存在性问题(一)
教学中存在的问题及对策
教学中存在的问题及对策目前在新课程教学中发现，教师的教育观念、教学方式以及学生的学习方式都发生了可喜的变化，但是随着新课程实践的深入，一些深层次的问题也随之出现。
一、存在的问题问题一：情境创设不当，缺少针对性数学教学中，选择恰当的数学素材，创设一个适合教学和儿童发展需要的情境，是非常重要的环节。
据不完全统计，80％以上的课都是从生活中或创设情景引入，其中有很多精彩的案例，但有些也有牵强之感。
部分教师过于注重教学的情境化，为了创设情境可谓是“冥思苦想”。
好像数学课脱离了情境，就脱离了儿童的生活，就不是新课程理念下的数学课。
事实说明，有些教师辛辛苦苦创设的情境，由于诸多原因，情境创设往往“变味”、“走调”，缺少针对性，失去了应有的价值。
问题二：合作形式滥用，缺少实质性。
合作学习是新课标所倡导的学习方式。
合作学习是学生的一种需要，一种发自内心的合作欲望，是确实有合作必要的选择，而不是教师认为什么时候合作就什么时候合作。
有的教师一提出问题，马上组织学生合作讨论，有的学生还不知道干什么，因此看似“热热闹闹”，但结果却是“蜻蜓点水”；有的课合作次数过多，反而削弱了师生间信息的交流与反馈，使教学目标无法在40分钟内完成；有的合作学习，教师为急于完成预设的活动，在学生意犹未尽时就终止合作，使合作成了"中看不中用"的花架子。
问题三：教学方式呆板，缺少启发性有的数学课堂教学把传统的"满堂灌"变成"满堂问"。
“知不知”、“是不是”、“对不对”、“怎么样”、“好不好”、“还有吗？”……之类的毫无启发性的问题充斥课堂，一方面把整体性的教学内容肢解得支离破碎，从而大大降低了知识的智力价值；另一方面把对话变为问答，课堂上一问一答，形式呆板，表面上师生、生生在互动，实质上是用提问的方式去“灌”。
学生很少提出自己的问题，思维仍在同一水平上重复，师生、生生没有真正动起来。
抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)
抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)抛物线中的存在性问题（顶点的存在性问题）抛物线是数学中常见的曲线之一，其方程一般形式为 y = ax^2 + bx + c。
在抛物线的研究中，存在一个重要的问题，即顶点的存在性问题。
问题描述顶点是抛物线中最高或最低的点，也是曲线的转折点。
通过确定顶点的位置，我们可以得到关于抛物线的许多重要性质和参数。
然而，并不是所有的抛物线都具有顶点，因此存在着顶点的存在性问题。
抛物线方程的参数对顶点的影响在讨论顶点的存在性之前，我们首先需要了解抛物线方程中的参数对顶点的影响。
1. 参数 a：决定了抛物线的开口方向。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 参数 b：决定了抛物线在 x 轴上的位置。
当 b > 0 时，抛物线向左平移；当 b < 0 时，抛物线向右平移。
3. 参数 c：决定了抛物线在 y 轴上的位置。
抛物线与 y 轴相交的点就是 c。
顶点的存在性问题对于一般形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，顶点的存在性由参数 a 的正负决定。
- 当 a > 0 时，抛物线开口向上，顶点最低点存在。
- 当 a < 0 时，抛物线开口向下，顶点最高点存在。
- 当 a = 0 时，抛物线退化为直线，没有顶点。
因此，只有当 a 不等于零时，抛物线才会有顶点存在。
实例分析考虑以下两个抛物线方程：1. 抛物线方程 y = 2x^2 + 3x + 12. 抛物线方程 y = -x^2 + 4x - 2对于第一个方程，参数 a = 2，开口向上，因此存在一个最低点作为顶点。
而对于第二个方程，参数 a = -1，开口向下，因此存在一个最高点作为顶点。
结论顶点的存在性问题是在研究抛物线时需要考虑的一个重要因素。
通过分析抛物线方程中参数 a 的正负，我们可以确定抛物线是否具有顶点。
只有当参数 a 不等于零时，抛物线才会有顶点的存在。
专题22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】(人教版)(原卷版)
专题22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】【人教版】【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】 (1)【题型2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 (3)【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 (5)【题型4 二次函数中平行四边形的存在性问题】 (7)【题型5 二次函数中矩形的存在性问题】 (9)【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】 (11)【题型7 二次函数中正方形的存在性问题】 (13)【题型8 二次函数中角度问题的存在性问题】 (15)【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】【例1】（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG 的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【变式1-1】（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−√36x2+2√33x+2√3与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC．（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．【变式1-2】（2022秋•日喀则市月考）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，M为抛物线的顶点．（1）求M点的坐标；（2）求△MBC的面积；（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-3】（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠P AB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】【例2】（2022•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B （4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移32确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【变式2-1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN 与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG 是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2-2】（2022秋•永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴正半轴，x轴正x2+3x+k交y 半轴上两动点，OA＝2k，OB＝2k+3，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线y=−34轴于点D，P为顶点，PM⊥x轴于点M．