矩阵与常微分方程
求解二阶线性常微分方程的一个显式差分格式
求解二阶线性常微分方程的一个显式差分格式杨韧;周钰谦【摘要】在求解常微分方程的方法中,有限差分法是使用最广泛的方法之一.考虑一个二阶线性常微分方程的边值问题,利用有限差分法,建立了一个具有二阶精度的显式差分格式.首先,通过讨论该显式差分格式的系数矩阵,证明了该显式差分格式解的存在性.然后,通过定义的3种不同范数之间的关系,证明了显式差分格式解的收敛性和稳定性.最后,通过计算机编程对实例的计算,验证了该显式差分格式的数值结果具有二阶精度,并且该显式格式数值结果绘制的图形稳定、光滑,与解析结果吻合较好.【期刊名称】《成都信息工程学院学报》【年(卷),期】2010(025)003【总页数】5页(P328-332)【关键词】计算数学;微分方程数值解法;差分格式;稳定性;收敛性【作者】杨韧;周钰谦【作者单位】成都信息工程学院数学学院,四川,成都,610225;成都信息工程学院数学学院,四川,成都,610225【正文语种】中文【中图分类】O241.81 引言在自然界与工程技术中的很多现象,其数学描述都可以归结为微分方程定解问题,很多近似自然科学的基本方程本身就是微分方程。
一般而言,绝大多数微分方程定解问题的解难以用解析形式来表示。
采用有限差分法研究二阶线性常微分方程两点边值问题,建立一个求解二阶线性常微分方程的差分格式,用离散的只含有限多个未知量的差分方程组去近似代替连续变量的微分方程和定解条件,讨论了差分格式解的存在性、稳定性和收敛性,并用实例验证了数值方法的可行性。
2 差分格式的建立二阶线性常微分方程两点边值问题其中p(x)≤M0,q(x)≥0,f(x)∈C[a,b]。
考虑y(x)在区间[x0-h,x0+h]上具有连续导数,x0处的Taylor展式整理可得其中εi∈(x0-h,x0+h), i=0,1,2,3。
将求解区间[a,b]N等分,步长h=(b-a)/N,节点设y={yi|0≤i≤N}为Ωh上的函数,记xi处的一阶中心差商二阶中心差商在节点上考虑定解问题式(1),则有定义函数于是边值问题式(1)的解y(x)在节点 xi处满足用yi代替Yi,舍去余项,得微分方程的算子差分格式局部截断误差为3 差分格式解的存在性、收敛性和稳定性3.1 差分格式解的存在性[1]定理1 差分格式(8)是唯一可解的。
求常系数线性微分方程解的矩阵方法
求常系数线性微分方程解的矩阵方法赵晓苏;钱椿林【摘要】考虑求常系数线性微分方程解的矩阵方法。
首先，将常系数线性微分方程化为一阶线性微分方程组，且用矩阵表示；然后，求其矩阵的特征值和特征向量，把矩阵对角化或化简；最后，利用矩阵乘法求得常系数线性微分方程的通解或特解。
其计算方法简单、方便，在实际中很有用。
%The paper addresses matrix method for the linear differential equation with constant coefficients. First of all,the system of the first order linear differential is the linear differential equation with constant coefficients transformed into the first order linear differential group,and presented by matrix,and then eigenvalue and eigenvector of the matrix,is obtained while the matrix is transformed into simplified matrix. Finally,the solution of the linear differential equation is achieved using the matrix multiplication. It is found that this method provides an easier and more useful solution to the linear differential equation with constant coefficients.【期刊名称】《苏州市职业大学学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】6页(P44-49)【关键词】常系数线性微分方程;矩阵;特征值;特征向量;通解;特解【作者】赵晓苏;钱椿林【作者单位】苏州市职业大学数理部，江苏苏州 215104;苏州市职业大学数理部，江苏苏州 215104【正文语种】中文【中图分类】O151.26在科学研究和生产实践中往往会碰到某些量之间存在着某种微分关系，其数学表达式为微分方程，例如式中：f(x)为已知函数；pi(i=0，1，2，…，n-1)为已知常数；y=y(x)为未知函数.称式(1)为n阶常系数线性微分方程.如果f(x)≠0，称式(1)为n阶非齐次常系数线性微分方程；如果f(x)=0，称式(1) 为n阶齐次常系数线性微分方程，即对于n阶非齐次常系数线性微分方程(1)的求解，通常的做法是：讨论非齐次项f(x)的各种类型，利用待定系数法求得一个特解[2-5].对于非齐次项f(x)是一般的情形，用待定系数法显得无能为力.对于一般的非齐次项f(x)，利用矩阵方法[1]，可以求得其微分方程的一个特解或通解.其计算方法简单、方便，在实际中很有用.本文主要讨论二阶常系数线性微分方程求解的矩阵方法，其方法可以在求任意阶常系数线性微分方程的解中使用.1) 指数矩阵的定义.设A为n阶方阵，则，其中E为单位矩阵.2) 指数矩阵具有如下性质：(a)对于任意成立.(b)可逆，且(c) 设P为n阶可逆方阵，若求常系数线性微分方程解的矩阵方法的具体步骤如下：第1步，将常系数线性微分方程(1)化为一阶线性微分方程组，且用矩阵表示.式中y=y1.令，且矩阵则式(3)可记作第2步，求A的n个特征值和特征向量.作线性变换Y=PU，其中，P是由A的n 个线性无关特征向量组成的n阶可逆方阵，代入式(4)，且设D=P-1AP，得当n=2时，D可以是下列两种简单情形：当λ1≠λ2时第3步求得一阶线性微分方程组(5)的特解或通解为第4步利用矩阵乘法和式(6)求Y(=PU)，取Y的第1行第1列的元素，得到y=y1.通过具体例子说明用矩阵方法求解常系数线性微分方程的详细计算过程，主要讨论二阶常系数线性微分方程的解的情况.