相似三角形中考复习
相似三角形中考复习
相似三角形中考复习相似三角形是初中数学中的重要内容，在中考中占据着相当重要的地位。
为了帮助同学们更好地复习相似三角形，提高解题能力，我们来一起系统地梳理一下这部分知识。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
在实际解题中，我们要根据题目所给的条件，灵活选择合适的判定方法。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
这些性质在求解边长、角度、面积等问题时经常用到。
四、常见的相似三角形模型1、“A”字型在平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
2、“8”字型与“A”字型类似，只不过图形的形状像数字“8”。
3、母子相似型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、一线三等角型在一条直线上有三个相等的角，往往可以通过角的相等关系证明三角形相似。
五、相似三角形的应用相似三角形在实际生活中有广泛的应用，比如测量建筑物的高度、河流的宽度等。
例如，要测量一座塔的高度，我们可以在塔的旁边立一根已知长度的标杆，然后分别测量出标杆的影长和塔的影长。
由于在同一时刻，太阳光线是平行的，所以标杆和塔与地面形成的三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，我们就可以求出塔的高度。
六、中考真题解析例 1：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边上的点，且DE∥BC，如果 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4，那么 AC 的长是多少？解：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
所以 AD：AB ＝ AE：AC因为 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4所以 2：3 ＝ 4：AC解得 AC ＝ 6例 2：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ 90°，BD⊥AC 于点 D，若AB ＝ 3，BC ＝ 4，求 BD 的长。
人教版中考数学知识点复习资料-相似三角形
第17讲相似三角形一、知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1.比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a cb d=，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性质：a cb d=⇔a bb±＝c dd±；（b、d≠0）(3)等比性质：a cb d=＝…＝mn＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k.（b、d、···、n≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.例：若35ab=，则a bb+=85.3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则AB DEBC EF=.利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于53. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则OA OBOD OC=.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.4.黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝=5－12≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm．知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A＝∠D，AC ABDF DE=，则△ABC∽△DEF.(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.FEDCBAl5l4l3l2l1ODCBAEDCBAFEDCBAFEDCBAFEDCBA6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.。
知识必备08 相似三角形(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备08相似三角形（公式、定理、结论图表）考点一、比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的性质（1）基本性质：①a：b=c：d ad=bc②a：b=b：c.（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.典例1：（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 1.2 倍．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．【点评】本题主要考查比例，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．典例2：（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（ ）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），经检验，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故选：B．【点评】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．考点二、相似图形1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等. 相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. (2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. (3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点诠释】结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.6.相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.典例3：（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 5 ．【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB ＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD＝DC＝a，则AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案为：5．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．典例4：（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值为，故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．典例5：（2022•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE 的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．典例6:（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立；（2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到AB的长，从而可以得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB；（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，∴∠B＝30°，∵AB是⊙O的直径，AD＝3，∴∠ADB＝90°，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查相似三角形的判定、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．典例7：（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．【分析】解法一：先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB 的长，最后由线段的差可得结论．解法二：过点C作CM⊥OD于C，证明△EGF∽△MDC可得结论．【解答】解：解法一：∵AD∥EG，∴∠ADO＝∠EGF，∵∠AOD＝∠EFG＝90°，∴△AOD∽△EFG，∴＝，即＝，∴AO＝15，同理得△BOC∽△AOD，∴＝，即＝，∴BO＝12，∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）；解法二：如图，过点C作CM⊥OD于C，交AD于M，∵△EGF∽△MDC，∴＝，即＝，∴CM＝3，即AB＝CM＝3（米），答：旗杆的高AB是3米．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．典例8：（2022•资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．（1）求证：△ABM∽△EBF；（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明△ABM∽△EBF；（2）过点E作EN⊥AD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NE＝AM＝4，AN＝ME，再由勾股定理求出BM＝3，从而得到ME＝AN＝2，进而得到DN＝8，再由勾股定理，即可求解；（3）延长FE交DC的延长线于点G．根据，可得，再证得△ABM∽△ECG，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是BC边上的高，∴∠AMB＝∠EFB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：过点E作EN⊥AD于点N，如图：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC边上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴NE＝AM＝4，AN＝ME，在Rt△ABM中，，又∵E为BC的中点，∴，∴ME＝AN＝2，∴DN＝8，在Rt△DNE中，；（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：∵sin B＝＝，∴，∴EF＝x，∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△ABM∽△ECG，∴，∴，∴GC＝（10﹣x），∴DG＝DC+GC＝5+（10﹣x），∴y＝EF•DG＝×x•[5+（10﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y有最大值为，答：y＝﹣x2+x，当x＝时，y有最大值为．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质是解题的关键．考点三、位似图形1.位似图形的定义： 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类： (1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外. (2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【要点诠释】位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.4.作位似图形的步骤 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接截取点.【要点诠释】 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.典例9：（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）；【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了轴对称变换．。
初中数学中考复习——二次函数相似三角形
AD AB
1 3
,AE=2cm，
1.如图，△ABC中，AB＞AC，D、E两点 分别在边AC，AB上，且DE与BC 不平行． 请填上一个你认为合适的条件，使
△ADE∽△ABC：∠1=∠B 或∠2=∠C .