（1）求OD，PM的长（结果均用含k的代数式表示）．（2）当PM＝BM时，求该抛物线的表达式．（3）在点A在整个运动过程中，若存在△ADP是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值．【变式2-3】（2022•杭州校级自主招生）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴上，且AC＝BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）求A点坐标并求抛物线的解析式；（3）若点P在x轴下方且在抛物线对称轴上的动点，是否存在△P AB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【例3】（2022•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C （0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与【变式3-1】（2022•碑林区校级三模）已知抛物线C1：y=14y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求抛物线C1的表达式和点D的坐标；（2）将抛物线C1沿x轴平移m（m＞0）个单位长度，所得新的抛物线记作C2，C2的顶点为D′，与抛物线C1交于点E，在平移过程中，是否存在△DED′是等腰直角三角形？如果存在，请求出满足条件的抛物线C2的表达式，并写出平移过程；如果不存在，请说明理由．【变式3-2】（2022•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y 轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接P A，PF，AF．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-3】（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型4 二次函数中平行四边形的存在性问题】【例4】（2022•垦利区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，点D的坐标是；（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；【变式4-2】（2022•福山区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2022•青羊区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【题型5 二次函数中矩形的存在性问题】【例5】（2022•齐齐哈尔三模）综合与实践如图，二次函数y＝﹣x2+c的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，2），过点A、C的直线交二次函数的图象于点D．（1）求二次函数和直线AC的函数表达式；（2）连接DB，则△DAB的面积为6；（3）在y轴上确定点Q，使得∠AQB＝135°，点Q的坐标为；（4）点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N 为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-1】（2022•博山区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，x﹣4．且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y=12（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2√5个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-2】（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒√2个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．【变式5-3】（2022•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC 于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】【例6】（2022•烟台一模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-1】（2022•邵阳县模拟）如图，直线l：y＝﹣3x﹣6与x轴、y轴分别相交于点A、C；经过点A、x2+bx+c与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称轴与x轴相交于点E．C的抛物线C：y=12（1）求抛物线C的对称轴．（2）将直线l向右平移得到直线l1．①如图①，直线l1与抛物线C的对称轴DE相交于点P，要使PB+PC的值最小，求直线l1的解析式．②如图②，直线l1与直线BC相交于点F，直线l1上是否存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-2】（2022•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（4，1）两点，与y轴的交点为C点．（1）求抛物线的表达式；（2）求四边形OABC的面积；（3）设抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线l，点D与点B关于直线l对称，在线段BC上是否存在一点E，使四边形ADCE是菱形，如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式6-3】（2022•山西模拟）综合与探究如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．（1）求二次函数的表达式．EF，求此时点P的坐标．（2）当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段PF=12（3）试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型7 二次函数中正方形的存在性问题】【例7】（2022•铁锋区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且OA＝20C，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接F A，FB．（1）求抛物线解析式；（2）当点F与抛物线的顶点重合时，△ABF的面积为；（3）求四边形F AOB面积的最大值及此时点F的坐标．（4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【变式7-1】（2022•陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），)两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．B(1，−94（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．