第27章(2)直角三角形的存在问题(至2011中考)
直角三角形的存在性问题解题策略
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直角三角形的存在性问题分类
直角在三角形内部
总结词
当直角位于三角形内部时，可以通过构建直角三角形并利用勾股定理解决。
详细描述
首先，根据题目条件，确定直角的位置和已知条件。然后，利用勾股定理计算直 角三角形的斜边长度。接着，根据三角形的性质和已知条件，判断是否能够构成 三角形。如果可以，则存在满足条件的直角三角形；否则，不存在。
在题目中，有时候会隐含一些关于三角形或 角度的条件，需要仔细审题并挖掘。
举例说明
在求解三角形边长的问题时，需要注意隐含 的等腰或等边条件，这些条件可能会影响三 角形的形状和存在性。
掌握常见题型和解题方法
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常见题型
直角三角形存在性问题的 常见题型包括角度问题、 边长问题、高的长度问题 等。
直角在三角形外部
总结词
当直角位于三角形外部时，可以通过构建直角三角形并利用勾股定理解决。
详细描述
首先，根据题目条件，确定直角的位置和已知条件。然后，利用勾股定理计算直角三角形的斜边长度。接着，根 据三角形的性质和已知条件，判断是否能够构成三角形。如果可以，则存在满足条件的直角三角形；否则，不存 在。
建立方程
根据题目条件，可以建立关于未知数 （如角度、边长等）的方程，然后求 解该方程。
解方程
解方程的方法有很多种，如代数法、 三角函数法等，选择合适的方法求解 方程。
利用数形结合思想
数形结合
将题目中的条件和图形结合起来，通过 观察图形和计算数据，找到解决问题的 线索。
VS
综合分析
综合运用数学知识和图形分析，逐步推导 和验证，最终得出结论。
解题方法
针对不同的问题类型，需 要掌握相应的解题方法， 如利用三角函数、勾股定 理、相似三角形等。
二次函数与直角三角形存在问题.docx
【经典练习讲解】1. (2011•济南)如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为(0, 8),点C 的坐标为(6, 0).抛物线y=-2?+bx+c 经过A 、C 两点，与AB 边交于点D. 9(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点P 为线段BC ±一个动点(不与点C 重合)，点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP,连接 PQ,设CP=m, Z\CPQ 的面积为S.① 求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 収得最大值；② 当S 最大时，在抛物线尸-上x?+bx+c 的对称轴1上若存在点F,使AFDQ 为直角三角形， 9请直接写出所有符合条件的F 的处标；若不存在，请说明理由.2. 如图，四边形OABC 为直角梯形，A (4, 0), B (3,老师 姓名 学生姓名 学管师 学科 名称名称 年级 直角三角形的存在问题上课时间 月 日 __ :00-_:00 教学过程4), C (0, 4)。
点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点、N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动。
其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。
过点N作NP垂直x轴于点P,连结AC交NP 于Q,连结MQo求：（1）点_____ （填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t和取值范围，当t为何值吋，S的值最大；（1）是否存在点M,使得厶人©"为直角三角形？若存在，求岀点M的处标，若不存在，说明理由。
~M^P A"%(2 ) £ Q ( 3-t, t+1 )・(5分)(3) S^A Q M=| (4-2t) (t+1) =-t2+t+2=-(t)2+| ・(T分)当仁卸S星大值二条（8分）（4 ）存在使△AQM为直角三角形的点M・（9分）VZA0C=90° . OA=OC./.Z0AC=45°即点A不可能为RtAAQM的直角顶点・（9分）①当点Q为直角顶点时.（如图①）•/ZMQA=90° , ZMAQ=45° , AMQ=QA•・・QP 丄Af11/.AP=MP=PQ•••■t二+则M（ 1 » 0）・（10分）②当.点M为直角顶点时.（如图②）VZQMA=90° > ZMAQ=45° >.*.MQ=MA即4-2t=t+l>・・・t=l '贝l」M（ 2 J 0）・（11分）综上所述：点M的坐标为（1,0）或（2 , 0 ）・（12分）3.（2010-铜仁地区）如图所示，矩形OABC位于平面直角坐标系中，AB=2, OA=3,点P是OA 上的任意一点，PB平分ZAPD, PE平分ZOPF,且PD、PF重合.（1）设OP=x, OE=y,求y关于x的函数解析式，并求x为何值时，y的最大值；（2）当PD丄OA时，求经过E、P、B三点的抛物线的解析式；（3）请探究：在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点M,使得AEPM为肓角三角形？若存在, 求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)由己知PB 平分ZAPD, PE 平分ZOPF, Il RD. PF fift,则ZBPE=9(F AZOPE-FZAPB=90\乂ZAPB+ZABP = 9fT, AZOPE=ZPBA ・ ARtAPOE^>RtABPA.PO BA X 2 113 __ = — = -------- __ 一.・.OE AP 3-x ・・.y= 2x(弓一x)=- 2x2+ 2 x(0<x<3).39 且当x=3吋，Y 佃大值？.(2)由已知，APAB. ZiPOE 均为尊腰三角形,可得P ⑴0), E(0, 1), B(3, 2}. d + Z> + C = 0 Ay=3x2-3x+l.<3)由(2)知ZEPB = 90\即点M 与点B 重介吋满足条件.PR v=Y —1.与"鋪心:十占S. —1L将PB 向上平移2个单位则过点E(0> 1), ・•・该直线为y=x+l.y-x + \v 2 5x=4 卜=討-亍Y+]5由 I 3 3 得 5).故该抛物线上存在两点M(3, 2), (4, 5)满足条件.4. (2011•潼南县)如图，在平面直角坐标系中，AABC 是直角三角形，ZACB=90, AC=BC, OA=1, 0C=4,抛物线尸x 2+bx+c 经过A, B 两点，抛物线的顶点为D.(1) 求b, c 的值：设过此三点的抛物线为丫=ax2—bx+C.则29a + 3/)+ C = 2(2)点E是直角三角形ABC斜边AB ±-动点、(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最人时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P,使AEFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的处标；若不存在，说明理由.点：二次函数综合题。
