理数高三四联详细答案
天一大联考2020年高三四联理数试题及答案
2019-2020 学年高中毕业班阶段性测试（四）理科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{})2ln(,0)4()1(x y x N x x x M -==≥--=，则N M I =（ ）A.)2,1( B.]2,1[ C.]1-，（∞ D.]4,2(2.复数z 满足i z i 2121-=+，则z 的共轭复数z =（） A.i 43+- B.i 43-- C.i 5453+- D.i 54533.已知两个平面βα，，直线R l ⊂，则“β∥l ”是“βα∥”的（） A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.4)21(-+x x 展开式中的常数项为（） A.11 B.11 C.70 D.705.已知正实数c b a ,,满足2log ,log )41(,log )21(333===c b a b n ，则（ ） A.c b a << B.a b c << C.a c b << D.ba c <<6.已知向量b a ,的夹角为135322==，且b a λ+与b a垂直，则λ=（ ） A.1514 B.65 C.32 D.617.设不等式组⎩⎨⎧+-+x x x ，表示的平面区域为D ，命题p ：点（2,1）在区域D 内，命题q ：点（1,1）在区域D 内.则下列命题中，真命题是（ ）A.q p ∨⌝)(B.)(q p ⌝∨ C.)()(q p ⌝∧⌝ D.q p ∧8.函数x x x x f -+-=333)(的图象大致是（ ） A B C D9.已知21F F ，为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x E ：的左、右焦点，点M 为E 右支上一点.若1MF 恰好被y 轴平分，且ο3021=∠F MF ，则E 的渐近线方程为（） A.x y 22±= B.x y 2±= C.x y 3±= D.xy 2±=10.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)()1(4*2N n a S n n ∈+=，则8765a a a a +++=（ ）A.24B.48C.64D.7211.已知斜率为k （k>0）的直线l 过抛物线x y 42=的焦点，且与圆2)1()2(22=+++y x 相切.若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则AB =（） A.24 B.34 C.8 D.1212.定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)(x f '，若)(2)(x f x f <'，则不等式)23()(84+>--x f e x f e x 的解集是（） A.),21(+∞- B.)21,(-∞ C.)1,21(- D.)21,1(-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校高三年级一次模拟考试的数学测试成绩满足正态分布X ～),100(2σN ，若已知47.0)10070(=≤<X P ，则从该校高三年级任选一名学生，其数学测试成绩大于130分的概率为. 14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)3(32,1122≥=+=--n S S S a n n n ，则5a =. 15.已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，下列说法正确的有 .（写出所有正确说法的序号）①)(x f 的图象关于点)0,6(π-对称；②)(x f 的图象关于直线125π-=x 对称； ③)(x f 的图象可由x x y 2cos 2sin 3-=的图象向左平移2π个单位长度得到； ④方程03)(=+x f 在]0,2[π-上有两个不相等的实数根.16.已知正三棱锥P-ABC 的四个顶点都在半径为3的球面上，则该三棱锥体积最大时，底面边长AB= .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中C C C c ,32sin 322sin ,342=+=为锐角.（1）若4=a ，求角B ；（2）若A B sin 2sin =，求△ABC 的面积.18.（12分）某班级有60名学生，学号分别为1～60，其中男生35人，女生25人.为了了解学生的体质情况，甲、乙两人对全班最近一次体育测试的成绩分别进行了随机抽样.其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样，他们得到各12人的样本数据如下所示，并规定体育成绩大于或等于80人为优秀.甲抽取的样本数据：女抽取的样本数据：（Ⅰ）在乙抽取的样本中任取4人，记这4人中体育成绩优秀的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据，判断是否有95%的把握认为体育成绩是否为优秀和性别有关； （Ⅲ）判断甲、乙各用的何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优，说明理由. 附:))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=19.（12分） 已知直三棱柱111C B A ABC -中，E AA BC AC AB ,322,21====是BC 中点，F 是E A 1上一点，EF E A 41=. （Ⅰ）证明：⊥AF 平面BC A 1；（Ⅱ）求二面角11B E A C 的余弦值.20.（12分）已知椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x E ：的四个顶点依次连接可得到一个边长为32，面积为36的菱形.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线m kx y l +=：与圆32222b y x O =+：相切，且交椭圆E 于两点M ，N ，当MN 取得最大值时，求22k m +的值.21.（12分）已知函数x e x x f )1()(2-=.（Ⅰ）设曲线)(x f y =与x 轴正半轴交于点)0,(0x ，求曲线在该点处的切线方程；（Ⅱ）设方程)0()(>=m m x f 有两个实数根21,x x ，求证：)211(221em x x +-<-（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 224112（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2)3cos(=-πθρ（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求△OMN 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数14)(,1)(+-=-+-=x x g x a x x f（Ⅰ）当2=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式)()(x g x f ≤的解集包含]1,0[，求a 的取值范围.。
安徽省数学试题2023高三第四次联考含答案解析
6
2
6
66
42
62
因此 sin2 A sin2 C 的取值范围是 ( 5 , 3] ， 42
…………………………11 分
所以 a2 c2 的取值范围是 (5 , 2]
b2
3
…………………………12 分
20.【解析】(1)作 BM / /DE 交 CD 于 M ,连接 MG .
