矩阵微分方程
矩阵论第七章函数矩阵与矩阵微分方程
矩阵论第七章函数矩阵与矩阵微分方程北京理工大学高数教研室* 第一章第一节函数第七章函数矩阵与矩阵微分方程函数矩阵定义: 以实变量的函数为元素的矩阵称为函数矩阵, 其中所有的元素都是定义在闭区间上的实函数。
函数矩阵与数字矩阵一样也有加法, 数乘, 乘法, 转置等几种运算, 并且运算法则完全相同。
例:已知计算定义:设为一个阶函数矩阵, 如果存在阶函数矩阵使得对于任何都有那么我们称在区间是可逆的。
称是的逆矩阵, 一般记为例 :已知那么在区间上是可逆的, 其逆为函数矩阵可逆的充分必要条件定理 : 阶矩阵在区间上可逆的充分必要条件是在上处处不为零, 并且其中为矩阵的伴随矩阵。
定义:区间上的型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为的秩。
特别地, 设为区间上的阶矩阵函数, 如果的秩为 , 则称一个满秩矩阵。
注意:对于阶矩阵函数而言, 满秩与可逆不是等价的。
即:可逆的一定是满秩的, 但是满秩的却不一定是可逆的。
例 :已知那么。
于是在任何区间上的秩都是2。
即是满秩的。
但是在上是否可逆, 完全依赖于的取值。
当区间包含有原点时, 在上有零点, 从而是不可逆的。
函数矩阵对纯量的导数和积分定义:如果的所有各元素在处有极限, 即其中为固定常数。
则称在处有极限, 且记为其中如果的各元素在处连续, 即则称在处连续, 且记为其中容易验证下面的等式是成立的: 设则定义:如果的所有各元素在点处(或在区间上)可导, 便称此函数矩阵在点处(或在区间上)可导, 并且记为函数矩阵的导数运算有下列性质: 是常数矩阵的充分必要条件是设均可导, 则设是的纯量函数, 是函数矩阵,与均可导, 则特别地, 当是常数时有 (4) 设均可导, 且与是可乘的, 则因为矩阵没有交换律,所以 (5) 如果与均可导, 则 (6) 设为矩阵函数, 是的纯量函数, 与均可导, 则定义: 如果函数矩阵的所有各元素在上可积, 则称在上可积, 且函数矩阵的定积分具有如下性质: 例1 :已知函数矩阵试计算证明: 由于 , 所以下面求。
矩阵微分方程
矩阵微分方程第九讲 矩阵微分方程一、矩阵的微分和积分1. 矩阵导数定义：若矩阵ij m n A(t)(a (t))⨯=的每一个元素a (t)ij 是变量t 的可微函数，则称A(t)可微，其导数定义为ij m n da dA A (t)()dt dt⨯'==由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。
2. 矩阵导数性质：若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则（1）d dA dB[A(t)B(t)]dt dt dt ±=±（2）d dA dB[A(t)B(t)]B Adt dt dt=+ （3）d da dA [a(t)A(t)]A adt dt dt =+ （4）()()()()tAtA tA d de Ae e A cos tA Asin tA dtdt===- ()()()dsin tA Acos tA dt=(A 与t 无关) 此处仅对tAtA tA d (e )Ae e A dt==加以证明 证明：tA 2233223d d 111(e )(1tA t A t A )A tA t A dt dt 2!3!2!=++++=+++22tA 1A(1tA t A )Ae 2!=+++=又22tA 1(1tA t A )A e A 2!=+++=3. 矩阵积分定义：若矩阵A(t)(a (t))m n ij =⨯的每个元素ij a (t)都是区间01[t ,t ]上的可积函数，则称A(t)在区间01[t ,t ]上可积，并定义A(t)在01[t ,t ]上的积分为1100ij t t A(t)dt a (t)dt t t m n ⎛⎫=⎰⎰ ⎪⎝⎭⨯4. 矩阵积分性质（1）111000t t t t t t [A(t)B(t)]dt A(t)dt B(t)dt ±=±⎰⎰⎰（2）11110000t t t t t t t t [A(t)B]dt A(t)dt B,[AB(t)]dt A B(t)dt ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰（3）t baadA(t )dt A(t),A (t)dt A(b)A(a)dt '''==-⎰⎰二、 一阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性齐次常系数常微分方程组11111221n n 22112222n n n n11n22nn n dx a x (t)a x (t)a x (t)dt dx a x (t)a x (t)a x (t)dtdx a x (t)a x (t)a x (t)dt⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪⎪⎪=+++⎪⎩ 式中t 是自变量，i i x x (t)=是t 的一元函数(i 1,2,,n),=ij a (i,j 1,2,,n)=是常系数。
