中考相似三角形专题复习安徽中考相似压轴题
专题12 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略(原卷版)
专题12难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 (1)【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 (2)【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 (4)【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 (5)【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 (7)【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 (9)【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】1．（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在钝角A出发运动到点B停止，动点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，米/秒的速度同时开始运动，其中点直移动到点A为止．经过多长时间后，3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点0），动点P从点A开始在线段段BA上以每秒2个单位长度的速度向点(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为24 5【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形连接BD，点M，N分别是边BC，终落在BD上，当PBM为直角三角形时，线段3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在动点，过点E作DE⊥为等腰三角形时，当BCF4．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形点P是直线BC上的一个动点．若【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】【变式训练】1．（2023·江苏苏州AE翻折得AFE△连接PF，则PQ2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形△M，连接EM、BM，将BEM为．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形，上的动点，且BEG是AB CD为．4．（2023·江苏南通·统考三模）点C 的坐标为()0,3上一点，且3AQ PQ =【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 一边AB 在直线l 上，P 是直线l 上点A 左侧的一点，24AB PA ==，E 为边AD 上一动点，过点P ，E 的直线与正方形ABCD 的边交于点F ，连接BE BF ，，若设DE x =，BEF △的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．．．2023·山西运城·统考二模）如图中，36B ∠=︒，动点P 速运动至点C 停止．点P 的运动速度为，设点P 的运动时间为t （函数图像如图2所示．当AP 时，BP 的长为（）A ．252+B ．425-C ．4+2．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt ABC △中，过点P 作直线l AB ⊥，交折线ACB 于点Q ．设AP x =A ．．．．2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形ABCD 中，1AB =，动点P 从A 点出发沿和BC 上匀速移动，连接DP 交BC 或BC 的延长线于Q ，记点移动的距离为x ，的函数图像大致是（）A ．B ．C ．D ．4．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线l 是线段AB 的中垂线，l 与AB 相交于点C ，D 是位于直线AB 下方的l 上的一动点（点D 不与点C 重合），连接AD BD ，，过点A 作AE BD ∥，过点B 作BE AE ⊥于点E ，若6AB =，设AD x =，AE y =，则y 关于x 的函数关系用图像可以大致表示为（）．A ．B ．C ．D ．【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()12,8，现有两动点P ，Q ，点P 以每秒3个单位的速度从点O 出发向终点A 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从点A 出发向终点B 运动，连接PC ，PQ ，CQ ．设运动时间为t 秒()0t >．(1)点P 的坐标为______，点Q 的坐标为______（用含t 的代数式表示）；(2)请判断四边形APCQ 的面积是否会随时间t 的变化而变化，并说明理由；(3)若A ，P ，Q 为顶点的三角形与OCP △相似时，请求出t 的值．【变式训练】(1)BM =________；BN =__________．(2)若BMN 与ABC 相似，求t 的值；(3)连接AN CM ，，如图2，若AN CM ⊥BC=，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右（2）如图2，四边形ABCD是矩形，2AB=，4CG CE=，连接DG，BE．判断线段DG与BE，有怎样的数量关系和位置关系，侧作矩形CEFG，且:1:2并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；+的最小值为______．（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG BE【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】【变式训练】【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A 、B 、C 、是同一直线l 上从左到右顺次的点，点P 是直线外一动点，【尝试应用】①若2AB =，1BC =，延长AB 至D ，使CD BC =【拓展提高】②拓展：若AB m =，BC n =，()m n ≠，P 点在长为___________（用含m 、n 的式子表示）．。
第4章相似三角形(压轴题45道)(原卷版)
第4单元相似三角形（压轴题45道）一．选择题（共14小题）1．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（）A．2﹣3B．2﹣2C．5D．32．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN ＝y，则y与x之间的函数图象是（）A．B．C．D．3．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP ；③S △AOD ＝S 四边形OECF ；其中正确结论的个数（ ）A ．1B ．3C ．2D ．04．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE 、AF 于M 、N ，下列结论：①AF ⊥BG ；②；③S 四边形CGNF ＝S △ABN ；④．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 、CE 分别是高和角平分线，已知△BEC 的面积是15，△CDE 的面积为3，则△ABC 的面积为（ ）A ．22.5或20B ．22.5C ．24或20D ．206．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的两点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ．下列结论：①AB 2＝BN •DM ；②AF 平分∠DFE ；③AM •AE ＝AN •AF ；④．其中正确的结论是（ ）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④7．如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（）A．9B．12C．15D．188．如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是（）A．﹣1B．C．1D．9．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（）A．B．C．6D．1010．如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（）A．6B．5C．D．11．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）A．B．C．D．12．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（）A．（2，2），（3，2）B．（2，4），（3，1）C．（2，2），（3，1）D．（3，1），（2，2）13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（）A．2.5B．2.8C．3D．3.214．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．二．填空题（共11小题）15．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点E在AB上且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝．16．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为．17．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接P A，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，连接PQ，则PQ的最小值为．18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为．19．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，M为CD的中点，N为BC的中点，连接AM和DN交于点E，连接BE，作AH⊥BE于点H，延长AH与DN交于点F，连接BF并延长与CD交于点G，则MG的长度为．20．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．21．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）22．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的长为．23．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．24．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．25．把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是．三．解答题（共20小题）26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P、Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动．过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P、Q 同时停止运动、设PQ＝x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，当x＝时，点R恰好在AB边上．（1）填空：点R恰好经过AB边时，S的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．27．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）28．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．（1）证明：DG2＝FG•BG；（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．29．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A （2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO 上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，求点E的坐标；（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30．