函数矩阵的微分和积分
《矩阵分析》课程教学大纲
《矩阵分析》课程教学大纲课程编号：20821105总学时数：32(理论32）总学分数：2课程性质：专业选修课适用专业：信息与计算科学一、课程的任务和基本要求：本课程的任务是介绍六个内容，分别是线性空间与线性变换，λ---矩阵与Jordan标准形，矩阵函数及矩阵方法，矩阵微分方程，矩阵分解和广义逆矩阵。
要求学生系统掌握这六个内容所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，并能熟练地运用这些方法和工具解决理论和实际中遇到的各种问题。
二、基本内容和要求：（一）线性空间与线性变换1、线性空间的定义、性质、基变换与坐标变换公式。
2、子空间的概念、运算及相关定理3、内积空间、正交化方法，空间的正交分解4、线性变换的概念、运算、矩阵表示、线性变换的值域与核的性质5、特征值与特征向量的概念、求法、矩阵的化简要求：理解线性空间、子空间、线性变换、特征值、特征向量的概念，掌握基变换公式，坐标变换公式，正交化方法，特征值和特征向量的求法，矩阵的化简的应用。
（二）λ---矩阵与Jordan标准形a)λ---矩阵的概念，λ---矩阵的标准形b)不变因子与初等因子的概念、求法、性质c)若当标准形理论推导，若当标准形的求法d)Cayley定理、最小多项式的性质及求法要求：理解λ---矩阵、不变因子、初等因子等相关概念，掌握不变因子、初等因子、标准形、Jordan标准形的求法，掌握Cayley定理，最小多项式的应用。
（三）矩阵分析和矩阵函数e)矩阵序列、矩阵函数收敛性f)函数矩阵的极限、连续性、微分与积分g)数量函数关于矩阵的微分及其性质h)向量的范数、范数的等价、按范数的收敛、矩阵的相容范数、算子范数的概念及其性质i)矩阵函数的定义、性质、计算方法要求：理解矩阵序列的极限，矩阵级数的收敛性，函数矩阵的极限，连续性概念，掌握与这些概念相关的命题和定理，会求函数矩阵的微分和积分，会求数量函数关于矩阵的微分，函数向量关于向量的微分，能正确计算矩阵函数（四）矩阵微分方程j)线性常系数齐次微分方程组的定解问题k)线性常系数非齐次微分方程组的定解问题l)n阶常系数微分方程的定解问题m)线性变系数微分方程组的定解问题，转移矩阵的概念、性质、求法。
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学是学习数学的一个重要分支，它包括微积分，线性代数，数学分析等多个学科的内容。
在大学阶段，高等数学是理工科学生必修的一门课程，它为学生提供了深入掌握数学知识的基础。
下面将对高等数学中的主要知识点进行总结。
微积分微积分是高等数学的重要内容，它包括微分学和积分学两个部分。
微分学微分学探讨的是函数的变化趋势，它通过导数定义函数的切线和函数在某一点的波动情况。
常用的微分运算有：1、导数的定义和求导法则导数的定义：对于函数f(x)，当x的增量越来越小时，函数在x处的导数为：f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h(h→0)导数的求导法则:常数乘积法则：(cf(x))'=cf'(x)和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)乘法法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)除法法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-g'(x)f(x)]/g(x)^22、高阶导数高阶导数定义: 给予函数f(x)，可以通过反复求导得到f(x)的高阶导数。
f'(x),f''(x),f'''(x)...3、微分中值定理和Taylor公式微分中值定理：对于函数f(x)，和它的两个不同点a,b(a<b)，则在f(a)和f(b)之间至少存在一个点c将f(b)-f(a)和f′(c)联系起来。
f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)Taylor公式: 它用多项式函数来描述函数局部的变化特征。
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2+...+f(n)(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)其中o((x-a)^n)表示x→a时比(x-a)^n对应的函数趋近于0到一个高阶无穷小量。
矩阵微分的链式法则的证明
你好！矩阵微分的链式法则是矩阵微分中的一个重要性质，类似于标量函数微分的链式法则。
我们考虑一个复合函数：\[ h(X) = g(f(X)) \]其中 \(X\) 是一个矩阵，\(f(X)\) 和\(g(f(X))\) 是矩阵到矩阵的映射。
链式法则的表达式如下：\[ \frac{\partial h}{\partial X} = \frac{\partial g}{\partial Y} \cdot\frac{\partial f}{\partial X} \]这里的 \(\frac{\partial h}{\partial X}\) 表示 \(h\) 相对于 \(X\) 的偏导数，\(\frac{\partial g}{\partial Y}\) 表示 \(g\) 相对于其输入 \(Y\) 的偏导数，\(\frac{\partial f}{\partial X}\) 表示 \(f\) 相对于其输入 \(X\) 的偏导数。
下面是链式法则的证明：1. 首先，我们定义一个中间变量 \(Y = f(X)\)。
2. 然后，我们写出 \(h\) 相对于 \(Y\) 的偏导数：\[ \frac{\partial h}{\partial Y} = \frac{\partial g}{\partial Y} \]3. 接着，我们写出 \(h\) 相对于 \(X\) 的偏导数，利用矩阵的乘法法则：\[ \frac{\partial h}{\partial X} = \frac{\partial h}{\partial Y} \cdot\frac{\partial Y}{\partial X} \]4. 将步骤2和步骤3的结果代入，得到链式法则：\[ \frac{\partial h}{\partial X} = \frac{\partial g}{\partial Y} \cdot\frac{\partial Y}{\partial X} \]这样就完成了链式法则的证明。
矩阵的微分与积分
上讲已求得 …….
