函数的微分和逆矩阵求法
矩阵求逆方法大全
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矩阵的逆是一个重要的数学概念，它在很多领域中都得到了广泛的应用，如线性代数、微积分、概率论等。
求解矩阵的逆可以用于解线性方程组、计算行列式、计算特征值和特征向量等。
本文将介绍几种常见的矩阵求逆方法，包括伴随矩阵法、高斯消元法、LU分解法和特征值分解法。
1.伴随矩阵法：
伴随矩阵法是求解逆矩阵最常用的方法之一、首先，计算出矩阵的伴
随矩阵，然后将其除以矩阵的行列式即可得到逆矩阵。
2.高斯消元法：
高斯消元法是一种常用的线性方程组求解方法，也可以用来求解矩阵
的逆。
通过将待求逆矩阵与单位矩阵连接起来，然后进行初等行变换，直
至左边的矩阵变为单位矩阵，右边的矩阵即为所求逆矩阵。
3.LU分解法：
LU分解法将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，然后
通过求解两个三角矩阵的逆矩阵，进而求得原矩阵的逆。
LU分解法是一
种常用的数值计算方法，应用广泛。
4.特征值分解法：
特征值分解法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来求解矩阵的逆的
方法。
首先，根据特征值定理求解矩阵的特征值和特征向量，然后利用这
些特征值和特征向量构建一个对角矩阵，最后通过对角矩阵求逆得到原矩
阵的逆。
除了上述方法外，还有其他一些方法可以用来求解矩阵的逆，如迭代法、SVD分解法等。
这些方法在不同的应用场景下有不同的优势。
总之，求解矩阵的逆是一个重要的数学问题，在实际应用中有着广泛的应用。
以上介绍的几种方法是常用的求解逆矩阵的方法，读者可以根据自己的需求选择合适的方法进行求解。
矩阵微积分规则
矩阵微积分规则
矩阵微积分是对矩阵进行微积分运算的一种方法，它包括了一系列的规则和定理。
以下是一些常见的矩阵微积分规则：
1. 矩阵加法规则：对于两个相同维度的矩阵A和B，它们的
和用A + B表示，其中每个对应位置上的元素相加。
2. 矩阵标量乘法规则：给定一个矩阵A和一个实数k，矩阵A 乘以k表示每个元素都乘以k。
3. 矩阵乘法规则：对于两个矩阵A和B，它们的乘积用A × B
表示，其中结果矩阵的每个元素都是A的对应行与B的对应
列的乘积之和。
4. 转置规则：给定一个矩阵A，它的转置用A^T表示，即将
A的行和列互换。
5. 矩阵求导规则：对于一个矩阵函数f(X)（其中X是一个矩阵），它的导数用∂f(X)/∂X表示，是一个与X相同维度的矩阵，其中每个元素都是f关于X中对应元素的导数。
6. 行列式规则：对于一个n×n的矩阵A，它的行列式用|A|表示，表示一个数字，它的计算涉及矩阵的元素和它们的代数运算。
7. 逆矩阵规则：对于一个n×n的可逆矩阵A，它的逆矩阵用
A^(-1)表示，满足AA^(-1) = A^(-1)A = I，其中I是单位矩阵。
这些规则是矩阵微积分中常用的一些基本规则，可以用于求导、解方程、计算行列式等各种问题。
线性代数矩阵的分解与微分方程应用
线性代数矩阵的分解与微分方程应用线性代数是数学中的一个重要分支，它研究的是线性空间以及其上的线性变换。
线性代数在不同领域中都有广泛的应用，比如说在计算机图形学、物理学、经济学等领域中都起着非常重要的作用。
其中，矩阵的分解和微分方程的应用是线性代数的两大重要内容。
一、矩阵的分解矩阵的定义是一个由数字排成的矩形表格。
在线性代数中，矩阵是一个重要的工具，矩阵的分解是矩阵理论中的一个基本问题。
矩阵的分解通常是指将一个矩阵分解成几个特定形式的矩阵的乘积。
常见的矩阵分解包括LU分解、QR分解、SVD分解等。
1、LU分解LU分解是线性代数中的一种矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
LU分解可以用于求解线性方程组、求矩阵的逆以及计算矩阵的行列式等问题。
在实际应用中，使用LU分解求解线性方程组比直接求解更加高效和准确。
2、QR分解QR分解是一个将一个矩阵分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积的方法。
QR分解在求解最小二乘问题、特征值问题以及解非线性方程组等问题中都有广泛的应用。
3、SVD分解SVD分解是一种将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积的方法，包括一个左奇异矩阵、一个右奇异矩阵和一个奇异值矩阵。
SVD分解可以用于降维、信号处理、图像处理等方面。
二、微分方程的应用微分方程是研究变化的数学分支，它研究的是变量与其变化率的关系。
微分方程在科学、工程和经济等领域中都有广泛的应用。
微分方程的解法中涵盖了矩阵分解的知识。
1、矩阵微分方程矩阵微分方程指的是方程中包含了一个矩阵与它的导数。
矩阵微分方程在控制系统、差分方程的研究中都有广泛的应用。
解矩阵微分方程时，可以使用矩阵指数函数或拉普拉斯变换等方法。
2、级数解法级数解法是一种用级数求微分方程解的方法。
在级数解法中，将未知函数表示为级数的形式，将其代入微分方程中，然后通过逐项比较系数来求解微分方程。
级数解法在近似计算和数值解法方面都有重要应用。
逆矩阵的计算
逆矩阵的计算在线性代数中，逆矩阵是一个非常重要且有用的概念。
对于一个给定的方阵A，如果其存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵。
