常微分方程的经典求解方法

Ae R1R2C

R1

R2 E
R2 R1R2c
e t
v0 (0)

0

A
R1

R2 E
R2 R1R2C
A
R2 E
R1 R2 R1R2C
v0 (t)

R1

R2 E
R2 R1R2C
(e t
R1 R2 t
e R1R2C )
若: R1 R2 则特解为:
齐次解yh(t)的形式
(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn
yh (t) K1es1t K2es2t Knesnt
(2) 特征根是等实根s1=s2==sn
yh (t) K1es t K2tes t Knt n1es t
(3) 特征根是成对共轭复根
K sin 0t 或 K cos0t K e-atsin 0t 或 K e-atcos0t
特解 A
A+Bt A e-at At e-at
Asin 0t+ Bcos0t Ae-atsin 0t+ B e-atcos0t
例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
2) 求非齐次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t) 由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t)=Ce-t
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
3) 求方程的全解
y(t)

yh (t)

yp (t)

Ae2t

Be4t

1 3
et
y(0) A B 1 1 3
y'(0) 2A 4B 1 2 3
解得 A=5/2，B= 11/6
y(t) 5 e2t 11e4t 1 et , t 0
2
6
3
例2 :电路如图所示，激励信号
e(t) Eetu(t),求输出信号v0 (t).
R1
R2
e(t )
C
v0 (t)
解:
e(t)
si i ji , i n / 2
yh (t) e1t (K1 cos1t K1 sin 1t) eit (Ki cosit Ki sin it)
• 常用激励信号对应的特解形式
输入信号
K
Kt K e-at(特征根 s a) K e-at(特征根 s= a)

v0 (t)

R2

c
dv0 (t) dt
ຫໍສະໝຸດ Baidu
R1

v0
(t)
R1 c R2 V0(t)
dv0 (t) dt

R1 R2 R1 R2 c
v0 (t)

1 R1c
e(t)
e(t)
1

R1 R2 R1 R2 c
e(t) Ee tu(t)
R R E B(t) Be t
•这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。
Be R R c Be R c e B
R2 E
0齐次解:
P46.表2—2若
t
R1 R2 t
因激励信号为
Ae
R1R2C
R1 R2
则：
R1 R2 c
1 2 t
t
12
1
R1 R2 R1R2c
v(0 ) v(0 )
v0 (t)

R1 R2 t
初始条件y(0)=1, y’(0)=2, 输入信号f(t)=et u(t)，求系统的完全响应y(t)。
解：
(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为 齐次解yh(t)
s1 2，s2 4
yh (t) K1e—2t K2e—3t
R1 R2 c
B(t) Bte t
将B(t)代入微分方程,并用初始条件求出待定系数：
v0 (t )
R1 R2 t
E te R1R2c R1c
精品课件！
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•经典法不足之处
•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 •若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 •若初始条件发生变化，则须全部重新求解。