【变式7-2】（2022秋•南宁期中）如图，抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0），点P是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线上第一象限除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标；（3）若M、N为抛物线上两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为D、E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【变式7-3】（2022•南充）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【题型8 二次函数中角度问题的存在性问题】【例8】（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．（1）求抛物线解析式；（2）连接BE，求△BCE的面积；（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．，0），B（3，【变式8-1】（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（−127）两点，与y轴交于点C．2（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式8-2】（2022•运城二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于点A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线PE∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角△PDF．（1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；（2）设点P的横坐标为m（0＜m＜3），在点P运动的过程中，当等腰直角△PDF的面积为9时，请求出m的值；（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使∠ACO+∠BCM＝∠ABC，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）【变式8-3】（2022•罗湖区校级一模）如图，已知抛物线y=−13两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数-相似三角形存在性问题(一)-含答案
似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
y C
A O
B x
（1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当△OBE 与△ABC 相似时，求点 Q 的坐标．
y
y
A O
B x
C
D
图1
A O
C
B x
E Q
D
图2
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【分析】
（1）抛物线： y = x2 − 2x − 3；
（2）思路：考虑到△ABC 和△BOE 有一组公共角，公共角必是对应角．
根据线段长度可知∠ABQ 与∠ABC 的两边并不成比例，故（-8，-7）舍掉．
情况二：若∠ABQ=∠BAC，
过点 B 作 AC 平行线，与抛物线交点即为 Q 点．
易得直线 BQ 解析式： y = 3 x − 9 ， 42
联立方程：
3 4
x
−
9 2
=
−1 8
x2
+
1 4
x
+
3 ，解得：
x1
=
−10
，
x2
的坐标．
y B
A
C
O
x
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【分析】 （1） y = 1 x2 − 2x +1 ；
3 （2） tan ABC = 1 ；
2 （3）思路：平行得相等角，构造两边成比例
基层工作存在的问题和原因
基层工作存在的问题和原因基层工作是对社会健康发展和人民生活幸福的重要保障。
然而，随着社会的快速发展和变化，基层工作也存在着一系列的问题，这些问题不仅影响了基层工作的质量和效率，也对社会发展产生着负面的影响。
本文将分析基层工作存在的问题及其原因，并提出解决问题的一些建议。
一、基层工作存在的问题1. 基层工作力量不足。
目前，基层工作力量相对稀缺，大部分基层机构的工作人员素质不高，并且缺乏足够的工作技能和经验，这影响了基层工作的开展和完善。
2. 基层工作机构的设置不合理。
当前基层工作机构侧重于数量的增加而不是质量的提高，一些机构设置存在与实际需要不符的情况。
这使基层工作机构的配备不合理，影响了基层工作效率和质量。
3. 基层工作缺乏有效的监督和评估体系。
目前，基层工作缺乏完备的监督和评估机制。
一些基层机构的工作量和成果并不能与政府和社会的期望相匹配，这导致基层工作的问题得不到及时的发现和解决。
4. 基层工作的薪酬待遇不合理。
基层工作人员的薪酬过低，工作收入不足以应对生活成本，这反过来限制了基层工作人员的工作积极性，这是非常不利于基层工作的推进和整体发展。
5. 基层工作的业务开展水平不高。
基层工作人员少有机会接受专业技能培训和学习，基层工作业务执行能力相对较弱，影响到基层工作的责任落实和结果。
6. 基层工作的沟通和合作机制不畅通。
由于基层机构间缺乏高效沟通和充分合作的机制，一些重要的决策和工作任务无法得到迅速有效的落实，限制了社会治理和基层工作的整体发展进步。
二、基层工作存在问题的原因1. 基层工作管理机制不完善。
当前基层工作管理粗放和单一，导致工作不能有效地落实，人员难以发挥其应有的作用和功能，并且人员培训和技能提高机制缺失。
这些问题导致基层工作缺乏足够的动力和希望，使得基层工作缺乏创新和发展。
2. 基层工作的经费投入不足。
政府对基层工作经费的投入比较有限，这限制了基层工作的整体质量和效率的提高。
由于基层工作的难度和复杂性不断增加，如果没有足够的经费支持，基层工作将难以有足够的支撑和保障。
一年级学生存在的主要问题及措施
一年级学生存在的主要问题及措施一、一年级学生存在的主要问题1.适应性问题：一年级是学生们进入正式学校教育的阶段，他们需要适应新的学习环境、老师、同学，以及学校的规章制度。
对于一些孩子来说，这种新环境会带来一定的焦虑和困难。
2.学习兴趣问题：一年级学生的学习任务相对比较轻松，但因为学习内容的新颖性和学校规定的学习时间，有些学生可能会对学习产生厌倦感，缺乏学习兴趣。
3.专注力不足问题：一年级学生大多是初次接触正规学习，他们的专注力和注意力还不够成熟，容易分心、听不进课堂讲解。
4.社交问题：一年级学生由于进入新的学校环境，需要与新的同学建立友谊关系，在这个过程中，会遇到适应不良、交流能力不足等问题。
5.自理能力问题：一年级学生的自理能力和生活习惯还不够成熟，需要改进，包括自我保护意识低、自我卫生能力低等问题。
6.健康问题：一年级学生由幼儿园转入学校，很多学生面对新环境、新朋友的适应压力会导致生活规律混乱、睡眠不足、产生健康问题。
二、针对一年级学生存在的主要问题的解决措施1.适应性问题解决措施：-学校组织适应新生入学仪式，让新生们快速融入学校的大家庭。
-班主任在开学初及时了解新生的情况，采取有效措施帮助学生尽快适应校园生活。
2.学习兴趣问题解决措施：-通过吸引学生兴趣的课程设置，让学生主动参与学习。
-利用游戏、故事等趣味性教学方法，激发学生学习的兴趣。
3.专注力不足问题解决措施：-引导学生多参加体育运动，提高身体素质，以增强学生的专注力。
-在课堂教学中采用多种方式，如多媒体教学、小组合作学习等，吸引学生的注意力。