2.如图，下列条件不能判断△ADB∽△ABC 的是（ D ）
A.∠ABD=∠ACB B.AB2=AD﹒AC C.∠ADB=∠ABC D. AD DB
ABE =CBE
Q BC CD ,CDE CBE ABE 又Q AEB CED ,VAEB : VCED
(2)解 :Q BC 4, CD 4
QVቤተ መጻሕፍቲ ባይዱEB : VCED
CE CD 即CE 4
AE AB
12
CE 2
5.如图，D是△ABC 的AB边上一点，连结
DC，且 AC2 AB • ，AD△ADC与△ACB
（一）平行线分线段成比例定理
1.两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段 成比例 .
2.平行于三角形一边的直线截其他两边
（或两边的延长线），所得的对应线段 _成__比__例__.
如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于
点G，且AG=2，GD=1，DF=5，求
BC CE
的值=_3_:_5_____.
Rt△DCE的面积为S3，则S1 = S2+S3（用
“＞”、“=”、“＜”填空）；
(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一
对进行证明．
解:(2)图中的三对相似三角形 △BCD∽△CFB △BCD∽△DEC △DEC∽△CFB
证明：∵四边形ABCD、BFED是矩形 ∴∠F=∠BCD,BD∥EF
∴∠DBC=∠BCF ∴△BCD∽△CFB
中考复习相似三角形的性质与判定
中考复习相似三角形的性质与判定相似三角形是中考数学中的重要内容之一。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
掌握相似三角形的性质与判定方法对于解题有着重要的作用。
本文将详细介绍中考复习相似三角形的性质与判定方法，帮助同学们更好地应对考试。
一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角分别相等，则这两个三角形是相似的。
即如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。
2. 对应边成比例性质：如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
即如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。
3. 角平分线定理：如果一条直线分别平分两个三角形的一个内角，并且与该角的两条边相交，则这两个三角形是相似的。
4. 比例线段定理：在一个三角形中，如果一条直线把两边分成相等比例的线段，则这条直线平行于第三边，并且与其他两边成相似比例。
二、相似三角形的判定方法1. 对应角相等判定：当两个三角形的对应角相等时，可以判定这两个三角形是相似的。
2. 三边成比例判定：当两个三角形的三边的比值相等时，可以判定这两个三角形是相似的。
3. 一个角与两边成比例判定：当一个角与另一三角形的两边成比例时，可以判定这两个三角形是相似的。
为了方便判定，通常角与两边的比例用字母表示，例如如果∠A:∠D=AB:DE=AC:DF，可以判定△ABC∽△DEF。
三、相似三角形的应用1. 比较边长：利用相似三角形的性质，可以通过已知三角形的边长比例，求解未知三角形的边长。
2. 测量高度：通过观察两个相似三角形的边长比例，可以测量难以到达的高度，例如房屋或者某一地标的高度。
3. 解决实际问题：相似三角形在实际问题中有着广泛的应用，例如通过测量手机的高度与距离，可以计算出高楼的实际高度。
总结：相似三角形的性质与判定方法是中考数学中的重要知识点，对于解决与比例相关的数学题目有着重要的作用。
中考复习相似三角形---一线三等角型
相似三角形——“一线三等角型”教学目标：1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题.2、经历运用相似三角形知识解决问题的过程，体验图形运动、分类讨论、方程与函数等数学思想.3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣.重点：相似三角形的判定性质及其应用.难点：与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法.教学方法：启发式教学方法，尝试指导教学法.一、知识梳理：（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【例题解析】【例1】如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.【变式1】在边长为4的等边ABC∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF∠=∠，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值； (2) 求证：∠BED=∠DEF.【变式2】在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.【变式3】如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.【例2】在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .【变式1】 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．QC P【变式2】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点（与A ，C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F .(1) 如图1，当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =;(2) 如图2，当m DB AD =，求DF DE 的值.图(2)图(1)F CF C A BB A D E D E【例3】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ① 求证；△ABP ∽△DPC ； ② 求AP 的长．【变式1】如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．C B AD C B A D【变式2】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．【作业】1、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，43=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，连结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么:①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长.。
中考相似三角形复习 资料
相似三角形【教学目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定及直角三角形相似的判定；2、会用相似三角形证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等3、掌握位似图形【基础演练】1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若13ADAB，DE＝4，则BC=（）A．9 B．10C． 11 D．122．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：13. 如图，用放大镜将图形放大，应该属于（）Ａ．相似变换Ｂ．平移变换Ｃ．对称变换Ｄ．旋转变换【考点精讲】考点一：相似三角形的概念【例1】判断题两个相似比为1的相似三角形全等吗？【例2】下列能够相似的一组三角形为( )A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形考点二:相似三角形的判定【例2】如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【变式2】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？考点三：相似三角形的性质【例3】△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【变式3】如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.考点四：相似三角形的应用【例4】如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【变式4】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．考点五：相似三角形的周长与面积【例5】已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA ∥BC ，CD 与AB 相交于E 点，且AE ︰EB=1︰2，EF ∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．考点六：综合探究【例6】如图，AB ∥CD ，∠A=90°，AB=2，AD=5，P 是AD 上一动点(不与A 、D 重合)，PE ⊥BP ，P 为垂足，PE 交DC 于点E ，(1)设AP=x ，DE=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范围；(2)请你探索在点P 运动的过程中，四边形ABED 能否构成矩形？如果能，求出AP 的长；如果不能，请说明理由.【综合演练A 】1、如图，锐角三角形ABC 的高CD 和高BE 相交于O ，则与△DOB 相似的三角形个数是（ ）。
中考总复习 相似三角形
【名师提醒】解相似三角形问题时，要注意相似三角形中 的对应关系，可根据相似三角形对应的字母写对应边，这 样可避免对应关系混乱.