2、最小二乘问题 最小二乘问题：设 A Cm n, b Cm, 当线性方程组 Ax b 无解时，对任意 x Cn 都在 Ax b 0 .
此时希望找出向量
x0
Cn
，使得 ||
Ax
b
||2
达最小，即求
x0
arg
min
xCn
||
Ax
b
||22
的问题，称
x0
为矛
盾方程组的最小二乘解。为应用，考虑实矩阵与实向量的情形。
dt
dt
2! 3!
2!
2!
3. 函数矩阵积分定义：若矩阵 A(t) (aij (t))mn 的每个元素 aij (t ) 都是区间[t0 , t1] 上的可积函数，则
称 A(f(X)ft)在区间[t0,t1] 上可积，并定义 A(t)在[t0,t1] 上的积分为
t1 t0
A(t)dt
t1 t0
t
[a,
b]
）；
（4）
b
a
A'(t)dt
A(b)
-
A(a)
（当
A(t)在[a,b]连续可微时）.
二、数量函数对矩阵变量的导数
1.定义：设
f(X)是以矩阵
X
(xij )mn 为自变量的
mn
元函数，且
f
xij
(i
1, 2,
, m; j 1, 2,
n) 都存在，规
f
定
f 对矩阵变量
X 的导数为
df dX
dx
(2)设常矩阵 A (aij )mn ，矩阵变量 X (xij )mn 且 f (X ) tr(AX ) ，求 df ;
积分和微分的区别通俗易懂
积分和微分的区别通俗易懂微分和积分的区别包括：定义不同、数学表达不同、几何意义不同。
一、定义不同微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。
设f是从欧几里得空间（或者任意一个内积空间）中的一个开集射到的一个函数。
对于中的一点x及其在中的邻域中的点x+h。
如果存在线性映射A使得对任意这样的x+h，那么称函数f在点x处可微。
线性映射A叫做f在点x处的微分。
积分是把微分后的结果，也就是无数无限小的东西重新集合成为一个整体。
定义积分的方法不止一种，各种定义之间也不是完全等价的。
其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。
然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。
最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。
二、数学表达不同微分：导数和微分在书写的形式有些区别，如y' =f (x),则为导数，书写成dy=f (x)dx,则为微分。
积分：设F (x)为函数f (x)的一个原函数，我们把函数f (x)的所有原函数F (x) +C (c为任意常数)，叫作函数f(x)的不定积分，数学表达式为：若f' (x)=g(x)，则有f g(x) dx=f(x) +c。
三、几何意义不同微分的几何意义是将线段无线缩小来近似代替曲线段；积分是需要几何形体的面积或体积。
微分的性质如果f是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
在Rn（或定义了一组标准基的内积空间）里，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：设f是从Rn射到Rm的函数，f=(f1,f2,...fm)，那么：具体来说，对于一个改变量：，微分值：可微的必要条件：如果函数f在一点x_0处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素都存在，但反之不真。
勒贝格积分的概念定义在测度的概念上。
测度是日常概念中测量长度、面积的推广，将其以公理化的方式定义。
矩阵的微分与积分
4. 应用
x1 '( t ) a11 x1 ( t ) a12 x2 ( t ) a1n xn ( t ) b1 ( t ) x2 '( t ) a21 x1 ( t ) a22 x2 ( t ) a2 n xn ( t ) b2 ( t ) x '( t ) a x ( t ) a x ( t ) a x ( t ) b ( t ) n1 1 n2 2 nn n n n
4.3 矩阵的微分与积分
1. 矩阵的微分
2. 矩阵的积分
3. 其他微分概念
4. 应用
1. 矩阵的微分
如果矩阵A(t)=(aij(t))∈Cm×n的每个元素aij(t)都是t 的可微函数，则A(t)关于t的导数(微商)定义为： dA t t A t aij . mn dt
定理2：设A是n阶常数矩阵，则
d tA (1) e Ae tA e tA A; dt d (2) cos( tA) A sin( tA) sin( tA) A; dt d (3) sin( tA) A cos( tA) cos( tA) A. dt
2. 矩阵的积分
x1 df df , T. 例1 设 x , 求 dx dx x n