例1 求微分方程的一个通解.解第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求式(7)中A的2个特征值和特征向量，，作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(8)的通解为第4步，利用矩阵乘法和式(9)得到取Y的第1行第1列的元素，得到通解为例2 求微分方程y′ + y =sec3x的通解.解第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求出式(10)中A的2个特征值和特征向量，，作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(11)的通解为第4步，利用矩阵乘法和式(12)有取Y的第1行第1列的元素，得到通解为例3 求微分方程的一个特解.解将微分方程化为复数的形式，即只要考虑微分方程(13)的一个特解的虚部即可第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求出式(14)中A的2个特征值和特征向量作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(15)的特解为第4步，利用矩阵乘法和式(16)得取Y的第1行第1列的元素，得到特解为取其解的虚部，得到一个特解为例4 求微分方程的通解.解第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求出式(17)中A的2个特征值和特征向量，作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(18)的通解为第4步，利用矩阵乘法和式(19)有取Y的第1行第1列的元素，得到通解为例5 求微分方程的通解.解第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求出式(20)中A的3个特征值和特征向量，作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(21)的特解为第4步，利用矩阵乘法和式(22)，得取Y的第1行第1列的元素，得到一个特解为所以通解为从上面5个例子可以看到，例1、例3和例5是常见非齐次项的微分方程的两种类型，如果利用待定系数法求解，计算量比较大，例2和例4不是常见非齐次项的微分方程的类型，利用待定系数法无法求解，利用矩阵方法计算比较方便.矩阵方法对于一般的非齐次项的常系数线性微分方程都能得到求解，同时给出了一般的非齐次项的常系数线性微分方程求通解的一个公式，即公式(6)，因此在实际中很有用.【相关文献】[1] 钱椿林. 线性代数[M]. 3版.北京：高等教育出版社，2010.[2] 钱椿林. 高等数学[M]. 3版.北京：电子工业出版社，2010.[3] 同济大学应用数学系. 高等数学[M]. 5版.北京：高等教育出版社，2004.[4] 《现代应用数学手册》编委会. 现代应用分析卷[M]. 北京：清华大学出版社，1998.[5] 《数学手册》编写组. 数学手册[M]. 北京：高等教育出版社，1984.。
矩阵的jordan分解 算法
矩阵的jordan分解算法矩阵的Jordan分解是一种重要的矩阵分解方法，它将原始矩阵分解成若干个Jordan块的形式，可用来求解线性常微分方程、矩阵特征值和特征向量等问题。
本文将对Jordan分解算法进行详细介绍，涵盖其基本概念、计算方法及其应用。
一、基本概念1. 矩阵的Jordan块一个矩阵A是Jordan块，如果其形式为：$$A=\begin{pmatrix}\lambda & 1 &0 &\cdots &0\\0 &\lambda &1 &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots & &\ddots &1\\0 &0 &\cdots &0 & \lambda\end{pmatrix}$$其中$\lambda$是矩阵A的特征值，且矩阵A中只有两种取值：$\lambda$和1。
对于一个$n\times n$的Jordan块，其特征值为$\lambda$，其代数重数为n。
2. Jordan分解一个$n\times n$矩阵A可以分解成如下形式：$$A=PJP^{-1}$$其中P是$n\times n$可逆矩阵，J是如下形式的矩阵：$$J=\begin{pmatrix}J_1 & 0 &\cdots &0\\0 &J_2 &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0 &0 &\cdots & J_k\end{pmatrix}$$其中$J_1,J_2,\cdots ,J_k$是各自是Jordan块，且$J_1+J_2+\cdots +J_k=A$。
常系数线性方程组基解矩阵的计算
常系数线性方程组基解矩阵的计算董治军（巢湖学院 数学系，安徽 巢湖 238000）摘 要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，很多问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是分歧的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过 方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t ，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数Calculation of Basic solution Matrix of Linear Homogeneous System with Constant CoefficientsZhijun Dong(Department of Mathematics,Chaohu CollegeAnhui,Chaohu)Abstract:Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method.Keyword:linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent引言:线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X’＝AX ★的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ⨯常数矩阵.