已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°①求证：MN＝BM+DN；②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．31．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，（1）四边形ABCD为平行四边形；（2）求证：OB2＝OE•OF；（3）连接OD，若∠OBC＝∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．32．如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．求正方形的边长．33．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？34．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B 出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．35．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．（1）求证：＝；（2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．36．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．37．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE＝CF；①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；②若AE＝2，试求AP•AF的值；（2）若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．38．如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8cm，CD＝4cm，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2cm的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒），（1）求证：△BCF∽△CDE；（2）求t的取值范围；（3）连接BE，当t为何值时，∠BEC＝∠BFC？39．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE＝3，BD﹣AD＝2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．40．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE＝45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．41．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．42．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点O在BC上（与B，C不重合），连接AO，F是线段AO上的点（与A，O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连接FE，FC，BE，BF．（1）如图1，若AO⊥BC，求证：BE＝BF；（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF 交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．43．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）如图①，若动点Q从点C出发，在对角线CA上以每秒3cm的速度向A 点匀速移动，同时动点P从点B出发，在BC上以每秒2cm的速度向点C匀速移动，运动时间为t秒（0≤t＜3），t取何值时，四边形ABPQ的面积最小？（2）如图②，若点Q在对角线CA上，CQ＝4cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C停止．设点P运动了t秒，当t为何值时，以Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？44．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．45．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF，（1）若AD2＝BD•DC，①求证：∠BAC＝90°．②AB＝4，DC＝6，求EF．（2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF．。
2024中考数学专题5.7相似三角形压轴训练专题 (全国通用)
考向5.7 相似三角形压轴训练专题例题：（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作CF //AD 交线段AE 于点F ，连接BF ．（1）求证：ABF EAD △≌△；（2）如图2，若9AB =，5CD =，ECF AED ∠=∠，求BE 的长；（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求BE EC的值．（1）证明：//AE CD ，AEB DCE ∴∠=∠；//DE AB ，ABE DEC ∴∠=∠，12∠=∠，ABC BCD ∠=∠ ，ABE AEB ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠，AB AE =∴，DE DC =，//AF CD ，//AD CF ，∴四边形AFCD 是平行四边形AF CD∴=AF DE∴=在ABF 与EAD 中．12AB EA AF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF EAD SAS ∴△≌△（2）ABF EAD △≌△，BF AD ∴=，在AFCD □中，AD CF =，BF CF ∴=，FBC FCB ∴∠=∠，又2FCB ∠=∠ ，21∠=∠，1FBC ∴∠=∠，在EBF △与EAB 中．1EBF BEF AEB ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，EBF EAB ∴△∽△；EBEFEA EB ∴=；9AB = ，9AE ∴=；5CD = ，5AF ∴=；4EF ∴=，49EBEB ∴=，6BE ∴=或6-（舍）；（3）延长BM 、ED 交于点G ．ABE 与DCE 均为等腰三角形，ABC DCE ∠=∠，ABE DCE ∴△∽△，AB AE BE DC DE CE∴==，设1CE =，BE x =，DC DE a ==，则AB AE ax ==，AF CD a ==，(1)EF a x ∴=-，//AB DG ，3G ∴∠=∠；在MAB △与MDG 中，345G MA MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MAB MDG AAS ∴△≌△；DG AB ax ∴==．(1)EG a x ∴=+；//AB EG ，FAB FEG ∴△∽△，FA AB FE EG∴=，(1)(1)a ax a x a x ∴=-+，(1)1x x x -∴=+，2210x x ∴--=，2(1)2x ∴-=，1x ∴=11x ∴=，21x =+，1BE EC∴=一、单选题1．（2018·山东聊城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为（ ）A ．（﹣91255，）B ．（﹣12955，）C ．（﹣161255，）D ．（﹣121655，）2．（2020·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接AE 、DE ，分别交BD 、AC 于点P 、Q ，过点P 作PF ⊥AE 交CB 的延长线于F ，下列结论：①∠AED +∠EAC +∠EDB ＝90°，②AP ＝FP ，③AE ，④若四边形OPEQ 的面积为4，则该正方形ABCD 的面积为36，⑤CE •EF ＝EQ •DE ．其中正确的结论有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3．（2018·广西桂林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，M 、N 、C 三点的坐标分别为（12，1），（3，1），（3，0），点A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB AC ⊥交y 轴于点B ，当点A 从M 运动到N 时，点B 随之运动，设点B 的坐标为（0，b ），则b 的取值范围是（ ）A ．114b -≤≤B ．514b -≤≤C ．9142b -≤≤D ．914b -≤≤二、填空题4．（2017·贵州黔南·中考真题）如图，在ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到A B C ''△，使CB '∥AB ，分别延长AB ，CA '相交于点D ，则线段BD 的长为__．5．（2016·四川资阳·中考真题）如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，CO ⊥AB 于点O ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且AD=CE ，连结DE 交CO 于点P ，给出以下结论：①△DOE 是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE ；③若AC=1，则四边形CEOD 的面积为14；④22222AD BE OP DP PE +-=⋅，其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题6．（2019·广西梧州·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，AF 平分DAC ∠，分别交,DC BC 的延长线于点,E F ；连接DF ，过点A 作AH DF ∕∕，分别交,BD BF 于点,G H ．（1）求DE 的长；（2）求证：1DFC ∠=∠．7．（2012·浙江金华·中考真题）在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．8．（2013·江苏盐城·中考真题）阅读材料：如图①，△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O,连结BF 、CD 、CO ，显然点C 、F 、O 在同一条直线上，可以证明△BOF ≌△COD ，则BF=CD解决问题：（1）将图①中的Rt △DEF 绕点O 旋转得到图②，猜想此时线段BF 与CD 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC 与△DEF 都是等边三角形，AB 、EF 的中点均为O,上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF 与CD 之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC 与△DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为O,且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出BF CD的值（用含α的式子表示出来）．9．（2018·浙江舟山·中考真题）已知，ABC ∆中，B C ∠=∠，P 是BC 边上一点，作CPE BPF ∠=∠，分别交边AC ，AB 于点E ，F .（1）若CPE C ∠=∠（如图1），求证：PE PF AB +=.（2）若CPE C ∠≠∠，过点B 作CBD CPE ∠=∠，交CA （或CA 的延长线）于点D .试猜想：线段PE ，PF 和BD 之间的数量关系，并就CPE C ∠>∠情形（如图2）说明理由.（3）若点F 与A 重合（如图3），27C ∠= ，且PA AE =.①求CPE ∠的度数；②设PB a =，PA b =，AB c =，试证明：22a cb c-=.10．（2015·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB 的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交于点H，连接BD、FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG•HB的值．一、单选题BC＝2，M为1．（2021·广西百色·中考真题）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．2．