轴承_转子系统模态参数时域识别的研究

(11)
以上推导中, 均假定系统的自由响应中含有 n 阶复模态, 但实际上复模态阶数很难预知,
且为了给测量噪声以出口, 必须增加噪声模态, 因此, 实际上 n 取多大为好很难确定, 这就是所
谓定阶的困难。由矩阵[A ] 的特点可见, 其特征值与特征向量只决定于参数{b}, 因此, 下面提
出的逐步扩阶递推算法即是根据低阶的参数{b} 去递推求解扩阶后的参数{～b}。
-
[Z
]
为
K
× 2n 矩阵。
[…] Z-
(19)
由式 (10) , 有
-
--
{X 1} = [ Y ]{b}
(20)
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y ( t0+ 2nT )
, ] = [ y y (t0+ (2n+ 1) T )
( t0+ (2n+ 2) T )
Y
Z]
(12)
于是, 式 (11) 变为
～
～
～
～
{ b} = ( [ Y ]T [ Y ]) - 1 [ Y ]T {X 1}
(13)
即 Y T Y Y T Z Z T Y Z T Z
第2期
段吉安等: 轴承2转子系统模态参数时域识别的研究
·197·
由式 (8) 有
{X }1 m ×1 = [ Y ]m ×2n {b}2n×1
(10)
其中 {X 1} 为[X ] 的第 1 列, {b} = {b1, b2, …, b2n}T
当m > 2n 时, 可以得到{b} 的最小二乘解:
{b} = ( [ Y ]T [ Y ]) - 1 [ Y ]T {X 1}
(22)
则可由式 (21) 得到
-
{b} = [W ]{b} + [W ] [V ]{Η}
(23)
其中 , [W ] = [ I ] -
[V ] ( [ I ] +
-
[Z
] [V
]) -
1
[
-
Z
];
[V
]
=
([Y
]T
[Y
]) -
1
[
-
Z
]T。
由式 (23) 即可由增加虚拟测点前的参数{b}推算出增加虚拟测点后的参数{-b}。
虚拟测点使得m > 2n, 如果在扩阶递推过程中, 需要增加虚拟测点, 可以用如下方法由增加虚
拟测点前的参数{b} 推算出增加虚拟测点后的参数{-b}。
设增加 K
个虚拟测点后, {X
1} 变为{X-
1},
[Y
]
变为
[
-
Y
],
即
Y
-
{X 1} =
{X
T 1
ΗT
}T ;
[
-
Y
]
=
其中,
Η为 K
维向量;
第16卷 第2期 Ξ1997年 3月
机械科学与技术 M ECHAN ICAL SC IEN CE AND T ECHNOLO GY
V o l. 16 N o. 2 M ar 1997
轴承2转子系统模态参数时域识别的研究
段吉安 虞 烈 谢友柏 赵荣珍
(西安交通大学润滑理论及轴承研究所 西安 710049)
·198·
机械科学与技术
第16卷
则由式 (20) 有
-
{b} =
([Y ]T [Y ] +
-
[Z
]T
ห้องสมุดไป่ตู้
[
-
Z
]) -
1 ([Y
]T {X
1}
+
-
[Z
]T
{Η})
(21)
运用矩阵求逆反演公式:
(A + B C ) - 1 = A - 1 - A - 1B ( I + CA - 1B ) - 1CA - 1
3 实验结果分析 为了检验上述逐步扩阶STD 方法的识别效果, 本文在图1所示双跨转子实验台上进行了模态参
数识别实验。图中, 1为增速箱; 2为轴承(1) ; 3为台架; 4为转子; 5为轴承(2) ; 6为轴承(3)。
图1
该实验台弹性支撑在水泥基础上, 全长2940mm。其转子部件由两根分别安装有1个质量 盘和2个质量盘的柔性转子组成, 其跨距分别为891. 5mm 和1237. 5mm , 转子间通过刚性联轴 节联接, 质量盘采用非对称布置。转子部件由3个宽径比分别为1. 0, 0. 8, 1. 0, 直径均为50mm 的圆轴承支撑。
具有以下形式:
0 0 0 0 … 0 h1
1 0 0 0 … 0 h2
0 1 0 0 … 0 h3