逆矩阵的计算可以通过多种方法实现，下面将介绍两种常见的计算逆矩阵的方法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种用于计算逆矩阵的方法。
具体步骤如下：假设A是一个n阶矩阵。
1. 首先计算A的伴随矩阵Adj(A)。
- 伴随矩阵Adj(A)是由矩阵A的代数余子式按一定规律排列得到的矩阵。
其中，第i行第j列的元素是(-1)^(i+j)乘以矩阵A的代数余子式M(ij)。
- 矩阵A的代数余子式M(ij)是矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式，即去掉第i行和第j列后剩余元素的行列式值。
2. 计算矩阵A的行列式|A|。
- 矩阵A的行列式|A|可以通过对矩阵A的某一行（或某一列）进行按行或按列展开得到。
3. 判断矩阵A是否可逆。
- 如果矩阵A的行列式|A|不等于0，则矩阵A可逆。
- 如果矩阵A可逆，则继续进行下一步；否则，矩阵A不存在逆矩阵。
4. 计算矩阵A的逆矩阵A^(-1)。
- 逆矩阵A^(-1)等于伴随矩阵Adj(A)除以矩阵A的行列式|A|。
方法二：初等变换法初等变换法是另一种计算逆矩阵的常见方法。
具体步骤如下：假设A是一个n阶矩阵。
1. 将矩阵A与单位矩阵I拼接在一起，形成一个(2n)阶的矩阵[A|I]。
2. 利用初等变换将矩阵[A|I]化简为[I|B]的形式。
- 初等变换包括：- 互换两行或两列；- 用非零常数乘以某一行或某一列；- 用非零常数乘以某一行或某一列，并加到另一行或另一列上。
3. 如果矩阵A的左半部分变成了单位矩阵I，则矩阵B为矩阵A的逆矩阵。
否则，矩阵A不存在逆矩阵。
需要注意的是，上述两种方法并不是适用于所有情况的。
在实际计算中，我们需要综合考虑矩阵的性质和规模，选择最适合的方法来计算逆矩阵。
逆矩阵的计算在线性代数和相关领域中具有广泛的应用。
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
微积分与矩阵
微积分学（Calculus，拉丁语意为用来计数的小石头）是研究极限、微分学、积分学和无穷级数等的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。
微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。
我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中一般会先引入微分学。
在更深的数学领域中，高等微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学，是现代数学的主要分支之一。
早在古代，人们就会积分思想，如阿基米德用积分法算出了球的表面积，中国古代数学家刘微运用割元法求出圆周率3.1416，这也是用正多边形逼近圆，任何求出近似圆周率。
割圆法也是积分思想。
我们最伟大的古代数学家（现在是华罗庚）祖冲之也是利用积分算出了圆周率后7位数。
和球的体积。
但是正正系统提出微积分的是牛顿和莱布尼茨，他们为谁先发明微积分挣得头破血流。
牛顿是三大数学家之一，也是第一位划时代的物理学家，晚年从事神学和炼金学，它创立了整个经典力学体系和几何光学，这几乎成为了整个中学的必修部分，初中的力学和光学默认为几何光学，力学默认为简单的经典力学。
高中开始正式学习经典力学。
这里有一个非常之大的错误就是初中里为了方便或简单，用平均速率来代替平均速度，也就是速度公式v=x/t在初中里用速率公式v=s/t代替。
速度和速率一个是矢量，一个是标量，这里差距巨大，不知道编写初中课本（人教版是这样）的编者是学历太低，还是别有用心?这里我们讲微积分，之所以提起这个事情，就是为了突出一个名词——平均速度。
牛顿发明微积分（暂且认为是他和莱布尼茨共同发明的）的目的是为了研究物理学，因为微积分能解决很多普通数学不能解决的物体，如求曲边梯形面积。
实际上，我们初中是速度公式是速率公式，即v=s/t高中的速度公式实际上是平均速度公式，即v=△x/△t这里的△念德耳塔，表示变化率，这里当然不是用△去乘x了，△x是一个整体，就像汉字一样。
矩阵微分法
矩 阵 微 分 法在现代控制理论中，经常会遇到矩阵的微分（导数），如对表达式d d AB来说，由于A 和B 都可能是数量、向量或矩阵，可代表九种不同的导数。
除数量函数对数量变量的导数外，还剩下八种。
下面分别介绍八种导数的定义和运算公式。
一、 相对于数量变量的微分（自变量是数量变量，如时间t ）定义1 对于n 维向量函数[]12()()()......()Tn t a t a t a t = a定义它对t 的导数为12()()()()Tn d a t d a t d a t d t dt dtdt dt ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a ……… （1－1）定义2 对于n × m 维矩阵函数1112112()()()()()()()()n i j nm n n nn a t a t a t t a t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎡⎤= =⎢⎥⎣⎦⎢⎥ ⎣⎦A定义它对t 的导数为1111212()()()()()()()()Tn i j n m n nn n da t da t da t dt dt dt da t d t dt dt da t da t da t dt dt dt ⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎡⎤ =⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ A ………（1－2）我们不难看出，上述两个定义是一致的。
