中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题
完整一线三等角型相似初三压轴题
典型例题【例1】如图，等边△ ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，/ EDF=60° (1) 求证：△ BDE CFD (2) 当 BD=1, FC=3 时，求 BE【思路分析】 本题属于典型的三等角型相似，由题意可得/ B= / C=Z EDF=60再用外角可证/ BED= / CDF ，可证△ BDE 与厶CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：(1)：公 ABC 是等边三角形，/ EDF=60 °•••/ B= / C=Z EDF =60 ° •••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC(2)v^ BDECFD• FC CD "BD BE •/ BD=1 , FC=3, CD=5 • BE=53点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。
【例2】如图，等腰△ ABC 中，AB=AC , D 是BC 中点，/ EDF = / B ,求证：△ BDE DFE【思路分析】 比较例1来说区别仅是点 D 成为了 BC 的中点，所以△ BDE 与 △ CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及 BD=CD 的条件可证得△ BDE 和厶DFE 相似 解:•/ AB=AC ,Z EDF = / B•••/ B= / C=Z EDF•••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC •••△ BDE CFDBE DE 又••• BD=CDCD DF BE DEBE BD•-即BD DF DE DF•••/ EDF = Z B中考热点5――三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变 式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。
中考相似三角形压轴题+答案
相似1-10一．解答题（共10小题）1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．第1页（共20页）3．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF 同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．第2页（共20页）4．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．5．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．第3页（共20页）6．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB 向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=，PD=．（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．7．如图，正三角形ABC的边长为3+．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．第4页（共20页）8．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且，求的值；（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．9．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C 的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n 的代数式表示）第5页（共20页）分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．第6页（共20页）六六六六六六-相似1-10参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．【解答】解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2，由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，=×﹣=×（10+2）×8﹣×10×4﹣=24（cm2）；（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t，S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）=8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4，当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2t，FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t，S=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．即S=﹣8t+32（2＜t＜4）．（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，①若=，即=，解得t=．第7页（共20页）所以当t=时，△EBF∽△FCG，②若=即=，解得t=．所以当t=时，△EBF∽△GCF．综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴，∵BP=a，CQ=a，BE=CE，∴，∴BE=CE=a，∴BC=3a，∴AB=AC=BC•sin45°=3a，∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，第8页（共20页）在Rt△APQ中，PQ==a．3．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF 同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当D在AC上时，第9页（共20页）∵DE=DF，∴EC=CF=EF=5，∴t=5．（2）存在．∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，AQ=8﹣t，当0≤t＜5时，①AP=AQ，t=8﹣t，∴t=4；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，AH=HQ=AQ=4﹣t，∵PH∥BC，∴△APH∽△ABC，∴=，∴=，∴t=；③AQ=PQ，作QI⊥AB于I，AI=PI=AP=t（等腰三角形的性质三线合一），∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△AIQ∽△ACB，∴=，∴=，∴t=，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，同理可求出，FC=QC=10﹣t，BP=10﹣t，PH=（10﹣t）=8﹣t，第10页（共20页）BH=（10﹣t）=6﹣t，QG=QC﹣GC=QC﹣PH=10﹣t﹣（8﹣t）=2﹣，PG=HC=6﹣（6﹣t）=t，PQ=AQ=8﹣（10﹣t）=t﹣2，∴PQ 2=PG 2+QG 2，（t﹣2）2=（t）2+（2﹣）2，解得：t=秒，其它情况不符合要求，综合上述：当t等于4秒、秒、秒、秒时△APQ是等腰三角形．（3）由勾股定理：CE=CQ=t，∵sinA===，cosA===，∴PW=t，AW=t，∴QW=8﹣t﹣t=8﹣t，∴PQ2=PM2+QW2=（t）2+（8﹣t）2=t2﹣t+64，PE2=PH2+EH2=（t+8﹣t）2+（t﹣t）2=t2﹣t+64，①∠PQE=90°，在Rt△PEQ中PQ2+QE2=PE2，∴t1=0（舍去）t2=；②∠PEQ=90°，PE2+EQ2=PQ2t1=0（舍去）t2=20（舍去）∴此时不存在；③当∠EPQ=90°时PQ2+PE2=EQ2，t1=（舍去）t2=4，综合上述：当t=或t=4时，△PQE是直角三角形．第11页（共20页）4．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．【解答】解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，∴∠CC1B=∠C1CB=45°，∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．（2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，∴∠ABA1=∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．∴，∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=；（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，第12页（共20页）在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7．5．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2t．则==，又∵AO=10，AB=20，∴==．∴=．又∵∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．第13页（共20页）（2）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，∴AM=．在△APQ中，∠AQP=90°，∴AQ=AP•cos30°=2t，∴QM=AC﹣2AQ=20﹣4t．由AQ+QM=AM得：2t+20﹣4t=，解得t=．∴当t=时，点P、M、N在一直线上．②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．设l交AC于H．如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．∴MH=2NH．得20﹣4t﹣=2×，解得t=2．如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．∴MH=2PH，同理可得t=．故当t=2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形．6．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB 向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=8﹣2t，PD=t．（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【解答】解：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，第14页（共20页）∴QB=8﹣2t，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，∴∠APD=90°，∴tanA==，∴PD=t．故答案为：（1）8﹣2t，t．（2）不存在在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，∴，即，∴AD=t，∴BD=AB﹣AD=10﹣t，∵BQ∥DP，∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=，解得：t=．当t=时，PD==，BD=10﹣×=6，∴DP≠BD，∴▱PDBQ不能为菱形．设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=当PD=BQ，t=时，即=8﹣，解得：v=当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=﹣2x+6．∵点Q（0，2t），P（6﹣t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x=代入y=﹣2x+6得y=﹣2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度．第15页（共20页）7．如图，正三角形ABC的边长为3+．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．【解答】解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC为正三角形，∴AE′=BF′=x．∵E′F′+AE′+BF′=AB，∴x+x+x=3+，∴x=，即x=3﹣3，（x≈2.20也正确）（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），它们的面积和为S，则NE=，PE=n．∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）．∴S=m2+n2=PN2，延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m﹣n）2．∵AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化简得m+n=3．∴S=[32+（m﹣n）2]=+（m﹣n）2①当（m﹣n）2=0时，即m=n时，S最小．∴S最小=；②当（m﹣n）2最大时，S最大．即当m最大且n最小时，S最大．∵m+n=3，由（2）知，m最大=3﹣3．第16页（共20页）∴S最大=[9+（m最大﹣n最小）2]=[9+（3﹣3﹣6+3）2] =99﹣54…．（S最大≈5.47也正确）综上所述，S最大=99﹣54，S最小=．8．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且，求的值；（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．【解答】解：（1）PC与PD的数量关系是相等．证明：过点P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点H、N．∵∠AOB=90°，易得∠HPN=90度．∴∠1+∠CPN=90°，而∠2+∠CPN=90°，∴∠1=∠2．∵OM是∠AOB的平分线，∴PH=PN，又∵∠PHC=∠PND=90°，∴△PCH≌△PDN；∴PC=PD．第17页（共20页）（2）∵PC=PD，∠CPD=90°，∴∠3=45°，∵∠POD=45°，∴∠3=∠POD．又∵∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG．∴．∵，∴．（3）如图1所示，若PR与射线OA相交，则OP=1；如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，则OP=﹣1．9．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C 的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为180cm．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n第18页（共20页）的代数式表示）【解答】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，∴=，解得x=180．（4分）（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，同理可得∴=，解得y=12cm；（3分）（3）记灯泡为点P，如图：∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得（1分）（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，∴=1﹣=1﹣x=（1分）．10．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F 分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF 于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．【解答】解（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，第19页（共20页）∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．（2）①证明：设BG交AC于点M．∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD⊥CF．②过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=，∴AE==2，∴AN=FN=AE=1．∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．∴AM=AB=．∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM===．∵△BMA∽△CMG，∴．∴．∴CG=．∴在Rt△BGC中，BG==．第20页（共20页）。
中考数学专题复习一线三等角专题练习(含答案)
—线三等角型相似三角形强化训练：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。
（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。
CPEA BDABCDEAB C D EF4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。
5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。
一线三等角相似、三垂直模型--2024年中考数学压轴题专题及参考答案
一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题一线三等角概念1“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。
类型一：三垂直模型1(雅礼)如图，点A是双曲线y=8xx<0上一动点，连接OA，作OB⊥OA，使OA=2OB，当点A在双曲线y=8xx<0上运动时，点B在双曲线y=kx上移动，则k的值为.2(青竹湖)如图，∠AOB=90°，反比例函数y=−4xx<0的图象过点A−1,a，反比例函数y=k xk>0,x>0的图象过点B，且AB⎳x轴，过点B作MN⎳OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y=kx于另一点，则ΔOBC的面积为.3(广益)如图，点A，B在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为．4(长沙中考2020)在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把ΔADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC 边上的点F．