矩阵微分方程
定解问题(4.3)的解为 y (1, 0, 0, , 0) x(t ) (1, 0, 0, , 0)e x(0) y0 y0 ' At , 0)e ( n 1) y0
At
(1, 0, 0,
n阶常系数线性非齐次方 程的定解问题： y
(n) (i )
(n) (i )
a1 y
( n 1)
a2 y
(i ) 0
( n2)
an y 0 (4.3)
y (t )
t 0
y , i 0,1,, n 1
令x1 y, x2 y ' x '1 ,
x '1 x2 , x2 ' x3 , x 'n 1 xn ,
x1n (t , t0 ) x11 (t , t0 ) x12 (t , t0 ) x (t , t ) x (t , t ) x ( t , t ) 0 22 0 2n 0 21 xnn (t , t0 ) xn1 (t , t0 ) xn 2 (t , t0 ) dx(t ) 为方程组 A(t ) x (t )的转移矩阵,有时又称它为基本矩阵。 dt 显然 (t0 , t0 ) I n
dx(t ) 性质1 n阶方阵(t , t0 )是方程组 A(t ) x(t )的转移矩阵的 dt dx(t ) A(t ) x(t ) 充要条件是(t , t0 )是定解问题 dt 的解。 x(t ) |t t I n 0
dx(t ) 性质2 设(t , t0 )是方程组 A(t ) x(t )的转移矩阵， dt dx(t ) A(t ) x(t ) 则定解问题 dt x(t ) |t t x(t0 ) 0 的解为x(t ) (t , t0 ) x(t0 )。
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法常数矩阵微分方程基解矩阵是指对于一个m阶常系数矩阵微分方程组x′(x)=xx(x)，其中x(x)为x的函数，x为常数矩阵，基解矩阵是一组线性无关的解所构成的矩阵。
计算常数矩阵微分方程基解矩阵的方法主要有以下几种：常数变易法、指数矩阵法、特征值法。
一、常数变易法
使用常数变易法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.假设基解矩阵为x(x)，则存在常数矩阵x，使得
x(x)=xx^xx。
2.对基解矩阵进行求导，并代入微分方程，得到
xxx(x)(x)=xx(x)，其中x(x)(x)表示第n阶导数。
3.解出x(x)(x)，得到x的表达式。
4.代入x=0时的初始条件，求解得到x的具体值。
5.将x代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
二、指数矩阵法
使用指数矩阵法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。
2.将特征值分别代入指数函数的表达式中，得到特征向量的指数函数形式。
3.将特征向量的指数函数形式构成的矩阵x和其逆矩阵x^(-1)代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
三、特征值法
使用特征值法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。
2.将特征向量的形式代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
在实际计算中，选择哪种方法取决于方程的形式、矩阵的性质和计算的复杂程度。
以上三种方法均可得到常数矩阵微分方程的基解矩阵，计算方法相对较为简单，但对于高阶矩阵微分方程，计算工作量可能较大，需要根据具体情况选择合适的方法。
线性代数矩阵的分解与微分方程应用
线性代数矩阵的分解与微分方程应用线性代数是数学中的一个重要分支，它研究的是线性空间以及其上的线性变换。
线性代数在不同领域中都有广泛的应用，比如说在计算机图形学、物理学、经济学等领域中都起着非常重要的作用。
其中，矩阵的分解和微分方程的应用是线性代数的两大重要内容。
一、矩阵的分解矩阵的定义是一个由数字排成的矩形表格。
在线性代数中，矩阵是一个重要的工具，矩阵的分解是矩阵理论中的一个基本问题。
矩阵的分解通常是指将一个矩阵分解成几个特定形式的矩阵的乘积。
常见的矩阵分解包括LU分解、QR分解、SVD分解等。
1、LU分解LU分解是线性代数中的一种矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