则四边形 BEDM 是平行四边形， DM 2 2,CM 2 ,
… ………………………6 分
(2) 由题设 ADE 是等腰直角三角形，取 DE 中点 N ,
4/6
连接 AN, FN 则 FN DE ,由题设平面 FDE 平面ADE ，
平面 FDE 平面ADE DE ,所以 FN 平面ADE .…………7 分 以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系。
f (0) 0 得 f (2) 2 . 因 为 f (x 2) 是 偶 函 数 ， 可 得 f (3) f (1) ， 由 周 期 性 可 得 f (1) f (3) ， 又
2020
f (1) f (3) 2 ，故 f (1) f (3) 1，所以 f (1) f (2) f (3) f (4) 4 ， f (i) 2020 . i 1
3
6
26
2
由正弦定理可得：
a2 c2 b2
sin2 A sin2 C sin2 B
4（sin2 3
A sin2 C）。
…………………………8 分
因为 sin2 A sin2 C sin2 A sin2 ( 2 A) 1 (1 cos 2A) 1 (1 cos( 4 2A))
3
2
2
数学参考答案
题 号
2021-2022年高三上学期第四次同步考试 理科数学 含答案
实用文档2021-2022年高三上学期第四次同步考试 理科数学 含答案一．选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分．1. 已知集合，，则为（ ）A ． B. C. D.2. 等差数列中，如果，，则数列前9项的和为等 ( )A. 297B. 144C. 99D. 663. 已知,满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若的最小值为,则 （ ）A ．B ．C ．D ．4. 下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．命题“若则”的逆否命题为真命题.B ．函数的定义域为.C ．命题“使得”的否定是：“均有” .D ．“”是“直线与垂直”的必要不充分条件.5. 已知等比数列的首项公比，则=+++1122212log log log a a a ( )A.50B.35C.55D.466. 若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 函数()()()()22log ,2,f x x g x x f x g x ==-+⋅则的图象只可能是（ ）8. 若是的重心，分别是角的对边，若30aGA bGB cGC ++= 则角（ ） A 、 B 、 C 、 D 、9. 已知函数()32cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10. 已知2242,12),,0(,b a ab s b a b a --==++∞∈则且的最大值为（ ）A. B. C. D.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若，，，则的值为12. 已知实数满足，则的最大值为 .13. 设函数的定义域为R ，且是以．．3．为周期的奇函数．．．．．．．，,,,且，则实数的取值范围是 .14. 已知函数，函数)0(23)3cos(2)(>+-=a a x a x g π，若存在，使得成立，则实数的取值实用文档范围是15. 设集合，如果满足：对任意，都存在,使得，那么称为集合的一个聚点，则在下列集合中：（1）；（2）;(3);(4)，以为聚点的集合有 （写出所有你认为正确的结论的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2021-2022年高三4月联考 数学理 含答案
2021年高三4月联考数学理含答案张延良、闻家君 xx.4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．已知集合,,则( )A．B．C．D．2．在复平面内,复数对应的点分别为A,B．若C为线段AB的中点,则点C对应的复数的模是( )A．B． C．D．3．下列函数中既是偶函数,又是区间上的减函数的是( )A．B．C．D．4．已知函数,则=( )A．B．C．D．5．一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边．．三角形,则这个几何体的体积为( )A．B．C．D．6．已知实数满足条件08,07,012,10672,0219,,x yx yx yx yx y Z≤≤≤≤⎧⎪<+≤⎪⎪+≥⎨⎪≤+≤⎪∈⎪⎩则使得目标函数取得最大值的的值分别为( )A．0，12 B．12，0 C．8，4 D．7，5 7．函数的部分图象如右图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的A．B．C．D．8．下列命题中:①“”是“”的充要条件;②已知随机变量服从正态分布,,则;③若n组数据的散点图都在直线上,则这n组数据的相关系数为;④函数的所有零点存在区间是.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．49．如右图所示，单位圆中弧的长为,表示弧与弦所围成的弓形（阴影部分）面积的2倍，则函数的图象是( )10．抛物线的焦点为,点在此抛物线上,且,弦的中点在该抛物线准线上的射影为,则的最大值为( )A．B．C．1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．下图给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等,则这样的值有________个.12．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红球，5个黄球，10个绿球，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是__________.13．已知二项式展开式中的常数项为,且函数210()3,0110xf x px x-≤≤=⎨-<≤⎪⎩,则___________.14．已知数列为等差数列,若,,则.类比上述结论,对于等比数列,若,则可以得到＝____________.三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答. 若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.(2)（不等式选做题）不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________.四、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量1(sin,1),(3cos,)2a xb x=-=-,函数(1)求函数的最小正周期T及单调减区间;(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，,,且.求A，b的长和ABC的面积.17.（本小题满分12分）小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,且每个问题回答正确与否相互独立.(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;(2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.18.（本小题满分12分）各项均为正数的数列前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)已知公比为的等比数列满足，且存在满足,,求数列的通项公式.19.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点（与端点不重合），且.(1)若，求证:;(2)若直线与平面所成角的大小为，求的最大值.20.（本小题满分13分）已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，求△面积的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数（）.(1)若函数在处取得极大值,求的值;(2)时,函数图象上的点都在所表示的区域内,求的取值范围; (3)证明:，.江西师大附中、鹰潭一中xx 高三数学（理）联考【参考答案】一、选择题6.解析：易知B,C 不在可行域，A ，D 选项的z 分别为4200，4900，故选D.7.解析：①取时，有但得不到,故不必要，错误;②的正态分布的对称轴是，(0)(6)1(6)0.28P X P X P X ≤=≥=-≤=，正确; ③斜率为负数表明负相关,得,由于数据均在直线上,故相关程度最强,为,正确; ④11113222111111()()()0,()()()0,333232f f =->=-<得，且单调，故正确.8.