矩阵微分方程
矩阵论第七章函数矩阵与矩阵微分方程
矩阵论第七章函数矩阵与矩阵微分方程北京理工大学高数教研室* 第一章第一节函数第七章函数矩阵与矩阵微分方程函数矩阵定义: 以实变量的函数为元素的矩阵称为函数矩阵, 其中所有的元素都是定义在闭区间上的实函数。
函数矩阵与数字矩阵一样也有加法, 数乘, 乘法, 转置等几种运算, 并且运算法则完全相同。
例:已知计算定义:设为一个阶函数矩阵, 如果存在阶函数矩阵使得对于任何都有那么我们称在区间是可逆的。
称是的逆矩阵, 一般记为例 :已知那么在区间上是可逆的, 其逆为函数矩阵可逆的充分必要条件定理 : 阶矩阵在区间上可逆的充分必要条件是在上处处不为零, 并且其中为矩阵的伴随矩阵。
定义:区间上的型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为的秩。
特别地, 设为区间上的阶矩阵函数, 如果的秩为 , 则称一个满秩矩阵。
注意:对于阶矩阵函数而言, 满秩与可逆不是等价的。
即:可逆的一定是满秩的, 但是满秩的却不一定是可逆的。
例 :已知那么。
于是在任何区间上的秩都是2。
即是满秩的。
但是在上是否可逆, 完全依赖于的取值。
当区间包含有原点时, 在上有零点, 从而是不可逆的。
函数矩阵对纯量的导数和积分定义:如果的所有各元素在处有极限, 即其中为固定常数。
则称在处有极限, 且记为其中如果的各元素在处连续, 即则称在处连续, 且记为其中容易验证下面的等式是成立的: 设则定义:如果的所有各元素在点处(或在区间上)可导, 便称此函数矩阵在点处(或在区间上)可导, 并且记为函数矩阵的导数运算有下列性质: 是常数矩阵的充分必要条件是设均可导, 则设是的纯量函数, 是函数矩阵,与均可导, 则特别地, 当是常数时有 (4) 设均可导, 且与是可乘的, 则因为矩阵没有交换律,所以 (5) 如果与均可导, 则 (6) 设为矩阵函数, 是的纯量函数, 与均可导, 则定义: 如果函数矩阵的所有各元素在上可积, 则称在上可积, 且函数矩阵的定积分具有如下性质: 例1 :已知函数矩阵试计算证明: 由于 , 所以下面求。
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法常数矩阵微分方程基解矩阵是指对于一个m阶常系数矩阵微分方程组x′(x)=xx(x)，其中x(x)为x的函数，x为常数矩阵，基解矩阵是一组线性无关的解所构成的矩阵。
计算常数矩阵微分方程基解矩阵的方法主要有以下几种：常数变易法、指数矩阵法、特征值法。
一、常数变易法
使用常数变易法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.假设基解矩阵为x(x)，则存在常数矩阵x，使得
x(x)=xx^xx。
2.对基解矩阵进行求导，并代入微分方程，得到
xxx(x)(x)=xx(x)，其中x(x)(x)表示第n阶导数。
3.解出x(x)(x)，得到x的表达式。
4.代入x=0时的初始条件，求解得到x的具体值。
5.将x代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
二、指数矩阵法
使用指数矩阵法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。
2.将特征值分别代入指数函数的表达式中，得到特征向量的指数函数形式。
3.将特征向量的指数函数形式构成的矩阵x和其逆矩阵x^(-1)代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
三、特征值法
使用特征值法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。
2.将特征向量的形式代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
在实际计算中，选择哪种方法取决于方程的形式、矩阵的性质和计算的复杂程度。
以上三种方法均可得到常数矩阵微分方程的基解矩阵，计算方法相对较为简单，但对于高阶矩阵微分方程，计算工作量可能较大，需要根据具体情况选择合适的方法。
线性代数矩阵的分解与微分方程应用
线性代数矩阵的分解与微分方程应用线性代数是数学中的一个重要分支，它研究的是线性空间以及其上的线性变换。