（2019·辽宁鞍山·中考真题）如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG于点M ，连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△GHF ；③BC CG1；④HOM HOG S S △△＝2，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④3．（2015·广西贵港·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC 于点F ，连接DF ，分析下列五个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF=2AF ；③DF=DC ；④tan ∠⑤S 四边形CDEF =52S △ABF ，其中正确的结论有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题4．（2017·湖北十堰·中考真题）如图，正方形ABCD 中，BE=EF=FC ，CG=2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ．下列结论：①AF ⊥BG ；②BN=NF ；③38MB MG =；④S 四边形CGNF =S 四边形ANGD ．其中正确的结论的序号是_______．5．（2015·四川南充·中考真题）如图，正方形ABCD 边长为1，以AB 为直径作半圆，点P 是CD 中点，BP 与半圆交于点Q ，连结DQ ．给出如下结论：①DQ ＝1；②；③S △PDQ ＝；④cos ∠ADQ=．其中正确结论是_________．（填写序号）三、解答题6．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，有这样一道探究题．如图，已知ABC 中，AB =AC =m ，BC =n ，()0180BAC αα∠=︒<<︒，点P 为平面内不与点A 、C 重合的任意一点，将线段CP 绕点P 顺时针旋转a ，得线段PD ，E 、F 分别是CB 、CD 的中点，设直线AP 与直线EF 相交所成的较小角为β，探究EF AP 的值和β的度数与m 、n 、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：（1）填空：【问题发现】小明研究了60α=︒时，如图1，求出了EF PA =___________，β=___________；小红研究了90α=︒时，如图2，求出了EF PA =___________，β=___________；【类比探究】他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了EF PA ；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：EF PA =__________(用含m 、n 的式子表示)；β=___________ (用含α的式子表示)．（2）求出120α=︒时EF PA的值和β的度数．7．（2021·湖南岳阳·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，点D 为AB 的中点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转()60120αα︒<<︒得到线段ED ，且ED 交线段BC 于点G ，CDE ∠的平分线DM 交BC 于点H ．（1）如图1，若90α=︒，则线段ED 与BD 的数量关系是________，GD CD=________；（2）如图2，在（1）的条件下，过点C 作//CF DE 交DM 于点F ，连接EF ，BE ．①试判断四边形CDEF 的形状，并说明理由；②求证：BE FH =；（3）如图3，若2AC =，()tan 60m α-︒=，过点C 作//CF DE 交DM 于点F ，连接EF ，BE ，请直接写出BE FH的值（用含m 的式子表示）．8．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），连结AD ．（1）如图1，若60C ∠=°，点D 关于直线AB 的对称点为点E ，结AE ，DE ，则BDE ∠=________；（2）若60C ∠=°，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，连结BE ．①在图2中补全图形；②探究CD 与BE 的数量关系，并证明；（3）如图3，若AB AD k BC DE==，且ADE C ∠=∠，试探究BE 、BD 、AC 之间满足的数量关系，并证明．9．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值．10．（2020·四川内江·中考真题）如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），连结BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ，连结QP 交BC 于点E ，QP 延长线与边AD 交于点F ．（1）连结CQ ，求证：AP CQ =；（2）若14AP AC =，求:CE BC 的值；（3）求证：PF EQ =．11．（2021·湖北十堰·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若MD =，求N 点的坐标．1．A【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系，再利用勾股定理得出答案．【详解】过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=±35（负数舍去），则NO=95，NC1=125，故点C的对应点C1的坐标为：（-95，125）．故选A．【点拨】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A1OM∽△OC1N是解题关键．2．B【解析】【分析】①正确:证明∠EOB=∠EOC=45°，再利用三角形的外角的性质即可得出答案；②正确：利用四点共圆证明∠AFP=∠ABP=45°即可；③正确：设BE=EC=a，求出AE，OA即可解决问题；④错误：通过计算正方形ABCD的面积为48；⑤正确：利用相似三角形的性质证明即可.【详解】①正确：如图，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，∴∠BOC=90°，∵BE=EC，∴∠EOB=∠EOC=45°，∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC=∠EAC+∠AEO，∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°，故①正确；②正确：如图，连接AF，∵PF⊥AE，∴∠APF=∠ABF=90°，∴A，P，B，F四点共圆，∴∠AFP=∠ABP＝45°，∴∠PAF=∠PFA＝45°，∴PA=PF，故②正确；③正确：设BE=EC=a，则AE，OA＝OC＝OB＝OD a，∴AE AO AE ，故③正确；④错误：根据对称性可知，OPE OQE ≅△△，∴OEQ S △=12OPEQ S 四边形=2，∵OB =OD ，BE =EC ，∴CD =2OE ，OE ⊥CD ，∴ EQ OE 1==DQ CD 2， OEQ CDQ △△，∴ODQ S =4△， CDQ S =8△，∴CDO S =12△，∴ABCD S =48正方形，故④错误；⑤正确：∵∠EPF =∠DCE =90°，∠PEF =∠DEC ，∴EPF ECD △△，∴EF PE =ED EC，∴EQ =PE ，∴CE•EF =EQ•DE ，故⑤正确；综上所诉一共有4个正确，故选：B ．【点拨】本题主要考查了三角形外角性质、四点共圆问题、全等与相似三角形的综合运用，熟练掌握相关概念与方法是解题关键.3．B【解析】【分析】延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ．证明△PAB ∽△NCA ，得出PB PA NA NC=，设PA=x ，则NA=PN-PA=3-x ，设PB=y ，代入整理得到22393()24y x x x =-=--+，根据二次函数的性质以及12≤x≤3，求出y 的最大与最小值，进而求出b 的取值范围．【详解】解：如图，延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ．在△PAB 与△NCA 中，9090APB CNA PAB NCA CAN ∠∠︒⎧⎨∠∠︒-∠⎩＝＝＝＝，∴△PAB ∽△NCA ，∴PB PA NA NC=，设PA=x ，则NA=PN-PA=3-x ，设PB=y ，∴31y x x =-，∴22393()24y x x x =-=--+，∵-1＜0，12≤x≤3，∴x=32时，y 有最大值94，此时b=1-94=-54，x=3时，y 有最小值0，此时b=1，∴b 的取值范围是-54≤b≤1．故选：B ．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y 与x 之间的函数解析式是解题的关键．4．6.【解析】【详解】试题分析：∵将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A′B′C ，AB ＝2，AC ＝4，∴A′B′＝AB ＝2，AC′＝AC ＝4，∠CA′B′＝∠A.又∵CB′∥AB ，∴∠A′CB′＝∠A. ∴△A′CB′∽△DAC.∴CA A B AD AC'''=，即4284AD AD =⇒=. ∴BD=6.考点：1.旋转的性质；2.平行的性质；3.相似三角形的判定和性质.5．①②③④．【解析】【详解】试题分析：①正确．如图，∵∠ACB=90°，AC=BC ，CO ⊥AB∴AO=OB=OC ，∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°，在△ADO 和△CEO 中，∵OA=OC ，∠A=∠ECO ，AD=CE ，∴△ADO ≌△CEO ，∴DO=OE ，∠AOD=∠COE ，∴∠AOC=∠DOE=90°，∴△DOE 是等腰直角三角形．故①正确．②正确．∵∠DCE+∠DOE=180°，∴D 、C 、E 、O 四点共圆，∴∠CDE=∠COE ，故②正确．③正确．∵AC=BC=1，∴S △ABC =12×1×1=12，S 四边形DCEO =S △DOC +S △CEO =S △CDO +S △ADO =S △AOC =12S △ABC =14，故③正确．④正确．∵D 、C 、E 、O 四点共圆，∴OP•PC=DP•PE ，∴22OP +2DP•PE=22OP +2OP•PC=2OP （OP+PC ）=2OP•OC ，∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°，∠POE=∠COE ，∴△OPE ∽△OEC ，∴OP OE OE OC =，∴OP•OC=2OE ，∴22OP +2DP•PE=22OE =2DE =22CD CE +，∵CD=BE ，CE=AD ，∴22222AD BE OP DP PE +=+⋅，∴22222AD BE OP DP PE +-=⋅．故④正确．考点：勾股定理；四点共圆．6．（1）32=DE ；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由AD CF ∕∕，AF 平分DAC ∠，可得FAC AFC ∠=∠，得出5AC CF ==，可证出ADE FCE ∆∆∽，则AD DE CF CE =，可求出DE 长；（2）由ADG HBG ∆∆∽，可求出DG ，则DE DC DG DB=，可得EG BC ∕∕，则1AHC ∠=∠，根据DF AH ∕∕，可得AHC DFC ∠=∠，结论得证．【详解】（1）解：∵矩形ABCD 中， AD CF ∕∕，∴DAF ACF ∠=∠，∵AF 平分DAC ∠，∴DAF CAF ∠=∠，∴FAC AFC ∠=∠，∴AC CF =，∵4,3AB BC ==，∴5AC ==，∴5CF =，∵AD CF ∕∕，∴ADE FCE ∆∆∽，∴AD DECF CE =，设DE x =，则354xx =-，解得32x =∴32=DE ；（2）∵,AD FH AF DH ∕∕∕∕，∴四边形ADFH 是平行四边形，∴3AD FH ==，∴2,5CH BH ==∵AD BH ∕∕，∴ADG HBG ∆∆∽，∴DGADBG BH =，∴355DGDG =-，∴158DG =，∵32=DE ，∴45DE DCDG DB ==，∴EG BC ∕∕，∴1AHC ∠=∠，又∵DF AH ∕∕，∴AHC DFC ∠=∠，1DFC ∠=∠．【点拨】考核知识点：相似三角形综合运用.证明相似三角形，运用相似三角形性质是关键.7．（1）∠CC 1A 1=90°．（2）S △CBC1=254．（3）最小值为：EP 12．最大值为：EP 1= 7．【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC 1A 1的度数．（2）由旋转的性质可得：△ABC ≌△A 1BC 1，易证得△ABA 1∽△CBC 1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC 1的面积．（3）由①当P 在AC 上运动至垂足点D ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小；②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，即可求得线段EP 1长度的最大值与最小值．