一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质 定义：对于n n ⨯矩阵A ＝ij a ⎡⎤⎣⎦n×n 和n 维向量X ＝()1,...,Tn X X 定义A 的范数为A ＝,1niji j a=∑ ，X =1nii x=∑设A ，B 是n×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质： （1）AB ≤A B ，AX ≤A X ； （2）A B +≤A +B ，X Y +≤X +Y .2.矩阵指数exp A 的定义和性质：(!)定义：如果A 是一个n×n 常数矩阵，我们定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和：exp A =!kA k k ∞=∑=E+A+22!A +…+!m A m +… （1.0）其中E 为n 阶单位矩阵，m A 是A 的m 次幂，这里我们规定0A =E ，0！=1 这个级数对于所有的A 都是收敛的.因次exp A 是一个确定的非负矩阵，特此外，对所有元均为0的零矩阵0，有exp0=E.事实上，由上面范数的性质（1），易知对于一切正整数k ，有!kA k ≤!k Ak ，又因对于任一矩阵A ，A 是一个确定的实数，所以数值级数E +A +22!A +…+!mA m +… 是收敛的.进一步指出，级数exp A t=!0kkA k k t ∞=∑在t 的任何有限区间上是一致收敛的. 事实上，对于一切正整数k ，当t ≤c （c是某一整数）时，有!k k A k t ≤!k kA k t ≤!k A k k c ，而数值级数()!kA c k k ∞=∑是收敛的，因而exp A t=!k kA k k t ∞=∑是一致收敛的.（2）矩阵指数exp A 的性质：①若矩阵A ，B 是可交换的，即AB=BA ，则exp A （A+B ）=exp A exp B ；②对于任何矩阵A ，()1exp A -存在，且()1exp A -=exp （-A ）； ③如果T 是非奇异矩阵，则 exp （1T -AT ）=1T -（exp A ）T . 3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题 定理1：矩阵Φ（t ）=exp A t （1.1） 是★的基解矩阵，且Φ（0）=E.证明：由定义易知Φ（0）=E ，将（1.1）对t 求导，得'Φ（t ）=()'exp At =A+21!A t+322!A t +…+1(1)!kk A k t --+… =A exp A t = A Φ（t ） 这就标明，Φ（t ）是★的解矩阵，又det Φ（0）=det E =1 因此φ（t ）是★的解矩阵. 证毕.注1：由定理1，我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解ϕ（t ）=（exp A t ）C 这里C 打、是一个常数向量.例1：如果A 是一个对角矩阵A=12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（其中未写出的元均为零） 试找出x '=Ax 的基解矩阵.解：由（ 1.0）可得exp A t=E+12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1!t +221222!2t n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+12!k kk t k k n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+…=12n a t a ta t e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据定理1，这就是一个基解矩阵. 例2：试求x '=2102⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 的基解矩阵. 解：因为A=2102⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2002⎡⎤⎢⎥⎣⎦+0100⎡⎤⎢⎥⎣⎦而且后面的两个矩阵是可交换的，得到 exp A =exp 2002⎡⎤⎢⎥⎣⎦t ⋅exp 0100⎡⎤⎢⎥⎣⎦t=2200tt e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦222!01010000t E t ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪+++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭但是20100⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以 级数只要两项，因此 基解矩阵是exp A t= 2101t t e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 二．基解矩阵的计算1.基于特征值和特征向量型计算基解矩阵类似于一阶齐次线性微分方程，希望方程组★有形如()t t e C λϕ=的解，其中λ为待定的参数，C 为待定的n 维非零向量，将之代入方程组，得到 tte C Ae C λλλ=，即有 ()0E A C λ-= （1.2）要使齐次线性代数方程组（1.2）有非零解向量，应有det()0E A λ-= （1.3）称式（1.3）为方程组★的特征方程，称λ为A 的特征值.称非零向量C 为A 的对应于特征值λ的特征向量.于是有如下结论:()t t e C λϕ=为方程组★的充分需要条件是λ为A 的特征值，且C 为对应于λ的特征向量.这样就提供了用代数方法求解的平台.（1）设A 具有n 个线性无关的特征向量12,,n v v v ，它们对应的特征向量分别为12,n λλλ（不必各不相同）易知矩阵1212()(,,)nt t t n t e v e v e v λλλΦ=t R ∀∈是常系数齐次线性微分方程组★的一个基解矩阵.