例2 设b是n维列向量，x=[x1,…,xn]T，f(x)=xTb， 求df/dx。 例3 设A是n阶矩阵，x=[x1,…,xn]T，f(x)=xTAx， 求df/dx。 例4 设A∈Rm×n，b∈Rm，若x∈Rn使得||Ax-b||2 =min，则ATAx=ATb。 例5 设X=(xij)∈Rn×n，f(X)=[tr(X)]2，求
定理3：齐次微分方程 x( t ) A x( t ) 的通解为： x(t ) e tAc, 其中c是任意常向量。若再加上初始条件x(t0)=x0， 则其解为 x ( t ) e ( t t 0 ) A x0 . 例8 设矩阵
矩阵微积分基础知识
矩阵微积分基础知识矩阵微积分是数学中重要的分支之一，它将矩阵理论与微积分方法相结合，为解决实际问题提供了强大的工具。
本文将介绍矩阵微积分的基础知识，包括矩阵的定义、矩阵的运算、矩阵的微分和积分等内容，帮助读者更好地理解和应用矩阵微积分。
一、矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数，是数的一个矩形排列。
一般形式为m×n的矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵通常用大写字母表示，如A、B、C等。
矩阵中的每一个元素都可以用下标表示，如Aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：对应位置的元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。
例如，设矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，则A + B = [8 10 12; 14 16 18]。
2. 矩阵的数乘：矩阵中的每个元素乘以一个数。
例如，设矩阵A = [1 2; 3 4]，数k = 2，则kA = [2 4; 6 8]。
3. 矩阵的乘法：矩阵乘法不满足交换律，要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。
例如，设矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，则AB =[19 22; 43 50]。
三、矩阵的微分矩阵的微分是矩阵微积分中的重要内容，它可以帮助我们求解矩阵函数的导数。
设矩阵函数F(X) = [f1(X), f2(X), ..., fn(X)]，其中X是一个矩阵变量，fi(X)表示矩阵X的第i个元素函数。
则矩阵函数F(X)的微分定义为：dF(X) = [df1(X), df2(X), ..., dfn(X)]其中dfi(X)表示fi(X)对X的微分。
矩阵函数的微分满足线性性质和Leibniz法则。
四、矩阵的积分矩阵的积分是矩阵微积分中的另一个重要内容，它可以帮助我们求解矩阵函数的不定积分和定积分。
设矩阵函数F(X) = [f1(X),f2(X), ..., fn(X)]，则矩阵函数F(X)的不定积分定义为：∫F(X)dX = [∫f1(X)dX, ∫f2(X)dX, ..., ∫fn(X)dX]其中∫fi(X)dX表示fi(X)对X的不定积分。
矩阵微积分基础知识
矩阵微积分基础知识矩阵微积分是微积分的一个重要分支，它将微积分的概念和方法应用于矩阵和向量的运算中。
在矩阵微积分中，我们可以通过对矩阵进行微分和积分来研究矩阵的性质和变化规律。
本文将介绍矩阵微积分的基础知识，包括矩阵的导数、矩阵的积分和矩阵微分方程等内容。
一、矩阵的导数在矩阵微积分中，我们可以定义矩阵的导数。
对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别求导来得到矩阵的导数。
具体而言，如果f(X)的每个元素都是可导的，那么矩阵f(X)的导数就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数。
例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [x1^2 x2^2; x3^2 x4^2]。
那么矩阵f(X)的导数就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数，即f'(X) = [2x1 2x2; 2x3 2x4]。
二、矩阵的积分与矩阵的导数类似，我们也可以定义矩阵的积分。
对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别积分来得到矩阵的积分。
具体而言，如果f(X)的每个元素都是可积的，那么矩阵f(X)的积分就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分。