【详解】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，∴∠CC 1B=∠C 1CB=45°．∴∠CC 1A 1=∠CC 1B+∠A 1C 1B=45°+45°=90°．（2）∵由旋转的性质可得：△ABC ≌△A 1BC 1，∴BA=BA 1，BC=BC 1，∠ABC=∠A 1BC 1．∴11BA BA BC BC =，∠ABC+∠ABC 1=∠A 1BC 1+∠ABC 1∴∠ABA 1=∠CBC 1．∴△ABA 1∽△CBC 1∴1122ABA CBC S AB 416S CB 525∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=254．（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上．在Rt△BCD中，①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小．最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣2．②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大．最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7．8．（1）根据等腰直角三角形和旋转的性质，由SAS证出△BOF≌△COD，即可得出结论.（2）不成立.根据等边三角形和旋转的性质，证出△BOF∽△COD，即可得出结论.（3）BFtan CD2α=.【解析】【详解】分析：（1）根据等腰直角三角形和旋转的性质，由SAS证出△BOF≌△COD，即可得出结论.（2）根据等边三角形和旋转的性质，证出△BOF∽△COD，即可得出结论.（3）如图，连接CO、DO，仿（2）可证△BOF∽△COD，从而BF BO CD CO=.由点O是AB的中点，可得CO⊥AB，∴BOtan2COα=.∴BFtanCD2α=.解：（1）相等.证明如下：如图，连接CO、DO，∵△ABC是等腰直角三角形，点O是AB的中点，∴BO=CO，CO⊥AB.∴∠BOC=900.同理，FO=DO，∠DOF=900.∴∠BOF=900＋∠COF，∠COD=900＋∠COF.∴∠BOF=∠COD.∴△BOF≌△COD（SAS）.∴BF=CD.（2）不成立.如图，连接CO、DO，∵△ABC 是等边三角形，∴∠CBO=600.∵点O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB ，即∠BOC=900.∴在Rt △BOC 中，CO tan CBO BO ∠==同理，∠DOF=900，DO FO =.∴CO DO BO FO=.又∵∠BOF=900＋∠COF ，∠COD=900＋∠COF.∴∠BOF=∠COD.∴△BOF ∽△COD.∴CD CO BF BO==∴CD =.（3）BF tan CD 2α=.9．（1）证明见解析；（2）猜想：BD PE PF =+，理由见解析；（3）①51CPE ∠= ；②证明见解析.【解析】【详解】【分析】（1）根据平行线的判定，得到//PE AF ，//PF AE ，证明PE AF =.即可证明PE PF AB +=. （2）过点B 作DC 的平行线交EP 的延长线于点G ，证明FBP ∆≌()GBP ASA ∆，得到PF PG =.证明四边形BGED 是平行四边形，即可得到BD EG PG PE PE PF ==+=+.（3）①设CPE BPF x ∠=∠=，27APE PEA C CPE x ∠=∠=∠+∠=+ ，根据三角形的内角和列出方程，求解即可.②延长BA 至M ，使AM AP =，连结MP ,证明 ABP PBM ∆~∆.根据相似三角形的性质得到BP BM AB BP=，即可证明.【解答】（1）∵B C ∠=∠，CPE BPF ∠=∠，CPE C ∠=∠，∴B BPF CPE ∠=∠=∠，BPF C ∠=∠，∴PF BF =，//PE AF ，//PF AE ，∴PE AF =.∴PE PF AF BF AB +=+=.（2）猜想：BD PE PF =+，理由如下：过点B 作DC 的平行线交EP 的延长线于点G ，则ABC C CBG ∠=∠=∠，∵CPE BPF ∠=∠，∴BPF CPE BPG ∠=∠=∠，又BP BP =，∴FBP ∆≌()GBP ASA ∆，∴PF PG =.∵CBD CPE ∠=∠，∴//PE BD ，∴四边形BGED 是平行四边形，∴BD EG PG PE PE PF ==+=+.（3）①设CPE BPF x ∠=∠=，∵27C ∠= ，PA AE =，∴27APE PEA C CPE x ∠=∠=∠+∠=+ ，又180BPA APE CPE ∠+∠+∠= ，即27180x x x +++= ，∴51x = ，即51CPE ∠= .②延长BA 至M ，使AM AP =，连结MP ，∵27C ∠= ，51BPA CPE ∠=∠= .∴180BAP B BPA ∠=-∠-∠ 102M MPA ==∠+∠ ，∵AM AP =，∴1512M MPA BAP ∠=∠=∠= ，∴M BPA ∠=∠，而B B ∠=∠，∴ABP PBM ∆~∆.∴BP BM AB BP=，∴2BP AB BM =⋅.∵PB a =，PA AM b ==，AB c =，∴()2a c b c =+，∴22a cb c-=.【点评】考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质， 综合性比较强，对学生综合能力要求较高.10．（1）证明见试题解析；（2）相切，理由见试题解析；（3）2．【解析】【分析】（1）由∠ABC=90°和FD ⊥AC ，得到∠ABF=∠EBF ，由∠DEC=∠BEF ，得到∠DCE=∠EFB ，从而得到△ABC ≌△EBF （ASA ）；（2）BD 与⊙O 相切．连接OB ，只需证明∠DBE+∠OBE=90°，即可得到OB ⊥BD ，从而有BD 与⊙O 相切；（3）连接EA ，EH ，由DF 为线段AC 的垂直平分线，得到AE=CE ，由△ABC ≌△EBF ，得到AB=BE=1，进而得到=故1BF BC ==即可得出结论24EF =+又因为BH 为角平分线，易证△EHF 为等腰直角三角形，故222EF HF =，得到22122HF EF ==△GHF ∽△FHB ，得到2HG HB HF ⋅=．【详解】解：（1）∵∠ABC=90°，∴∠CBF=90°，∵FD ⊥AC ，∴∠CDE=90°，∴∠ABF=∠EBF ，∵∠DEC=∠BEF ，∴∠DCE=∠EFB ，∵BC=BF ，∴△ABC ≌△EBF （ASA ）；（2）BD 与⊙O 相切．理由：连接OB ，∵DF 是AC 的垂直平分线，∴AD=DC ，∴BD=CD ，∴∠DCE=∠DBE ，∵OB=OF ，∴∠OBF=∠OFB ，∵∠DCE=∠EFB ，∴∠DBE=∠OBF ，∵∠OBF+∠OBE=90°，∴∠DBE+∠OBE=90°，∴OB ⊥BD ，∴BD 与⊙O 相切；（3）连接EA ，EH ，∵DF 为线段AC 的垂直平分线，∴AE=CE ，∵△ABC ≌△EBF ，∴AB=BE=1，∴=，∴1BF BC ==+∴(2222114EF BE BF =+=+=+，又∵BH 为角平分线，∴∠EBH=∠EFH=45°，∴∠HEF=∠HBF=45°，∠HFG=∠EBG=45°，∴△EHF 为等腰直角三角形，∴222EF HF =，∴22122HF EF ==∵∠HFG=∠FBG=45°，∠GHF=∠GHF ，∴△GHF ∽△FHB ，∴HF HGHB HF =，∴2HG HB HF ⋅=，∴22HG HB HF ⋅==．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．1．D【解析】【分析】把M 点的运动过程分为AE 段（0x ≤≤）和BE x ≤≤可知在AE 段HAE GHD EOM GPS S S S S S =+--△△△△，分别表示出四个三角形的面积即可用x 表示出S ；同理当在BE 段时1111HAE GHD EO M GP S S S S S S =+++△△△△，分别表示出四个三角形的面积即可用x 表示出S ；最后根据x与S 的函数关系式对图像进行判断即可【详解】解：如下图所示，当M 点的运动过程在AE 段则由题意可知HAE GHD EOM GPSS S S S S =+--△△△△∵四边形ABCD 是矩形，直线l ⊥AB ，H 、E 、F 、G 为AD 、AB 、BC 、CD 的中点∴=HAE GHD S S △△，=EOM GPSS S △△∴22HAE EOMS S S =-△△∵1=2HAE S AE AH △，11122AH AD BC ===，12AE AB ==∴1=2HAE S AE AH △∵直线l ⊥AB∴∠OME =∠A =90°∴△HAE ∽△OME ∴AH OM AE ME=∴OM =又∵ME AE AM x=-=∴)OM x ==∴)212EOM S OM ME x ==- △∴)222HAE EOM S S S x =-=△△如下图所示，当M 点的运动过程在BE 段同理当在BE 段时1111HAE GHD EO M GP S S S S S S =+++△△△△即1122HAE EO M S S S =+△△同理可以得到111O M E =11M E AM AE x =-=∴111O M E x ==∴11211112EO M S O M M E x ==- △∴11222HAE EO MS S S x=+=△△综上所述当M点的运动过程在AE段时)222HAE EOMS S S x=-=--△△，二次函数开口向下；当M 点的运动过程在BE段时2S x=，二次函数开口向上故选D.【点拨】本题主要考查了二次函数图像，矩形的性质，相似三角形等等知识点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.2．A【解析】【分析】由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HO∥BG 且HO=12BG；由△EHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE，得出点H在正方形CGFE 的外接圆上，根据圆周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，从而证得△EHM∽△GHF；设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，由HO∥BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出DN HNDC CG=，得到b2a a2a2b-=，即a2+2ab-b2=0，从而求得BC1CG-，设正方形ECGF的边长是2b，则，得到，通过证得△MHO∽△MFE，得到OM OHEM EF===1OMOE===，进一步得到1HOM HOMHOE HOGS SS S∆∆∆∆==.【详解】解：如图，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCE ＝∠DCG ，在△BCE 和△DCG 中，BC CD BCE DCGCE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴∠BEC ＝∠BGH ，∵∠BGH+∠CDG ＝90°，∠CDG ＝∠HDE ，∴∠BEC+∠HDE ＝90°，∴GH ⊥BE ．故①正确；∵△EHG 是直角三角形，O 为EG 的中点，∴OH ＝OG ＝OE ，∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上，∵EF ＝FG ，∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°，∠HEG ＝∠HFG ，∴△EHM ∽△GHF ，故②正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴BH ＝EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO ∥BG ，∴△DHN ∽△DGC ，DN HN DC CG∴=设EC 和OH 相交于点N ．设HN ＝a ，则BC ＝2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC ＝b ，CD ＝2a ，222b a a a b-∴=即a 2+2ab ﹣b 2＝0，解得：a ＝b ＝（﹣b ，或a ＝（﹣1b （舍去），212ab ∴=1BCCG ∴=故③正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴EG ＝BG ，∵HO 是△EBG 的中位线，∴HO ＝12BG ，∴HO ＝12EG ，设正方形ECGF 的边长是2b ，∴EG ＝，∴HOb ，∵OH ∥BG ，CG ∥EF ，∴OH ∥EF ，∴△MHO △MFE ，∴OM OH EM EF ===∴EMOM ，∴1OMOE ===，∴1HOMHOES S ∆∆=-∵EO ＝GO ，∴S △HOE ＝S △HOG ，∴1HOMHOGS S ∆∆=-故④错误，故选A ．【点拨】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．3．