事实上，由上面讨论知道向量函数i ti e v λ（1≤i ≤n ） 都是方程组★的一个解，因此()t Φ是方程★的解矩阵.计算12det (0)det(,,)0n v v v Φ=≠ 于是()t Φ是方程组★的基解矩阵.注2：当A 是n 个分歧的特征值时，就满足上述性质.注3：此处()t Φ纷歧定是尺度基解矩阵exp A t ，但由线性微分方程组的一般理论知：存在一个n 个非奇异矩阵C ，有exp A =()t C Φ⋅ 令t=0，得C=1(0)-Φ 即exp A t=1()(0)t -Φ⋅Φ于是当A 是实矩阵时，则exp A t 为实的，这样上式就给出了一个构造实基解矩阵的方法.例3：利用特征值与特征向量求基解矩阵的方法，求解例1中的一个基解矩阵.解:显然A 是对角矩阵，它有n 个特征值(1)i i a i n λ=≤≤对于每个特征值i λ易知其对应的特征向量为(0,1,0)T i C =即有()0i i E A C λ-=而这些特征向量12,n C C C 线性无关，由注2，于是方程组有基解矩阵()121212(),,n n a ta ta ta t a tna t e e t e C e C e C e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦这与例1 的计算结论一样.例4：试求方程组x Ax '=，其中3553A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个基解矩阵. 解：A 的特征值就是特征方程235det()634053E A λλλλλ---==-+=-的根，解之得1,235i λ=± 对应与特征值135i λ=+的特征向量，计算齐次线性代数方程11255()055u i E A u u i λ-⎡⎤⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 因此1u i α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是对应于1λ的特征向量，类似的，可以求得对应于2λ的特征向量1i v β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 其中,0αβ≠为任意常数，而121,1i v v i ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是对应于12,λλ的两个线性无关的特征向量.根据注2，于是矩阵()()()()()123535123535(),i ti tt ti t i te ie t e v e v ie e λλ+-+-⎡⎤Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是方程组的一个基解矩阵. 再由注3，实基解矩阵为()()()()()()()()13535353513123535353511cos5sin 5exp ()(0)11sin 5cos5i ti ti ti tt i ti ti t i te ie i e ie i t t At t e i i t t iee iee -+-+--+-+-⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=ΦΦ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）设A 有k 个分歧的特征值12,k λλλ它们的重数分别为12,,k n n n 其中12k n n n n +++=那么如何计算exp At ？回忆高等代数理论，对应于j n 重特征值j λ的如下线性代数方程组()0j nj E A u λ-= （1.4）的解全体构成n 维欧几里得空间的一个j n 维子空间()j U i j k ≤≤而且n 维欧几里得空间可暗示成12,k U U U 的直和，由此对于n 维欧几里得空间的每一个向量u ，存在唯一组向量12,ku u u 其中(1)j j u U j k ∈≤≤使得分解式为12k u u u u =+++（1.5）因此，一方面 对于★的初始值0(0)x x =，应用式（1.5）知存在j j v U ∈有012kx v v v =+++注意到空间j U 的构造，即知j v 是式（1.4）的解，即有()0j nj j E A v λ-=因而有()0l j j E A v λ-=,1j l n j k ≥≤≤ （1.6）另一方面，j E λ-为对角矩阵，因此由例1知exp()j j j ttj t e eEt e λλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故有()j t j e Et E λλ-= 计算(exp )(exp )j j At v At Ev =(exp )exp()j tj jAt e Et v λλ=-=(exp())j tj je A E t v λλ-=(()j tj e E t A E λλ+-+12122!(1)!()())n jj j n t t j j j n A E A E v λλ----++-所以方程组★满足初始条件()00x x =的解()t ϕ为()()()()012exp exp k t At x At v v v ϕ==+++=()()1!110exp i i j in kkttj j j i j j i At v e A E v λλ-===⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑ （1.7） 同时注意到()()()()()()12exp exp exp ,exp ,exp nAt At E At e At e At e ==其中[][][]121,0,0,0,1,00,0,1TTTn e e e ===即在上面初始条件中分别令01020,,n x e x e x e ===应用式（1.7）求得n 个解，然后以这n 个解作为列即得exp At .注4：当A 只有一个特征值时，即λ为n 重的，因此nv R ∀∈都有()0E A v λ-=这标明()nE A λ-为零矩阵.则()()exp exp exp exp tAt AtE At e Et λλ⎡⎤==-=⎣⎦()()1!0exp in itt i i e A E t A E λλλ-=-=-∑（1.8）注5：式（1.7）标明方程组的任一解都可以经过有限次代数运算求出.