线性代数在不同领域中都有广泛的应用，比如说在计算机图形学、物理学、经济学等领域中都起着非常重要的作用。
其中，矩阵的分解和微分方程的应用是线性代数的两大重要内容。
一、矩阵的分解矩阵的定义是一个由数字排成的矩形表格。
在线性代数中，矩阵是一个重要的工具，矩阵的分解是矩阵理论中的一个基本问题。
矩阵的分解通常是指将一个矩阵分解成几个特定形式的矩阵的乘积。
常见的矩阵分解包括LU分解、QR分解、SVD分解等。
1、LU分解LU分解是线性代数中的一种矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
LU分解可以用于求解线性方程组、求矩阵的逆以及计算矩阵的行列式等问题。
在实际应用中，使用LU分解求解线性方程组比直接求解更加高效和准确。
2、QR分解QR分解是一个将一个矩阵分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积的方法。
QR分解在求解最小二乘问题、特征值问题以及解非线性方程组等问题中都有广泛的应用。
3、SVD分解SVD分解是一种将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积的方法，包括一个左奇异矩阵、一个右奇异矩阵和一个奇异值矩阵。
SVD分解可以用于降维、信号处理、图像处理等方面。
二、微分方程的应用微分方程是研究变化的数学分支，它研究的是变量与其变化率的关系。
微分方程在科学、工程和经济等领域中都有广泛的应用。
微分方程的解法中涵盖了矩阵分解的知识。
1、矩阵微分方程矩阵微分方程指的是方程中包含了一个矩阵与它的导数。
矩阵微分方程在控制系统、差分方程的研究中都有广泛的应用。
解矩阵微分方程时，可以使用矩阵指数函数或拉普拉斯变换等方法。
2、级数解法级数解法是一种用级数求微分方程解的方法。
在级数解法中，将未知函数表示为级数的形式，将其代入微分方程中，然后通过逐项比较系数来求解微分方程。
级数解法在近似计算和数值解法方面都有重要应用。
方向余弦矩阵的微分方程求解
方向余弦矩阵的微分方程求解方向余弦矩阵是描述刚体在空间中姿态变化的重要工具，它可以将刚体的旋转转化为矩阵运算。
在机器人学、航空航天等领域中，方向余弦矩阵的微分方程求解对于姿态控制和导航非常关键。
姿态是刚体相对于参考坐标系的方向，它可以由方向余弦矩阵表示。
方向余弦矩阵是一个3×3的矩阵，其中的元素描述了刚体在空间中的旋转关系。
我们假设刚体的初始姿态为单位阵，即方向余弦矩阵为单位矩阵。
刚体的姿态变化可以由方向余弦矩阵的微分方程描述。
假设刚体在空间中绕着某个轴进行旋转，我们可以通过微分方程来求解方向余弦矩阵的变化。
我们定义一个表示刚体角速度的向量ω，在刚体坐标系下表示为[ωx, ωy, ωz]，其中ωx、ωy、ωz分别表示绕x轴、y轴、z轴的角速度。
刚体的角速度向量可以通过方向余弦矩阵与角速度在参考坐标系下的表示之间的关系计算得到。
然后，我们可以得到方向余弦矩阵的微分方程：dC/dt = Cω_hat其中，dC/dt表示方向余弦矩阵的微分，C表示方向余弦矩阵，ω_hat表示角速度向量的斜对称矩阵。
方向余弦矩阵的微分方程描述了刚体姿态的变化速率与角速度的关系。
通过求解方向余弦矩阵的微分方程，我们可以得到刚体姿态的变化规律。
在实际应用中，可以利用数值求解方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，来求解微分方程的数值解。
方向余弦矩阵的微分方程求解对于姿态控制和导航具有重要意义。
它可以帮助我们理解刚体在空间中的旋转规律，并为机器人、航空器等的姿态控制提供基础。
对于航天器的导航来说，方向余弦矩阵的微分方程求解可以帮助我们准确地预测航天器的姿态变化，从而实现精确的导航和定位。
方向余弦矩阵的微分方程求解是研究刚体姿态变化的重要内容。
通过求解微分方程，可以揭示刚体姿态的变化规律，并为姿态控制和导航提供理论支持。
在实际应用中，我们可以利用数值求解方法来求解微分方程，从而实现对刚体姿态的精确控制和导航。
矩阵微分方程
t
x(t) eAt x(0) eA(tv)Bu(v)dv
0
定解问题(4.5)的解为
t
y(t) (1,0, ,0)(eAt x(0) eA(tv)Bu(v)dv)
0
例 求常系数线性齐次微分方程组