4.社交问题解决措施：-学校开展社交能力培训活动，指导学生如何与同学相处，培养学生的交际技能。
-开展各种集体活动，促进学生之间的交流和合作。
5.自理能力问题解决措施：-学校教育学生养成良好的卫生习惯，提高学生的自理能力。
-开展自理能力培养课程，培养学生的自我保护意识和自理能力。
6.健康问题解决措施：-学校通过组织集体活动、课间操等方式，引导学生保持良好的生活规律，保障睡眠质量。
二次函数的存在性问题分类汇编(解析版)
二次函数存在性问题分类汇编目录【练习2】【练习3】2022·湖南张家界·中考真题题型九角的存在性问题之转化为相似或全等三角形2023厦门一中模拟2023-2024学年福建省福州屏东中学月考2023-2024学年湖北天门市九年级月考2024届福州市晋安区统考深圳福田区模拟题型十角的存在性问题之转化为等腰三角形问题2023年湖北省武汉市外国语学校模拟武汉·中考真题题型十一角的存在性问题之化为正切值或斜率【例11.1】【例11.2】题型十二角的存在性问题之与特殊角结合【例12.1】【例12.2】2023·浙江湖州·统考一模题型十三角的存在性问题之2倍角半角2024届·武汉市武珞路中学期中2022年长沙市雅礼教育集团中考一模锦州中考真题江苏盐城中考真题题型十四角的存在性问题之动点是角的顶点——构造圆【例14】内蒙赤峰·中考：一题四法山东日照中考真题甘肃兰州·中考真题四川资阳·中考真题满分*技巧解题策略梳理一、等腰三角形的存在性问题：几何法与代数法讲解【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB =AC ； （2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA =BC ； （3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA =CB ．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．34C C 、同理可求，下求5C ．C 21+23,0()C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．二、直角三角形存在性问题：几何法与代数法讲解【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；故C 5坐标为（196,0）解得：x =1363-x ()2+22=x 2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3，BH =2（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，12C C 、2C 【构造三垂直】34C C 、求法相同，以3C 为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股 还剩下1C 待求，不妨来求下1C ：故C 2坐标为（132，0）代入得：BN =32AM BN=MBNC 2由A 、B 坐标得AM =2，BM =4，NC 2=3△易证AMB ∽△BNC 2故a =1或3设MC 3=a ，C 3N =b △易证AMC 3∽△C3NB ，由A 、B 坐标得AM =1，BN =3，AM C 3N=MC 3N B代入得：1b =a3，即ab =3，又a +b =4，故C 3坐标为（2,0），C 4坐标为（4,0）（1）表示点：设1C 坐标为（m ，0），又A （1，1）、B （5，3）； （2）表示线段：AB =1AC =，1BC（3）分类讨论：当1BAC ∠为直角时，22211AB AC BC +=； （4）代入得方程：()()2222201153m m +−+=−+，解得：32m =． 三、等腰直角三角形在性问题方法突破【三垂直构造等腰直角三角形】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt △ABC ，∠ACB =90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90°得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC =DE ，BC =AE ． 我们把这个数学模型成为“K 型”． 推理过程如下：【模型迁移】【兰州中考（删减）】二次函数22y ax bx =++的图像交x 轴于点A （-1,0），B （4,0）两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x ⊥轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；（2）在直线MN 上存在一点P ，当PBC ∆是以BPC ∠为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标．【分析】（1）213222y x x =−++； （2）本题直角顶点P 并不确定，以BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P 点，再过点P 作水平线，得三垂直全等．设HP=a ，PQ=b ，则BQ=a ，CH=b ， 由图可知：42a b b a +=−=，解得：13a b = = ．故D 点坐标为（1,3）．同理可求此时D 点坐标为（3,2）．思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．如图，取BC 中点M 点，以BM 为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P 点．根据B 点和M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P 点坐标易求． P 点横坐标同D 点，故可求得D 点坐标．四、平行四边形存在性问题方法突破考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： （1）对边平行且相等可转化为：A B D CA B D Cx x x x y y y y −=− −=− ，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．（2）对角线互相平分转化为：2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++ = ++ = ，可以理解为AC 的中点也是BD 的中点．【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D BA B D C AC D B x x x x x x x x y y y y y y y y −=−+=+ →−=−+=+ ， 2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++ = ++ = →A C B D A C D x x x x y y y y +=++=+ ． 当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？ 反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： （1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．y D -y Cx D -x Cy A -y Bx A -x BABC DDCBAD（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．【题型分类】平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题． 