例5：若A 是例2中的矩阵，求初值问题()0,0x Ax x x '==的解和exp At . 解：本题用两种方法计算exp At 和()t ϕ方法一：易知1,22λ=是A 的二重特征值，此时，A 只有一个特征值，根据式（1.8）计算有exp At =()()()1222!12201i itttt i i t eA E e E t A E e =⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦∑和特解()t ϕ=（exp At ）0x .方法二：1,22λ=是A 的二重特征值，这时212,n R =只有一个子空间1U ，0x =12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦不需要分解，根据式（1.7）有()t ϕ=()1222022t tx tx e E t A E x e x +⎡⎤+-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 分别取010210,01x e x e ⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦代入上式中的()t ϕ中，则()()22121,01tt t t e t e ϕϕ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以()()()2121exp ,01t t At t t e ϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦和特解()t ϕ=()0exp At x . 例6：考虑方程组x Ax '=，其中311201112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦试求满足初始条件()[]01230Tx x x x x ==的解，并求exp At .解：A 的特征方程为()()()2311det 21120112E A λλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦121,2λλ==分别为121,2n n ==重特征根，为了确定3R 的子空间12,U U 由式（1.4） 首先考虑齐次线性代数方程组()1232112110111u A E u u u λ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解得[]1011T u α=，其中α为任意常数. 因此1U 是由1u 构成的一维子空间，其次考虑齐次线性方程组()122300021100110u A E u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解得2101001u βγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中,βγ为任意常数.因此2U 是由2u 构成的二维子空间.下面对初值()00x x =进行分解，有012x u u =+ 即123010110101x x x αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是112121213210,x v x x v x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦根据式（ 1.7） 有()()2122t t t e Ev e E t A E v ϕ=++-⎡⎤⎣⎦=()()13212211321213210t t x t x x x e x x e x t x x x x x x x x +-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-++-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦最后为了得到exp At ，依次分别令0001000,1,0001x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦代入上式得到3个线性无关解()()()123,,t t t ϕϕϕ 于是()()()()()2222221232221exp 1tt t t tt t t t t t tt t e te te At t t t e t ee te te e e e e e ϕϕϕ⎡⎤+-⎢⎥==-++-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦2：“哈密顿-凯莱”法：设A 是方程组★的n n ⨯实系数矩阵，()p λ是A 的特征多项式，()()111det n n n n p A E a a a λλλλλ--=-=++++特征方程为A 的()111nn n n p a a a λλλλ--=++++=0 （1.9）方程（ 1.9）的根12,n λλλ是矩阵A 的特征多项式，且有()()()()11n n p λλλλλλλ-=---哈密顿-凯莱定理：设()p λ是矩阵A 的特征多项式，则()1110n n n n p A A a A a A a E --=++++=亦即()()()()110n n p A A E A E A E λλλ-=---=定理：设12,n λλλ是矩阵A 的n 个特征值（它们纷歧定不相等）则()()110exp n i i i At r t p -+==∑（2.0）其中()()()011,i i i p E p A E A E A E λλλ-==---()1,2,i n =并有()()()12,n r t r t r t 是初值问题()()1111101,00j j j j j r r r r r r r λλ-⎧'=⎪⎪'=+⎨⎪==⎪⎩()2,3j n = （2.1）的解.推论：若A 只有一个特征值λ，则()1!exp exp in it i i At tA E λλ-==-∑上述定理将计算exp At 的问题转化为求方程组（2.1）满足初始条件的解的问题，由于方程组（2.1）是一个特殊的一阶常系数齐次线性方程组，容易直接求解.