解析：过P 作轴于Q ，则31344tan ,tan ,1212T TAPQ BPQ ∠==∠==tan tan tan tan()81tan tan APQ BPQAPQ BPQ APQ BPQθ∠+∠=∠+∠==-∠∠.则.另解：由图可知,,C 、D 是负值根本不可能.则,故,故排除B. 9.提示：()sin ,'()1cos f x x x f x x =-=-.10.解析：2221||||||2|'|(||||)||222AF BF AB MM AF BF AB +=+≤==. 二、填空题 11.3 12. 13.14.b m ＋n ＝n －m d nc m ..解析：观察{a n }的性质：a m ＋n ＝nb －man －m ,则联想nb －ma 对应等比数列{b n }中的d nc m ,而{a n }中除以(n －m )对应等比数列中开(n －m )次方,故b m ＋n ＝n －md nc m.三、选做题15.（1）. 解析：设极点为O,由该圆的极坐标方程为ρ＝4,知该圆的半径为4,又直线l 被该圆截得的弦长|AB|为4,所以∠AOB ＝60°,∴极点到直线l 的距离为d ＝4×cos30°＝23,所以该直线的极坐标方程为.（2）或.解析：f(x)＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎨⎧－4x ＜－3，2x ＋2－3≤x＜1，4x ＞1.画出函数f(x)的图象,如图,可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要a 2－3a≥4即可,解得或.四、解答题16.解析：(1)…………（2分）…………………………（4分） 单调递减区间是 …………（6分） (2); …………………………………………8分）…………（10分）. ………………………………（12分） 17.解析：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P 1,则P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34×14＝725. …………（4分）(2)X 的取值为0,1000,3000, 6000,则P(X ＝0)＝15＋45×15＝925,P(X ＝1000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34×14＝725, P(X ＝3000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫342⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232－C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝775,P(X ＝6000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫342⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝415,∴X 的概率分布列为…………………（10分）(错一列扣2分，扣完为止)∴X 的数学期望EX ＝0×925＋1000×725＋3000×775＋6000×415＝2160. ……（12分）18.解析：(1)，两式相减得：n n n n n a a a a a 22412211-+-=+++，…………………………………（2分）即0)2)((11=--+++n n n n a a a a ，………………………………（4分） 为首项为1，公差为2的等差数列，故………………………（6分）(2)，依题意得，相除得+∈-+=-+=N m m m q 12611252……（8分），代入上式得q=3或q=7，…………………………………（10分）或.…………………………………………………………………（12分）19.解析：如图,建立空间直角系,则1113(1,0,2),(,0,2),(1,0,0),((0,0,2)22B M B N A λλ…（1分） (1)当时,,此时,,…（3分）因为，所以.………………（5分）(2)设平面ABN 的法向量，则， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=0230z y x ，取。
江苏省高三下学期4月联考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，，（ ）(){,M x y y =={}N y y x ==M N ⋂=A ． B ．C ．D ．(){}0,0(){}1,1()(){}0,0,1,1∅【答案】D【分析】利用集合的表达形式即可得出答案. 【详解】由题知，的代表元素是点，(){,M x y y ==的代表元素是实数，{}N y y x ==两者没有交集. 故选：D2．若复数满足,则（ ） z ()1i 2i z +=z =A ． BC D ．12【答案】B【分析】结合复数的除法运算以及模长公式即可求出结果. 【详解】因为, (1i)2i z +=所以, ()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i ()()1i 2z -+====+++-则z ==故选:B.3．如图所示，某学生社团在公园内测量某建筑的高度，为该建筑顶部.在处测得仰角AE E B ，当沿一固定方向前进60米到达处时测得仰角，再继续前进30米到达30ABE ∠=︒C 45ACE ∠=︒处时测得仰角，已知该建筑底部A 和、、在同一水平面上，则该建筑高度D 60ADE ∠=︒B C D 为（ ）AEA ．B ．C ．45D ．90【答案】D【分析】解直角三角形求得AE 分别与AD ，AC ，AB 的关系，再余弦定理解和即可. ADC △ABC【详解】设，由题意知，所以， AE tan AEADE AD=∠=AD x =同理. tan 1,tan AE AE ACE ABE AC AB =∠==∠=,3AC AB x ==在和中，.ADC △ABC 180ACD ACB ∠+∠=由余弦定理可得：cos ACD ACB ∠=∠=，解得. 0=90x ==故选：D4．某校高中计划举办足球比赛，每个年级有两队，把全校6个队分为甲、乙两组，每组3队，则每个年级的队都不在同一组的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．310253545【答案】B【分析】根据古典概率和组合数计算即可得到答案.【详解】首先计算出总事件数为种，36C 20=而每个年级的队都不在同一组的情况数为种，111222C C C 8⋅⋅=故概率， 82205P ==故选：B.5．已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是（ ） a b c 1a b -= ()()23a b a c -⋅- A ． B ．C ．D ．[]4,2-[]22-,[]2,4-[]4,4-【答案】C【分析】由平面向量，，均为单位向量，且，根据向量的减法的几何意义，可判定a b c1a b -= ，与构成等边三角形，，向量夹角为，再化简原式a b ()a b -a b 60 即可求解.()()2313()a b a c c a b -⋅-=-⋅-【详解】由平面向量，，均为单位向量，且，a b c1a b -=根据向量的减法的几何意义，可判定，与构成等边三角形，a b ()a b -所以，向量夹角为，a b 160,11cos 602a b ⋅=⨯⨯=()2()23232313()a b a c a a c a b b c c a b -⋅-=-⋅-⋅+⋅=-⋅- ,1311cos ,c a b =-⨯⨯⨯-所以当与同向时，原式取到最小值； c()a b - 2-当与反向时，原式取到最大值4.c()a b - 故选：C.6．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R ()21f x +()2f x +[]0,1x ∈.若，则（ ）()x f x a b =+()()031f f +=-A ． B ．1b =-()20231f =-C ．为偶函数 D ．的图象关于对称()f x ()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据为奇函数，为偶函数，求出函数的周期，并结合()21f x +()2f x +()f x 求出a ，b 的值，即可判断A ；由的周期可求出即可判断B ；()()031f f +=-()f x ()2023f 为偶函数得，结合的周期即可判断C ；由即()2f x +()()22f x f x -+=+()f x (0)(1)10f f +=-≠可判断D.