当矩阵A (t) 退化为向量a (t)时，定义2就变为定义1。
再退一步讲，当向量a (t) 退化为数量函数a (t)时，定义1就变为一般的导数定义。
这说明这样定义是合理的，是统一的。
根据上述的两个定义，我们还可以推出下列的运算公式{}()()()()d d t d t t t dt dt dt ±=±A B A B ………（1－3） {}()()()()()()d d t d t t t t t dt dt dt⋅=⋅+⋅A A A λλλ ………（1－4） (t )λ——为变量t 的数量函数{}()()()()()()d d t d t t t t t dt dt dt⋅=⋅+⋅A B A B B A ………（1－5） 这些公式都很容易证明，现证明最后一式（1－5），设矩阵A (t) 和B (t) 分别为n ×m 和m ×l 矩阵证：11121112()()()()()()()()()T n T n n nm n a t a t a t t t a t a t a t t ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥= = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a A a[]111211212()()()()()()()()()()m m m b t b t b t t t t t b t b t b t ⎡⎤ ⎢⎥= = ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦B b b b1111()()()()()()()()()()()()T TTi j n T T n n t t t t t t t t t t t t ⎡⎤ ⎢⎥⎡⎤⋅= =⋅⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦a b a b A B a b a b a b从而根据矩阵导数定义2，有[]()()()()()()()()()()()()Ti j n T j Ti j i n d d t t t t dt dtd t d t d t d t t t t t dtdt dt dt ⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎡⎤ =⋅+⋅=⋅+⋅⎢⎥⎣⎦A B a b b a A B b a B A证毕例1：求T X A X 对t 的导数，其中1()()n x t x t ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ X 1111n n n n a a a a ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦A —— 对称常系数矩阵 解()[]()2d d d dt dt dtd d d dt dt dt ⋅⋅⋅=⋅+⋅ =⋅+⋅⋅ =⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅ =+ = T X A X X A X A X X X A XA X X X A XA X X A X X A X X A X X AXX AX X AX T TT T T T T T T T T T +=()即2T T d ()dt=X A X X A X ………（1－6） 注：T XA X 和T X A X 都是数量函数且A 为对称阵，它们等于自己的转置。
线性微分方程组的解法和矩阵法
线性微分方程组的解法和矩阵法线性微分方程组和矩阵法是高等数学课程中非常重要的主题，也是应用数学研究中的基础。
本篇文章就线性微分方程组的解法和矩阵法进行探讨。
1. 线性微分方程组的基本概念线性微分方程组是由一系列的线性微分方程组成的方程组，可以用矩阵的形式表示。
例如：$$x^{'}=Ax$$其中，$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是一个 $n$ 元向量，$A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，$x^{'}=(x_1^{'},x_2^{'},\cdots,x_n^{'})$ 是 $x$ 的导数。
2. 线性微分方程组的解法对于线性微分方程组，其解法可以分为两种：一种是齐次线性微分方程组，即 $Ax=\textbf{0}$ 的解法，另一种是非齐次线性微分方程组，即 $Ax=b$ 的解法。
2.1 齐次线性微分方程组的解法对于齐次线性微分方程组 $Ax=\textbf{0}$，我们可以先求出其通解 $x=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n$。
其中，$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是该方程的基础解系，$c_1,c_2,\cdots,c_n$ 是任意常数。
求基础解系 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的方法可以分为两种：一种是代数法，使用高斯消元法将矩阵 $A$ 化为最简形，然后就可以求出基础解系；另一种是矩阵法，使用矩阵的特征根和特征向量来求解基础解系。