直角三角形存在性问题解决方法汇总
【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，C1、C2求法相同，以C2为例：【构造三垂直】01问题与方法C3、C4求法相同，以C3为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下C1待求，不妨来求下C1：【解析法】还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线AC1与AB互相垂直，k1k2=-1，可得：kAC=-2，又直线AC1过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，所以与x轴交点坐标为（1.5,0），即C1坐标为（1.5,0）．确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上方法小结几何法：（1）两线一圆作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A、B、C坐标；（2）表示线段AB、AC、BC；（3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²；（4）代入列方程，求解．02从等腰直角说起再特殊一些，如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．2019兰州中考删减【等腰直角存在性——三垂直构造全等】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数y=ax²+bx+2的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y=ax²+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．2017本溪中考【直角顶点已知or未知】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴交于A、B两点，点B （3,0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C（4，5/2），与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．【小结】对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可．2019阜新中考【对未知直角顶点的分析】如图，抛物线y=ax²+bx+2交x轴于点A（-3,0）和点B（1,0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（-1,0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【小结】无论直角顶点确定与否，事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．03一般直角三角形的处理一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似．而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等．2018安顺中考【对称轴上寻动点】如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1,0），C（0,3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．2018怀化中考【抛物线上寻动点】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于A（-1,0），B（3,0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2019鄂尔多斯中考【动点还可能在……】如图，抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）与x轴交于A（-3,0），B（1,0）两点，与y轴交于点C，直线y=-x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，圆C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．。
直角三角形的存在性问题解题策略-2011中考压轴题
直角三角形的存在性问题解题策略1.（遵义市2011）27．（14分）已知抛物线)0(32≠++=a bx ax y 经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y 轴交于点C 。
（1）求抛物线)0(32≠++=a bx ax y 的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（1）,连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标。
考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据A （3，0），B （4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式； （2）从当△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案； （3）根据当OE ∥AB 时，△FEO 面积最小，得出OM=ME ，求出即可． 解答：解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）经过A （3，0），B （4，1）两点， ∴错误！未找到引用源。