dy1 (t ) dt
2 y1
2 y2
y3
dy2 (t) dt
y1
y2
y3
dy3 (t) dt
xnm (t0 )
定理 设定解问题为：
dx Ax； dt
x(t) t t0
x(t0 )
（4.1）
其中，x(t)是t的可微函数的n m矩阵，
x(t0 )是n m阶常数矩阵，A是给定的n阶 常数方阵, 则
（1）定解问题(4.1)的解为x(t) eA(tt0 ) x(t0 ), 并且这个解是唯一的；
因此，f ( A) g( A) (et tet )I tet A
1 t
et
t
t
2t 2t 1
2t
t
t
t 1
定解问题的解为y(t) eAt y(0) et
et
3et
T
.
4.2 线性时变系统的状态方程
1. 线性时变系统的转移矩阵
定义 设n阶方阵A(t)在[t0,t1]上连续, x(t)是 n m阶未知矩阵，则称
y1
2 y2
2 y3
y1(0) 1
在初始条件y
(0)
y2
(0)
1
下的解。
y3(0) 3
2 2 1
解
定解问题的解为y
(t
)
e
At
y(0),
其中A
1
1
矩阵微积分基础知识
矩阵微积分基础知识矩阵微积分是微积分的一个重要分支，它将微积分的概念和方法应用于矩阵和向量的运算中。
在矩阵微积分中，我们可以通过对矩阵进行微分和积分来研究矩阵的性质和变化规律。
本文将介绍矩阵微积分的基础知识，包括矩阵的导数、矩阵的积分和矩阵微分方程等内容。
一、矩阵的导数在矩阵微积分中，我们可以定义矩阵的导数。
对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别求导来得到矩阵的导数。
具体而言，如果f(X)的每个元素都是可导的，那么矩阵f(X)的导数就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数。
例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [x1^2 x2^2; x3^2 x4^2]。
那么矩阵f(X)的导数就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数，即f'(X) = [2x1 2x2; 2x3 2x4]。
二、矩阵的积分与矩阵的导数类似，我们也可以定义矩阵的积分。
对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别积分来得到矩阵的积分。
具体而言，如果f(X)的每个元素都是可积的，那么矩阵f(X)的积分就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分。
例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。
那么矩阵f(X)的积分就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分，即∫f(X)dX = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。
三、矩阵微分方程矩阵微分方程是矩阵微积分中的一个重要概念。
它是描述矩阵函数与其导数之间关系的方程。
一般而言，矩阵微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
矩阵论系列课件 矩阵微分方程
第九讲矩阵微分方程一、矩阵的微分和积分1.矩阵导数定义：若矩阵ij m ×n A(t)=(a (t))的每一个元素a (t)ij 是变量t 的可微函数，则称A(t)可微，其导数定义为'ij m ×n da dA=A (t)=()dt dt由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。