LU分解可以用于求解线性方程组、求矩阵的逆以及计算矩阵的行列式等问题。
在实际应用中，使用LU分解求解线性方程组比直接求解更加高效和准确。
2、QR分解QR分解是一个将一个矩阵分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积的方法。
QR分解在求解最小二乘问题、特征值问题以及解非线性方程组等问题中都有广泛的应用。
3、SVD分解SVD分解是一种将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积的方法，包括一个左奇异矩阵、一个右奇异矩阵和一个奇异值矩阵。
SVD分解可以用于降维、信号处理、图像处理等方面。
二、微分方程的应用微分方程是研究变化的数学分支，它研究的是变量与其变化率的关系。
微分方程在科学、工程和经济等领域中都有广泛的应用。
微分方程的解法中涵盖了矩阵分解的知识。
1、矩阵微分方程矩阵微分方程指的是方程中包含了一个矩阵与它的导数。
矩阵微分方程在控制系统、差分方程的研究中都有广泛的应用。
解矩阵微分方程时，可以使用矩阵指数函数或拉普拉斯变换等方法。
2、级数解法级数解法是一种用级数求微分方程解的方法。
在级数解法中，将未知函数表示为级数的形式，将其代入微分方程中，然后通过逐项比较系数来求解微分方程。
级数解法在近似计算和数值解法方面都有重要应用。
矩阵微积分基础知识
矩阵微积分基础知识矩阵微积分是微积分的一个重要分支，它将微积分的概念和方法应用于矩阵和向量的运算中。
在矩阵微积分中，我们可以通过对矩阵进行微分和积分来研究矩阵的性质和变化规律。
本文将介绍矩阵微积分的基础知识，包括矩阵的导数、矩阵的积分和矩阵微分方程等内容。
一、矩阵的导数在矩阵微积分中，我们可以定义矩阵的导数。
对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别求导来得到矩阵的导数。
具体而言，如果f(X)的每个元素都是可导的，那么矩阵f(X)的导数就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数。
例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [x1^2 x2^2; x3^2 x4^2]。
那么矩阵f(X)的导数就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数，即f'(X) = [2x1 2x2; 2x3 2x4]。
二、矩阵的积分与矩阵的导数类似，我们也可以定义矩阵的积分。
对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别积分来得到矩阵的积分。
具体而言，如果f(X)的每个元素都是可积的，那么矩阵f(X)的积分就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分。
例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。
那么矩阵f(X)的积分就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分，即∫f(X)dX = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。
三、矩阵微分方程矩阵微分方程是矩阵微积分中的一个重要概念。
它是描述矩阵函数与其导数之间关系的方程。
一般而言，矩阵微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
一类二阶矩阵微分方程的特解
一类二阶矩阵微分方程的特解矩阵的微分方程是一类相对复杂的微分方程，也是近年来非常热门的研究课题。
矩阵的微分方程的特解是指满足特定条件的特殊解，弗拉瓦尔（F. L. Varvarin）等人针对这类矩阵微分方程，提出了一类具有重要意义的特解：一类二阶矩阵微分方程的特解。
弗拉瓦尔等人提出的“一类二阶矩阵微分方程”是指一个对称矩阵$A$的微分方程。
记其特解为$x(t)$，则有：$ frac{mathrm{d}^{2} x(t)}{mathrm{d} t^{2}} + A x(t) = 0 $这类特解的求解方法是：首先将$A$分解成特征值-特征向量形式：$ A = Q Lambda Q^{T} $，其中$Q=left(q_{1}, q_{2}, ldots,q_{n}right)$为正交矩阵，$Lambda = left(lambda_{1}, lambda_{2}, ldots, lambda_{n}right)$为其特征值对角矩阵，即$A$的特征分解。