， 解得：错误！未找到引用源。
，∴y=错误！未找到引用源。
x 2﹣错误！未找到引用源。
x+3； ∴点C 的坐标为：（0，3）；（2）当△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°， ∵A （3，0），B （4，1），∴AM=BM=1，∴∠BAM=45°，∴∠DAO=45°，∴AO=DO，∵A点坐标为（3，0），∴D点的坐标为：（0，3），∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：∴0=3k+b，b=3，∴k=﹣1，∴y=﹣x+3，∴y=错误！未找到引用源。
x2﹣错误！未找到引用源。
中考数学专题讲解：直角三角形的存在性问题
中考专题讲解：直角三角形的存在性问题 一、学习目标1.经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧2.体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性二、课前准备1.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为2.如图，A(0，4),C （4,0），点P 是线段OC 的中点，AP ⊥BP ，BC ⊥PC ，则BC 的长度为三、探究理解如图，A(0，1)，C(4，3)是直线121+=x y 上的两点，点P 是x 轴上的一个动点，问：是否存在这样的点P ，使得△ABP 为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P 的坐标.问题：（1）这样的问题，你怎么思考的？ 针对直角顶点进行分类（2）一般会有几种情况？ 3种（3）分类时候需要做什么？ 画图（4）解题有那些方法？（5）当直角顶点在点P 的时候，如何精确地找到点P ？ 以AB 为直径的圆与x 轴的交点总结：直角三角形的存在性问题的解题策略：四、反馈练习1.如图，点O （0,0），A(1，2),若存在格点P ，使△APO 为直角三角形， 则点P 的个数有 个2.在△ABC 中，∠C=900，AC=8 cm,BC=6 cm ，动点P 、Q 分别同时从点A 、B 出发，其中点P 在线段AB 上向点B 移动，速度是2 cm/s,点Q 在线段BC上向点C 运动，速度为1cm/s ，设运动时间为t s,当t= 时，△BPQ 是直角三角形.3.如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4,MA=1，MB>1，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB=x.若△ABC 为直角三角形，(1)求x 的值.（2）x 的取值是多少.五、链接中考如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0,8），点C 的坐标为（6,0）.抛物线834942++-=x x y 经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ，Q 是AC 上一点，且AQ=5.请问在抛物线对称轴l 上是否存在点F ，使得△FDQ 为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由六、课堂小结直角三角形的存在性问题解题策略分类画图（1）角：构造相似三角形解题 （2） 边：勾股定理（3）函数：k 1·k 2=-1六、课后练习在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1,0），如图所示，B 点在抛物线221212-+=x x y 图像上，过点B 作BD ⊥X 轴，垂足为D ，且B 点的横坐标为-3.(1)求证：△BDC ≌△COA(2)求BC 所在直线的函数关系式（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
中考数学直角三角形的存在性问题解题策略
直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例1、 如图1-1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，cos ∠B ＝45．D 、E 为线段BC 上的两个动点，且DE ＝3（E 在D 右边），运动初始时D 和B 重合，当E 和C 重合时运动停止．过E 作EF //AC 交AB 于F ，连结DF ．设BD ＝x ，如果△BDF 为直角三角形，求x 的值．图1-1【解析】△BDF 中，∠B 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF 存在两种情况．如果把夹∠B 的两条边用含有x 的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了． 如图1-2，作AH ⊥BC ，垂足为H ，那么H 是BC 的中点．在Rt △ABH 中，AB ＝10，cos ∠B ＝45，所以BH ＝8．所以BC ＝16． 由EF //AC ，得BF BE BA BC =，即31016BF x +=．所以BF ＝5(3)8x +．图1-2 图1-3 图1-4①如图1-3，当∠BDF ＝90°时，由4cos 5BD B BF ∠==，得45BD BF =． 解方程45(3)58x x =⨯+，得x ＝3．②如图1-4，当∠BFD ＝90°时，由4cos 5BF B BD ∠==，得45BF BD =． 解方程5154885x x +=，得757x =． 我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC 的“限制”，只需要取其确定的∠B ． 例2、 如图2-1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成 △ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．图2-1【解析】△ABC 的三边长都可以表示出来，AC ＝1，AB ＝x ，BC ＝3－x ． 如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根．②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x （如图2-2）． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x （如图2-3）． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形．图2-2 图2-3例3、 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2, 0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．图3-1【解析】A 、B 两点是确定的，以线段AB 为分类标准，分三种情况．如果线段AB 为直角边，那么过点A 画AB 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B 画AB 的垂线，有1个交点．以AB 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．由题意，得点B 的坐标为（2，0），且∠BAP 不可能成为直角．①如图3-2，当∠ABP ＝90°时，点P 的坐标为（2，1）．②方法一：如图3-3，当∠APB ＝90°时，OP 是Rt △APB 的斜边上的中线，OP ＝2．设P 2(,)x x ，由OP 2＝4，得2244x x+=．解得x =P (2,2)．图3-2 图3-3 方法二：由勾股定理，得P A 2＋PB 2＝AB 2．解方程2222222(2)()(2)()4x x x x+++++=，得x = 方法三：如图3-4，由△AHP ∽△PHB ，得PH 2＝AH ·BH ．解方程22()(2)(2)x x x=+-，得x =图3-4 图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x 2－2)2＝0．这个四次方程的解是x 1＝x 2＝2，x 3＝x 4＝它的几何意义就是以AB 为直径的圆与双曲线相切于P 、P ′两点（如图3-5）．例4、 如图4-1，已知直线y ＝kx －6经过点A (1,－4)，与x 轴相交于点B ．若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．图4-1【解析】和例题3一样，过A 、B 两点分别画AB 的垂线，各有1个点Q ．和例题3不同，以AB 为直径画圆，圆与y 轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．将A (1,－4)代入y ＝kx －6，可得k ＝2．所以y ＝2x －6，B (3,0)．设OQ 的长为m ．分三种情况讨论直角三角形ABQ ：①如图4-2，当∠AQB ＝90°时，△BOQ ∽△QHA ，BO QH OQ HA =．所以341m m -=． 解得m ＝1或m ＝3．所以Q (0,－1)或(0,－3)．②如图4-3，当∠BAQ ＝90°时，△QHA ∽△AGB ，QH AG HA GB =．所以4214m -=． 解得72m =．此时7(0,)2Q -． ③如图4-4，当∠ABQ ＝90°时，△AGB ∽△BMQ ，AG BM GB MQ =．所以243m =． 解得32m =．此时3(0,)2Q ．图4-2 图4-3 图4-4三种情况的直角三角形ABQ ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．已知A (1,－4)、B (3,0)，设Q (0, n )，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB 2，AQ 2和BQ 2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了．例5、 如图5-1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只．．．有．三个时，求直线l 的解析式．图5-1【解析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢？过A 、B 两点分别画AB 的垂线，与直线l 各有一个交点，那么第三个直角顶点M 在哪里？以AB 为直径的⊙G 与直线l 相切于点M 啊！ 由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得A (－4, 0)、B (2, 0)，直径AB ＝6． 如图5-2，连结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．因此3tan 4GEM ∠=． 设直线l 与y 轴交于点C ，那么OC ＝3．所以直线l （直线EC ）为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =-．图5-2例6、 如图6-1，在△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝8，4cos 5A ∠=．点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连结CE 、DE ．（1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；（3）连结AE ，当△ADE 是直角三角形时，求AD 的长．图6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D 看作主动点，那么CE 就是从动线段．反过来画图，点E 在以CA 为半径的⊙C 上，如果把点E 看作主动点，再画∠ACE 的平分线就产生点D 了．（1）如图6-2，设AB 边上的高为CH ，那么A H ＝BH ＝4．在Rt △ACH 中，AH ＝4，4cos 5A ∠=，所以AC ＝5，CH ＝3． （2）①如图6-3，当∠AFC ＝90°时，F 是AB 的中点，AF ＝4，CF ＝3． 在Rt △DEF 中，EF ＝CE －CF ＝2，4cos 5E ∠=，所以52DE =．此时52AD DE ==． ②如图6-4，当∠ACF ＝90°时，∠ACD ＝45°，那么△ACD 的条件符合“角边角”． 作DG ⊥AC ，垂足为G ．设DG ＝CG ＝3m ，那么AD ＝5m ，AG ＝4m ．由CA ＝5，得7m ＝5．解得57m =．此时2557AD m ==．图6-2 图6-3 图6-4 （3）因为DA＝DE，所以只存在∠ADE＝90°的情况．①如图6-5，当E在AB下方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝135°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH－DH＝1．②如图6-6，当E在AB上方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝45°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH＋DH＝7．图6-5 图6-6。