2.矩阵导数性质：若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则（1）d dA dB[A(t)±B(t)]=±dt dt dt（2）d dA dB [A(t)B(t)]=B +A dt dt dt （3）d da dA[a(t)A(t)]=A +a dt dt dt （4）()()()()()()()t A t A t Ad dde =A e =e Ac o s t A =-A s i n t A s i n t A =A c o s t Ad td t d t(A 与t 无关)此处仅对tA tA tAd (e )=Ae =e A dt加以证明证： tA 2233223d d 111(e )=(I+tA +t A +t A +)=A +tA +t A +dt dt 2!3!2!22tA1=A(I+tA+t A +)=Ae 2!又22tA 1=(I+tA+t A +)A=e A 2!3.矩阵积分定义：若矩阵A(t)=(a (t))m ×n ij的每个元素ij a (t)都是区间01[t ,t ]上的可积函数，则称A(t)在区间01[t ,t ]上可积，并定义A(t)在01[t ,t ]上的积分为⎛⎫⎰⎰ ⎪⎝⎭1100ij t t A(t)dt =a (t)dt t t m ×n4.矩阵积分性质（1）⎰⎰⎰111t t t t t t [A(t)±B(t)]dt =A(t)dt±B(t)dt（2）⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰11110000t t t t t t t t [A(t)B]dt =A (t)dt B,[AB(t)]dt =A B(t)dt （3）'''⎰⎰t ba adA(t )dt =A(t),A (t)dt =A(b)-A(a)dt 二、阶线性齐次常系数常微分方程组设有一阶线性其次常系数常微分方程组⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 11111221n n 22112222n n n n11n22nn ndx =a x(t)+a x (t)++a x (t)dt dx =a x(t)+a x (t)++a x (t)dt dx =a x(t)+a x (t)++a x (t)dt式中t 是自变量，i ix =x(t)是t 的一元函数 ij (i=1,2,,n),a (i,j=1,2,,n)是常系数。
一类二阶矩阵微分方程的特解
一类二阶矩阵微分方程的特解矩阵的微分方程是一类相对复杂的微分方程，也是近年来非常热门的研究课题。
矩阵的微分方程的特解是指满足特定条件的特殊解，弗拉瓦尔（F. L. Varvarin）等人针对这类矩阵微分方程，提出了一类具有重要意义的特解：一类二阶矩阵微分方程的特解。
弗拉瓦尔等人提出的“一类二阶矩阵微分方程”是指一个对称矩阵$A$的微分方程。
记其特解为$x(t)$，则有：$ frac{mathrm{d}^{2} x(t)}{mathrm{d} t^{2}} + A x(t) = 0 $这类特解的求解方法是：首先将$A$分解成特征值-特征向量形式：$ A = Q Lambda Q^{T} $，其中$Q=left(q_{1}, q_{2}, ldots,q_{n}right)$为正交矩阵，$Lambda = left(lambda_{1}, lambda_{2}, ldots, lambda_{n}right)$为其特征值对角矩阵，即$A$的特征分解。
然后将$x(t)$替换为$Qoverline{x}$，其中$overline{x}$为一个$n$维列向量，称为$A$的共轭向量，则上式变为：$ frac{mathrm{d}^{2} overline{x}}{mathrm{d} t^{2}} + Lambda overline{x} = 0 $上式具有$n$个解$overline{x_{j}} = left(c_{j} costheta_{j}+s_{j} sin theta_{j}right) e^{lambda_{j} t} quad(j=1,2, ldots, n)$，其中$c_{j}, s_{j}$和$theta_{j}$为常数，$lambda_{j}$为$A$的特征值，于是，原微分方程的特解可以表示为： $x(t)=Q left(sum_{j=1}^{n}left(c_{j} cos theta_{j}+s_{j}sin theta_{j}right) e^{lambda_{j} t}right)$弗拉瓦尔等人对于这类特解进行了进一步研究，他们指出，若特征值$lambda_{j}=0$，即$A$具有零特征值，则上式变为：$x(t) = Q left(sum_{j=1}^{n} left(c_{j}t+s_{j}right)right)$这表明，当$A$具有零特征值时，特解可以表示为$A$的共轭向量的有限次多项式。