【详解】为奇函数，， ()21f x +Q ()()2121f x f x ∴-+=-+令，则；用替换，则， 0x =()10f =x 2x ()()11f x f x -+=-+又为偶函数，，()2f x + ()()22f x f x ∴-+=+令，则；用替换，则，1x =()()310f f ==1x +x ()()13f x f x -+=+，用替换，则， ()()31f x f x ∴+=-+1x -x ()()2f x f x +=-，则的一个周期为4，()()()42f x f x f x ∴+=-+=()f x 由，解得，故A 错误；(1)0(0)(3)11f a b f f b =+=⎧⎨+=+=-⎩22a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误；()()()20235054330f f f =⨯+==由，得，得为偶函数，故C 正确；()()22f x f x -+=+()()()4f x f x f x -=+=()f x 时，，，不关于对称，故D 错误，[]0,1x ∈ ()22x f x =-∴(0)(1)10f f +=-≠()f x \1,02⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.7．设点、分别为椭圆：的左右焦点，点，在椭圆上，若1F 2F C ()222210x y a b a b+=>>M N C ，，则椭圆的离心率为（ ） 1123MF F N = 222MF MN MF =⋅C ABC ．D ．3515【答案】A【分析】根据向量关系得出线段关系，结合椭圆的定义与余弦定理计算即可.【详解】由题意可知，， 1123MF F N = 222cos MF MN M M F ⋅=⋅ 设，13MF x =则， 21222,5,22,23,cos MF F x MN x MF a x NF a N x M MN===-=-=则,，290MF N ∠=()()222222222322253MF NF MN a x a x x a x+=⇒-+-=⇒=∴在中，由余弦定理得12MF F △22222341cos ,525x a a c M e e x a +-==⇒=∴=故选：A8．若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为（ ）x ()e 323xk x x -<+()0,x ∈+∞k A ． B ．0 C ．1 D ．31-【答案】B【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得. 【详解】因为对于任意恒成立，e (3)23x k x x -<+()0,x ∈+∞等价于对于任意恒成立， 323e xk x x <++()0,x ∈+∞令，，则， 3(2)e x x x f x +=+()0,x ∈+∞12()12e 1e e x x x xf x x -'=--=+令，，则，()e 21x g x x =--()0,x ∈+∞()e 2x g x '=-当时，，当时，， (0,ln 2)x ∈()0g x '<(ln 2,)x ∈+∞()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()g x (0,ln 2)(ln 2,)+∞又，，，(0)0g =e 30(1)g =-<2(2)e 50g =->所以在有且仅有一个根，满足，即，()g x ()1,20x 00e 210x x --=0021e xx =+当时，，即，函数单调递减，0(0,)x x ∈()0g x <()0f x '<()f x 时，，即，函数单调递增，0(,)x x ∈+∞()0g x >()0f x '>()f x 所以，000min 00000000222111()()12222331e 112x x x f x f x x x x x x x x +++==+=+=+++++=++由对勾函数可知，即， 00211121121322512x x ++<++++++<0817()35f x <<因为，即，，，所以， 03()k f x <0()3f x k <0()8170<9315f x <<Z k ∈1k ≤当时，不等式为，因为，不合题意；1k =()e 323xx x -<+()e 3123->+所以整数的最大值为0. k 故选：B【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则()f x D （1）恒成立：；； ()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<（2）能成立：；.()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、18、20的第80百分位数为17B ．若随机变量，且，则()22,N ξσ ()50.2P ξ>=()150.6P ξ-<<=C ．若随机变量，则方差29,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()2D ξ=D ．若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数和方差都会发生变化 x 【答案】ABC【分析】利用百分位数的定义可判断A 选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B 选项；利用二项分布的方差公式可判断C 选项；利用方差和期望的性质可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，该组数据共个数，且， 10100.88⨯=因此，该组数据的第百分位数为，A 对； 801618172+=对于B 选项，若随机变量，且，()2~2,N ξσ()50.2P ξ>=则，B 对；()()15125120.20.6P P ξξ-<<=->=-⨯=对于C 选项，若随机变量，则，C 对；2~9,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭()219233D ξ=⨯⨯=对于D 选项，在随机变量的每个样本数据上都加个正数， X x 则得到的新数据对应的随机变量为，X x +由期望和方差的性质可得，，()()E X x E X x +=+()()D X x D X +=因此，若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数会改变，但方差不变，D 错. x 故选：ABC.10．数列满足，，，为数列的前项和，则（ ） {}n a 11a =112n n n a a +=*N n ∈n S {}n a n A ． B ． C ． D ．414a =7134S =3n S <1n n a a +≤【答案】ACD 【分析】由，，得数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等112n n na a +=212112n n n n n n a a a a a a ++++=={}na 12比数列，由此求解. 【详解】由，,得数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比112n n n a a +=212112n n n n n n a a a a a a ++++=={}n a 12数列，且首项分别为，故，故选项A 正确；1211,2a a ==421124a a =⨯=，故B 选项错误； 7135724611111111()()(1)()2482484S a a a a a a a =++++++=++++++=对于C 中，奇数项通项公式为，1122111()()22n n n a --=⨯=偶数项通项公式为， 122111()()222n nn a -=⨯=当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项n 12n +12n -所以，112211221111[1()][1()]112222[1()]1()311221122n n n n n S +-+-⨯-⨯-=+=⨯-+-<--当为偶数时，奇数项偶数项各有项， n 2n，所以C 选项正确；22221111[1()][1()]112222[1()]1()311221122nnn n n S ⨯-⨯-=+=⨯-+-<--对于D 中，奇数项通项公式为，1122111()()22n n n a --=⨯=偶数项通项公式为， 122111()()222n nn a -=⨯=当为奇数时，为偶数，， n 1n +1122111()()22n n n n a a +-+=<=当为偶数时，为奇数，， n 1n +22111()()22n nn n a a +===所以，所以D 选项正确. 1n n a a +≤故选：ACD.11．将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的()cos f x x =3π4（）倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则函数1ω0ω>()g x ()g x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭的周期可以是（ ）()g x A ． B ．