因而由公式（2.0）就可以直接求出方程组★的基解矩阵exp At .例7：求常系数齐次线性方程组x Ax '=，其中233453442A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的解. 解：A 的特征方程为()()()()233det 453122442A E λλλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=-++-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=0 解得特征值为1231,2,2λλλ=-=-=求解初值问题：()()()112123231232201,00,00r r r r r r r r r r r ⎧'=-⎪⎪'=-⎪⎨'⎪=+⎪===⎪⎩ 得()()()2221111233412,,t t t t tr t e r t e e t r t e e e-----==-=-++又因()()11212333121212443,121212443121212p A E p A E A E λλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦则由公式：得()2222222221022222exp tt t t t t tt t tt t i i i t t t tt e e e e e At r t p e e e e e e e e e e e e -----+=--⎡⎤--+⎢⎥==-++--+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦∑. 3:算子构造法： 其构造步调是：① 利用已引入的微分算子dD dx=写出★的微分算子暗示; ② 用算子法求解★的微分算子暗示的方程组得其通解：()()()()11221212,,,,,n n n n y x c c c y x c c c y x y x c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； ③ 依次令12100010,,001n c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 代入上述通解，则得★得n 个线性无关的特解()()()12,,n y x y x y x ；④ 以()()()12,,n y x y x y x 为列作成的矩阵()()()()12n Y x y x y x y x =⎡⎤⎣⎦就是★的基解矩阵，且★夫人矩阵指数函数形式的基解矩阵为：()()10Axe Y x Y -=.例8：试求方程组1211,13y y y y y -⎡⎤⎡⎤'==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.2） 的基解矩阵，并求11.13Ax e A ⎛-⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 解：①（2.2）的算子暗示就是()()12121030D y y y D y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ （2.3）②求解（2.3）111013D y D -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦即()2120D y -= （2.4） 于是（2.4）的通解为()2112xy C C x e=+12,C C 为任意常数 （2.5）（2.5）代入（2.3）的第一个方程得()()2221111221xx y D y Dy y C C x eC xe =--=-+=-+-故（2.3）的通解为()()2112222122x x xy C C x e y C C e C xe ⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩12(,C C 为任意常数） ③依次令1210,01C C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得（ 2.3）的两个线性无关解()()()221222,1x x x x xe e y x y x x e e ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦； ④ 以12,y y 作列而成的矩阵：()[]()()2221221111xx x x x e xe Y x y y e x ex e ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+--+⎣⎦⎣⎦ 就是（2.2）的一个基解矩阵. ⑤求（2.2）的基解矩阵Axe 因()10011Y ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，故()110011Y -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦于是Axe =()22110111111xx x x x e x x x e --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 结束语：关于基解矩阵exp At 的计算，还可以利用矩阵的约当尺度型等有关线性代数知识进行计算，在此不作详述. 参考文献：[]1王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松 常微分方程 高等教育出版社； []2西南师范大学数学与财经学院 常微分方程 西南师范大学出版社； []3肖箭，盛立人，宋国强 常微分方程简明教程 科学出版社； []4王翊，陶怡 常系数齐次线性微分方程组的解法 牡丹江大学学报.。
李金城 25 数学08-1 常系数线性微分方程组的矩阵解法
摘要在常微分方程中，介绍了解常系数线性微分方程组的消元法，它是解常系数线性微分方程组的最初等的方法，适用于知函数较少的小型微分方程组。
对于未知函数较多时，用消元法则会非常不便，为此应寻求更为有效的方法。
在掌握线性代数的知识后，用矩阵法解常系数线性齐次微分方程组较为方便。