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定解问题(4.3)的解为 y (1, 0, 0, , 0) x(t ) (1, 0, 0, , 0)e x(0) y0 y0 ' At , 0)e ( n 1) y0
At
(1, 0, 0,
n阶常系数线性非齐次方 程的定解问题： y
(n) (i )
(n) (i )
a1 y
( n 1)
a2 y
(i ) 0
( n2)
an y 0 (4.3)
y (t )
t 0
y , i 0,1,, n 1
令x1 y, x2 y ' x '1 ,
x '1 x2 , x2 ' x3 , x 'n 1 xn ,
x1n (t , t0 ) x11 (t , t0 ) x12 (t , t0 ) x (t , t ) x (t , t ) x ( t , t ) 0 22 0 2n 0 21 xnn (t , t0 ) xn1 (t , t0 ) xn 2 (t , t0 ) dx(t ) 为方程组 A(t ) x (t )的转移矩阵,有时又称它为基本矩阵。 dt 显然 (t0 , t0 ) I n
dx(t ) 性质1 n阶方阵(t , t0 )是方程组 A(t ) x(t )的转移矩阵的 dt dx(t ) A(t ) x(t ) 充要条件是(t , t0 )是定解问题 dt 的解。 x(t ) |t t I n 0
dx(t ) 性质2 设(t , t0 )是方程组 A(t ) x(t )的转移矩阵， dt dx(t ) A(t ) x(t ) 则定解问题 dt x(t ) |t t x(t0 ) 0 的解为x(t ) (t , t0 ) x(t0 )。
x(t0 ) e
t0
t
A(t v )
Bu (v )dv
dx(t ) Ax(t ) x(t ) e At c dt 设x(t ) e At c(t )为非齐次方程组的解， 则 dx(t ) ＝AeAt c(t ) e At c' (t ) Ax(t ) e At c' (t ) Ax(t ) Bu(t ) dt c' (t ) e At Bu(t ) c(t ) e At Bu(t )dt c
(2) 1 (t , t0 ) (t0 , t ).
dx(t ) A(t ) x(t ) 那么x(t1 ) (t1 , t0 ) x(t0 ).因此, x(t ) (t , t0 ) x(t0 )也为 dt 的解 x(t ) |t t x(t1 ) 1
xn y
( n 1)
x 'n 1
xn ' an x1 an 1 x2
a1 xn
x1 (t ) x1 (0) y0 x ( t ) x (0) y ' 0 令x(t ) 2 , x(0) 2 ( n 1) xn (t ) xn (0) y0
At t
定解问题的解为y (t ) e y (0) e
e
t
3e
t T
.
4.2 线性时变系统的状态方程
1. 线性时变系统的转移矩阵
定义 设n阶方阵A(t )在[t0 , t1 ]上连续, x(t )是 n m阶未知矩阵，则称 dx(t ) A(t ) x(t ) dt 为变系数的齐次微分方程组。
x(t )
t t0
11 0 x21 (t0 ) x(t0 ) x (t ) n1 0
x22 (t0 ) x2 m (t0 ) xn 2 (t0 ) xnm (t0 )
12 0 1m 0
定理 设定解问题为： dx Ax； x(t ) t t x(t0 ) （4.1 ） 0 dt 其中，x(t )是t的可微函数的n m矩阵， x(t0 )是n m阶常数矩阵，A是给定的n阶 常数方阵, 则
3. n阶常系数微分方程的解
设a1 , a2 , , an为常数，u (t )为已知函数，称 an y u (t ) y ( n ) a1 y ( n 1) a2 y ( n 2) 否则，称为齐次的。
为n阶常系数微分方程. 当u (t ) 0时，称为非齐次的；
n阶常系数线性齐次方程 的定解问题： y
第四章 矩阵微分方程
4.1 线性定常系统的状态方程 1.线性常系数齐次微分方程组的解 dx1 a11 x1 a12 x2 a 1n xn dt dx2 a21 x1 a22 x2 a 2 n xn dt