1．三定一动已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得： （1）BC 为对角线时，531352m n +=+ +=+ ，可得()17,6D ；（2）AC 为对角线时，135253mn +=+ +=+ ，解得()21,4D −；（3）AB 为对角线时，153235mn +=+ +=+，解得()33,0D ．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可． 比如：1=D B C A +−，2=D A C B +−，3D A B C =+−．（此处特指点的横纵坐标相加减）2．两定两动已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）． （1）当AB 为对角线时，130120m n +=+ +=+ ，解得43m n = = ，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n +=+ +=+ ，解得21m n = =− ，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n +=+ +=+ ，解得21m n =− = ，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； （2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式： A C B DAC BD x x x x y y y y +=+ +=+ ，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．五、矩形的存在性问题方法突破矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形； （3）有三个角为直角的四边形．【题型分析】矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：A CB D AC BD x x x x y y y y+=++=+ （AC 为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个． 题型如下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点； （2）1个定点+3个半动点．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在平面中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】点C 满足以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C 有14,03C、214,03C、()32,0C 、()43,0C 在点C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D 的坐标．【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D 点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此．思路2：先平行，再矩形当AC 为对角线时，A 、B 、C 、D 满足以下3个等式，则为矩形：A CB D AC BD x x x x y y y y+=++=+其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在坐标系中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．【分析】设C点坐标为（a，0），D点坐标为（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考虑平行四边形存在性：（1）AB为对角线时，14120a bc+=++=+，满足此条件的C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，另外AB=CD综合以上可解：323abc===或233abc===．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC为对角线时，14102a bc+=++=+，另外AC=BD可解得：143531abc===−．故C14,03、D5,13−．（3）AD为对角线时，14120b ac+=++=+，另外AD=BC综合以上可解得：431331abc===．故C14,03、D13,13．【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算的故事．【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3）， （2）表示线段：5AC =，5BC =（3）分类讨论：根据55AC BC=，（4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06． 【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．六、菱形的存在性问题方法突破作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形： （1）有一组邻边相等的平行四边形菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边都相等的四边形是菱形．坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD 是菱形，则其4个点坐标需满足：A CB D AC BD x x x x y y y y+=++=+考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等． 即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式， 故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型： （1）2个定点+1个半动点+1个全动点 （2）1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种： 思路1：先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A +C =B +D ”（AC 、BD 为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形在构成菱形的43个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．1．看个例子：如图，在坐标系中，A 点坐标（1,1），B 点坐标为（5,4），点C 在x 轴上，点D 在平面中，求D 点坐标，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形．思路1：先平四，再菱形设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（p ，q ）．