B【解析】【详解】过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=BC ，∵BE ⊥AC 于点F ，∴∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AE AF BC CF =，∵AE=12AD=12BC ，∴12AF CF =，∴CF=2AF ，故②正确，∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM=DE=12BC ，∴BM=CM ，∴CN=NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DF=DC ，故③正确；设AD=a ，AB=b ，易知△BAE ∽△ADC ，有A D AD B AE C =，即2a b a b=∵tan ∠CAD==CD b AD a ，∴tan ∠④错误；∵△AEF ∽△CBF ，∴12EF AE BF BC ==，∴S △AEF =12S △ABF ，S △ABF =16S 矩形ABCD ，∵S △ABE =14S 矩形ABCD ，S △ACD =12S 矩形ABCD ，∴S △AEF =112S 四边形ABCD ，又∵S 四边形CDEF =S △ACD ﹣S △AEF =12S 矩形ABCD ﹣112S 矩形ABCD =512S 矩形ABCD ，∴S 四边形CDEF =52S △ABF ，故⑤正确；故选B ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．综合题．4．①③.【解析】【详解】试题分析：①易证△ABF ≌△BCG ，即可解题；②易证△BNF ∽△BCG ，即可求得的值，即可解题；③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解题；④连接AG，FG，根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四边形ANGD，即可解题．①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=CG，∵在△ABF和△BCG中，，∴△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；②∵在△BNF和△BCG中，，∴△BNF∽△BCG，∴,∴BN=NF；②错误；③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，AF=，∵S△ABF=AFBN=ABBF，∴BN=，NF=BN=，∴AN=AF﹣NF=，∵E是BF中点，∴EH是△BFN的中位线，∴EH=，NH=，BN∥EH，∴AH=，，解得：MN=，∴BM=BN﹣MN=，MG=BG﹣BM=，∴,③正确；④连接AG，FG，根据③中结论，则NG=BG﹣BN=，∵S四边形CGNF=S△CFG+S△GNF=CGCF+NFNG=1+，S四边形ANGD=S△ANG+S△ADG=ANGN+ADDG=,∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD，④错误；故答案为①③．考点：全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.5．①②④【解析】【分析】①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1；②连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到PQBQ的值；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求出QH，从而可求出S△DPQ的值；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得32DN PQAN BQ==，把AN=1-DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定义，就可求出cos∠ADQ的值．【详解】解：①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1．故①正确；②连接AQ，如图2．则有CP=12，=．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求得则=，∴32 PQBQ=．故②正确；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求得QH=35，∴S△DPQ=12DP•QH=12×12×35=320．故③错误；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP ∥NQ ∥AB ，根据平行线分线段成比例可得32DN PQ AN BQ ==，则有312DN DN =-，解得：DN=35．由DQ=1，得cos ∠ADQ=35DN DQ =．故④正确．综上所述：正确结论是①②④．故答案为：①②④．【点拨】本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性比较强，常用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系，应灵活运用．6．（1）【问题发现】12，60°，45°；【类比探究】见（2）题的解析；【归纳总结】2n m ，1802a ︒-；（2），30°【解析】【分析】（1）当60α=︒时，△ABC 和△PDC 都是等边三角形，可证△ACP ∽△ECF ，从而有12EF AP =，∠Q ＝β＝∠ACB ＝60°；当90α=︒时，△ABC 和△PDC 都是等腰直角三角形，同理可证△ACP ∽△ECF 即可解决，依此可得出规律；（2）当120α=︒，可证CE AC =，CF CP =CE CA CF CP =，由∠ECF ＝∠ACP ，可得△PCA ∽△FCE 即可解决问题．【详解】（1）【问题发现】如图1，连接AE ，PF ，延长EF 、AP 交于点Q ，当60α=︒时，△ABC 和△PDC 都是等边三角形，∴∠PCD ＝∠ACB ＝60°，PC ＝CD ，AC ＝CB ，∵F 、E 分别是CD 、BC 的中点，∴12CF PC =，12CE AC =，∴CF CE PC AC=，又∵∠ACP ＝∠ECF ，∴△ACP ∽△ECF ，∴12EF AP =，∠CEF ＝∠CAP ，∴∠Q ＝β＝∠ACB ＝60°，当90α=︒时，△ABC 和△PDC 都是等腰直角三角形，如图2，连接AE ，PF ，延长EF 、AP 交于点Q ，∴∠PCD ＝∠ACB ＝45°，PC CD ，AC ，∵F 、E 分别是CD 、BC 的中点，∴CE AC =，CF PC =∴CF CE PC AC=，又∵∠ACP＝∠ECF，∴△ACP∽△ECF，∴EFAP==，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝45°，【归纳总结】由此，可归纳出22nEF CE nAP AC m m===，β＝∠ACB＝1802a︒-；（2）当120α=︒，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，∠CAE＝60°∴sin60°＝CEAC=，同理可得：CFCP=∴CE CFAC CP=，∴CE CACF CP=，又∵∠ECF＝∠ACP，∴△PCA∽△FCE，∴EF ECAP AC==∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝30°．【点拨】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法不变，体会“变中不变”的思想．7．（1）ED BD =（2）①正方形，理由见解析；②见解析；（3【解析】【分析】（1）根据“斜中半”定理可得CD AD BD ==，然后根据旋转的性质可得CD ED =，从而得出ED BD =，再结合题意推出30B DCG ∠=∠=︒，从而根据正切函数的定义求出GD CD即可；（2）①通过证明CDF EDF △≌△，并综合条件//CF DE ，推出四边形CDEF 是正方形；②首先根据CFH DGH △△∽推出DH DG FH CD ==GBE GDH △≌△得到BE DH =，即可得出结论；（3）根据题意可首先证明四边形CDEF 是菱形，然后证明出EBG HFC △△∽，即可推出结论BE BG FH FC =，再作DK CG ⊥，通过解直角三角形，求出BG 的长度，从而得出结论．【详解】（1）∵点D 为Rt ABC 中斜边AB 的中点，∴CD AD BD ==，∵线段CD 绕点D 顺时针旋转得到线段ED ，∴CD ED =，∴ED BD =，∵Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，∴30B ∠=︒，∵CD BD =，∴30B DCG ∠=∠=︒，∴在Rt DCG 中，tan tan 30GD DCG CD =∠=︒=故答案为：ED BD =（2）①正方形，理由如下：∵90α=︒，DM 平分CDE ∠，∴90CDE ∠=︒，CDF EDF ∠=∠，∵CD ED =，DF DF =，∴()CDF EDF SAS △≌△，∴DCF DEF ∠=∠，∵//CF DE ，∴180FCD CDE ∠+∠=︒，∴90FCD ∠=︒，∴90DCF DEF CDE ∠=∠=∠=︒，∴四边形CDEF 为矩形，又∵CD ED =，∴四边形CDEF 为正方形；②显然，在正方形CDEF 中，CFH GDH △△∽，∴DH DG FH CF=，又∵CD CF =，∴DH DG FH CD ==由（1）得：60,,A CD AD ∠=︒=则ACD △为等边三角形，∴60ADC ∠=︒，∵90CDE ∠=︒，∴30GDB ∠=︒，∴GDB GBD ∠=∠，GD GB =，又∵DE DB =，∴()1180752DBE DEB GDB ∠=∠=︒-∠=︒，∴753045GBE ∠=︒-︒=︒，∵45GDH ∠=︒，∴GBE GDH∠=∠在GBE 与GDH 中，GDH GBE GD GBDGH BGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()GBE GDH ASA △≌△，∴BE DH =，∴BE DH DG FH FH CD ===（3）同（2）中①理，CDF EDF △≌△，∴CDF EDF ∠=∠，CFD EFD ∠=∠，∵//CF DE ，∴CFD EDF ∠=∠，∴CFD CDF ∠=∠，EDF EFD ∠=∠，∴CF CD =，ED EF =，∴四边形CDEF 为菱形，∵ACD △为等边三角形，∴2AC CD AD BD ====，菱形的边长也为2，由题意，2HDG α∠=，13022DEB DBE ADE α∠=∠=∠=︒+，∵30DBG ∠=︒，∴2EBG α∠=，即：HDG EBG ∠=∠，∴EBG HDG △△∽，∵在菱形CDEF 中，HFC HDG △△∽，∴EBG HFC △△∽，∴BE BG FH FC=，如图，作DK CG ⊥，∵30DCK ∠=︒，∴60CDK ∠=︒，60KDG α∠=-︒，∵2CD =，∴1DK =，CK =在Rt KDG △中，()tan tan 60GK KDG m DKα=∠=-︒=，∴GK m =，∴CG m =，在Rt ABC 中，BC ==∴BG BC CG m m =-==，∵2CF CD ==，∴BE BG FH FC ==．【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，特殊平行四边形的判定与性质，以及锐角三角函数等，综合性较强，掌握基本图形的性质，灵活运用相似三角形以及锐角三角函数是解题关键．8．（1）30°；（2）①见解析；②CD BE =；见解析；（3）()AC k BD BE =+，见解析【解析】【分析】（1）先根据题意得出△ABC 是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可（2）①按要求补全图即可②先根据已知条件证明△ABC 是等边三角形，再证明AEB ADC △≌△，即可得出CD BE=（3）先证明AC BC AD DE=，再证明ACB ADE △∽△，得出BAC EAD ∠=∠，从而证明AEB ADC △≌△，得出BD BE BC +=，从而证明()AC k BD BE =+【详解】解：（1）∵AB AC =，60C ∠=°∴△ABC 是等边三角形∴∠B =60°∵点D 关于直线AB 的对称点为点E∴AB ⊥DE ，∴BDE ∠=30︒故答案为：30︒；（2）①补全图如图2所示；②CD 与BE 的数量关系为：CD BE =；证明：∵AB AC =，60BAC ∠=︒．∴ABC 为正三角形，又∵AD 绕点A 顺时针旋转60︒，∴AD AE =，60EAD ∠=︒，∵60BAD DAC ∠+∠=︒，60BAD BAE ∠+∠=︒，∴BAE DAC ∠=∠，∴AEB ADC △≌△，∴CD BE =．（3）连接AE ．∵AB AD k BC DE ==，AB AC =，∴AC AD BC DE =．∴AC BC AD DE=．又∵ADE C ∠=∠，∴ACB ADE △∽△，∴BAC EAD ∠=∠．∵AB AC =，∴AE AD =，∴BAD DAC BAD BAE ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，∴AEB ADC △≌△，CD BE =．∵BD DC BC +=，∴BD BE BC +=．又∵AC k BC=，∴()AC k BD BE =+．【点拨】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点9．（1）正方形；（2）MC ME '=，见解析；（3）25【解析】【分析】（1）有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形；（2）连接EC '，由（1）问的结论可知，90AD BC EAC B '=∠=∠=︒，，又因为矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，可知折叠前后对应角以及对应边相等，有B B '∠=∠，B C BC ''=，90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒，，可以证明Rt EC A ' 和Rt C EB '' 全等，得到C EA EC B '''∠=∠，从而有MC ME '=；（3）由Rt EC A Rt C EB ''' ≌，有AC B E ''=；由折叠知，AC BE '=，可以计算出()8cm AB =；用勾股定理计算出DF 的长度，再证明DNF ENG ∽得出等量关系，从而得到:DN EN 的值．【详解】（1）解：∵ABCD 是平行四边形，∴'////AD BC EA ，'//AE DA ∴四边形'AEA D 是平行四边形∵矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处∴'AED A ED≌∴'AE A E=∵90A ∠=∴四边形AEA D '的形状是正方形故最后答案为：四边形AEA D '的形状是正方形；（2）MC ME'=理由如下：如图，连接EC '，由（1）知：AD AE=∵四边形ABCD 是矩形，∴90AD BC EAC B '=∠=∠=︒，由折叠知：B C BC B B'''=∠=∠，∴90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒，。