例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。
那么矩阵f(X)的积分就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分，即∫f(X)dX = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。
三、矩阵微分方程矩阵微分方程是矩阵微积分中的一个重要概念。
它是描述矩阵函数与其导数之间关系的方程。
一般而言，矩阵微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
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及变量 z 的函数 u = f( z) 都可微 , 则 ( 5 . 7)
d d d A 〔 f( z) 〕 = A( u) ・ f( z) dz du dz 性质 4 若 n 阶函数矩阵 A( z) 可逆 , 且 A( z) 及其逆阵 A ( z) 都可微 , 则 d -1 -1 d -1 A ( z) = - A ( z)〔 A( z) 〕 A ( z) dz dz 证明性质 2 设 A( z) B ( z) = C( z) 〔 d A( z) 〕 B( z) = H( z) dz A( z)
f f , …, x1 xn
( 5. 14)
d d d 〔 a f( X) + bg( X) 〕 = a f( X) + b g( X) dX dX dX 性质 3 d d d 〔 f( X) ・ g( X) 〕= g( X) f( X) + f( X) g( X) dX dX dX d d f f ( X) 及 g ( X) 的 i 行 j 列 元 素 分 别 是 , dX dX x ji
m× n m ×n
d a ( z) dz 12 d a 22 ( z) dz d a m2 ( z) dz
… …
d a ( z) dz 1n d a 2n ( z) dz d a mn ( z) dz
…
( 5 . 5)
设函数矩阵 A( z) , B( z) 分别是 m × n 及 n× s 阶矩阵 , 且 A( z) , B( z) 都可微 , ( 5 . 6)
这里需注意的是 , 由于矩阵的乘法不满足交换律 , 所以上式中乘积的顺序一般是不能交换的。 若 K 是一个常数矩阵 , 则有 d d 〔 K・ A( z) 〕 = K A( z) dz dz d d 〔 A( z) ・ K〕 =〔 A( z) 〕 ・K dz dz 这两个式子也不能交换顺序。又如 d 2 d d 〔 A ( z) 〕 = 〔 A( z) 〕 A( z) + A( z) A( z) dz dz dz ≠2A( z) 证明性质 3, 因为 d d d a〔 a ij ( u) f( z) ij f( z) 〕 = dz du dz 由此立刻得出 d d d A 〔 f( z) 〕 = A( u) f( z) dz du dz 证明性质 4, 因为 A ( z) ・ A( z) = E 所以 d -1 dA ( z) -1 d 〔 A A( z) 〕 = A( z) + A ( z) A( z) = 0 dz dz dz d -1 -1 d -1 〔 A ( z) 〕 = - A ( z)〔 A( z) 〕 A ( z) dz dz 例1 其中 x1 ( t) χ= x2 ( t) … xn ( t) 解 d T d T T d χ Aχ+ χA χ 〔 χ Aχ 〕= dt dt dt = χA
定义 5. 3
矩阵理论及其应用
a 11 ( z) A( z) = a 21 ( z) a n1 ( z) 定义 5. 4 若函 数矩阵 A( z) = ( a ij ( z) )
a 12 ( z) a 22 ( z) a n2 ( z)
… … …
a 1n ( z) a 2n ( z) a n n ( z)
x12 x22 xm2
… … …
x1 n x2 n xmn … … … a 1q ( X) a 2q ( X) a pq ( X)
而p × q 阶矩阵 A( X) 是以 X 为变元的函数矩阵 a 12 ( X) a 22 ( X) a p2 ( X)
设 X = ( xi j ) 是 m × n 阶矩阵 , A( X) 是以 X 为变元的 p × q 阶矩阵 , 则称 np × mq A( X) x21 A( X) x2 n A( X) x11 A( X) x1n a 11 ( X) x ij a p1 ( X) x ij A( X) xm1 A( X) xmn A( X) xm1 A( X) xmn a 1 q ( X) xij a pq ( X) xij
〔 a ∑ ∫ dt
k=1
n
d
ik
( t) 〕 bkj ( t) dt
∫A( t)
设有 m × n 阶矩阵