（1）当AB 为对角线时，由题意得：（AB 和CD 互相平分及AC =BC ） ()()()()222215*********m p q m m +=++=+ −+−=−+− ，解得：398985m p q===（2）当AC 为对角线时，由题意得：（AC 和BD 互相平分及BA =BC ） ()()()()2222151041514504m p qm +=+ +=+ −+−=−+−，解得：223m p q = =− =− 或843m p q == =− （3）当AD 为对角线时，由题意得：()()()()2222151401514110p mq m +=+ +=+ −+−=−+−，解得：153m p q =+=+ =或153m p q =− =− =思路2：先等腰，再菱形先求点C ，点C 满足由A 、B 、C 构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C ，再确定D 点． （1）当AB =AC 时，C点坐标为()1+，对应D点坐标为()5+； C点坐标为()1−，对应D点坐标为()5−． （2）当BA =BC 时，C 点坐标为（8，0），对应D 点坐标为（4，-3）； C 点坐标为（2，0），对应D 点坐标为（-2，-3）． （3）AC =BC 时，C 点坐标为39,08，D 点坐标为9,58 ．以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．七、正方形的存在性问题方法突破作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：（1）2个定点+2个全动点；（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;甚至可以有：（3）4个半动点．不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！常用处理方法：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．如图，一共6个这样的点C 使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．至于具体求点坐标，以1C 为例，构造△AMB ≌△1C NA ，即可求得1C 坐标．至于像5C 、6C 这两个点的坐标，不难发现，5C 是3AC 或1BC 的中点，6C 是2BC 或4AC 的中点．题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．八、相似三角形存在性问题【模型解读】在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形； 判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．九、角的存在性问题方法突破除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；（3）等腰三角形：等边对等角；（4）全等（相似）三角形：对应角相等；（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．圆周角定理：∠1=∠221三角函数：若tan ∠1=tan ∠2，则∠1=∠212全等三角形：∠1=∠212等腰三角形：∠1=∠212角平分线：∠1=∠212平行：∠1=∠3，∠2=∠3321核心*题型题型一 等腰直角三角形存在性问题 本溪中考1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点B （3,0），经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为5(4,)2C ，与y 轴交点为D ，点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动，当OPQ ∆是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P 的坐标．【分析】 （1）21322yx x =−−； （2）①当∠POQ 为直角时，考虑Q 点在对称轴上，故过点Q 向y 轴作垂线，垂线段长为1，可知过点P 向x 轴作垂线，长度必为1，故P 的纵坐标为±1．如下图，不难求出P 点坐标． 设P 点坐标为213,22m m m −− ，可得：213122m m −−=．解得：11m =+21m =−31m =+，41m =−． 如下图，对应P点坐标分别为()11+−、()11−、()1+．②当∠OPQ 为直角时，如图构造△OMP ≌△PNQ ，可得：PM=QN ． 设P 点坐标为213,22m m m −− ，则22131302222PM m m m m =−−−=−++ ，QN=1m −， ∴213122m m m −++=−，若213122m m m −++=−，解得：1m =，2m =（舍）． 若213122m m m −++=−+，解得：12m =−，22m =+． 如下图，对应P点坐标分别为、(2−−．对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！ 也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可．辽宁阜新中考2．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点(3,0)A −和点(1,0)B ，交y 轴于点C ． （1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D 的坐标为(1,0)−，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使MNO ∆为等腰直角三角形，且MNO ∠为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）224233y x x =−−+； （2）连接AC ，将四边形面积拆为△APC 和△ADC 面积，考虑△ADC 面积为定值，故只需△APC 面积最大即可，铅垂法可解；（3）过点N 作NE ⊥x 轴交x 轴于E 点，如图1，过点M 向NE 作垂线交EN 延长线于F 点， 易证△OEN ≌△NFM ，可得：NE=FM ．设N 点坐标为224,233m m m−−+ ，则224233NE m m =−−+，1FM m =+， ∴2242133m m m −−+=+2242=133m m m −−++，解得：1m =（图1），2m =（图4） 对应N点坐标分别为、； 2242=133m m m −−+−−，解得：3m =2）、4m =（图3） 对应N点坐标分别为、．备用图当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM ．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．2023·湖南娄底·统考中考真题(2)当点P 的坐标为或()4,5−时，PEF 为等腰直角三角形 【分析】（1）将将()1,0A −、()5,0B 代入抛物线2y x bx c =++即可求解； （2）由题意可知抛物线的对称轴为4221x −=−=×对，则04F x x =−，分两种情况：当点P 在对称轴左侧时，即002x <<时，当点P 在对称轴右侧时，即025x <<时，分别进行讨论求解即可．