直角三角形存在性问题及真题典例分析(含解析)
直角三角形存在性问题【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点轴上找一点C 使得△ ABC 是直角三角形，求点A 坐标为（1,1 ），点B 坐标为（5,3），在x C坐标．几何法】两线一圆得坐标1）若∠ A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；2）若∠ B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C；3）若∠C 为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）构造三垂直】BN NC2由A、B坐标得AM=2 ，BM=4 ，NC2=33代入得：BN=213故C2坐标为（，0）2重点还是如何求得点坐标，C1、C2 求法相同，以C2为例：易证△AMB ∽△BNC 2AM MBAM MC3易证△AMC3∽△C3NB，C3N= NB由A、B坐标得AM=1，BN=3，设MC3=a，C3N=b1a代入得：= ，即ab=3 ，又a+b=4，故a=1 或3 b3故C3坐标为（2,0），C4坐标为（4,0）构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下C1待求，不妨来求下C1 ：1）表示点：设C1坐标为（2）表示线段：AB 2 5，AC13）分类讨论：当BAC1 为直角时，24）代入得方程：20 m 1 122222m11，BC1m 532AB2AC12BC12；m5222 32，解得： 3 m．2C3、C4 求法相同，以C3为例：m，0），又A（1，1）、B（5，3）；还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线AC1与AB 互相垂直，k AC1 k AB 1，可得：k AC1 2，又直线AC1过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，33所以与x 轴交点坐标为3,0 ，即C1坐标为3,0 ．22 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~【小结】几何法：（1）“两线一圆”作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A、B、C 坐标；（2）表示线段AB、AC、BC；（3）分类讨论① AB2+AC2=BC2、② AB2+BC2=AC2、③ AC2+BC2=AB2；（4）代入列方程，求解．如果问题变为等腰直角三角形存在性， 则同样可采取上述方法， 只不过三垂直得到的不是相 似，而是全等．三垂直构造等腰直角三角形】 中考真题（删减）】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 模型呈现】如图，在 Rt △ABC ，∠ACB=90°，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 AD ，过点 D 作DE ⊥AC 于点 E ，可以推理得到△ ABC ≌△ DAE ，进而得到 AC=DE ，BC=AE ． 我们把这个数学模型成为 “K 型 ”． 推理过程如下：【模型迁移】二次函数 y ax 2 bx 2的图像交 x 轴于点 A （ -1,0）， B （ 4,0）两点，交 y 轴于点 C ．动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作MN x 轴交直线 BC 于点 N ，交抛物线于点 D ，连接 AC ，设运动的时间为 t 秒． （1）求二次函数 y ax 2 bx 2 的表达式；（2）在直线 MN 上存在一点 P ，当 PBC 是以 BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时 点 D 的坐标．E A C分析】1 2 3 1）yx x 2 ； 222）本题直角顶点 P 并不确定，以 BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为 P 点，再 过点P 作水平线，得三垂直全等．设 HP=a ，PQ=b ，则 BQ=a ， CH=b ，故 D 点坐标为（ 1,3 ）思路 2：等腰直角的一半还是等腰直角．如图，取BC 中点 M 点，以BM 为一直角边作等腰直角三角形， 则第三个顶点即为 P 点．根 据 B 点和 M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为 1 和 2 ，故 P 点坐标易求．由图可知：b aa b 42 ，解得：a1 b3同理可求此时解得： m 1 12 ， m 2 1 2 ， m3 1 6 ， m4 1 6 （舍）如下图，对应 P 点坐标分别为 1 2, 11 2, 1 、 1 6,1中考真题】12如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x 2bx c 与 x 轴交于 A 、B 两点，点 B （3,0），25经过点 A 的直线 AC 与抛物线的另一交点为 C （4, ），与 y 轴交点为 D ，点 P 是直线 AC 下2 方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动， 当 OPQ 是以OP 为直角边的等腰直角三角形时， 请直接写出符合条件的点 P 的坐标．分析】2）①当∠ POQ 为直角时，考虑 Q 点在对称轴上，故过点 Q 向 y 轴作垂线，垂线段长为 垂线，长度必为 1，故 P 的纵坐标为 ±1．如下图，不难求出 P 点坐标．13设 P 点坐标为 m,1 m 2 m 3 ，22可得： 1 m 2 m 3 1．2212 3； xx2 21) y1，可知过点 P 向 x 轴作②当∠ OPQ 为直角时，如图构造△ OMP ≌△ PNQ ，可得： PM=QN ． 设 P 点坐标为 m,21m 2 m 32 ，1，若 1m 2 m 3 m 1 ，解得： m 1 5 ， m 25 （舍）．