2.2 非齐次线性微分方程组的解法对于非齐次线性微分方程组 $Ax=b$，其解法可以分为两步：第一步是求出其通解 $x_h=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n$，其中$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是 $Ax=\textbf{0}$ 的基础解系，$c_1,c_2,\cdots,c_n$ 是任意常数；第二步是求出特解 $x_p$，将特解和通解相加即可得到非齐次线性微分方程组的一般解。
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函数的微分和逆矩阵求法数学102班：张学亮 指导教师：连铁艳 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）一、1.一元函数的高阶微分定义 1 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-，如果其增量可表示为()y A x o x ∆=∆-∆，其中A 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处一阶可微，并称A x ∆为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分，记作dy ，即0|x x dy A x ==∆。
可证 A=0'()f x 即00|'()x x dy f x dx ==。
定义 2 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-如果其增量可表示为()2()2!B y A x x o x ∆=∆+∆-∆，其中A ，B 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处二阶可微，并称A x ∆，2()B x ∆为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分，记作2,dy d y ，即0|x x dy A x ==∆，022|()x x d y B x ==∆。
可证00'(),''()A f x B f x ==即00|'()x x dy f x dx ==，()220''d y f x dx =。
根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分定义 3 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-如果其增量可表示为()()()2212!!nnn A A y A x x x o x n ∆=∆+∆++∆-∆ ，其中A ，B 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处n 阶可微，并称22232222tan (tan )'tan (cos )'sec tan 3cos sin dy tdx t d y dx td xa t tdx td xa t t=--=--=--为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分……n 阶微分，记作2,dy d y ，……，n d y 即002212|,|()x x x x dy A x d y A x ===∆=∆，……，0|()nnx x n d y A x ==∆。
又根据函数()f x 在0x x =点的泰勒公式()()()()02000000''()()()'()()()2!!n nnfx f x f x f x f x x x x x x x o xn =+-+-++-+ ，得()()()()02000000''()()()'()()()2!!n nnfx f x y f x f x f x x x x x x x o xn ∆=-=-+-++-+∆即()()1020',''A f x A f x ==，……，()()0n n A fx =所以00|'()x x dy f x dx ==，()220''d y f x dx =，……，()()()00|n n n x x dy fx dx ==。
注：1．在泰勒公式中0x x -与x ∆是等价的。
2．因为()no x ∆是()n x ∆的高阶无穷小量，所以，在等式的右边加或减去一个()no x ∆都不会影响到的精确度。
2、微分的运算法则1．()()()()d f x g x df x dg x ±=±⎡⎤⎣⎦；2．()()()()()()d f x g x g x df x f x dg x ∙=+⎡⎤⎣⎦；3．()()()()()()()2f xg x df x f x dg x d g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦()()0g x ≠； 4．复合函数的微分()()()()()()''''dy dy du f g x g x dxdudxdy f g x g x dx=∙=∴=3、参数方程的微分在找到高阶微分的又一定义及讨论了复合函数的高阶微分后，我想讨论一下参数方程的微分。
解参数方程{()(),x t y t ϕψ==的二阶微分。
解：因为，()()'''t dy y dxt ψϕ==，所以，'dy y dx = ()1()()''t dx t ψϕ=，22(')'''()d y d y dx y dx y d dx ==+ ()2()()()()()223'''''''()(')'()t t t t t dx d x x t ψϕψϕψϕϕ-=+。