d d B( t) dt = A( t) B( t) - 〔 A( t) 〕 B( t) dt dt dt
∫
复合矩阵 A( X) 对矩阵 X 的微分法
x11 X = x21 xm1 a 11 ( X) A( X) = a 21 ( X) a p1 ( X) 现在讨论 A( X) 对 X 的微分法 定义 5. 6 阶矩阵 A( X) x11 A( X) x1 n 为函数矩阵 A( X) 对矩阵 X 的导数 , 记为
n - 1
( 5 . 8)
d B ( z) = D( z) dz j = 1, … , s
元素 ci j ( z) = 那么
∑a
k=1
ik
( z) bkj ( z)
n
i = 1, … , m
d d ci j ( z) = ∑ 〔 a i k ( z) bkj ( z) 〕 dz k = 1 dz d =∑ 〔 a i k ( z) 〕 bkj ( z) + dz k=1
ik
所以
〔 ∑a ∫
k= 1
ik n
( t)
= = 98
∫a ∑
k=1 n
( t)
d b kj ( t) dt dt d a ∫ dt
ik
∑{ a
k=1
ik
( t) bkj ( t) - 〔
( t) 〕 bkj ( t) dt}
第5章
矩阵分析及其应用
n
= 故 5.2.2
*
∑a
k=1
ik
( t) bkj ( t) -
第5章
矩阵分析及其应用
d tr( AX) = A dX
n n 1i n 2i
因为 tr( AX) =
∑a
i= 1
xi1 +
∑a
i =1
xi2 + … +
∑a
i =1
mi
xi m
x ij 所以 再由 立即有
tr( AX) = a ji
m1
( t) dt
…
mn
( t) dt
A ( t) dt =〔 A( t) dt 〕 ∫ ∫
T T
( 5 . 9)
性质 2
对函数矩阵 A( t) , B( t) 及 a , b∈ R, 有 〔 a A( t) ∫ + bB( t) 〕 dt = a A( t) dt + b B( t) dt
∫
∫
( 5. 10)
∫a ∫A( t) dt
a b a
b
11
( t) dt
…
∫a
a
b
1n
( t) dt
=
∫a
a
b
m1
( t) dt
…
∫a
a
b
mn
( t) dt
为 A( t) 在 〔 a , b〕 上的定积分 , 而
∫a
A( t) dt ∫ =
11
( t) dt
…
a ∫ a ∫
1n
( t) dt
∫a
称为 A( t) 的不定积分。 易证矩阵的积分有以下性质 : 性质 1 对任何函数 A( t) , 有
性质 3
对函数矩阵 A( t) 及常矩阵 B, C, 有 A( t) Bdt =〔 A( t) dt 〕 B ∫ ∫ CA( t) dt = ∫ C A( t) dt ∫ ( 5. 11) ( 5. 12)
性质 4
对于函数矩阵 A( t) , B( t) , 有 〔 A( t) ∫ d d B( t) 〕 dt = A( t) B( t) - 〔 A( t) 〕 B( t) dt dt dt
n n
∑a
k=1
ik
( z)
d bkj ( z) dz
96
第5章
矩阵分析及其应用
= h ij ( z) + d i j ( z) 其中 c ij ( z) , h ij ( z) , d i j ( z) 分别是函数矩阵 C( z) , H ( z) , D( z) 的元素 , 可得 d d 〔 A( z) B( z) 〕 = C ( z) dz dz = H ( z) + D( z) = d d B( z) A( z) B( z) + A( z) dz dz
其中每个元素 a i j ( z) 都是复变量函数 , 称 A( z) 为函数矩阵。
m× n
的每 个元素 a i j ( z) 都是复变 量 z 的 函数 , 且都
在 z = z0 或变量 z 的某个区域 D 上可微 , 则称此函数矩阵 A( z) 在 z = z0 或区 域 D 上是可 微的 , 并规定 A( z) 对 z 的导数为 d d A( z) = ( a i j ( z) ) dz dz d a ( z) dz 11 = d a 21 ( z) dz d a m1 ( z) dz 单元函数矩阵有以下性质 : 性质 1 若函数矩阵 A( z) , B( z) 是可微的 , 则它们的和也可微 , 且 d d d 〔 A( z) + B ( z) 〕 = A( z) + B( z) dz dz dz 性质 2 d d d 〔 A( z) B( z) 〕 =〔 A( z) 〕 B( z) + A( z)〔 B( z) 〕 dz dz dz 性质 3 设函数矩阵 A( u) = ( a ij ( u) )
∫
( 5. 13)
下面只证性质 4, 设 A( t) = ( a i j ( t) ) 则 A( t) ・ d B( t) 的 i 行 j 列元素为 dt