C ．D ．π3π9π27π【答案】BD【分析】利用三角函数平移问题得到，根据函数在上没有零点，()g x 3πcos 4x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭判断的取值范围，进而确定周期的范围，得出答案.ω【详解】向右平移个单位，()cos f x x =3π4得到的图像，3πcos 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再把图象的横坐标变为原来的（），纵坐标不变，1ω0ω>得函数，即，3πcos 4y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x 3πcos 4x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为在上没有零点，()g x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭所以首先满足，即，， 3ππ222T-≤2πT ≥01ω<<令，即， ()0g x ≠3πππ,Z 42x k k ω-≠+∈所以， π5π,Z 4k x k ωω≠+∈则或， π5π3π,Z 42k k ωω+≥∈π5ππ,Z 42k k ωω+≤∈所以或， 54,Z 2k k ω≥+∈52,Z 63kk ω≤+∈综上，或， 106ω<≤1526ω≤≤所以或，或， 16ω≥6125ω≤≤2π12πω≥12π2π4π5ω≤≤即或. 12πT ≥12π4π5T ≤≤故选：BD12．若函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：()f x ()11,A x y ()22,B x y0，则称为“柯西函数”，则下列函数中是“柯西函12x x y +()f x 数”的为（ ）A ．（）B ．（） ()e xf x =01x <<()ln f x x =0e x <<C ． D ．()ln xf x x=()sin f x x =【答案】CD【分析】利用向量数量积的坐标表示将问题转化为过原点的直线与函数至少有两个不同交点，一一判断即可.【详解】结合题意可知，12x x y +0OB OA OB ⋅-⋅≤即，当且仅当即或时取得等cos ,0OA OB OA OB OA OB ⋅-⋅≤ cos ,1OA OB =±,0OA OB = π号，即的最大值为0， 12x x y +故“柯西函数”为与过原点的直线至少有两个不同交点的函数. 设，y kx =对于A ，，()()()e 00,1xf x kx k x x -=⇒=∈设，即在上单调递减，不符合题意，故A 错误；()()()2e 1e 0x xx g x g x x x -'=⇒=<()g x ()0,1对于B ，，()()()ln 00,e xf x kx k x x-=⇒=∈设，即在上单调递增，不符合题意，故B 错误； ()()2ln 1ln 0x xg x g x x x -'=⇒=>()g x ()0,e 对于C ， ()()()2ln 00,xf x kx k x x -=⇒=∈+∞设， ()()23ln 12ln x xg x g x x x -'=⇒=令，()(())0,0g x x g x x ''>⇒∈<⇒∈+∞即在上单调递增，在上单调递减，，，()g x ()+∞12eg=()10g =，故当时，符合题意，故C 正确；(),0x g x ∞+→+→10,2e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对于D ，设，即在R 上单调递减， ()()()cos 10g x f x x g x x '=-⇒=-≤()g x 而，故恒成立，()00g =()sin 0x x x ≤≥故结合图象可得当时，有至少两个交点，符合题意，故D 正确；()01y kx k =<<()0g x kx -=故选：CD.三、解答题13．已知函数（）.()()()ln 2221e x f x x m x +=-⋅+-m ∈R (1)当时，求函数的单调区间；0m =()f x (2)已知，若时，恒成立，求的取值范围.()()22e 1x h x x x =+-1x ≥-()()f x h x ≤m 【答案】(1)增区间为，减区间为和； ()2,0-(),2-∞-()0,∞+(2)[]2,1--【分析】（1）求导函数，解不等式即可得单调区间；（2）对式子化简，把恒成立问题转化为恒成立，然后构造函数，()()()212e 2e 10x xx m x -⋅+-+≤求导研究函数的单调性，求出函数的最值即可求解.【详解】（1）当时，，则，0m =()()ln 2221e x f x x x +=-⋅-()()22e x f x x x +'=-令，得，()()22e 0xf x x x +'=->20x -<<令，得或，()()22e 0xf x x x +'=-<<2x -0x >所以函数的增区间为，减区间为和； ()f x ()2,0-(),2-∞-()0,∞+（2）依题意，当时，恒成立，1x ≥-()()f x h x ≤即恒成立，()()()212e 2e 1x xx m x -⋅+≤+即时，恒成立，1x ≥-()()()212e 2e 10x xx m x -⋅+-+≤取代入，则，此时，=1x -()2110e m ⎛⎫-⋅+≤ ⎪⎝⎭1m ≤-取代入，则，此时， 0x =()1220m -⋅-≤2m ≥-所以.21m -≤≤-下面证明，当时，恒成立， 21m -≤≤-()()()212e 2e 10x xx m x -⋅+-+≤构造函数，，()()()()212e 2e 1x xF x x m x =-⋅+-+1x ≥-也即是证明在区间上恒成立. ()0F x ≤[)1,-+∞下面分两种情形进行讨论：情形一：当时，有，1ln2x -≤≤-12e 0x -≥此时：，()()()()()()()2212e 2e 112e 12e 1x x x xF x x m x x x =-⋅+-+≤-⋅--+由于，，，，，1ln2x -≤≤-12e 0x -≥210x -≤e 0x >10x +≥所以，即．()()()212e 12e 10x xx x -⋅--+≤()0F x ≤情形二，当时，，ln2x >-12e 0x -<此时， ()()()()()()()2212e 2e 112e 22e 1x x x xF x x m x x x =-⋅+-+≤-⋅--+设，()()()()()22212e 22e 122e 1x x x t x x x x x x =-⋅--+=--+-则， ()()()222e321e 3xxt x x xx x x ⎡⎤=-+=⋅-+⎣'⎦当时，，此时，0x ≥()e 33x x +≥()()1e 30xt x x x '⎡⎤=⋅-+≤⎣⎦所以在上递减，所以．()t x [)0,∞+()()00t x t ≤=当时，，，递增，ln20x -<<()()e 3xx x ϕ=+()()e 40x x x ϕ=+>'()x ϕ所以， ()()()()ln 211e 3e ln233ln211ln2122x x -+>-+=-=+->所以此时，在上递增，()()1e30xt x x x ⎡⎤=⋅-+>⎣⎦'()t x ()ln2,0-所以，所以当时，. ()()00t x t <=ln2x >-()()0F x t x ≤≤结合情形一和情形二得到：当时，对任意，都有， 21m -≤≤-1x ≥-()0F x ≤综上所述，的取值范围是.m []2,1--【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.14．小徐同学在平面直角坐标系画了一系列直线（）和以点为圆心，为半径x t =0t ≥()1,0F 1t +的圆，如图所示，他发现这些直线和对应同一值的圆的交点形成的轨迹很熟悉．t(1)求上述交点的轨迹的方程；M (2)过点作直线交此轨迹于、两点，点在第一象限，且，轨迹上一点在F M A B A 2AF FB =M P 直线的左侧，求三角形面积的最大值． AB ABP 【答案】(1) 24y x =【分析】（1）先设交点的坐标，再根据已知列方程组，消参即可得轨迹方程；（2）先设直线的方程，再和抛物线联立方程组得两根和及两根积，最后结合向量关系及面积公AB 式求解即可.