安徽省中考数学一轮复习第二讲空间与图形第四章三角形4.4相似三角形测试(2021年整理)
4.4相似三角形［过关演练］（40分钟90分)1。
已知,那么的值为（B）A.B。
C.D。
【解析】因为,设a=2k，则b=3k,则原式=.2。
若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为(A）A.3∶2B.3∶5 C。
9∶4 D.4∶9【解析】因为△ABC∽△DEF,根据相似三角形的性质“相似三角形对应高之比等于相似比”可得对应高的比为3∶2.3.如图,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D，E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2，则EF的长为(C)A。
4 B。
5 C.6 D。
8【解析】∵AD∥BE∥CF，∴,∵AB=1,BC=3，DE=2，∴,解得EF=6.4。
如图,以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（B）A.1∶2 B。
1∶4C.1∶5D.1∶6【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA∶OD=1∶2，∴△ABC 与△DEF的面积之比为1∶4.5。
(2018·哈尔滨）如图，在△ABC中,点D在BC边上,连接AD，点G在线段AD上,GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是(D）A。
B。
C.D。
【解析】∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA,∴,∴.6.（2018·浙江绍兴)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B，D,AO=4 m，AB=1。
6 m，CO=1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（C）A.0.2 mB.0。
3 mC.0.4 mD.0.5 m【解析】∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD,∴△ABO∽△CDO,则，∵AO=4 m,AB=1。
6 m，CO=1 m，∴,解得CD=0.4 m.7。
中考数学总复习《二次函数压轴题(相似三角形问题)》专项提升训练题-附答案
中考数学总复习《二次函数压轴题（相似三角形问题）》专项提升训练题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知抛物线223y x x =+-的图像经过点()30A -，，点()0B n ，，且与y 轴交于点C ．(1)求出点B 的坐标；(2)若点P 为x 轴上方的抛物线上任意一点．①如图1，若点Q 为线段BC 上一点，连接PQ ，PQ 交x 轴于点M ，连接CM ，当45MCQ ∠=︒时，求点M 的坐标；①如图2，连接BC BP 、，若满足2ABP BCO ∠=∠，求此时点P 的坐标．2．在平面直角坐标系xOy 中，把与x 轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线1L ：223y x x =--+的顶点为D ，交x 轴于点A ，B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ．抛物线2L 与1L 是“共根抛物线”，其顶点为P ．(1)若抛物线2L 经过点(2,10)，求抛物线2L 对应的函数关系式； (2)当BPC △的周长最小时，求BPC △的面积；(3)设点Q 是抛物线1L 上的一个动点，且位于其对称轴的左侧，若DPQ 与AOC 相似，求其“共根抛物线”2L 的顶点P 的坐标．3．如图：抛物线244y ax ax =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（1，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的对称轴和点B 的坐标；（2）过点C 作CP ①对称轴于点P ，连接BC 交对称轴于点D ，连接AC 、BP ，且①BPD =①BCP ，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G ，连接BG 、CG 、求①BCG 的面积．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线，如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =；(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①连接PC ，当ACO CPD ∽△△时，求点P 的坐标． ①求PD 的最大值．5．抛物线y ＝ax 2﹣2x +c 经过点A (3，0)，点C (0，﹣3)，直线y ＝﹣x +b 经过点A ，交抛物线于点E ．抛物线的对称轴交AE 于点B ，交x 轴于点D ，交直线AC 于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接P A，PC，△BAF的面积记为S1，△P ACS1时．求点P的横坐标；的面积记为S2，当S2＝38(3)如图①，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF 相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．A-、B两点，交y轴于C；直线AD交抛物线于第6．抛物线224=--交x轴于(2,0)y ax ax一象限内点D，且D的横坐标为5(1)求抛物线解析式；S=，求点E的坐标；(2)点E为直线AD下方抛物线上一动点，且21ADE∠+∠=∠，若存在，请求出此时点P的坐标；(3)抛物线上是否存在点P，使PCO DAO CBO若不存在，请说明理由．7．如图所示，平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+2k）（x﹣k）图象与x轴交于A、B两点，抛物线对称轴为直线x＝﹣2；(1)求k的值；(2)点C为抛物线上一点，连接BC、AC，作CD①x轴于D，当①BCA＝90°时，设CD长度为d，求d与a的函数关系式；(3)抛物线顶点为S，作S T垂直AB于T，点Q为第一象限抛物线上一点，连接AQ交S T于点P，过B作x轴的垂线交AQ延长线于点E，连接OE交BQ于点G，过O作OE的垂线交AQ于点F，若OF＝OG，tan①ABQ＝2时，连接S Q，求证：S Q＝S P．8．如图，抛物线y= x2+bx+c的顶点D坐标为（1，4），且与x轴相交于A，B两点(点A 在点B的左侧)，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．(1)求抛物线解析式；(2)设点F横坐标为m①用含有m的代数式表示点E的横坐标为________（直接填空）；①当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；①连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；(3)过顶点D作DM①x轴于点M，过点F作FP①AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．9．如图，抛物线28y ax bx =++与x 轴交于()2,0A -和点()8,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ，BC 和BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，设四边形PBOC 和AOC 的面积分别为PBOC S 四边形和AOCS，记AOC PBOC S S S =-△四边形，求S 最大值点P 的坐标及S 的最大值；(3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N 和E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图1，抛物线()20y ax bx c a =++≠与直线443y x =-+的交点分别位于x 轴、y 轴上的AB 两点，与x 轴的另一交点为()2,0C -．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，连接BC ，点P为AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ BC ∥交AB 于点Q ，过点P 作PR x ⊥轴交AB 于点R ，求①PQR 周长最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）问条件下，当①PQR 面积最大时，将①PQR 绕点R 顺时针旋转n °（090n <<），当旋转过程中，PR AB ⊥时，记此时三角形为111PQ R ∆，再将111PQ R ∆沿直线AB 进行翻折得到222P Q R ∆，将222P Q R ∆沿直线AB 进行平移，在平移过程中，若点2P 恰好在抛物线上，记此时的三角形为333PQ R ∆，请直接写出此时3P 的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点(1,0)A ，点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 在第二象限的抛物线上，连接PC 和PO ，线段PO 交线段BC 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)若PCE 的面积为1S ，OCE △的面积为2S ，当1223S S =时，求点P 的坐标； (3)已知点C 关于抛物线对称轴的对称点为点N ，连接BN ，点H 在x 轴上，当HCB NBC ∠=∠时①求满足条件的所有点H 的坐标①当点H 在线段AB 上时，点Q 是平面直角坐标系内一点，保持1QH =，连接BQ ，将线段BQ 绕着点Q 顺时针旋转90°，得到线段QM ，连接MH ，请直接写出线段MH 的取值范围．12．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A （10-，），B （4，0），过点A 的直线=1y x --与该抛物线交于点C ，点P 是该抛物线上不与A ，B 重合的动点，过点P 作PD ①x 轴于点D ，交直线AC 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线AC的下方，且2PE DE=时，求点P的坐标；(3)当直线PD为1x=时，在直线PD上是否存在点Q，使①ECQ与①EDA相似？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明你的理由．13．已知抛物线228y x x=-++与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)求点B、C的坐标；(2)连接BC，若BC的中点为点D，请你求经过点A和点D的直线表达式；(3)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使PCC'△与POB 相似，若存在，求出所有P点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图1，平面直角坐标系xOy中，直线y＝－12x－2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝14x2＋bx＋c经过点A、点C，且与x轴交于另一点B，连接BC．