关键词：基解矩阵特征方程特征值特征向量AbstractIn the ordinary differential equation, introduced that understood often the coefficient linear simultaneous differential equation's elimination, it is the solution often the coefficient linear simultaneous differential equation's most primary method, is suitable in knows the function few small simultaneous differential equation. Are many when regarding the unknown function, will be inconvenient with the elimination, for this reason should seek a more effective method. After grasping the linear algebra the knowledge, the coefficient linearity homogeneous simultaneous differential equation is often more convenient with the matrix technique solution.Keywords: basic solution of matrix characteristic equation eigenvalue Characteristic vector第一章：矩阵指数A引言已知常系数线性微分方程组：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n xa x a x a dtdx x a x a x a dtdx x a x a x a dt dx (22112222121212121111)（1） 的求解方法，通常可以用消元法将方程组化为一元的高阶微分方程：0 (111)111=+++--x b dtx d b dt x d n n n nn 来求解。
《常微分方程》课程大纲
《常微分方程》课程大纲一、课程简介课程名称：常微分方程学时/学分：3/54先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。
面向对象：本科二年级或以上学生教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。
二、教学内容和要求常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数)第一章基本概念（2，0）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方向场），定解问题等基本概念。
本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。
（二）教学内容：1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。
2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。
3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。
4．常微分方程所讨论的基本问题。
第二章初等积分法（4，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。
本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。
并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。
（二）教学内容：１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法３. 一阶线性微分方程（常数变易法）４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）5．应用举例第三章常微分方程基本定理（10，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握存在和唯一性定理及解的延伸的含义，熟记初值问题的解存在唯一性条件，正确理解解对初值和参数的连续依赖性和可微性的几何含意。
常系数线性方程组基解矩阵的计算解析
董治军
（巢湖学院 数学系，安徽 巢湖 238000）
摘 要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过 方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数 t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法.
注1：由定理1，我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解
（t）=（ t）C 这里C打、是一个常数向量.
例1：如果A是一个对角矩阵A= （其中未写出的元均为零）
试找出 =Ax的基解矩阵.
解：由（1.0）可得 t=E+ + + +…=
根据定理1，这就是一个基解矩阵.
例2：试求 = x的基解矩阵.
解：因为A= = + 而且后面的两个矩阵是可交换的，得到
3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题
定1：矩阵 （t）= t （1.1）
是★的基解矩阵，且 （0）=E.
证明：由定义易知 （0）=E，将（1.1）对t求导，得 （t）= =A+ t+ +…+ +…=A t = A （t）
这就表明， （t）是★的解矩阵，又 （0）= =1 因此 （t）是★的解矩阵.证毕.
=exp t exp t=
但是 =
所以 级数只要两项，因此 基解矩阵是 t= .
二．基解矩阵的计算
1.基于特征值和特征向量型计算基解矩阵
类似于一阶齐次线性微分方程，希望方程组★有形如 的解，其中 为待定的参数，C为待定的n维非零向量，将之代入方程组，得到 ，即有 （1.2）
(整理)考研《数学二》大纲：各部分考试内容及要求.