【详解】（1）设交点为(),x y ()()22211x t x y t =⎧⎪∴⎨-+=+⎪⎩24y x ∴=（2）设直线为，AB ()1y k x =-，，， 211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭10y >20y <， ()241y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩204k y y k --= 121244y y k y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，2AF FB =u u u r u u rQ 2212121,21,44y y y y ⎛⎫⎛⎫∴--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12221221242yy y y =-⎧⎪∴⎨-=-⎪⎩2y ∴=1y =，，(2,A ∴1,2B ⎛⎝92AB =直线：，设点，AB )1y x =-()2,2P pp p <<点到直线的距离为P ABd 所以119222ABP S d AB =⋅≤=△15．在中，角、、的对边分别为、、，若． ABC A B C a b c 2A B =(1)求证：； 22a b bc -=(2)若，点为边上一点，，．2cos 3B =D AB 34AD DB =CD =b 【答案】(1)证明见解析 (2) 92b =【分析】（1）由可换成正弦值相等，利用三角恒等变换、正余弦定理求解. 2A B =（2）已知，可求出的值，再由（1）可求出，再由正余弦定理可解三角2cos 3B =sin B sin sin AC 、形.【详解】（1），2A B = sin sin22sin cos A B B B ∴==， 22222a c b a b ac +-∴=⨯()()220b c a b bc ∴---=或220a b bc ∴--=b c =当时，，，即， b c =C B =π222A B C ===2222a b c b bc ∴=+=+22a b bc -=综上22a b bc -=（2），，2cos 3B =sin B ∴=sin sin2A B ==1cos cos29A B ==-()sin sin C A B ∴=+=22cos 27C =，sin sin sin a b c A B C ==362721a b c==设，，，， 36a t =27b t =21c t =9AD t ∴=12DB t =在中： BCD △()()(22223612236123t t t t +-⨯⨯⨯=，16t =92b =16．已知数列的前项和为.{}n a n 122n n n S a +=-(1)求数列的通项公式;{}n a (2)若对一切正整数.不等式恒成立.求的最小值. n 223n n n a λ--≤λ【答案】(1)()12nn a n =+(2) 38【分析】（1）利用与的关系得到,即,再利用等差数列的通项公式求n a n S 122nn n a a -=+11122n n n n a a --=+解即可;（2）根据（1）的结论得到对一切正整数恒成立,分离参数转化为求解数列()22312nn n n λ--≤+n 最小值问题.令,设当时,最大,列不等式组求解即可.232n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭()232n n f n -=n k =()f k 【详解】（1）当时,,得,1n =21122S a =-14a =当时,,2n ≥()()1112222n nn n n n n a S S a a +--==----整理得,122nn n a a -=+等式两边同除得, 2n 11122n n n n a a --=+()2n ≥则数列是以为首项,为公差的等差数列, 2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭122a =1所以, ()2112n nan n =+-=+则.()12nn a n =+（2）不等式对一切正整数恒成立,()22312nn n n λ--≤+n 即对一切正整数恒成立. ()()()()2123232312122n n nn n n n n n n λ+----==≤++n 令,设当时,最大, ()232nn f n -=n k =()f k 则, ()()1121323222132322k k kk k k k k +-⎧+--≥⎪⎪⎨---⎪≥⎪⎩解得, 5722k ≤≤因为, N k *∈所以, 3k =又, ()32333328f ⨯-==则,38λ≥即的最小值为.λ3817．在三棱柱中，侧面，为棱的中点，三角形为等边三角111ABC A B C -AB ⊥11BB C C E 1CC BCE形，．AB =12BB =(1)求证：面面；ABE ⊥11A B E (2)求二面角的平面角的余弦值． 11A EB A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直判定定理和面面垂直判定定理证明即可； （2）应用空间向量法求二面角余弦值即可.【详解】（1）面，，AB ⊥Q 11BB C C AB BE ∴⊥1AB EB ⊥三棱柱中，，，又为的中点， 111ABC A B C -11//BC B C 112BB CC ==E 1CC 11CE C E ==三角形为等边三角形，，，BCE 1BC CE EB ∴===60BCE ∠=︒11120B C E ︒∴∠=在三角形中，11B C E 22211111112cos1203B E EC B C EC B C =+-⋅⋅︒=在三角形中，，，1BB E 22211134BE B E BB +=+==1BE B E ∴⊥又，，面，面，1AB EB ⊥AB BE B = AB ⊂ABE BE ⊂ABE 面，面,所以面面1B E ∴⊥ABE 1B E ⊂ 11A B E ABE⊥11A B E （2）以点为原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， B 1BC BB 、BA x y z则，，()0,0,0B (A，，，， ()10,2,0B 1,02C ⎫-⎪⎪⎭13,02C ⎫⎪⎪⎭1,02E ⎫⎪⎪⎭因为侧面，,侧面平面，AB ⊥11BB C C 11//AB A B 11A B ∴⊥11BB C C BE ⊂，11BB C C ，,,，11A B BE ∴⊥1BE B E ⊥ 1111A B B E B ⋂=面，面，面， 11A B ⊂11A B E 1B E ⊂11A B E BE ∴⊥11A B E 面的法向量为，11A BE 1,02BE ⎫=⎪⎪⎭设面的法向量为，1AB E (),,n x y z =，1102302n AE x y n B E y ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ 所以n = 设二面角的平面角为 11A EB A --θ为锐角，cos n n BE BEθθ⋅==cos θ∴=18．博鳌亚洲论坛年会员大会于月日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的名服务志2023328100愿者培训后，组织了一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前名的参赛者进行奖励．30(1)试确定受奖励的分数线；(2)从受奖励的以下和的人中采取分层抽样的方法从中选人在主会场服务，组织者90[]90,1003010又从这人中任选人为贵宾服务，记其中成绩在分以上（含分）的人数为，求的分布列1059090ξξ与数学期望． 【答案】(1)81(2)分布列见解析，数学期望 ()2E ξ=【分析】（1）根据频率分布直方图首先确定奖励分数线所在区间，从而构造方程求得结果； （2）根据分层抽样原则确定人中，分数在分以下和分以上（含分）的人数，从而得到10909090所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根ξξ据数学期望公式可计算得到期望值.【详解】（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为； []90,1000.0121010012⨯⨯=竞赛成绩在的人数为，受奖励分数线在之间； [)80,900.021010020⨯⨯=∴[)80,90设受奖励分数线为，则，解得：，x ()900.021000.0121010030x -⨯⨯+⨯⨯=81x =受奖励分数线为．∴81（2）由（1）知：受奖励的人中，分数在分的人数为，则分数在分以下的人数为30[]90,1001290；181230=-从受奖励的人中分层抽样选人在主会场服务，其中分数在分以下的有人，分∴3010901810630⨯=数在的有人， []90,1001210430⨯=人中成绩在分以上（含分）的人数的可能取值为，5∴9090ξ0,1,2,3,4；； ()5064510C C 610C 25242P ξ∴====()4164510C C 6051C 25221P ξ====；；()3264510C C 120102C 25221P ξ====()2364510C C 6053C 25221P ξ====；()1464510C C 614C 25242P ξ====的分布列为：ξ∴ξ 0 1 2 34P 1425211021521142数学期望为. ∴()1510510123424221212142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=四、填空题19．