利用矩阵可逆的定义求逆矩阵引理：设F 是一数域，对于n n A F ⨯∈，如果存在n n B F ⨯∈，使得A B B A =，则A 可逆且1AB -=。
证明 由逆矩阵的定义可得利用伴随矩阵求逆矩阵引理：设n n A F ⨯∈，若det()0A ≠,那么()11*.det AA A -=例： 设5218A ⎛⎫=⎪-⎝⎭求A 的逆矩阵． 解 因为()d e t 420A =≠，所以A 是可逆的，又*8215A -⎛⎫=⎪⎝⎭，由()1*1.det A A A -=可得1412121154242A-⎛⎫-⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭利用分块矩阵求逆矩阵引理 1 如果方阵A 、D 可逆，那么分块矩阵1AO T OD ⎛⎫=⎪⎝⎭可逆，且其逆矩阵为1111.A O T OD ---⎛⎫= ⎪⎝⎭引理2 如果方阵B 、C 可逆，那么分块矩阵可逆，且其逆矩阵为1121.O CT BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭引理3 如果r 方阵A 和s 阶方阵B 都是可逆，且r s n +=，那么n 阶方阵AC P OB ⎛⎫=⎪⎝⎭可逆，且其逆矩阵为11111.A A C BPOB-----⎛⎫-= ⎪⎝⎭例 求矩阵2 -1 31 -23-3 2 -19 140 0 3 -4 0 0 -2 3 A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵． 解 将矩阵A 进行分块得1A B A OC ⎛⎫=⎪⎝⎭其中121312334,,.32191423A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()()d e t 10,de t 10,AC =≠=≠所以矩阵1A 、C 都是可逆的，且1112134,.3223A C --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有111213123346576.321914238397A B C -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么矩阵A 可逆，且1111112 1 -65 -763 2 -83 -97. 0 0 34 0 0 2 3 A A BC A OC ----⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭利用初等变换求逆矩阵引理4在通过行（列）初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵I 时，对单位矩阵I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵1A -引理5如果用有限次行、列初等变换可以将可逆矩阵A 化为单位矩阵I ，且设用其中的行变换将单位矩阵I 化成C ，用其中的列变换将单位矩阵化成B ，那么1.ABC -=例 设001110,101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设求1.A -解 ()0 0 1|1 0 01 0 1|00 11 0 1|0 0 1,1 1 0|0 1 01 1 0|0 1 0 1 -1|0 1 -11 0 1|0 0 10 0 1|1 0 00 0 1|1 0 0A I ⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪⎪ =→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪→⎪⎪⎭1 0 1|0 0 1 1 0 0|-1 0 10 1 0|0 1 -10 1 0|1 1 -1.0 0 0|1 0 00 0 0|1 0 0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是，1-1 0 1 1 1 -1. 1 0 0A-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求矩阵多项式的逆的方法引理 设A 为一个n 阶方阵，C 为复数域，()f x ，[]()g x P x ∈，且()0.f A =则()g A 可逆的充分条件为()()(),1;f x g x =此时有()()[],u x v x Px ∈使得()()()()1,u x f x v x g x +=且1())().g A v A -=例 已知n 阶方阵A 满足2A A =，证明A E +可逆，并求1().A E -+证明 令2(),()1,f x x x g x x =-=+由于((),())1f x g x =且()0f A =，故()g A A E =+可逆，又因1*()(2)()2,f x x g x +-=故()(2)2,g A E A E -=从而11().2g A E A -=-参考文献：1 陈传璋 金福临 朱学炎.数学分析（上册）.高等教育出版社，1983，72 吴良森 毛羽辉 韩士安.数学分析学习指导书.高等教育出版社，2004,83 数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社，2005，54 杜汉玲．求逆矩阵的方法也与解析[J]．2004,4．5 张玉莲，董李娜．求逆矩阵的一些方法[J]．2007,2．。