(1)求证：ΔABF∼ΔFCE(2)若AB=23,AD=4，求EC的长；(3)若AE-DE=2EC，记∠BAF=α,∠FAE=β，求tanα+tanβ的值．5(广益)矩形ABCD中，AB=8，AD=12，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．(1)如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图26(长郡)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知点Q是射线OC上一点，OQ=182，点P是x轴正半轴上一点，tan∠POC=1，连接PQ，⊙A经过点O且与QP相切于点P，与边OC相交于另一点D．(1)若圆心A在x轴上，求⊙A的半径；(2)若圆心A在x轴的上方，且圆心A到x轴的距离为2，求⊙A的半径；(3)在(2)的条件下，若OP<10，点M是经过点O，D，P的抛物线上的一个动点，点F为x轴上的一个动点，若满足tan∠OFM=12的点M共有4个，求点F的横坐标的取值范围．7(麓山国际)有一边是另一边的2倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．(1)已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为2，则该智慧三角形的面积为；(2)如图①，在△ABC中，∠C=105°，∠B=30°，求证：△ABC是智慧三角形；(3)如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A(3，0)，点B，C在函数y=kx上(x>0)的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为2．当△ABC是直角三角形时，求k的值．类型二：一线三锐角8(师大梅溪湖)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=22，AD=AE，∠DAE=90°，CE=5，则CD的长为.(提示，作辅助线构造一线三等角的相似)9(青竹湖)如图，在△ABC中，∠B=∠ACB=45°，AB=62，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F．(1)求证：AB•CF=BD•CD；(2)如图2，当∠AED=75°时，求CF的长；(3)若CD=3BD，求AFEF．10(广益)如图1，已知直线y=kx+2k(k为常数，k≠0)与x轴相交于点A，点B与点A关于y轴对称，点C在y轴的正半轴上，OC=3OA，连接AC，BC。
初三相似三角形压轴题
初三相似三角形压轴题示例文章篇一：哎呀，初三的相似三角形压轴题，那可真是个大难题！就像一只超级凶猛的大怪兽，每次看到它我都头疼得要命！记得有一次，数学老师在课堂上讲相似三角形压轴题，我眼睛瞪得大大的，耳朵竖得直直的，心里想着：“哼，我今天一定要把你拿下！”老师在黑板上画了一个复杂得要命的图形，边讲边写，我跟着老师的思路，不停地在本子上记呀算呀。
同桌小明凑过来，小声说：“这题也太难了吧，我感觉我脑袋都要炸啦！”我白了他一眼说：“怕啥，咱们一起努力，还能搞不定它？”老师讲完后，让我们自己做练习。
我咬着笔头，死死地盯着题目，感觉那些线条和角度都在嘲笑我：“哈哈，你解不出来吧！”我心里那个气呀，暗暗发誓：“我就不信了，我一定要把你们征服！”我又重新看了一遍题目，把条件一个一个地罗列出来，就像准备战斗的士兵整理自己的武器一样。
突然，我好像发现了一点线索，“这两个角难道是相等的？”我兴奋地自言自语。
我赶紧顺着这个思路往下算，可是算着算着又卡住了。
我着急得直跺脚，“哎呀，怎么又不行啦！”这时候，后桌的小红拍了拍我的肩膀说：“别着急，咱们再仔细想想。
”我们三个凑在一起，你一言我一语地讨论起来。
“咱们把这个边设为x 试试？”“不行不行，这样更复杂啦！”“那从这个相似比入手呢？”经过一番激烈的讨论，我们终于找到了方法，算出了答案。
那一刻，我高兴得差点跳起来，“哈哈，我们成功啦！”我觉得呀，相似三角形压轴题虽然难，但只要我们不害怕，多思考，多和同学们一起讨论，就一定能战胜它！这不就像我们爬山一样吗？山路崎岖陡峭，但只要我们一步一个脚印，坚持不懈，总能爬到山顶，看到美丽的风景！所以，面对相似三角形压轴题，咱们可不能退缩，要勇往直前，相信自己一定能行！示例文章篇二：哎呀呀，一听到“初三相似三角形压轴题”这几个字，我的脑袋都要大啦！这可真是个让人头疼的家伙！你知道吗？每次老师在课堂上讲到相似三角形压轴题的时候，我感觉就像是进入了一个神秘又复杂的迷宫。
中考数学专题复习练习 三等角型相似三角形题型压轴题
三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。
此规律需通过认真做题，细细体会。
典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD∴BE CDBD FC ∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE =35 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。
【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFDCA DB E FD∴DF DECD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBDDE BE = ∵∠EDF =∠B ∴△BDE ∽△DFE点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ；（1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。
中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题完整版
中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。
此规律需通过认真做题，细细体会。
典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD∴BECD BD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5∴BE =35点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。