22若 1m 2 m 3 m 1，解得： m 1 2 5， m 2 2 5（舍） 22对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点， 构造出三垂直后， 表示出一组对应边， 根据相等关系列方程求解即可．则PM 01 2 3 mm2212 m 23， QN= m 21， 如下图，对应 P 点坐标分别为 5,1 5中考真题】如图，抛物线y ax2 bx 2交x轴于点A( 3,0)和点B(1,0)，交 y轴于点C． (1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点 D的坐标为( 1,0) ，点 P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．( 3)点 M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使MNO 为等腰直角三角形，且MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．x备用图分析】2 2 41) y x x 2 ；332) 连接AC，将四边形面积拆为△ APC 和△ADC 面积，考虑△ ADC 面积为定值，故只需△APC 面积最大即可，铅垂法可解；过点N 作NE⊥x 轴交x 轴于E 点，如图1，过点M 向NE 作垂线交EN 延长线于易证△OEN≌△ NFM ，可得：NE=FM．22 m3当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM ．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．3)F 点，设N 点坐标为m, 24 m3，则NE22m3 ，FM m 1 ，22m34m 2=m31，解得：m17 731) m27 737 73（图4）4对应N 点坐标分别为3 734734m 2=31，解得：m373(图2)、m41 73（图3）4 对应N 点坐标分别为7343 7343 734一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似．而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等．对称轴上寻找点】（中考真题）如图，已知抛物线y ax2 bx c（a 0）的对称轴为直线x 1 ，且抛物线与x 轴交于 A、B两点，与 y轴交于C点，其中A（1,0），C （0,3）．（1）若直线y mx n 经过 B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x 1上找一点 M ，使点 M 到点 A的距离与到点C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；（3）设点 P为抛物线的对称轴x 1上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P坐标．分析】1）直线BC：y x3抛物线：y x2 2x3；2）将军饮马问题，考虑到M 点在对称轴上，且点 A 关于对称轴的对称点为点B ，故MA+MC=MB+MC，∴当B、M、C 三点共线时，M到A和C的距离之后最小，此时M 点坐标为（-1，2）；3）两圆一线作点P：yx以 P 1 为例，构造△ PNB ∽△ BMC ，考虑到 BM =MC =3，易求 P 2 坐标为（ 1,4）．P 3、 P 4求法类似，下求 P 3：已知 PN=1， PM=2，设 CN=a ，BM=b ， 1a，即 ab=2，由图可知： b-a=3， b2∴BN=PN=2，故 P 1 点坐标为（ -1， -2）． xx舍），对应 x故可解： 类似可求P 3坐标为1,3217．2由相似得：2 抛物线 y ax 2 2x c 与 x 轴交于 A( 1,0) ，B (3,0)两点，与 y 轴交于点 C ，点 D 是该抛物线的顶点．1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式；2）请在 y 轴上找一点 M ，使 BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标；3）试探究：在拋物线上是否存在点 P ，使以点 A ， P ， C 为顶点， AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线上寻找点】中考真题） 如图，在平面直角坐标系中，分析】1）抛物线：y x2 2x 3 ，直线AC：y=3x+3；2）看图，M 点坐标为（0,3）与C 点重合了．3）考虑到AC 为直角边，有如下两种情况，故分别过A、C 作AC 的垂线，与抛物线交点即为所求P 点，xP：x先求过A 点所作垂线得到的点设P 点坐标为 m, m22m3，则PM=m+1，AM= 0 m22m2m3，易证△ PMA∽△ ANC，且AN =3，m 1 m2 2m 3 ∴ ，解得：31CN=1，m110，3m21（舍），故第1个P点坐标为130, 193再求过点C 所作垂线得到的点PM 3m2m 2m故第2 个P 点坐标为综上所述，P 点坐标为3 2 m2m，CN=m，m17，m2（舍）37,203,910137, 20或3939P：3，解得：1m22m动点还可能在⋯⋯】中考真题)如图，抛物线y ax2 bx 2(a 0)与x轴交于A( 3,0) ，B(1,0)两点，与 y轴交于点C ，直线 y x 与该抛物线交于 E ， F 两点．1)求抛物线的解析式．2) P 是直线 EF 下方抛物线上的一个动点，作 PH EF 于点 H ，求 PH 的最大值．3) 以点C 为圆心，1 为半径作圆，e C 上是否存在点 M ，使得BCM 是以CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出 M 点坐标；若不存在，说明理由．分析】CM 为直角边，故点C 可能为直角顶点，点M 也可能为直角顶点．①当 BCM 为直角时，如图：1)22x32；2) 过点P 作x 轴的垂线交EF 于点Q，所谓PH 最大，即PQ 最大，易解．3)M 1 ：不难求得 CF=1，BF=2，故 M 1 坐标为同理可求 M 2 坐标为【总结】 对于大部分直角三角形存在性问题， 构造三垂直全等或相似基本上可解决问题， 牢 记构造步骤：（ 1）过直角顶点作水平或竖直线；（ 2）过另外两端点向其作垂线．∴ EM 1 : EC 1: 2，又 CM 1 1， 可得： EM 155，EC525 5BOCM 44M 3 ：不难发现 CM=1，BC= 5 ，∴ BM 2，即△ MEC ∽△ BFM ，且相似比为 1：2， 设 EC=a ， EM=b ，则 FM=2a ， BF=2b ， 2a 由图可知： 2a2b22，解得：13 54 5故点M 3 的坐标为至于 M 4坐标，显然 1, 2．综上所述， M 点坐标为或 255, 2或 1, 2 ．如图： yBO放大C②当∠ BMC 为直角时，y。