2014考研《数学二》大纲：各部分考试内容及要求考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟.二、答题方式答题方式为闭卷、笔试.三、试卷内容结构高等教学约78%线性代数约22%四、试卷题型结构单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题(包括证明题) 9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常(广义)积分定积分的应用考试要求1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式.5.了解反常积分的概念，会计算反常积分.6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.四、多元函数积分学考试内容二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林(Green)公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用考试要求1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，，了解二重积分的中值定理.2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.4.掌握计算两类曲线积分的方法.5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.7.了解散度与旋度的概念，并会计算.8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等)。
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一：利用分块矩阵求矩阵（三个公式） 公式1：
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡---1
1
11
1s s A A A A
公式
2：⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-----1221
11211221
111
2221
11
00A A A A A A A
A
或⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-----1
22
1
22121111111
221211
0A A A A A A A A
2
,1=i n A i ii 阶可逆矩阵，
为
公式
3：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---00001
1
1
A
B
B
A （为可逆矩阵
B A ,）
下面给出公式2的推导过程：设⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-22211211
1
2221
11
0X X X X A A
A
由⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡E E
X X X X A A A 0
002221
1211
2221
11
得⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧=+=+==E
X
A X A X A X A X A E X A 22
2212
21212211
211211111100
解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===----122
22
1
11211
222112
1
11110
A X X A A X
X A X
^-^
习题
1：1
,11
21000
0520021-⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=A A 求 习题
2：1
,20
1200
3
1204312-⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=A A 求
答案：习题1：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-313
100323100001200251
A
习题2：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---
-
--
=-210
0412*******
210165854121
1
A
二：利用定义求矩阵 例1：设n 阶方阵A 满足022
=--E A A ，求证A 可逆并求1
-A
证明：由022
=--E A A ，得：E E A A 2)(=-
即E
E
A A =-⋅2
，从而A 可逆且2
1
E A A
-=
-
例2：设B A ,为同阵且满足AB
B A =
+，证明E A -可逆并求其逆，
BA
AB =
证明：B
E A B AB A )(-=-=
，故
B
E A E E A )()(-=+-从而有E E B E A =--))((
即E A -可逆且E
B E A -=--1
)( 故
)
)(())((E A E B E B E A --=--即
E
B A BA E B A AB +--=+--从而
BA
AB =
例3：已知n 阶方阵A 满足3
)(2A E A A =-，求1
)(--A E
证明：由3
)(2A E A A =-，得0222
3
=+-A A A
所以E E A A A
-=-+-222
3
从而有E
E A A A E =+--))((2
即E
A A A E +-=--2
1
)
(
下面就检查下自己的学习能力^-^ 习题1：设)(0为正整数k A
k
=，证明：
1
2
-1
)
(-++++=-k A
A A E A E
习题2：设B A ,为n 阶方阵，且AB E -与BA E -均可逆，证明
A A
B E B E BA E 1
1
)
()
(---+=-
习题3：若n 阶方阵A 满足E A =2，求证E A 2-可逆
习题4：设A A =2
，试证明E A 2-为可逆阵
例题1：设)(x f 为可微函数，且满足方程
)0()()1()(0
>+=⎰⎰x dt
t tf x dt t f x x
x
求)(x f
解：方程两边对x 求导，得：
)()1()()()(0
x xf x dt t tf x xf dt t f x
x
++=+⎰⎰
化简得：⎰⎰=+x
x
dt t f x f x dt t tf 002
)()()(
两边再对)(x f 求导，化简得：0)(13)(2=-+
'x f x x f x ）（ 这是一阶线性齐次方程，分离变量得：dx x
x x f x df 2
31)
()(-=
两边积分得x x
Ce x f ln 31
--=）（
即)(13
为任意常数）（C e
Cx
x f x
-
-=
下面就检查下自己的学习能力^-^ 习题1：设连续函数
)(x f 满足方程2
0)(2)(x
dt t f x f x
=+⎰，求
)(x f
习题2：设连续函数)(x y 满足方程⎰+=x
x
e
dt t y x y 0)()(，求)(x y
答案：习题1：
x
e
x x f 22121)(-+-
=
习题2：x e x x y )1()(+=。