命题点3 相似三角形的实际应用
例（’15兰州24题8分）如图，在一面 与地面垂直的围墙的同侧有一根高10 米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆 CD，它们都与地面垂直，为了测得电 线杆的高度，一个小组的同学进行了 如下测量：某一时刻，在太阳光照射 下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度 为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落 在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH 的长为5米.依据这些数据，该小组的同学计算出了电线 杆的高度. (1)该小组的同学在这里利用的是_____投影的有关知识 进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程.
【解析】∵两个相似三角形的面积比是1:4，∴这两个相 似三角形的相似比是1:2， ∴它们的周长比是1:2.
3. 如图，在 △ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4， 则EC的长为( B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【解析】本题考查平行线分线段成比例定理
AD AE = ， 又∵AD=6， DB=3， DB EC AE=4，∴ 6 = 4 ，解得EC=2. 3 EC
6.某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m， 同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗 杆的高度是____m. 20
【解析】根据题意可得
1.6 = 0.4 ，解得h=20m. h 5
7. 如图， 在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠CAB的角平分线，BE⊥AE，垂足为点E. 求证： △BDE～ △ABE. 证明：∵AD是∠CAB的角平分线， ∴ ∠CAD= ∠BAD ， ∵∠C=90°， ∴∠CAD+∠ADC=90°, ∵ BE⊥AE, ∴∠E=90°, ∴∠DBE+∠BDE=90°, ∵∠ADC= ∠BDE, ∴∠CAD= ∠BAD = ∠DBE ， ∴ △BDE～ △ABE.
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12
E
C
BHale Waihona Puke CBCA
D E
D B C
D
A
B
C
B
C
谢 谢 观 赏
东莞市可园中学——郭星
A
E
H
F
m
B
D P
C
课堂小结
1.相似三角形对应线段的比等于k；
11
相似三角形的性质：
2.相似三角形的周长比等于k ； 3.相似三角形的面积之比等于k2. 1.平行：A型、X型
相似三角形的判定：
2.AA 3.SAS、SSS、HL
课堂小结
2.常用相似判定方法有哪些？有什么样的结构？
A D E B
A
D A
知识回顾
1.相似三角形对应线段的比等于k；
2
相似三角形的性质：
2.相似三角形的周长比等于k ； 3.相似三角形的面积之比等于k2. 1.平行：A型、X型
相似三角形的判定：
2.AA 3.SAS、SSS、HL
典型例题
3
例题1. 在ΔABC 中，D、E分别为AB、AC的中点，SΔABC=4cm2， 则S△ADE= 1 cm2 .
A
E
M
H
B
F
D
G
C
拓展提升
10
7.(2014广东) 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC点D，BC=10cm，AD=8cm，点P 从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、 AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t ＞0). (2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时， 求线段BP的长；
A
相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
D E
S△四边形DEBC=
3
cm2 .
B C
变式练习
4
1. 如 图 ， 在 △ABC 中 ， 点 D 、 E 分 别 是 AB 、 AC 的 中 点 ， 若 10 DO=5，则OC=___________ ．
A
平行：A型、X型
B
D O
E
C
变式练习
2.( 2013 台州)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， 且
5
AE AD 2 ，则 S△ ADE ： S四边形BCED 的值为 AB AC 3
4：5
A D
.
E B C
变式练习
6
3. 如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，∠ ACD= ∠ B ， AC=6，AD=4，求BD的长.
A
D B C
变式练习
7
4. 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ ACB=90° ， CD ⊥ AB ， 求 证 ： AC2=AD∙AB
A
D
B
C
变式练习
8
5.如图， AB为⊙ O的直径， CB=CE，连接BE交 AC于点 D．求 证：BC2=AC•CD
A
O D B C
E
拓展提升
6.(2014 贵州) 如图，矩形 EFGH 内接于△ABC，且边 FG 落在 BC 上，
9
2 若 AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF= EH，求 EH 的长为. 3