【详解】（1）解：将()1,0A −、()5,0B 代入抛物线2y x bx c =++中， 可得：102550b c b c −+= ++=，解得：45b c =− =− ，即：4b =−，5c =−；（2）存在，当点P 的坐标为或()4,5−时，PEF 为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知2005PE x x =−+， 由题意可知抛物线的对称轴为直线4221x −=−=×对， ∵PF x ∥轴，∴90EPF ∠=°，022Fx x x +==对，则04F x x =−， 当点P 在对称轴左侧时，即002x <<时，0042F PF x x x =−=−，当PE PF =时，PEF 为等腰直角三角形，即：2000254x x x −+=−，整理得：200740x x −+=，解得：0x =02x >，不符合题意，舍去）此时200045y x x =−−=P ； 当点P 在对称轴右侧时，即025x <<时，0024F PF x x x =−=−，当PE PF =时，PEF 为等腰直角三角形，即：2000452x x x −+=−，整理得：200340x x −−=， 解得：04x =（012x =−<，不符合题意，舍去） 此时：2044455y =−×−=−，即点()4,5P −；综上所述，当点P 的坐标为或()4,5−时，PEF 为等腰直角三角形 2023·四川广元·中考真题4．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx ++的图象与x 轴交于点()2,0A −，()4,0B ，与【答案】(1)2142y x x =−++，(2)()1,1F 或()1,5F −或()1,3F − 【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）先求得抛物线的对称轴为直线1x =，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D ，证明DFG GBF ≌，设()F 1,m ，则1DE m =+，3DG DF FG GB FG m =+=+=+，进而得出E 点的坐标，代入抛物线解析式，求得m 的值，同理可求得当点F 在x 轴下方时的坐标；当E 点与A 点重合时，求得另一个解，进而即可求解；【详解】（1）解：将点()2,0A −，()4,0B ，代入24y ax bx ++得424016440a b a b −+= ++= ，解得：121a b=−= ，∴抛物线解析式为2142y x x =−++； （2）∵点()2,0A −，()4,0B ， ∴抛物线的对称轴为直线l ：2412x−+=， 如图所示，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D∵以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°， ∴EF BF =，∵90DFE BFG GBF ∠=°−∠=∠， ∴DFE GBF ≌，∴,GF DEGB FD ==， 设()F 1,m ，则DE m =，3DG DF FG GB FG m =+=+=+ ∴()1,3E m m ++，∵E 点在抛物线2142y x x =−++上 ∴()()2131142m m m +=−++++ 解得：3m =−（舍去）或1m =,∴()1,1F ，如图所示，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D∵以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，∴EF BF =，∵90DFE BFG GBF ∠=°−∠=∠， ∴DFE GBF ≌， ∴,GF DEGB FD ==， 设()F 1,m ，则DE m =，3DG DF FG GB FG m =+=+=− ∴()1,3E m m −−，∵E 点在抛物线2142y x x =−++上 ∴()()2131142m m m −=−−+−+ 解得：3m =（舍去）或5m =−， ∴()1,5F −，当E 点与A 点重合时，如图所示，∵6AB =，ABF △是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，∴2GF AB 1==3 此时()0,3F −，综上所述，()1,1F 或()1,5F −或()1,3F −题型二 等腰三角存在性问题 山东泰安中考5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点(4,0)A −、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E −，连接AE ． （1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）233642y x x =−−+； （2）可用铅垂法，当点D 坐标为()2,6−时，△ADE 面积最大，最大值为14； （3）这个问题只涉及到A 、E 两点及直线x=-1（对称轴）①当AE=AP 时，以A 为圆心，AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． ∵AE=，∴1AP ，又AH=3，∴1PH =，故(1P −、(21,P−． ②当EA=EP 时，以E 点为圆心，EA 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． 过点E 作EM 垂直对称轴于M 点，则EM=1，34P M P M ==，故(31,2P −−、(41,2P −−−．③当PA=PE 时，作AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P 点． 设()51,P m −，()()2225140P A m =−++−，()()2225=102P E m −−++∴()22921m m +=++，解得：m=1．故()51,1P −．综上所述，P 点坐标为(1P−、(21,P−、(31,2P−−+、(41,2P −−−、()51,1P −．【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．甘肃白银中考6．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A −，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ． （1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；【分析】（1）211433y x x =−++； （2）①当CA=CQ 时，∵CA=5，∴CQ=5，考虑到CB 与y 轴夹角为45°，故过点Q 作y 轴的垂线，垂足记为H ，则CH QH ==，故Q点坐标为−． ②当AC=AQ 时，考虑直线BC 解析式为y=-x+4，可设Q 点坐标为（m ，-m+4），AQ =，5=，解得：m=1或0（舍）， 故Q 点坐标为（1，3）．③当QA=QC 时，作AC 的垂直平分线，显然与线段BC 无交点，故不存在．综上所述，Q点坐标为−或（1，3）．江苏盐城中考（删减）7．如图所示，二次函数2(1)2y k x =−+的图像与一次函数2y kx k =−+的图像交于A 、B 两点，点B 在点A的右侧，直线AB 分别与x 、y 轴交于C 、D 两点，其中0k <． （1）求A 、B 两点的横坐标；（2）若OAB ∆是以OA 为腰的等腰三角形，求k 的值．【分析】（1）A 、B 两点横坐标分别为1、2； （2）求k 的值等价于求B 点坐标，B 点横坐标始终为2，故点B 可以看成是直线x=2上的一个动点， 满足△OAB 是以OA 为腰的等腰三角形， 又A 点坐标为（1，2），故OA = ①当OA=OB时，即OB =，。
(一)初中数学二次函数存在性问题总复习试题