(1)求抛物线的解析式； (2)点P 是抛物线上一动点．①当点P 在直线AC 下方的抛物线上运动时，如图2，连接AP ，CP ．求四边形ABCP 面积的最大值及此时点P 的坐标；①当点P 在x 轴上方的抛物线上运动时，过点P 作PM ①x 轴于点M ，连接BP ．是否存在点P ，使①PMB 与①AOC 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A 的坐标为()2,4-，且经过坐标原点，与x 轴负半轴交于点B ．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出点B 的坐标；(2)过点A 作AC x ⊥轴于点C ，若点D 是y 轴左侧的抛物线上一个动点（点D 与点A 不重合），过点D 作DE x ⊥轴于点E ，连接AO ，DO ，当以A ，O ，C 为顶点的三角形与以D ，O ，E 为顶点的三角形相似时，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，当点D 在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F ，在第三象限交于点G ，且点A ，点B ，点D ，到直线FG 的距离都相等，请直接．．写出线段FG 的长． 参考答案：1．(1)()10B ， (2)①,302 ⎛⎫- ⎪⎝⎭M ；①155741, 6⎛⎫- ⎪⎝⎭P2．(1)抛物线2L 对应的函数关系式为2246y x x =+-； (2)2BPCS=；(3)点P 的坐标为(1,3)P -或(1,2)-．3．（1）B （3，0）；（2）2343333y x x =-+-；（3）3 4．(1)213222y x x =--+(2)①P 坐标为(3,2)-；①PD 的最大值为4555．(1)y ＝x 2﹣2x ﹣3 (2)P 点的横坐标为352+或352 (3)Q 点坐标为(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5) 6．(1)2142y x x =-- (2)191,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；E 2（2，-4）(3)存在，（8，20）7．(1)k ＝4 (2)1d a=-8．(1)223y x x =-++ (2)①2m -；①G 点坐标为()5,0；①G 点坐标为（1172+，0）(3)F 点坐标为（73，209）9．(1)21382y x x =-++(2)()4,12P ，最大值为56(3)存在 ()3,8 ()3,515+ ()3,1110．(1)222433y x x =-++(2)PQR 周长最大值为459520+，此时点37(,)22P(3)3326146(,)223P +--或326146(,)223--+11．(1)y =-x 2-2x +3；(2)点P 的坐标是（-2，3）或（-1，4）；(3)①点H 的坐标是（-1，0）或（-9，0）；①2-2≤MH ≤2+2．12．(1)234y x x =-- (2)(1，-6)(3)存在，点Q 的坐标为（1，-4）或（1，-6）13．(1)(4,0)B ；(0,8)C (2)2y x =+(3)存在，1(0,16)P 或2160,3P ⎛⎫⎪⎝⎭或3(0,422)P +或4(0,422)P -或5(0,426)P +或6(0,426)P -14．(1)211242y x x =+- (2)①四边形ABCP 面积的最大值为8，此时点P 为（－2，－2）；①存在符合条件的点P ，点P 坐标为（－6，4）或（－12，28）或（4，4）第 11 页 共 11 页 15．(1)24y x x =--，点B （-4，0）；(2)()6,12--或99,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或77,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． (3)553。
2023年安徽中考数学总复习专题：与相似三角形有关的模型(PDF版,有答案)
2023年安徽中考总复习 与相似三角形有关的模型（１）平行线型基本图形图形演化一图形演化二２０１８．２３考查说明：ＤＥ∥ＢＣ．结论：△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ２０１７．２３考查说明：ＤＥ∥ＡＢ．结论：△ＤＥＣ∽△ＢＡＣ说明：构造平行相似；背景：平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｇ分别在ＢＣ，ＣＤ上，ＡＥ交ＢＧ于点Ｆ；辅助线：过点Ｅ作ＥＨ∥ＣＤ交ＢＧ于点Ｈ；结论：△ＢＥＨ∽△ＢＣＧ，△ＥＨＦ∽△ＡＢＦ（２）共角型（不含平行线和直角）基本图形图形演化一图形演化二说明：∠ＡＤＥ＝∠Ｂ．结论：△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ２０２１．２３考查２０１７．２３考查２０１２．２３考查说明：∠ＡＣＤ＝∠Ｂ．结论：△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ说明：已知∠ＥＡＢ＝∠ＣＡＤ，∠Ｄ＝∠Ｂ，由共夹角相等可知∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ．结论：△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ（３）直角三角形斜边高线型基本图形图形演化一图形演化二说明：在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ．结论：△ＡＢＤ∽△ＣＡＤ∽△ＣＢＡ，ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ，ＡＢ２＝ＢＤ·ＢＣ，ＡＣ２＝ＣＤ·ＢＣ说明：ＤＥ⊥ＢＣ交ＡＣ于点Ｅ．结论：△ＣＤＥ∽△ＣＡＢ，ＤＣＡＣ＝ＣＥＣＢ＝ＤＥＡＢ说明：在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ，ＡＥ的延长线交ＢＣ于点Ｆ．结论：图中与△ＢＥＦ相似（除过本身）的三角形有５个（４）一线三等角型图形一图形二图形三说明：点Ｅ在线段ＢＣ上，∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠ＡＥＤ，由∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＤ＋∠ＥＣＤ，得∠ＢＡＥ＝∠ＣＥＤ．结论：△ＡＢＥ∽△ＥＣＤ，ＡＢＥＣ＝ＢＥＣＤ＝ＡＥＥＤ说明：在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＥ⊥ＥＦ，由互余角相等可得∠ＢＡＥ＝∠ＣＥＦ，∠ＡＥＢ＝∠ＥＦＣ．结论：△ＡＢＥ∽△ＥＣＦ，ＡＢＥＣ＝ＢＥＣＦ＝ＡＥＥＦ说明：在等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ在ＢＣ上，且∠ＡＤＥ＝∠Ｂ，由三角形内外角关系可知，∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＥ＋∠ＣＤＥ．结论：∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＥ，得△ＡＢＤ∽△ＤＣＥ，ＡＢＤＣ＝ＡＤＤＥ＝ＢＤＣＥ８８（５）旋转相似型图形一图形二图形三２０１５．２３考查说明：在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ｋＡＣ，△ＡＤＥ由△ＡＢＣ旋转得到．结论：△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ，ＢＤＣＥ＝ＡＢＡＣ＝ＡＤＡＥ＝ｋ２０１５．２３考查说明：在等腰Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，在等腰Ｒｔ△ＡＤＥ中，∠ＡＥＤ＝９０°．结论：△ＡＣＥ∽△ＡＢＤ，ＣＥＢＤ＝ＡＣＡＢ＝槡２２，直线ＣＥ与ＢＤ的夹角为４５°说明：∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＣ＝３０°，ＤＥ是中位线，△Ｄ′ＢＥ′由△ＤＢＥ旋转得到．结论：△ＡＤ′Ｂ∽△ＣＥ′Ｂ，ＡＤ′ＣＥ′＝ＡＢＣＢ＝ＢＤ′ＢＥ′＝槡２３３，直线ＣＥ′与ＡＤ′的夹角为３０°综合集训１．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，若点Ｅ是边ＢＣ的中点，连接ＡＥ，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＥ交ＡＥ于点Ｆ，求ＤＦ的长．第１题图解：在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝９０°，∵点Ｅ是边ＢＣ的中点，∴ＢＥ＝１２ＢＣ＝１．５，∴ＡＥ＝ＡＢ２＋ＢＥ槡２＝２．５．∵ＤＦ⊥ＡＥ，∴∠ＢＡＥ＋∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＦ＋∠ＦＤＡ＝９０°，∴∠ＢＡＥ＝∠ＦＤＡ．∵∠Ｂ＝∠ＡＦＤ＝９０°，∴△ＡＢＥ∽△ＤＦＡ，∴ＤＦＡＢ＝ＡＤＥＡ，∴ＤＦ２＝３２．５，∴ＤＦ＝２．４．２．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ上一点．若ＡＢ＝１２，ＡＤ＝２５，ＢＥ＝１６，求证：△ＡＢＥ∽△ＥＣＤ．第２题图证明：在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＢＣ＝２５，ＡＢ＝ＣＤ＝１２，∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°．∵ＢＥ＝１６，∴ＣＥ＝２５－１６＝９．∴ＡＢＥＣ＝１２９＝４３，ＢＥＣＤ＝１６１２＝４３，∴ＡＢＥＣ＝ＢＥＣＤ．又∵∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，∴△ＡＢＥ∽△ＥＣＤ．３．如图，在锐角△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，将△ＡＢＣ绕点Ｂ按逆时针方向旋转，得到△Ａ１ＢＣ１，连接ＡＡ１，ＣＣ１，若△ＡＢＡ１的面积为４，求△ＣＢＣ１的面积．第３题图解：由旋转的性质可得∠Ａ１ＢＣ１＝∠ＡＢＣ，ＢＡ＝ＢＡ１，ＢＣ＝ＢＣ１，∴ＢＡＢＣ＝ＢＡ１ＢＣ１，∠ＡＢＣ＋∠ＡＢＣ１＝∠Ａ１ＢＣ１＋∠ＡＢＣ１，∴∠ＡＢＡ１＝∠ＣＢＣ１，∴△ＡＢＡ１∽△ＣＢＣ１，∴Ｓ△ＡＢＡＳ△ＣＢＣ＝（ＡＢＢＣ）２＝（４５）２＝１６２５，∵Ｓ△ＡＢＡ＝４，∴Ｓ△ＣＢＣ＝２５４．９８４．如图，在锐角△ＯＡＢ中，点Ｍ，Ｎ分别在边ＯＢ，ＯＡ上，ＯＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，ＯＨ⊥ＭＮ于点Ｈ，∠ＮＯＨ＝∠ＯＡＢ．（１）求证：△ＯＭＮ∽△ＧＯＢ；（２）若ＯＭ＝３，ＯＡ＝７，求ＯＨＯＧ的值．第４题图（１）证明：在△ＯＨＮ和△ＯＧＢ中，∵∠ＯＨＮ＝∠ＯＧＢ＝９０°，∠ＮＯＨ＝∠ＢＯＧ，∴△ＯＨＮ∽△ＯＧＢ，∴∠ＯＮＨ＝∠Ｂ，∵∠ＡＯＢ＝∠ＭＯＮ，∴△ＯＭＮ∽△ＯＡＢ；（２）解：由（１）得△ＯＭＮ∽△ＯＡＢ，∵ＯＭ＝３，ＯＡ＝７，∴ＯＨＯＧ＝ＯＭＯＡ＝３７．５．如图①，在等边△ＡＢＣ中，点Ｄ是边ＢＣ上的动点（不与点Ｂ、Ｃ重合），点Ｅ、Ｆ分别在ＡＢ和ＡＣ边上，且∠ＥＤＦ＝６０°．（１）如图①，求证：△ＢＤＥ∽△ＣＦＤ；（２）若点Ｄ移至ＢＣ的中点，如图②，求证：ＦＤ平分∠ＥＦＣ．第５题图证明：（１）∵△ＡＢＣ是等边三角形∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，∵∠ＢＥＤ＋∠Ｂ＝∠ＥＤＦ＋∠ＦＤＣ．∠ＥＤＦ＝６０°，∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＤＦ，∴△ＢＤＥ∽△ＣＦＤ；（２）由（１）知△ＢＤＥ∽△ＣＦＤ，∴ＢＤＣＦ＝ＤＥＤＦ，∵ＢＤ＝ＣＤ，∴ＣＤＣＦ＝ＤＥＤＦ，∵∠ＥＤＦ＝∠Ｃ＝６０°，∴△ＤＦＥ∽△ＣＦＤ，∴∠ＥＦＤ＝∠ＣＦＤ，∴ＦＤ平分∠ＣＦＥ．６．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是ＡＣ上一点，射线ＢＥ与ＣＤ的延长线交于点Ｐ，与边ＡＤ交于点Ｆ，连接ＦＣ．（１）若∠ＡＢＦ＝∠ＡＣＦ，求证：ＣＥ２＝ＥＦ·ＥＰ；（２）若点Ｄ是ＣＰ的中点，ＢＥ＝２槡３，求ＥＦ的长．第６题图（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＢＦ＝∠Ｐ，∵∠ＡＢＦ＝∠ＡＣＦ，∴∠ＡＣＦ＝∠Ｐ，∵∠ＣＥＦ＝∠ＰＥＣ，∴△ＣＥＦ∽△ＰＥＣ，∴ＣＥＰＥ＝ＥＦＣＥ，即ＣＥ２＝ＥＦ·ＥＰ；（２）解：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＢＦ＝∠Ｐ，∵∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＰ，∴△ＢＥＡ∽△ＰＥＣ，∴ＢＥＰＥ＝ＡＢＣＰ，∵点Ｄ是ＣＰ的中点，∴ＣＰ＝２ＣＤ＝２ＡＢ，∴２槡３ＰＥ＝１２，解得ＰＥ＝４槡３，∴ＰＢ＝６槡３．∵ＡＢ＝ＣＤ＝ＤＰ，∠ＢＡＦ＝∠ＰＤＦ，∠ＡＦＢ＝∠ＤＦＰ，∴△ＡＢＦ≌△ＤＰＦ，∴ＢＦ＝ＰＦ，∴ＢＦ＝１２ＰＢ＝３槡３，∴ＥＦ＝ＢＦ－ＢＥ＝槡３．０９。