H = 0 0 1 0 … 0 h4
(5)
…
…
…
…
因此, 可以得到
0 0 0 0 … 1 h2n
[X ]m ×2n {h }2n×1 = {y 2n }m ×1
(6)
其中 , {y 2n} 为矩阵[ Y ] 的第 2n 列, {h } = {h 1, h2, …, h 2n}T。
[ Y ]m ×2n = [ 5 ]m ×2nd iag (a i) [ + ]2n×2n
(3)
其中 a i = eΚiT 。
由式 (2) 及 (3) 可得
[X ]m ×2n [H ]2n×2n = [ Y ]m ×2n
(4)
其中 , [H ] = [ + ]- 1d iag (a i) [ + ], 由于矩阵[ Y ] 与[X ] 之间存在着关系 y ij = x i, j+ 1, 因此, [H ]
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找到了合适的阶数。
定义目标函数:
J (b) = ({X 1} - [ Y ]{b}) T ({X 1} - [ Y ]{b})
(17)
于是, 可以得到收敛准则:
J (b) < Ε
(18)
其中 Ε是预先设定的精度。
在以上推导中, 假定测点 m > 2n, 实际情况下往往m < 2n, 此时, 可以预先增加足够多的
b1 1 0 0 … 0
b2 0 1 0 … 0
b3 0 0 1 … 0
[A ] = b4 0 0 0 … 0
(9)
…
……
b2n- 1 0 0 0 … 1 b2n 0 0 0 … 0
可见[A ]T 仍然是上豪森柏格矩阵。
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段吉安
摘 要 轴承2转子系统模态参数时域识别对于回转机械的状态监测与故障诊断 具有重要意义。然而, 一般时域识别方法通常存在对系统定阶的困难, 因此本 文提出一种逐步扩阶的 STD 方法, 并在双跨转子实验台上进行了模态参数 识别实验, 结果表明, 该方法较好地解决了对系统定阶的困难, 可以取得良好 的识别结果。
B1 =
B2
YT Z T {X 1}
(14)
通过矩阵运算, 可以得到如下递推公式:
{B 1} = {b} - [R ] [ Z ]T ({X 1} - [ Y ]{b})
(15)
{B 2} = [Q ] [ Z ]T ({X 1} - [ Y ]{b})
(16)
其中 , [R ] = [P ] [S ]T [Q ]; [Q ] = ( [ Z ]T [ Z ] - [S ] [ P ] [S ]T ) - 1;
态, 又有噪声模态, 这可用模态置信因子进行鉴别。
2 逐步扩阶的 STD 方法 为了便于逐步扩阶的递推计算, 先对 STD 方法做些变换, 由式 (4) 变形可得
[X ]m ×2n = [ Y ]m ×2n [A ]2n×2n
(8)
其中 , [A ] = [H ]- 1, 即[A ] = [ + ]- 1d iag (1 a i) [ + ], 于是[A ] 具有以下形式:
1 STD 方法的基本原理
对于自由度为 n 的粘性阻尼线性动力学系统, 其自由响应可用模态参数表示为
式中 , [ 5 ] = [ Υ1, Υ2, …, Υn
{X } (t) m ×1 = [ 5 ]m ×2n {+ } (t) 2n×1 Υ#1 , Υ#2 , …, Υn# ]; {A (t) } = {eΚ1t, eΚ2t, …, eΚnt
由于复模态的特点,
对系统每扩大
1
阶将增加两个参数
～
b
2n
+
～
1, b 2n+
2,
记{～b }
=
～
{b1,
～
b2,
…,
～
b 2n
～
～
b2n+ 1, b 2n+ 2}T =
{B
T 1
B
T 2
}T。与之相应,
扩阶后矩阵[
Y
]
变为
～
[Y
],
即
～
[Y ] =
… [ , , , y y (t0+ T )
( t0+ 2T )
关键词 轴承2转子系统 模态参数 参数识别 中图号 TH 113. 21