在四面体中，，，、分别为、ABCD AB CD==5AC BD ==AD BC ==E F AD 的中点．若用一个与直线垂直且与四面体各面均相交的平面去截该四面体，则得到的多BC EF α边形截面面积的最大值为______． 【答案】10【分析】根据题意，将四面体补形为长方体，然后即可得到截面，再结合基本不等式即可得到截面积的最大值.【详解】由题意，将四面体补成一个长方体，设长方体的长宽高分别为，,,x y z 则，解得，则，222222413425x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩543x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩5,4,3HB HC HA ===由已知条件可得，，由于，所以可得截面为平行四边形，由EF BC ⊥EF AD ⊥EF α⊥KLMN ，可得，由，可得， CB KL //KL AK BC AC=//KN AD NK CKAD AC =所以，所以可得1NK KL AK CKAD BC AC AC+=+=KL KN +=设异面直线与所成角为，则，BC AD θsin θsin sin HFB LKN =Ð=Ð在中，由余弦定理可得，HFB 2229cos 241HF FB HB HFBHF BF +-∠===-⋅所以， 40sin 41θ==则，40sin 1041MNKLS NK KL NKL =⋅∠≤=当且仅当. NK KL ==所以多边形截面的最大面积为.10故答案为：.1020．在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，动点在直线xOy O 221x y +=1O ()2244x y -+=P 上，过点分别作圆，的切线，切点分别为，，若满足的点有0-=x b P O 1O A B 2PB PA =P 且只有个，则实数的值是______． 1b 【答案】或 4203-【分析】，可求点2PB PA =P轨迹方程，又在直线上，结合圆心到直线的距离等于半径可求的值. P 0-=x b b 【详解】由题意圆：，则圆心，， O 221x y +=()0,0O 11r =圆：，则圆心，，设，1O ()2244xy -+=()14,0O 22r =(),Px y=，，()2222(4)4x y x y ∴-+=+22816033x y x ∴++-=即，圆心坐标为，半径为，2246439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭83动点在直线上，有且只有个点满足，P 0-=x b 1P 2PB PA =直线与圆相切，∴22816033x y x ++-=圆心到直线的距离，或， ∴83d 203b ∴=-4b =即实数的值为或 b 4203-故答案为：或 4203-21．三次函数在其对称中心处的切线的斜截式方程为______．()323f x ax x b =++()1,2-【答案】31y x =--【分析】由的对称中心是，可得，根据，设关于()323f x ax x b =++()1,2-1b a -=-()0f b =()0,b 对称点为，得出，即可得出，再利用切线方程的求解方法求解即可. ()1,2-(),m n 44b a =-10a b =⎧⎨=⎩【详解】因为的对称中心是，()323f x ax x b =++()1,2-所以，， 32a b -++=1b a -=-又，()0f b =设关于对称点为， ()0,b ()1,2-(),m n 则，，，， 012m +=-2m =-22n b+=4n b =-所以在图像上， ()2,4b --()f x 则，，4834b a b -=-+⨯+44b a =-由，解得，441b a b a =-⎧⎨-=-⎩10a b =⎧⎨=⎩，， ()323f x x x ∴=+()236f x x x '=+，()1363f '∴-=-=-则切线方程为，. ()231y x -=-+31y x =--故答案为：31y x =--22．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为______．21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+4x 【答案】10【分析】由二项展开式的各项系数和为32，求出，用通项公式求解即可. 5n =【详解】因为的二项展开式的各项系数和为32，21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+令得：，解得，所以.1x =232n=5n =521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭通项公式为：， ()521031551C C --+⎛⎫== ⎪⎝⎭rrrr rr T xxx 令，得：，1034r -=2r =所以的系数为：.4x 25C 10=故答案为：10。
理数-第四次联考参考答案
理数参考答案1.【解析】因为集合{|(3)0}(0,3)U A x x x =-<=ð，=(,2]B -∞，所以()(0,2]U A B =ð，选D.2.【解析】题意得，()()()()4332431173232321313i i i iz i i i +++===+--+，在复平面内对应的点位于第一象限，选A. 3.【解析】略4.【解析】定义域关于原点对称,111()2211x x x e f xe e --=-=-++,所以()()0f x f x -+=，奇函数,减函数显然。
5.【解析】四棱锥P ABCD -的4个侧面都是直角三角形,面积最大值是PCD 的面积,等于26.【解析】可求221111,2,()4(),21222n n n n n n n S q a a a --====-=-，S ，所以5552131Sa =-=. 7.【解析】函数()sin cos )4f x x x x π=-=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得sin()24x y π=-的图象，再向左平移3π，得到函数1()sin[()]234g x x ππ=+-sin()212x π-的图象．由2222122x k k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ，得574466k x k πππ-≤≤π+，k ∈Z ． 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间57[,]66ππ-，选B ． 8.【解析】作出不等式组构成的区域, 1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点(1,0)D -连线的斜率的倒数,由图象知AD 的斜率最大, 由2703x y y +-=⎧⎨=⎩得13x y =⎧⎨=⎩,所以(1,3)A ,此时11233z +==．选A ．9.【解析】几何概型，402(cos sin )44[sin cos ]1)412ABCDx x dxS p x x S πππππ-===⨯-=⨯⎰阴影。
安徽省皖中名校联盟2024届高三上学期12月第四次联考数学含答案解析
绝密★启用前皖中名校联盟2023-2024学年（上）高三第四次联考数学试题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合AA={−2,1,3}，BB={xx|√ 2xx+3>0}，则AA∩BB=( )A. (−32,+∞)B. {1,3}C. {−1}D. {3}2.若复数zz满足(1+ii)zz=3−ii，则|zz|=( )A. √ 5B. 5C. 2√ 5D. 203.若角αα的终边上有一点PP(−2,mm)，且sinαα=−√ 55，则mm=( )A. 4B. ±4C. −1D. ±14.已知ll，mm是两条不同的直线，αα，ββ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若αα⊥ββ，ll⊂αα，mm⊂ββ，则ll⊥mmB. 若mm⊥ββ，αα⊥ββ，则mm//ααC. 若ll//mm，ll⊥αα，mm⊥ββ，则αα//ββD. 若αα//ββ，且ll与αα所成的角和mm与ββ所成的角相等，则ll//mm5.设aa∈RR，则“aa>0”是“aa3>aa2的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.粮食是关系国计民生的重要战略物资.如图为储备水稻的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为10mm ，上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的4倍，且这两个圆锥的顶点相距12mm ，每立方米的空间大约可装0.75吨的水稻，则该粮仓最多可装水稻( )A. 175ππ吨B. 200ππ吨C. 225ππ吨D. 250ππ吨7.镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺、国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位、国家3AA 级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺塔的高度MMMM ，他在塔的正北方向找到一座建筑物AABB ，高为7.5mm ，在地面上点CC 处(BB ,CC ,MM 在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部AA ，镇国寺塔顶部MM 的仰角分别为15∘和60∘，在AA 处测得镇国寺塔顶部MM 的仰角为30∘，则镇国寺塔的高度约为 ( )(参考数据：√ 3≈1.73)A. 31.42mmB. 33.26mmC. 35.48mmD. 37.52mm( )A. (0,2√ 2)B. (0,4)C. (2√ 2,+∞)D. (4,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20分。