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。
2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题训练(相似三角形问题)(含答案)
②以点 为顶点的三角形与 相似，请直接写出符合要求的点 的坐标．
2．如图，抛物线 经过点 ，且交 轴于点 ，点 是 轴正半轴上的动点， 交抛物线于点 ， 轴交线段 的延长线于点 ，作直线， 交 轴于点 ，交 轴于点
(1)求抛物线的解析式．
(3)如图3，在（2）的条件下，作 轴，点F在直线 下方的第一象限内，连接 、 ，若四边形 的面积为8，且 ，求P点的坐标．
4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求点B的坐标；
(2)如图1，点P在第三象限的抛物线上，横坐标为m，BP交y轴于点D， 时，求a的值；
(3)在（2）的条件下， 的外接圆半径等于．（直接写答案）
11．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知 ， ， ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、 交于点E、F，求 的长；
(3)在（2）的条件下，联结 ，如果点P在该抛物线的对称轴上，当 和 相似时，求点P的坐标
7．如图1，直线 与x轴、y轴分别交于 、 两点，经过 、 两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为 .
(1)求 、 两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；
(2)P在线段 上的一个动点（与 、 不重合），过点P作直线 轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m.
若点P的横坐标为m，请用m表示线段 的长度并写出m的取值范围；
16．如图1，平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 ， 两点（ 点在 点的右边），交 轴于点 ．点 是线段 上一个动点，过点 作 轴的垂线，交抛物线于点E．
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希望教育 2019年中考数学一轮复习讲义学生：全慧 第一讲 相似三角形1、比例对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a cb d=(即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若322=-y y x , 则_____=yx； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）A ．2，5，10，25B ．4，7，4，7C ．2，，，4D ．2，5，52，25 3．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a ；4．：若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a 5、已知，求代数式的值．2、平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。
推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。
练习1，如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=____,BN ∶NC=_____ 2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ，求BG ︰BD 。
3、如图，在ΔABC 中，EF 行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________．判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式：1. 若DE∥BC（A 型和X 型）则______________．2.子母三角形（1） 射影定理：若CD 为Rt△ABC 斜边上的高（双直角图形） (2)∠ABD=∠c则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____． （1） 练习1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________4.如图，具备下列哪个条件可以使⊿ACD ∽⊿BCA （ ）A BCAB CDAC = B CDBD ACAB = C CB CD AC •=2 D BD AD CD •=25.下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（ ）A. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个4 、相似三角形的性质与应用1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．练习1、如图，路灯距离地面8米，身高米的小明站在距离灯的底部（点O ） 20米的A 处，则小明的影子AM 长为 米．3、如图，在△ABC 中，M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，则△AMN 的面积与 四边形MBCN 的面积比为( )．A ．B ．C ．D ．(A) 12(B)13(C)14(D)234、如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为．5、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．6.如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．7.如图，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5B．2：3C．3：5D．3：28、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE 是直角三角形时，t的值为（）A．2B．或C．或D．2或或5、相似多边形（1）对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形．（2）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.（3）相似多边形对应边的比称为相似比．相似多边形面积的比等于相似比的平方．练习1.如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm22.（2011.潍坊）已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E ,沿AE将△AB E向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B． C．D．24、将一个长为a，宽为b的矩形，（1）分为相同的两个矩形，且与原矩形相似，求a:b(2)分为相同的三个矩形，且与原矩形相似，求a:b(3)割掉一个正方形，剩余的矩形与原矩形相似，求a:b5、如图，AB ∥EF ∥CD ，（1）AB ＝10，CD ＝15，AE ∶ED ＝2∶3，求EF 的长。
（2）AB ＝a ，CD ＝b ，AE ∶ED ＝k ，求EF 的长。
（3）若上下两个梯形相似AB ＝4，CD ＝8，求EF 的长6、位似位似图形：如果两个多边形不仅 ，而且对应顶点的连线 ，对应边 或 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ，这时的相似比又称为 ．①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是 图形，而相似图形不一定是 图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于 ．（5）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．（6）关于原点位似的特征作位似图形的几种可能： 放大 缩小正像异侧倒像1、如图，路灯距地面8米，身高米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影长度（ ）A ．变短米B ．变长米C ．变长米D ．变短米2、小芳同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1m 长的标杆测得其影长为，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为和2m ，你能帮助小芳同学算出学校旗杆的高度综合练习1.如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD DE 21 。
若△DEF 的面积为2，则□ABCD 的面积是 。
2、如图，已知AB∥CD，AD 与BC 相交于点P ，AB=4，CD=7，AD=10，则AP=（ ） A ． 4011 B ．407C ．7011D ．7043、已知平行四边形ABCD 中，AE∶EB=1∶2，求△AEF 与△CDF 的周长比，如果S △AEF =6cm 2,求S △CDF . 4、E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，AE∶EC=1∶3，BE 的延长线交CD 的延长线于G ，交AD 于F ，求证：BF∶FG=1∶2.5、已知如图，在平行四边形ABCD 中，DE=BF,求证：DQ CD =PQPD.6、如果四边形ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线OG∥AB 交BC 于E ，交AD 于F ，交CD 的延长线于G ，求证：OG 2=GE·GF.7、ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 延长线上一点，OE 交BC 于点F ，AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，求BF 的长．基本方法 1、（做平行线构造成比例线段）如图，已知⊿ABC 中，D 为 AC 上的一点，AD ∶DC= 3∶2， E 为 CB 延长线上的一点，ED 和 AB 相交于点 F ，EF=FD 。
求：EB ∶BC 的值。
2、已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．（1）求AE AC的值；（2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长．3、在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，CM 为AB 上的中线，CM 分别交AE 、AD 于F 、G ，求证CF∶FG∶GM=5∶3∶2ABF ED1.【等线段代换法】 在△ABC 中，AB=AC,直线DEF 与AB 交于D ，与BC 交于E ，与AC 的延长线交于F 。
求证：CFEFBD DE =。
2、已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC,EM 是AD 的中垂线，交BC 延长线于E.求证：DE 2=BE·CE.【中间比例过渡法】已知△ABC 中，DE ∥BC,BE 与CD 交于点O ，AO 与DE 、BC 分别交于点N 、M ， 求证：OMONAM AN =。
中考题荟萃1、如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）A.65 B. 95 C. 125 D. 1652、如图，ABC ∆中，AD 是中线，DAC B BC ∠=∠=,8,则线段AC 的长为( )A ．4B ．24C ．6D ．343、如图27－65所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F . (1)求证△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长4、如图1，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB=OD ，OC=OA+AB ，AD=m ，BC=n ，∠ABD+∠ADB=∠ACB ．（1）填空：∠BAD 与∠ACB 的数量关系为 ；（2）求的值；（3）将△ACD 沿CD 翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD 相交于点P ．若CD=，求PC 的长．25、已知ΔABC ，AB=AC,D 在AB 上，E 在AC 上，且∠AED=∠B=600,若CE:DE:BC=1：2：3，设AD=m ，DB=n ， （1）填空：AB AE的值是 。