【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴DF DECD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBD DE BE = ∵∠EDF =∠BCA DB E F∴△BDE ∽△DFE点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ； （1）求证：△ABP ∽△PCM ； （2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x（3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。
一线三等角型相似初三压轴题
中考热点5――三等角型相似三角形式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。
此规律需通过认真做题，细细体会。
典型例题【例1】如图，等边△ ABC 中，边长为6, D 是BC 上动点，/ EDF=60° (1) 求证：△ BDE CFD (2) 当 BD=1, FC=3 时，求 BE【思路分析】 本题属于典型的三等角型相似，由题意可得/ B= / C=Z EDF=60再用外角可证/ BED= / CDF ，可证△ BDE 与厶CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：(1)：公 ABC 是等边三角形，/ EDF=60 °•••/ B= / C=Z EDF =60 ° •••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC(2)v^ BDECFD• FC CD "BD- BE•/ BD=1 , FC=3, CD=5BE=5点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。
【例2】如图，等腰△ ABC 中，AB=AC , D 是BC 中点，/ EDF = / B ,求证：△ BDE DFE【思路分析】 比较例1来说区别仅是点 D 成为了 BC 的中点，所以△ BDE 与 △ CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及 BD=CD 的条件可证得△ BDE 和厶DFE 相似 解:•/ AB=AC ,Z EDF = / B•••/ B= / C=Z EDF•••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC •••△ BDE CFD BE DE 又••• BD=CDCD DF BE DEBE BD•-即BD DF DE DF•••/ EDF = Z B三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角 相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变 A•••△BDE s\ DFE点评：三等角型相似中若点D是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D是底边中点则有三对相似三角形，△ BDE与厶CFD相似后若得_BD = 匹加上BD=CD可证得△ CFD与厶DFE相似CF DF【例3】如图，在△ ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点(不与点B、C重合)，过点P作射线PM交AC于点M，使/ APM = Z B;(1)求证：△ ABPPCM ;(2)设BP=x, CM=y .求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域.(3)当厶APM为等腰三角形时，求PB的长. 【思路分析】第(1) (2)小题都是用常规的三等角型相似的方法。
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三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。
此规律需通过认真做题，细细体会。
典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD∴BE CDBD FC =∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE =35 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。
【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD∴DFDECD BE=又∵BD =CD ∴DF DE BD BE=即DFBDDE BE =∵∠EDF =∠B∴△BDE ∽△DFECADB EFDAB点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似 【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ； （1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。
对△APM 进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ABP ∽△PCM 相关的结论 解：（1）∵AB =AC ，∠APM =∠B ∴∠APM =∠B =∠C∵∠APC =∠APM +∠MPC =∠B +∠BAP ∴∠BAP =∠MPC ∴△ABP ∽△PCM （2）∵BP =x ，CM =y ，CP =8-x∵MCBP PC AB = ∴yxx =-85 ∴x x y 58512+-=)80(<<x（3）当AP =PM 时∵ABPCPA PM =∴PC =AB =5 ∴BP =3 当AP =AM 时 ∵∠APM =∠B =∠C∴∠PAM =∠BAC 即点P 与点B 重合 ∴P 不与点B 、C 重合 ∴舍去 当MP =AM 时 ∴∠MAP =∠MPA ∴△MAP ∽△ABC∴85==BC AB AP MP ∴85==AB PC PA PM 即8558=-x ∴BP =839点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至△ABP 和△PCM 中简化运算。
【例4】（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P不BP CABCPMABCPMABCPQ与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上（如图10），且6=BP ，求线段CQ 的长； ②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5（如图12），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）. 【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。