2021-2022年高三4月联考数学(理)试卷 含解析
2021年高三4月联考数学（理）试卷 含解析数学试卷（理科） xx.04.（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设集合，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ，则_________． 2．已知为虚数单位，复数满足，则__________． 3．设且，若函数的反函数的图像经过定点，则点的坐标 是___________． 4．计算：__________．5．在平面直角坐标系内，直线，将与两条坐标轴围成的封闭图形绕轴 旋转一周，所得几何体的体积为___________． 6．已知，，则_____________． 7．设定义在上的奇函数，当时，，则不等式的 解集是__________________．8．在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线 （）的焦点，则抛物线的方程为_____________．9．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 5521,551（为参数）与曲线（为参数）的公共点的坐标为____________．10．记）的展开式中第项的系数为，若，则________．11．从所有棱长均为的正四棱锥的个顶点中任取个点，设随机变量表示这三个点所 构成的三角形的面积，则其数学期望_________． 1223n a n n +=+（），则 ___________．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有道选择题，每题均有个选项，答对得分，答错或不答得分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有道题的选项不同，如果甲最终的得分为分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________． 14．已知，函数（）的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是_________________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15．“”是“”的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（ ）．（A ）若直线∥平面，直线∥平面，则∥；（B ）若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥； （C ）直线与平面所成角的取值范围是； （D ）若直线平面，直线平面，则∥.17．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则 的最大值是（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）18．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=,153,6sin ,30,|log |)(3x x x x x f π 若存在实数，，，满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，其中，则的取值范围是（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小（结果用反三角 函数值表示）． 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πωπωωx x x x f （，），且函数的最小正周期为．（1）求函数的解析式； （2）在△中，角，，所对的边分别为，，，若，，且，求的值． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．（1）设，判断在上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出的所有上界组成的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，设是椭圆的下焦点，直线（）与椭圆相交于、两点，与轴交于点． （1）若，求的值； （2）求证：；（3）求△面积的最大值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分43小题满分8分．已知正项数列，满足：对任意，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列，的通项公式；（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．二模理科数学参考答案一．填空题1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13．{48，51，54，57，60} 14．二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题 19．（1）因为底面△是等腰直角三角形，且，所以，，（2分） 因为平面，所以， ………………………………………（4分）所以，平面． ……………………………………………………（5分） （2）以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由（1），是平面的一个法向量， ………………………（2分） ，，设平面的一个法向量为，则有 即 令，则，，所以， …………………………………………（5分）设与的夹角为，则32324||||cos =⨯=⋅=n CB CBθ， …………………（6分） 由图形知二面角的大小是锐角，所以，二面角的大小为． ……………………………（7分）20．（1）16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ， ………………（3分）又，所以，， ………………………………………………（5分）所以，． …………………………………………………（6分） （2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫⎝⎛+=πB B f ，故， 所以，或（），因为是三角形内角，所以．……（3分） 而，所以，， …………………………（5分）又，所以，，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ， 所以，． …………………………………（8分）21．（1），则在上是增函数，故，即， ……………………………………………（2分） 故，所以是有界函数． ……………………………………………（4分） 所以，上界满足，所有上界的集合是． ……………………（6分）（2）因为函数在上是以为上界的有界函数，故在上恒成立，即，所以，（）， ……（2分） 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144（）， 令，则，故在上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（）， ………………………（5分） 令，则在时是减函数，所以；（6分）令，则在时是增函数，所以．…（7分）所以，实数的取值范围是． ……………………………………（8分）22.（1）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+4,14322kx y y x 得03624)43(22=+-+kx x k ，所以△， 设，，则，， ………………（2分）因为，所以，代入上式求得。