2)与双曲线 2－ 2＝1 共焦点的双曲线方程可设为 2 － a b a －k y2 2 2 ＝ 1( － b < k < a ). 2 b ＋k
[答案] 4 或 16
[解析]由双曲线方程，得 a＝3，b＝4，c＝5. 当点 P 在双曲线的左支上时， 由双曲线定义， 得|PF2|－|PF1|＝6， 所以|PF2|＝|PF1|＋6＝10＋6＝16； 当点 P 在双曲线的右支上时， 由双曲线定义， 得|PF1|－|PF2|＝6， 所以|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4. 故|PF2|＝4 或|PF2|＝16.
例 3 相距 2000m 的两个哨所 A、B，听到远处传来的炮弹爆 炸声．已知当时的声速是 330m/s，在 A 哨所听到爆炸声的时 间比在 B 哨所听到时间迟 4s，试判断爆炸点在什么样的曲线 上，并求出曲线的方程． [分析] 爆炸点与哨所 A、B 的“距离差”等于声速乘以 两哨所听到爆炸声的“时间差”，且爆炸点距 B 哨所较近．
自主预习
1．在平面内到两个定点 F1、F2 距离之差的绝对值等于定
双曲线 ．这两个定点 值 2a(大于 0 且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做______
焦点 ，两焦点之间的距离叫做双曲线的_____ 焦距 ． 叫做双曲线的_____
2．在双曲线的定义中，条件 0<2a<|F1F2|不应忽视，若 2a
6．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用 对比的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理 解的作用，也能有效的解决知识的混淆．在学习双曲线知 识时，要时时留意与椭圆进行对比． 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系．
椭圆 定义|MF1|＋|MF2|＝2a 因为 a>c>0， 所以令 a2－c2＝b2(b>0) x2 y2 y 2 x2 ＋ ＝1 或 2 ＋ 2 ＝1 a2 b2 a b (a>b>0)
解：(1)由已知得，c＝5,2a＝8，即 a＝4. ∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9. ∵焦点在 x 轴上， x2 y2 ∴所求的双曲线标准方程是 － ＝1. 16 9
(2)设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n<0)，则
m＝1 16m＋4n＝1 8 ，∴ 1 24m＋8n＝1 n＝－ 4
这表明动点 M 与两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2.根 据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)． 这里 a＝1，c＝3，则 b2＝8，设点 M 的坐标为(x，y)，
2 y 则其轨迹方程为 x2－ ＝1(x<0)． 8
[点评]
本题是用定义法求动点的轨迹方程，由于动
(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两 焦点的距离之差的绝对值等于 8； (2)焦点在 x 轴上，经过点 P(4，－2)和点 Q(2 6，2 2)．
[分析](1)依据双曲线的定义直接由条件求出 a、c，再求 b. x2 y2 (2)∵焦点在 x 轴上，故可设其标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)， a b 代入点的坐标，解方程组求出 a2、b2，也可以直接设方程 Ax2＋ By2＝1(A>0，B<0)．
92－32 2 ＝1， b a 依题意得 25 81 2－ 2 ＝1. 16a b
此时无解．
y2 x2 综上所得，所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 16 9
解法二：设所求曲线方程为 Ax2－By2＝1(AB>0)， 1 9A－32B＝1， A＝－9， 依题意得81 解得 1 A － 25 B ＝ 1. 16 B＝－16. x2 y2 y2 x2 故所求双曲线方程为－ 9 ＋16＝1 即16－ 9 ＝1.
，
x2 y2 ∴双曲线方程为 － ＝1. 8 4
跟踪练习 2 (1)焦点在 x 轴上，c＝ 6且经过点(－5,2)的双曲线的标准 方程为________． (2)已知双曲线上两点 P1、P2 的坐标分别为(3，－4 2)、 9 ( ，5)，则双曲线的标准方程为________． 4
[答案] x2 2 y2 x2 (1) 5 －y ＝1 (2)16－ 9 ＝1
(1)判断焦点位置确定方程的形式：根据条件判定双曲线的焦 点在 x 轴上还是在 y 轴上，还是两坐标轴都有可能． x2 y2 y2 x2 根据上述判断设方程为 2－ 2＝1 或 2－ 2＝1(a>0，b>0)． a b a b (2)确立参数的关系式：根据已知条件列出关于 a、b、c 的方 程组． (3)解方程组：定形式，解上述方程组，得到参数 a、b、c 的 值，代入所设方程即为所求．
x2 y2 2－ 2＝1(a>0， a b 4．焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 y2 x2 b>0) ，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为a2－b2＝1(a>0， _____
b>0) ． _____
2 2 2 a ＋ b ＝ c 5． 在双曲线的标准方程中 a、 b、 c 的关系为_________.
在求双曲线的标准方程时，若焦点的位置不确定，则 常考虑上述设法．
典例讲练
例 1 已知圆 C1： (x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2： (x－3)2＋y2＝9， 动圆 M 同时与圆 C1 与圆 C2 相外切， 求动圆圆心 M 的轨迹 方程．
解：如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和 B，根据两圆外切的充要条件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. ∵|MA|＝|MB|， ∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， ∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.