然后将$x(t)$替换为$Qoverline{x}$，其中$overline{x}$为一个$n$维列向量，称为$A$的共轭向量，则上式变为：$ frac{mathrm{d}^{2} overline{x}}{mathrm{d} t^{2}} + Lambda overline{x} = 0 $上式具有$n$个解$overline{x_{j}} = left(c_{j} costheta_{j}+s_{j} sin theta_{j}right) e^{lambda_{j} t} quad(j=1,2, ldots, n)$，其中$c_{j}, s_{j}$和$theta_{j}$为常数，$lambda_{j}$为$A$的特征值，于是，原微分方程的特解可以表示为： $x(t)=Q left(sum_{j=1}^{n}left(c_{j} cos theta_{j}+s_{j}sin theta_{j}right) e^{lambda_{j} t}right)$弗拉瓦尔等人对于这类特解进行了进一步研究，他们指出，若特征值$lambda_{j}=0$，即$A$具有零特征值，则上式变为：$x(t) = Q left(sum_{j=1}^{n} left(c_{j}t+s_{j}right)right)$这表明，当$A$具有零特征值时，特解可以表示为$A$的共轭向量的有限次多项式。
矩阵常微分方程求解
矩阵常微分方程求解矩阵常微分方程是指形式为$\frac{{dX}}{{dt}}=AX$的方程，其中$X$是一个$n\times 1$的矩阵，$A$是一个$n\times n$的常数矩阵。
要求解矩阵常微分方程，可以使用矩阵的特征值和特征向量来求解。
首先，求解特征值问题$AX=\lambda X$，其中$\lambda$是特征值，$X$是特征向量。
求解得到的特征值为$\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$，对应的特征向量为$X_1, X_2, ..., X_n$。
然后，构造$n\times n$的矩阵$P$，其中每列是一个特征向量$X_i$，使得$P=[X_1, X_2, ...,X_n]$。
接下来，构造$n\times n$的对角矩阵$\Lambda$，其中对角线上的元素是特征值$\lambda_1,\lambda_2, ..., \lambda_n$。
最后，可以得到方程的通解$X(t)=P\Lambda e^{At}P^{-1}$，其中$e^{At}$是矩阵$A$的指数函数，$P^{-1}$是矩阵$P$的逆矩阵。
需要注意的是，指数函数$e^{At}$的计算需要使用矩阵的幂级数展开，即$e^{At}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}(At)^k$，其中$(At)^k$代表矩阵$At$的$k$次幂。
在实际求解时，可以利用计算工具如MATLAB或Python的NumPy库中的函数来求解矩阵常微分方程。
例如，在Python中可以使用scipy库中的`scipy.linalg.expm`函数来计算矩阵的指数函数，使用NumPy库中的`numpy.linalg.eig`函数来求解特征值和特征向量，使用NumPy库中的`numpy.linalg.inv`函数来计算矩阵的逆矩阵。
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t
x(t) eAt x(0) eA(tv)Bu(v)dv
0
定解问题(4.5)的解为
t
y(t) (1,0, ,0)(eAt x(0) eA(tv)Bu(v)dv)
0
例 求常系数线性齐次微分方程组
dy1 (t ) dt
2 y1
2 y2
y3
dy2 (t) dt
y1
y2
y3
dy3 (t) dt
xnm (t0 )
定理 设定解问题为：
dx Ax； dt
x(t) t t0
x(t0 )
（4.1）
其中，x(t)是t的可微函数的n m矩阵，
x(t0 )是n m阶常数矩阵，A是给定的n阶 常数方阵, 则
（1）定解问题(4.1)的解为x(t) eA(tt0 ) x(t0 ), 并且这个解是唯一的；
因此，f ( A) g( A) (et tet )I tet A
1 t
et
t
t
2t 2t 1
2t
t
t
t 1
定解问题的解为y(t) eAt y(0) et
et
3et
T
.
4.2 线性时变系统的状态方程
1. 线性时变系统的转移矩阵
定义 设n阶方阵A(t)在[t0,t1]上连续, x(t)是 n m阶未知矩阵，则称
y1
2 y2
2 y3
y1(0) 1
在初始条件y
(0)
y2
(0)
1
下的解。
y3(0) 3
2 2 1
解
定解问题的解为y
(t
)
e
At
y(0),
其中A
1
1
1
,
下面求e
At。
1 2 2
A的特征多项式f() ( 1)3, A的最小多项式m() ( 1)2.
