中考试题相似三角形有关的综合问题2课后练习一及详解.docx

学科：数学
专题：相似三角形有关的综合问题2
主讲教师：黄炜北京四中数学教师
金题精讲
题一：
题面：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-2经过（2，1）和（6，-5）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，点P是在直线x=4右侧的抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若以A、P、M为顶点的三角形与△OCB相似，求点P 的坐标．
满分冲刺
题一：
题面：如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．（1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
题二：
题面：如图，已知抛物线y=1
4
x2﹣
1
4
(b+1)x+
4
b
(b是实数且b＞2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位
于点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C．
（1）求点B的坐标，点C的坐标(用含b的代数式表示)；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
课后练习详解
金题精讲
题一：
答案：（1）抛物线的解析式为y =12-x 2+52x -2；（2）点P 的坐标为（8，-14）或（5，-2）． 详解：（1）把（2，1）和（6，-5）两点坐标代入得4a +2b −2=1，36a +6b −2=−5， 解这个方程组，得 a =12-，b =52，
故抛物线的解析式为y =12-x 2+52x -2；
（2）令y =0，得12-x 2+52x -2=0，
解这个方程，得x 1=1，x 2=4．
∴A （1，0），B （4，0）．
令x =0，得y = -2．
∴C （0，-2）．
设P （m ，215222m m -+-），
∵∠COB =∠AMP =90°， ①当
OC OB MA MP =时，△OCB ∽△MAP ． ∴224151222
m m m =--+， 解这个方程，得m 1=8，m 2=1（舍）．
∴点P 的坐标为（8，-14）， ②当
OC OB MP MA =时，△OCB ∽△MP A ， ∴242151222
m m m =--+， 解这个方程，得m 1=5，m 2=1（舍）．
∴点P 的坐标为（5，-2）．
∴综上，点P 的坐标为（8，-14）或（5，-2）．
满分冲刺
题一：
答案：（1）△BEF ∽△CEG ；（2）24． 详解：（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥D G ，
所以∠B =∠GCE ，∠G =∠BFE ，
所以△BEF ∽△CEG ．
（2）△BEF 与△CEG 的周长之和为定值．过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ， 因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．
所以FH =CG ，FG =CH ，
因此，△BEF 与△CEG 的周长之和等于BC +CH +BH ，
∵∠B =∠B ，∠AMB =∠BHC =90°
∴△ABM ∽△CBH ，
∴AB AM BC CH
. 由BC =10，AB =5，AM =4，
可得CH =8，
∴BH =6，
所以BC +CH +BH =24．
题二：
答案：（1）（b ，0），（0，4b ）；（2）P 的坐标为（
，）；（3）存在点Q （1，2+）或Q （1，4），使
得△QCO ，△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似．
详解：（1）令y =0，即y =14x 2﹣14(b +1)x +4
b =0， 解得：x =1或b ，
∵b 是实数且b ＞2，点A 位于点B 的左侧，
∴点B 的坐标为（b ，0），
令x =0，
解得：y =4
b ，
∴点C 的坐标为（0，4b ），
故答案为：（b ，0），（0，4b ）；
（2）存在，
假设存在这样的点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形．
设点P 的坐标为（x ，y ），连接OP ．
则S 四边形POCB =S △PCO +S △POB =12•4b •x +12•b •y =2b ，
∴x +4y =16．
过P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，
∴∠PEO =∠EOD =∠ODP =90°．
∴四边形PEOD 是矩形．
∴∠EPO =90°．
∴∠EPC =∠DPB ．
∴△PEC ≌△PDB ，∴PE =PD ，即x =y ．
由416x y x y =⎧⎨+=⎩解得165165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由△PEC ≌△PDB 得EC =DB ，即
﹣4b =b ﹣， 解得b =＞2符合题意．
∴P 的坐标为（
，）； （3）假设存在这样的点Q ，使得△QCO ，△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似．
∵∠QAB =∠AOQ +∠AQO ，
∴∠QAB ＞∠AOQ ，∠QAB ＞∠AQO ．
∴要使△QOA 与△QAB 相似，只能∠QAO =∠BAQ =90°，即QA ⊥x 轴．
∵b ＞2，
∴AB ＞OA ，
∴∠QOA ＞∠ABQ ．
∴只能∠AOQ =∠AQB ．此时∠OQB =90°，
由QA ⊥x 轴知QA ∥y 轴．
∴∠COQ =∠OQA ．
∴要使△QOA 与△OQC 相似，只能∠QCO =90°或∠OQC =90°．
（I ）当∠OCQ =90°时，△CQO ≌△QOA ．
∴AQ =CO =4b ．
由AQ 2=OA •AB 得：(4
b
)2=b ﹣1． 解得：b =8±
4． ∵b ＞2，
∴b =8+4．
∴点Q 的坐标是（1，2+）．
（II ）当∠OQC =90°时，△QCO ∽△QOA ，
∴CO OQ =QO
AQ ，即OQ 2=OC •AQ ． 又OQ 2=OA •OB ，
∴OC •AQ =OA •OB ．即4
b •AQ =1×
b ． 解得：AQ =4，此时b =17＞2符合题意，
∴点Q 的坐标是（1，4）．
∴综上可知，存在点Q （1，2+）或Q （1，4），使得△QCO ，△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似．
初中数学试卷
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