dxn an1 x1 an 2 x2 dt xi xi (t ), aij C
a nn xn
设 a11 a 21 A an1 dx 则 dt a12 a22 an 2 Ax a1n x1 (t ) a2 n x ( t ) 2 , x(t ) ann xn (t )
定解问题(4.3)可写成 dx(t ) Ax(t )； x(t ) t 0 x(0) （4.4） dt
其中 0 0 A 0 a n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a1
an 1 an 2
定解问题(4.4)的解为x(t ) e x(0)
t0 t
x(t ) e At c(t ) e At e At Bu(t )dt ceAt
t0
t
x(t 0 ) ce x(t ) e
At 0 t
, c e
Av
At 0x(t 0 ) At 0Att0
e
Bu( v )dv e
x(t 0 )e At
dx(t ) 性质3 设(t , t0 )是方程组 A(t ) x(t )的转移矩阵，则 dt (1)(t , t0 ) (t , t1 )(t1 , t0 );
dx(t ) A(t ) x(t ) 证 对于任意的x(t0 ), dt 的解为x(t ) (t , t0 ) x(t0 ), x(t ) |t t x(t0 ) 0
2 2 1 解 定解问题的解为y (t ) e At y (0), 其中A 1 1 1 , 下面求e At。 1 2 2
A的特征多项式f( ) ( 1)3 , A的最小多项式m( ) ( 1) 2 . 因此，可设多项式g ( ) a0 a1 由f (1) g (1), f '(1) g '(1), f ( ) et , 得a0 et tet , a1 tet 从而，g ( ) et tet tet 因此，f ( A) g ( A) (et tet ) I tet A 1 t et t t 2t t 2t 1 t 2t t 1
x1 j (t , t0 ) 定义 设j (t , t0 ) ,( j 1, 2, x (t , t ) 0 nj
, n)满足条件
0 x ( t , t ) d j (t , t0 ) 1j 0 0 A(t )j (t , t0 ) ， j (t , t0 ) t t 1 j dt 0 x (t , t ) nj 0 0 0 则称n阶方阵 (t , t0 ) (1 (t , t0 ), 2 (t , t0 ), , n (t , t0 ))
定理 若对任意的t1 , t2 , 有A(t1 ) A(t2 ) A(t2 ) A(t1 ), 则定解问题 dx(t ) A(t ) x(t ) 的解为 dt x(t ) |t t x(t0 ) 0 x(t ) e t0 A( v ) dv
a1 y
( n 1)
a2 y
(i ) 0
( n2)
an y u (t ) (4.5)
y (t )
t 0
y , i 0,1,, n 1
x(t ) t 0 x(0)
t At A( t v )
dx(t ) Ax(t ) Bu (t )； dt B (0, 0, .0,1)T
dx(t ) A(t ) x(t ) 求解定解问题 dt x(t ) |t t x(t0 ) 0
dx(t ) t a(t ) x(t ) t0 a ( v ) dv 定解问题 dt 的解为x(t ) e x(t0 ). x(t ) |t t x(t0 ) 0
x(t ) e x(0) e
0
t A( t v )
Bu(v)dv
定解问题(4.5)的解为 y (t ) (1,0, ,0)(e x(0) e
At 0
Bu(v)dv)
例 求常系数线性齐次微分方程组 dy1 (t ) 2 y1 2 y2 y3 dt dy2 (t ) y1 y2 y3 dt dy3 (t ) y1 2 y2 2 y3 dt y1 (0) 1 在初始条件y (0) y2 (0) 1 下的解。 y (0) 3 3
而此问题的解为x (t ) (t , t1 ) x (t1 ).
由定解问题解的唯一性得 (t , t0 ) x(t0 ) (t , t1 ) x(t1 ) (t , t1 ) (t1 , t0 ) x(t0 ) 因此, (t , t0 ) (t , t1 ) (t1 , t0 ).