因此，可设多项式g() a0 a1 由f (1) g(1), f '(1) g '(1), f () et , 得a0 et tet , a1 tet 从而，g() et tet tet
xn2 (t)
L
x1m (t)
x2m
(t
)
,
xnm (t)
则方程 dx Ax是n m个未知函数的线性常系数齐次微分 dt
方程组。
x11(t0 ) x12 (t0 )
x(t)
t t0
x(t0 )
x21 (t0
xn1 (t0
) )
x22 (t0 ) xn2 (t0 )
x1m (t0 ) x2m (t0 )
（2）解x(t)的秩与t的取值无关.
2.线性常系数非齐次微分方程组的解
设A (aij )nn 与B (bij )nm 是常数矩阵，而
x1(t)
u1(t)
x(t
)
x2
(t
)
，u
(t
)
u2
(t
)
M
M
xn (t)
um (t)
都是函数向量，其中u1(t),u2 (t),L ,um (t)是
x(t0 ) ceAt0 ,c eAt0 x(t0 )
t
x(t) eAt eAvBu(v)dv eAt0 x(t0 )eAt
t0
3. n阶常系数微分方程的解
设a1, a2,L , an为常数，u(t)为已知函数，称 y(n) a1 y(n1) a2 y(n2) L an y u(t) 为n阶常系数微分方程.当u(t) 0时，称为非齐次的； 否则，称为齐次的。
dx(t) A(t)x(t) dt
为变系数的齐次微分方程组。
定义
设j(t,t0 )
x1 j
(t , t0 M
)
,
(
j
1, 2,L
, n)满足条件
xnj (t,t0 )
0
dj(t,t0 ) dt
A(t)j(t,t0 )，
j (t, t0 ) tt0
已知函数，则称 dx(t) Ax(t) Bu(t) dt
为线性常系数非齐次微分方程组。
定解问题：
dx(t) Ax(t) Bu(t)； dt
x(t) t t0
x(t0 )
（4.2）
定解问题(4.2)的定解为
t
x(t) eA(tt0 ) x(t0 ) e A(tv)Bu(v)dv
t0
dx(t) Ax(t) x(t) eAtc dt
A L
0
0
0
L
1
an an1 an2 L a1
定解问题 (4.4)的解为x(t) eAt x(0)
定解问题(4.3)的解为
y (1, 0, 0,L , 0)x(t)
(1, 0, 0,L , 0)eAt x(0)
y0
(1, 0, 0,L , 0)eAt
y0 '
M
y (n1) 0
设x(t) eAtc(t)为 非 齐 次 方 程 组 的 解 ，则
dx(t)＝AeAtc(t) eAtc'(t) Ax(t) eAtc'(t) Ax(t) Bu(t) dt
t
c'(t) eAtBu(t)c(t) eAtBu(t)dt c t0
t
x(t) eAtc(t) eAt eAtBu(t)dt ceAt t0
设
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L
an1 an2 L
则 dx Ax dt
a1n
a2
n
,
ann
x1(t)
x(t
)
x2
(t
)
M
xn (t)
若未知函数x(t)不是列向量，而是n m矩阵
x11(t) x12 (t) L
x(t
)Leabharlann x21(t)
x22 (t)
L
L
xn1(t)
x1(t)
x1(0) y0
令x(t)
x2
(t)
,
x(0)
x2
(0)
y '0
M
M M
xn (t)
xn (0)
y ( n 1) 0
定解问题(4.3)可写成
dx(t) Ax(t)； x(t) x(0) （4.4）
dt
t0
其中
0 1 0 L 0
0
0
1
L
0
n阶常系数线性齐次方程的定解问题：
y(n) a1 y(n1) a2 y(n2) an y 0 (4.3)
y(i) (t)
t 0
y(i) 0
,
i
0,1,
,n
1
令x1 y, x2 y ' x '1 , L xn y(n1) x 'n1
x '1 x2 , x2 ' x3, L
x 'n1 xn , xn ' an x1 an1x2 L a1xn
n阶常系数线性非齐次方程的定解问题： y(n) a1 y(n1) a2 y(n2) an y u(t) (4.5) y(i) (t) t0 y0(i) , i 0,1, , n 1
dx(t) Ax(t) Bu(t)； x(t) x(0)
dt
t0
B (0, 0,L .0,1)T