初中数学二次函数存在性问题总复习试题（1）姓名：学号：评价：1．（10广东深圳）如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD 在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．(1）求抛物线的解析式；(2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△P AD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．2． (10北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = -41-m x 2+45mx +m 2-3m +与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。
(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。
延长PE 到点D 。
使得ED =PE 。
以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一 点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止 运动，P 点也同时停止运动)。
过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。
延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。
若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。
3．（10贵州遵义）如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐 标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两 点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴， 交AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上， 问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在， 求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（10湖北黄冈）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）.(1）求字母a ，b ，c 的值；(2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；(3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由.初中数学二次函数存在性问题总复习试题（2）姓名：学号：评价：1错误！未指定书签。
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四边形之存在性问题（一）
课前预习
1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A (2，-2)，B (4，0)，
若C 是坐标平面内一点，且以A ，B ，C ，O 为顶点的四边形是平行四边形，则点C 的坐标为_______________________．
2. 已知M (1，1)是AB 的中点，若点A 的坐标为(2t t -+，
)，则点B 的坐标为______________________．
知识点睛
1. 存在性问题处理框架： ①研究背景图形．
②根据不变特征，确定分类标准．
③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． ④结果验证．
2. 平行四边形存在性问题特征举例：
（1）分析定点、动点．
（2）①三定一动，连接定点出现三条定线段．定线段分别作
为平行四边形的_____________，利用____________确定 点坐标．
②两定两动，连接定线段，若定线段作为平行四边形的 ________，则通过____________确定点的坐标；若定线 段作为平行四边形的__________，则定线段绕_________ 旋转，利用________________确定点的坐标．
（3）结合图形进行验证．
B A y x O 更多精彩码上见
精讲精练
1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知矩形OABC 的两个顶
点A ，B 的坐标分别为A (23-，0)，B (23-，2)．将矩形OABC 沿直线AC 折叠，点O 落在坐标平面上的点D 处，则在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，O ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
y x
O
D
C
B
A
y x
O
D
C
B
A
2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3
34
y x =-+与x 轴、y
轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，2-)．若点D 在直线
AB 上运动，点E 在直线AC 上运动，当以O ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形时，求点D 的坐标．
y x
C
B A
O
y x
C
B A
O
3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是直角梯形，
BC ∥OA ，∠OCB =90°，AB =5，BC =1，直线1
12
y x =-+经
过点A ，且与y 轴交于点D ．若M 是直线AD 上的一个动点，则在x 轴上是否存在点N ，使得以O ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
y x D C B
A
O
y x D C B
A
O
4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，顶
点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，顶点B 的坐标为(3，4)，点E 在OC 边上，点F 的坐标为(2，4)．将矩形OABC 沿直线EF 折叠，点C 落在AB 边上的点G 处，若点N 在x 轴上，则直线EF 上是否存在点M ，使得以M ，N ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
G
F
O
A
B C
E x
y
G
F
O
A
B C
E x
y
5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与24y x =-+交
于点A ，两直线与x 轴分别交于点B 和点C ，D 是直线AC 上的一个动点．直线AB 上是否存在点E ，使得以E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
x
C
B O
A
y
x
C
B O
A
【参考答案】
课前预习
1．(-2，-2)，(6，-2)或(2，2)．
2．(2-t，t)．
知识点睛
①对角线，平移
②边，平移；对角线，中点，中点坐标
精讲精练
1．存在，点P的坐标为(33
-，3)，(3，3)或(3
-，3-)．
2．点D的坐标为(12
5
，
6
5
)或(
28
5
，
6
5
-)．
3．存在，点N的坐标为(3-，0)，(7，0)或(3，0)．
4．存在，点M的坐标为(943
3
-
，3)，(
343
3
-
，3
-)
或(343
3
+
，83
-)．
5．存在，点E的坐标为(
1
3
-，
2
3
)或(
7
3
，
10
3
)．。