当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。
解：（1）∵BAP B CPQ APQ ∠+∠=∠+∠，ABC APQ ∠=∠，∴CQP BAP ∠=∠. 又∵AC AB =，∴C B ∠=∠.∴QCP ∆∽ABP ∆.∴ABCPBP CQ =. ∵5==AC AB ，8=BC ，6=BP ，268=-=CP ， ∴526=CQ ，512=CQ .（2）若点P 在线段CB 上，由（1）知ABCPBP CQ =. ∵x BP =，8=BC ， ∴x BP BC CP -=-=8，又∵y CQ =，5=AB ，∴ 58x x y -=，即x x y 58512+-=.故所求的函数关系式为x x y 58512+-=，)80(<<x .若点P 在线段CB 的延长线上，如图11.∵ CPQ APB APQ ∠+∠=∠， PAB APB ABC ∠+∠=∠，ABC APQ ∠=∠，∴ PAB CPQ ∠=∠.又∵ABC ABP ∠-︒=∠180，ACB PCQ ∠-︒=∠180，ACB ABC ∠=∠，ABC备用图A BCD图12ABC备用图PQ∴PCQ ABP ∠=∠.∴QCP ∆∽PBA ∆.∴PCABCQ BP =. ∵x BP =，x BP BC CP +=+=8，5=AB ，y CQ =，∴x y x +=85，即x x y 58512+= )0(>x . （2）当点P 在线段BC 上，255+=BP ，或255-=BP . 当点P 在线段BC 的延长线上，则点Q 在线段DC 的延长线上，2535+=BP . 当点P 在线段CB 的延长线上，则点Q 在线段DC 的延长线上，2535+-=BP . 点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。
动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。
强化训练：1.如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2.已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。
（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。
4.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2yCPEABFCPEABDAB CDEABCDEF（1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。
5.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。
6.已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点，E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交射线EB 于点F ，交射线AB 于点H .（1）求证：CED ∆∽ADH ∆；（2）设,EC x BF y ==. ①用含x 的代数式表示BH ； ②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域.7.已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．8.已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90B ，8=AB ，12=AD ，34tan =C ，AM ∥DC ，E 、F 分别是线段AD 、AM 上的动点（点E 与A 、D 不重合）且AMB FEM ∠=∠，设x DE =，y MF =.（1）求证：DM AM =；（2）求y 与x 的函数关系式并写出定义域；（3）若点E 在边AD 上移动时， EFM ∆为等腰三角形，求x 的值；9.已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点． （1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么CPEABFH ABCDE FCB A EFDBM C①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMFS S ∆∆=49时，求BP 的长．10.如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD =BC =4，AD =2M 为顶点作∠EMF =∠B ，射线ME 交边AB 于点E EF ． （1）指出图中所有与△BEM （2）设BE =x ，CF =y ，求y 关于x 答案：1. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠ADC =∠ADE +∠CDE =∠B +∠BAD ∴∠BAD =∠CDE ∴△ABD ∽△DCE （2）∵△ABD ∽△DCE ∴ABCDBD CE =∵x BD =，y AE =，x DC -=10∴y x x -=-8108∴845812+-=x x y )100(<<x（3）∵AC AB =，D 是BC 的中点∴AD ⊥BC ∴∠DAE+∠ADE=90°∵DE AE ≠∴△ADE 是直角三角形 2. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠BED +∠DEF =∠C +∠EFC =90°又∵B DEF ∠=∠∴∠BED =∠EFC ∴△FCE ∽△EBD （2）∵BD =x ，BE =x 35，x EC 356-= ∵△FCE ∽△EBD ∴2)(BDEC S S BED FEC =∆∆若EBD FCES S ∆∆=4∴4)356(2=-xx∴1118=x ∴31136356>=-x ∴BD 不存在 3. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠DPC =∠DPE +∠EPC =∠B +∠BDP ∴∠EPC =∠BDP ∴△ABD ∽△DCE（2）∵∠DPE =∠B ≠90°若∠PDE=90°，在Rt△ABH 和Rt△PDE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠DPE =53==PE PD AB BH ∴53==PC BD PE PD ∵PC =4 ∴512=BD 若∠PED=90°在Rt△ABH 和Rt△PDE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠PED =53==PD PE AB BH ∴35==PC BD PE PD CP EABDH CPEABDHE DC B AP （第25题图）CM∵PC =4 ∴5320>=BD （舍去） 综上所述，BD 的长为512 4. 解：（1）52454)6(541+-=-=x x y 、x y 342= （2）∵∠FPE =∠B ≠90°若∠PFE =90°，在Rt△ABH 和Rt△PFE 中∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH ∴5312=y y ∴535245434=+-x x ∴1727=x 若∠PEF =90°，在Rt△ABH 和Rt△PFE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH ∴3512=y y ∴355245434=+-x x ∴3=x 5. 解：（1）△PEB ∽△EPC（2）∵PC =x ∴x PF34=，)6(54x PE -=，)6(251654x EP EH -== ∴)6(7532)6(2516342121x x x x EH PF y -=-⋅⋅=⋅⋅=即x x y 256475322+-=)30(≤<x （3）当PE =PF 时，△EPC ≌△PEB ，PC =BE =x ，536=-x x ∴49=x 当PE =EF 时，x PF PH 3221==，cos ∠EPH =cos B ，53)6(5432=-x x∴43108=x当FE =PF 时，)6(5221x EP PM -==， cos ∠FPM =cos B ，5334)6(52=-x x ∴2=x 综上所述，PC 的长分别为49=x 、43108、26. 解：（1）∵AB BC =,∴A C ∠=∠∵CDE EDF A H ∠+∠=∠+∠又EDF A ∠=∠,∴CDE H ∠=∠CED ∴∆∽ADH ∆（2）①∵CED ∆∽ADH ∆，∴CE CDAD AH= CPEABFHCPEABFH CPEAB F G HM∵D 是AC 的中点，6AC =，∴3AD CD ==，又 ∵,4CE x AB ==∴当H 点在线段AB 的延长线上时，334x BH =+，∴94BH x =- 当H 点在线段AB 上时，334x BH =-，∴94BH x=-②过点D 作DG ∥AB ,交BC 于点G∴12DG CG CD AB BC AC ===，∴2,2DG BG == ∴当H 点在线段AB 的延长线上时，∴BH BF GD GF=，∴9422y x y -=-∴18890924x y x x -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭当H 点在线段AB 上时，∴BH BFGD GF=，∴9422yx y -=+ ∴81894924x y x x -⎛⎫=≤< ⎪-⎝⎭7. 解：（1）①证明：∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DCPD AP AB =，即252xx -= 解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQAPPD AB = 即y x x +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5．8. 证明：（1）过点M 作AD MG ⊥交AD 于G∵AM//DC ∴C AMB ∠=∠∵8AB ,90B =︒=∠ ∴BM AB C AMB ==∠tan tan ∴BM834=∴6B M = ∵AD//BC ，AB//MG ∴AG=BM=6∵AD=12 ∴AG=GD ∴AGM ∆≌DGM ∆∴AM=DMC DAB PE(2) ∵A MB FEM ∠=∠ A FE A MB ∠=∠∴EFM ∽∆∆AEM ∴FMEMEM AM =∵22226)-(8EM 1086AM x +==+=∴y x x 2222)6(8)6(810-+=-+∴1056101y 2+-=x x 定义域为：120<<x (3) ∵FEM AEF MAE EFM ∠>∠+∠=∠∴EM ≠FM∴若EFM ∆为等腰三角形，则EF =EM 或EF =FM ① 当EF =EM 时,12-x =10∴x =2 ②当EF =FM 时∵MA E F F ∠=∠=∠EMME ∴AE =EM ∴226)-(x 8x -12+=∴311x =9. 证明：（1）∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠B =∠CBE =2,BP =2,CP =4,CD =4，∴CDBPCP EB =，∴△BEP ∽△CPD (2)①FPC EPF BEP B EPF ∠+∠=∠+∠=∠Θ又∠EPF =∠C=∠B ，∴FPC BEP ∠=∠ ∴△BEP ∽△CPF ，∴CF BPCP EB =∴462+=-y x x ∴43212-+-=x x y （42<<x ）②当点F 在线段CD 的延长线上时Θ∠FDM =∠C=∠B ， FMD FPC BEP ∠=∠=∠，∴△BEP ∽△DMF ΘBEP DMF S S ∆∆=49，∴xy BP DF ==23 又43212-+-=x x y ，∴0832=+-x x ，Δ＜0，∴此方程无实数根，故当点F 在线段CD 的延长线上时，不存在点P 使BEP DMF S S ∆∆=49当点F 在线段CD 上时，同理△BEP ∽△DMFΘBEP DMF S S ∆∆=49，∴x y BP DF ==23，又∴△BEP ∽△CPF ∴CFBPCP EB =，∴y x x -=-462 ∴43212+-=x x y ，∴0892=+-x x ，解得 11=x ，82=x 由于82=x 不合题意舍去，∴1=x ，即BP =1 所以当BEP DMFS S ∆∆=49时，BP 的长为1． 10. 解：（1）△CMF ∽△BEM ，△MEF ∽△BEM ．证明如下：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB =CD ，∴∠B =∠C ． 又∵∠EMF +∠FMC =∠B +∠BEM ，∠EMF =∠B ，∴∠FMC =∠BEM ．∴△CMF ∽△BEM ． ∴CM BEFM EM =． 又∵CM =BM ，∴BMBEFM EM =．∵∠EMF =∠B ，∴△MEF ∽△BEM ． （2）∵△CMF ∽△BEM ，∴CFCMBM BE =． ∵BM =CM =2，∴y x 22=．∴所求函数的解析式为xy 4=，（41≤≤x ）。