第27章(3)周长、面积倍分问题(至2011中考)
一、周长、面积倍分问题1. (08年漳州第26题)如图，二次函数y=ax2－5ax＋4a(a≠0)的图象与x轴交于Ａ、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D，连结BD．(1)求A、Ｂ两点的坐标；(2)若AD⊥BC，垂足为P，求二次函数的表达式；(3)在(2)的条件下，若直线x=m把△ABD的面积分为1∶2的两部分，求m的值．2.（2011•青海）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求抛物线的解析式．（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标．3.（2009•龙岩）如图，抛物线nmxxy++=221与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q，问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.14.在直角坐标系中，抛物线cbxxy++=2经过点（0，10）和点（4，2）.（1）求这条抛物线的解析式.（2）如图，在边长一定的矩形ABCD中，CD=1，点C在y轴右侧沿抛物线cbxxy++=2滑动，在滑动过程中CD∥x轴，AB在CD的下方.当点D在y轴上时，AB落在x轴上.①求边BC的长.②当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标. 5.（2008•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD。
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1
一、直角三角形的存在问题
1. （2011•济南）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x 2
+bx+c 经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，
AQ=CP ，连接PQ ，设CP=m ，△CPQ 的面积为S ． ①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值；
②当S 最大时，在抛物线y=﹣x 2+bx+c 的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．
2. 如图，四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）。
点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动。
其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。
过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ 。
求： （1） 点 （填M 或N ）能到达终点；
（2） 求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 和取值范
围，当t 为何值时，S 的值最大；
（1） 是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，
若不存在，说明理由。
3. （2010•铜仁地区）如图所示，矩形OABC 位于平面直角坐标系中，AB=2，OA=3，点P 是OA 上的任意一点，PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合． （1）设OP=x ，OE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并求x 为何值时，y 的最大值； （2）当PD ⊥OA 时，求经过E 、P 、B 三点的抛物线的解析式；
（3）请探究：在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点M ，使得△EPM 为直角三角形？若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．
4. （2011•潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，
AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2
+bx+c 经过A ，B
两点，抛物线的顶点为
x
2
D ．
（1）求b ，c 的值；
（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴
的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下：
①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积； ②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．
5. （2011•徐州）如图，已知二次函数y=x 2
+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （1，﹣2）． （1）求此函数的关系式；
（2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A ，C ，B ，D ．若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得△PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F 的坐标及△PEF 的面积；若不存在，请说明理由．
6. （2009•防城港）如图，在平面直角坐标系中，直线()4
63
y x =-
-与x 轴、y 轴分别相交于A 、D 两点，点B 在y 轴上，现将△AOB 沿AB 翻折，使点Ｏ刚好落在直线AD 上的点C 处． （1）求BD 的长．
（2）设点N 是线段AD 上的一个动点（与点A 、D 不重合），12NBD NOA S S S S ==△△，，当点N 运动到什么位置时，S 1与S 2的积的值最大，求出此时点N 的坐标． （3）在y 轴上是否存在点M ，使△MAC 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件
的点M 的坐标；若不存在，说明理由．
7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A （1，0）、
2
12
y x b x c =
-++
3
B （5，0）两点．
（1） 求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2） 设抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，将∠DCB 绕点C 按顺时针方向旋转，
角的两边CD 和CB 与x 轴分别交于点P 、Q ，设旋转角为α（）．
① 当α等于多少度时，△CPQ 是等腰三角形； ② 设BP=t ，AQ=s 求s 与t 之间的函数关系式．
8. （2009•湛江）已知矩形纸片OABC 的长OA=４，宽OC=３，以OA 所在的直线为x 轴，以OC 所在的直线为y 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系。
点P 是OA 边上的动点（与点O 、A 不重合），现将△OPC 沿PC 翻折得到△PEC ，再在AB 边上选取适当的点D ，将△PAD 沿PD 翻折，得到△PFD ，使得直线PE 、PF 重合． (1)若点Ｅ落在BC 边上，如图①，求过P 、C 、D 三点的抛物线的解析式；
(2)若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP=x ，AD=y 当x 为何值时，y
取得最大值？
(3)在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△PDQ 是以PD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由。
9. （2009•营口）如图，正方形ABCO 的边长为5，以O 为原点建立平面直角坐标系，点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，把正方形ABCO 绕点O 顺时针旋转α后得到正方形A 1B 1C 1O(α＜45º)，B 1C 1交y 轴于点D ，且D 为B 1C 1的
中点，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 过点A 1、B 1、C 1． (1)求tan α的值； (2)求点A 1的坐标，并直接写出．．．．点B 1、点C 1的坐标； (3)求抛物线的解析式及其对称轴； (4)在抛物线的对称轴．．．上是否存在点P ，使△PB 1C 1为直角三角形？若存在，直接．．写出．．所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
090α<
≤图①
图②
4
10. （2011•西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（﹣1，0）．如图所示，B 点在抛物线y=x 2
+x ﹣2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为﹣3． （1）求证：△BDC ≌△COA ；
（2）求BC 所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
11. （2011•沈阳）如图，已知抛物线y=x 2
+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．
（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；
（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．
①当线段PQ=AB 时，求tan ∠CED 的值；
②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．
12.（2011•朝阳）平面直角坐标中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O，其顶
点坐标为（3，﹣）；Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（，0），且BC=5，AC=3（如图（1））．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时Rt△ABC 停止移动．D（0，4）为y轴上一点，设点B的横坐标为m，△DAB的面积为s．
①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，s与m之间的函数关系
式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图（1）、图（2）中画出探求）；
②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形？若存
在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
13.（2010•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（﹣
1，0），（5，0），（0，2）．
（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；
①求S与t的函数关系式；
②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？
（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由．
14.（2010•达州）如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，
O．
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l 上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
5。